Матрицы конспект: Конспект лекц. 1-ый семестр

Перемножать можно только матрицы, у которых количество столбцов первой равно количеству строк второй. Произвольные матрицы перемножать нельзя.

П р и м е р. Найдите произведение матриц

  и  .

       Р е ш е н и е. Согласно формуле (1),  имеем

,

,

,

,

.

Значит,

.

Рассмотренные  операции с матрицами обладают теми же свойствами, что и операции сложения и умножения для вещественных чисел, за исключением произведения матриц, которое не коммутативно, т.е. . В этом можно убедиться с помощью следующего примера для матриц   и   . Находим произведения

,

.

Как видим, .

Каждой квадратной матрице по определённому правилу можно поставить в соответствие единственное число.

                                .

Порядок определителя равен порядку квадратной матрицы.

       Определитель второго порядка вычисляется следующим образом

,                                                (2)

т.е.  из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол), вычитается произведение элементов, находящихся на  побочной диагонали (идущей из левого нижнего в правый верхний угол).

П р и м е р. Вычислите определитель матрицы .

Р е ш е н и е. Значения элементов матрицы ,  т.е.

Подставляем в формулу (2) и получаем

.

       Определитель третьего порядка вычисляется с помощью формулы

                 (3)

З а м е ч а н и е.   Чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников (правило Саррюса). Оно заключается в следующем. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются на главной диагонали и в вершинах треугольников,  симметричных относительно главной диагонали     

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «–», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали

П р и м е р. Вычислите определитель матрицы .

Р е ш е н и е. Подставляем значения элементов матрицы в формулу (3) и находим величину заданного определителя

       Для вычисления определителей третьего порядка можно пользоваться ещё  правилом   «35». Согласно этому правилу к заданной матрице

добавляют ещё первые два столбца

.

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются на главной диагонали и на отрезках, параллельных главной диагонали

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «–», располагаются на побочной диагонали и на отрезках, параллельных побочной диагонали

.

Определитель  равен сумме указанных произведений элементов  с учетом их знаков.

 Основные свойства определителей

Рассмотрим основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка

С в о й с т в о   1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

.                                                       (4)

Действительно, 

,

=,

Из чего следует справедливость равенства (4).

  Из свойства 1 следует, что  свойствами определителей, сформулированные для строк будут такими же как и для столбцов. Поэтому  следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк.

С в о й с т в о 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число  определитель умножается на это число, т.е.

В справедливости этого свойства можно убедиться, вычислив эти определители

Свойство 3. Определитель  равен нулю в следующих случаях:

a)    одна из строк нулевая

,

б) две равные строки

в)  элементы двух строк  пропорциональны

В справедливости перечисленных свойств легко убедиться с помощью формулы (3).

С в о й с т в о 4. Если две какие-либо строки определителя поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный

Доказательство этого свойства выполняется с помощью формулы (3).

С в о й с т в о  5. Если в определителе некоторая строка, например, первая является линейной комбинацией  двух строк с коэффициентами    и  

,

то определитель будет равен сумме двух определителей, определяемых формулой

Справедливость этого свойства можно доказать, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью формулы (3).

С в о й с т в о  6. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число

       Минором  к элементу  матрицы  -го порядка называется определитель -го порядка той матрицы, которая получается  из матрицы  в результате вычёркивания -ой строки и -го столбца.

О п р е д е л е н и е. Матрица В называется обратной матрице А, если

АВ=ВА=Е.

Символически обратная матрица обозначается  . Вычисляется обратная матрица с помощью формулы

где   – алгебраическое дополнение к элементу .

 Вырожденной матрицей называется матрица, у которой определитель равен 0.

Обратные матрицы могут иметь только невырожденные матрицы.

П р и м е р. Найти  матрицу, обратную к матрице  .

Р е ш е н и е. Вычисляем определитель

.

Так как определитель матрицы не равен нулю, то  существует. Найдем алгебраические дополнения:

      ;      

;                 

   ;    

Подставляем найденные значения определителя матрицы и алгебраических дополнений в формулу (5) и  получаем искомое значение обратной матрицы

.

Выполним  проверку, для чего вычислим

и

Как видим, оба произведения равны единичной матрице. Значит, обратная матрица вычислена  верно.

Рангом матрицы А называется число r, удовлетворяющее следующим двум требованиям:

1.             Существует минор  порядка r.

2.             Все миноры порядка r+1 равны 0.

Наиболее простой способ вычисления ранга матрицы сводится к приведению матрицы к трапециидальному виду.

Пример:

Определить ранг матрицы А.

Домножаем первую строчку так, чтобы во второй и третьей получились нули. В данном случае домножаем на 2 и 1

Повторяем те же действия, только теперь вторую строчку домножаем на     (-1),чтобы в третьей получились нули.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений имеет решения (т.е. совместна)тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.

Выражение (1)-матричная форма записи системы.

Так как матрица А невырожденная, она имеет обратную матрицу . Умножим равенство  (1) слева на

Выражение (2) представляет собой решение в матричной форме.

Пример: решить систему.

Замечание: если главный определитель системы равен 0, то нужно выделить уравнения, для которых определитель не равен 0, а свободные переменные переносятся в правую часть.

Краткий конспект лекций

по дисциплине

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

(академічна різниця)

Холод О.Г., канд. техн. наук, доцент,

Швачич Г.Г., канд. техн. наук, доцент

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Тема 1.1. Матрицы. Действия над матрицами

Определение 1.1.Матрицей размерностиназывается прямоугольная таблица из чисел, содержащаястрок истолбцов.

Согласно определению, матрица размерности имеет вид:

.

Числа иназываются порядками матрицы. Числа, образующие матрицу, называются ее элементами. Индексыиэлементауказывают соответственно на номера строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Матрицу можно записать сокращенно в виде

,

где .

Определение 1.2.Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Равенство матриц

Сравнивать можно только матрицы одинаковой размерности.

Определение 1.3.Две матрицыиназываются равными, если они имеют одинаковые порядки, а соответствующие элементы равны между собой. Таким образом,, еслидля всех значений.

Операции над матрицами

К операциям над матрицами относятся: сложение (вычитание) матриц, умножение матрицы на скаляр (число), умножение матриц.

1. Сложение (вычитание) матриц

Складывать (вычитать) можно только матрицы одной размерности.

Определение 1.4. Суммой матрициназывается матрицатого же порядка, элементы которойопределяются равенством

.

Аналогично определяется разность двух матриц.

Заметим, что операция сложения (вычитания) матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения (вычитания) вещественных чисел.

2. Умножение матрицы на число

Определение 1.5.Произведением матрицына вещественное числоназывается матрицатой же размерности, что и матрица А, элементы которой равны

.

То есть, при умножении матрицы на число, на это число умножаются все элементы матрицы.

3. Умножение матриц

Определение 1.6.Произведением матрицы, имеющей порядки соответственно равныеи, на матрицу, имеющую порядки соответственно равныеи, называется матрица, имеющая порядки соответственнои, элементы которойопределяются по формуле

(1.1)

Другими словами, матрицу можно умножить на матрицутогда и только тогда, когдачислостолбцов матрицы соответствует числу строк матрицы.Формула (1.1) дает правило вычисления элементов матрицы-произведения, называемое правилом “строка–столбец”, которое может быть сформулировано следующим образом:элемент матрицыравен сумме попарных произведений соответствующих элементов-й строки матрицыи-го столбца матрицы.

Задача 1.1.Найти произведение матриц ,если последнее существует:

,

По правилу “строка–столбец” получим

Транспонирование матрицы

Определение 1. 7.Транспонированием матрицы называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Матрица, полученная таким образом из матрицы, называетсятранспонированнойпо отношению к матрицеи обозначается.

Например, если , то

Может оказаться, что квадратная матрица совпадает со своей транспонированной матрицей, т.е.. В этом случае матрицаназываетсясимметричной.

Квадратная матрица

Если в матрице порядки иравны, то она называетсяквадратной, а числоназывается ее порядком. Квадратная матрица имеет вид

.

Для квадратной матрицы вводят понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональюквадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний ее угол,побочной диагональютой же матрицы – диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Определение 1.8.Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называетсядиагональной.

Определение 1.9.Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, называетсяединичнойи обозначается. Например,

.

С каждой квадратной матрицей связывают вполне определенную числовую характеристику, которая называется ее определителем или детерминантом.

КОЛЛЕКЦИЯ ABSTRACT by ARTISTIC TILE – Ceramic Matrix

CLARIDGES BIANCO CARRARA

ЭЛЕГАНТНЫЕ ленты из переплетающихся лент, вдохновленные дверными рамами роскошного отеля Claridges в Лондоне. Claridges, полностью выполненный из камня и со светящейся натуральной белой речной раковиной, добавит характерный классический штрих в любое пространство.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ: Полы в светлых жилых помещениях, Внутренние стены

CLARIDGES THASSOS

Полированные узоры для гидроабразивной резки
9-1/4″ x 22″ x 3/8″
Беспроязьте лист

Damask Azul

Posted Waterjet Patterns
8-1/4 ″ x 14-3/4 ″ x 3/8 ″
Бесконечный лист

Каталог загрузки

Damask Azul

. 1/4″ x 14-3/4″ x 3/8″
ЛИСТ С ЗАМКАМИ

ЗАПРОС

DAMASK AZUL

Вдохновленный элегантностью старинной дамасской ткани, этот рисунок, вырезанный струей воды, предлагает эффектный рисунок в тональной цветовой гамме. переводя красоту тонкого текстиля в постоянство натурального камня. Мы приглашаем вас создать потрясающее пространство вне времени.

ПРИМЕНЕНИЕ: ПРИМЕНЕНИЕ: Полы в светлых помещениях жилых помещений, Внутренние стены

DANSE BLANC

Полированные узоры для гидроабразивной резки
13-3/4″ x 13-3/4″ x 3/8″ ПЕРЕКЛАДОЧНЫЙ ЛИСТ

ЗАГРУЗИТЬ КАТАЛОГ 80SE 9005 LUCIDO

Шаблоны для полированной гидроабразивной резки
13-3/4″ x 13-3/4″ x 3/8″ ПЕРЕМЕЩАЮЩИЙСЯ ЛИСТ

ЗАПРОС

DANSE 

Традиционное вдохновение встречается с современной классикой. Danse© создается руками и глазами мастера, а затем воплощается в сложной технике гидроабразивной резки. Каменные цвета и комбинации настраиваются; мы приглашаем вас изобрести потрясающие часы.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ: Светлый интерьер жилых помещений, Внутренние стены

SINUOUS CALACATTA GOLD

SINUOUS возвышает искусство мозаичной плитки в современную эпоху. Эта гладкая, утонченная и совершенно бесшовная мозаика красиво перетекает от кусочка к кусочку, создавая изящно переплетенный поток мрамора, который преображает ваше пространство. Это современный мозаичный дизайн во всей красе.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ: Светлый пол жилых помещений, Внутренние стены

SINUOUS CALACATTA GOLD

Мозаика из полированного камня
11-3/8″ x 11-3/8″ x 3/8″ СОЕДИНИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ

GENIE

Вдохновленный безмятежными бумажными фонариками, освещающими восточные свадебные природный камень. Доступны в наших белых, черных и серых цветовых решениях и могут быть изготовлены из любого сочетания камня или стекла в рамках нашей программы Tailored To.

ПРИМЕНЕНИЕ: Светлый пол в жилых помещениях, Внутренние стены

GENIE WHITE & BLACK

Полированные узоры для гидроабразивной резки
7-9/16″ x 15-11/16″ x 3/8″ СОЕДИНИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ

WHIRLWIND

Вы можете почувствовать энергию, когда Whirlwind© проносится по пространству, придавая жизнь и движение камню. Этот великолепный мозаичный узор гипнотически вращается в цветах Calacatta Gold, Smoke, Bianco Carrara и Azul Cielo, или выберите свой любимый из нашей библиотеки классических натуральных камней.

ПРИМЕНЕНИЕ: Полы в светлых/средних помещениях, Внутренние стены

WHIRLWIND AZUL CIELO

Мозаика из полированного камня
16-1/4″ x 10-1/2″ x 3/8″

WHIRLWIND CALACATTA GOLD

Мозаика из полированного камня
РАЗМЕР: 10 1/2″ X 16 1/4″ X 3/8″

WHIRLWIND SMOKE

Мозаика из полированного камня
10 1/2″ X 16 1/4″ X 3/8″

XANADU

Извилистые ручейки нашего поэтического «Xanadu» теперь доступны в водопаде Xanadu Falls, ритмичном слиянии полированного кусочки каменной мозаики в элегантном, слегка отражающем потоке.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ: Полы в светлых/средних помещениях, Внутренние стены, Наружные стены

Xanadu Falls Bianco Dolomiti

Полированный каменный мозаика
15- 3/16 ″ x 26-13/16 ″ x 3/8 ″ Interlocking Sheet

Ксанаду водопад nero

.

XANADU FALLS CALACATTA GOLD

Мозаика из полированного камня
15-3/16″ x 26-13/16″ x 3/8″ ЛИСТ СОЕДИНИТЕЛЬНЫЙ

Мозаика из полированного камня
15-3/16″ x 26-13/16″ x 3/8″ СОЕДИНИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ

Abstract 5696: Влияние жесткости внеклеточного матрикса на радиационную реакцию раковых клеток | Исследование рака

Пропустить пункт назначения Nav

Постерные презентации – Предлагаемые тезисы | 15 июня 2022 г.

Джером Лакомб;

Мелинда Муччио;

Фредерик Зенхаузерн

Информация об авторе и статье

онлайн ISSN: 1538-7445

Печать ISSN: 0008-5472

© 2022 Американская ассоциация исследований рака

2022

Американская ассоциация для исследований рака

Res Res (2022) 82 (12_SUPPlement): 56966666 (2022).

https://doi.org/10.1158/1538-7445.AM2022-5696

• Разделенный экран
• Просмотры
  • Содержание артикула
  • Рисунки и таблицы
  • Видео
  • Аудио
  • Дополнительные данные
  • Экспертная оценка
• Делиться
  • Facebook
  • Твиттер
  • LinkedIn
  • MailTo
• Инструменты

  • Получить разрешения

  • Иконка Цитировать Цитировать

• Поиск по сайту
• Значок версии статьи Версии
  • Версия записи 15 июня 2022 г.

Citation

Джером Лакомб, Мелинда Муччио, Фредерик Зенхаузерн; Abstract 5696: Влияние жесткости внеклеточного матрикса на радиационную реакцию раковых клеток. Cancer Res 15 июня 2022 г.; 82 (12_Supplement): 5696. https://doi.org/10.1158/1538-7445.AM2022-5696

Скачать файл цитаты:

• Ris (Zotero)
• Менеджер ссылок
• EasyBib
• Подставки для книг
• Менделей
• Бумаги
• Конечная примечание
• РефВоркс
• Бибтекс

Расширенный поиск

За последнее десятилетие стало ясно, что механические сигналы внеклеточного матрикса (ECM) являются основным регулятором биологии рака. В частности, жесткость ВКМ играет важную роль в модуляции химиорезистентности. Однако, несмотря на центральную роль лучевой терапии в лечении рака, мало что известно о влиянии жесткости ВКМ на радиационную реакцию раковых клеток. В этом исследовании мы использовали модель гидрогеля, покрытого полиакриламидным коллагеном, для воспроизведения мягкой (0,7 кПа) и жесткой (70 кПа) матрицы. Модель была подтверждена с помощью атомно-силовой микроскопии, силовой спектроскопии и биологических анализов посредством клеточной морфологии, пролиферации и пути механотрансдукции YAP/TAZ, которые подтвердили точность нашей модели. Затем клетки рака легкого, высеянные как на мягкий, так и на жесткий гидрогели, облучали и сравнивали уровень повреждений ДНК в двух условиях. Во-первых, щелочной кометный анализ показал, что общее количество повреждений ДНК было выше в клетках, выращенных на жестком ВКМ через 1 ч после облучения, чем в клетках, посеянных на мягком матриксе. Во-вторых, анализ очагов γh3AX/53BP1 показал, что количество двухцепочечных разрывов ДНК также было выше в клетках, выращенных в жесткой среде. Однако уровень повреждения ДНК был идентичен через 24 часа после облучения для обеих жесткостей, что позволяет предположить, что более эффективная реакция восстановления ДНК может иметь место для клеток, высеянных в жесткую матрицу. Чтобы объяснить эти наблюдения, затем был проведен анализ структуры хроматина и формы ядра. Данные показали, что клетки, культивированные на жестком матриксе, демонстрируют более крупное ядро, менее конденсированный хроматин и сниженный уровень экспрессии генов HDACs класса I. Кроме того, было обнаружено, что уровень общих активных форм кислорода (АФК) и супероксид-иона также был выше в клетках, выращенных на жесткой среде через 24 ч после облучения. В целом эти данные свидетельствуют о том, что высокая жесткость может увеличивать ранние повреждения ДНК после облучения, частично за счет ремоделирования хроматина, что может подвергать ДНК воздействию радиационно-индуцированных генотоксических агентов, таких как АФК. Необходимы дополнительные исследования, чтобы лучше понять механизмы, которые могут объяснить такие различия, но эти предварительные данные выявили потенциальную роль механического стресса в ответе клеток на облучение и проложили путь к новой терапевтической цели для управления лучевой терапией.