Найти определитель матрицы методом Гаусса
Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы
База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны
Содержание статьи
1. Свойства определителя квадратной матрицы
2. Алгоритм для подсчёта детерминанта методом Гаусса
Определитель матрицы – это число, являющееся её параметром-характеристикой. Через определитель выполняются многие действия, связанные с матрицами, например, поиск неизвестных из систем уравнений и не только.
В этой статье рассказано про получение определителя методом Гаусса, также иногда такой способ называют понижением порядка определителя. Помимо приведённого здесь способа также детерминант можно сосчитать через миноры или используя правила Саррюса и треугольников.
T| = |A|$
Алгоритм для подсчёта детерминанта методом Гаусса
Чтобы найти определитель матрицы методом Гаусса, необходимо:
- Привести матрицу к верхнетреугольной или нижнетреугольной форме используя разрешённые над матрицей преобразования, называемые также элементарными.
- Сосчитать произведение всех членов матрицы, принадлежащих главной матричной диагонали полученной треугольной матрицы (эта диагональ проходит слева-направо сверху-вниз). При осуществлении подсчётов для вычисления определителя матрицы методом Гаусса нужно помнить, что при перестановке строчек или столбцов необходимо поменять знак детерминанта в конце решения на противоположный.
Замечание 1
Важно: не следует умножать или делить отдельные строчки матрицы на какие-либо числа во время процесса вычисления, так как это изменит итоговое значение. В случае же если всё же домножили строчку матрицы на какой-либо коэффициент, не забудьте вынести его обратное значение как множитель перед матрицей и домножить на это число итоговый ответ.
Пример 1
Найти определитель матрицы методом Гаусса.
$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 &2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \\ \end{array} \right)$
Переставляем верхнюю и третью строчки и выносим знак минус после перестановки:
$A = – \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 &2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 &2 \end{array} \right)$
Затем умножаем первую строчку на $3$ и вычитаю из второй:
$A = – \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0& 1 & -4 \\ 0 & 1 &2 \\ \end{array} \right)$
Вычитаем из третьей строчки вторую:
$A = – \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0& 1 & -4 \\ 0 & 0 &6 \\ \end{array} \right)$
Полученная матрица является нижнетреугольной, следовательно, теперь можно сосчитать её детерминант:
$det(A) = – ( 1 \cdot 1 \cdot 6) = -6$
Пример 2
Примените метод Гаусса для вычисления определителя матрицы 4 порядка:
$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$
Сделаем перестановку крайнего столбца с последним и третьего столбец со вторым.
Это не изменит знак конечного значения определителя, так как смена позиций применяется дважды:
$A = \left( \begin{array}{cccc} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$
Вычитаю из первой строчки вторую:
$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 3 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$
Складываю умноженную на $3$ верхнюю строчку со второй:
$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -6 & 5 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$
Прибавляю к предпоследней строке вторую:
$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$
Прибавляю к нижней строчке предпоследнюю:
$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ \end{array} \right)$
Матрица стала треугольной, теперь найдём её детерминант:
$det(A) = 1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 12 = 12$.
Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 16.12.2021
Выполнение любых типов работ по математике
Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами
Подбор готовых материалов по теме
Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы
Особенности вычисления определителя матрицы (стр.
1 из 2)Содержание
Введение…………………………………………………………………………………………….. 2
1. Постановка задачи………………………………………………………………………….. 3
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи……………… 5
2.1 Определитель матрицы………………………………………………………………….. 5
2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений…………………… 6
2.3 Метод Гаусса для вычисления определителя……………………………………. 8
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи…………………….. 9
4. Программная реализация решения задачи………………………………………. 11
5. Пример выполнения программы…………………………………………………….. 16
Заключение…………………………………………………
……………………………………. 18
Список использованных источников и литературы……………………………… 19
Введение
Многие проблемы, возникающие в экономических исследованиях, планировании и управлении, будучи сформулированными математически, представляют собой задачи, в которых необходимо решить систему алгебраических уравнений.
Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.
При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.
Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для нахождения матрицы, обратной к данной, определения ранга матрицы и нахождения определителя.
Целью данной курсовой работы является реализация вычисления определителя методом исключения Гаусса.
1. Постановка задачи
Пусть дана квадратная матрица A размером NxN. Требуется вычислить её определитель.
Вычисление определителя матрицы заключается в выполнении над матрицей алгоритма Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. В результате выполнения алгоритма получаем диагональную матрицу, её определитель равен произведению элементов, стоящих на диагонали.
Пример 1.
Вычислить определитель матрицы методом A исключения Гаусса.
.
Решение:
Приведем матрицу к диагональному виду методом Гаусса.
~
.
Тогда определитель матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на диагонали:
.
Знак определяется количеством обменов строк, следовательно определитель матрицы
.
Пример 2.
Вычислить определитель матрицы методом A исключения Гаусса.
.
Решение:
Приведем матрицу к диагональному виду методом Гаусса.
~
.
Тогда определитель матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на диагонали:
.
Знак определяется количеством обменов строк, следовательно определитель матрицы
.
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Определитель матрицы
Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка.
Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка n, нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка n-1. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.
Определитель квадратной матрицы A будем обозначать
или det A.
Определение. Определителем квадратной матрицы
второго порядка называется число
.
Определителем
квадратной матрицы порядка n,
, называется число
где
– определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и столбца с номером k.
2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Пусть дана квадратная матрица A размером NxN. Требуется вычислить её определитель.
Воспользуемся идеями метода Гаусса решения систем линейных уравнений.
Дана система:
a11 x1 + a12 x2 + .
.. + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
…
an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn = bn
Выполним следующий алгоритм.
На первом шаге найдём в первом столбце наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на первую строчку (обменяв две соответствующие строки матрицы A и два соответствующих элемента вектора B), а затем будем отнимать это уравнение от всех остальных, чтобы в первом столбце все элементы (кроме первого) обратились в ноль. Например, при прибавлении ко второй строке будем домножать первую строку на -a21/a11, при добавлении к третьей – на -a31/a11, и т.д.
На втором шаге найдём во втором столбце, начиная со второго элемента, наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на вторую строчку, и будем отнимать это уравнение от всех остальных (в том числе и от первого), чтобы во втором столбце все элементы (кроме второго) обратились в ноль. Понятно, что эта операция никак не изменит первый столбец – ведь от каждой строки мы будем отнимать вторую строку, домноженную на некоторый коэффициент, а во второй строке в первом столбце стоит ноль.
Т.е. на i-ом шаге найдём в i-ом столбце, начиная с i-го элемента, наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на i-ю строчку, и будем отнимать это уравнение от всех остальных. Понятно, что это никак не повлияет на все предыдущие столбцы (с первого по (i-1)-ый).
В конце концов, мы приведём систему к так называемому диагональному виду:
c11 x1 = d1
c22 x2 = d2
…
cnn xn = dn
Т.е. мы нашли решение системы.
Замечание 1. На каждой итерации найдётся хотя бы один ненулевой элемент, иначе система бы имела нулевой определитель, что противоречит условию.
Замечание 2. Требование, что на каждом шаге мы выбираем наибольший по модулю элемент, очень важно в смысле численной устойчивости метода. Если выбирать произвольный ненулевой элемент, то это может привести к гигантской погрешности, когда получившееся решение будет отличаться в разы от правильного.
2.3 Метод Гаусса для вычисления определителя
Будем выполнять те же самые действия, что и при решении системы линейных уравнений, исключив только деление текущей строки на a[i][i] (точнее, само деление можно выполнять, но подразумевая, что число выносится за знак определителя).
Тогда все операции, которые мы будем производить с матрицей, не будут изменять величину определителя матрицы, за исключением, быть может, знака (мы только обмениваем местами две строки, что меняет знак на противоположный, или прибавляем одну строку к другой, что не меняет величину определителя).
Но матрица, к которой мы приходим после выполнения алгоритма Гаусса, является диагональной, и определитель её равен произведению элементов, стоящих на диагонали. Знак, как уже говорилось, будет определяться количеством обменов строк (если их нечётное, то знак определителя следует изменить на противоположный). Таким образом, мы можем с помощью алгоритма Гаусса вычислять определитель матрицы за O(N3).
Осталось только заметить, что если в какой-то момент мы не найдём в текущем столбце ненулевого элемента, то алгоритм следует остановить и вернуть 0.
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
Блок-схема решения задачи представлена на рисунке 1.
Рисунок 1 – Блок-схема решения задачи для функции DETERMINATE
4 Программная реализация решения задачи
;ФУНКЦИЯ, ВЫЧИСЛЯЮЩАЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
(DEFUN DETERMINANT (MATRIX SIZE)
;ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
;ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
(DECLARE (SPECIAL DET))
;ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАССИВЫ И ПЕРЕМЕННЫЕ
(DECLARE (SPECIAL PAR))
(DECLARE (SPECIAL R))
(DECLARE (SPECIAL T_))
(DECLARE (SPECIAL I))
(DECLARE (SPECIAL II))
;*********************
(SETQ R (MAKE-ARRAY SIZE :ELEMENT-TYPE ‘FLOAT :INITIAL-ELEMENT 0))
(SETQ T_ 1)
(SETQ DET 1)
(DO
((J 0))
((>= J (- SIZE 1)))
;ИСКЛЮЧАЕМ ДЕЛЕНИЕ НА 0
(IF (= (AREF MATRIX J J) 0)
(PROGN
(SETQ II (+ J 1))
;ИЩЕМ СТРОКУ В КОТОРОЙ J-Й ЭЛЕМЕНТ НЕ 0
(DO
(())
((OR (/= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))))
(SETQ II (+ II 1))
)
;ЕСЛИ НЕТ ТАКОЙ СТРОКИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 0
(IF (AND (= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))) (SETQ T_ 0))
13.
Метод ГауссаНа приведении расширенной матрицы системы к ступенчатым матрицам специального вида основан метод решения систем линейных уравнений, называемый методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.
На первом этапе (прямой ход метода Гаусса) расширенная матрица Приводится к ступенчатой матрице , у которой все ненулевые строки имеют первый элемент, равный единице. Решение полученной системы уравнений с расширенной ступенчатой матрицей называется обратным ходом метода Гаусса. Обратный ход может быть выполнен как в форме последовательного определения неизвестных, начиная с последнего, так и в форме последующего преобразования матрицы к ступенчатой матрице , у которой все ненулевые строки содержат только одну единицу и позволяют в явном виде представить решение системы.
Отметим, что, выполняя прямой ход метода Гаусса, мы получаем возможность эффективного вычисления ранга матрицы и определителя. Если нас интересует ранг матрицы, то после преобразования ее к ступенчатой форме, достаточно подсчитать число ненулевых строк: это и будет ранг матрицы.
Если нас интересует определитель матрицы, то эта матрица, естественно, должна быть квадратной. После преобразования ее методом Гаусса к ступенчатой форме она примет вид верхней треугольной матрицы, то есть матрицы, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Определитель любой верхней треугольной матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали. Если на главной диагонали имеется хотя бы один нулевой элемент, то определитель треугольной матрицы равен нулю и, соответственно, определитель исходной матрицы равен нулю. Если же на главной диагонали в результате преобразований прямого хода метода Гаусса окажутся только единицы, то надо в процессе преобразований следить за перестановками строк, которые изменяют знак определителя на обратный, и за умножениями или делениями строк матрицы на числа, которые пропорционально изменяют величину определителя. Определитель исходной матрицы находится как произведение всех чисел, на которые делились строки. Знак этого произведения остается прежним, если было проведено четное число перестановок строк, и изменяется на противоположный, если число перестановок строк было нечетным.
Пример. Решим методом Гаусса следующую систему:
Выполняя прямой ход метода Гаусса, приведем расширенную матрицу этой системы к ступенчатой матрице, у которой все ненулевые строки имеют первый ненулевой элемент, равный единице. На первом этапе выполним следующие элементарные преобразования исходной расширенной матрицы: разделим первую строку на число два; сложим вторую строку с первой и результат запишем во вторую строку; из третьей строки вычтем преобразованную первую строку и результат запишем в третью строку:
.
Мы получили в результате, что первая строка ненулевая, имеет первым ненулевым элементом число один, а все элементы в первой колонке под числом один равны нулю. Для того чтобы, вторая строка начиналась с единицы, переставим вторую и третью строки местами:
.
Для того чтобы под единицей во втором столбце стоял нуль, из третьей строки полученной матрицы вычтем вторую строку, умноженную на три, и запишем в третью строку:
.
Наконец, чтобы третья строка имела первым ненулевым элементом число один, поделим третью строку на число пять:
=.
На этом завершается прямой ход метода Гаусса, а преобразованная система уравнений, соответствующая полученной ступенчатой расширенной матрице, равносильна исходной системе уравнений и имеет следующий вид:
Отметим, что, выполняя прямой ход метода Гаусса, мы получаем возможность эффективного вычисления ранга матрицы и определителя. Если нас интересует ранг матрицы, то после преобразования ее к ступенчатой форме, достаточно подсчитать число ненулевых строк: это и будет ранг матрицы.
Если нас интересует определитель матрицы, то эта матрица, естественно, должна быть квадратной. После преобразования ее методом Гаусса к ступенчатой форме она примет вид верхней треугольной матрицы, то есть матрицы, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Определитель любой верхней треугольной матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали. Если на главной диагонали имеется хотя бы один нулевой элемент, то определитель треугольной матрицы равен нулю и, соответственно, определитель исходной матрицы равен нулю. Если же на главной диагонали в результате преобразований прямого хода метода Гаусса окажутся только единицы, то надо в процессе преобразований следить за перестановками строк, которые изменяют знак определителя на обратный, и за умножениями или делениями строк матрицы на числа, которые пропорционально изменяют величину определителя. Определитель исходной матрицы находится как произведение всех чисел, на которые делились строки. Знак этого произведения остается прежним, если было проведено четное число перестановок строк, и изменяется на противоположный, если число перестановок строк было нечетным.
В нашем примере, выполнив прямой ход метода Гаусса, мы одновременно нашли ранг матрицы коэффициентов системы (, так как число ненулевых строк преобразованной матрицы равно трем), а также ранг расширенной матрицы (, так как число ненулевых строк преобразованной матрицы равно трем).
Для вычисления определителя исходной матрицы коэффициентов необходимо обратить внимание на три обстоятельства: вид верхней треугольной матрицы, в которую преобразовалась исходная матрица; на какие числа делились или умножались строки; какое количество (четное или нечетное) перестановок было выполнено в процессе преобразований.
Так как на главной диагонали стоят только единицы, то определитель не равен нулю. Далее в процессе преобразований было использовано деление на число 2 первой строки и деление на число 5 третьей строки. Их надо перемножить и подсчитать число перестановок строк местами: была выполнена одна перестановка. Таким образом, определитель матрицы коэффициентов равен: .
Выполним обратный ход метода Гаусса сначала первым способом, то есть последовательно определим неизвестные, начиная с последнего уравнения:
Выполним обратный ход метода Гаусса вторым способом. Продолжим элементарные преобразования матрицы и приведем ее к ступенчатой матрице , у которой все ненулевые строки содержат только одну единицу. Это позволит в явном виде представить решение системы. Сложим вторую строку с третьей строкой и результат запишем во вторую строку:
=.
Далее, чтобы заменить число два первой строки на число нуль, умножим третью строку на число (-2), сложим с первой строкой и результат запишем в первую строку:
.
На этом заканчивается обратный ход метода Гаусса. Преобразованная система уравнений, соответствующая полученной ступенчатой расширенной матрице типа, равносильна исходной системе уравнений и имеет следующий вид
Который представляет собой запись решения системы в явной форме.
Для исследования решения систем линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных полезна следующая теорема.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
4×4 Определитель | Superprof
Что такое детерминанты?
Определитель – это скалярная величина, полученная из элементов квадратной матрицы. Другими словами, мы можем сказать, что при вычислении определителя вход представляет собой квадратную матрицу, а выход — скалярное число. В квадратной матрице количество строк и столбцов равно. Определитель матрицы обозначается двумя вертикальными линиями ||. Например, определитель матрицы A будет обозначаться как |A|.
Определитель матрицы является важным понятием в линейной алгебре, так как он очень полезен при решении линейных уравнений, изменении переменных в интегралах и говорит нам, как линейные преобразования изменяют площадь или объем. Они также полезны при вычислении обратной матрицы и имеют некоторые приложения в исчислении.
Определителем матрицы 1×1 является само число. Например, определитель матрицы .
Определитель матрицы 2×2 приведен ниже:
Поскольку нам даны матрицы более высокого порядка, вычисление определителей становится все более и более сложным. Например, просто взгляните на следующую формулу для вычисления определителя матрицы 3×3.
Для этой матрицы вам нужно разбить большую матрицу на меньшие матрицы 2×2. В следующем разделе мы увидим, как вычислить определитель матрицы 4×4.
Лучшие репетиторы по математике
Поехали
Вычисление определителя матрицы 4×4
Матрица 4×4 имеет 4 строки и 4 столбца.
Было бы очень сложно найти определитель матрицы 4×4, используя элементы в первой строке и разбивая матрицу на более мелкие подматрицы 3×3.
В этом разделе мы увидим, как вычислить определитель матрицы 4×4, используя исключение Гаусса и свойства матрицы. Но прежде чем перейти к примерам, вы должны знать, что такое исключение Гаусса и разные виды треугольных матриц.
Исключение по Гауссу
Исключение по Гауссу также называется сокращением строки. В линейной алгебре алгоритм Гаусса используется для решения системы линейных уравнений. В основном это серия операций, применяемых к матричным элементам. Этот метод полезен при нахождении рангов, вычислении определителей и обратных матриц.
Для сокращения строк мы применяем ряд арифметических операций над матрицей, так что каждый элемент ниже главной диагонали матрицы становится равным нулю. Этот метод влечет за собой три вида операций со строками:
- Замена двух рядов местами. Значение определителя меняет свой знак, т.
е. если оно было отрицательным, то становится положительным и наоборот. - Умножение строки с ненулевой константой. Определитель остается неизменным.
- Добавление или вычитание одной строки из другой. На значение определителя это не влияет.
Треугольное свойство матрицы
Вспомните треугольное свойство определителя, которое гласит, что если каждый элемент в матрице выше или ниже главной диагонали равен нулю, определитель равен произведению элементов на диагонали . Существует три вида треугольных матриц:
Верхняя треугольная матрица
Матрицы, в которых все, что ниже диагонали, равно нулю. Все ненулевые элементы находятся выше главной диагонали. Например, рассмотрим следующую матрицу в форме верхнего треугольника:
Нижняя треугольная матрица
Матрицы, в которых все элементы выше главной диагонали равны нулю. Все ненулевые элементы присутствуют ниже главной диагонали.
Например, рассмотрим следующую матрицу в форме нижнего треугольника:
Диагональная матрица
Все ненулевые элементы присутствуют на главной диагонали. Все, что выше или ниже главной диагонали, равно нулю. Например, рассмотрим следующую диагональную матрицу, в которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю.
Определители таких матриц являются произведением элементов их диагоналей.
При нахождении определителя матрицы 4×4 целесообразно преобразовать матрицу в треугольную форму, применяя операции со строками в свете метода исключения Гаусса. После того, как мы преобразовали матрицу в треугольную форму, мы можем просто перемножить элементы по диагонали, чтобы получить определитель матрицы.
Пример 1
Найдите определитель следующей матрицы 4×4.
Решение
Находя определители матриц, мы можем добавлять строки и столбцы к другим строкам и столбцам.
Это не повлияет на определитель матрицы. Применим эти операции к приведенной выше матрице, чтобы преобразовать ее в треугольную форму:
Результирующий определитель будет выглядеть следующим образом:
Как видите, все элементы ниже главной диагонали нулевые, поэтому эта матрица имеет верхнетреугольную форму. Перемножим элементы по диагонали, чтобы получить определитель.
Пример 2
Найдите определитель следующей матрицы 4×4.
Решение
Применим эти операции к приведенной выше матрице, чтобы преобразовать ее в треугольную форму:
Результирующий определитель будет выглядеть так:
Как видите, все элементы ниже главной диагонали равны нулям, поэтому эта матрица имеет верхнетреугольную форму. Чтобы получить определитель, перемножим элементы главной диагонали.
Пример 3
Найдите определитель следующей матрицы 4×4.
Решение
Применим эти операции к приведенной выше матрице, чтобы преобразовать ее в треугольную форму:
Результирующий определитель будет выглядеть так:
Как видите, все элементы ниже главной диагонали нулевые, поэтому эта матрица имеет верхнетреугольную форму. Вы можете видеть ниже, что мы перемножили все элементы главной диагонали друг с другом, чтобы получить определитель.
Исключение Гаусса : Определитель матрицы с использованием прямого исключения: Пример :Youtube
Одновременные линейные уравнения: исключение Гаусса: определитель Матрица с использованием прямого исключения: Пример: YoutubeИСКЛЮЧЕНИЕ ГАУССА (ГЛАВА 04.06)
Определитель матрицы с использованием прямого исключения: Пример
По Аутар Кау | ||
| ||
| ОПИСАНИЕ ТЕМЫ | ||
Узнайте на примере, как найти определитель матрица с использованием прямых шагов исключения Гаусса. В этом видео вы узнаете, как найти определитель матрицы с использованием прямых шагов исключения Гаусса с пример. | ||
| ВСЕ ВИДЕО ПО ЭТОЙ ТЕМЕ | ||
 ./../../../images/background.jpg”> | Наивное исключение Гаусса: Теория: Часть 1 из 2 [YOUTUBE 10:27] [СТЕНОК] Наивное исключение Гаусса: теория: часть 2 из 2 [YOUTUBE 2:22] [СТЕНОК] Наивный метод исключения Гаусса: Пример: Часть 1 из 2 (Выбывание вперед) [YOUTUBE 10:49] [СТЕНОК] Наивный метод исключения Гаусса: Пример: часть 2 из 2 (обратная замена) [YOUTUBE 6:40] [СТЕНОК] Подводные камни наивного исключения Гаусса Метод: [ЮТУБ 7:20] [СТЕНОК] Наивное исключение Гаусса: округление Проблемы с ошибками: Пример: часть 1 из 3 [YOUTUBE 7:20] [СТЕНОК] Наивное исключение Гаусса: округление Проблемы с ошибками: Пример: Часть 2 из 3 [YOUTUBE 7:40] [СТЕНОК] Наивное исключение Гаусса: округление Проблемы с ошибками: Пример: часть 3 из 3 [YOUTUBE 8:07] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Разворот: теория [YOUTUBE 10:39] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Поворот: Пример: часть 1 из 3 (выбывание вперед) [YOUTUBE 7:15] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Поворот: Пример: часть 2 из 3 (выбывание вперед) [YOUTUBE 10:08] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Поворот: Пример: часть 3 из 3 (обратная замена) [YOUTUBE 6:18] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Сводка: ошибки округления Проблемы: пример: часть 1 из 3 [YOUTUBE 8:58] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Сводка: Проблемы с округлением: Пример: Часть 2 из 3 [YOUTUBE 8:17] [СТЕНОК] Исключение по Гауссу с частичным Сводка: Проблемы с округлением: Пример: часть 3 из 3 [YOUTUBE 5:48] [СТЕНОК] Определитель матрицы с использованием форварда Метод исключения: Фон [YOUTUBE 5:17] [СТЕНОК] Определитель матрицы с использованием форварда Метод устранения: Пример [YOUTUBE 10:07] [СТЕНОК] | |
 ./../../../images/background.jpg”> | ||
| ПОЛНЫЕ РЕСУРСЫ | ||
| Получить в одной разместить следующее: главу учебника, презентацию PowerPoint, отдельные видеоролики с лекциями на YouTube, рабочие листы для иллюстрации метода и его сходимость, а также вопросы с несколькими вариантами ответов на Исключение по Гауссу. | ||
АУДИТОРИЯ | НАГРАДЫ | ЛЮДИ | ТРЕК | РАСПРОСТРАНЕНИЕ | ПУБЛИКАЦИИ | ||
Авторские права:
Университет
Южной Флориды, 4202 E Fowler Ave, Tampa, FL 33620-5350. Все права защищены. Вопросы, предложения или
комментарии, контакт kaw@eng. | АНАЛИТИКА | |
usf.edu
Этот материал основан на работе, поддержанной Национальным научным фондом.
по гранту # 0126793, 0341468, д. 0717624 , 0836981, 0836916 , 0836805. Любые мнения, выводы и заключения или
рекомендации, изложенные в этом материале, являются рекомендациями
автор(ы) и не
обязательно отражают взгляды Национального научного фонда. Другой
спонсоры включают Maple, MathCAD, USF, FAMU и MSOE.
На основе работы в
http://mathforcollege.com/nm.
Целостные численные методы лицензированы
под Лицензия Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported.6: Метод исключения Гаусса для решения одновременных линейных уравнений
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 104131
Цели обучения
После успешного завершения этого урока вы сможете
- написать алгоритм для решения системы одновременных линейных уравнений с использованием метода наивного исключения Гаусса
- решить набор одновременных линейных уравнений, используя наивное исключение Гаусса.
- используйте шаги прямого исключения метода исключения Гаусса, чтобы найти определитель квадратной матрицы,
- перечислить теоремы, связанные с определителем матриц,
- связывают нулевое и ненулевое значение определителя квадратной матрицы с наличием или отсутствием обратной матрицы.
- перечислить подводные камни наивного метода исключения Гаусса
- показать подводные камни наивного метода исключения Гаусса на примерах
- напишите алгоритм для решения системы одновременных линейных уравнений с использованием исключения Гаусса с частичным поворотом.
- решение системы одновременных линейных уравнений методом исключения Гаусса с частичным поворотом
Как система уравнений решается численно методом исключения Гаусса?
Одним из самых популярных методов решения одновременных линейных уравнений является метод исключения Гаусса. Подход предназначен для решения общего набора \(n\) уравнений и \(n\) неизвестных
\[\begin{split} &a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1}\\ &a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_ {3} + \ldots + a_{2n}x_{n} = b_{2}\\ &\vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ &a_ {n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + a_{n3}x_{3} + \ldots + a_{nn}x_{n} = b_{n} \end{split} \nonumber \ ]
Исключение Гаусса состоит из двух шагов
- Прямое исключение неизвестных: На этом этапе неизвестные исключаются в каждом уравнении, начиная с первого уравнения.
Таким образом, уравнения сводятся к одному уравнению и одному неизвестному в каждом уравнении. - Обратная подстановка: На этом шаге, начиная с последнего уравнения, находятся все неизвестные.
Прямое исключение неизвестных:
На первом этапе прямого исключения первое неизвестное \(x_{1}\) удаляется из всех строк ниже первой строки. Первое уравнение выбирается в качестве основного уравнения для исключения \(x_{1}\). Таким образом, чтобы исключить \(x_{1}\) во втором уравнении, нужно разделить первое уравнение на \(a_{11}\) (отсюда и название опорного элемента), а затем умножить его на \(a_{21}\ ). Это то же самое, что умножить первое уравнение на \(a_{21}/a_{11}\), чтобы получить 9{(n – 1)}} \nonumber \]
Пример 1
Скорость восходящей ракеты дана в три разных момента времени в таблице 1.
| \(5\) | \(106. 8\) |
| \(8\) | \(177.2\) |
| \(12\) | \(279.2\) |
Данные скорости аппроксимируются полиномом как 9{2} + a_{2}t + a_{3},5 \leq t \leq 12 \nonumber \]
Коэффициенты \(a_{1},a_{2},and_{3}\) для приведенное выше выражение задается как
\[\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{1} \ \ a_{2} \\ a_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106,8 \\ 177,2 \\ 279,2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Найдите значения \( a_{1},a_{2} и\ a_{3}\) с использованием метода наивного исключения Гаусса. Найти скорость при \(t = 6,7,5,9,11\) секунд.
Решение
Расширенная матрица
\[\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 & | & 106,8 \ 64 & 8 & 1 & | & 177,2 \ 144 & 12 & 1 & | & 279.
2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Прямое исключение неизвестных
Поскольку имеется три уравнения, будет два шага прямого исключения неизвестных.
Первый шаг
Разделите строку \(1\) на \(25\), а затем умножьте ее на \(64\), то есть умножьте строку \(1\) на \(64/25 = 2,56) \).
\[\left( \begin{matrix} \left\lbrack 25 \right.\ & \ 5 & \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ |\ \ \ \ \ \\ \end {matrix}106.8\rbrack \right) \times 2.56\ \text{дает строку 1 как} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 64 \right.\ & 12.8 & 2.56 \\ \ end{matrix}\ \ \ \ \ |\ \ 273.408\rbrack \nonumber \]
Вычесть результат из строки \(2\)
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \ \lbrack\begin {matrix} 64 & \ \ \ \ 8 & \ \ \ \ \ 1 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ |\ \ & 177.2\rbrack \\- \lbrack\begin{matrix} 64 & 12.8 & 2.56 \\ \end{matrix}\ \ | & 273.408\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & – 4.8 & – 1.56 \\ \end{matrix} & – 96.
208 \\ \end{matrix}} \nonumber \]
чтобы получить результирующие уравнения как
\[\left\lbrack \begin{matrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & – 4,8 & – 1,56 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} | \ \ \ \ \ \ \ 106.8 \\ \ |\ – 96.208 \\ |\ \ \ \ \ \ \ 279.2 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]
Разделить строку \(1\) на \(25\), а затем умножить на \(144\), то есть умножить строку \(1\) на \(144/25 = 5,76\).
\[\left( \begin{matrix} \left\lbrack 25 \right.\ & \ \ \ \ 5 & \ \ \ 1 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ |\ \ \ \ \ \ \ \ \ 106.8\rbrack \right) \times 5.76\ \text{дает строку 1 как} \nonumber \]
\[\left\lbrack \begin{matrix} 144 & 28.8 & 5.76 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \right|\ \ \ \ \ \ 615.168\rbrack \nonumber \]
Вычесть результат из строки \(3\)
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \ \ \lbrack\begin{matrix} 144 & 12 & \ \ \ \ \ \ 1 \\ \end{matrix}\ \ \ \ | & 279.2\rbrack \\ – \begin{matrix} \lbrack 144 & 28.8 & 5.76 \\ \end{matrix}\ \ \ | & 615.
168\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & – 16,8 & – 4,76 \\ \end{matrix} & – 335,968 \\ \end{matrix}} \nonumber \]
чтобы получить результирующие уравнения как
\[\left\lbrack \begin{matrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & – 4,8 & – 1,56 \\ 0 & – 16,8 & – 4,76 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} |\ \ \ \ \ \ \ \ \ 106,8 \\ |\ \ – 96,208 \\| – 335,968 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]
Второй шаг
Теперь разделим строку \(2\) на \(-4,8\) и затем умножим на \(-16,8\ ), то есть умножьте строку \(2\) на \(-16,8/-4,8 = 3,5\).
\[\left( \left\lbrack 0 – 4,8\ \ – 1,56\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\right|\ \ \ – 96,208\rbrack\ \right) \times 3,5\ \text{дает Строка 2 как} \nonumber \]
\[\left\lbrack 0 – 16,8\ – 5,46\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ right| – 336.728\rbrack \nonumber \]
Вычесть результат из строки \(3\)
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \ \ \ \lbrack\begin{matrix} 0 & -16,8 & – 4.76\ \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ | & -335.
968\rbrack \\ \ -\ \lbrack \begin{matrix} 0 & -16,8 & -5,46\ \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ | & -336.728\rbrack \\ \end{matrix}}{\begin{matrix} \ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ \ 0.7 \end{ матрица} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0,76 \ \ \ \end{matrix}} \nonumber \]
, чтобы получить результирующие уравнения как
\[\left\lbrack \begin{matrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & – 4,8 & – 1,56 \\ 0 & 0 & 0,7 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} |\ \ \ \ \ \ 106,8 \\ \ \ |\ – 96,208 \\ |\ \ \ \ \ \ \ \ 0,76 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]
\[\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & – 4,8 & – 1,56 \\ 0 & 0 & 0,7 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106,8 \\ – 96.208 \\ 0.76 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Обратная замена
Из третьего уравнения
\[0.7a_{3} = 0.76 \nonumber \]
\[\begin{split } a_{3} &= \frac{0.76}{0.7}\\ &= 1.08571 \end{split} \nonumber \]
Подставляя значение \(a_{3}\) во второе уравнение,
\[- 4.
8a_{2} – 1.56a_{3} = – 96.208 \nonumber \]
\[\begin{split} a_{2} &= \frac{- 96.208 + 1.56a_{3}}{- 4.8}\\ &= \frac{- 96,208 + 1,56 \times 1,08571}{- 4,8}\\ &= 19,6905\end{split} \nonumber \]
Подстановка значений \(a_{2}\) и \(a_{3}\) в первое уравнение,
\[25a_{1} + 5a_{2} + a_{3} = 106,8 \nonumber \]
\[\begin{split} a_{1} &= \frac{106,8 – 5a_{2 } – a_{3}}{25}\\ &= \frac{106,8 – 5 \times 19,6905 – 1,08571}{25}\\ &= 0,2 \end{split} \nonumber \]
Следовательно, вектор решения равен
\[\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0,29{2} \\ 6 & 7.5 & 9 & 11 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\\ &= \left\lbrack 0,2 \ \ 19,6905 \ \ 1,08571 \right\rbrack\begin{bmatrix} 36 & 56.25 & 81 & 121 \\ 6 & 7.5 & 9 & 11 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\\ &= \left\lbrack 129.686 \ \ 165.104\ \ 201.828 \ \ 252.828 \right \rbrack \end{split} \nonumber \]
\[v(6) = 129,686\ м/с \nonumber \]
\[v(7.5) = 165,1\ 04\ м/с \nonumber \]
\[v(9) = 201,828\ м/с \нечисло \]
\[v(11) = 252,828\ м/с \нечисло \]
Можем ли мы использовать наивные методы исключения Гаусса, чтобы найти определитель квадратной матрицы?
Одним из наиболее эффективных способов нахождения определителя квадратной матрицы является использование следующих двух теорем об определителе матриц в сочетании с методом наивного исключения Гаусса.
Теорема \(\PageIndex{1}\)
Пусть \(\lbrack A\rbrack\) – матрица \(n \times n\). Тогда, если \(\lbrack B\rbrack\) является матрицей \(n \times n\), полученной в результате добавления или вычитания кратного одной строки к другой строке, тогда \(det(A) = det(B) \) (То же самое относится и к операциям со столбцами). 9{n}a_{ii} \end{split} \nonumber \]
Это означает, что если мы применим шаги прямого исключения метода наивного исключения Гаусса, определитель матрицы останется прежним в соответствии с теоремой \(\PageIndex {1}\). Тогда, поскольку в конце шагов прямого исключения результирующая матрица является верхнетреугольной, определитель будет задан теоремой \(\PageIndex{2}\).
Пример 2
Найдите определитель числа
\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix } \номер \]
Решение
Помните, что в примере 1 мы выполнили шаги прямого исключения неизвестных, используя метод наивного исключения Гаусса для \(\lbrack A\rbrack\), чтобы получить
\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & – 4,8 & – 1,56 \\ 0 & 0 & 0,7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Согласно теореме 2
\[\begin {split} det(A) &= det(B)\\ &= 25 \times ( – 4.
8) \times 0.7\\ &= – 84.00 \end{split} \nonumber \]
Что делать, если я не могу найти определитель матрицы, используя метод исключения Наивного Гаусса, например, если я получаю проблемы деления на ноль во время метода исключения Наивного Гаусса?
Ну, можно применить исключение Гаусса с частичным поворотом. Однако определитель полученной верхней треугольной матрицы может отличаться знаком. Следующая теорема применяется в дополнение к предыдущим двум, чтобы найти определитель квадратной матрицы.
Теорема \(\PageIndex{3}\)
Пусть \(\lbrack A\rbrack\) – матрица \(n \times n\). Тогда, если \(\lbrack B\rbrack\) является матрицей, полученной в результате замены одной строки другой строкой, то \(det(B) = – det(A)\).
Пример 3
Найдите определитель числа
\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & – 7 & 0 \\ – 3 & 2,099 & 6 \\ 5 & – 1 & 5 \\ \ end{bmatrix} \nonumber \]
Решение
Конец шагов прямого исключения метода исключения Гаусса с частичным поворотом, мы получим
\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & – 7 & 0 \\ 0 & 2,5 & 5 \\ 0 & 0 & 6,002 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
\[ \begin{split} \det\left( B \right) &= 10 \times 2.
5 \times 6.002\\ &= 150.05 \end{split} \nonumber \]
Поскольку строки были переключены один раз во время шагов прямого исключения Исключение Гаусса с частичным поворотом,
\[\begin{split} \det\left( A \right) &= – det(B)\\ &= – 150.05 \end{split} \nonumber \] 9{- 1}\ \lbrack A\rbrack\).
Есть ли подводные камни метода наивного исключения Гаусса?
Да, в наивном методе исключения Гаусса есть две ловушки.
Деление на ноль: Деление на ноль возможно в начале \(n – 1\) шагов прямого исключения.
Например,
\[5x_{2} + 6x_{3} = 11 \не число \]
\[4x_{1} + 5x_{2} + 7x_{3} = 16 \не число \]
\ [9x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 15 \не число \]
приведет к делению на ноль на первом шаге прямого исключения, поскольку коэффициент при \(x_{1}\) в первом уравнении равен нулю, что очевидно, когда мы записываем уравнения в матричной форме.
\[\begin{bmatrix} 0 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 7 \\ 9 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ 16 \\ 15 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
А как насчет приведенных ниже уравнений: деление на ноль проблема?
\[5x_{1} + 6x_{2} + 7x_{3} = 18 \номер \]
\[10x_{1} + 12x_{2} + 3x_{3} = 25 \неномер \]
\[20x_{1} + 17x_{2} + 19x_{3} = 56 \nonumber \]
Записано в матричной форме,
\[\begin{bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 10 & 12 & 3 \\ 20 & 17 & 19 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 \ \25 \\ 56 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
нет проблемы деления на ноль на первом шаге прямого исключения.
Поворотным элементом является коэффициент \(x_{1}\) в первом уравнении, 5, и это ненулевое число. Однако в конце первого шага прямого исключения мы получаем следующие уравнения в матричной форме 9{nd}\) шаг прямого исключения, коэффициент \(x_{2}\) в уравнении 2 будет использоваться в качестве опорного элемента. Этот элемент равен нулю и, следовательно, создаст проблему деления на ноль.
Поэтому важно учитывать, что возможность деления на ноль может возникнуть в начале любого шага прямого исключения.
Ошибка округления
Наивный метод исключения Гаусса подвержен ошибкам округления. Это верно, когда имеется большое количество уравнений по мере распространения ошибок. Кроме того, если есть вычитание чисел друг из друга, это может привести к большим ошибкам. См. пример ниже.
Пример 5
Помните пример 2, где мы использовали простое исключение Гаусса для решения
\[20x_{1} + 15x_{2} + 10x_{3} = 45 \nonumber \]
\[- 3x_{1} – 2,249x_{2} + 7x_{3} = 1,751 \нечисло \]
\[5x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 9 \нечисло \]
с использованием шести значащих цифр с прерыванием ваши расчеты? Повторите задачу, но теперь используйте в своих вычислениях пять значащих цифр с отсечкой.
Решение
Запись в матричной форме
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ – 3 & – 2,249 & 7 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{ 2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 1.751 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Прямое устранение неизвестных
Первый шаг
Разделите строку 1 на 20, а затем умножьте ее на –3, то есть умножьте строку 1 на \(- 3/20 = – 0,15\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 45 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times – 0.15\ \text {дает строку 1 как} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack – 3 \right.\ & – 2.25 & \left. \ – 1,5 \right\rbrack \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack – 6,75 \right\rbrack \nonumber \]
Вычесть результат из строки 2
\[\frac {\ begin {matrix} \ \ \ lbrack \ begin {matrix} -3 & \ \ \ -2,249 & \ \ \ \ \ 7 \\ \ end {matrix} \ \ \ \ \ \ | & 1.751\rbrack \\ – \begin{matrix} \lbrack -3 & \ \ \ \ -2.
25 \ \ -1.5 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & -6.75\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ 0.001 & \ \ \ \ 8.5 \\ \end{matrix} & \ \ \ \ \ 8.501 \end{matrix}} \nonumber \]
, чтобы получить результирующие уравнения в виде
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0,001 & 8,5 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{ 1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.501 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Разделить строку 1 на 20, а затем умножить на \(5\), то есть умножить строку 1 на \(5/20 = 0,25\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 45 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times 0.25\ \text{ дает строку 1 как} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 5 \right.\ & 3.75 & \left. \ 2.5 \right\rbrack \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack 11.25 \right\rbrack \nonumber \]
Вычесть результат из строки 3
\[\frac{\ begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} 5 & \ \ \ \ \ \ 1 & \ \ \ \ \ \ 3 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ | & 9\rbrack \\ – \begin{matrix} \lbrack 5 & \ \ \ \ 3.
75 \ \ \ \ \ 2.5 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & 11.25\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 &\ -2.75 \ \ \ \ \ \ 0.5 \\ \end{matrix} & \ -2.25 \ конец{матрица}} \номер \]
, чтобы получить результирующие уравнения как
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0,001 & 8,5 \\ 0 & – 2,75 & 0,5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_ {1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8,501 \\ – 2,25 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Второй шаг
Теперь для второго шага прямого исключения мы будем использовать Строку 2 в качестве сводного уравнения и исключить Строку 3: Столбец 2.
Разделить Строку 2 на \(0,001\), а затем умножить на \(- 2,75\), то есть умножить строку 2 на \(- 2,75/0,001 = – 2750\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0,001 & 8,5 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 8,501 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times – 2750\ \text {дает строку 2 как} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.
\ & – 2.75 & \left. \ – 23375 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack – 23377.75 \right\rbrack \nonumber \]
Перезапись до 5 значащих цифр с отсечением
\[\ begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & – 2.75 & \left. \ – 23375 \right\rbrack \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack – 23377 \right\rbrack \nonumber \]
Вычесть результат из строки 3
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ \ -2,75 & \ \ \ \ \ \ 0,5 \\ \ конец {матрица}\ \ \ \ \ \ \ | & -2.25\rbrack \\ – \begin{matrix} \lbrack 0 & \ \ \ \ -2.75 \ \ \ \ \ -23375 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & -23377\rbrack \\ \end{matrix}}{\begin{matrix} \begin{matrix} 0 &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 23375 \\ \end{matrix} & \ \ \ \ \ \ \ \ 23374 \end{matrix}} \nonumber \]
Перезапись в пределах 6 значащих цифр с отсечением
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & 0 & \left. \ 23375 \right\rbrack \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack – 23374 \right\rbrack \nonumber \]
чтобы получить результирующие уравнения как
\[\begin{ bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0,001 & 8,5 \\ 0 & 0 & 23375 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \ \\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.
501 \\ 23374 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Это конец шагов прямого исключения.
Обратная подстановка
Теперь мы можем решить приведенные выше уравнения с помощью обратной подстановки. Из третьего уравнения
\[\begin{split} 23375x_{3} &= 23374\\ x_{3} &= \frac{23374}{23375}\\ &= 0,99995 \end{split} \nonumber \ ]
Подстановка значения \(x_{3}\) во второе уравнение
\[0,001x_{2} + 8,5x_{3} = 8,501 \nonnumber \]
\[\begin{split} x_ {2} &= \frac{8,501 – 8,5x_{3}}{0,001}\\ &= \frac{8,501 – 8,5 \times 0,99995}{0,001}\\ &= \frac{8,501 – 8,499575}{0,001}\\ &= \frac{8,501 – 8,4995}{0,001}\\ &= \frac{0,0015}{0,001}\\ &= 1,5 \end{split} \nonumber \]
Подставляя значения \(x_{3}\) и \(x_{2}\) в первое уравнение,
\[20x_{1} + 15x_{2} + 10x_{3} = 45 \nonumber \]
\[\begin{split} x_{1} &= \frac{45 – 15x_{2} – 10x_{3}}{20}\\ &= \frac {45 – 15 \times 1,5 – 10 \times 0,99995}{20}\\ &= \frac{45 – 22,5 – 9,9995}{20}\\ &= \frac{22,5 – 9.
9995}{20}\\ &= \frac{12.5005}{20}\\ &= \frac{12.500}{20}\\ &= 0.625 \end{split} \nonumber \]
Следовательно, решение
\[\begin{split} \left\lbrack X \right\rbrack &= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0,625 \\ 1,5 \\ 0,99995 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]
Сравните это с точным решением
\[\left\lbrack X \right \rbrack = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix } \номер \]
Какие существуют способы улучшения наивного метода исключения Гаусса?
Как видно из примера 3, ошибки округления были большими, когда использовались пять значащих цифр, а не шесть значащих цифр. Одним из методов уменьшения ошибки округления может быть использование более значащих цифр, то есть использование двойной или учетверенной точности для представления чисел. Однако это не позволило бы избежать возможных ошибок деления на ноль в наивном методе исключения Гаусса.
Чтобы избежать деления на ноль, а также уменьшить (но не устранить) ошибку округления, предпочтительным методом является исключение Гаусса с частичным поворотом. 9{th}\) строка, \(k \leq p \leq n\), затем поменяйте местами строки \(p\) и \(k\).
Другие этапы прямого исключения аналогичны методу наивного исключения Гаусса. Шаги обратной замены остаются точно такими же, как и в методе наивного исключения Гаусса.
Пример 6
В предыдущих двух примерах мы использовали наивное исключение Гаусса для решения
\[20x_{1} + 15x_{2} + 10x_{3} = 45 \nonumber \]
\[- 3x_{ 1} – 2,249x_{2} + 7x_{3} = 1,751 \номер\]
\[5x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 9 \nonumber \]
с использованием пяти и шести значащих цифр с отсечением в вычислениях. Используя пять значащих цифр с отсечением, найдено решение:
\[\begin{split} \left\lbrack X \right\rbrack &= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{ 3} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0,625 \\ 1,5 \\ 0,99995 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]
Это отличается от точного решения из
\[\begin{split} \left\lbrack X \right\rbrack &= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix}\ \ &= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]
Найдите решение, используя исключение Гаусса с частичным поворотом, используя пять значащих цифр с отсечением в ваших вычислениях.
Решение
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ – 3 & – 2,249 & 7 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1 } \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 1.751 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Прямое устранение Unknowns
Теперь для первого шага прямого исключения абсолютное значение элементов первого столбца ниже строки 1 равно
\[\слева| 20 \вправо|,\влево| – 3 \вправо|,\влево| 5 \право| \nonumber \]
или
\[20,\ 3,\ 5 \nonumber \]
Таким образом, наибольшее абсолютное значение находится в строке \(1\). Таким образом, согласно исключению Гаусса с частичным поворотом, переключение между строками \(1\) и строками \(1\) дает
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ – 3 & – 2,249 & 7 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \1,751\9\\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Разделить строку \(1\) на \(20\), а затем умножить на \(-3\), то есть умножить строку \(1\) на \ (\displaystyle – 3/20 = – 0,15\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 45 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times – 0.15\ \text {дает строку 1 как} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack – 3 \right.\ & – 2.25 & \left. \ – 1.5 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack – 6.75 \right\rbrack \nonumber \]
Вычесть результат из строки \(2\)
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} -3 & \ \ \ -2,249 & \ \ \ \ \ 7 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ | & 1.751\rbrack \\ – \begin{matrix} \lbrack -3 & \ \ \ \ -2.25 \ \ -1.5 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & -6.75\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ 0.001 & \ \ \ \ 8.5 \\ \end{matrix} & \ \ \ \ \ 8.501 \end{matrix}} \nonumber \]
чтобы получить результирующие уравнения как
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0,001 & 8,5 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.501 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Разделить строку \(1\) на \(20 \), а затем умножьте его на \(5\), то есть умножьте строку \(1\) на \(5/20 = 0,25\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 45 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times 0.25\ \text{ дает строку 1 как} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 5 \right.\ & 3.75 & \left. \ 2.5 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack 11.25 \right\rbrack \nonumber \]
Вычесть результат из строки \(3\)
\[ \displaystyle \frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} 5 & \ \ \ \ \ \ 1 & \ \ \ \ \ \ 3 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ | & 9\rbrack \\ – \begin{matrix} \lbrack 5 & \ \ \ \ 3.75 \ \ \ \ \ 2.5 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & 11.25\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 &\ -2.75 \ \ \ \ \ \ 0.5 \\ \end{matrix} & \ -2.25 \ конец{матрица}} \номер \]
, чтобы получить результирующие уравнения в виде
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0,001 & 8,5 \\ 0 & – 2,75 & 0,5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_ {1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8,501 \\ – 2,25 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Это является концом первого шага прямого исключения.
Теперь для второго шага прямого исключения абсолютное значение элементов второго столбца ниже строки 1 равно
\[\left| 0,001 \вправо|,\влево| – 2,75 \справа| \номер\]
или
\[0,001,\ 2,75 \нечисло \]
Итак, наибольшее абсолютное значение находится в строке \(3\). Таким образом, ряд \(2\) переключается со строкой \(3\), чтобы получить
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & – 2,75 & 0,5 \\ 0 & 0,001 & 8,5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ – 2,25 \\ 8,501 \\ \ end{bmatrix} \nonumber \]
Разделите строку \(2\) на \(-2,75\), а затем умножьте ее на \(0,001\), то есть умножьте строку \(2\) на \(0,001/ — 2,75 = — 0,00036363\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 0 & – 2,75 & 0,5 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack – 2,25 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times – 0,00036363\ \text{дает строку 2 как} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & 0.00099998 & \left.
\ – 0.00018182 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack 0.00081816 \right\rbrack \nonumber \]
Вычесть результат из строки \(3\)
\ [\ displaystyle \ frac {\ begin {matrix} \ \ \ \ lbrack \ begin {matrix} 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0,001 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8.5 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | & 8.501\rbrack \\ – \begin{matrix} \lbrack 0 & \ \ \ \ 0,00099998 \ \ \ \ \ -0.00018182 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & 0.00081816\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \begin{matrix} \ \begin{matrix} 0 &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8.50018182 \\ \end{matrix} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8.50018184 \end{matrix}} \nonumber \]
Перезапись в пределах \(5\) значащих цифр с отсечением
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & 0 & \left. \ 8.5001 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack 8.5001 \right\rbrack \nonumber \]
, чтобы получить результирующие уравнения в виде
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & – 2,75 & 0,5 \\ 0 & 0 & 8,5001 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_ {1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ – 2,25 \\ 8,5001 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Обратная замена
\[8.
5001x_{3} = 8.5001 \номер \]
\[\begin{split} x_{3} &= \frac{8.5001}{8.5001}\\ &= 1 \end{split } \nonumber \]
Замена значения \(x_{3}\) в строке \(2\)
\[- 2,75x_{2} + 0,5x_{3} = – 2,25 \номер \]
\[\begin{split} x_{2} &= \frac{- 2,25 – 0,5x_{2}} {- 2,75}\\ &= \frac{- 2,25 – 0,5 \times 1}{- 2,75}\\ &= \frac{- 2,25 – 0,5}{- 2,75}\\ &= \frac{- 2,75}{ – 2.75}\\ &= 1\end{split} \nonumber \]
Подстановка значений \(x_{3}\) и \(x_{2}\) в строке 1
\[20x_{1 } + 15x_{2} + 10x_{3} = 45 \nonumber \]
\[\begin{split} x_{1} &= \frac{45 – 15x_{2} – 10x_{3}}{20} \\ &= \frac{45 – 15 \times 1 – 10 \times 1}{20}\\ &= \frac{45 – 15 – 10}{20}\\ &= \frac{30 – 10}{ 20}\\ &= \frac{20}{20}\\ &= 1 \end{split} \nonumber \]
Метод исключения Гаусса для решения одновременных линейных уравнений Викторина
Тест 1
Цель шагов прямого исключения в методе наивного исключения Гаусса состоит в том, чтобы уменьшить матрицу коэффициентов до (an) _____________ матрицы.
(A) диагональ
(B) тождество
(C) нижний треугольный
(D) верхний треугольный
Викторина 2
Деление на ноль во время шагов прямого исключения в наивном гауссовском исключении системы уравнений \( \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack\) подразумевает матрицу коэффициентов \(\left\lbrack A \right\rbrack\)
(A) обратим
(B) неединственный
(C) может быть единственным или не единственным
(D) единственный
Викторина 3 Решение исключения
\[\begin{matrix} 0,0030x_{1} + 55,23x_{2} = 58,12 \\ 6,239x_{1} – 7,123x_{2} = 47,23 \\ \end{matrix} \nonumber \ ] равно
(A) \(x_{1} = 26,66;\ x_{2} = 1,051\)
(B) \(x_{1} = 8,769;\ x_{2} = 1,051\)
(C) \(x_{1} = 8,800;\ x_{2} = 1,000\)
(D) \(x_{1} = 8,771;\ x_{2} = 1,052\)
Тест 4
Использование компьютера с четырьмя значащими цифрами с отсечением методом исключения Гаусса с частичным поворотом для решения
\[\begin{matrix} 0,0030x_{1} + 55,23x_{2} = 58,12 \\ 6,239x_{1} – 7,123x_{2} = 47,23 \\ \end{matrix} \nonumber \] is
(A) \(x_{1} = 26,66;\ x_{2} = 1,051\)
(B) \(x_ {1} = 8,769;\ x_{2} = 1,051\)
(С) \(x_{1} = 8,800;\ x_{2} = 1,000\) 9{2} + {bt} + c\) для аппроксимации профиля скорости.
| \(v(t)\) | \((м/с)\) | 0 | 227.04 | 362,78 | 517,35 | 602,97 | 901,67 | (A) 225} & {15} & {1} \\ {400} & {20} & {1} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {a} \\ {b} \\ {c} \\ \end{bmatrix}{=}\begin{bmatrix} {227.04} \\ {362.78} \\ {517.35} \\ \end{bmatrix}\)
35 \\ 602.97 \\ 901.67 \\ \end{bmatrix}\)