Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения
- Подробности
- Просмотров: 269095
Рейтинг: 4 / 5
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$
Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$
– квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число
$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}.
$D=25-16=9$
$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$
Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$
{jumi[*4]}
3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$
Решение.
$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$
$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$
Ответ: $0.$
3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$
Решение.
$\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$
$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$
$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).
T=\det A.$
2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.
3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.
4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.
5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.
6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).
Примеры:
3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.
$
Доказательство.
$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.
{3+4}\begin{vmatrix}2&-3&4\\4&-2&3\\3&-1&4\end{vmatrix}=$
$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$
$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$
$=8a+15b+12c-19d.$
Ответ: $8a+15b+12c-19d.$
{jumi[*4]}
3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$
Решение.
Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:
$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два
$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394.
Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.
3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$
Ответ: $-14.$
3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$
Ответ: $4.$
3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$
Ответ: $2a-8b+c+5d.$
3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$
Ответ: $665.$
{jumi[*4]}
Высшая математика. Лекция 2. Обратная матрица
1. Высшая математика
ЛЕКЦИЯ 2СЛАУ
2. 3. Обратная матрица
Пусть А – невырожденная (det A≠0)квадратная матрица (1.
2) порядка n.Е – единичная матрица того же порядка.
Матрица А–1 называется обратной
к матрице А, если выполняются равенства
1
1
A A А А
Е.
Теорема.
( О существовании обратной матрицы).
Матрица А имеет обратную тогда и только тогда,
когда ее определитель отличен от нуля (det A 0,
т.е. когда матрица является невырожденной).
Теорема.
Всякая невырожденная матрица
имеет единственную обратную матрицу:
А11 А21 …. Аn1
1 А12 А22 …. Аn 2
1
A
det A …. …. ….. …..
А
А
…..
А
2n
nn
1n
Aij – алгебраическое дополнение элемента aij.
5. 0.
n =2.a
11
А a 21
1 А11
A
А12
1
a12 .
a 22
А21 .
А22
0.
Обратная матрица:
1 a 22 a12
A
.
a11
a 21
1
6. Обратная матрица:
n = 3.a11
A a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 .
a33
Обратная матрица:
A11
1
1
А
A12
det A A
13
A21
A22
A23
A31
A32 .
A33
Пример
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
.
А 1 1 0 . А 1 1 A
A
A
1 0 1
12
22
32
det
A
A13 A23 A33
det A 1.
Решение
Пример
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
.
А 1 1 0 . А 1 1 A
A
A
1 0 1
12
22
32
det
A
A13 A23 A33
det A 1.
1 1 1
A11 ( 1)
Решение
0
01
1,
Найти обратную матрицу к матрице
1 0 0
А 1 1 0 .
1 0 1
Пример
det A 1
1 1 1
A11 ( 1)
Решение
A12 ( 1)1 2
0
0 1
10
1 1
1
1
Найти обратную матрицу к матрице
1 0 0
А 1 1 0 .
1 0 1
Пример
det A 1
1 1 1
A11 ( 1)
Решение
A12 ( 1)1 2
A13 ( 1)1 3
0
01
10
1,
1,
11
1 1
1 0
1,
Пример
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
А 1 1 0 . А 1 1 A12 A22 A32 .
1 0 1
det A A
13 A23 A33
1
1
1
A
1 .
1
1 1 1 0
1
A11 ( 1)
1,
det A 1.
Решение
A12 ( 1)1 2
A13 ( 1)1 3
0 1
1 0
1 1
1 1
1 0
1,
1,
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
Пример А 1 1 0 . А 1 1 A
.
A
A
12
22
32
1 0 1
det A A
13 A23 A33
Решение
A21 ( 1)
2 1
A22 ( 1)
2 2
A23 ( 1)
2 3
0 0
0,
01
10
1,
11
10
0,
10
1
1
1
A
1
1
1
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
Пример А 1 1 0 . А 1 1 A
.
A
A
12
22
32
1 0 1
det A A
13 A23 A33
A21 ( 1)2 1
Решение
A22 ( 1)
2 2
A23 ( 1)
2 3
11
0 0
0, A 11 11 11
01
1
1
11
10
1,
11
10
0,
10
0
1 .
0
Пример
Решение
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
А 1 1 0 . А 1 1 A12 A22 A32 .
1 0 1
det A A
13 A23 A33
A21 ( 1)
2 1
A22 ( 1)
2 2
A23 ( 1)
2 3
0 0
0,
01
10
1,
11
10
0,
10
1 0
1
1
A 1 1 .
1
1
0
Пример
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
А 1 1 0 А 1 1 A12 A22 A32
1 0 1
det A A
13 A23 A33
0
1 0
A31 ( 1)
0 11 11
1 0
AA 1 1
0
11
1
0
3 2
0
1
1
A32 ( 1)
0
Решение
10
3 1
A33 ( 1)
3 3
0 0
1 0
1
1 1
Пример
Решение
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
А 1 1 0 А 1 1 A12 A22 A32
1 0 1
det A A
13 A23 A33
1 0 0 1 0 0
1
1
A
1 1 0 1 1 0 .
1
1 0 1
1
0
1
1 0 0
1
0
0
1
0
0
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 .
AA
1 0 1 1 0 1 0 0 1
18. 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
(СЛАУ)К решению систем линейных алгебраических
уравнений
сводятся
многочисленные
практические задачи (по некоторым оценкам
более 75% всех задач).
• Системой линейных алгебраических уравнений,
содержащей т уравнений и n неизвестных, называется
система вида
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn = b1,
a x + a x + a x + … + a x = b ,
21 1 22 2
23 3
2n n
2
(2.1)
am1x1 + am 2 x2 + am3 x3 + … + amn xn = bm ,
где x1, x2, , xn – неизвестные,
aij– числа (i = 1, , m; j =1, , n), называемые
коэффициентами системы,
b1, b2, , bm – числа, называемые свободными
членами.
• Решением системы (2.1) будем называть
упорядоченный набор чисел x1, x2, , xn ,
обращающий каждое ее уравнение в верное
равенство.
• Такую систему удобно записывать в компактной
матричной форме:
А Х=В.
(2.2)
a11 a12
a
a22
21
А a31 a32
am1 am 2
a13 … a1n
a23 … a2 n – матрица коэффициентов системы.
a33 … a3n
b1
b
am3 … amn
2 — (столбец правых частей)
В b3
вектор-столбец из
свободных членов bi.
bm
x1
x2
Х x3
— вектор-столбец из неизвестных x .
j
x
n
a11 a12
a
a22
21
A a31 a32
am1 am 2
a13 … a1n b1
a23 … a2 n b2
(2.3)
a33 … a3n b3 .
am3 … amn bm
• Решить систему — значит найти все ее решения или
доказать, что решений нет.
Система линейных уравнений
хотя бы одно решение
совместная
единственное
решение
определенная
нет решения
несовместная
более одного решения
неопределенная
• В случае неопределенной СЛАУ каждое ее
решение называется частным решением.
• Совокупность всех частных решений называется
общим решением.
• Система, у которой все свободные члены равны нулю
(b1 = b2 = = bn = 0), называется однородной.
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn = 0,
a x + a x + a x + … + a x = 0,
21 1 22 2
23 3
2n n
(2.4)
am1x1 + am 2 x2 + am3 x3 + … + amn xn = 0.
• Однородная система всегда совместна,
совместна так как набор
из n нулей (тривиальное решение) удовлетворяет
любому уравнению из (2.
4).• Если число уравнений системы совпадает с
числом неизвестных (m=n), то система
называется квадратной.
• Если определитель матрицы A квадратной
системы Δ =det A≠ 0,
0 то система имеет
единственное решение.
решение
• Если det A= 0,
0 то система либо имеет
бесконечное множество решений,
решений либо
несовместна.
28. 4.1. ПРИМЕНЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СЛАУ
29. Применение обратной матрицы для решения СЛАУ
В матричной форме записи квадратная определенная системауравнений имеет вид:
АХ=В.
(2.2*)
Так как det А= 0, существует обратная матрица А–1.
Если умножить обе части (2.2*) на А–1 слева, то получим формулу
для нахождения столбца неизвестных Х:
1
1
A A X A B
Е
Х
1
X A B.
(2. 5)
Пример. Решить матричным способом систему
уравнений
3 x 2 y 7,
x y 4.
Решение.
А 13 21 .
A
1
1 a 22
a 21
7
В .
4
a12
.
a11
3 2
1 1
5.
1 1 2
А
1 3 .
5
1
х
1 1 2 7 1 15 3
1
.
Х А В
1 3
4 5 5 1
5
у
32. швейцарский математик, один из создателей линейной алгебры
(1704 -1752)швейцарский математик, один из
создателей линейной алгебры
X A 1 B.
(2. 5)
Пусть квадратная определенная система в матричной
форме имеет вид :
АХ=В, det А= 0.
(2.6)
Тогда из (2.5) получим, что решение (2.6) находится по
формулам:
x1
A11
x
A
1
2 12
M K
xn
A1n
A21 K
A22 K
K
K
A2 n K
An1 b1
A11b1 A21b2 L An1bn
A b A b L A b
An 2
b
1
22 2
n2 n
2 12 1
K M
M
Ann bn
A1nb1 A2 nb2 L Annbn
где
i
Формулы (2.7) отыскания
решения системы (2.6)
,
называются формулами
Крамера.
Крамера
1
2
n
. (2.7)
x1 , x2 ,K , xn
определитель матрицы, полученной из А заменой ее
j-го столбца на столбец правых частей системы, j=1, 2,.
.n.Частный случай n=2.
(2.8)
Введем в рассмотрение следующие три определителя для
матрицы системы (2.8):
Теорема (правило Крамера).
Если 0, то система (2.8) имеет единственное
решение, которое находится по формулам
х
х
; у
у
.
(2.9)
Пример. Решить по правилу Крамера систему уравнений
:
3 x 2 y 7,
x y 4.
Решение. Вычислим определитель системы
x
7 2
4 1
15,
y
3 2
1 1
3 7
1 4
5 0.
5.
Cогласно (2.9), получаем
x 15
x
3,
5
y
5
y
1.
5
3x 2 y 7
x y 4
n=3.
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с
тремя неизвестными
а11 х1 а12 х2 а13 х3 b1,
а21х1 а22 х2 а23 х3 b2 ,
а31х1 а32 х2 а33 х3 b3.
(2.10)
Обозначим
а11 а12 а13
b1 а12 а13
а21 а22 а23 , 1 b2 а22 а23 , 2
а31 а32 а33
b3 а32 а33
а11 b1 а13
а21 b2 а23 , 3
а31 b3 а33
а11 а12 b1
а21 а22 b2 .
а31 а32 b3
Вспомогательные определители 1, 2, 3 получаются
из определителя матрицы системы (2.
10) заменойсоответствующего столбца столбцом свободных
членов.
n = 3.
Теорема (правило Крамера). Если 0, то система
(2.10) имеет единственное решение, которое
находится по формулам Крамера
х1
1
, х2
2
, х3
3
.
(2.11)
39. Окончание лекции
Введение в матрицы — Math Insight
Расположение матрицы в строках и столбцах нужно не только для того, чтобы она выглядела красиво. Структура матрицы позволяет нам определить фундаментальную операцию над матрицами: умножение. Это умножение составляет основу линейной алгебры. В частности, это умножение матриц позволяет матрицам представлять линейные преобразования (или линейные функции) которые преобразуют векторы в другие векторы. (Простым примером линейного преобразования является поворот вектора.) Другое использование матриц связано с вычислением их определителя.
Векторы как матрицы
Концепция матриц настолько мощна, что во многих случаях
мы делаем нашу жизнь проще, рассматривая вектор как
специальный тип матрицы. Сравнивая вектор, такой как $\vc{x}=(1,5,3)$, с матрицей, сначала кажется, что разница между векторами и матрицами
что векторы имеют только одну строку, а матрицы имеют несколько строк.
Однако есть один важный поворот (буквально), который не очевиден при записи векторов в форме $\vc{x}=(1,5,3)$ .
Когда мы рассматриваем векторы как матрицы, мы на самом деле рассматриваем их как
повернутая версия стандартной формы, написание
$n$-мерный вектор как матрица-столбец $n \times 1$
\начать{выравнивать*}
\vc{х} =
\левый[
\начать{массив}{с}
х_1\\
х_2\\
х_3\\
\vdots\\
х_n
\конец{массив}
\верно].
\конец{выравнивание*}
Мы часто называем $\vc{x}$ вектор-столбцом $n\times 1$ и используем термины
«вектор-столбец» и «матрица-столбец» как синонимы.
Вектор $\vc{x}=(1,5,3)$, записанный как вектор-столбец $3 \times 1$, будет
\начать{выравнивать*}
\vc{х} =
\левый[
\начать{массив}{с}
1\5\3
\конец{массив}
\верно].
\конец{выравнивание*}
Матрицы | Узнайте все о матрице на примерах
Оставить комментарий / Цифры / По Г. Де Сильва
Table Of Contents
- Dimensions of Matrix
- Matrix Elements
- Equal Matrices
- Square Matrices
- Zero Matrix
- Properties of a Zero Matrix
- Diagonal Matrix
- Identity Matrix
- Properties of an Identity Matrix
- Треугольные матрицы
- Transpect Matrix
- Симметричные матрицы
- Добавление матриц
- Умножающие матрицы
- Умножение матрицы
- .
Форма матрицы
- Часто задаваемые вопросы
- Что такое матрицы?
- Каковы размеры матрицы?
- Что такое элементы матрицы?
- Что такое равные матрицы?
- Что такое квадратные матрицы?
- Что такое нулевая матрица?
- Что такое диагональная матрица?
- Что такое идентификационная матрица?
- Что такое треугольные матрицы?
- Что такое эшелонированная форма матрицы?
Форма матрицыМатрицы представляют собой прямоугольные блоки чисел, упорядоченные по строкам и столбцам.
Например,
Есть несколько уникальных терминов, которые нам следует знать, когда мы имеем дело с матрицами.
Размеры матрицы
Когда мы рассматриваем приведенный выше пример, он имеет две строки и три столбца. Итак, размеры матрицы A равны 2 x 3
Размерность матрицы = Количество строк x Количество столбцов
Найдем размерность следующих матриц.
Размер A = 2 x 2
Мы назвали это матрицей два на два.
Размер C = 4 x 2
Мы назвали это матрицей четыре на два.
Элементы матрицы
Элементы матрицы называются элементами матрицы. Элементы определяются с помощью строк и столбцов.
Давайте посмотрим на пример.
Равные матрицы
Если матрица A = матрица B , мы можем сказать, что A и B идентичны.
К A = B
01) Матрицы A и B должны быть одного размера.
02) Соответствующие элементы должны быть равны.
Если,
Тогда A = B Средство,
B 11 = 1 , B 12 = 2 , B 13 = 3 , B 21 = 4 , , 6, , , , , , , , , , , B 21 = 4 , , B 21 = 4 , , B 21 = 4 , , B 21 . If the number of rows and columns матрицы одинаковы, они называются квадратными матрицами. Пример: Матрицы 2×2, 3×3, 4×4, 5×5, 6×6, … являются примерами квадратных матриц. Матрица, состоящая из 0 с, называется нулевой матрицей. Примеры: (Сложение и умножение матриц будут описаны далее в этой статье.) Диагональная матрица имеет нулевые элементы по всей матрице, кроме главной диагонали. Диагональные матрицы всегда относятся к квадратным матрицам. Матрица идентичности — это матрица, состоящая из 1 элементов на главной диагонали. Примеры: Главная диагональ делит квадратную матрицу на два треугольника. Транспонировать матрицу A обозначается как A T Две строки A T A являются столбцами . Если A это м x n матрица, тогда A T равна n x m матрица. — квадратная матрица. Давайте рассмотрим пример. Теперь транспонируем A . Мы видим, что A = A T Таким образом, A является симметричной матрицей. Прежде чем изучать другие определения, мы должны узнать о сложении и умножении матриц. Если A и B две матрицы одинакового размера, мы можем получить матрицу для A + B , сложив соответствующие элементы A и B 3 Пример 01 Пример 02 Если A — это матрица, а k — любое действительное число, мы можем найти kA , умножив каждый элемент матрицы A на k . Пример: Найти 4A , Легче учиться на примере. A представляет собой матрицу 2 x 3 , B представляет собой матрицу 3 x 2 . Возьмем, (Элемент в 1 ст ряд 1 ст столбец) (1 ст ряд 2 nd столбец) 4 5 121 
5 , b 23 =6 , b 31 =7 , b 32 =8 , b 33 =9 Square Matrices
Нулевая матрица
Свойства нулевой матрицы
Диагональная матрица
Матрица идентичности
Единичные матрицы обычно обозначаются буквой I
Свойства единичной матрицы
Треугольные матрицы
Квадратная матрица с нулями во всех позициях ниже главной диагонали. Квадратная матрица, имеющая нули во всех позициях выше главной диагонали. Транспонировать матрицу
Столбцы A T являются строками A . Симметричные матрицы
Если A = A T , A является симметричной матрицей
Сложение матриц
Умножение матриц
Умножение матрицы на число
Умножение матрицы на другую матрицу
АВ будет,
г 11 = (2 х 6) + (4 х 0) + (3 х -3) ; Умножьте 1 ст записей строки A на 1 ст записей столбца B.
= 12 + 0 – 9
= 3
= 4 + 20 + 3
= 27
(2 й ряд 1 ст столбец)
г 21 = ( 1 х 6) + (5 х 0) + (6 х -3)
= 6 + 0 – 18
= -12
(2 nd ряд 2 nd столбец)
г 22 = (1 x 2 ) + ( 5 x 5 ) + ( 6 + 1 = )
2 + 25 + 6
= 33
Давайте посмотрим на другой пример.
PQ будет матрицей 3 x 2,
Мы можем видеть, что когда мы умножаем матрицу на единичную матрицу, всегда получается одна и та же матрица.
Ступенчатая форма матрицы
Говорят, что матрица имеет ступенчатую форму, если
а) Все ненулевые строки выше любых строк, состоящих только из нулей.
б) Старший коэффициент ненулевого ряда всегда находится строго справа от старшего коэффициента строки над ним.
c) Количество нулей, следующих за первым ненулевым элементом строки, увеличивается по мере продвижения от строки к строке вниз.
Например:
Строка – редуцированная эшелонированная форма матрицы
Говорят, что матрица находится в редуцированной эшелонированной форме строки, если она удовлетворяет следующим свойствам.
а) Первая ненулевая запись в каждой строке равна 1.
b) Каждая последующая строка имеет свою первую ненулевую запись в более позднем столбце.
c) Все записи (выше и) ниже первой ненулевой записи каждой строки равны нулю.
г) Все полные строки нулей являются последними строками матрицы.
Например:
Приведите следующую матрицу к эшелонированной форме.
Часто задаваемые вопросы
Что такое матрицы?
Матрицы представляют собой прямоугольные блоки чисел, разделенные на строки и столбцы.
Каковы размеры матрицы?
Если мы рассмотрим это изображение, размеры этой матрицы A будут 2 x 3.
Размер матрицы = количество строк x количество столбцов
Что такое элементы матрицы?
Элементы матрицы называются элементами матрицы. Элементы определяются с помощью строк и столбцов.
Что такое равные матрицы?
Если матрица A = матрица B , мы можем сказать, что A и B идентичны.
К А = В
Что такое квадратные матрицы?
Если количество строк и столбцов матрицы одинаково, они называются квадратными матрицами.
Что такое нулевая матрица?
Матрица, состоящая из 0 , называется нулевой матрицей.
Что такое диагональная матрица?
Диагональная матрица имеет нулевые элементы по всей матрице, кроме главной диагонали. Диагональные матрицы всегда относятся к квадратным матрицам.
Что такое идентификационная матрица?
Идентификационная матрица — это матрица, состоящая из 1 с в качестве записей на главной диагонали.