1.1. Матрицы. Действия над матрицами
Матрицей размерности называется прямоугольная таблица, состоящая изэлементов, расположенных вm строках и n столбцах.
Элементы матрицы (первый индексi − номер строки, второй индекс j − номер столбца) могут быть числами, функциями и т. п. Матрицы обозначают заглавными буквами латинского алфавита.
Матрица называется квадратной, если у нее число строк равно числу столбцов (m = n). В этом случае число n называется порядком матрицы, а сама матрица называется матрицей n-го порядка.
Элементы с одинаковыми индексами образуютглавную диагональ квадратной матрицы, а элементы (т.е. имеющие сумму индексов, равнуюn+1) − побочную диагональ.
Единичной матрицей называется квадратная матрица, все
элементы главной диагонали которой
равны 1, а остальные элементы равны 0.
Нулевая матрица − это матрица, все элементы которой равны 0. Нулевая матрица может быть любого размера.
К числу линейных операций над матрицами относятся:
1) сложение матриц;
2) умножение матриц на число.
Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковой размерности.
Суммой двух матриц А и В называется матрица С, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В:
.
Произведением матрицы
.
Операция умножения
матриц вводится для матриц, удовлетворяющих
условию: число столбцов первой матрицы
равно числу строк второй.
Произведением матрицы А размерности на матрицу В размерности называется матрицаС размерности , элементi-ой строки и j-го столбца которой равен сумме произведений элементов
.
Произведение матриц (в отличие от произведения действительных чисел) не подчиняется переместительному закону, т.е. в общем случае А В В А.
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.
Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу
.
Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу:
Первое
из слагаемых со знаком «+» представляет
собой произведение элементов, расположенных
на главной диагонали матрицы ().
Остальные два содержат элементы,
расположенные в вершинах треугольников
с основанием, параллельным главной
диагонали (и).
Со знаком «-» входят произведения
элементов побочной диагонали ()
и элементов, образующих треугольники
с основаниями, параллельными этой
диагонали (и).
Это правило вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольников (или правилом Саррюса).
Свойства определителей
1. При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами, что и строки, определитель своего значения не меняет, т.е. строки и столбцы определителя равноправны
.
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак.
3. Если все элементы некоторой строки (столбца) нули, то определитель равен 0.
4. Общий множитель всех элементов строки
(столбца) можно вынести за знак
определителя.
5. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен 0.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.
7. Если каждый элемент некоторого столбца (строки) определителя представляет сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых в том же столбце (строке) стоят первые слагаемые, а в другом − вторые. Остальные элементы у обоих определителей одинаковые. Так,
.
8. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число.
Следующее свойство определителя связано с понятиями минора и алгебраического дополнения.
Минором элемента определителя называется
определитель, полученный из данного
вычеркиванием той строки и того столбца,
на пересечении которых этот элемент
расположен.
Например, минором элемента определителя называется определитель .
Алгебраическим дополнением элементаопределителя называется его минор, умноженный на, гдеi − номер строки, j − номер столбца, на пересечении которых находится элемент . Алгебраическое дополнение обычно обозначается. Для элементаопределителя 3-го порядка алгебраическое дополнение
9. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.
Например, определитель можно разложить по элементам первой строки
,
или второго столбца
.
Свойства определителей применяются для их вычисления.
Матрицы и их виды. Действия над матрицами
Похожие презентации:
Матрицы и их виды. Действия над матрицами. Тема 2
Матрицы. Действия над матрицами.
Определители и их свойства
Матрицы. Элементарные преобразования и действия над матрицами
Матрицы. Действия с матрицами
Матрицы и действия над ними
Действия над матрицами. Понятие и виды матриц
Матрицы и действия над ними
Алгебра: Матрицы. Действия с матрицами. Определитель. Его вычисление и основные свойства
Линейная алгебра. Матрицы и действия над ними
Матрицы и действия на ними
1. Матрицы.
{Матрицы и их виды. Действия над матрицами.
образованная из элементов некоторого множества и
состоящая из m строк и n столбцов.
Обычно матрицу обозначают двойными вертикальными
черточками или круглыми скобками.
a11
a21
A
a
m1
a12
a22
…
am 2
… a1n
… a2 n
… amn
A
a11
a21
am1
a12 … a1n
a22 … a2 n
…
am 2 … amn
Если m=n матрица называется квадратной.
2
Среди квадратных матриц выделяют класс
диагональных матриц, т.е. матрицы, которые имеют
элементы не равные нулю только на главной
Если
d1 d 2 … d n 1
то матрица называется
единичной
d1 0 … 0
0 d 2 … 0
D
…
0 0 … d
n
1
0
E 0
0
0 … 0
0 … 0
0 1 … 0
…
0 0 … 1
0
1
3
Матрица, у которой все элементы нулевые, получила
название нулевой:
0 0 0 … 0
0 0 0 … 0
0
…
0 0 0 … 0
Понятие нулевой матрицы можно вводить и для
неквадратных матриц .
Матрицы A и B считаются равными, если они
одинакового размера, т.е. число строк и столбцов
матрицы A соответственно равны числу строк и
столбцов матрицы B и элементы стоящие на
одинаковых местах, равны между собой .
4
над матрицами:
1. Сложение матриц.
2. Вычитание матриц.
3. Умножение матрицы на число.
4. Умножение матриц
5
1. Суммой двух матриц А и В, одинаковых
размерностей, называется матрица той же размерности,
элементы которой равны суммам соответствующих
элементов матриц А и В:
a11
a21
A
a
m1
… a1n
b11
… a2 n
b21
B
b
… amn
m1
a11 b11 a12 b12
a21 b21 a22 b22
A B
…
a b
m1 m1 am 2 bm 2
a12
a22
…
am 2
b12 … b1n
b22 … b2 n
bm 2 … bmn
… a1n b1n
… a2 n b2 n
… amn bmn 6
Сумма матриц обладает следующими свойствами:
1. А+В=В+А, сложение матриц коммутативно,
2. А+(В+С)=(А+В)+С, свойство ассоциативности,
3. А+0=А, где 0 – нулевая матрица той же размерности.
2. Аналогично определяется разность двух матриц:
a11 b11
a21 b21
A B
a b
m1 m1
a12 b12
a22 b22
…
am 2 bm 2
… a1n b1n
… a2 n b2 n
… a mn bmn
7
3. Произведением матрицы
А на число λ, называется
a11 a12
матрица, элементы которой
получаются из
A
.
..соответствующих элементов
a
m1 am 2
матрицы А, путём умножения
их на число λ:
Операция произведения матрицы на число
удовлетворяет следующим свойствам:
1) 1 A A
… a1n
… amn
2) ( A) ( ) A
3) ( ) A A A 4) ( A B ) A B
5) A ( A) 0
,
Где A,B – произвольные матрицы,
-произвольные числа,
0 – нулевая матрица.8
4. Произведение АВ матрицы А на матрицу В
определяется только в том случае, когда число
столбцов матрицы A равно числу строк
матрицы В.
В результате умножения получится новая матрица
C, у которой число строк будет равно числу
строк матрицы А, а число столбцов равно
числу столбцов матрицы В.
Пусть даны матрицы
a11 … a1n
A
…
a
…
a
mn
m1
b11 … b1k
B
…
b
…
b
nk
n1
9
В таком случае произведением матрицы A на матрицу
B является матрица С
c11 … c1k
C
…
c
…
c
mk
m1
элементы которой определяются по следующему
правилу
n
cij ai1b1 j ai 2 b2 j .
.. ain bnj ai b j1
где i=1,…,m; j=1,…,k.
10
c
Т.е. для получения элемента
ij
надо элементы i-строки матрицы А умножить на
соответствующие элементы j – го столбца
матрицы B и полученные произведения сложить.
Получение элемента
cij
схематично изображается так:
I
J
11
Пример:
Перемножить матрицы
1 0 2
0 1 3
3 2 1
1 5 3
2 4
и 6
5 1 7
Решение:
1 0 2 1 5 3
0 1 3 6 2 4
3 2 1 5 1 7
1 1 0 6 2 5 1 ( 5) 0 2 2 ( 1) 1 3 0 ( 4) 2 7
0 1 ( 1) 6 3 5 0 ( 5) ( 1) 2 3 ( 1) 0 3 ( 1) ( 4) 3 7
3 1 2 6 1 5
3
(
5
)
2
2
1
(
1
)
3
3
2
(
4
)
1
7
12
11 7 17
9 5 25
20 12 8
Свойства умножений матриц:
1) A B B A
произведение матриц не
коммутативно;
Если AB=BA, то матрицы А и В называются
перестановочными;
13
2) A ( B C ) ( A B) C
свойство ассоциативности
3) ( A B) ( A) B
4) A ( B C ) A B A C
свойство дистрибутивности
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
A D D A (2.
1)A E E A A (2.2)
A 0 0 A 0
(2.3)
14
2.2 Обратная матрица.
Пусть дана
квадратная матрица:
и
a11
a21
an1
a12 … a1n
a22 … a2 n
…
an 2 … ann
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2 n
A
…
a
a
…
a
n2
nn
n1
(2.4)
определитель матрицы.
Матрица определитель которой равен нулю,
называется вырожденной (или особенной), а
матрица определитель которой отличен от нуля невырожденной (или неособенной).
15
Если для данной матрицы А существует матрица Х,
такая, что
(2.6)
где Е – единичная матрица, то матрица Х называется
обратной матрицей по отношению к матрице А, а
сама матрица А – обратимой.
Обратная для А матрица обозначается
1
Теорема.
Для каждой обратимой матрицы существует
только одна обратная матрица.
Доказательство.
16
Пусть для матрицы А существует обратная матрица Х,
тогда должно выполняться условие (2.
6)Пусть для матрицы А существует ещё одна обратная
матрица ,
тогда согласно (2.6)
Умножим слева последнее выражение на матрицу Х:
X ( A X ) X E X
Согласно свойству произведение матриц левую часть
выражения можно записать
X ( A X ) ( X A) X EX X
Т.е. получили
Что и требовалось доказать.
17
Запишем выражение для обратной матрицы
Пусть дана квадратная
обратимая матрица А:
Найдём алгебраические
дополнения для каждого
элемента и составим
матрицу В:
a11
a21
A
a
n1
A11
A12
B
A
1n
a12
a22
…
an 2
A
1
… a1n
… a2 n
… ann
A21
A22
…
A2 n
An1
… An 2
… Ann
…
Заметим, что в i строке матрицы В расположены
алгебраические дополнения элементов j столбца
определителя. Матрицу В называют присоединенной
18
для матрицы А.
Обратную матрицу можно найти по формуле
1
1
A11
1 A12
1
A
1n
A21 .
.. An1 A22 … An 2
…
A2 n … Ann
19
Пример:
Найти матрицу обратную данной
Решение:
2 3
1
3 1 1
2
1
1
Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является
ли она вырожденной
1
2
3
7
5
0
7 5
3 1 1 1 0 0 1( 1)
5 0
1 0
2
1 1 2 1 1
6
Найдем алгебраические дополнения всех элементов
матрицы А
20
2 3
1
3 1 1
2
1
1
3
1
3 2
2 1
11 ( 1)
1 1 0 21 ( 1) 1 1 ( 2 3) 5
1 1
3
3 1
4 1
12 ( 1)
(3 2) 1 22 ( 1) 2 1 1 6 7
2 1
3
3 1
13 ( 1)
3 2 1
2
1
4
23
1 2
( 1)
(1 4) 3
2 1
5
3
2 3
5 1
10
31 ( 1)
2 3 5 32 ( 1)
3 1
1 1
21
4
33 ( 1)
6
1
2
3 1
Запишем обратную
матрицу
5
5
5
0
1
1
1 7 10
5
1
3
5
Для проверки правильности решения достаточно
проверить следующее равенство:
1
A A
E
5
5 1
2 3 1 0 0
0
1
1
A A 1 7 10 3 1 1 0 1 0
5
2
0 0 1
1
3
5
1
1
22
2.
3 Ранг матрицы.Рассмотрим произвольную
прямоугольную матрицу:
a11 a12
a21 a22
ak 1 a k 2
a
m1 am 2
…
…
…
…
…
…
a1k
a2 k
akk
amk
… a1m
… a2 m
… akm
… amm
Возьмем в этой матрицы k строк и k столбцов.
Элементы, стоящие на пересечении этой строки и
столбца образуют квадратную матрицу.
Определитель данной матрицы называется минором
k-ого порядка
Mk
Минор M k 1 порядка k+1, который содержит в себе
минор M
k
называется окаймляющим минором.
23
Если любой минор
Mk
а все возможные миноры
не равен нулю,
M k 1
равны нулю, то говорят, что ранг матрицы равен k
(rangA=k).
Отличный от нуля минор
Mk,
называют базисным минором .
24
Пример:
Вычислить ранг матрицы:
1 2 1 3
0
1 1
2
1 2 2 4
7 6 1 7
Решение:
Выберем минор второго порядка, находящийся в
верхнем левом углу,
12
12
M
1 2
2
0
4
Минор второго порядка не равен нулю, следовательно
ранг не менее двух.
Составляем миноры третьего порядка, окаймляющие
отличный от нуля минор второго порядка. Для этого
добавим к M 12 третью строку и третий столбец.
12
25
123
M 123
1
2
2
0
1 3 2
1 0 0
1 2 2
124
M 123
123
M 124
1
2
5 3
1 1 ( 1)
( 6 6) 0
3 2
3 2 2
1 2 3
7 2 3
2
5 7
2
0 1 0 0 1 1 ( 1)
0
7 2
1 2 4
7 2 4
1 2 1 3 2 1
2
5 3
2 0
1 0 0
1 1 ( 1)
0
9 6
7 6 1 9 6 1
26
124
M 124
1 2 3
7 2 3
2
5 7
2 0 1 0
0 1 1 ( 1)
0
21 6
7 6 7
21 6 7
Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор
второго порядка, равны нулю. А это значит, что
rang A=2.
Другим простым способом вычисления ранга матрицы
является метод Гаусса, основанный на элементарных
преобразованиях, выполняемых над матрицей. Такими
преобразованиями являются:
1.вычёркивание строки состоящей из нулей,
2.
прибавление к элементам одной из строксоответствующих элементов другой строки, умноженных
на любое число,
3.перестановку двух строк (двух параллельных рядов),
4.все строки заменить столбцами
27
Метод Гаусса вычисления ранга матрицы заключается
в том, что при помощи элементарных преобразований
матрицу можно привести к виду:
b11
0
0
0
b12
b22
0
0
… b1n
… b2 n
… b3k … b3n
…. …… …
0 bkk … bkn
…
…
b1k
b2 k
В этой матрице все диагональные элементы
и т.д. отличны от нуля, а элементы других строк
расположенные ниже, равны нулю.
b11 , b22 , b33
Т.к. ранг не меняется при элементарных
преобразованиях, то ранг исходной матрицы будет
равен рангу данной матрицы и равен числу не
нулевых строк .
28
Пример:
Найти ранг матрицы:
Решение:
1
2
1
2
2
3
1
2
1
3
2
4
5
3 5
1 7
1 2
4
Добьемся, чтобы все элементы первого столбца, кроме первого
были нулями.
Первую строку оставим без изменения, затем первуюстроку умножим на -2 и прибавим ко второй, первую строку
умножим на -1 и прибавим к третьей, и наконец, первую строку
умножим на 2 и прибавим к четвертой строке.
1
2
1
2
2
1
2
2
3
1
3
4
4
3
1
1
5 1
5 0
7
0
2 0
2
3
3 5
0
0
6 10
4
5
5 5
3 2
7 12
29
Применим теперь элементарные преобразования таким
образом, чтобы в матрице все элементы второго столбца кроме
первых двух, были нулями. Умножим вторую строку на 2 и
прибавим к четвертой
1
0
0
0
2
3
3 5
0
0
0
0
5
5
3 2
3 2
4
5
Умножим третью строку на -1 и сложим с четвертой
3
4
5
1 2
0 3 5 5 5
0 0
0 3 2
0 0
0
0
0
Вычеркивая нулевую строку, получим rang A=3.
30
English Русский Правила
{33}\end{pmatrix}$$ Позвольте мне закончить одним заключительным замечанием.
Ни одна из этих конструкций не требует, чтобы $T$ был эндоморфизмом. Они применимы не только к внешней алгебре. В более общем смысле, для двух векторных пространств $V$ и $W$ линейное отображение $T: V\to W$ индуцирует гомоморфизмы в каждой степени тензорной (не обязательно внешней) алгебры.
Литература
Бурбаки, Алгебра I: главы 1-3 , Предложение 10, стр. 529.
Маклейн и Биркгоф, Алгебра , страницы 563-564.
Матричное действие
Матричное действиеВведение Матричное действие кадров, Элайнеры и вешалки Носилки Координаты Проекции СВД Подпространства матрицы Линейные системы Псевдоинверсия Номер состояния Норма матрицы Первый ранг Сжатие изображений Фильтрация шума Тодд УиллUW-Ла-Кросс | Матрица
Хиты 2D-экшн | 3Д
Действие Упражнения | ||
Матрица хитовКогда вы попадаете в точку с матрицей, вы получаете еще одну точку. Когда матрица
хиты
Вы получаете . Два разных способа вычисления матрицы, умноженной на точку.COLUMN WAY для вычисления : Возьмите линейную комбинацию СТОЛБОВ A, используя веса из . Например. ROW WAY для вычисления :
Поставьте точки в каждом ряду буквы . 2D Matrix ActionНа приведенном ниже графике показаны некоторые цветные точки на единичной окружности. Переместите свой наведите курсор на график, чтобы увидеть, что происходит, когда матрица попадает точки на единичной окружности.
Посмотрите еще несколько. Наведите курсор на матрицу, чтобы увидеть, как матрица попадает в единичный круг. Вы можете ударить и по другим кривым. Посмотрите на те же три матрицы, попадающие в затухающую синусоиду. | ||||
