Ранг матрицы. Подробный пример решения
Чтобы найти ранг матрицы необходимо привести ее к треугольному виду, с помощью которого можно будет либо найти определитель, либо миноры матрицы. Ранг определителя или минора отличного от нуля и будет являться рангом всей матрицы.
Пример №1. Исходная матрица имеет размерность 3×4.| 3 | 4 | 2 | 7 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 6 | 8 | 4 | 14 |
Решение будем искать с помощью данного калькулятора. Работаем с первым столбцом. Умножим первую строку на 4, а 2-ую строку на (-3). Добавим 2-ую строку к 1-ой.
| 0 | 13 | 2 | 19 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 6 | 8 | 4 | 14 |
| 0 | 13 | 2 | 19 |
| 0 | -26 | -4 | -38 |
| 6 | 8 | 4 | 14 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -26 | -4 | -38 |
| 6 | 8 | 4 | 14 |
| 0 | -26 | -4 | -38 |
| 6 | 8 | 4 | 14 |
Пример №2.
Рассмотрим пример для матрицы размерностью 3×3.
| 7 | 8 | 1 |
| -2 | 2 | 8 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 2 | 8 | |
| 7 | 8 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 30 | 58 |
| 7 | 8 | 1 |
| 0 | 0 | -28 |
| 0 | 30 | 58 |
| 7 | 8 | 1 |
Количество строк и столбцов матрицы равны, можно найти ее определитель: detA = (-28)·30·7 / 210 = -28 > 0
где z = 7·30 = 210 – произведение чисел, на которые умножали строки матрицы при приведении к треугольному виду (см.
Определитель ≠ 0, поэтому ранг матрицы равен количеству строк, т.е. r=3.
Перейти к онлайн решению своей задачи
Алгебраическое дополнение к элементу определителя матрицы: нахождение, свойства
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel.ru Математика Алгебра Алгебраическое дополнение матрицы
- Определение и нахождение алгебраического дополнения
- Свойства алгебраического дополнения
Определение и нахождение алгебраического дополнения
Алгебраическое дополнение Aij к элементу aij определителя n-го порядка – это число Aij = (-1)i+j · Mij, где M – это минор матрицы.
Пример
Вычислим алгебраическое дополнение A32 к a32 определителя ниже:
Решение
Свойства алгебраического дополнения
1. Если просуммировать произведения элементов произвольной строки и алгебраических дополнений к элементам строки i определителя, то получится определитель, в котором вместо строки i стоит данная произвольная строка.
2. Если просуммировать произведения элементов строки (столбца) определителя и алгебраических дополнений к элементами другой строки (столбца), то получится ноль.
3. Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя и алгебраических дополнений к элементам данной строки (столбца) равняется определителю матрицы.
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Как решить равенство матриц?
Равенство матриц — это математическое понятие, при котором две или более матриц равны при сравнении.
Прежде чем изучать концепцию равенства матриц, нам нужно знать, что такое матрица. Массив чисел или символов прямоугольной или квадратной формы, организованный в строки и столбцы для представления математического объекта или одного из его атрибутов, в математике называется матрицей. Горизонтальные линии называются строками, а вертикальные — столбцами. Например, это матрица с 3 строками и 3 столбцами. Ее можно назвать матрицей «3 на 3», и она является квадратной матрицей. С другой стороны, это матрица 2 на 3 и прямоугольная матрица.
Что такое равенство матриц?
Когда две или более матриц равны, это называется равенством матриц. Матрицы считаются равными, если они имеют одинаковое количество строк и столбцов, а также одинаковое количество элементов. Равенство матриц не выполняется ни для одного из ранее упомянутых условий. Две матрицы называются неравными, если порядок матриц не равен или хотя бы одна пара соответствующих элементов не равна. Это понятие актуально как для прямоугольных, так и для квадратных матриц.
Условия для матриц равенства
Равенство матриц — это концепция матриц, которые определяются путем сравнения двух или более матриц, имеющих одинаковые размеры и все одинаковые соответствующие элементы. Если «A = [a ij ] m×n » и «B = [b ij ] p×q » являются двумя матрицами, то следующие три требования к матричному равенству для матриц:
- Число строк в матрицах A и B одинаково, т. е. m = p.
- Количество столбцов в матрицах A и B одинаково, т. е. n = q.
- Для любых i и j соответствующие элементы A и B равны, т. е. a ij = b ij .
Пример:
Скажи . Найдите значения a и z.
Поскольку порядок двух матриц одинаков, матрицы равны тогда и только тогда, когда их соответствующие элементы также равны.
Таким образом, сравнивая a и c с соответствующими элементами другой матрицы, мы имеем a = 69и z = 420.
Решение равенства матриц
Мы узнали, что подразумевается под равенством матриц, а также условия, необходимые для равенства матриц.
Теперь решим равенство матриц. Например, рассмотрим две матрицы: A = [aij] и B = [bij]. Теперь две матрицы A и B называются равными тогда и только тогда, когда порядок обеих матриц одинаков, а также равны их соответствующие элементы, т. е. a ij = b ij для всех i и j.
Сначала рассмотрим две одинаковые матрицы A и B.
Так как данные матрицы равны, то A = B. матриц выполняется тогда и только тогда, когда соответствующие элементы также равны.
Итак, 2a + 3b = 5 ⇢ (1)
a + b = 1 ⇢ (2)
a = 1 − b ⇢ (3)
Теперь подставим значение a = 1 − b в уравнение (1)
⇒ 2 (1 − b) + 3b = 5
⇒ 2 − 2b + 3b = 5
⇒ 2 + b = 5
⇒ b = 5 − 2 = 3
Теперь подставим значение b =3 в уравнении (3)
⇒ a = 1 − 3 = −2
Таким образом, данные матрицы называются равными, если a = −2 и b = 3.
Примеры задач
Задача 1. Равны ли матрицы и ?
Решение:
Данные матрицы имеют одинаковый порядок, а значит, имеют одинаковое количество строк и столбцов.
В результате выполнен первый критерий равенства матриц. Первое условие равенства матриц выполнено. Теперь необходимо рассмотреть второе условие, т. е. равенство соответствующих элементов. Как видно, элемент в первой строке и первом столбце первой матрицы равен 2 в первой матрице и -1 во второй матрице, что указывает на то, что не все элементы равны.
Следовательно, две матрицы не равны.
В результате выполнен первый критерий равенства матриц. Первое условие равенства матриц выполнено. Теперь необходимо рассмотреть второе условие, т. е. равенство соответствующих элементов. Как видно, элемент в первой строке и первом столбце первой матрицы равен 2 в первой матрице и -1 во второй матрице, что указывает на то, что не все элементы равны.Задача 2. Найдите значения a, b, x, если A = [a+b 6 8 2x 3b] и B = [3 6 8 14 9] равны.
Решение:
Так как матрицы A и B равны, то их соответствующие элементы также равны. Имеем
a + b = 3, 2x = 14, 3b = 9
⇒ x = 24/2 = 12, b = 9/3 = 3
⇒ a + 3 = 3 [Из b = 3]
⇒ а = 0,
⇒ a = 0, b = 3, x = 7
Задача 3. Если , найдите значения a, b, x и y. (3) -5 ⇢ (4)
Решая уравнения (1) и (2),
x = 2y + 4 [Из (2)]
Подставляя вышеизложенное в (1),
3(2y + 4) + 4г = 2
⇒ 6г + 12 + 4г = 2
⇒ 10y = 2 – 12
⇒ 10y = -10
⇒ y = -1
⇒ x = 2(-1) + 4
= -2 + 4
2,000 решение уравнения (3) и (4), мы имеем a = 0 и b = 5.
Задача 4: Из определения равенства матриц определите, равны ли приведенные ниже матрицы или нет.
Решение:
Порядок данных матриц M и N равен «3 × 2», т. е. они имеют 3 строки и 2 столбца. Таким образом, обе матрицы имеют одинаковое количество строк и столбцов. Итак, первые два условия равенства матриц выполнены.
Теперь давайте проверим соответствующие элементы данных двух матриц. Мы видим, что элемент во второй строке и втором столбце матрицы M равен 5, тогда как матрица N равна 7. Поскольку 3 ≠ 7, данные матрицы не удовлетворяют третьему условию, т. е. соответствующие элементы заданного матрицы должны быть одинаковыми.
Следовательно, заданные матрицы M и N не равны.
Задача 5. Если матрицы A и B равны и A = [6 -12 18 24], то что такое матрица B?
Решение:
Учитывая, что матрицы A и B равны.
Порядок матрицы A — «1 × 4».
Значит, порядок матрицы B должен быть таким же, т. е. «1 × 4».
Мы знаем, что равенство матриц выполняется для тех, которые имеют одинаковые размерности и все одинаковые соответствующие элементы.
Теперь искомая матрица B = [6 -12 18 24].
Задача 6. Если , найдите значения x и y.
Так как матрицы A и B заданы равными, то их соответствующие элементы также равны. У нас есть
x + y = -7
x – y = 2
Складывая два уравнения, мы имеем:
2x = -5
x = -5/2
Итак -5/2 -2 = 7
y = 9/2
Задача 7. Равны ли матрицы и ?
Решение:
Данные матрицы имеют одинаковый порядок, а значит, имеют одинаковое количество строк и столбцов. В результате выполнен первый критерий равенства матриц.
Следовательно, две матрицы не равны.
Первое условие равенства матриц выполнено. Теперь необходимо рассмотреть второе условие, т. е. равенство соответствующих элементов. Как видно, элемент во второй строке и втором столбце первой матрицы равен 4 в первой матрице и 5 во второй матрице, что указывает на то, что не все элементы равны.Часто задаваемые вопросы о равенстве матриц
Вопрос 1: Что такое равенство матриц?
Ответ:
Равенство матриц — это понятие матриц, которое определяется путем сравнения двух или более матриц, имеющих одинаковые размеры и все одинаковые соответствующие элементы.
Вопрос 2: Каковы условия равенства матриц?
Ответ:
Ниже приведены необходимые условия равенства для матриц A = [a ij ] m×n и B = [b ij ] 2 q 10 p чтобы быть правдой:
Матрицы A и B должны иметь одинаковое количество строк, т.
Матрицы A и B должны иметь одинаковое количество столбцов, т. е. n = q.
Соответствующие элементы матриц A и B должны быть равны, т. е. a ij = b ij для всех i и j.
е. m = p. Вопрос 3: Как доказать, что две матрицы равны?
Ответ:
Чтобы доказать равенство двух матриц, нужно доказать, что порядок данных матриц равен, т. е. одинаковое количество строк и столбцов, а также равны и соответствующие элементы .
Вопрос 4: Как решить равенство матриц?
Ответ:
Две равные матрицы можно решить, сравнив их соответствующие элементы. Если есть какие-то неизвестные переменные, то решить их, приравняв их соответствующим элементам в другой матрице.
Стратегии Как решать задачи IQ с матрицами Равенса
В этом уроке вы получите следующее:
- Объяснение того, что такое тесты IQ с матрицами и как они используются
- Учебное пособие по стратегиям решения задач Advanced Raven Matrices Test с примерами
- Ссылка на оригинальный тест Raven Progressive Matrices — чтобы вы могли проверить себя
- Ссылки на дополнительные ресурсы для тестирования матриц
Матричные тесты IQ
Матричный тест — это невербальный IQ-тест с несколькими вариантами ответов, который измеряет ваш подвижный интеллект (Gf) — вашу способность рассуждать и решать проблемы.
Подвижный интеллект — это основной компонент g — вашего общего интеллекта.
В каждом задании испытуемого просят определить недостающий элемент, который завершает набор фигур. Шаблоны представлены в виде матрицы 4 × 4, 3 × 3 или 2 × 2, что и дало название тесту. Пример теста матриц показан здесь, начиная с Smart-kit.com.
Из-за простоты их использования и интерпретации, а также независимости от языка и навыков чтения и письма, матричные тесты имеют широкое практическое применение — в качестве меры интеллекта среди населения в целом как для взрослых, так и для детей, для кандидатов на работу, как психометрический тест для кандидатов в вооруженные силы и для оценки клинических (например, аутистических) групп населения.
Стратегии получения высокого балла на тесте по матрицам
Каждый тест Raven имеет одинаковый формат: матрица 3 x 3, в которой отсутствует правая нижняя запись, и ее необходимо выбрать из 8 альтернатив.
Решение задач типа матриц Raven по существу требует выяснения основных правил , которые объясняют последовательность форм.
Вот пример, чтобы попытаться выяснить:
Правильный ответ: 5. Варианты записей в строках и столбцах этой задачи можно объяснить тремя правилами.
1. Каждый ряд содержит 3 фигуры (треугольник, квадрат, ромб).
2. В каждом ряду по 3 полосы (черная, полосатая, прозрачная).
3. Ориентация каждой полосы одинакова в пределах строки, но различается от строки к строке (вертикальная, горизонтальная, диагональная).
Из этих 3 правил можно вывести ответ (5).
5 правил решения задач с матрицами (Расширенный тест по матрицам)
Джон Рэйвен разработал все задачи для своего расширенного теста по матрицам на основе пяти основных типов правил. Каждая проблема может иметь комбинации разных правил или разные экземпляры одного и того же правила.
Чтобы эффективно решать задачи Advanced Raven Matrices Test, полезно изучить некоторые правила.
Вот правила:
1. Константа подряд.
Это «правило 3» в приведенном выше примере матрицы — ориентация полосы одинакова в каждой строке, но меняется вниз по столбцу.
2. Количественная прогрессия. Увеличение или уменьшение между соседними записями по размеру, позиции или количеству. Пример этого правила показан ниже:
Правильный ответ: 3. Количество черных квадратов в каждой записи увеличивается в верхней строке с 1 до 2 и далее до 3. Аналогичным образом количество черных квадратов в первом столбце уменьшается с 3 до 2 до 1.
3. Сложение или вычитание цифр. Цифра из одного столбца прибавляется или вычитается из другого столбца для получения третьего. Пример приведен ниже:
Правильный ответ 8
4. Распределение 3 значений. В каждой строке всегда присутствуют три значения категории, например формы. Два примера этого правила показаны в первой матрице, которую мы рассмотрели выше.
Каждый ряд содержит 3 формы (треугольник, квадрат, ромб), и в каждом ряду есть 3 полосы (черный, полосатый, прозрачный).
5. Распределение 2 значений. Два значения категории, например формы, всегда присутствуют в каждой строке, а третье пустое/нерелевантное. Пример этого приведен ниже.
Правильный ответ: 5. Каждый элемент фигуры (горизонтальная линия, вертикальная линия, V-образная форма) встречается два раза в каждой строке.
Поиск соответствующих элементов
В задачах с более чем одним правилом решатель задач должен выяснить, какие элементы головоломки подчиняются одному и тому же правилу — то, что можно назвать «нахождением соответствия».
Пример задачи на соответствие показан ниже:
Правильный ответ: 5. Выяснение того, что соответствует чему, требует, чтобы вы сформировали в уме 