Матрицы и определители | Математика, которая мне нравится
1. След матрицы
Определение. Следом матрицы называется сумма элементов, стоящих по главной диагонали.
Обозначение: .
Свойства следа:
1. .
2. .
3. .
Задача. Доказать, что матричное уравнение , где — квадратная матрица , — единичная матрица, решений не имеет.
Решение. След матрицы, стоящей в левой части уравнения, равен , а в правой части — .
2. Вычисление некоторых определителей
2.1. Циклический определитель (циркулянт)
В строках циклически передвигаются .
Прибавим к последней строке все предшествующие. Получим
Теперь получим нули в последней строке, вычитая из каждого столбца предыдущий:
Вычтем первую строчку из всех последующих, и полученный определитель разложим по последнему столбцу:
2.
2. Определитель Вандермонда
Вычтем последовательно из -го, -го, , второго столбца предыдущий, домноженный на :
разложим по первой строке, и вынесем общие множители элементов строк получившегося определителя -го порядка:
Определитель имеет тот же вид, что и исходный, но на единицу меньший порядок. Его можно преобразовать аналогично:
Продолжая процесс далее, приходим к окончательному ответу
2.3. Циклический определитель (циркулянт) еще раз
А теперь рассмотрим циркулянт общего вида
Рассмотрим полином . Домножим циркулянт на определитель Вандермонда, составленный по ( — корень степени из ) и воспользуемся равенством . Получим
откуда
поскольку определитель Вандермонда здесь отличен от нуля.
2.4. Ганкелев определитель
Ганкелевой матрицей называется симметричная матрица следущего вида:
Элементы — образующие ганкелевой матрицы.
Теорема. Если при , то
Доказательство. Матрицу можно представить в виде произведения:
На основании теоремы Бинe — Коши, равен тогда произведению двух определителей Вандермонда:
2.5. Определитель Коши
Вычтем из второго, третьего и т.д., -го столбца первый:
и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:
Вычтем первую строку полученного определителя из второй, третьей и т.д., -й:
разложим по первому столбцу и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:
В результате получили определитель той же структуры, что и исходный, но на единицу меньшего порядка. Продолжая процесс по аналогии, получим окончательно:
2.6. Определитель матрицы Гильберта
Если при , то определитель матрицы Гильберта
равен
Он получается из определителя Коши, если положить , .
2.7. Ленточный определитель
Определитель Якоби:
после разложения по общей формуле разложения определителя будет представлять из себя полином по , линейный по каждой переменной. Если разложить по последней строке, то получим:
Теорема. Значение равно сумме главного члена и всевозможных произведений, получающихся из него заменой одной или нескольких пар соседних множителей на .
Частный случай определителя Якоби — континуант:
Его величина совпадает с континуантой.
Исследуем еще один частный случай определителя Якоби (при
одинаковых элементах на диагоналях):
В этом случае уравнение получим
Таким образом, для нахождения определителя нужно решить линейное рекуррентное соотношение второго порядка. Начальные данные находим, вычислив определители и :
Упражнение. Вычислить определитель
Задачи.
1. Пусть матрица , , и — минор элемента . Пусть — матрица, составленная из элементов , и . Докажите, что .
2. Пусть
Для каких уравнение имеет кратные корни по ?
3. Пусть — матрица с элементами . Найдите .
4. Пусть — единичная матрица ,
Докажите, что наибольший общий делитель элементов матрицы стремится к бесконечности при .
5.
6. Вычислите
7. Найдите определитель -го порядка
8. Пусть и — вещественные не равные матрицы , такие, что и . можно ли выбрать матрицы и так, чтобы матрица была обратима?
9. Пусть — конечная группа, состоящая из вещественных матриц с операцией матричного умножения.
Сумма следов всех элементов равна нулю. Докажите, что сумма всех элементов — нулевая матрица.
11. Доказать, что определитель вещественной кососимметрической матрицы не может быть отрицательным числом.
12. Пусть
Существует ли матрица такая, что ?
13. Даны две матрицы и размерами и соответственно, причем известно, что
Найдите .
14. Пусть — матрица: при и . Докажите, что число ненулевых элементов в разложении равно .
Больше о матрицах и определителях (и не только): http://pmpu.ru/vf4/
Математика. Матрицы. Определитель (детерминант). | Vseznayka
Приветствую всех. Сегодня мы познакомимся с понятием определителя матрицы.Узнаем что это, где он нам пригодится в дальнейшем и как его вычислить. Материал сам по себе достаточно необычный, но не особо сложный.
Узнаем что это, где он нам пригодится в дальнейшем и как его вычислить. Материал сам по себе достаточно необычный, но не особо сложный.Определитель (детерминант) – основное понятие в теории линейной алгебры, используется для определения свойств матрицы.
Самое главное – определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (количество строк равняется количеству столбцов). Чаще всего используют это понятие в решении “систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)“, с которыми мы познакомимся в дальнейшем. А так же для характеристики СЛАУ и нахождения обратной матрицы, и много где ещё.
Вычисление определителя.
(1Х1)
Первым делом познакомимся с определителем первого порядка, точнее матрица один на один (1Х1).
Рассмотрели, что бы было. Это тоже нужно знать.
(2Х2)
Определитель второго порядка вычисляется по простому правилу. Произведение элементов главной диагонали минус произведение побочной.
Затруднений быть не должно, всё предельно просто.Затруднений быть не должно, всё предельно просто.
(3Х3)
Методов нахождения определителя матрицы третьего порядка существует несколько, самых известных и наиболее часто используемых всего два, это:
- Правило треугольника
- Разложение по строке или столбцу
Правило (метод) треугольника.
Самый простой из всех трёх методов и одновременно с этим один из самых запутанных. Запутанный потому что могут возникать трудности при устном счёте.
Отсюда видно, что вычислений будет достаточно.
Отсюда видно, что вычислений будет достаточно.
Проиллюстрируем на картинке.
Первый определитель соответствует первой скобке, второй определитель, второй скобке. Цветными линиями показаны элементы которые перемножаются, как видно из первого определителя, там все вычисления делаются относительно главной диагонали, во втором, относительно побочной диагонали.Первый определитель соответствует первой скобке, второй определитель, второй скобке. Цветными линиями показаны элементы которые перемножаются, как видно из первого определителя, там все вычисления делаются относительно главной диагонали, во втором, относительно побочной диагонали.
Разложение по строке или столбцу.
Используется довольно редко, хоть и подходит для вычисления определителей любого порядка. Этот, как никакой другой, требует внимательности и понимания. Все вычисления как правило опираются на понятия алгебраического дополнения и минора. Пока что торопить события не будем, разберёмся с этими понятиями на практике, а сейчас попробуем разобраться без них.
Для примера сделаем разложение по первой строке и запишем всё в общем виде.
Вот так должно быть выполнено в тетрадке, если просят всё расписать.
Небольшие пояснения. Мы сделали разложение по первой строке, следовательно мы будем вычёркивать подобным образом последовательно все элементы находящиеся в строчке от а11, до а13. Элементы находящийся на пересечении мы умножаем на получившуюся матрицу (2Х2). Минус единица в степени (i+j) записывается ВСЕГДА.Небольшие пояснения. Мы сделали разложение по первой строке, следовательно мы будем вычёркивать подобным образом последовательно все элементы находящиеся в строчке от а11, до а13. Элементы находящийся на пересечении мы умножаем на получившуюся матрицу (2Х2). Минус единица в степени (i+j) записывается ВСЕГДА.
Таким образом мы имеем право делать разложение по любой строке или любому столбцу. Данный метод нас подводит к частным случаям упрощённого решения определителей.
На сегодня теории достаточно, в следующий раз будем заниматься практикой. Оставляйте свои комментарии. Спасибо за внимание.
Другие темы:
Практика. Математика. Матрицы. Определитель (детерминант). | Vseznayka
Приветствую всех. Пришло время разобраться не только с матрицами (ссылки в конце статьи), но и с определителями. С методами вычисления мы уже познакомились в теории (ссылки в конце статьи). Сегодня придётся освоить все накопленные знания на практике. Не будем тянуть, приступим ближе к делу.
Первое что нужно узнать, так это буквенное обозначение.
Буквенные обозначения определителя для матрицы А.Буквенные обозначения определителя для матрицы А.
Багаж знаний дополнен. Можно приниматься за сами определители. Разминочный определитель (2Х2) раскидаем.
Произведение элементов главной диагонали (слева направо по диагонали) минус произведение элементов побочной диагонали (справа налево).
Произведение элементов главной диагонали (слева направо по диагонали) минус произведение элементов побочной диагонали (справа налево).
Формула одна для вычисления определителя второго порядка, зацикливаться на ней нет смысла. Перейдём к более интересным вариациям решений определителя третьего порядка (3Х3).
Проиллюстрируем решение определителя третьего порядка при помощи правила (метода) треугольника. Пусть задана матрица “А”. Найдём численное значение определителя этой матрицы.
Единственный недостаток метода, так это большое количество устных вычислений. Что в свою очередь увеличивает вероятность допустить ошибку в матрицах с более большими значениями.Единственный недостаток метода, так это большое количество устных вычислений. Что в свою очередь увеличивает вероятность допустить ошибку в матрицах с более большими значениями.
Следующим, выполним разложение по строке или столбцу. Для демонстрации правильности собственных решений, использовать будем всю ту же матрицу “А”.
Проведём разложение по третьему столбцу.
Возможно кто-то заметил, что данный метод упрощается при появлении хотя бы нескольких нулей в столбце или строке.
Все выше показанные методы можно использовать и в совокупности. Попробуем, но будем использовать матрицу четвёртого порядка.
Первым делом мы использовали разложение по второму столбцу (остальную часть разложения не записывали, так как все остальные определители умножаются на ноль). Всё остальное подсчитали методом треугольника.Первым делом мы использовали разложение по второму столбцу (остальную часть разложения не записывали, так как все остальные определители умножаются на ноль). Всё остальное подсчитали методом треугольника.
На сегодня было достаточно материала. Настало время переходить к системам уравнений и методам их решений. Оставляйте свои пожелания/замечания.
Спасибо за внимание.Другие темы:
Матрицы. Определитель (детерминант).
Матрицы. “Арифметические действия”.
Вывод формул по геометрии.
Определитель матрицы в математике с примерами
Определитель матрицыОпределителем или детерминантом квадратной матрицы -го порядка называют число, представляющее собой алгебраическую сумму произведений полного числа сочетаний элементов, принадлежащих различным строкам и столбцам матрицы.
Приняты следующие обозначения определителя матрицы :
Определителем матрицы 1-го порядка называется число, равное ее единственному элементу: .
Определителем матрицы 2-го порядка называется число, равное разности произведений элементов ее главной и вспомогательной диагоналей: .
Определители матриц более высоких порядков удобнее всего вычисляются с помощью разложения по элементам произвольной строки или столбца.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со знаком :
т.е., если — четное число, то , если — нечетное число, то .
Согласно теореме Лапласа определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Разложение по элементам -ой строки определителя матрицы имеет вид
Разложение по элементам -го столбца определителя матрицы имеет вид
Например, разложение определителя матрицы 3-го порядка по элементам 2-ой строки имеет вид
где — алгебраическое дополнение элемента матрицы .
Свойства определителей
- При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не изменяется:
Из этого свойства следует, что все утверждения, сделанные для строк определителя, справедливы и для его столбцов.
- Если матрица содержит нулевую строку или столбец, то ее определитель равен нулю:
- Постоянный множитель для всех элементов какой-либо строки или столбца матрицы можно выносить за знак определителя:
- Определитель, каждый элемент произвольной строки которого является суммой двух слагаемых, равен сумме двух определителей у одного из которых в указанной строке стоят первые слагаемые, а у другого — вторые, при условии, что остальные элементы у всех определителей совпадают, например:
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Помощь по математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Факультативный курс “Матрицы и определители”
Предлагаемый курс преследует цель познакомить
учащихся с матричной символикой и основными
понятиями алгебры матриц, а также научить их
уверенно оперировать с матрицами и
определителями как объектами более общего
характера по сравнению с числами и функциями.
Изучение данного курса способствует формированию абстрактных представлений, развитию логического мышления, осуществлению межпредметных связей.
Курс характеризуется рациональным сочетанием логики и наглядности, увеличивается теоретическая значимость изучаемого материала, учащиеся овладевают приёмами аналитической деятельности при решении задач.
Организация учебно-воспитательного процесса
Изучения курса “Матрицы и определители” в 8-ых классах общеобразовательных учреждений рекомендуется проводить во внеурочное время, 1 раз в неделю в течение учебного года.
Учителю предоставляется право самостоятельно выбирать методические пути и приёмы преподавания данного курса.
При планировании учебных занятий следует
ориентироваться не только на теоретическую
подготовку учащихся, но и на организацию решения
практических задач с учётом дифференциации
группы и индивидуальных особенностей детей.
Следует способствовать удовлетворению потребностей школьников, проявляющих склонности и интерес к математики.
Учителю необходимо реализовать сбалансированное сочетание традиционных и новых методов обучения, применять иллюстративные и эвристические методы, рационально сочетать устные и письменные виды работы.
Структура программы
Программа курса “Матрицы и определители” состоит из трёх разделов: “Содержание программы”, “Содержание знаний и умений”, “Список литературы”, “Основные понятия курса”.
Содержание программы
Раздел 1. Основные понятия (4 часа)
- Введение в предмет
- Типы и формы матриц
- Матричная символика
Раздел 2. Операции с матрицами (8 часов)
- Транспонирование матриц
- Сложение матриц
- Умножение матрицы на скаляр
- Умножение матрицы на матрицу
Раздел 3.
Определители (10 часов)
- Понятие определителя
- Свойства определителей
- Миноры и алгебраические дополнения
- Разложение определителя по Лапласу
Раздел 4. Вычисление определителей (12 часов)
- Метод элементарных преобразований
- Метод единственного деления
- Метод опорного элемента
Содержание знаний и умений
В результате изучения курса “Матрицы и определители” учащиеся узнают:
- Основные формы и типы матриц.
- Матричную символику.
- Особенности матричных операций.
- Свойства определителей.
- Понятия миноров и алгебраических дополнений.
- Основные методы вычисления определителей.
Умеют:
- Складывать, перемножать, транспонировать и
обращать матрицы с вещественными элементами.
- Разлагать определители.
- Вычислять определители и применять их к решению задач.
Основные понятия курса
Произвольная система чисел из некоторого множества, расположенная в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей.
Две матрицы называются равными, если число строк и столбцов у них соответственно равны.
Если число строк матрицы равно числу её столбцов, то такая матрица называется квадратной, а это число порядком матрицы.
В = - матрица третьего порядка
Пусть даны матрицы
А = и В =
Произведением А на число с называется матрица
С =
Пример
Суммой матриц А и В называется матрица:
С = А + В =
Пример
А = В = А + В =
Для матриц выполняются все свойства действий с
рациональными числами.
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица
С = , где
Пример:
Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а остальные 0 называется единичной.
Е = .
Матрицы, имеющие вид называют диагональными.
Матрица, которая получается из данной матрицы заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к данной.
Определителем n порядка матрицы А называется алгебраическая сумма n! Слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение n множителей, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А.
А = определитель.
Некоторые способы вычислений определителей:
1) Определитель 2-ого порядка
Пример:
2) Определитель 3-его порядка
Данный способ называется правило элементарных
преобразований или правило Саррюса.
Оно
действует и для определителей более высоких
порядков, но является очень громоздким.
Пример:
3) Определители n-ого порядка.
Минором элемента определителя называется определитель, который получается из данного вычёркиванием строки и столбца, проходящих через данный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента определителя n-ого порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком .
Пример. Пусть .
Найдём
Правило 1. Если в определите n-ого порядка все элементы I-ой строки (j-ого столбца), кроме равны нулю, то такой определитель равен произведению элемента на его алгебраическое дополнение.
Пример.
Вычислить определитель
Преобразуем определитель так, чтобы все
элементы четвёртого столбца, кроме первого
равнялись нулю. Для этого умножим все элементы
первой строчки на –1 и сложим со второй и третьей,
затем умножим первую строчку на – 3 и сложим с
четвёртой.
В результате получим
.
Затем, применяя правило, получим:
.
Прибавляя к третьей строчки вторую, получим
Правило 2. Определитель n-ого порядка равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки на их алгебраические дополнения.
Разложение определителя
Пример. Вычислить
Вычислим определитель, разложив его сначала по элементам третьей строки, затем по элементам второго столбца.
Литература
- Энциклопедия “Аванта +”, “Математика”, 2003 год.
- Блох Э. Л. “Основы линейной алгебры” – М., 1979.
- Хедли Л. “Линейная алгебра” – М., 1992.
Математика Определители Системы Матрицы основные определения
Математика Определители. Системы
Матрицы (основные определения) • Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке.
Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются • ai j , где i- номер строки, j- номер столбца. • А=. • • Замечание. Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.
Определитель квадратной матрицы • Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной порядка n. • Каждой квадратной матрице А может быть поставлено в соответствие некоторое число. Такое число называют определителем матрицы и обозначают символом IAI или • det A. При этом порядком определителя называют порядок соответствующей матрицы • Замечание • Пусть n=1. Тогда А=(a 11) и IAI= a 11 , т. е. определитель матрицы первого порядка равен ее единственному элементу.
Определитель 2 -ого порядка . 2) Пусть n=2, тогда IAI= Примеры: 3) 4) 5) Ответы( выбрать правильный вариант): 3) А.
-5 В. 10 С. -14 4) А. -5 В. 10 С. 20 5) А. 0 В. 10 С. -4
Определитель 3 -его порядка Правило вычисления определителя третьего порядка можно схематически изобразить так, дописав два первых столбца:
Вычисление определителей 3 -его порядка • • =( 1 1 2 -1 1 1+1 2 1) – ( 1 1 1 + 2 2 (-1))= =(2 -1 +2) – (1+ 1 – 4) =3 – (-2) = 3 +2 = 5 • Пример: вычислить определители: • • • 1) 2) 3)
Ответы • 1) 19 • 2) 19 • 3) 0
Другой способ вычисления определителей 3 -его порядка • Определитель третьего порядка может быть вычислен с помощью определителей второго порядка по теореме о разложении определителя по первой строке:
Пример • Вычислить определитель двумя способами • 1 способ. Используем правило Саррюса, дописав в определителе два первых столбца • = (1· 2· 1+ 1· 3·(-1)+0· 1· 2)– (0· 2·(-1)+1· 3· 2+1· 1· 1)=-8 • 2 способ. Используем разложение определителя по элементам первой строки • = ( 2· 1 – 3· 2) -1 (1· 1+3) +0= -4 -4=-8
Свойства определителей 1) Определитель не изменится при замене строк столбцами (транспонировании).
2) При перестановки двух строк определитель меняет знак. 3) Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя. 4) Определитель равен нулю, если соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны ( в частности равны). 5) Определитель равен нулю, если все элементы строки (столбца) равны нулю.
Системы линейных алгебраических уравнений Система m линейных уравнений с n неизвестными . Числа коэффициенты при неизвестных; свободные члены. Если , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. Если m=n, т. е. число уравнений равно числу неизвестных, то система называется квадратной.
Δ Пример системы • Дана система. Выписать ее коэффициенты. • Здесь m=3 n=3 ( система квадратная) ; • а 11= 1 а 12 = 2 а 13 =0 b 1 =-1 а 21 =2 а 22 = 3 а 23 =1 b 2 =3 а 31 =3 а 32 = -1 а 33 =-2 b 3 =8
Решение системы Определение. Совокупность n чисел называется решением системы , если после замены этими числами каждое из уравнений системы превращается в верное равенство.
Покажем, что линейная система может: 1) не иметь решений, 2) иметь единственное решение, 3) иметь бесконечное множество решений.
Примеры решения систем и их геометрическая интерпретация 1)Система решений не имеет, ( прямые параллельны) 2) Система имеет единственное решение х=2 , у= -1 ( прямые пересекаются) 3) Система имеет бесконечно много решений: х=t , у=1 -t, где t- любое число. ( одна и та же прямая)
Классификация систем по типу решений • Определение. Система линейных уравнений, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. • Система, обладающая хотя бы одним решением, называется совместной. • Если система имеет единственное решение, то она называется совместной определенной. • Если система имеет бесчисленное множество решений, то она называется совместной неопределенной.
Методы решения систем • Существует два основных метода решения систем. • 1. Метод Крамера( метод определителей).
Этот метод применим только для решения квадратных систем, у которых матрица коэффициентов при неизвестных невырождена ( ее определитель отличен от нуля). • Такие системы имеют единственное решение. • 2. Метод Гаусса. Этот метод является универсальным и может быть применим к любым системам.
Решение систем линейных уравнений Пусть дана система 3 -х уравнений с тремя неизвестными. Составим из коэффициентов при неизвестных определитель третьего порядка и обозначим его символом Δ, т. е. Δ = – главный определитель системы.
Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Если главный определитель системы Δ≠ 0, тогда система имеет единственное решение , которое может быть найдено по формулам Крамера: Х 1=Δ 1/Δ Х 2=Δ 2/Δ Х 3=Δ 3/Δ , где Δi ( i=1, 2, 3) – определитель, полученный из главного, заменой i столбца столбцом свободных членов, т. е. Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 = Замечание: после нахождения решения необходимо сделать проверку.
Алгоритм метода Крамера • 1) Вычисляем главный определитель системы Δ и проверяем, что он отличен от нуля.
• 2) Вычисляем Δ 1, Δ 2 , Δ 3. • 3) Вычисляем х 1, х 2 , х 3. • 4) Делаем проверку. • 5) Пишем ответ. • Замечание. Рассмотренный метод можно применять для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными. • При этом в пункте 2) находят только Δ 1 и Δ 2
Пример № 1 контрольной работы • Найти точку пересечения прямых и построить прямые , заданные уравнениями • х-3 у+2=0 и 3 х+у-3=0 • Решение. Для нахождения точки пересечения непараллельных прямых следует решить систему двух уравнений с двумя неизвестными х и у
Решение примера № 1 контрольной работы • Для решения системы используем формулы Крамера • х=Δ 1/Δ у=Δ 2/Δ, • где • х = 0, 7 у=0, 9. Проверим полученный результат подстановкой в систему: 0, 7 -3 0, 9=-2 (верно) 3 0, 7+0, 9=3 (верно). • Ответ: х=0, 7 у=0, 9–координаты точки пересечения прямых.
Пример 2 контрольной работы • Решить систему с проверкой
Пример 2 ( продолжение) 1) Вычислим главный определитель системы • • • 1 2 Δ= 2 3 = (1∙ 3 ∙ (-2) + 2 ∙ 1 ∙ 3 + 3 ∙ 2 ∙ 1) 3 1 – ( 3 ∙ 3 +1 ∙ 1+2 ∙ (-2)) = = (-6+6+6) – (27+1 -8)=6 -20=-14 ≠ 0 следовательно , метод Крамера применим, т.
е. далее считаем Δ 1 Δ 2 Δ 3
Δ Пример (продолжение) 2)Δ 1 = = -28, Δ 2 = =0, Δ 3 = = 14 3) Подставляем в формулы Крамера Δ, Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 Δ = -14 Δ 1 = -28 , Δ 2 = 0, Δ 3 = 14 х1 =(-28)/(-14), х 2 =0/(-14), х 3 =14/(-14) или х1 =2, х 2 =0, х 3 =-1.
Пример 2 (проверка) 4) Проверка: подставляем полученные значения переменных в левую часть исходной системы ( х1 =2, х 2 =0, х 3 =-1) : 5) Ответ: х1 =2, х 2 =0, х 3 =-1.
Математика – Матричная алгебра – Определители
Определитель – это скалярное число, которое вычисляется из матрицы. Это число может определить, разрешима ли система линейных уравнений, другими словами, можно ли инвертировать матрицу.
Расчет определителя
Формула для определителя показана здесь:
Обозначение
Это скалярное число представлено матрицей с вертикальными линиями с каждой стороны: | M |
Альтернативные подходы
Как и многие математические концепции, есть разные способы понимания детерминантов:
Решение линейных уравнений
Если у нас есть n уравнений с n неизвестными, то мы можем решить эти уравнения при условии, что все эти уравнения независимы, если они не являются, тогда одно уравнение выводится из другого и, следовательно, не предоставляет никакой дополнительной информации.
Геометрическая интерпретация
Детерминанты, возможно, наиболее часто связаны с матрицами, но у нее есть геометрическая интерпретация, которая полностью не зависит от матриц (эта геометрическая интерпретация обсуждается на этой странице).
Независимость векторов (ортогональность) | Возможно, мы получили ключ к этой геометрической интерпретации, когда посмотрели на вращения, чистые вращения всегда имеют детерминант, равный единице.Это связано с ситуацией, когда у нас есть набор единичных векторов, которые взаимно отклонены, определитель матрицы, сформированной из этих векторов, равен единице. |
Объем, заключенный в векторы | | М | – объем, заключенный между векторами. Однако знак имеет значение, он может быть отрицательным, если нечетное количество координат инвертируется, «объем» будет отрицательным. Это связано с трехвектором трехмерной алгебры Клиффорда. |
Используется для вычисления обратной матрицы
Формула для вычисления обратной матрицы [M] включает умножение на скалярный множитель 1 / | M | так что если | M | = 0 все компоненты обратного будут равны бесконечности, что в этом случае указывает на то, что [M] не имеет обратного.
Оценка детерминантов с помощью рекурсии
Мы можем вычислить определитель n × n из матрицы (n-1) × (n-1) и так далее, пока определитель матрицы 1 × 1 не будет сам по себе.Этот рекурсивный метод также известен как расширение по младшим.
Сначала немного терминологии: если мы удалим одну строку и один столбец, оставшийся определитель называется второстепенным, а элемент на пересечении удаляемых строк и столбцов известен как кофактор.
| м11 | м12 | м13 |
| кв.м 21 | м22 | м23 |
| м31 | м32 | м33 |
где:
Для рекурсивной оценки определителя мы сначала выбираем любую строку или столбец, а затем превращаем каждый член в строке или столбце в кофактор.
Определитель вычисляется как сумма миноров, умноженная на связанные с ними сомножители (с чередованием знаков), взятые для выбранной строки или столбца.
| A | = ∑ aij · Cij
где:
- aij = младший элемент A (строка i и столбец j удалены)
- Cij = сомножитель (со знаком) = (−1) i + j · mij
- mij = элемент в строке i и столбце j
Пример матрицы 3×3
Определитель:
| м11 | м12 | м13 |
| кв.м 21 | м22 | м23 |
| м31 | м32 | м33 |
рассчитывается из
| первый семестр | второй срок | третий срок | ||||||||||||||||||||||||||||
| знак | + | – | + | |||||||||||||||||||||||||||
| кофактор | м11 | м12 | м13 | |||||||||||||||||||||||||||
| второстепенный (удалить термины с желтым фоном) |
|
|
|
м 21, получаем
| = m11 | – м12 | + м13 |
м 21и переход на следующий уровень дает:
| М | = m11 m22 m33 + m12 m23 m31 + m13 m21 m32 – m11 m23 m32 – m12 m 21 m33 – м13 м22 м31
Расширение Лапласа
Мы можем развернуться по любому столбцу (j = 1,2.. п):
| n | ||
| дет (М) = | Σ | M ij C ij |
| я = 1 |
или любой ряд (j = 1,2 .. n):
| n | ||
| дет (М) = | Σ | M ji C ji |
| я = 1 |
где:
- M ij = вспомогательный элемент ij
- C ji = сомножители элемента ij = (-1) i + j M ij
Свойства детерминантов
Все матрицы вращения имеют определители 1
Например | R | = cos (a) 2 + sin (a) 2 = 1
Использование определителей для решения системных уравнений
Для 3 неизвестных
x | -г | z | -1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
м.
м.Детерминанты и алгебра Клиффорда
| = A / \ B = псевдоскалярный множитель |
Детерминанты и алгебра Клиффорда обсуждаются на этой странице.(i-1) * a1i * определитель (Minor [1] [i], n-1) } возврат d
Блестящая вики по математике и науке
Альтернативный метод, определитель перестановками , вычисляет определитель, используя перестановки элементов матрицы. Пусть σ \ sigmaσ – это перестановка {1,2,3,…, n} \ {1, 2, 3, \ ldots, n \} {1,2,3,…, n}, а SSS – множество те перестановки.
Тогда определитель матрицы AAA размера n × nn \ умноженный на nn × n равен
∑σ∈S (sgn (σ) ∏i = 1nai, σ (i)).{n} a_ {i, \ sigma (i)} \ right) .
σ∈S∑ (sgn (σ) i = 1∏n ai, σ (i)).Это может показаться более устрашающим, чем предыдущая формула, но на самом деле это более интуитивно понятно. По сути, он говорит следующее:
Выберите nnn элементов AAA так, чтобы не было двух в одной строке и двух не было в одном столбце, и умножьте их, возможно, также на -1-1-1, если перестановка имеет нечетный знак. Определитель – это сумма всех вариантов выбора этих nnn элементов.
Это определение особенно полезно, когда матрица содержит много нулей, так как тогда большинство произведений исчезают.
Отправьте свой ответ
Найти определитель матрицы
(10−19110−6−113−8013000970000−5).
\ Left (\ begin {array} {cc} 1 & 0 & -1 & 9 & 11 \\ 0 & -6 & -1 & 9 & 11 \\ 0 & 0 & \ frac {1} {3} & – 80 & \ frac {1} {3} \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -5 \ end {array} \ right).⎝⎜⎜⎜⎜⎛ 10000 0−6000 −1−131 00 99−8090 111131 7−5 ⎠⎟⎟⎟⎟⎞.
Вот пример:
Каков определитель (abcd)? \ Begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}? (Ac bd)?
Есть две перестановки {1,2} \ {1,2 \} {1,2}: само {1,2} \ {1,2 \} {1,2} и {2,1} \ {2,1 \} {2,1}. Первый имеет положительный знак (так как в нем 0 транспозиций), а второй – отрицательный (поскольку он имеет 1 транспозицию), поэтому определитель равен
det (A) = ∑σ∈S (sgn (σ) ∏i = 1nai, σ (i)) = 1⋅a1,1a2,2 + (- 1) ⋅a1,2a2,1 = ad − bc.{n} a_ {i, \ sigma (i)} \ right) = 1 \ cdot a_ {1,1} a_ {2,2} + (-1) \ cdot a_ {1,2} a_ {2,1 } = ad-bc.det (A) = σ∈S∑ (sgn (σ) i = 1∏n ai, σ (i)) = 1⋅a1,1 a2,2 + (- 1 ) ⋅a1,2 a2,1 = ad − bc.
Неудивительно, что это тот же результат, что и выше.
□ _ \ квадрат □Отправьте свой ответ
Вычислить det (264−315937).\ det \ left (\ begin {array} {cc} 2 & 6 & 4 \\ – 3 & 1 & 5 \\ 9 & 3 & 7 \ end {array} \ right) .det⎝⎛ 2−39 613 457 ⎠⎞.
| Категория | Описание | Разрешить |
|---|---|---|
| Аналитические и рабочие файлы cookie | Эти файлы cookie, включая файлы cookie из Google Analytics, позволяют нам распознавать и подсчитывать количество посетителей на сайтах TI и видеть, как посетители перемещаются по нашим сайтам. Это помогает нам улучшить работу сайтов TI (например, облегчая вам поиск информации на сайте). | |
| Рекламные и маркетинговые файлы cookie | Эти файлы cookie позволяют размещать рекламу на основе интересов на сайтах TI и сторонних веб-сайтах с использованием информации, которую вы предоставляете нам при взаимодействии с нашими сайтами.Объявления на основе интересов отображаются для вас на основе файлов cookie, связанных с вашими действиями в Интернете, такими как просмотр продуктов на наших сайтах. Мы также можем передавать эту информацию третьим лицам для этих целей. Эти файлы cookie помогают нам адаптировать рекламные объявления в соответствии с вашими интересами, управлять частотой, с которой вы видите рекламу, и понимать эффективность нашей рекламы. | |
| Функциональные файлы cookie | Эти файлы cookie помогают идентифицировать вас и хранить ваши действия и информацию об учетной записи, чтобы предоставлять расширенные функциональные возможности, в том числе более персонализированный и релевантный опыт на наших сайтах. Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно. | |
| Файлы cookie социальных сетей | Эти файлы cookie позволяют идентифицировать пользователей и контент, подключенный к онлайн-социальным сетям, таким как Facebook, Twitter и другим платформам социальных сетей, и помогают TI улучшить охват социальных сетей. | |
| Строго необходимо | Эти файлы cookie необходимы для работы сайтов TI или для выполнения ваших запросов (например, для отслеживания того, какие товары вы поместили в корзину на TI.com, для доступа к защищенным областям сайта TI или для управления настроенными вами настройки файлов cookie). | Всегда на связи |
Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно.Детерминанты | Энциклопедия.
comБИБЛИОГРАФИЯ
В математике термин определитель относится к числу, связанному с квадратной матрицей, то есть массивом числовых величин, расположенным, скажем, в n строк и n столбцов. Матрицы такого типа обычно возникают как средство для n линейных уравнений с n неизвестными.
Предположим, что система уравнений имеет вид
a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 +… + a 2n x n = b 2
⋮a n1 x 1 + a n2 x … 2 a nn x n = b n
Тогда матрица отдельных коэффициентов
называется невырожденной тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.Существование и единственность решения системы уравнений определяется невырожденностью A .
Если A не обладает этим свойством, он называется сингулярным , и когда это так, система может не иметь решения (несуществование) или иметь бесконечно много решений (неединственность).
Определитель квадратной матрицы A – это число
, где (Anij) обозначает подматрицу, полученную из A путем удаления ее строки i и столбца j .В этом определении определителя используется то, что называется расширением по строке , в данном случае по строке i . Существует аналогичное определение det ( A ) в терминах расширения столбцом , скажем, j , в котором указано
. Эти формулы связаны с именем французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749–1827). ). Из любого из них очевидно, что определитель единичной матрицы I равен 1, и, следовательно, он невырожден.
Определитель квадратной матрицы A и определитель ее транспонированной A T всегда равны.
Более того, определитель произведения двух квадратных матриц является произведением их определителей. В символах, если A и B – две матрицы n X n , то
det ( AB ) = det ( A ) det (B) .
Из этого и того факта, что определитель единичной матрицы I равен 1, следует, что, когда A невырожден,
Таким образом, определитель невырожденной матрицы и определитель ее обратной являются обратными величине друг с другом.
Как легко понять, вычисление определителя большой матрицы посредством расширения строки или столбца может повлечь за собой значительный объем работы. К счастью, есть матрицы, определители которых нетрудно вычислить. К ним относятся диагональные матрицы (единичная матрица является примером) и, в более общем смысле, нижнетреугольные матрицы. Определитель любой такой матрицы – произведение ее диагональных элементов. (То же верно для всех верхнетреугольных матриц.Нахождение определителя осуществляется с помощью процедур (таких как исключение Гаусса), которые преобразуют матрицу в другую, структура которой позволяет относительно легко вычислить ее определитель.
Правило Крамера для решения системы Ax = b исходит из предположения о невырожденности A . В таком случае у системы есть уникальное решение: x = A -1 b . Правило Крамера дает формулы для значений компонентов этого вектора в терминах данных, в частности, как отношения детерминантов.Выражение этих соотношений требует введения обозначения для матрицы, полученной из A и b путем замены j -го столбца A вектором b . Пусть это обозначение будет A -j (b) . Тогда правило Крамера гласит, что для каждого
В системе
определитель A равен 15. Матрицы A -1 ( b ), A -2 ( b ) , A -3 ( b ), соответственно,
Чтобы использовать правило Крамера в этом случае, нужно вычислить
det (A 1 (b)) = -10, det ( A 2 (( b )) = -55 и det ( A 3 ( b )) = 5.
Правило Крамера тогда дает
Хотя правило Крамера полезно при численном решении небольших систем уравнений (состоящих из двух уравнений с двумя неизвестными или трех уравнений с тремя неизвестными), оно не рекомендуется для решения более крупных систем из-за сложности при вычислении определителей порядка больше 3. Это предостережение не относится к ситуациям, в которых вычисление является полностью символьным. Пример последнего типа можно найти в книге П. А. Самуэльсона Основы экономического анализа (издательство Гарвардского университета, Кембридж, 1963; см. Уравнение 7, стр.14).
Задача решения квадратных систем линейных уравнений возникает из задач наименьших квадратов, которые, в свою очередь, возникают при линейном регрессионном анализе. Квадратная система обычно имеет вид A T AX = A T b . Они называются нормальными уравнениями. Проблема в том, чтобы найти х . Первый вопрос, который возникает: является ли матрица A, T, A невырожденной.
Если это не так, то есть det ( A T A ) = 0, то правило Крамера неприменимо. Если оно неособое, то в принципе решение будет x = AtA ) -1 A t b Когда n , количество переменных x 1 ,…, x n , довольно мало (и det [ A T A] = 0), можно рассмотреть возможность использования правила Крамера для решения уравнений. Но большинство практических задач такого рода не малы, и их нужно решать с помощью компьютеров.Поскольку при этом теряется точная арифметика, на первый план выходит несколько числовых проблем. Широкое использование детерминантов не рекомендуется просто по соображениям вычислительной эффективности. Другое соображение, число условия AtA , входит здесь в картину. Как заявил Гилберт Стренг, «формирование A T A может превратить здоровую проблему в больную, и гораздо лучше (за исключением очень маленьких проблем) использовать либо разложение по Граму-Шмидту, либо разложение по сингулярным числам» ( Стрэнг 1976, стр.
272).
СМОТРИ ТАКЖЕ Обратная матрица; Матричная алгебра; Смещение одновременного уравнения
Эйткен А.С. 1964. Детерминанты и матрицы . Эдинбург: Оливер и Бойд.
Маркус, Марвин и Хенрик Минк. 1964. Обзор теории матриц и матричных неравенств . Бостон: Аллин и Бэкон.
Стрэнг, Гилберт. 1976. Линейная алгебра и ее приложения . Нью-Йорк: Academic Press.
Ричард У.Cottle
Детерминанты и объемы
Пусть A – матрица размера n × n со столбцами v1, v2, …, vn, и пусть T: Rn → Rn – соответствующее преобразование матрицы T (x) = Ax. Тогда T (e1) = v1 и T (e2) = v2, поэтому T переводит единичный куб C в параллелепипед P, определяемый v1, v2, …, vn:
Поскольку единичный куб имеет объем 1 и его изображение имеет объем | det (A) |, преобразование T масштабировало объем куба в | det (A) |. Перефразируя:
Обозначение T (S) означает изображение области S при преобразовании T.
В нотации конструктора наборов это подмножество
T (S) = CT (x) | xinSD.
Фактически, T масштабирует объем любой области в Rn с тем же коэффициентом, даже для округлых областей.
Проба
Пусть C – единичный куб, пусть v1, v2, …, vn – столбцы A, и пусть P – паралелепипед, определяемый этими векторами, так что T (C) = P и vol (P) = | det (А) |. Для A> 0 обозначим AC кубом с длинами сторон A, т. Е. Паралелепипедом, определяемым векторами Ae1, Ae2, …, Aen, и мы определяем AP аналогично. По второму определяющему свойству T переводит AC в AP. Объем AC равен An (мы масштабировали каждый из n стандартных векторов в A раз), а объем AP равен An | det (A) | (по той же причине), поэтому мы показали, что T масштабирует объем AC на | det (A) |.
Ae2Ae1ACvol (AC) = AnTF || v1v2 || GAv2Av1APvol (AP) = An | det (A) |По первому определяющему свойству образ транслята AC является транслятом AP:
Т (х + АС) = Т (х) + АТ (С) = Т (х) + AP.
Поскольку перевод не изменяет объемы, это доказывает, что T масштабирует объем перевода AC на | det (A) |.
На этом этапе нам нужно использовать методы многомерного исчисления, поэтому мы даем только представление об остальной части доказательства. Любую область S можно аппроксимировать набором очень маленьких кубиков вида x + AC. Затем изображение T (S) аппроксимируется изображением этого набора кубов, который представляет собой набор очень маленьких паралелепипедов вида T (x) + AP.
Объем S приблизительно равен сумме объемов кубиков; фактически, когда A стремится к нулю, предел этой суммы в точности равен vol (S).Точно так же объем T (S) равен сумме объемов паралелэпипедов, считая в пределе A → 0. Ключевым моментом является то, что объем каждого куба масштабируется на | det (A) |. Следовательно, сумма объемов паралеллепипедов равна | det (A) | умножить на сумму объемов кубиков. Это доказывает, что vol (T (S)) = | det (A) | vol (S).
Численность, математика и статистика – набор академических навыков
Определитель матрицы
Определение
Определитель матрицы – это единственное числовое значение, которое используется при вычислении обратного или при решении систем линейных уравнений.
Определитель матрицы $ \ mathbf {A} $ обозначается $ \ lvert \ mathbf {A} \ rvert $, или иногда $ \ det (\ mathbf {A}) $. Определитель определен только для квадратных матриц.
Матрица называется сингулярной , если ее определитель равен нулю.
Общая формула определителя матриц любого размера очень сложна. Вам будет предложено вычислить определители матриц $ 2 \ times 2 $ или $ 3 \ times 3 $ вручную.
Определитель матрицы $ 2 \ times 2 $
Определение
Пусть $ \ mathbf {A} = \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} $.
Определитель $ \ mathbf {A} $ равен \ [\ lvert \ mathbf {A} \ rvert = ad – bc \]
Рабочие примеры
Пример 1
Найдите определитель матрицы $ \ mathbf {A} = \ begin {pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \ end {pmatrix} $.
Решение
\ begin {align} \ lvert \ mathbf {A} \ rvert = \ begin {vmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \ end {vmatrix} & = 4 \ times 2 – 1 \ times 0 \\ & = 8 – 0 \\ & = 8 \ end {align}
Пример 2
Найдите определитель матрицы $ \ mathbf {A} = \ begin {pmatrix} -6 & 3 \\ -1 & 1 \ end {pmatrix} $.
Решение
\ begin {align} \ lvert \ mathbf {A} \ rvert & = (-6) \ times 1-3 \ times (-1) \\ & = (- 6) – (-3) \\ & = – 6 + 3 \\ & = – 3 \ end {align}
Пример 3
Найдите определитель матрицы $ \ mathbf {A} = \ begin {pmatrix} 5 & -10 \\ -2 & 4 \ end {pmatrix} $.
Решение
\ begin {align} \ lvert \ mathbf {A} \ rvert & = 5 \ times 4 – (-10) \ times (-2) \\ & = 20-20 \\ & = 0 \ end {align}
Примечание: Поскольку ее определитель равен нулю, эта матрица не имеет обратной.
Видео примеры
Хейли Бишоп находит определитель матриц $ 2 \ times 2 $ $ \ mathbf {A} = \ begin {pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 4 \ end {pmatrix} $ и $ \ mathbf {B} = \ begin {pmatrix } -2 & 10 \\ – 1 & 5 \ end {pmatrix} $.
3 $ \ раз $ 3 Определители
Определение
Определитель матрицы размером $ 3 \ times 3 $ можно вычислить, разбив ее на более мелкие матрицы $ 2 \ times 2 $, как показано ниже:
\ [\ begin {vmatrix} а & б & с \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix} знак равно а \ begin {vmatrix} е & е \\ Привет \ end {vmatrix} – б \ begin {vmatrix} д & е \\ g & я \ end {vmatrix} + c \ begin {vmatrix} д & е \\ g & h \ end {vmatrix} \]
Или,
\ [\ begin {vmatrix} а_ {11} и а_ {12} и а_ {13} \\ а_ {21} и а_ {22} и а_ {23} \\ а_ {31} и а_ {32} и а_ {33} \ end {vmatrix} знак равно а_ {11} \ begin {vmatrix} а_ {22} и а_ {23} \\ а_ {32} и а_ {33} \ end {vmatrix} – а_ {12} \ begin {vmatrix} а_ {21} и а_ {23} \\ а_ {31} и а_ {33} \ end {vmatrix} + a_ {13} \ begin {vmatrix} а_ {21} и а_ {22} \\ а_ {31} и а_ {32} \ end {vmatrix} \]
Вот один из способов интерпретации формулы: для каждого элемента $ a_ {1i} $ в верхней строке заблокируйте строку и столбец, которым он принадлежит, и вычислите определитель оставшейся непокрытой матрицы $ 2 \ times 2 $, затем умножьте что $ a_ {1i} $.
Определитель – это сумма этих значений с чередованием сложения и вычитания.
Рабочие примеры
Пример 1
Найдите определитель матрицы $ \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 \ end {pmatrix} $.
Решение
\ begin {align} \ lvert \ mathbf {A} \ rvert & = 1 \ begin {vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 4 \ end {vmatrix} -2 \ begin {vmatrix} 0 & 4 \\ 3 & 4 \ end {vmatrix} +1 \ begin {vmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \ end {vmatrix} \\\\ & = 1 (3 \ times 4 – 4 \ times 1) -2 (0 \ times 4-4 \ раз 3) +1 (0 \ раз 1-3 \ раз 3) \\ & = 1 (12-4) -2 (0-12) +1 (0-9) \\ & = 8 + 24-9 \\ & = 23 \ end {align}
Пример 2
Найдите определитель матрицы $ \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 6 \ end {pmatrix} $.
Решение
\ begin {align} \ lvert \ mathbf {A} \ rvert & = 1 \ begin {vmatrix} -1 & -3 \\ 0 & 6 \ end {vmatrix} -0 \ begin {vmatrix} -1 & -3 \\ 0 & 6 \ end {vmatrix} +3 \ begin {vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 0 \ end {vmatrix} \\\\ & = 1 \ bigl ((- 1) \ times 6 – (-3) \ раз 0 \ bigr) -0 (\, \ dotso \,) +3 \ bigl ((- 1) \ times 0 – (-1) \ times 0 \ bigr) \\ & = 1 \ bigr ((-6) -0 \ bigl) -0 +3 (0-0) \\ & = – 6 +0 \\ & = – 6 \ end {align}
Примечание: Не было необходимости вычислять второй определитель $ 2 \ times 2 $, так как он умножался на ноль.
Видео пример
Хейли Бишоп вычисляет определитель матрицы $ 3 \ times 3 $ $ \ mathbf {A} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ – 1 & 1 & 4 \ end {pmatrix} $.
Рабочая тетрадь
Эта рабочая тетрадь, созданная HELM, является хорошим помощником при проверке, содержит ключевые моменты для проверки и множество рабочих примеров.
Проверьте себя
Проверьте себя: тест Numbas на детерминантах 2×2
Внешние ресурсы
Q: Почему детерминанты определены так странно?
Физик : Это вопрос, который часто возникает, когда вы впервые изучаете линейную алгебру.Определитель обладает множеством чрезвычайно полезных свойств, но это странная операция. Вы начинаете с матрицы, берете одно число из каждого столбца и умножаете их вместе, затем делаете это во всех возможных комбинациях и в половине случаев вычитаете, и, кажется, нет никакой рифмы или причины, почему.
Этот конкретный математический пост будет немного тяжелым.
Если у вас есть матрица, то определителем будет, где – перестановка чисел от 1 до n, а – «подпись» или «четность» этой расстановки.Сигнатура: (-1) k , где k – количество раз, когда пары чисел должны быть переключены, чтобы добраться до.
Например, если, то
Оказывается (и это ответ на вопрос), определитель матрицы можно представить как объем параллелепипеда, созданный векторами, которые являются столбцами этой матрицы. В последнем примере это векторы, и.
Параллелепипед, образованный векторами a, b и c.
Допустим, объем созданного параллелепипеда равен.Вот несколько объектов недвижимости:
1), если любая пара векторов одинакова, потому что это соответствует плоскому параллелепипеду.
2), что представляет собой причудливый математический способ сказать, что удвоение длины любой из сторон увеличивает вдвое объем. Это также означает, что определитель линейный (в каждом столбце).
3), что означает «линейный». Это работает одинаково для всех векторов в.
Проверьте это! Используя эти свойства, мы можем видеть, что переключение двух векторов в определителе меняет знак.
4), поэтому переключение двух векторов меняет знак. Это верно для любой пары векторов в D. Другой способ подумать об этом свойстве – сказать, что когда вы меняете два направления, вы поворачиваете параллелепипед наизнанку.
Наконец, если,,…, то
5), потому что коробка 1 на 1 на 1 на… имеет объем 1.
Также обратите внимание, что, например,
Наконец, со всей этой математикой,
Проделаем то же самое со второй частью D,
То же самое можно сделать со всеми векторами в D.Но вместо того, чтобы записывать n различных суммирований, мы можем написать,, где каждый член имеет значение от 1 до n.
Когда те, которые остались в D, такие же, тогда D = 0. Это означает, что единственными ненулевыми членами, оставшимися в суммировании, являются перестановки, где каждый элемент представляет собой число от 1 до n, без повторов.
Все, кроме одного, будут в странном порядке. При переключении порядка в D можно перевернуть знак, и этот знак дается подписью,. Итак, где, где k – количество раз, которое нужно переключить, чтобы добраться до.
Итак,
Что и есть определение определителя! Другие варианты использования определителя, от поиска собственных векторов и собственных значений до определения, является ли набор векторов линейно независимым или нет, до обработки координат в сложных интегралах, все исходят от определения определителя как объема параллелепипеда, созданного из столбцов. матрицы. Просто не всегда ясно, как это сделать.
Например, : определитель матрицы по определению совпадает с площадью этого параллелограмма.
Параллелепипед (в данном случае двумерный параллелограмм), образованный формулами (2,1) и (3,5).
Использование приемов, определенных в сообщении:
Или, используя обычную технику поиска определителей,.