Матрицы для чайников определитель: теоремы и примеры нахождения определителей

Содержание

теоремы и примеры нахождения определителей

Содержание:

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

$$\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$

Ответ. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.


Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком “плюс”; аналогично, для второго определителя – соответствующие произведения берутся со знаком “минус”, т.е.

$$\left| \begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Слишком сложно?

Методы вычисления определителей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ методом треугольников.

Решение. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$


Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком “минус”:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$


Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right| \leftarrow=a_{11} \cdot A_{11}+a_{12} \cdot A_{12}+a_{13} \cdot A_{13}=$

$1 \cdot(-1)^{1+1} \cdot \left| \begin{array}{cc}{5} & {6} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+2 \cdot(-1)^{1+2} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {6} \\ {7} & {9}\end{array}\right|+3 \cdot(-1)^{1+3} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {5} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-3+12-9=0$

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

$$\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4-4 \cdot 1} & {5-4 \cdot 2} & {6-4 \cdot 3} \\ {7-7 \cdot 1} & {8-7 \cdot 2} & {9-7 \cdot 3}\end{array}\right|=$$

$$=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {-6} & {-12}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {2 \cdot(-3)} & {2 \cdot(-6)}\end{array}\right|=0$$

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.


Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй – пять третьих и от четвертой – три третьих строки, получаем:

$$\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \\ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|$$

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

$$\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=0+0+1 \cdot(-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|+0$$

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. {2+2} \cdot \left| \begin{array}{ll}{2} & {4} \\ {4} & {8}\end{array}\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Ответ. $\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=0$

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$$

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

$$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой – две вторых строки, получаем:

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {-10} & {-10} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|$$

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

$$\Delta=-10 \left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|=$$

$$=-10 \cdot \left| \begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {-8}\end{array}\right|=(-10) \cdot 1 \cdot(-1) \cdot 1 \cdot(-8)=-80$$

Ответ. $\Delta=-80$


Теорема Лапласа

Теорема

Пусть $\Delta$ – определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k \leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Пример

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки – вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

$$\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cc}{1} & {-1} \\ {4} & {-5}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+4} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \\ {3} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {1}\end{array}\right|+$$

$$+\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {4} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+5} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \\ {3} & {1} & {0} \\ {1} & {2} & {-2}\end{array}\right|+\left| \begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {-5} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+5} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \\ {3} & {2} & {1} \\ {1} & {1} & {2}\end{array}\right|=$$

$$=-23+128+90=195$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=195$

Читать дальше: обратная матрица.

Определитель матрицы: алгоритм, примеры вычисления, правила

Определение 1

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А=(aij)n×n. 

|А|, ∆, det A – символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Пример 1​​​​​

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

А=1-231.

Решение:

det A=1-231=1×1-3×(-2)=1+6=7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника 

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

  • правило треугольника;
  • правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

Пример 2

А=13402115-1

Решение:

det A=13402115-1=1×2×(-2)+1×3×1+4×0×5-1×2×4-0×3×(-1)-5×1×1=(-2)+3+0-8-0-5=-12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

  • дописать слева от определителя два первых столбца;
  • перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
  • перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 3

А=134021-25-11302-25=1×2×(-1)+3×1×(-2)+4×0×5-4×2×(-2)-1×1×5-3×0×(-1)=-2-6+0+16-5-0=3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

  • разложением по элементам строки;
  • разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 4

Разложение матрицы по элементам строки:

det A=ai1×Ai1+ai2×Ai2+…+аin×Аin

Разложение матрицы по элементам столбца:

det A=а1i×А1i+а2i×А2i+…+аni×Аni

Замечание

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

Пример 5

А=01-132100-24513210

Решение:

  • раскладываем по 2-ой строке:

А=01-132100-24513210=2×(-1)3×1-13-251310=-2×1-13451210+1×0-13-251310

  • раскладываем по 4-му столбцу:

А=01-132100-24513210=3×(-1)5×210-245321+1×(-1)7×01-1210321=-3×210-245321-1×01-1210321

Свойства определителя

Свойства определителя:

  • если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
  • если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
  • определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.
Пример 6

А=134021005

Решение:

det А=134021005=1×5×2=10

Замечание

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

4 порядка матрицы

Вы искали 4 порядка матрицы? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление определителей 4 порядка, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «4 порядка матрицы».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 4 порядка матрицы,вычисление определителей 4 порядка,вычисление определителя 4 порядка,вычисление определителя 4 порядка сведением его к определителю 2 порядка,вычисление определителя матрицы 4 порядка,вычисление определителя четвертого порядка,вычислите определитель 4 порядка,вычислите определитель четвертого порядка от треугольной матрицы,вычислить определитель 4 го порядка,вычислить определитель 4 порядка,вычислить определитель матрицы 4 на 4,вычислить определитель матрицы 4 порядка с решением,вычислить определитель матрицы четвертого порядка,вычислить определитель четвертого порядка,вычислить определитель четвертого порядка матрицы,как вычислить минор матрицы 4 порядка,как вычислить определитель 4 порядка,как вычислить определитель матрицы 4 на 4,как вычислить определитель матрицы 4 порядка,как вычислить определитель четвертого порядка,как вычислять определители 4 порядка,как искать определитель матрицы 4 порядка,как найти минор 4 порядка,как найти определитель 4 порядка,как найти определитель 4 порядка для чайников,как найти определитель матрицы 4 на 4,как найти определитель матрицы 4 порядка,как найти определитель матрицы четвертого порядка,как найти определитель четвертого порядка,как найти определитель четвертого порядка матрицы,как находить определитель 4 порядка,как находить определитель матрицы 4 порядка,как посчитать определитель 4 порядка,как посчитать определитель матрицы 4 на 4,как решать матрицу 4 порядка,как решать матрицы 4 на 4,как решать матрицы 4 порядка,как решать определители 4 порядка,как решать определители 4 порядка для чайников,как решать определитель 4 порядка,как решить матрицу 4 на 4,как решить определитель 4 порядка примеры,как решить определитель 4 порядка решить,как считать матрицу 4 на 4,как считать определители 4 порядка,как считать определитель 4 на 4,как считать определитель 4 порядка,как считать определитель матрицы 4 на 4,как считать определитель матрицы 4 порядка,матрица 4 порядка,матрица 4 порядка определитель,матрица 4 порядка примеры,матрица определитель 4 порядка,матрица четвертого порядка,матрицы 4 на 4 как решать,матрицы 4 порядка,матрицы 4 порядка как решать,матрицы 4 порядка решение,матрицы вычисление определителя 4 порядка,матрицы вычислить определитель четвертого порядка,матрицы определитель 4 на 4,матрицы определитель четвертого порядка,матрицы четвертого порядка,найти определитель 4 порядка,найти определитель матрицы 4 на 4,найти определитель матрицы 4 порядка,найти определитель четвертого порядка,нахождение определителя матрицы 4 порядка,определители 4 порядка,определители 4 порядка как вычислять,определители 4 порядка как решать,определители 4 порядка примеры,определители четвертого порядка,определители четвертого порядка примеры,определитель 4 го порядка примеры,определитель 4 на 4,определитель 4 на 4 как считать,определитель 4 порядка,определитель 4 порядка как найти,определитель 4 порядка как находить,определитель 4 порядка как решать,определитель 4 порядка как считать,определитель 4 порядка матрица,определитель 4 порядка найти,определитель 4 порядка примеры,определитель 4 порядка примеры решения,определитель матрица 4 порядка,определитель матрицы 4 порядка,определитель матрицы 4 порядка как считать,определитель матрицы четвертого порядка,определитель четвертого порядка,определитель четвертого порядка как вычислить,определитель четвертого порядка как найти,определитель четвертого порядка матрицы,определитель четвертого порядка найти,определитель четвертого порядка формула,решение матриц 4 порядка,решение матрица 4 на 4,решение матрицы 4 на 4,решение матрицы 4 порядка,решение определителей 4 порядка,решение определителя 4 порядка,треугольный определитель 4 порядка,формула определитель четвертого порядка.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 4 порядка матрицы. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычисление определителя 4 порядка).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 4 порядка матрицы Онлайн?

Решить задачу 4 порядка матрицы вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

NumPy, часть 4: linalg | Python 3 для начинающих и чайников

В прошлых частях мы разбирались с основными операциями над массивами и randomом в NumPy. Теперь же мы приступим к более серьёзным вещам, которые есть в NumPy. Первый на очереди у нас модуль numpy.linalg, позволяющий делать многие операции из линейной алгебры.

Возведение в степень

linalg.matrix_power(M, n) – возводит матрицу в степень n.

Разложения

linalg.cholesky(a) – разложение Холецкого.

linalg.qr(a[, mode]) – QR разложение.

linalg.svd(a[, full_matrices, compute_uv]) – сингулярное разложение.

Некоторые характеристики матриц

linalg.eig(a) – собственные значения и собственные векторы.

linalg.norm(x[, ord, axis]) – норма вектора или оператора.

linalg.cond(x[, p]) – число обусловленности.

linalg.det(a) – определитель.

linalg.slogdet(a) – знак и логарифм определителя (для избежания переполнения, если сам определитель очень маленький).

Системы уравнений

linalg.solve(a, b) – решает систему линейных уравнений Ax = b.

linalg. tensorsolve(a, b[, axes]) – решает тензорную систему линейных уравнений Ax = b.

linalg.lstsq(a, b[, rcond]) – метод наименьших квадратов.

linalg.inv(a) – обратная матрица.

Замечания:

  • linalg.LinAlgError – исключение, вызываемое данными функциями в случае неудачи (например, при попытке взять обратную матрицу от вырожденной).
  • Подробная документация, как всегда, на английском: https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.linalg.html
  • Массивы большей размерности в большинстве функций linalg интерпретируются как набор из нескольких массивов нужной размерности. Таким образом, можно одним вызовом функции проделывать операции над несколькими объектами.
>>> a = np.arange(18).reshape((2,3,3))
>>> a
array([[[ 0,  1,  2],
        [ 3,  4,  5],
        [ 6,  7,  8]],

       [[ 9, 10, 11],
        [12, 13, 14],
        [15, 16, 17]]])
>>> np.linalg.det(a)
array([ 0.,  0.])

Определитель матрицы

Определитель – это специальное число , которое может быть вычислено с помощью матрицы.

Матрица должна быть квадратной (такое же количество строк и столбцов), как эта:

Матрица
(в ней 2 строки и 2 столбца)

Вычислим определитель этой матрицы:

3 × 6 – 8 × 4
= 18 – 32
= −14

Легко, а? Вот еще один пример:

Пример:

Символ для определителя – это две вертикальные линии с каждой стороны, например:

| B | = 1 × 4 – 2 × 3
= 4 – 6
= −2

(Примечание: это тот же символ, что и абсолютное значение.)

Для чего это нужно?

Определитель помогает нам найти обратную матрицу, говорит нам о матрице, которая полезна в системах линейных уравнений, исчислении и многом другом.

Расчет определителя

Прежде всего, матрица должна быть квадратной (т.е. иметь такое же количество строк, как и столбцов). Тогда это просто арифметика.

Для матрицы 2 × 2

Для матрицы 2 × 2 (2 строки и 2 столбца):

Определитель:

| A | = ad – bc
“Определитель A равен умножению на d минус b, умноженному на c”

Легко вспомнить, когда вы думаете о кресте:

  • Синий положительный (+ объявление),
  • Красный отрицательный (-bc)

Пример: найти определитель

Отвечать:

| C | = 4 × 8 – 6 × 3

= 32–18

= 14

Для матрицы 3 × 3

Для матрицы 3 × 3 (3 строки и 3 столбца):

Определитель:

| A | = a (ei – fh) – b (di – fg) + c (dh – eg)
«Определитель A равен. .. etc »

Может показаться сложным, но есть шаблон :

Для определения определителя матрицы 3 × 3 :

  • Умножьте на на определитель матрицы 2 × 2 , то есть не в строке или столбце .
  • Аналогично для b и для c
  • Суммируйте, но помните минус перед цифрой b

В виде формулы (помните, что вертикальные полосы || означают «определитель») :


“Определитель A равен умноженному на определитель… etc »

Пример:

| D | = 6 × (−2 × 7 – 5 × 8) – 1 × (4 × 7 – 5 × 2) + 1 × (4 × 8 – (−2 × 2))

= 6 × (−54) – 1 × (18) + 1 × (36)

= −306

Для матриц 4 × 4 и выше

Шаблон продолжается для матриц 4 × 4:

  • плюс a -кратный определитель матрицы, который равен , а не в строке или столбце ,
  • минус b , умноженное на определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце b ,
  • плюс c , умноженное на определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце c ,
  • минус d , умноженное на определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце d ,

В виде формулы:

Обратите внимание на шаблон + – + – (+ a… −b … + c … −d …). Это важно помнить.

Шаблон продолжается для матриц 5 × 5 и выше. Обычно для таких случаев лучше всего использовать Матричный калькулятор!

Не единственный путь

Этот метод расчета называется «разложением Лапласа», и мне он нравится, потому что его легко запомнить. Но есть и другие методы (чтобы вы знали).

Сводка

  • Для матрицы 2 × 2 определитель равен ad – bc
  • Для матрицы 3 × 3 умножьте на на определитель матрицы 2 × 2 , то есть на , а не на в строке или столбце , аналогично для b и c , но помните, что b имеет отрицательный знак!
  • Шаблон продолжается для больших матриц: умножьте на на определитель матрицы , то есть на , а не на на , строку или столбец , продолжайте так по всей строке, но помните + – + – шаблон.

718,2390,2391,2392,8477,719,2393,8478,8479,8480

Определитель матрицы – объяснение и примеры

Определитель матрицы – это скалярная величина огромной важности. С помощью определителя матриц мы можем найти полезную информацию о линейных системах, решить линейные системы, найти , обратный матрицы, и использовать его в исчислении. Давайте посмотрим на определение определителя:

Определитель матрицы – это скалярное значение, которое получается в результате определенных операций с элементами матрицы.

В этом уроке мы рассмотрим определитель, как найти определитель, формулу для определителя матриц $ 2 \ times 2 $ и $ 3 \ times 3 $, а также примеры, чтобы прояснить наше понимание определителей. . Давайте начнем!

Что такое определитель матрицы?

Определитель матрицы – это единственное постоянное значение (или скалярное значение), которое сообщает нам определенные вещи о матрице. Значение определителя является результатом определенных операций, которые мы выполняем с элементами матрицы.

Есть 3 способа обозначения определителя матрицы . Посмотрите на картинку ниже:

Слева находится матрица $ A $. Вот как мы пишем матрицу.

Справа – 3 $ обозначения определителей матриц. Определитель матрицы $ A $ можно обозначить записью $ det (A) $, $ | А | $, или поместив все элементы матрицы внутрь двух вертикальных полос (как показано). Все эти обозначения $ 3 $ обозначают определитель матрицы .

Как найти определитель матрицы

Итак, как найти определитель матриц?

Прежде всего, мы можем вычислить определитель только для квадратных матриц!

Определитель для неквадратных матриц отсутствует.

Теперь есть формула (алгоритм) для нахождения определителя любой квадратной матрицы. Это выходит за рамки этого урока. Скорее, мы будем искать определители матриц размером $ 2 \ times 2 $ и матриц $ 3 \ times 3 $.Формулу можно расширить, чтобы найти определитель матриц размером $ 4 \ times 4 $, но это слишком сложно, и беспорядочно!

Ниже мы рассмотрим формулу для матриц $ 2 \ times 2 $ и матриц $ 3 \ times 3 $ и увидим, как вычислить определитель таких матриц.

Формула определителя матрицы

В этом разделе мы найдем определитель матриц $ 2 \ times 2 $ и $ 3 \ times 3 $.

Определитель матрицы 2 x 2

Рассмотрим матрицу $ 2 \ times 2 $, показанную ниже:

$ A = \ begin {bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \ end {bmatrix} $

Формула для определителя матрицы $ 2 \ times 2 $ показана ниже:

$ det (A) = | А | = \ begin {vmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \ end {vmatrix} = ad – bc $

Примечание. Мы использовали $ 3 $ различных обозначений для обозначения определителя этого матрица

Чтобы найти определитель матрицы $ 2 \ times 2 $, мы берем произведение левого верхнего элемента и правого нижнего элемента и вычитаем из него произведение правого верхнего и левого нижнего Вход.

Рассчитаем определитель матрицы $ B $, показанной ниже:

$ B = \ begin {bmatrix} {1} & {3} \\ {- 3} & {2} \ end {bmatrix} $

Используя по только что выученной формуле можно найти определитель:

$ det (B) = | B | = \ begin {vmatrix} {1} & {3} \\ {- 3} & {2} \ end {vmatrix} $

$ = (1) (2) – (3) (- 3) $

$ = 2 + 9 $

$ = 11 $

Определитель матрицы $ B $ вычисляется равным 11 $.

Определитель матрицы 3 x 3

Теперь, когда мы узнали, как найти определитель матрицы $ 2 \ times 2 $, это станет полезным при нахождении определителя матрицы $ 3 \ times 3 $. Рассмотрим матрицу $ B $, показанную ниже:

$ B = \ begin {bmatrix} {a} & {b} & {c} \\ {d} & {e} & {f} \\ {g} & {h } & {i} \ end {bmatrix} $

Формула для определителя матрицы $ 3 \ times 3 $ показана ниже:

$ det (B) = | B | = a \ begin {vmatrix} {e} & {f} \\ {h} & ​​{i} \ end {vmatrix} – b \ begin {vmatrix} {d} & {f} \\ {g} & {i } \ end {vmatrix} + c \ begin {vmatrix} {d} & {e} \\ {g} & {h} \ end {vmatrix} $

Примечание:

  • Мы берем $ a $ и умножаем его на определитель матрицы $ 2 \ times 2 $, который равен , а не в строке и столбце $ a $
  • Затем мы вычитаем произведения $ b $ и определителя $ 2 \ умножить на 2 $ матрицу, которая равна , а не в строке и столбце $ b $
  • Наконец, мы прибавляем произведения $ c $ и определителя матрицы $ 2 \ times 2 $, которая равна , а не в строка и столбец $ c $

Используя формулу определителя матрицы $ 2 \ times 2 $, мы можем свести эту формулу к следующему:

$ det (B) = | B | = a (ei – fh) – b (di – fg) + c (dh – eg)

долл. США. Если вы не можете запомнить эту формулу (я знаю, это сложно!), просто запомните указанные выше баллы в размере 3 долл. США. .Также помните знаки скалярных величин, на которые вы умножаете каждый определитель. $ a $ положительно, $ b $ отрицательно, а $ c $ положительно.

Теперь рассмотрим матрицу $ 3 \ times 3 $, показанную ниже:

$ B = \ begin {bmatrix} {1} & {2} & {- 1} \\ {0} & {3} & {- 4} \\ {- 1} & {2} & {1} \ end {bmatrix} $

Давайте вычислим определитель этой матрицы, используя только что изученную формулу. Показано ниже:
$ B = \ begin {bmatrix} {1} & {2} & {- 1} \\ {0} & {3} & {- 4} \\ {- 1} & {2} & { 1} \ end {bmatrix} $
$ det (B) = | B | = 1 [(3) (1) – (- 4) (2)] – 2 [(0) (1) – (- 4) (- 1)] + (-1) [(0) (2) – (3) (- 1)] $
$ = 1 [3 + 8] – 2 [0 – 4] + (-1) [0 + 3] $
$ = 1 [11] – 2 [- 4] – 1 [3] $
$ = 11 + 8 – 3 $
$ = 16 $

Определитель матрицы $ 3 \ times 3 $ $ B $ равен 16 $.

Давайте взглянем на другие примеры, чтобы лучше понять детерминанты!


Пример 1

Учитывая $ C = \ begin {bmatrix} {- 9} & {- 2} \\ {3} & {- 1} \ end {bmatrix} $, найдите $ | C | $.


Решение

Нам нужно найти определитель матрицы $ 2 \ times 2 $, показанной выше. Воспользуемся формулой и найдем определитель. Показано ниже:

$ det (C) = | C | = \ begin {vmatrix} {- 9} & {- 2} \\ {3} & {- 1} \ end {vmatrix} $

$ = (- 9) (- 1) – (- 2) (3 ) $

$ = 9 + 6 $

$ = 15 $


Пример 2

Найти $ x $ по заданному $ \ begin {vmatrix} {1} & {x} \\ {8} & {2} \ end {vmatrix} = 34 $.


Решение

Нам уже дан определитель, и нам нужно найти элемент $ x $. Поместим это в формулу и решим для $ x $:

$ \ begin {vmatrix} {1} & {x} \\ {8} & {2} \ end {vmatrix} = 34 $

$ (1 ) (2) – (x) (8) = 34 $

$ 2 – 8x = 34 $

$ -8x = 34-2 $

$ – 8x = 32 $

$ x = – 4 $

Пример 3

Вычислите определитель матрицы $ D $, показанный ниже:

$ D = \ begin {bmatrix} {6} & {2} \\ {- 12} & {- 4} \ end {bmatrix} $

Решение

Мы будем использовать формулу для вычисления определителя матрицы $ D $.Показано ниже:

$ det (D) = | D | = \ begin {vmatrix} {6} & {2} \\ {- 12} & {- 4} \ end {vmatrix} $

$ = (6) (- 4) – (2) (- 12) $

$ = -24 + 24 $

$ = 0 $

Определитель этой матрицы равен $ 0 $!

Это особый тип матрицы. Это необратимая матрица, известная как сингулярная матрица . Чтобы узнать больше, проверьте здесь.

Практические вопросы
  1. Найдите определитель матрицы, показанной ниже:
    $ A = \ begin {bmatrix} – 5 & – 10 \\ 3 & – 1 \ end {bmatrix} $

  2. Найдите $ y $ по заданному $ \ begin {vmatrix} {1} & {3} & {- 1} \\ {5} & {0} & {y} \\ {- 1} & {2} & {3 } \ End {vmatrix} = – 60 $

Ответы
  1. Матрица $ A $, матрица $ 2 \ times 2 $, дана.Нам нужно найти его определяющий фактор. Мы делаем это, применяя формулу. Процесс показан ниже:

    $ det (A) = | А | = \ begin {vmatrix} {- 5} & {- 10} \\ {3} & {- 1} \ end {vmatrix} $

    $ = (- 5) (- 1) – (- 10) (3 ) $

    $ = 5 + 30 $

    $ = 35 $

  2. Нам уже дан определитель и нужно найти элемент $ y $. Подставим его в формулу для определителя матрицы $ 3 \ times 3 $ и решим относительно $ y $:

    $ \ begin {vmatrix} {1} & {3} & {- 1} \\ {5} & {0} & {y} \\ {- 1} & {2} & {3} \ end {vmatrix} = – 60 $
    $ 1 [(0) (3) – (y) (2)] – 3 [(5) (3) – (y) (- 1)] + (-1) [(5) (2) – (0) (- 1)] = – 60 $
    $ 1 [- 2y] – 3 [15 + y] + (-1) [10] = – 60 $
    $ – 2y – 45 – 3y – 10 = – 60 $
    $ – 5y – 55 = – 60 $
    $ – 5y = – 60 + 55 $
    $ – 5y = – 5 $
    $ y = 1 $

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Матрицы и детерминанты

Автор M Bourne

Зачем изучать Матрицу…?

Матрица – это просто набор чисел, расположенных в прямоугольной таблице.

`((2,4, -1,0), (1,3,7,2))`

Справа – пример матрицы 2 × 4. Он имеет 2 строки и 4 столбца. Обычно мы пишем матрицы в круглых скобках () или скобках [].

Мы можем складывать, вычитать и умножать матрицы вместе при определенных условиях.

Мы используем матрицы для решения одновременных уравнений, с которыми мы встречались ранее. Матрицы используются для решения задач в:

  • электроника
  • статика
  • робототехника
  • линейное программирование
  • оптимизация
  • пересечений самолетов
  • генетика

В этой главе мы видим некоторые из этих приложений, особенно в Матрицах и линейных уравнениях.

Для больших систем уравнений мы используем компьютер, чтобы найти решение. В этой главе сначала показаны основы матричной арифметики, а затем мы покажем несколько компьютерных примеров (с использованием Scientific Notebook или аналогичных), чтобы вы поняли, что компьютер делает за вас.

Вы можете пропустить следующую часть, если хотите сразу перейти к матрицам.

Детерминанты

Определитель матрицы представляет собой одно число. Мы получаем это значение путем умножения и сложения его элементов особым образом.Мы можем использовать определитель матрицы для решения системы одновременных уравнений.

Например, если у нас есть (квадратная) матрица 2 × 2:

`((5,7), (2, -3))`

, то определитель этой матрицы записывается в вертикальных линиях следующим образом:

`| (5,7), (2, -3) |`

В следующем разделе мы увидим, как оценивать этот детерминант. (Имеет значение -29).

В этой главе

1.Детерминанты – полученный из квадратной матрицы, определитель необходимо умножить, чтобы получить единственное число.

2. Большие детерминанты – этот раздел поможет вам понять меньшие детерминанты.

3. Матрицы – определение, особенности, единичная матрица и примеры

4. Умножение матриц – как умножать матрицы разного размера. Включает интерактив, где вы можете изучить концепцию.

5. Нахождение обратной матрицы – которую мы используем для решения систем уравнений.

6.Матрицы и линейные уравнения – как решать системы уравнений с матрицами


Мы начинаем главу с введения в детерминанты »

Определитель матрицы 3×3 – ChiliMath

Стандартная формула для поиска определителя матрицы 3 × 3 представляет собой разбиение более мелких задач определителя 2 × 2 , с которыми очень легко справиться. Если вам нужно напомнить что-то новое, посмотрите мой другой урок о том, как найти определитель 2 × 2. Предположим, нам дана квадратная матрица A, где,

Определитель матрицы A вычисляется как

Вот ключевые моменты:

  • Обратите внимание, что элементы верхней строки, а именно a, b и c, служат скалярными умножителями для соответствующей матрицы 2 на 2.
  • Скаляр a умножается на матрицу 2 × 2 оставшихся элементов, созданную, когда вертикальные и горизонтальные отрезки линии проходят через a.
  • Тот же процесс применяется для построения матриц 2 × 2 для скалярных множителей b и c.

Определитель матрицы 3 x 3 (анимированный)


Примеры того, как найти определитель матрицы 3 × 3

Пример 1: Найдите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Приведенная ниже настройка поможет вам найти соответствие между общими элементами формулы и элементами реальной проблемы.

Применяя формулу,


Пример 2: Вычислите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Будьте очень осторожны при замене значений в правильные места в формуле. Распространенные ошибки возникают, когда учащиеся становятся неосторожными на начальном этапе подстановки значений.

Кроме того, не торопитесь, чтобы убедиться, что ваша арифметика верна.В противном случае одна ошибка в вычислении приведет к неверному ответу.

С,

наше вычисление определителя становится…


Пример 3: Найдите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Наличие нуля (0) в первой строке должно значительно упростить наши вычисления. Помните, что эти элементы в первой строке действуют как скалярные множители. Следовательно, умножение нуля на что-либо приведет к исчезновению всего выражения.

Вот снова настройка, показывающая соответствующее числовое значение каждой переменной в формуле.

По формуле имеем…


Практика с рабочими листами

Возможно, вас заинтересует:

Детерминанты матрицы 2 × 2

3.2: Свойства детерминантов – математика LibreTexts

Свойства детерминантов I: примеры

Есть много важных свойств определителей.Поскольку многие из этих свойств включают операции со строками, которые обсуждались в главе 1, мы напомним это определение.

Определение \ (\ PageIndex {1} \): операции со строками

Операции со строками состоят из следующих

  1. Переключить два ряда.
  2. Умножить строку на ненулевое число.
  3. Заменить строку на сумму, кратную другой строке, добавленной к самой себе.

Теперь рассмотрим влияние операций со строками на определитель матрицы.В следующих разделах мы увидим, что использование следующих свойств может значительно помочь в поиске определителей. В этом разделе теоремы будут использоваться в качестве мотивации для предоставления различных примеров полезности свойств.

Первая теорема объясняет влияние на определитель матрицы переключения двух строк.

Теорема \ (\ PageIndex {1} \): переключение строк

Пусть \ (A \) будет матрицей \ (n \ times n \) и пусть \ (B \) будет матрицей, которая получается в результате переключения двух строк \ (A.\) Тогда \ (\ det \ left (B \ right) = – \ det \ left (A \ right). \)

Когда мы меняем две строки матрицы, определитель умножается на \ (- 1 \). Рассмотрим следующий пример.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): переключение двух строк

Пусть \ (A = \ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {array} \ right] \) и пусть \ (B = \ left [\ begin {array} { rr} 3 и 4 \\ 1 и 2 \ end {array} \ right] \). Зная, что \ (\ det \ left (A \ right) = -2 \), найдите \ (\ det \ left (B \ right) \).

Решение

По определению [def: twobytwodeterminant], \ (\ det \ left (A \ right) = 1 \ times 4 – 3 \ times 2 = -2 \). Обратите внимание, что строки \ (B \) являются строками \ (A \), но переключены. По теореме [thm: switchrows], поскольку две строки \ (A \) поменялись местами, \ (\ det \ left (B \ right) = – \ det \ left (A \ right) = – \ left (-2 \ справа) = 2 \). Вы можете проверить это, используя Определение [def: twobytwodeterminant].

Следующая теорема демонстрирует влияние на определитель матрицы умножения строки на скаляр.

Теорема \ (\ PageIndex {2} \): умножение строки на скаляр

Пусть \ (A \) будет матрицей \ (n \ times n \) и пусть \ (B \) будет матрицей, которая получается в результате умножения некоторой строки \ (A \) на скаляр \ (k \). Тогда \ (\ det \ left (B \ right) = k \ det \ left (A \ right) \).

Обратите внимание, что эта теорема верна, когда мы умножаем одну строку матрицы на \ (k \). 2 \ det \ влево (А \ вправо) \).п \ дет (А) \).

Рассмотрим следующий пример.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): умножение строки на 5

Пусть \ (A = \ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {array} \ right], \ B = \ left [\ begin {array} {rr} 5 & 10 \\ 3 & 4 \ end {array} \ right]. \) Зная, что \ (\ det \ left (A \ right) = -2 \), найдите \ (\ det \ left (B \ right) \) .

Решение

По определению [def: twobytwodeterminant], \ (\ det \ left (A \ right) = -2. \) Мы также можем вычислить \ (\ det \ left (B \ right) \), используя Определение [def: twobytwodeterminant] , и мы видим, что \ (\ det \ left (B \ right) = -10 \).

Теперь давайте вычислим \ (\ det \ left (B \ right) \), используя теорему [thm: multiplyingrowbyscalar], и посмотрим, получим ли мы тот же ответ. Обратите внимание, что первая строка \ (B \) равна \ (5 \) раз первой строке \ (A \), а вторая строка \ (B \) равна второй строке \ (A \) . По теореме [thm: multiplyingrowbyscalar] \ (\ det \ left (B \ right) = 5 \ times \ det \ left (A \ right) = 5 \ times -2 = -10. \)

Как видите, это соответствует нашему ответу выше.

Наконец, рассмотрим следующую теорему для последней операции со строкой, а именно о добавлении числа, кратного одной строке, к другой строке.

Теорема \ (\ PageIndex {3} \): Добавление кратной строки к другой строке

Пусть \ (A \) будет матрицей \ (n \ times n \) и пусть \ (B \) будет матрицей, которая получается в результате прибавления числа, кратного одной строке, к другой строке. Тогда \ (\ det \ left (A \ right) = \ det \ left (B \ right) \).

Следовательно, когда мы добавляем число, кратное одной строке, к другой строке, определитель матрицы не изменяется. Обратите внимание, что если матрица \ (A \) содержит строку, кратную другой строке, \ (\ det \ left (A \ right) \) будет равно \ (0 \).Чтобы убедиться в этом, предположим, что первая строка \ (A \) равна \ (- 1 \), умноженному на вторую строку. По теореме [thm: addmultipleofrow] мы можем добавить первую строку ко второй, и определитель останется неизменным. Однако эта строковая операция приведет к появлению ряда нулей. Используя разложение Лапласа по строке нулей, мы находим, что определитель равен \ (0 \).

Рассмотрим следующий пример.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): добавление строки в другую строку

Пусть \ (A = \ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {array} \ right] \) и пусть \ (B = \ left [\ begin {array} { rr} 1 и 2 \\ 5 и 8 \ end {array} \ right].\) Найдите \ (\ det \ left (B \ right) \).

Решение

По определению [def: twobytwodeterminant], \ (\ det \ left (A \ right) = -2 \). Обратите внимание, что вторая строка \ (B \) в два раза больше первой строки \ (A \), добавленной ко второй строке. По теореме [thm: switchrows] \ (\ det \ left (B \ right) = \ det \ left (A \ right) = -2 \). Как обычно, вы можете проверить этот ответ, используя Определение [def: twobytwodeterminant].

Пример \ (\ PageIndex {4} \): несколько строк в

Пусть \ (A = \ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2 \\ 2 & 4 \ end {array} \ right] \).Докажите, что \ (\ det \ left (A \ right) = 0 \).

Решение

Используя определение [def: twobytwodeterminant], определитель задается как \ [\ det \ left (A \ right) = 1 \ times 4 – 2 \ times 2 = 0 \]

Однако обратите внимание, что вторая строка равна \ (2 \) раз первой строке. Тогда согласно обсуждению выше, следующей теореме [thm: addmultipleofrow], определитель будет равен \ (0 \).

До сих пор мы в основном фокусировались на строковых операциях. Однако мы можем выполнять те же операции со столбцами, а не со строками.Три операции, описанные в определении [def: operations], могут выполняться со столбцами вместо строк. В этом случае в теоремах [thm: switchrows], [thm: multiplyingrowbyscalar] и [thm: addmultipleofrow] вы можете заменить слово «строка» словом «столбец».

Есть несколько других основных свойств определителей, которые не включают операции со строками (или столбцами). Первый – определитель произведения матриц.

Теорема \ (\ PageIndex {4} \): определитель продукта

Пусть \ (A \) и \ (B \) – две матрицы \ (n \ times n \).Тогда \ [\ det \ left (AB \ right) = \ det \ left (A \ right) \ det \ left (B \ right) \]

Чтобы найти определитель произведения матриц, мы можем просто взять произведение определителей.

Рассмотрим следующий пример.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): определитель продукта

Сравните \ (\ det \ left (AB \ right) \) и \ (\ det \ left (A \ right) \ det \ left (B \ right) \) для \ [A = \ left [\ begin {array } {rr} 1 & 2 \\ -3 & 2 \ end {array} \ right], B = \ left [\ begin {array} {rr} 3 & 2 \\ 4 & 1 \ end {array} \ right ] \]

Решение

Первое вычисление \ (AB \), которое задается \ [AB = \ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2 \\ -3 & 2 \ end {array} \ right] \ left [\ begin {массив} {rr} 3 & 2 \\ 4 & 1 \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {rr} 11 & 4 \\ -1 & -4 \ end {array} \ right] \] и поэтому по Определению [def: twobytwodeterminant] \ [\ det \ left (AB \ right) = \ det \ left [\ begin {array} {rr} 11 & 4 \\ -1 & -4 \ end {массив} \ right] = -40 \]

Теперь \ [\ det \ left (A \ right) = \ det \ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2 \\ -3 & 2 \ end {array} \ right] = 8 \] и \ [\ det \ left (B \ right) = \ det \ left [\ begin {array} {rr} 3 & 2 \\ 4 & 1 \ end {array} \ right] = -5 \]

Вычислив \ (\ det \ left (A \ right) \ times \ det \ left (B \ right) \), мы имеем \ (8 \ times -5 = -40 \).{-1}) = \ frac {1} {\ det (A)} \]

Рассмотрим следующий пример.

Пример \ (\ PageIndex {6} \): определитель обратимой матрицы

Пусть \ (A = \ left [\ begin {array} {rr} 3 & 6 \\ 2 & 4 \ end {array} \ right], B = \ left [\ begin {array} {rr} 2 & 3 \\ 5 & 1 \ end {array} \ right] \). Для каждой матрицы определите, является ли она обратимой. Если да, найдите определитель обратного.

Решение

Сначала рассмотрим матрицу \ (A \).{-1} \ right) & = & \ frac {1} {\ det (A)} \\ & = & \ frac {1} {- 13} \\ & = & – \ frac {1} {13} \ end {align} \]

Свойства детерминантов II: некоторые важные доказательства

Этот раздел включает некоторые важные доказательства по определителям и кофакторам.

Сначала напомним определение определителя. Если \ (A = \ left [a_ {ij} \ right] \) является матрицей \ (n \ times n \), то \ (\ det A \) определяется путем вычисления разложения по первой строке: \ [ \ label {E1} \ det A = \ sum_ {i = 1} ^ n a_ {1, i} \ mathrm {cof} (A) _ {1, i}.\] Если \ (n = 1 \), то \ (\ det A = a_ {1,1} \).

Следующий пример прост и настоятельно рекомендуется как средство для привыкания к определениям.

Пример \ (\ PageIndex {7} \):

(1) Пусть \ (E_ {ij} \) будет элементарной матрицей, полученной перестановкой \ (i \) th и \ (j \) th строк в \ (I \). Тогда \ (\ det E_ {ij} = – 1 \).

(2) Пусть \ (E_ {ik} \) будет элементарной матрицей, полученной умножением \ (i \) -й строки \ (I \) на \ (k \). Тогда \ (\ det E_ {ik} = k \).

(3) Пусть \ (E_ {ijk} \) будет элементарной матрицей, полученной умножением \ (i \) -й строки \ (I \) на \ (k \) и прибавлением ее к ее \ (j \) -й строке. ряд.Т \).

Многие доказательства в разделе используют принцип математической индукции. Эта концепция обсуждается в Приложении A.2 и рассматривается здесь для удобства. Сначала мы проверяем, что утверждение верно для \ (n = 2 \) (случай \ (n = 1 \) либо полностью тривиален, либо бессмысленен).

Далее мы предполагаем, что утверждение верно для \ (n-1 \) (где \ (n \ geq 3 \)), и докажем его для \ (n \). Как только это будет выполнено, по принципу математической индукции мы можем заключить, что утверждение верно для всех \ (n \ times n \) матриц для каждого \ (n \ geq 2 \).

Если \ (A \) является матрицей \ (n \ times n \) и \ (1 \ leq j \ leq n \), то матрица, полученная удалением \ (1 \) -го столбца и \ (j \) -я строка из \ (A \) является матрицей \ (n-1 \ times n-1 \) (мы будем обозначать эту матрицу как \ (A (j) \) ниже). Поскольку эти матрицы используются при вычислении сомножителей \ (\ mathrm {cof} (A) _ {1, i} \), для \ (1 \ leq i \ neq n \), индуктивное предположение применяется к этим матрицам.

Рассмотрим следующую лемму.

Лемма \ (\ PageIndex {1} \):

Если \ (A \) – матрица \ (n \ times n \) такая, что одна из ее строк состоит из нулей, то \ (\ det A = 0 \).

Доказательство

Мы докажем эту лемму, используя математическую индукцию.

Если \ (n = 2 \), это просто (проверьте!).

Пусть \ (n \ geq 3 \) таково, что каждая матрица размера \ (n-1 \ times n-1 \) со строкой, состоящей из нулей, имеет определитель, равный нулю. Пусть \ (i \) таково, что \ (i \) -я строка \ (A \) состоит из нулей. Тогда у нас есть \ (a_ {ij} = 0 \) для \ (1 \ leq j \ leq n \).

Зафиксируйте \ (j \ in \ {1,2, \ dots, n \} \) так, чтобы \ (j \ neq i \).n a_ {1, j} \ mathrm {cof} (A) _ {1, j} = 0 \], поскольку каждое из слагаемых равно 0.

Лемма \ (\ PageIndex {2} \):

Предположим, что \ (A \), \ (B \) и \ (C \) – матрицы \ (n \ times n \), которые для некоторых \ (1 \ leq i \ leq n \) удовлетворяют следующему.

  1. \ (j \) -ые строки всех трех матриц идентичны для \ (j \ neq i \).
  2. Каждая запись в \ (j \) -й строке \ (A \) является суммой соответствующих записей в \ (j \) -й строках \ (B \) и \ (C \).

Тогда \ (\ det A = \ det B + \ det C \).

Доказательство

Это несложно проверить на \ (n = 2 \) (обязательно проверяйте!).

Теперь предположим, что утверждение леммы верно для матриц \ (n-1 \ times n-1 \), и зафиксируем \ (A, B \) и \ (C \), как в утверждении. Предположения утверждают, что мы имеем \ (a_ {l, j} = b_ {l, j} = c_ {l, j} \) для \ (j \ neq i \) и для \ (1 \ leq l \ leq n \) и \ (a_ {l, i} = b_ {l, i} + c_ {l, i} \) для всех \ (1 \ leq l \ leq n \). Следовательно, \ (A (i) = B (i) = C (i) \), а \ (A (j) \) обладает тем свойством, что его \ (i \) -я строка является суммой \ (i \) -ые строки \ (B (j) \) и \ (C (j) \) для \ (j \ neq i \), в то время как другие строки всех трех матриц идентичны.n a_ {1, l} \ mathrm {cof} (A) _ {1, l} \\ & = \ sum_ {l \ neq i} a_ {1, l} (\ mathrm {cof} (B) _ { 1, l} + \ mathrm {cof} (C) _ {1, l}) + (b_ {1, i} + c_ {1, i}) \ mathrm {cof} (A) _ {1, i} \\ & = \ det B + \ det C \ end {align} \] Это доказывает, что утверждение верно для всех \ (n \), и завершает доказательство.

Теорема \ (\ PageIndex {7} \):

Пусть \ (A \) и \ (B \) будут \ (n \ times n \) матрицами.

  1. Если \ (A \) получается перестановкой \ (i \) th и \ (j \) th строк \ (B \) (на \ (i \ neq j \)), то \ (\ det A = – \ det B \).
  2. Если \ (A \) получается умножением \ (i \) -й строки \ (B \) на \ (k \), то \ (\ det A = k \ det B \).
  3. Если две строки \ (A \) идентичны, то \ (\ det A = 0 \).
  4. Если \ (A \) получается путем умножения \ (i \) -й строки \ (B \) на \ (k \) и добавления ее к \ (j \) -й строке \ (B \) (\ ( i \ neq j \)), то \ (\ det A = \ det B \).
Доказательство

Докажем все утверждения по индукции. Случай \ (n = 2 \) легко проверить напрямую (и настоятельно рекомендуется проверить его).

Мы предполагаем, что \ (n \ geq 3 \) и (1) – (4) верны для всех матриц размера \ (n-1 \ times n-1 \).

(1) Докажем случай, когда \ (j = i + 1 \), т.е. мы меняем местами две последовательные строки.

Пусть \ (l \ in \ {1, \ dots, n \} \ setminus \ {i, j \} \). Тогда \ (A (l) \) получается из \ (B (l) \) перестановкой двух его строк (нарисуйте картинку) и по нашему предположению \ [\ label {E2} \ mathrm {cof} (A) _ {1, l} = – \ mathrm {cof} (B) _ {1, l}. \]

Теперь рассмотрим \ (a_ {1, i} \ mathrm {cof} (A) _ {1, l} \).n b_ {1l} B_ {1l} = \ det B. \]

Таким образом, мы доказали случай (1), когда \ (j = i + 1 \). Для доказательства общего случая потребуется следующий факт. Если \ (i

(2) Это похоже на (1)… но намного проще. Предположим, что (2) верно для всех матриц \ (n-1 \ times n-1 \). У нас есть \ (a_ {ji} = k b_ {ji} \) для \ (1 \ leq j \ leq n \). В частности, \ (a_ {1i} = kb_ {1i} \), а для \ (l \ neq i \) матрица \ (A (l) \) получается из \ (B (l) \) путем умножения одного из его строки на \ (k \). Следовательно, \ (\ mathrm {cof} (A) _ {1l} = k \ mathrm {cof} (B) _ {1l} \) для \ (l \ neq i \), и для всех \ (l \) мы есть \ (a_ {1l} \ mathrm {cof} (A) _ {1l} = k b_ {1l} \ mathrm {cof} (B) _ {1l} \).По [E1] имеем \ (\ det A = k \ det B \).

(3) Это следствие (1). Если две строки \ (A \) идентичны, то \ (A \) равно матрице, полученной перестановкой этих двух строк и, следовательно, (1) \ (\ det A = – \ det A \). Отсюда следует \ (\ det A = 0 \).

(4) Предположим, что (4) верно для всех матриц \ (n-1 \ times n-1 \), и зафиксируем \ (A \) и \ (B \) так, что \ (A \) получается умножением \ (i \) -я строка \ (B \) на \ (k \) и добавление ее к \ (j \) -й строке \ (B \) (\ (i \ neq j \)), затем \ (\ det А = \ Дет В \).Если \ (k = 0 \), то \ (A = B \) и доказывать нечего, поэтому мы можем считать \ (k \ neq 0 \).

Пусть \ (C \) будет матрицей, полученной заменой \ (j \) -й строки \ (B \) на \ (i \) -ю строку \ (B \), умноженную на \ (k \). По лемме [lem: L2] мы имеем, что \ [\ det A = \ det B + \ det C \], и нам «только» нужно показать, что \ (\ det C = 0 \). Но \ (i \) -я и \ (j \) -я строки матрицы \ (C \) пропорциональны. Если \ (D \) получается путем умножения \ (j \) -й строки \ (C \) на \ (\ frac 1k \), то по (2) мы имеем \ (\ det C = \ frac 1k \ det D \) (напомним, что \ (k \ neq 0 \)!).Но \ (i \) -я и \ (j \) -я строки \ (D \) идентичны, следовательно, согласно (3) мы имеем \ (\ det D = 0 \) и, следовательно, \ (\ det C = 0 \ ).

Теорема \ (\ PageIndex {8} \):

Если \ (A \) – матрица \ (n \ times n \) такая, что одна из ее строк состоит из нулей, то \ (\ det A = 0 \).

Доказательство

Мы докажем эту лемму, используя математическую индукцию. n a_ {1, j} \ mathrm {cof} (A) _ {1, j} = 0 \], поскольку каждое из слагаемых равно 0.

Теорема \ (\ PageIndex {9} \):

Пусть \ (A \) и \ (B \) – две матрицы \ (n \ times n \). Тогда \ [\ det \ left (AB \ right) = \ det \ left (A \ right) \ det \ left (B \ right) \]

Доказательство

Если \ (A \) является элементарной матрицей любого типа, то умножение на \ (A \) слева имеет тот же эффект, что и выполнение соответствующей операции с элементарной строкой. Следовательно, равенство \ (\ det (AB) = \ det A \ det B \) в этом случае следует из примера [exa: EX1] и теоремы [thm: T1].

Если \ (C \) является элементом \ (A \), то мы можем записать \ (A = E_1 \ cdot E_2 \ cdot \ dots \ cdot E_m \ cdot C \) для некоторых элементарных матриц \ (E_1, \ dots, Эм\).

Теперь рассмотрим два случая.

Сначала предположим, что \ (C = I \). Затем \ (A = E_1 \ cdot E_2 \ cdot \ dots \ cdot E_m \) и \ (AB = E_1 \ cdot E_2 \ cdot \ dots \ cdot E_m B \). Применяя указанное выше равенство \ (m \) раз, а затем \ (m-1 \) раз, мы получаем, что \ [\ begin {align} \ det AB & = \ det E_1 \ det E_2 \ cdot \ det E_m \ cdot \ det B \\ & = \ det (E_1 \ cdot E_2 \ cdot \ dots \ cdot E_m) \ det B \\ & = \ det A \ det B.\ end {align} \]

Теперь предположим, что \ (C \ neq I \). Так как он находится в, его последняя строка состоит из нулей, а в соответствии с (4) примера [exa: EX1] последняя строка \ (CB \) состоит из нулей. По лемме [lem: L1] имеем \ (\ det C = \ det (CB) = 0 \) и, следовательно, \ [\ det A = \ det (E_1 \ cdot E_2 \ cdot E_m) \ cdot \ det (C) = \ det (E_1 \ cdot E_2 \ cdot E_m) \ cdot 0 = 0 \], а также \ [\ det AB = \ det (E_1 \ cdot E_2 \ cdot E_m) \ cdot \ det (CB) = \ det (E_1 \ cdot E_2 \ cdot \ dots \ cdot E_m) 0 = 0 \], следовательно, \ (\ det AB = 0 = \ det A \ det B \).

Та же «машина», что использовалась в предыдущем доказательстве, будет использоваться снова.Т \).

Приведенное выше обсуждение позволяет нам теперь доказать теорему [thm: welldefineddeterminant]. Это повторяется ниже.

Теорема \ (\ PageIndex {11} \):

Расширение матрицы \ (n \ times n \) по любой строке или столбцу всегда дает один и тот же результат, который является определяющим.

Доказательство

Сначала покажем, что определитель можно вычислить по любой строке. Случай \ (n = 1 \) неприменим, поэтому пусть \ (n \ geq 2 \).T \), который равен разложению кофактора по столбцу \ (1 \) в \ (A \). Таким образом, доказательство завершено.

Определитель матрицы 3×3 (общий и сокращенный метод)

Определитель матрицы 3×3 (общий и сокращенный метод)

Как мы видели в прошлых уроках, чтобы определить, что является определителем матрицы, нам нужно вернуться к нашему определению матрицы. Помните, что мы узнали, что матрица – это упорядоченный список чисел, заключенный в прямоугольную скобку.Этот список также можно назвать прямоугольным массивом, и он обеспечивает упорядоченный способ отображения «списка» информационных элементов. Если вы хотите более подробно ознакомиться с определением матрицы, вы можете вернуться к нашему уроку о нотации матриц.

Матрица описывает линейное преобразование или линейную карту, которая является своего рода транскрипцией между двумя типами алгебраических структур, такими как векторные поля. Таким образом, мы можем разрешить системы линейных уравнений, представив линейную систему в виде матрицы.Матричное представление линейной системы создается с использованием всех переменных коэффициентов, найденных в системе, и использования их в качестве элементов для построения прямоугольного массива расширенной матрицы соответствующего размера. В такой матрице результаты каждого уравнения из системы будут помещены справа от вертикальной линии, которая представляет знак равенства.

Зная это, в этом уроке основное внимание будет уделено процессу оценки определителя матрицы 3×3 и двум возможным методам, которые можно использовать.

Какой определитель матрицы

Используя знание того, что матрица представляет собой массив, содержащий информацию о линейном преобразовании, и что этот массив может быть согласован с коэффициентами каждой переменной в системе уравнений, мы можем описать функцию определителя: определитель будет масштабироваться линейное преобразование из матрицы, это позволит нам получить обратную матрицу (если она есть) и поможет в решении систем линейных уравнений, создав условия, при которых мы можем ожидать определенных результатов или характеристик от система (в зависимости от определителя и типа линейной системы, мы можем знать, можем ли мы ожидать уникального решения, более одного решения или вообще ни одного решения для системы).

Но есть условие для получения определителя матрицы, матрица должна быть квадратной матрицей, чтобы ее можно было вычислить. Следовательно, упрощенное определение состоит в том, что определитель – это значение, которое может быть вычислено из квадратной матрицы, чтобы помочь в разрешении систем линейных уравнений, связанных с такой матрицей. Определителя неквадратной матрицы не существует, математически определены только определители квадратных матриц.

Определитель матрицы можно обозначить просто как det A, det (A) или | A |.Это последнее обозначение происходит от обозначения, которое мы непосредственно применяем к матрице, определитель которой мы получаем. Другими словами, мы обычно записываем матрицы и их определители очень похожим образом:

Уравнение 1: Разница между обозначениями матрицы и определителя

Обратите внимание на разницу: матрица записана в прямоугольных скобках, а компоненты определителя матрицы окружены двумя прямыми линиями.

Сегодняшний урок будет сосредоточен на процессе вычисления определителя матрицы 3×3, используя подход свойств определителя матрицы, которые были кратко рассмотрены в прошлых уроках.Помните, что мы рассмотрим эту полную тему на следующем уроке, который называется: свойства детерминантов. Тем не менее, важно помнить об этих свойствах при выполнении расчетов упражнений в последнем разделе этого урока.

Как найти определитель матрицы 3×3

Существует два метода нахождения определителя матрицы 3×3: общий метод и сокращенный метод. Так же, как звучат названия каждого из них, общий метод является «формальным» методом для математического использования, следуя всем правилам и производя некоторые второстепенные вычисления определителя матрицы по пути нахождения окончательного решения.Хотя метод быстрого доступа – это более хитрый трюк, который мы можем использовать для упрощения вычислений, при этом стараясь не забыть числа, порядок, в котором они должны быть умножены, и некоторые перестановки элементов в матрице.

После того, как вы взглянете на оба метода, чтобы найти определитель матрицы 3×3, вы всегда можете выбрать тот, который вам больше всего подходит, и использовать его для своих исследований, но помните, что важно знать оба из них, на случай, если вас когда-нибудь спросят. сравнить результаты с ними.

Итак, без дальнейших задержек, давайте определим определитель матрицы 3×3 A, как показано ниже, чтобы мы могли наблюдать, как его можно вычислить обоими методами:

Уравнение 2: Определитель матрицы A
  • Общий метод

    Общий метод получения определителя матрицы 3×3 состоит из разбиения матрицы на вторичные матрицы меньших размеров в процессе, называемом «расширением первой строки». Этот процесс использует элементы из первой строки матрицы 3×3 и использует их как множители в сумме умножений, при которой большая матрица перераспределяется.

    Давайте шаг за шагом рассмотрим, как вычислить определитель матрицы 3×3:

    1. Сначала вы берете первый элемент первой строки и умножаете его на вторичную матрицу 2×2, которая получается из элементов, оставшихся в матрице 3×3, которые не принадлежат строке или столбцу, к которому принадлежит ваш первый выбранный элемент.

      Взяв в качестве ссылки определитель матрицы 3×3, показанный в уравнении 2, мы строим первую часть результата этой операции, выбирая первый элемент первой строки и столбца (который является константой “a”), а затем умножаем его на матрица, созданная из четырех элементов, которые не принадлежат ни одной строке столбца, в котором находится “a”.Умножьте «a» на полученную вторичную матрицу 2×2, и это будет первый член решения.

    2. Второй член начинается со второго элемента в верхней строке (константа «b»), сопровождаемого отрицательным знаком, который теперь умножает вторичную матрицу 2×2, которая снова получается из четырех элементов в матрице, которые не принадлежат в любой столбец строки, в которой находится “b”.
    3. Повторяем первый шаг, но уже с третьим элементом из верхней строки матрицы.

    Итак, определитель матричной формулы 3×3 для общего метода:

    Уравнение 3: Уравнение для определителя матрицы 3×3 посредством общего метода

    Процесс называется расширением первой строки, потому что, как вы можете видеть в уравнении 3, все элементы из первой строки исходной матрицы 3×3 остаются основными факторами в расширении, для которого необходимо решить. Все матрицы 2×2 в раскрытии – это то, что мы называем «вторичными матрицами», и их можно легко разрешить, используя уравнение, изученное на определителе на уроке по матрице 2×2.

    Итак, принимая во внимание формулу для определителя квадратной матрицы размером 2×2, мы видим, что уравнение 3 дает:

    Уравнение 4: Уравнение для определителя матрицы 3×3 посредством общего метода (часть 2)

    На этом этапе вы, возможно, заметили, что поиск определителя матрицы размером больше 2×2 становится долгим испытанием, но логика процесса остается той же, и поэтому сложность аналогична, единственный ключевой момент – отслеживать операции вы прорабатываете даже больше с матрицами даже большего размера, чем 3×3.

  • Сокращенный метод

    Определитель метода быстрого доступа к матрице 3×3 – это хитрый прием, который упрощает вычисление определителя большой матрицы путем прямого умножения и добавления (или вычитания) всех элементов в их необходимом виде, без необходимости пройти через матричное расширение первой строки и без необходимости оценивать детерминанты вторичных матриц.

    Весь процесс того, как оценить определитель матрицы 3×3, используя сокращенный метод, можно увидеть в уравнении ниже:

    Уравнение 5: Быстрый метод получения определителя матрицы 3×3

    Теперь давайте поясним метод быстрого доступа:

    При вычислении определителя матрицы размера nxn (в данном случае матрицы 3×3), как показано выше, обратите внимание, что мы сначала переписываем матрицу, сопровождаемую повторением двух первых столбцов, которые теперь записываются снаружи с правой стороны.

    Тогда значение определителя будет результатом вычитания между сложением произведений всех умножений вниз-вправо и умножений вниз-влево. Сказано более ясно, в общей сложности будет три полных диагонали, идущих от верхнего левого угла до нижнего правого, и еще один набор из трех полных диагоналей, идущих от верхнего правого угла до нижнего левого угла.

    Мы умножим элементы каждой диагонали вместе, а затем сложим их с результатами, полученными на других диагоналях.Есть кое-что, что нужно иметь в виду, все умножения диагоналей, идущие от верхнего левого угла к нижнему правому, имеют внутренний положительный знак, умноженный на них, в то время как все умножения диагоналей, идущие сверху справа налево, имеют внутренний отрицательный знак, умноженный на них. к ним, и поэтому при сложении результатов всех умножений получится вычитание, подобное тому, которое показано в уравнении 5.

    Хотя этот метод проще в применении, чем общий метод, его немного сложно объяснить из-за того, что все операции умножения и сложения выполняются одновременно, поэтому мы рекомендуем вам использовать уравнение 5 в качестве руководства и уделять пристальное внимание к видео, где демонстрируются примеры этого метода.

    В последнем разделе этого урока мы проработаем набор из трех различных матриц 3×3 и их детерминанты. Мы рекомендуем вам сравнить процессы для обоих методов, чтобы лучше понять их.

Определитель большой матрицы

Процесс оценки определителя матрицы большей размерности, чем 3×3, следует той же логике, что и то, что мы видели до сих пор. Используя общий метод на матрице A 4×4, где ее первая (верхняя) строка соответствует элементам a, b, c и d, мы вычисляем определитель матрицы следующим образом:

Уравнение 6: Определитель матрицы 4×4

Мы еще раз расширили определитель на его первую строку и получили вторичные матрицы, которые в данном случае являются матрицами 3×3, каждая из которых может быть расширена и разбита на матрицы 2×2.Шаблон в процессе повторяется, вы можете продолжать работать таким образом с еще более крупными квадратными матрицами, и он всегда будет работать, но если вам больше нравится метод ярлыков, то вас ждет удовольствие, поскольку метод работает точно так же как и в случае с матрицами 3×3, он просто увеличивает количество элементов, с которыми вы работаете, но логика и перестановка точно такие же (умножение сверху слева вниз справа имеет положительный знак, умножения из верхнего правого угла в нижний левый имеют внутренний отрицательный знак).

Вы взволнованы, увидев, как сокращенный метод работает с матрицами большего размера? Мы рекомендуем вам попробовать это самостоятельно, чтобы вы могли увидеть весь процесс. Вы всегда можете вернуться и решить ту же матрицу, используя общий метод, и доказать, что ваш результат верен.

Упражнения по вычислению определителя матрицы 3×3

В следующих упражнениях мы решим определитель матрицы 3×3, предоставленной в каждом случае, с помощью соответствующего метода, а в конце мы сравним полученные результаты.

Обратите внимание, что матрицы A, B и C, представленные в обоих разделах упражнений выше, абсолютно одинаковы. Это было сделано специально, чтобы вы могли сравнить результаты обоих методов и посмотреть, как они дают одинаковые значения.

Чтобы завершить этот урок, мы хотели бы порекомендовать вам эту статью о том, как вычислить определители, и другую статью о определителе квадратной матрицы, где вы найдете гораздо больше примеров, чем приведенные здесь.

Надеемся, этот урок был интересным и полезным, до встречи в следующем!

Введение в матрицы для начинающих – Часть II | Риши Сидху

Матричные операции используются повсюду, от разработки игр до запуска ракет.

В первой части мы обсудили основные операции, такие как сложение, вычитание и умножение.В этой части давайте посмотрим, как можно вычислить определитель матрицы и что означает термин , обратная матрица .

Продолжая предыдущий пример, возьмем нашу квадратную матрицу ( квадратная матрица – это матрица, в которой количество строк равно количеству столбцов )

Квадратная матрица с m = 3, n = 3 | A ( mxn)

Определителем этой матрицы будет одно число. Это не будет матрица. Определитель можно рассматривать как функцию, преобразующую матрицу в число.Определитель матрицы A записывается как | A | .

определитель матрицы 2×2

Определитель существует только для квадратных матриц. Это свойство именно квадратных матриц. Для определителя матрицы 3×3 вычисление будет выглядеть так:

Обратите внимание на шаблон + – + – (+ a… −b… + c… −d…). Это важно помнить. Этот шаблон продолжается для матриц 4×4 и выше. Этот метод вычисления определителя называется разложением Лапласа . Это ни в коем случае не единственный метод, есть и другие методы.

Определители не только используются в качестве вычислительных инструментов (для решения линейных уравнений, для вычисления площадей и объемов), но они также имеют важное применение в механике. Их можно использовать для расчета устойчивости фермы или других механических конструкций.

По иронии судьбы детерминант чаще всего используется в его нулевой природе. Если определитель матрицы равен 0, то это ситуация, требующая внимания.Хорошо это или плохо, зависит от приложения.

Обратная матрица

В математике обратное число записывается как

Таким образом, умножение числа на обратное всегда дает 1. (Если число не равно 0, в этом случае обратное число не определено).

Для матриц логика работает так же. Если существует обратная матрица , то умножение матрицы на ее обратное дает единичную матрицу. Здесь следует обратить внимание на два момента

  • Обратный существует, если 1) матрица является квадратной и 2) ее определитель не равен нулю.
  • Матрица идентичности имеет все элементы, кроме главной диагонали, равными 0.Все основные диагональные элементы равны 1. Единичная матрица всегда обозначается буквой I.

Это очень своеобразная матрица, потому что если вы попытаетесь умножить ее на другую матрицу размером м x 3 , результатом будет та же самая матрица. .

Зачем нужна инверсия

В мире матриц нет операции деления. Итак, если вам нужно решить для X в уравнении формы, где A, X и B – все матрицы

Единственный способ сделать это – взять обратное значение A.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *