Матрицы математика как решать: определение, свойства и примеры решения задач

что нужно знать для их решения OTUS

Матрица – это своеобразный математический объект, который записывается в виде таблицы элементов. Обычно представлен прямоугольником или квадратом. Математический объект, который записывается в виде таблицы компонентов, состоящей из определенного количества строк и столбцов.

С соответствующими составляющими можно выполнять разные действия. Пример – решать уравнения. Именно об этом пойдет речь далее. Информация пригодится как математикам, так и сотрудникам IT-сферы.

Матричное уравнение – это…

Матричное уравнение – это уравнение, которое напоминает линейный (числовой) аналог. Но в качестве элементов в нем используются матрицы.

Типовое уравнение подобного характера включает себя ранее упомянутые математические объекты, а также некоторую неизвестную матрицу X. Именно ее и необходимо вычислить.

Что потребуется для обнаружения результата

Для того, чтобы найти значение неизвестного, которое содержит уравнение, каждый должен сначала тщательно изучить теорию. Без этого проводить необходимые манипуляции не получится.

Решить матричное уравнение можно, если заучена следующая теория:

• понятие соответствующего объекта и его составляющих;
• определитель матрицы;
• ключевые операции над рассматриваемыми компонентами;
• определение столбцов матрицы, главной диагонали;
• что такое транспонированная матрица.

Также человек должен уметь решать линейные числовые уравнения. Без всего этого смысл изначально поставленной задачи теряется.

Сложение и вычитание

Для того, чтобы должным образом можно было решить пример, содержащий матричные компоненты, необходимо хорошо разбираться в элементарных операциях с ними. Первый вариант – сложение и вычитание.

Стоит запомнить – решать задачи по сложению удастся лишь матрицы одного и того же размера. Результатом станет математический объект аналогичного «объема».

Сам процесс вычислений достаточно прост – нужно сложить или вычесть соответствующие элементы в столбцах и строках.

Выше – наглядный пример сложения. Вычитание производится аналогичным образом.

Умножение на число

Матрицы можно умножать на то или иное число. Такая манипуляция с легкостью производится любым математиком. Решение задачи напоминает линейные примеры.

Здесь необходимо запомнить следующие данные:

• операции подобного плана возможны с матрицами любого размера;
• для получения результата на необходимое число нужно умножить каждый элемент упомянутого мат объекта;
• полученный результат – матричный компонент аналогичного размера.

Выше – наглядный пример того, как осуществляется умножение на число 5.

Перемножение друг с другом

Умножение матриц между собой – манипуляция, которую можно осуществлять не всегда. Пример – даны мат объекты A и B. Их удастся перемножить, если количество столбцов матрицы a будет равно строкам матрицы b.

Каждый компонент, получившийся в ходе расчетов, стоящий в i-строке и j-столбце равен сумме произведений соответствующих элементов в i-строчке первого множителя и j-столбце второго.

Данный шаблон и наглядный пример помогут найти грамотное решение при перемножении матричных объектов.

Транспонирование

Математика – наука, в которой формулы матриц и иных составляющих играют важную роль. Если не усвоена теория, решить поставленную задачу не получится. Для уравнений может потребоваться транспонированная ма трица.

При транспонировании строки и столбцы будут меняться местами. На письме такие компоненты обознаются как A^T.

Это – наглядный пример того, как осуществляется соответствующая математическая операция.

Определитель

В случае с определителем необходимо уяснить следующие данные:

• определитель – это детерминант;
• представляет собой численную характеристику квадратной матрицы;
• при помощи определителя удастся решить множество математических задач;
• для нахождения соответствующего результата необходимо вычислить разность произведение составляющих главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка (это – единичные матрицы) будет равен этому самому компоненту. Если речь идет об объекте размером 3×3, ситуация усложняется.

Для нее значение детерминанта будет равно сумме произведений компонентов главной диагонали и произведений составляющих на треугольниках с гранью параллельной главной. От последней нужно отнять произведение элементов побочной диагонали и произведение чисел, лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

На практике вычисление детерминантов больших размеров встречается редко. Некоторые, чтобы не запутаться, для решения поставленной задачи пользуются разнообразными онлайн калькуляторами. Их смысл – объяснение вычислительного процесса, а также выдача грамотных результатов.

Обратная матрица

Для каждого числа a, которое не равно нулю, существует обратное a^-1. Оно будет таким, что произведение оных на выходе даст единицу. Формула записи проста: a*a^-1=1. Это понятие подходит и для квадратных матриц.

Матрица A^-1 будет обратной по отношению к матрице A, если при умножении оной на данную, как справа, так и слева, получится единичная матрица. К таковым относят математические объекты, включающие в себя всего один элемент (то есть, одну строку и столбец).

Не каждый квадратный матричный элемент имеет обратную матрицу. Если a не равно нулю – это достаточное и необходимое условие существования a^-1, то для существования A^-1 соответствующим требованием будет |A| не равен нулю.

Миноры и дополнения

Для полного понимания теории, связанной с матрицами и уравнениями, нужно разобраться с понятием алгебраических дополнений, а также минором:

• Если в определителе n-го порядка происходит вычеркивание i-строки и k-столбца, на пересечении которых расположен объект a_ik, то полученный детерминант (n-1)-порядка будет обозначаться минором M_ik.

• Минор с определенным знаком, который находится в зависимости от четности суммы i+k номеров строчки и столбца, на пересечении которых расположен компонент a_ik, — это алгебраическое дополнение. Обозначается как A_ik=(-1)^i+kM_ik.
• Когда в детерминанте порядка n все составляющие последней строчки (столбца), за исключением компонента, стоящего в правом нижнем углу, равняются нулю, то определитель – это произведение соответствующего элемента на минор.
• Если у детерминанта все составляющие строчки/столбца за исключением одного равняются 0, то определитель – это произведение этого самого компонента на алгебраическое дополнение.

Наглядные примеры и доказательства перечисленных утверждений, раскрывающие их смысл, можно обнаружить по этой ссылке.

Уравнения и их решение

Теперь, когда уделено время произведению матрицы на число, а также иным элементарным операциям с рассматриваемыми объектами математики, можно приступать к непосредственному решению уравнений. Это не самый трудный процесс. Математика здесь находится примерно на школьном уровне.

Формула вычислений у матричных уравнений – точно такая же, как и простых алгебраических, в которых есть умножение. Здесь на помощь придет теория относительно обнаружения произведения матриц.

Пусть будут даны: A * X = B или X * A = B, где A и B – это известные матрицы, а X – неизвестная. Далее ситуация будет зависеть от конкретных обстоятельств:

1. В первом случае, когда речь идет об уравнении A * X = B, обе части требуется умножить на обратную к A матрицу A^-1 с левой стороны. Получится E * X = A^-1 * B, где E – единичная матрица. Отсюда следует, что E * X = X. Результат вычислений – X = A^-1 * B.
2. Во втором случае, при уравнении X * A = B ситуация будет обстоять аналогичным образом. Но направление умножения на матрицу, обратную матрице A, меняется. Элемент B будет перемножаться с ней с правой стороны. Получится X * A * A^-1 = B * A^-1. Итог – X = B * A^-1.
3. Есть и третий случай – когда неизвестная матрица в уравнении расположена в середине произведения трех матриц: A * X * B = C. Здесь нужно известную матрицу из левой части умножить на обратную той, что стоит слева в заданном уравнении. И справа на матрицу, обратную той, что была с правой стороны. Итог будет следующим: X = A^-1 * C * B^-1.

Если же X в заданном примере – это обычное число, то формула обнаружения результата будет точно такой же, как и в линейных уравнениях.

Как лучше разобраться в теме

С формулой матрицы, а также ее основными компонентами теперь все понятно. И с основными операциями тоже удалось познакомиться. Отныне с легкостью найдем матрицу даже в уравнении при необходимости.

Для того, чтобы лучше вникнуть в соответствующую тему, стоит хорошенько изучить школьный курс математики, а также алгебру на 1 курсе обучения в ВУЗах. Информация пригодится как ученым, так и программистам.

Научиться коддить можно на специализированных дистанционных курсах. Они помогут быстро вникнуть в основы математики и информатики, а также создания приложений и игр. Курс рассчитан на срок до года. В процессе даже новичок, далекий от точных наук, сможет разобраться с матрицами и коддингом. А еще человек получит бесценную практику и новые полезные знакомства.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!

Также, возможно, вам будет интересен следующий курс:

Определители и матрицы при решении систем линейных уравнений | Математика

Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих уравнений первой степени относительно неизвестных .

В наиболее общем виде такие системы записываются в форме

(1.18)

Числа называются коэффициентами системы или коэффициентами при неизвестных.

Помощь с решением задач

Первый индекс у коэффициентов системы указывает на номер уравнения, второй на номер неизвестного, при котором записан этот коэффициент. Числа называются свободными членами. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, если же, хотя бы одно из них отлично от нуля, то неоднородной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14

Решением системы (1.18) называется любая совокупность чисел , подстановка которой в (1.18) обращает каждое уравнение этой системы в верное числовое равенство.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, имеющая только одно решение определенной, имеющая более одного решения — неопределенной, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Решить систему (1.18) — это значит указать все множество ее решений или доказать ее несовместность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение второй системы является решением первой и наоборот.

Доказано, что если над системой (1.18) выполнить преобразования:

1. переменить местами уравнения;
2. умножить обе части любого уравнения системы на любое не равное нулю число;
3. прибавить к обеим частям одного из уравнений системы соответствующие части другого уравнения, умноженные на любое действительное число, то система (1. 18) переходит в равносильную ей систему. Перечисленные выше преобразования называются элементарными преобразованиями системы. В результате элементарного преобразования может случиться, что в системе появится уравнение, все коэффициенты которого равны нулю. Тогда, если и свободный член этого уравнения равен нулю, то уравнение справедливо при любых и, следовательно, его можно отбросить. Если же свободный член не равен нулю, то это уравнение не удовлетворяется никакими значениями неизвестных, следовательно, полученная система является несовместной. Тогда несовместна и исходная система.

• Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных уравнений
• Курс математики

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

Уважаемые студенты
На нашем сайте можно получить помощь по всем разделам математики и другим предметам:

✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Подробнее

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.

Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.

Сохранить или поделиться с друзьями

• Решение задач и контрольных
• Написание учебных работ
• Онлайн помощь на экзамене

Подробнее

Помощь с решением

Поиск математических формул

Решение систем линейных уравнений с помощью матриц

Привет! Эта страница будет иметь смысл только в том случае, если вы немного разбираетесь в системах линейных уравнений и матрицах, поэтому, пожалуйста, идите и узнайте о них, если вы еще этого не знаете!

Пример

Одним из последних примеров по системам линейных уравнений был этот:

Пример: решить

• x + y + z = 6
• 2г + 5г = -4
• 2x + 5y – z = 27

Затем мы решили ее с помощью «исключения»… но мы можем решить ее с помощью Матриц!

Использование матриц облегчает жизнь, потому что мы можем использовать компьютерную программу (такую ​​как Калькулятор матриц) для выполнения всей «арифметики».

Но сначала нам нужно написать вопрос в матричной форме.

В форме матрицы?

ОК. Матрица — это массив чисел, верно?

Матрица А

Ну, вдумайтесь в уравнения:

х	+	и	+	из	=	6
		2 года	+	5з	=	−4
2x	+	5 лет	−	из	=	27

Их можно превратить в таблицу чисел, например:

1		1		1	=	6
0		2		5	=	−4
2		5		−1	=	27

Мы могли бы даже разделить числа до и после «=» на:

1	1	1		6
0	2	5	и	−4
2	5	−1		27

Теперь похоже, что у нас есть 2 матрицы.

На самом деле у нас есть третий, который [x y z]:

 

Почему [x y z] идет туда? Потому что, когда мы умножаем матрицы, левая часть становится:

, что является исходной левой частью наших уравнений выше (вы можете проверить это).

Решение матрицы

Мы можем написать это:

так:

AX = B

где

• A – матрица 3×3 x, y и 3s 90920204
• X равно x, y и z и
• B это 6, −4 и 27

Тогда (как показано на странице, обращенной к матрице) решение таково:

X = A ^-1 B

 

Что это значит?

Это означает, что мы можем найти значения x, y и z (матрица X) путем умножения

обратной матрицы A на матрицу B .

Итак, давайте сделаем это.

Во-первых, нам нужно найти , обратную матрице A (при условии, что она существует!)

Используя матричный калькулятор, мы получаем это:

(я оставил определитель 1/ вне матрицы, чтобы сделать числа проще )

Затем умножьте A ^-1 на B (снова воспользуемся Калькулятором матриц):

Готово! Решение:

x = 5,
y = 3,
z = −2

Точно так же, как на странице «Системы линейных уравнений».

Довольно аккуратно и элегантно, и человек думает, а компьютер делает вычисления.

 

Просто для удовольствия… Сделай это снова!

Для развлечения (и чтобы помочь вам в обучении) давайте проделаем все это снова, но сначала поставьте матрицу “X”.

Я хочу показать вам этот способ, потому что многие люди думают, что приведенное выше решение настолько изящно, что должно быть единственным способом.

Итак, мы решим это следующим образом:

XA = B

И из-за того, как перемножаются матрицы, нам нужно настроить матрицы по-другому. Ряды и столбцы должны быть переключены («транспонированы»):

И XA = B выглядит следующим образом:

Решение матрицы

Тогда (также показано на странице, обращенной к матрице) решение таково:

X = BA ^-1

0 это то, что мы получаем для A

^-1 :

На самом деле это точно так же, как инверсия, которую мы получили раньше, но транспонированная (строки и столбцы меняются местами).

Далее умножаем B на A ^-1 :

И решение то же самое:

x = 5, y = 3 и z = −2

Это решение выглядело не так аккуратно, как предыдущее, но оно показывает нам, что существует более одного способа составления и решения матричных уравнений. Только будьте осторожны со строками и столбцами!

 

 

Учебное пособие по решению матрицы с примерами

Учащиеся всегда боятся математики, хотя математика очень проста, если вы понимаете обоснование и логику математических понятий, а не ломаете голову над каждым математическим вопросом. Студенты часто спрашивают, как решить n чисел понятий, и матрица является одним из них. Матрица — это в основном представление чисел или линейных уравнений в блочном формате для их решения. Вы также можете складывать или вычитать или умножать две матрицы друг на друга. Вот почему многие студенты борются с матрицами и спрашивают, как их решить. Эта статья научит вас методу решения матрицы простым пошаговым способом с примерами.

Шаги – Как решить матрицу

1.  Первым шагом для решения матрицы является проверка наличия достаточного количества данных для определения каждой переменной линейного уравнения с помощью матрицы.

Матрица используется для решения линейного уравнения, но для использования матричного метода должно быть более одного линейного уравнения. Таким образом, если у вас есть только два уравнения, вы также можете использовать матричный метод для определения переменных.

https://www.calltutors.com/AskAssignment

Каждое линейное уравнение имеет определенные переменные, которые нам нужно найти, и такие переменные имеют определенные коэффициенты. Разберемся на данном примере –

2x + 3y – 5z = 2

Здесь x, y и z – переменные уравнения, которое нам нужно найти, а +2, +3 и -5 – коэффициенты в уравнении.

2. Второй шаг в разделе «Как решить матрицу» — записать уравнения в стандартной форме. Следующий вопрос: какова стандартная форма записи линейного уравнения, тогда ответ будет Ax + By + Cz = D.

Итак, вы должны написать все уравнения в такой форме, чтобы узнать значения переменных с помощью матрицы.

Нет необходимости иметь только 3 переменные; может быть меньше 3 переменных и точно так же может быть больше 3 переменных. Если у вас более 3 переменных, вы добавите их слева после переменной z, например: Ax + By + Cz + Dw = E.

Здесь A, B, C и D — коэффициенты, а x, y , z, мы переменные.

3. Следующим шагом в разделе «Как решить матрицу» является передача данных уравнения в матричной форме. Итак, следующее, чему нужно научиться, — это записывать уравнения в матричной форме. Давайте разберемся на примерах, предположим, что у нас есть следующие 3 уравнения –

x + 2y – 3z = 5

x + y + z = 6

2x + y – z = 1

Теперь нам нужно узнать формат матрицы. Как мы видим, уравнения уже имеют стандартный вид, поэтому мы можем приступить к переводу таких уравнений в матричный вид.

Запишем коэффициенты каждого уравнения в виде строк друг за другом. Итак, здесь мы сначала запишем 1, 2 и -3 в первой строке матрицы, после чего запишем коэффициенты второго уравнения, а затем третьего уравнения. Посмотрите ниже, чтобы понять лучше —

Здесь строки и столбцы также именуются. Таким образом, мы можем назвать строку 1 как R1, которая имеет 1, 2 и -3, строку 2 как R2, которая имеет 1, 1 и 1, и аналогично строку 3 как R3, которая имеет 2, 1 и -1.

Точно так же мы можем назвать столбцы как C1, C2 и C3. C1 имеет 1, 1 и 2, C2 имеет 2, 1 и 1 и, наконец, C3 имеет -3, 1 и -1.

4. Следующим шагом в решении матрицы является заключение в большие скобки первого и последнего столбца, чтобы получилась матрица. Таким образом, вы поместите квадратные скобки [] вокруг всего блока. Это просто символ матриц и больше ничего, о чем можно не волноваться и не пугаться.

5. Следующее, чему нужно научиться при решении матриц, это сложение двух матриц. Вы можете добавить или вычесть две матрицы.