Матрицы по математике: для чего нужны, применение, кто придумал, история возникновения

Матрица | математика

Матрица , набор чисел, расположенных в строках и столбцах, чтобы сформировать прямоугольный массив. Числа называются элементами или элементами матрицы. Матрицы находят широкое применение в технике , физике , экономике и статистике, а также в различных областях математики . Исторически первым распознаванием была не матрица, а определенное число, связанное с квадратным массивом чисел, называемое определителем . Лишь постепенно возникла идея матрицы как алгебраической сущности. Термин « матрица» был введен английским математиком XIX века.Джеймс Сильвестр , но это был его друг математик.Артур Кэли, который разработал алгебраический аспект матриц в двух статьях 1850-х годов. Кэли впервые применил их к изучению систем линейных уравнений, где они до сих пор очень полезны. Они также важны, потому что, как признал Кэли, определенные наборы матриц образуют алгебраические системы, в которых действуют многие обычные законы арифметики (например, ассоциативные и распределительные законы), но в которых действуют другие законы (например, закон коммутативности).

недействительно. Матрицы также нашли важное применение в компьютерной графике , где они использовались для представления поворотов и других преобразований изображений.

Если имеется m строк и n столбцов, матрица называется матрицей « m на n », записанной « m × n ». Например,

является матрицей 2 × 3. Матрица с n строками и n столбцами называетсяквадратная матрица порядка n . Обычное число можно рассматривать как матрицу 1 × 1; таким образом, 3 можно рассматривать как матрицу [3].

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

В общепринятых обозначениях заглавная буква обозначает матрицу, а соответствующая строчная буква с двойным нижним индексом описывает элемент матрицы. Таким образом, _IJ является элементом в I – й строки и J – й столбец матрицы A . Если A представляет собой матрицу 2 × 3, показанную выше, тогда a ₁₁ = 1, a ₁₂ = 3, a ₁₃ = 8, a ₂₁ = 2, a ₂₂ = −4 и a ₂₃

= 5. При определенных условиях матрицы можно складывать и умножать как отдельные объекты, в результате чего возникают важные математические системы, известные как матричные алгебры.

Матрицы естественным образом входят в системы одновременных уравнений . В следующей системе для неизвестных x и y ,

массив чисел

– матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных. Решение уравнений полностью зависит от этих чисел и от их конкретного расположения. Если бы 3 и 4 поменяли местами, решение было бы другим.

Две матрицы A и B равны друг другу, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов и если a _ij = b _ij для каждого i и каждого j . Если A и B – две матрицы размера m × n , их сумма S = A + B – это матрица размера m × n , элементы которой s _ij = a _ij + b _ij .

То есть каждый элемент Sравно сумме элементов в соответствующих позициях A и B .

Матрицу A можно умножить на обычное число c , которое называетсяскаляр . Произведение обозначается cA или Ac и представляет собой матрицу, элементами которой являются ca _ij .

Умножение матрицы А на матрицу В , с получением матрицы C определяется только тогда , когда число столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матрицы B . Чтобы определить элемент c _ij , который находится в i- й строке и j- м столбце продукта, первый элемент в

i- й строке A умножается на первый элемент в j- м столбце B., второй элемент в строке на второй элемент в столбце и так далее, пока последний элемент в строке не умножится на последний элемент столбца; сумма всех этих произведений дает элемент c _ij . В символах для случая, когда A имеет m столбцов, а B – m строк,

Матрица С имеет столько строк , сколько A и столько столбцов , сколько B .

В отличие от умножения обычных чисел a и b , в котором ab всегда равно ba , умножение матриц

A и B не является коммутативным. Однако оно ассоциативно и распределительно по сравнению с сложением. То есть, когда операции возможны, всегда выполняются следующие уравнения: A ( BC ) = ( AB ) C , A ( B + C ) = AB + AC и ( B + C ) A = BA +CA . Если матрица A 2 × 2 , строки которой равны (2, 3) и (4, 5), умножается сама на себя, то произведение, обычно обозначаемое как A ² , имеет строки (16, 21) и (28, 37).

Матрица O со всеми ее элементами 0 называетсянулевая матрица.

Квадратная матрица A с единицами на главной диагонали (вверху слева направо вниз) и нулями во всем остальном называетсяединичная матрица. Он обозначается I или I _n, чтобы показать, что его порядок равен n . Если B является любой квадратной матрицей , а я и вывода являются блок и нулевые матрицы одного и того же порядка, что всегда верно , что B + O = O + B = B и BI = IB = B . Следовательно, O и I ведут себя как 0 и 1 в обычной арифметике. Фактически, обычная арифметика – это частный случай матричной арифметики, в которой все матрицы имеют размер 1 × 1.

С каждой квадратной матрицы A представляет собой число , которое известно как определитель А , обозначается Det A . Например, для матрицы 2 × 2

det A = ad – bc . Квадратная матрица В называется невырожденной , если Det B ≠ 0. Если В неособо, существует матрица называется обратным к B , обозначаемый B ^-1 , такие , что BB ^-1 = B ^-1 B =

I . Уравнение AX = B , в которой и Б известны матрицы и Х представляет собой неизвестная матрица, может быть решена , если однозначно является невырожденной матрицей, поскольку тогда А^-1 существует и обе стороны уравнения можно умножить на оставленный им: A ^-1 ( AX ) = A ^-1 B . Теперь A ⁻¹ ( AX ) = ( A ⁻¹ A ) X = IX = X ; следовательно , решение Х = ^-1 B . Систему m линейных уравнений от n неизвестных всегда можно выразить как матричное уравнение AX = B, в котором A – это m × nматрица коэффициентов неизвестных, X – матрица неизвестных размера n × 1, а B – матрица размера n × 1, содержащая числа в правой части уравнения.

Проблема большого значения во многих областях науки заключается в следующем: для данной квадратной матрицы A порядка n найти матрицу X размера n × 1 , называемую n -мерным вектором , такую, что AX = cX . Здесь c

– число, называемое собственным значением, а X – собственным вектором. Существование собственного вектора X с собственным значением c означает, что определенное преобразование пространства, связанное с матрицей A, растягивает пространство в направлении вектора X на коэффициент c .

“Матрицы и действия с ними”

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа №1

Тема: «Матрицы и действия с ними»

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Для обозначения матрицы используют заглавные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись «матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов.

Например, матрица имеет размер 2x3. Далее, b_ij – обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j–го столбца данной матрицы (в примере b₂₃=5).

При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение A_i, при ссылке на j-й столбец – обозначение A_j.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера nxn называют матрицей n-го порядка. Элементы a₁₁ , a₂₂ ,…, a_nn квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Например, – единичная матрица 4-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали треугольной. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Действия над матрицами.

1. Сложение

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

Пример 1. + =

2. Умножение на число

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля действительное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Пример 2. Найти 2A–B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число 2, затем матрицу B на число -1, и, наконец, находим сумму полученных матриц:

3. Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А_mxn=(a_ij) на матрицу В_nxp=(b_jk) называется матрица С_mxp=(c_ik) такая, что элемент i-ой строки и k-ого столбца произведения С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-ого столбца матрицы В.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведение АВ и ВА всегда существует.

Пример 3. Найти произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы A 3x2, матрицы – В 2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной. Обозначается A^T .

Так, если , то .

Если , то .

Пример 4. Найти АВ+С^Т , если

Решение. Воспользовавшись вычислениями примера 3, также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

АВ+С^Т =.

Практическая работа №1

Тема: «Матрицы и действия с ними»

Содержание практической работы

Вариант 1.

1. Найти сумму и разность матриц А и В, где

2. _{Найти С}^Т_{, где}

3. Найти матрицы:

а) 2А;

б) 8В^Т;

в) 2А+5В;

г) -3А-7,5В, где

4. Найти произведения матриц АВ и ВА, где

5. Найти А³ , где

6. Найти значение матричного многочлена 2А²+3А+5Е, где

7. Доказать равенство (AB)C=A(BC) для матриц:

1) , , ;

2) , , .

Дополнительные задания

8. Выполнить арифметические действия с матрицами:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6);

7)

_{9. Доказать равенство для матриц (АВ)С=А(ВС)}

, , ;

10. Найти: 1) ; 2) ; 3) .

Решение высшей математики онлайн

‹– Назад         Определение 14.8   Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .         

Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

        Доказательство.     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ( предложение 14.7), то . По  следствию 14.1 , поэтому , что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также .     

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

        Определение 14.9   Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если .                  Доказательство.     Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда    и Следовательно, .     
        Предложение 14.22   Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и

(14. 14)

где  — алгебраические дополнения к элементам .         Доказательство.     Так как для невырожденной матрицы правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой . Тогда нужно проверить, что и что . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.

Пусть . Найдем элементы матрицы , учитывая, что :

Если , то по  предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть при .

Если , то

Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по -ой строке (предложение 14.16). Таким образом, Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть .     

Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему.

        Теорема 14.1   Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица  — невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14. 14).     

        Замечание 14.12   Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй — номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.         

        Пример 14.7   Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение. Находим определитель

Так как , то матрица  — невырожденная, и обратная для нее существует.

Находим алгебраические дополнения:

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй — строке:

(14.15)

Полученная матрица и служит ответом к задаче.                  Замечание 14.13   В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:

(14.16)

Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц — целые числа. И наоборот, если элементы матрицы  — десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.         

        Замечание 14.14   При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.         

        Пример 14.8   Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение.

— существует. Ответ: .         

Нахождение обратной матрицы по формуле (14.14) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Матрицы – Математика – МАШ

Матрицы

Введение	Тема Тип Описание Источник Знакомство с матрицами Буклет Выражение системы уравнений в матричной форме, основные свойства матриц и выполнение операций сложения и вычитания с матрицами (а также определение случаев, когда эти операции невозможны). ШЛЕМ Умножение матриц Буклет Определение существования матричного умножения AB и выполнение операции в тех случаях, когда оно существует. Знакомство с единичной матрицей, I. ШЛЕМ Знакомство с матрицами Видео, обзорные страницы и викторины Введение в матрицы, включая их обозначения и размерность. Академия Хана Сложение и вычитание матриц Видео, обзорные страницы и викторины Обзор сложения и вычитания для матриц и условий, при которых это возможно. Академия Хана Умножение матриц на скаляры Видео, обзорные страницы и викторины Несколько примеров, демонстрирующих умножение матриц на скаляры. Академия Хана Умножение матриц на матрицы Видео, обзорные страницы и викторины Способ умножения матриц вместе с условиями, при которых это возможно. Академия Хана
Детерминанты	Тема Тип Описание Источник Детерминанты Буклет Вычисление определителя матрицы с использованием расширения строк или столбцов и свойств, упрощающих расширение. ШЛЕМ Определитель матрицы 2×2 Видео и викторина Нахождение определителя матрицы 2х2 с примерами. Академия Хана
Инверсия	Тема Тип Описание Источник Матрица, обратная Буклет Введение условия существования обратной матрицы и методов нахождения обратной матрицы 2×2 и 3×3 с использованием формул или операций над строками. ШЛЕМ Введение в обратные матрицы Видео и викторины Введение в нахождение обратных матриц и некоторые примеры. Академия Хана
Решение систем уравнений	Тема Тип Описание Источник Решения по правилу Крамера Буклет Использование правила Крамера для решения систем из двух или трех одновременных уравнений и определение случаев, когда решение не является уникальным или не существует. ШЛЕМ Решение методом обратной матрицы Буклет Использование обратной матрицы коэффициентов для решения систем из двух или трех одновременных уравнений и определение случаев, когда решение не является уникальным или не существует. ШЛЕМ Решение методом исключения Гаусса Буклет Демонстрация операций над строками, позволяющих привести систему уравнений к верхнему треугольному виду, используя обратную подстановку для решения системы уравнений в ступенчатой ​​форме и используя метод исключения Гаусса для нахождения решения системы трех одновременных уравнений . ШЛЕМ Исключение Гаусса Буклет Расширение метода исключения Гаусса путем введения частичного поворота, предотвращающего рост ошибки округления. ШЛЕМ ЛУ Разложение Буклет Нахождение LU-разложения простых матриц и его использование для решения систем уравнений, а также определение случаев, когда LU-разложение недоступно. ШЛЕМ Нормы матрицы Буклет Вычисление норм малых матриц и соответствующая корректировка систем уравнений. ШЛЕМ Итерационные методы для систем уравнений Буклет Аппроксимация решений простых систем уравнений итерационными методами и оценка свойств сходимости этих методов. ШЛЕМ Решение уравнений с обратными матрицами Видео и викторины Запись систем линейных уравнений в матричной форме перед решением с использованием обратных матриц. ШЛЕМ

Для всех запросов, отзывов или комментариев вы можете использовать нашу контактную форму или по электронной почте: [email protected]

7 мая 2021 г.

Использование матриц: все о матрицах и их использовании

Что такое матрицы или матрица? — прямоугольный массив символов или чисел, расположенных в столбцах и строках, называется матрицей или матрицей. Всего существует 9 типов матриц. Теперь, когда дело доходит до использования матриц в повседневной жизни или реальных приложений матриц, у нас есть правильный ответ для вас. Прочтите полные статьи, чтобы получить полную информацию об использовании и применении матриц.

Знать все понятия о матрицах

Различные варианты использования матриц

Использование матриц в науке
Матрица или матрицы используются в оптике для учета преломления и отражения. Матрицы также полезны в электрических цепях и квантовой физике. Кроме того, матрицы используются для решения сетевых уравнений переменного тока в электрических цепях.

Использование матриц в математике
Использование матриц в математике имеет историю решения линейных уравнений.Матрицы — невероятно полезные вещи, встречающиеся в различных прикладных областях. Использование матриц в математике относится к разным отраслям науки, а также к разным математическим дисциплинам.

Изучение концепций экзамена на Embibe

Использование матриц в графике
Когда речь идет об использовании матриц в графике, цифровое изображение называется матрицей. Проще говоря — строки и столбцы матрицы соответствуют строкам и столбцам пикселей.А числовые записи соответствуют цветовым кодам пикселей. Кроме того, матрицы также используются для представления графиков. Это означает, что каждый граф может быть представлен в виде матрицы, каждый столбец и каждая строка матрицы — это точка сети, а значение их пересечения — это связь, которую они имеют.

Применение матриц

Матрицы используются в нашей повседневной жизни следующим образом. Некоторые примеры использования матриц в повседневной жизни перечислены ниже: 90 265

1. Шифрование — Шифрование очень часто используется в повседневной жизни.Мы используем его для скремблирования данных в целях безопасности, а для кодирования и декодирования этих данных нам требуются матрицы. Существует ключ, который помогает кодировать и декодировать данные, генерируемые матрицами.
2. Игры, особенно 3D – Матрицы применяются в играх. Мы используем его для изменения объекта в трехмерном пространстве. Они используют 3D-матрицу в 2D-матрицу, чтобы преобразовать ее в различные объекты в соответствии с требованиями.
3. Экономика и бизнес -Изучение тенденций бизнеса, акций и т.д.и для создания бизнес-моделей и т. д.
4. Строительство – Другое распространенное применение матриц в реальной жизни – это строительный сектор. Вы видели здания, которые прямые, но иногда архитекторы пытаются изменить внешнюю структуру здания? Это можно сделать с помощью матриц. Матрица состоит из строк и столбцов, вы можете изменить количество строк и столбцов в матрице. Матрицы могут помочь поддерживать различные исторические структуры.
5. Танец – контра данс – Используется для организации сложных групповых танцев.
6. Анимация — позволяет сделать анимацию более точной и точной.
7. Физика – Матрицы применяются при изучении квантовой механики, электрических цепей и оптики. Это помогает в расчете выходной мощности батареи, преобразовании электрической энергии резистора в другую полезную энергию. Поэтому матрицы играют большую роль в расчетах. Особенно при решении задач с использованием законов Кирхгофа о напряжении и токе.
8. Геология – Матрицы используются для проведения сейсморазведки.

Типы матриц

Существует 9 типов матриц/матриц. Взгляните на перечисленные ниже:

1) Матрица столбца

2) Матрица строк

3) Нулевая матрица

4) Нижняя треугольная матрица

5) Диагональная матрица

6) Верхняя треугольная матрица

7) Квадратная матрица

8) Симметричная матрица

9) Антисимметричная матрица

Практические экзаменационные вопросы

Часто задаваемые вопросы

Вот некоторые из часто задаваемых вопросов о важности матриц:

Q1: Сколько существует типов матриц?
О: Всего существует 9 типов матриц.

Q2: Каково применение Matrix в геологии в реальной жизни?
О: В геологии матрицы используются для проведения сейсморазведки. Они используются для построения графиков, статистики, а также для проведения научных исследований и исследований практически в разных областях.

Q3: Для чего можно использовать матрицы?
О: Матрицы можно использовать для расчета данных, статистики и т. д., а также для построения графиков.

Q4: Каково применение матрицы в экономике?
A: В экономике очень большие матрицы используются для оптимизации задач, например, при наилучшем использовании активов, будь то труд или капитал, в производстве продукта и управлении очень большими цепочками поставок.

В5: Как матрицы используются в робототехнике и автоматизации?
О: В робототехнике и автоматизации матрицы являются основными компонентами движений роботов. Входные данные для управления роботами получаются на основе расчетов по матрицам, и это очень точные движения.

Мы надеемся, что эта краткая, но подробная статья о матрицах, их использовании и приложениях была вам полезна. Если у вас есть какие-либо вопросы к нам, не стесняйтесь обращаться к нам в любое время, и мы свяжемся с вами в ближайшее время.

Следите за обновлениями на embibe.com!

5363 Представления

Размер матрицы — обзор

■

Мы используем одиночную (или подстрочную) жирную заглавную букву для обозначения матрицы (например, A , B , C

4 8

4 , C ₂ ) в отличие от строчных жирных букв, используемых для представления векторов. Заглавные буквы I и O обычно зарезервированы для специальных типов матриц, которые будут обсуждаться позже.

■

Размер матрицы всегда указывается путем указания сначала количества строк. Например, матрица 3 × 4 всегда имеет три строки и четыре столбца, а не четыре строки и три столбца.

■

Матрица размером m × n может быть представлена ​​либо как совокупность m векторов-строк, каждая из которых имеет n координат, либо как совокупность n координат имея координаты м .Матрица только с одной строкой (или столбцом) по существу эквивалентна вектору с координатами в форме строки (или столбца).

■

Мы часто пишем a _ij для представления записи в i -й строке и j -м столбце матрицы A . Например, в предыдущей матрице A , a ₂₃ значение −5 во второй строке и третьем столбце. Типичная матрица 3 × 4 C имеет элементы, обозначенные как

C=[c11c12c13c14c21c22c23c24c31c32c33c34].

■

ℳ _mn представляет набор всех матриц с вещественными элементами, имеющими m строк и n столбцов.