Матрицы крамера калькулятор: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Найдите определитель матрицы 3×3.

\(A=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}\)

1. Дополнить \(A\) первыми двумя столбцами.

   \(\det(A)=\left| \begin{array}{ccc|cc} a_1&b_1&c_1&a_1&b_1\\a_2&b_2&c_2&a_2&b_2\\a_3&b_3&c_3&a_3&b_3\end{array} \right|\)

2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

\(| A |=a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3−a_3b_2c_1−b_3c_2a_1−c_3a_2b_1\)

Пример определения {3} × 3 Matrix

Найдите определитель матрицы \(3 × 3\) по данным

\(A=\begin{bmatrix}0&2&1\\3&−1&1\\4&0&1\end{bmatrix}\)

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами и следуйте формуле. Таким образом,

\[\begin{align*} | А | &= \влево| \begin{массив}{ccc|cc}0&2&1&0&2\\3&-1&1&3&-1\\4&0&1&4&0\end{массив}\right| \\ &= 0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1)−0(1)(0)−1(3) (2) \\ &=0+8+0+4−0−6 \\ &= 6 \end{align*}\]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Найдите определитель Матрица 3 × 3.

\(\det(A)=\begin{vmatrix}1&−3&7\\1&1&1\\1&−2&3\end{vmatrix}\)

Ответ

\(−10\)

Вопросы и ответы: Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя матрицы большего размера?

Нет, этот метод работает только для матриц 2 × 2 и 3 × 3. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы \(3 × 3\), мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменные. Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц \(2 × 2\). Однако по мере увеличения порядка матрицы до \(3 × 3\) требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем определитель равным нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

Рассмотрим систему уравнений \(3 × 3\).

\[\begin{align} a_1x+b_1y+c_1z &= \color{blue}d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z &= \color{blue}d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z &= \color{blue }d_3 \\ \end{align}\]

\(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{D_y}{D}\), \(z=\dfrac{ D_z}{D}\), \(D≠0\)

где

\[D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_x = \begin{vmatrix} \color{blue}d_1 & b_1 & c_1\\ \color{blue}d_2 & b_2 & c_2\\ \color{blue}d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_y = \begin{vmatrix} a_1 & \color{blue}d_1 & c_1\\ a_2 & \color{blue}d_2 & c_2\\ a_3 & \color{blue}d_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \color{blue}d_1\\ a_2 & b_2 & \color{blue}d_2\\ a_3 & b_3 & \color{blue}d_3 \end{vmatrix}\]

Если мы записываем определитель \(D_x\), мы заменяем столбец \(x\) постоянным столбцом. Если мы записываем определитель \(D_y\), мы заменяем их столбец y на постоянный столбец. Если мы записываем определитель \(D_z\), мы заменяем столбец \(z\) постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример \(\PageIndex{4}\): решение системы \(3 × 3\) с помощью правила Крамера

Найдите решение данной системы \(3 × 3\) с помощью правила Крамера.

\[\begin{align*} x+y-z&= 6\\ 3x-2y+z&= -5\\ x+3y-2z&= 14 \end{align*}\]

Решение

Используйте правило Крамера.

\(D=\begin{vmatrix}1&1&−1\\3&−2&1\\1&3&−2\end{vmatrix}\), \(D_x=\begin{vmatrix}6&1&−1\\−5&−2&1 \\14&3&-2\end{vmatrix}\), \(D_y=\begin{vmatrix}1&6&-1\\3&-5&1\\1&14&-2\end{vmatrix}\), \(D_z=\begin{ vmatrix}1&1&6\\3&-2&-5\\1&3&14\end{vmatrix}\)

Затем

\[\begin{align*} x&= \dfrac{D_x}{D}&= \dfrac{- 3}{-3}&= 1\\ y&= \dfrac{D_y}{D}&= \dfrac{-9}{-3}&= 3\\ z&= \dfrac{D_z}{D}&= \dfrac{6}{-3}&= -2\\ \end{align*}\]

Решение: \((1,3,−2)\).

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Используйте правило Крамера для решения матрицы \(3 × 3\).

\[\begin{align*} x-3y+7z&= 13\\ x+y+z&= 1\\ x-2y+3z&= 4 \end{align*}\]

Ответ

\(\влево(−2,\dfrac{3}{5},\dfrac{12}{5}\вправо)\)

Пример \(\PageIndex{5A}\): использование правила Крамера для решения несогласованной системы

Решите систему уравнений с помощью правила Крамера.

\[\begin{align} 3x-2y&= 4 \label{eq3}\\ 6x-4y&= 0 \label{eq4}\end{align}\]

Решение

Начнем с нахождения определители \(D\), \(D_x\) и \(D_y\).

\(D=\begin{vmatrix}3&-2\\6&-4\end{vmatrix}=3(-4)−6(-2)=0\)

Мы знаем, что определитель нуля означает либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножить уравнение \ref{eq3} на \(−2\).
2. Добавьте результат к уравнению \ref{eq4}.

\[\begin{align*} &−6x+4y=−8 \\ &\;\;\;\underline{6x−4y=0} \\ &\;\;\;\;\;\ ;\;\;\;\; 0=−8 \end{align*}\]

Получаем уравнение \(0=−8\), которое неверно.

Пример \(\PageIndex{5B}\): использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным числом решений.

\[\begin{align} x-2y+3z&= 0 \label{eq5}\\ 3x+y-2z&= 0 \label{eq6}\\ 2x-4y+6z&= 0 \label{eq7} \ end{align}\]

Решение

Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

\(\left| \begin{array}{ccc|cc}1&−2&3&1&-2\\3&1&−2&3&1\\2&−4&6&2&-4\end{array}\right|\)

Затем

\(1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)( 1)−6(3)(−2)=0\)

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение \ref{eq5} на \(−2\) и добавьте результат к уравнению \ref{eq7}:

\[\begin{align*} &−2x+4y−6x=0 \ \ &\;\;\underline{2x−4y+6z=0} \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;0=0 \end{align*}\]

2. Получение ответа \(0=0\), утверждение, которое всегда истинно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой. См. рисунок \(\PageIndex{2}\).

Понимание свойств определителей

У определителей много свойств. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1. Если матрица имеет верхнетреугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
3. Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю. 9{−1}\) — величина, обратная определителю матрицы \(A\).
4. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Пример \(\PageIndex{6}\): Иллюстрация свойств определителей

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Решение

Свойство 1 гласит, что если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов, расположенных вниз по главной диагонали.

\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&2&1\\0&0&-1\end{bmatrix}\)

Дополнить \(A\) первыми двумя столбцами.

\(A=\left[ \begin{array}{ccc|cc}1&2&3&1&2\\0&2&1&0&2\\0&0&−1&0&0\end{array}\right]\)

Затем

\[\begin{align* } \det(A)&= 1(2)(-1)+2(1)(0)+3(0)(0)-0(2)(3)-0(1)(1)+1 (0)(2)\\ &= -2 \end{align*}\]

Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак. Учитывая

\[\begin{align*} A&=\begin{bmatrix}-1&5\\4&-3\end{bmatrix}\\ \det(A)&= (-1)(-3)-(4) (5)\\ &= 3-20\\ &= -17 \end{align*}\]

\[\begin{align*} B&= \begin{bmatrix}4&-3\\-1&5\end {bmatrix}\\ \det(B)&= (4)(5)-(-1)(-3)\\ &= 20-3\\ &= 17 \end{align*}\]

Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

\[\begin{align*} A&=\left[ \begin{array}{ccc|cc}1&2&2&1&2\\2&2&2&2&2\\-1&2&2&-1&2\end{массив}\right]\\ \det(A) &=1(2)(2)+2(2)(-1)+2(2)(2)+1(2)(2)-2(2)(1)-2(2)(2) \\ &=4-4+8+4-4-8\\ &=0 \end{align*}\] 9{-1})&=-2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{3}{2}(1)\\ &=-\dfrac{1}{2} \ end{align*}\]

Свойство 6 гласит, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

\[\begin{align*} A&=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\\ \det(A)&=1(4)-2(3)\\ &= -2 \end{align*}\]

\[\begin{align*} B&=\begin{bmatrix}2(1)&2(2)\\3&4\end{bmatrix}\\ \det(B) &=2(4)-3(4)\\ &=-4 \end{align*}\]

Пример \(\PageIndex{7}\): использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы

Найдите решение заданной системы \(3 × 3\).

\[\begin{align} 2x+4y+4z&=2 \label{eq8}\\ 3x+7y+7z&=-5 \label{eq9}\\ x+2y+2z&=4 \label{eq10} \end{align}\]

Решение

Используя правило Крамера, мы имеем

\(D=\begin{bmatrix}2&4&4\\3&7&7\\1&2&2\end{bmatrix}\)

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо решений бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение \ref{eq10} на \(–2\) и добавьте результат к уравнению \ref{eq8}.

\[\begin{align*} -2x-4y-4x&=-8\\ 2x+4y+4z&=2\\ 0&=-6 \end{align*}\]

Получение оператора, который является Противоречие означает, что система не имеет решений.

Медиа

Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практических занятий по правилу Крамера.

• Решение системы двух уравнений с помощью правила Крамера
• Решите систему из трех уравнений, используя правило Крамера

Ключевые понятия

• Определитель для \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) равен \(ad-bc\). См. пример \(\PageIndex{1}\).
• Правило Крамера заменяет столбец переменной столбцом константы. Решения: \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{D_y}{D}\). См. пример \(\PageIndex{2}\).
• Чтобы найти определитель матрицы \(3×3\), увеличьте первые два столбца. Сложите три диагональных элемента (слева вверху справа внизу) и вычтите три элемента по диагонали (слева внизу справа вверху). См. пример \(\PageIndex{3}\).
• Чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными с помощью правила Крамера, замените столбец переменных столбцом констант для каждого требуемого решения: \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{ D_y}{D}\), \(z=\dfrac{D_z}{D}\). См. пример \(\PageIndex{4}\).
• Правило Крамера также полезно для нахождения решения системы уравнений без решения или с бесконечным числом решений. См. Пример \(\PageIndex{5}\) и Пример \(\PageIndex{6}\).
• Некоторые свойства определителей полезны при решении задач. Например: 9{−1}\) — величина, обратная определителю матрицы \(A\).
• Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. См. Пример \(\PageIndex{7}\) и Пример \(\PageIndex{8}\).

Эта страница под названием 9.8: Решающие системы с правилом Крамера распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать страницу TOC

   нет

   Включено

   да

2. Теги

   1. Правило Крамера
   2. Детерминанты
   3. источник@https://openstax. org/details/books/precalculus

Матричный калькулятор – Гауссоанская ликвидация – Cramer – APK скачать для Android

Скачать

Подробная информация

Обзоры

Версии

Информация

1/8

Описание. и простой в использовании с привлекательным пользовательским интерфейсом.

Предназначен для решения матричной задачи с пояснением скважины.

Комплексный номер поддержки.

Матрица ввода до 5×5.

Сохраняйте столько матриц и уравнений, сколько ХОТИТЕ.

Решите свои уравнения методом исключения Гаусса.

Решите уравнения по правилу Крамера.

Решайте уравнения с помощью матриц

Функция:

1) Сохраняйте свои матрицы столько, сколько хотите

2) Сохраняйте уравнение сколько хотите

3) Сохраняйте результат матрицы сколько хотите

4) Выберите свою ТЕМУ

5) Установите десятичные разряды

6) Введите комплексное2 число

7) Input random Matrix

8) Input random Equation

9) Input identity matrix

10) Input zero matrix (Clear matrix)

11) Input scalar

Operation:

1) Solve equation by Matrices

2) Solve equation by Gaussian Elimination

3) Solve equation by Cramer’s Rule

4) Inverse matrix

5) Determinant matrix

6) Multiplication matrix

7) Матрица сложения

8) Матрица вычитания

9) Матрица транспонирования

Наслаждайтесь приложением!

Калькулятор матриц – Исключение Гаусса – Крамер – Версия 4.

Другие версии

Что нового Исправлена ​​ошибка

Пока нет отзывов и оценок! Чтобы выйти из первого, установите Aptoide.

–

0

Отзывы

Гарантия хорошего приложенияЭто приложение прошло проверку на наличие вирусов, вредоносных программ и других вредоносных атак и не содержит никаких угроз.

Версия APK: 4.5 Пакет: com.sandyhendrawan.matrix

4.5