Матрицы онлайн метод крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решить систему линейных уравнений (метод Крамера или метод Гаусса )

Пример 1:

Найти решение системы методом Крамера: 

Решение от преподавателя:

Запишем систему в виде:

A =	10 1 4 1 -2 -7 2 1 5

B^T = (1,-3,0)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель:
∆ = 10*((-2)*5-1*(-7))-1*(1*5-1*4)+2*(1*(-7)-(-2)*4) = -29
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

1	1	4
-3	-2	-7
0	1	5

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 1*((-2)*5-1*(-7))-(-3)*(1*5-1*4)+0*(1*(-7)-(-2)*4) = 0

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

10	1	4
1	-3	-7
2	0	5

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 10*((-3)*5-0*(-7))-1*(1*5-0*4)+2*(1*(-7)-(-3)*4) = -145

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

10	1	1
1	-2	-3
2	1	0

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 10*((-2)*0-1*(-3))-1*(1*0-1*1)+2*(1*(-3)-(-2)*1) = 29

Выпишем отдельно найденные переменные Х



Проверка.
10*0+1*5+4*(-1) = 1
1*0-2*5-7*(-1) = -3
2*0+1*5+5*(-1) = 0

Пример 2:

Решить систему линейных уравнений  (метод Крамера или метод Гаусса )

Решение от преподавателя:

Запишем систему в виде: 

A =

2 3 1 1 -1 -1 5 2 4

B^T = (6,1,11) 
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. 
Определитель: 
∆ = 2*((-1)*4-2*(-1))-1*(3*4-2*1)+5*(3*(-1)-(-1)*1) = -24 
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.  

6	3	1
1	-1	-1
11	2	4

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 6*((-1)*4-2*(-1))-1*(3*4-2*1)+11*(3*(-1)-(-1)*1) = -44 

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

2	6	1
1	1	-1
5	11	4

Найдем определитель полученной матрицы.  
∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 2*(1*4-11*(-1))-1*(6*4-11*1)+5*(6*(-1)-1*1) = -18 

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

2	3	6
1	-1	1
5	2	11

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 2*((-1)*11-2*1)-1*(3*11-2*6)+5*(3*1-(-1)*6) = -2 

Выпишем отдельно найденные переменные Х 

Пример 3:

Решить систему линейных уравнений

по формулам Крамера и методом Гаусса. Сравнить полученные результаты.

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решить систему уравнений с помощью формул Крамера.

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решить систему линейных уравнений с помощью формул Крамера:

Решение от преподавателя:

Находим определитель матрицы системы:

В определителе матрицы системы последовательно меняем 1-й, 2-й, 3-й столбцы на столбец свободных членов и находим полученные определители:

Решение системы:

Ответ: (6; 2; – 4).

Пример 7:

Решить систему линейных уравнений  (метод Крамера или метод Гаусса )

Решение от преподавателя:

Запишем систему в виде: 

BT = (7,3,4) 
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.  
Определитель: 
∆ = 2*(3*(-3)-(-2)*(-1))-7*((-1)*(-3)-(-2)*4)+5*((-1)*(-1)-3*4) = -154 
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

 

7	-1	4
3	3	-1
4	-2	-3

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 7*(3*(-3)-(-2)*(-1))-3*((-1)*(-3)-(-2)*4)+4*((-1)*(-1)-3*4) = -154 

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

2	7	4
7	3	-1
5	4	-3

Найдем определитель полученной матрицы.  
∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 2*(3*(-3)-4*(-1))-7*(7*(-3)-4*4)+5*(7*(-1)-3*4) = 154 

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

2	-1	7
7	3	3
5	-2	4

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 2*(3*4-(-2)*3)-7*((-1)*4-(-2)*7)+5*((-1)*3-3*7) = -154 

Выпишем отдельно найденные переменные Х 

Ответ:

Пример 8:

Решение от преподавателя:

а)

 

Ответ:X=1

Y=1

Z=1

б)

Из вышеизложенной таблицы следует:

X=1

Y=1

Z=1

Пример 9:

Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса и методом Крамера.

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решить сиситему методом Крамера и сдеать проверку:

Решение от преподавателя:

Запишем систему в виде: 

A =

1 5 1 -2 3 -1 3 1 1

B^T = (3,-2,1) 
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. 
Определитель: 
∆ = 1*(3*1-1*(-1))-(-2)*(5*1-1*1)+3*(5*(-1)-3*1) = -12 
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.  

3	5	1
-2	3	-1
1	1	1

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 3*(3*1-1*(-1))-(-2)*(5*1-1*1)+1*(5*(-1)-3*1) = 12 

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

1	3	1
-2	-2	-1
3	1	1

Найдем определитель полученной матрицы.  
∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 1*((-2)*1-1*(-1))-(-2)*(3*1-1*1)+3*(3*(-1)-(-2)*1) = 0 

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

1	5	3
-2	3	-2
3	1	1

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 1*(3*1-1*(-2))-(-2)*(5*1-1*3)+3*(5*(-2)-3*3) = -48 

Выпишем отдельно найденные переменные Х 



Проверка.  
1*(-1)+5*0+1*4 = 3 
-2*(-1)+3*0-1*4 = -2 
3*(-1)+1*0+1*4 = 1 

Калькулятор определителей матрицы

Если вы хотите вычислить определители матрицы , вы находитесь в правильном месте. Этот решатель определителя вычисляет определитель матриц 4×4, 3×3 и 2×2.

Но какое значение имеют детерминанты? Детерминанты имеют множество применений, о которых мы упомянем в следующем разделе. Например, решение системы уравнений 3×3 аналогично вычислению определителя матрицы 3×3 . Продолжайте читать, чтобы узнать об этом больше!

Зачем нужно вычислять определители матрицы?

Вот некоторые из приложений определителей:

• Например, мы можем описать системы линейных уравнений с помощью матриц. Использование правила Крамера является примером использования определителей для решения систем линейных уравнений.
• При использовании матриц для описания линейного преобразования часто бывает лучше диагонализовать их . Мы делаем это, вычисляя определители матриц, конечно.
• Определитель говорит нам, есть ли у матрицы обратная и можем ли мы аппроксимировать эту обратную псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза.
• Обычно нам нужны собственных значения ранее упомянутого преобразования. Для их получения также необходимо вычислить определители матриц.

А зачем нам матрицы? Ну, матрицы описывают многие физические величины, такие как напряжение, деформация, турбулентность или круг Мора.

Ну, определители важны, это понятно. Теперь давайте посмотрим, как их вычислить .

Вычисление определителя матриц 4×4, 3×3 и 2×2

Ниже приведены формулы для вычисления определителя матриц.

Определитель матрицы 2×2

If

A=[a1b1a2b2]\scriptsize A = \begin{bmatrix} а_1 и б_1 \\ а_2 и б_2 \end{bmatrix} A=[a1​a2​​b1​b2​​]

, тогда определитель числа AAA равен

∣A∣=a1b2−a2b1\footnotesize |A| = a_1b_2 – a_2b_1∣A∣=a1​b2​−a2​b1​

Определитель матрицы 3×3

If

B=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]\scriptsize B = \begin{bmatrix} а_1 и б_1 и с_1 \\ а_2 и б_2 и с_2 \\ а_3 и б_3 и с_3 \end{bmatrix}B=[a1​a2​a3​b1​b2​b3​​c1​c2​c3​]

тогда, чтобы вычислить определитель такой матрицы 3×3:

∣B∣= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2         −a3b2c1−a1b3c2−a2b1c3\scriptsize |B| = a_1b_2c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ – a_3b_2c_1 – a_1b_3c_2 – a_2b_1c_3∣B∣=a1​b2​c3​+a2​b3​c1​+a3​b1​c2​         −a3​ b2​c1​−a1​b3​c2​−a2​b1​c3​

Определитель матрицы 4×4

Наконец:

C=[a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d3a4b4c4d4]\scriptsize C = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ а_2 и б_2 и с_2 и d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ а_4 и б_4 и с_4 и d_4 \end{bmatrix} C=⎣

⎡​a1​a2​a3​a4​​b1​b2​b3​b4​​c1​c2​c3​c4​​d1​d2​d3​d4​​⎦

⎤​

then, to calculate the determinant of such a 4×4 matrix:

∣C∣=a1b2c3d4−a2b1c3d4+a3b1c2d4− a1b3c2d4+a2b3c1d4−a3b2c1d4+a3b2c4d1− a2b3c4d1+a4b3c2d1−a3b4c2d1+a2b4c3d1− a4b2c3d1+a4b1c3d2−a1b4c3d2 +a3b4c1d2− a4b3c1d2+a1b3c4d2–a3b1c4d2+a2b1c4d3– a1b2c4d3+a4b2c1d3–a2b4c1d3+a1b4c2d3– a4b1c2d3\scriptsize |C| = a_1b_2c_3d_4 – a_2b_1c_3d_4 + a_3b_1c_2d_4 – \\\ a_1b_3c_2d_4 + a_2b_3c_1d_4 – a_3b_2c_1d_4 + a_3b_2c_4d_1 – \\\ a_2b_3c_4d_1 + a_4b_3c_2d_1 – a_3b_4c_2d_1 + a_2b_4c_3d_1 – \\\ a_4b_2c_3d_1 + a_4b_1c_3d_2 – a_1b_4c_3d_2 + a_3b_4c_1d_2 – \\\ a_4b_3c_1d_2 + a_1b_3c_4d_2 – a_3b_1c_4d_2 + a_2b_1c_4d_3 – \\\ a_1b_2c_4d_3 + a_4b_2c_1d_3 – a_2b_4c_1d_3 + a_1b_4c_2d_3 – \\\ a_4b_1c_2d_3∣C∣=a1​b2​c3​d4​−a2​b1​c3​d4​+a3​b1​c2​d4​− a1​b3 ​c2​d4​+a2​b3​c1​d4​−a3​b2​c1​d4​+a3​b2​c4​d1​− a2​b3​c4​d1​+a4​b3​c2​d1​ −a3​b4​c2​d1​+a2​b4​c3​d1​− a4​b2​c3​d1​+a4​b1​c3​d2​−a1​b4​c3​d2​+a3​b4​ c1d2−a4b3c1d2+a1b3c4d2−a3b1c4d2+a2b1c4d3−a1b2c4d3+ a4​b2​c1​d3​−a2​b4​c1​d3​+a1​b4​c2​d3​− a4​b1​c2​d3​

Как видите, найти определитель матрицы 3×3 и 2×2 относительно легко, а вычисление определителя матрицы 4×4 — сложная задача . Лучшим вариантом, несомненно, является использование нашего определителя .

2AQ10910

2AQ10910

Продвинутая алгебра 2: 1 квартал

Охват темы:
Модуль 1A_Systems (A): Системы линейных уравнений / Системы линейных неравенств: [Уроки]

Модуль 1B_Systems (B): Системы уравнений Планера / Линейное программирование: [Уроки]
Модуль 2A_Functions (A): предметная область, диапазон, определенные функции, оценка функций, составные функции [Уроки]
Модуль 2B_Functions (B): преобразованные функции, ограниченная область, абсолютное значение, определенное как кусочные, обратные отношения [уроки]

Руководство по эксплуатации калькулятора TI:
Manual1: Графические функции [ссылка]
Manual2: Поиск точек пересечения [ссылка]
Manual3: Решение систем с матрицами [Ссылка]

Лаборатория калькуляторов TI:

Линии графика и поиск точки пересечения [ссылка]
Матричная математика и системы [ссылка]
Обнаружение свойств абсолютного значения [ссылка]

Рабочие листы:
Модуль 1A_Systems: просмотр задания [ссылка]
Unit 1A_Systems: первые четыре класса [ссылка]
Модуль 1A_Systems: Настройка систем [ссылка]
Модуль 1A_Systems: разминка 3-го дня [ссылка]
Unit 1A_Systems: Типы систем [Ссылка]
Unit 1A_ Systems: дополнительный обзор (алгебра 1) [ссылка]
Unit 1A_Systems: Темы тестов [ссылка]
Модуль 2A_Functions: Примечания Определенные функции [ссылка]
Блок 2A_Functions: область практики / диапазон из графика [ссылка]

Модуль 2A_Functions: практическая область из уравнений [ссылка]
Модуль 2A_Functions: Примечания (оценка по графику) [ссылка]
Модуль 2A_Functions: практика (оценка по графику) [ссылка]
Модуль 2A_Functions: практика (оценка по уравнению) [ссылка]
Unit 2A_Functions: Примечания (четные и нечетные функции) [ссылка]
Модуль 2A_Functions: практика (четные и нечетные функции) [ссылка]
Unit 2A_Functions: Практика 18 [Ссылка]
Модуль 2A_Functions: интерпретация обозначений функций в контексте [ссылка]
Unit 2A_Functions: Темы тестов [ссылка]
Модуль 2B_Functions: прогрев родительских функций и таблица значений [ссылка]
Модуль 2B_Functions: преобразование практических функций, естественный и ограниченный домен [ссылка]
Модуль 2B_Functions: графики для практики [ссылка]
Unit 2B_Functions: функциональные примечания по частям [ссылка]
Unit 2B_Functions: Домашнее задание по функциям [ссылка]
Модуль 2B_Functions: Домен с ограниченным доступом к функциям . Абсолютная величина. Примечания [Ссылка]
Модуль 2B_Functions: введение в обратные функции и отношения [ссылка]
Модуль 2B_Functions: Темы тестов [Ссылки]

Домашнее задание:

Дата присвоения	Задание
02.09.09	Прочтите раздел 4.2 (Системы уравнений) Заполните стр. 118: 27, 28, 31, 33, 37 Прочтите раздел 4.3 (Правило Крамера) Заполните стр. 124: 2,7,9,19 Напишите мне по адресу [email protected] Тема: A2 и блок № и Ваше имя Содержание: номер учебника и номер калькулятора . [ Дополнительный ] Рабочий лист «Настройка систем» 1–7 все
04.09.09	[(стр. 117: 1 , 5, 9) <- Используйте метод Матриц] СЕЙЧАС ИСПОЛЬЗУЯ GLENCOE BOOK Стр. 197: 15, с. 202: 19, 21, 29, 35 [ Дополнительный ] Рабочий лист «Настройка систем» 8–13 все
9/9/09	Исследование для теста 1A: Будьте готовы решать системы, используя все методы: исключение, замену, график, правило Крамера и матрицы . (Не все системы будут в стандартной форме) (Просмотреть стандартную форму) (Некоторые системы могут включать дроби) (Обратите внимание на исключение дробей) На этом экзамене нельзя использовать калькулятор: 1A
11.09.09	(1) Стр. 141 № 2, 3, 5, 11, 12, 16 (2) Прочтите Руководство 1 и 2 TI84 (3) Полная лаборатория TI84: графическое решение линейных систем
15.09.09	(1)Раздел 4.5 #1a,c,d 2b,e (2) Раздел 4.9 № 3, 4
17.09.09	Раздел 4. 11 № 1, 10 Finish Lab: Матрицы
21.09.09	(1) Раздел 4.11 #8
23.09.09	(1) ИССЛЕДОВАНИЕ ДЛЯ ИСПЫТАНИЯ 1B: Разделы 4.5, 4.6, 4.9, 4.11 и Calculator Labs
25.09.09	(1) HSPA – ЭТАЛОН 1 Studyisland.com
30.09.09	(1) Дополнительный рабочий лист «Область из уравнений» (нечетные) (2) Стр. 56: 13 – 16, с. 68: 12 – 26 (3) Гленко: Стр. 68: 1, 2, 3, 6 – 11
02.10.09	Дополнительный рабочий лист — «Оценка по графику» / «Оценка по уравнению»
06.10.09	Дополнительный рабочий лист (1) «Четные и нечетные функции» (2) «Практика 18» – нечетные
08.10.09	Полное абсолютное значение TILAB (будьте готовы сдать эту лабораторную работу)
12. Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: