Матрицы методом гаусса примеры: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

15. Примеры использования метода Гаусса

Пример. Решим методом Гаусса следующую систему уравнений:

Выпишем расширенную матрицу этой системы и выполним ее элементарные преобразования по методу Гаусса. Умножим первую строку последовательно на числа 3, 2, 1 и вычтем результаты из второй, третьей и четвертой строк:

Вычтем теперь последовательно из третьей и четвертой строк вторую строку, а вторую строку разделим на число 5. Мы получили ступенчатую матрицу, соответствующую этапу прямого хода метода Гаусса

.

Примем за базисные неизвестные , а за свободные неизвестные . Отбросив в ступенчатой матрице нулевые строки, оставим в системе уравнений слагаемые с базисными неизвестными в левых частях уравнений, а слагаемые со свободными неизвестными перенесем со знаком минус в правые части уравнений:

Полученная система имеет единственное решение относительно базисных неизвестных при любых значениях свободных неизвестных . Подставляя выражение для в первое уравнение системы, получим окончательно общее решение неоднородной системы в виде:

Запишем общее решение неоднородной системы, используя ее частное решение и фундаментальную систему решений, соответствующего однородного уравнения. Полагая в общем решении неоднородного уравнения, вектор произвольных постоянных равным нулевому вектору, получим частное решение неоднородной системы в виде

.

Далее положим в общем решении соответствующего однородного уравнения вектор произвольных постоянных равным последовательно векторам канонического базиса , . В результате получим фундаментальную систему решений в виде .

Окончательно, общее решение исходного неоднородного уравнения представляется в виде

.

С помощью метода Гаусса можно эффективно вычислять обратную матрицу . Из теоремы Крамера следует, что обратные матрицы существуют только для невырожденных матриц и находятся единственным образом, какой бы способ не использовался для их вычисления. Количество арифметических операций при обращении матрицы порядка по методу Гаусса равно числу и является наименьшим по сравнению с другими точными методами. Для построения обратной матрицы для матрицы сначала составляют специальную расширенную матрицу . Далее выполняются элементарные преобразования над расширенной матрицей по полной схеме метода Гаусса. В результате матрица приводится к виду . В преобразованной матрице справа от единичной матрицы формируется именно обратная матрица . Действительно, матричное уравнение , составленное относительно неизвестных нам элементов матрицы , равносильно совокупности из неоднородных систем уравнений: . Правые части этих систем состоят из канонических арифметических вектор – столбцов , а неизвестными являются столбцы искомой матрицы . Расширенная матрица этих неоднородных уравнений равна . Таким образом, когда расширенная матрица приводится к виду , происходит решение неоднородных систем уравнений По методу Гаусса, а в преобразованной матрице справа от единичной матрицы формируется обратная матрица.

Пример. Вычислим по методу Гаусса матрицу, обратную к.

Специальная расширенная матрица в нашем случае имеет вид:

=.

Далее выполняются элементарные преобразования над расширенной матрицей по полной схеме метода Гаусса:

= .

Таким образом, в матрице справа от единичной матрицы сформирована обратная матрица , в нашем случае равная

= .

Правильность вычисления обратной матрицы всегда рекомендуется проверять непосредственно по ее определению , выбирая для контроля любое из равенств.

< Предыдущая		Следующая >

лекции_1_курс_1_поток_осень_2020 | Кафедра высшей алгебры

Лекции по алгебре, 1 курс, 1 поток

Лектор: Д.А.Тимашёв

Лекции читаются дистанционно в Zoom на 1-й паре (9:00-10:35) по вторникам на каждой чётной неделе и по пятницам на каждой неделе.

Доступны рабочие видеозаписи лекций (см. ниже).

Литература

1. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.

2. Э.Б.Винберг. Курс алгебры.

---

4 сентября 2020

Лекция 1

Системы линейных уравнений (СЛУ) и их решения.

Совместные и несовместные, определённые и неопределённые СЛУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений и их матриц. Элементарное преобразование приводит к эквивалентной СЛУ.

Метод Гаусса решения СЛУ: ведущие элементы (лидеры) строк матрицы, приведение к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду, ранг ступенчатой матрицы, анализ ступенчатой СЛУ, главные и свободные неизвестные, общее решение системы. Критерий совместности и определённости СЛУ в терминах рангов ступенчатых матриц. Преимущество улучшенного ступенчатого вида. Пример решения СЛУ методом Гаусса.

Видеозапись лекции (смотреть с 43-й минуты)

---

10 сентября 2020

Лекция 2

Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ), их совместность. ОСЛУ с числом уравнений меньше числа неизвестных имеет ненулевое решение.

Векторные пространства (вещественные): определение, примеры (геометрические векторы, арифметическое пространство R^n, пространство функций на множестве), простейшие следствия аксиом (единственность нулевого и противоположного векторов, умножение вектора на 0 и -1, умножение нулевого вектора на число). n), её геометрический смысл.

Видеозапись лекции

---

24 сентября 2020

Лекция 5

Линейные отображения векторных пространств: определение, геометрические примеры (поворот плоскости, проекция пространства на плоскость). Линейные отображения арифметических векторных пространств и их матрицы. Интерпретация СЛУ на языке линейных отображений.

Алгебраические операции над линейными отображениями и матрицами (сложение и умножение, умножение на числа). Матричная запись линейных отображений и СЛУ. Свойства матричных операций: коммутативность и ассоциативность сложения, ассоциативность и дистрибутивность умножения матриц на числа и между собой, некоммутативность умножения матриц, нулевая и противоположная матрицы, умножение на 0 и на 1. Векторное пространство матриц размера m×n.

Видеозапись лекции

---

25 сентября 2020

Лекция 6

Матричные операции и транспонирование.

Ранг произведения матриц.

Тождественное отображение и единичная матрица. Символы Кронекера. Обратная матрица: определение, единственность, связь с обратным линейным отображением. Произведение обратимых матриц обратимо. Невырожденные квадратные матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена. Алгоритм нахождения обратной матрицы (с примером).

Элементарные матрицы, их основное свойство.

Видеозапись лекции

---

25 сентября 2020

Лекция 7

Обратимость элементарных матриц. Разложение произвольной невырожденной матрицы в произведение элементарных матриц.

Перестановки, их количество. Подстановки степени n, их двухрядная запись. Взаимно однозначное соответствие между перестановками и подстановками, количество подстановок степени n равно n!.

Умножение подстановок, его ассоциативность. Тождественная подстановка и подстановка, обратная к данной. Некоммутативность умножения подстановок.

Циклические подстановки (циклы), их орбиты, однорядная запись цикла. Независимость циклов, разложение произвольной подстановки в произведение независимых циклов, его единственность (с точностью до порядка сомножителей).

Видеозапись лекции

---

8 октября 2020

Лекция 8

Транспозиции, разложение произвольной подстановки в произведение транспозиций.

Инверсии в перестановке, чётность и знак перестановки и подстановки. Изменение чётности перестановки при транспозиции двух её элементов. Количество чётных и нечётных перестановок n элементов (или подстановок степени n) одинаково и равно n!/2. Определение знака подстановки по числу сомножителей в её разложении на транспозиции. Знак произведения подстановок. Знак обратной подстановки.

Определители квадратных матриц: определение по развёрнутой формуле. Свойства определителя как функции от набора строк матрицы: полилинейность, кососимметричность, определитель матрицы с нулевой строкой, с одинаковыми и с пропорциональными строками, неизменность при элементарных преобразованиях 1-го типа.

Определитель транспонированной матрицы, свойства определителя как функции от набора столбцов.

Определитель треугольной матрицы. Метод вычисления определителя приведением матрицы к треугольному виду.

Видеозапись лекции

---

9 октября 2020

Лекция 9

Определитель матрицы — единственная, с точностью до пропорциональности, полилинейная кососимметрическая функция от её строк.

Квадратная матрица невырождена тогда и только тогда, когда её определитель не равен 0.

Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда, его основное свойство. Определитель произведения матриц.

Миноры прямоугольной матрицы. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы. Разложение определителя по строке и по столбцу. Лемма о фальшивом разложении определителя.

Видеозапись лекции

---

16 октября 2020

Лекция 10

Присоединённая матрица, её основное свойство. Формула для обратной матрицы. Пример: формула для обратной к матрице размера 2×2.

Правило Крамера для решения квадратных СЛУ.

Теорема о ранге матрицы (его совпадение с наибольшим порядком ненулевого минора), метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы.

Видеозапись лекции

---

20 октября 2020

Лекция 11

Группы: определение, единственность нейтрального и обратного элемента.

Примеры групп (в т.ч. симметрическая группа S_n). Абелевы группы. Сравнение мультипликативной и аддитивной терминологий в теории групп. Подгруппы: определение и примеры (в т.ч. знакопеременная группа A_n).

Кольца: определение, аддитивная группа кольца. Классы колец: ассоциативные, коммутативные, кольца с единицей. Примеры колец (кольцо целых чисел Z, кольцо квадратных матриц Mat_n, кольцо геометрических векторов в пространстве с векторным умножением). Простейшие следствия аксиом кольца (единственность 0, 1 и противоположного элемента, умножение на 0 и на -1).

Обратимые элементы в ассоциативных кольцах с единицей, примеры: 1 обратима, 0 не обратим в кольцах с числом элементов >1. Мультипликативная группа кольца, примеры (в т.ч. полная матричная группа GL_n).

Делители нуля, их необратимость. Возможность сокращения на множитель, не являющийся делителем нуля.

Поля: определение и примеры. Подкольца и подполя: определение и примеры (Z⊂Q⊂R). Перенос теории линейных уравнений, векторов, матриц и определителей с поля R на произвольное поле.

Видеозапись лекции: 1-я часть; 2-я часть (смотреть до 43-й минуты).

---

23 октября 2020

Лекция 12

Сравнимость целых чисел по модулю m, классы вычетов. Операции над вычетами, корректность их определения. Кольцо вычетов Z_m.

Делители нуля и обратимые элементы в кольцах вычетов. Z_m — поле тогда и только тогда, когда m — простое число. 2.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел как точек или векторов на координатной плоскости. Геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел. Модуль комплексного числа и сопряжённое число, их геометрический смысл, свойства операции сопряжения. Деление комплексных чисел в алгебраической форме.

Видеозапись лекции

---

3 ноября 2020

Лекция 14

Аргумент комплексного числа, его главная ветвь. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, её экспоненциальная версия. Свойства модуля и аргумента комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме, геометрический смысл этих операций, формула Муавра.

Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из единицы, первообразные корни.

Многочлены: неформальное определение, функциональная точка зрения на многочлены, её недостаток на примере поля вычетов Z_p (разные многочлены x и x^p задают одинаковые функции). ∞ финитных последовательностей элементов кольца K.

Целостные кольца (области целостности). Кольцо многочленов над областью целостности целостно. Аддитивность степени многочлена. Обратимые элементы в кольце многочленов над областью целостности.

Многочлены над полем и полиномиальные функции. Задача о (полиномиальной) интерполяции. Теорема об интерполяции, интерполяционная формула Лагранжа.

Видеозапись лекции

---

13 ноября 2020

Лекция 16

Эквивалентность формального и функционального равенства многочленов над бесконечным полем.

Деление с остатком в кольце многочленов. Теорема Безу. Корни многочленов, кратность корня, простые и кратные корни. Число корней многочлена, с учётом их кратностей, не превосходит его степени.

Производная многочлена, её свойства. Высшие производные. Связь кратности корня со значениями производных.

Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. Формула Тейлора.

Видеозапись лекции

---

17 ноября 2020

Лекция 17

Делимость в целостных кольцах. Ассоциированные элементы. Наибольший общий делитель (НОД) двух элементов целостного кольца, его единственность с точностью до ассоциированности. Евклидовы кольца, примеры. Существование НОД в евклидовом кольце, алгоритм Евклида для его нахождения. Линейное выражение НОД через исходные элементы.

Простые элементы целостного кольца, примеры: простые числа и неприводимые многочлены. Разложение элемента евклидова кольца на простые множители, его единственность с точностью до перестановки множителей и ассоциированности. Факториальные кольца, факториальность евклидовых колец. Выяснение делимости элементов факториального кольца друг на друга, нахождение их НОД и НОК в терминах разложения на простые множители.

Видеозапись лекции

---

20 ноября 2020

Лекция 18

Пример нефакториального целостного кольца.

Неприводимость многочлена зависит от поля коэффициентов. Многочлены 1-й степени неприводимы над любым полем. Неприводимые многочлены степени >1 не имеют корней (над данным полем).

Основная теорема алгебры комплексных чисел (ОТА): любой многочлен положительной степени над полем C имеет комплексный корень. Её следствия: неприводимые многочлены над полем C — это многочлены 1-й степени, разложение многочлена над полем C на линейные множители, число комплексных корней многочлена, с учётом кратностей, равно степени многочлена. Алгебраически замкнутые поля.

Основные понятия и факты математического анализа над полем C: ε-окрестности, пределы последовательностей и функций, непрерывность, существование минимума R-значной непрерывной функции на компакте. Лемма о неограниченном возрастании модуля многочлена. Лемма Д’Алабмера. Доказательство ОТА.

Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами, их разбиение на пары сопряжённых друг другу корней одинаковой кратности. Разложение многочлена над неприводимые множители (линейные и квадратичные с отрицательным дискриминантом) над полем R.

Видеозапись лекции

---

27 ноября 2020

Лекция 19

Проблема приближённого вычисления действительных (комплексных) корней многочлена сводится к нахождению количества корней в заданном интервале (заданной области). Теорема Декарта (правило знаков), оценка числа действительных корней (с учётом кратности) по одну сторону от заданной границы. Избавление от кратных корней (над полем характеристики 0).

Дроби над целостным кольцом как классы эквивалентности пар элементов кольца, определение алгебраических операций над дробями.

Видеозапись лекции

---

1 декабря 2020

Лекция 20

Свойства алгебраических операций над дробями, поле дробей целостного кольца.

Поле рациональных дробей K(x). Интерпретация рациональных дробей как функций.

Несократимые дроби. Представление элемента поля K(x) несократимой дробью, его единственность.

Правильные дроби. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, его единственность.

Простейшие дроби, их описание над полями C и R. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.

Кольцо K[x_1,…,x_n] многочленов от нескольких переменных над ассоциативным коммутативным кольцом K с единицей: аксиоматическое определение, существование и единственность с точностью до изоморфизма (без доказательства).

Видеозапись лекции

---

4 декабря 2020

Лекция 21

Доказательство существования кольца многочленов от нескольких переменных (путём индуктивного построения) и его единственности (с точностью до изоморфизма).

Полиномиальные функции от нескольких переменных. Эквивалентность формального и функционального равенства многочленов от нескольких переменных над бесконечным полем.

Степень одночлена и многочлена (полная и по отдельным переменным), однородные многочлены, разложение многочлена в сумму однородных компонент.

Лексикографический порядок на одночленах, его свойства. Старший член ненулевого многочлена. Старший член произведения многочленов над целостным кольцом K, целостность кольца K[x_1,…,x_n].

Многочлены от одной переменной над факториальным кольцом A, примитивные многочлены, лемма Гаусса. Факториальность кольца многочленов A[x], факториальность колец Z[x] и K[x_1,…,x_n], где K — поле.

Видеозапись лекции

---

11 декабря 2020

Лекция 22

Симметрические многочлены: определение и примеры. Степенные суммы и элементарные симметрические многочлены.

Теорема Виета: выражение значений элементарных симметрических многочленов на корнях многочлена от одной переменной через его коэффициенты.

Основная теорема о симметрических многочленах: существование и единственность выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.

Выражение значения симметрического многочлена на корнях многочлена от одной переменной через его коэффициенты.

Дискриминант многочлена от одной переменной, его основное свойство: дискриминант равен 0 тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни. Вычисление дискриминанта через определитель из степенных сумм корней многочлена.

Видеозапись лекции

---

15 декабря 2020

Лекция 23

Инвариантность дискриминанта относительно сдвига переменной на константу, сведение к дискриминанту неполного многочлена. Дискриминант неполного кубического трёхчлена, его связь с количеством вещественных корней.

Результант двух многочленов от одной переменной, его свойства, вычисление результанта через определитель из коэффициентов многочленов. Связь дискриминанта многочлена c результантом многочлена и его производной.

Видеозапись лекции

---

18 декабря 2020

Лекция 24

Возведение элемента группы в целую степень, свойства степени.

Порядок элемента группы, его свойства. Пример: порядок подстановки.

Циклическая подгруппа, порождённая элементом группы,

циклические группы, примеры: аддитивные группы колец Z и Z_m. n=e в группе порядка n. Теорема Эйлера о вычетах.

Видеозапись лекции

[2/3] Полное руководство по исключению Гаусса | Адам Дхалла | Стартап

Часть 2 из 3: Как мы выражаем исключение и замену строк как умножение матриц.

Мы рассмотрели все базовые концепции исключения Гаусса в первой части этой мини-серии об исключении Гаусса. В этой статье рассказывается, как мы используем исключение Гаусса, чтобы превратить нашу матрицу коэффициентов A в верхний треугольник U, чтобы мы могли использовать обратную подстановку для решения системы. Мы также исследовали единичные случаи, которые могут из этого получиться.

[1/3] Полное руководство по методу исключения Гаусса

Часть 1 из 3: Что это значит и как мы [люди] его вычисляем, развороты, особые случаи, обмен строками и геометрическое…

adamdhalla .medium.com

Эту серию статей можно рассматривать как дополнение к проф. Курс Гилберта Стрэнга 18.06 по линейной алгебре — точнее, первые четыре лекции.

Какие операции по ликвидации?

При устранении есть две основные операции. Это устранение операции (комбинированный этап умножения/вычитания) и замена строк.

Мы пытаемся выразить эти операции как умножение матриц. Чтобы быть конкретным, на какую матрицу E нам нужно умножить A, чтобы выполнить исключение? Как насчет обмена строками? Это поможет нам приблизиться к последовательной формуле для выполнения исключения Гаусса.

Исключение как умножение матриц

Давайте посмотрим, как мы можем выразить исключение как умножение матриц, используя простую (2 x 2) систему.

Какая матрица E переводит нашу A на следующий шаг исключения? Какая матрица умножает первую строку на два и вычитает ее из второй строки?

Я дам ответ, а затем пройдусь по нему. Мы называем эту матрицу, цель которой состоит в том, чтобы превратить 4 в 0 на A (и, таким образом, превратить ее в верхний треугольник) E_21, поскольку она превращает элемент в пространстве (строка 2, столбец 1) в 0 , E является сокращением от Elementary Matrix — по определению, элементарная матрица — это матрица, которая отличается от идентичности только одним значением. Как вы увидите, это именно то, что они есть.

Давайте посмотрим, как это умножается на матрицу A, чтобы выполнить шаг исключения.

Так как верхняя строка остается неизменной после исключения, первая строка E совпадает с единичной матрицей. Во второй строке мы помещаем -2 в пробел (2, 1). Когда мы умножаем это, он умножает каждый элемент в строке 1 на 2 и вычитает его из элементов во второй строке, что аналогично вычитанию всей строки.

Эта матрица, умноженная на наши правые части b, также имеет тот же эффект вычитания верхней строки из нижней строки. Таким образом, мы умножаем и A, и b на E21, чтобы получить U и x. Алгебраически, Ax = b → EAx = Eb → Ux = c

Давайте рассмотрим более подробный пример (3 x 3), для которого требуются три разные матрицы исключения.

Если мы хотим превратить это в верхний треугольник, мы должны сделать три отдельных шага исключения. Сначала сделаем это привычным нам способом, а затем создадим соответствующие матрицы исключения.

Я не буду беспокоиться о правых частях здесь — если вы записываете все свои исключения в левой части, вы можете выполнять те же самые исключения в правой части постфактум — на самом деле, именно так большинство программистов такие языки, как MATLAB, выполняют исключение Гаусса.

Первый шаг умножает первую строку на 2 и вычитает ее из второй строки. Для второго шага , , мы также можем сделать позицию (3, 1) равной 0, умножив первую строку на 2 и вычтя из третьей строки. Выполнение обоих этих шагов дает нам:

для третьего и последнего шага, мы умножаем -1 на -1, поэтому при вычитании из 1 в последней строке мы получаем 0.

Мы достигли нашего верхняя треугольная матрица U. Теперь, как мы можем сделать эти три шага исключения, используя матрицы? В частности, три матрицы E21 (для присвоения (2, 1) разряда 0), E31 (для присвоения (3, 1) разряда 0) и E32 (для присвоения (3, 2) разряда 0).

Мы должны умножить эти три элементарные матрицы в том же порядке, что и исключение. Сначала два в первом столбце, затем один во втором столбце.

Они идут справа налево.

Итак, что это за элементарные матрицы? Я покажу их все одновременно и кратко объясню каждый из них; идея довольно интуитивна, и вы довольно быстро поймете.

Это то, чем является каждая из элементарных матриц. Трудно действительно объяснить, что они делают, кроме того, что я уже сделал, так как основной способ понять, как они работают, или больше, до считают, что они работают, – умножить их самому. Поэтому я настоятельно рекомендую потратить две минуты на то, чтобы умножить A на каждую из этих трех элементарных матриц (в указанном выше порядке) и увидеть, как A становится верхним треугольником U.

Полезное общее правило, если вы еще не поняли. Выяснилось, что нужно умножить некоторую строку i на некоторый множитель k и вычесть это из некоторой строки j, связанная с ней элементарная матрица Eji должна содержать -k в j-й строке i-го столбца. Прочтите это несколько раз (или лучше сами используйте пример), чтобы немного лучше его усвоить.

Поскольку умножение матриц ассоциативно ((AB)C = A(BC)), мы можем умножить эти три элементарные матрицы в одну матрицу E, которая переводит нашу матрицу A в верхнетреугольную форму U за одну операцию.

Здесь наше E (и вычисление для получения E) будет выглядеть примерно так:

Проблема с вычислением этого E заключается в том, что трудно узнать, как будет выглядеть E, до его умножения. Это усложняет вычисления, и наше решение этой проблемы будет представлено в последней статье этой серии, где мы предлагаем наиболее эффективный (и часто используемый) способ решения системы уравнений.

Перед этим нам нужно увидеть матричный эквивалент еще одного важного шага исключения: обмена строками.

Обмен строками как умножение матриц

Подобно тому, как элементарные матрицы выполняют исключение, матрицы перестановок выполняют обмен строк. Все матрицы перестановок чем-то напоминают искаженные матрицы идентичности — это имеет смысл, если подумать, поскольку обмен строками не меняет фактического содержимого в матрице — просто меняет их местами.

Вот пример матрицы, которая меняет местами 1-ю и 2-ю строки матрицы 3 x 3.

Матрица перестановок должна иметь 1 в каждой строке и каждом столбце и 0 во всех остальных местах. Вы можете умножить их, чтобы убедиться, что это работает; опять же, это единственный способ «получить» эти вещи.

Количество матриц перестановок для системы n x n равно n факториалу (n!) (с учетом единичной матрицы, которая представляет собой матрицу перестановок, которая ничего не делает). Следовательно, количество матриц перестановок для системы 3 x 3 равно 6. Здесь все они и что они делают; быстрый осмотр должен сделать очевидным то, что они делают.

Матрицы перестановок обладают несколькими интересными свойствами. Прежде всего, это «семейство» матриц — любая матрица перестановок, умноженная на другую матрицу перестановок, возвращает другую матрицу перестановок в том же «наборе». Кроме того, обратные матрицы перестановок являются их транспонированными.

Пока это все. В следующей статье мы будем манипулировать этими матрицами, чтобы найти наиболее эффективный способ решения этих систем с использованием инверсий и других инструментов.

Адам Дхалла учится в старшей школе из Ванкувера, Британская Колумбия, в настоящее время участвует в STEM и бизнес-сообществе ТКС . Он очарован внешним миром и в настоящее время изучает новые технологии для защиты окружающей среды. Чтобы не отставать,

Подпишитесь на его I nstagram и его LinkedIn . Чтобы получить больше подобного контента, подпишитесь на его информационный бюллетень здесь.

Учебное пособие по исключению Гаусса и матричным уравнениям

Учебное пособие

Матричные уравнения и расширенные матрицы

Матричные уравнения

Матричное уравнение — это именно то, на что оно похоже — это уравнение, включающее матрицы. Обычно, если нам дана матрица с именем A и вектор с именем b , то уравнение Ax = b

пытается найти вектор x , который делает уравнение верным. Вот пример:

Если вы знаете, как перемножать матрицы и векторы, то, умножая 9Умножив вектор 0057 x на матрицу A , вы получите линейную систему для элементов b . Достаточно сказать, что решение приведенного выше матричного уравнения равносильно решению этой линейной системы:

Для методов, которые мы будем использовать в этом уроке, удобнее вообще отказаться от переменных, рассматривая их скорее как заполнители. Для этого увеличим матрицу

A вектором b вот так:

Приведенная выше форма с расширенной матрицей оказывается чрезвычайно полезной для решения и классификации линейных систем. Если мы все еще хотим думать об этой матрице как о представлении линейной системы, то мы можем это сделать. Мы просто связываем столбцы с переменными нашей системы, а строки с уравнениями системы.

Напомним, вот как перевести матричное уравнение как в линейную систему, так и в расширенную матрицу.

Форма эшелона и форма эшелона с уменьшенным рядом

Форма эшелона рядов

Часто при работе с расширенными матрицами мы понимаем, что одни матрицы более интересны, чем другие. Когда матрица имеет только нули под диагональными элементами, то говорят, что она находится в форме эшелонов или эшелонов строк формы .

Вот например

Эшелонная форма интересна тем, что позволяет нам легче решать систему, используя технику, называемую 9.0057 обратная замена . Если предположить, что приведенная выше матрица является расширенной матрицей, то каждый из первых пяти столбцов представляет переменную, скажем, a, b, c, d, e . Это означает, что, взглянув на последний столбец, мы сразу же увидим, что 4

e = 1 , так что e = 1/4 . Теперь мы можем заменить на во предпоследней строке. Это дает нам d + 7e = 5 , так что d + 7/4 = 5 , так что d = 27/4 . Теперь мы можем заменить оба d и e в третью строку и так далее, пока не получим значения для всех пяти переменных.

Уменьшенная форма эшелона рядов

Другая форма, похожая на эшелонированную форму, – это эшелонированная форма с уменьшенным рядом . Для любой матрицы первая ненулевая запись в строке называется опорной точкой

. Матрица находится в форме сокращенного эшелона строк, когда каждая опорная точка равна 1, и опорная точка является единственной ненулевой записью в ее столбце . Вот идеальный пример: 

Учитывая матрицу в форме сокращенного эшелона строк, если в каждом столбце есть точка опоры, мы можем просто прочитать решения, взглянув на последний столбец. Итак, если мы снова предположим, что первые пять столбцов соответствуют переменным a, b, c, d и e , то a = 3 , b = 1 , c = 2 , d = 5 и e = 2 .

Вскоре мы увидим технику, которая берет любую матрицу и переводит ее в сокращенную ступенчатую форму строк, тем самым решая любое уравнение или систему, которую она представляет. Вот еще один пример, показывающий, как решения соотносятся с формой редуцированного эшелона строк.

Исключение по Гауссу и операции со строками

Идея

Это действительно суть этого урока, здесь мы изучаем технику решения больших линейных систем. Исключение Гаусса – это пошаговая процедура, которая начинается с системы линейных уравнений или расширенной матрицы и преобразует ее в другую систему, которую легче решить. Обычно мы в конечном итоге можем легко определить значение одной из наших переменных, и, используя эту переменную, мы можем применить обратную подстановку для решения остальной части системы.

Когда уравнения представлены расширенной матрицей, процесс исключения Гаусса переводит матрицу в эшелонированную форму. Как мы видели, если у нас есть матрица в форме эшелона, мы можем определить решения матричного уравнения, которое она представляет.

В стороне: исключение Гаусса-Джордана

Исключение Гаусса-Джордана точно такое же, как исключение Гаусса, за исключением того, что цель состоит в том, чтобы поместить матрицу в форму сокращенного эшелона строк, а не в форму простого эшелона строк. Это требует больше работы, но позволит увидеть решения довольно просто. Теперь о технике.

Строковые операции

Исключения Гаусса и Гаусса-Жордана работают путем применения операций со строками к матрицам. Операция со строками — это способ упростить представление матрицы, сохранив при этом ее решение. Разрешены следующие операции со строками:

1. Вы можете поменять местами любые две строки
2. Вы можете умножить любую строку на ненулевое скалярное значение
3. Вы можете добавить скалярное число любой строки к другой строке.

Пример: замена строк

Пример: умножение на ненулевое скалярное значение

Пример: добавить кратное одной строки к другой

Теперь давайте применим эти правила в примере.