Матрицы примеры решать: 404 – Страница не найдена

Содержание

Определитель матрицы 3 на 3. Калькулятор

Найти определитель матрицы 3*3 можно быстро по правилу треугольника

Определители обозначают следующими знаками

Примеры вычисления определителей

Пример 1. Найти определитель матрицы

Решение: Применяем правило треугольника для нахождения определителя

Определитель равен 11.
Приведенная схема пригодиться Вам для вычисления определителя матрицы 3 * 3. Все что Вам нужно – подставить свои значения.

 

Пример 2. Вычислить определитель матрицы

Решение: В целях научить Вас чему-то новому, найдем определитель матрицы по правилу Саррюса.

Схема вычислений приведена выше поэтому копировать ее не будем, а лишь распишем в деталях. Для этого дописываем к стандартному определителю два первых столбца и выполняем следующие расчеты.


В результате вычислений определитель равен нулю.


Пример 3. Найти определитель матрицы 3*3
Решение: Применяем правило треугольника для нахождения определителя

Определитель равен -161.

Пример 4. Вычислить определитель матрицы

Решение: Находим определитель матрицы 3*3 по правилу треугольников

 

Пример 5. Найти определитель матрицы

Решение: Матрица имеет несколько нулевых элементов. Такие матрицы называют разреженными. Для уменьшения количества операций вычислим определитель через алгебраические дополнения ко второму строки или столбца.


Проще уже не может быть.

 

Пример 6. Доказать что определитель матрицы А равен 3

Решение: Матрица содержит два нулевых элементы, поэтому можем найти определитель через алгебраические дополнения. Разложим определитель по элементам первого столбца.


Определитель равен 3 что и требовалось доказать.

 

Пример 7. Найти определитель матрицы
Решение:По предварительной схеме определитель матрицы вычисляем через алгебраические дополнения первой строки или третьего столбца. выполняем вычисления

Определитель равен 39.


Пример 8. При каких значениях параметра а определитель матрицы равен нулю

Решение: По правилу треугольников находим определитель

По условию приравниваем определитель к нулю и находим параметр


Параметры при которых определитель обращается в нуль уровне a=-3;a=3.

Пример 9. Найти определитель матрицы

Решение: Найдем определитель матрицы по правилу треугольников и через алгебраические дополнения. По первой схеме получим

Теперь разложим с помощью алгебраических дополнений, например, третьим столбцом. Он удобен тем, что содержит самые элементы матрицы. Находим определитель
Сравнением количества расчетов убеждаемся, что в таких случаях целесообразнее использовать правило треугольников. Вычисления проще и меньше вероятность сделать ошибку.

Для разреженных матриц или большего порядка блочных стоит применять расписание определителя по строке или столбцу.
И напоследок бонус от нас – калькулятор YukhymCalc.

С его помощью Вы легко проверите правильность исчисления основных операций с матрицами, а также сможете найти определитель матрицы и обратную матрицу. Для матриц 3*3 используется правило треугольников, для 4*4 – расписание определителя через элементы первой строки. Меню довольно простое и интуитивно понятное.
Определитель 7 задачу через матричный калькулятор иметь следующий вид

Как видите преимущество матричного калькулятора перед другими, в том числе онлайн калькуляторами, в том, что Вы видите все промежуточные операции. А это важно для проверки и контроля ошибок.

Используйте приведенные схемы вычислений определителей в обучении. Если возникают трудности в вычислениях и есть возможность, то можете проверить найдены определители калькулятором. Скачать матричный калькулятор YukhymCalc Вы можете без регистрации по этой ссылке.

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$

– квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}.$$

Эту формулу называют “правило треугольника”: одно из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком “+”, есть произведение элементов главной диагонали матрицы, каждое из двух других – произведение элементов лежащих на параллели к этой диагонали и элемента из противоположного угла матрицы, а слагаемые, входящие в со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно второй (побочной) диагонали.2+5x+4=0:$

$D=25-16=9$

$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$

Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$

 {jumi[*4]}

 

3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$

Решение.

$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$

$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$

Ответ: $0.$

 

3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$

 Решение.

 $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$

$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$

$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).T=\det A.$

2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.

4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.

5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).

 

Примеры:

3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.$

Доказательство.

$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$

 $\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

 

$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.{3+4}\begin{vmatrix}2&-3&4\\4&-2&3\\3&-1&4\end{vmatrix}=$

$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$

$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$

$=8a+15b+12c-19d.$

Ответ: $8a+15b+12c-19d.$

   {jumi[*4]}

3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$

Решение.

 Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:

$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два 

$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394.2.$

 

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

 

3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$

Ответ: $-14.$

 

3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$

Ответ: $4.$

 

3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$

Ответ: $2a-8b+c+5d.$

 

3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$

Ответ: $665.$

  {jumi[*4]}

Матрица строка решение. Решение матричных уравнений: теория и примеры

Решение матриц – понятие обобщающее операции над матрицами. Под математической матрицей понимается таблица элементов. О подобной таблице, в которой m строк и n столбцов, говорят что это матрица размером m на n.

Общий вид матрицы

Основные элементы матрицы:
Главная диагональ . Её составляют элементы а 11 ,а 22 …..а mn
Побочная диагональ. Её слагают элементы а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .
Перед тем как перейти к решению матриц рассмотрим основные виды матриц:
Квадратная – в которой число строк равно числу столбцов (m=n)
Нулевая – все элементы этой матрицы равны 0.
Транспонированная матрица – матрица В, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Единичная – все элементы главной диагонали равны 1, все остальные 0.
Обратная матрица – матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.

Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. То есть, если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 . то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными бывают только квадратные матрицы.
Теперь перейдем непосредственно к вопросу, как решать матрицы.

Сложение матриц.

Матрицы можно алгебраически складывать, если они обладают одинаковой размерностью. Чтобы сложить матрицу А с матрицей В, необходимо элемент первой строки первого столбца матрицы А сложить с первым элементом первой строки матрицы В, элемент второго столбца первой строки матрицы А сложить с элементом элемент второго столбца первой строки матрицы В и т.д.
Свойства сложения
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С)

Умножение матриц .

Матрицы можно перемножать, если они согласованы. Матрицы А и В считаются согласованными, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.
Если А размерностью m на n, B размерностью n на к, то матрица С=А*В будет размерностью m на к и будет составлена из элементов

Где С 11 – сумма папарных произведений элементов строки матрицы А и столбца матрицы В, то есть элемента сумма произведения элемента первого столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца первой строки матрицы В, элемента второго столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца второй строки матрицы В и т.д.
При перемножении важен порядок перемножения. А*В не равно В*А.

Нахождение определителя.

Любая квадратная матрица может породить определитель или детерминант. Записывает det. Или | элементы матрицы |
Для матриц размерностью 2 на 2. Определить есть разница между произведением элементов главной и элементами побочной диагонали.

Для матриц размерностью 3 на 3 и более. Операция нахождения определителя сложнее.
Введем понятия:
Минор элемента – есть определитель матрицы, полученной из исходной матрицы, путем вычеркивания строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется произведение минора этого элемента на -1 в степени суммы строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Определитель любой квадратной матрицы равен сумме произведения элементов любого ряда матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.

Обращение матрицы

Обращение матрицы – это процесс нахождения обратной матрицы, определение которой мы дали в начале. Обозначается обратная матрица также как исходная с припиской степени -1.
Находиться обратная матрица по формуле.
А -1 = A * T x (1/|A|)
Где A * T – Транспонированная матрица Алгебраических дополнений.

Примеры решения матриц мы сделали в виде видеоурока

:

Если хотите разобраться, смотрите обязательно.

Это основные операции по решению матриц. Если появится дополнительные вопросы о том, как решить матрицы , пишите смело в комментариях.

Если все же вы не смогли разобраться, попробуйте обратиться к специалисту.

Это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица – таблица элементов. О такой таблице, где m строк и n столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m на n .

Общий вид матрицы:

Для решения матриц необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы:

  • Главная диагональ, состоящая из элементов а 11 ,а 22 …..а mn .
  • Побочная диагональ, состоящая из элементов а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .

Основные виды матриц:

  • Квадратная – такая матрица, где число строк = числу столбцов (m=n ).
  • Нулевая – где все элементы матрицы = 0.
  • Транспонированная матрица — матрица В , которая была получена из исходной матрицы A путем замены строк на столбцы.
  • Единичная – все элементы главной диагонали = 1, все остальные = 0.
  • Обратная матрица — матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.

Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 , то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы.

Методы решения матриц.

Почти все методы решения матрицы заключаются в нахождении ее определителя n -го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы.

Нахождение определителей 2-го порядка.

Для вычисления определителя матрицы А 2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:

Методы нахождения определителей 3го порядка.

Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка.

Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц , можно изобразить таким образом:

Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком “+”; так же, для 2го определителя – соответствующие произведения берутся со знаком “-“, то есть по такой схеме:

При решении матриц правилом Саррюса , справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком “+”; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком “-“:

Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой.

Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.

При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.

Теорема Лапласа при решении матриц.

Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ – это определитель n -го порядка. Выбираем в нем любые k строк (либо столбцов), при условии k n – 1 . В таком случае сумма произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных k строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы :

  1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  2. Вычисляем алгебраические дополнения.
  3. Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
  4. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
  5. Проверяем выполненную работу: умножаем матрицу начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Решение систем матриц.

Для решения систем матриц наиболее часто используют метод Гаусса.

Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы.

Метод Гаусса является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом.

Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный – метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных.

Материал из ВикиПро: Отраслевая энциклопедия. Окна, двери, мебеля

Мне нравится

31

Иероглифы: Хосин Канри

Хосин канри (яп.: 方針管理, англ.: Hoshin Kanri) – это метод стратегического управления компанией, в процессе реализации которого устанавливаются направления деятельности предприятия, цели и применяемые для их достижения инструменты и способствующий вовлечению руководителей и персонала в выработку общего видения и общего плана действий.

Хосин канри иногда также рассматривается как процесс развертывания политики (англ.: Policy Deployment) или управление политикой .

Прежде всего, хосин канри это инструмент, связывающий макро и микро уровни организации. Хосин канри помогает увидеть самый верхний уровень целей компании, работая на микроуровне, и в тоже время понимать возможности, творческий потенциал и проблемы микро-уровня, находясь на самых высоких уровнях управления .

Этимология

Примерно в то же время, когда Джозеф Джуран находился в Японии, вышла книга Питера Друкера Практика менеджмента (The Practice of Management ), в которой описана концепция управления по целям (MBO). В ней подразумевается, что сотрудники самостоятельно включаются в процесс постановки целей и выбора направления действий, необходимых для их достижения , при таких условиях сотрудники более мотивированы на исполнение своих обязанностей.

Все эти методы получили в Японии широкое распространение и последующее развитие, и непосредственно способствовали появлению концепции «Хосин Канри». Впервые методологию «Хосин Канри» во второй половине 1960-х годов внедрила японская компания «Бриджстоун» , получившая в 1968 г. премию Деминга в области качества. В 1964 году «Бриджстоун» ввела в обращение термин «Хосин Канри», а в июле 1965 года опубликовав доклад «Руководство по хосин канри» сформулировала основные принципы хосин . Так появилось официальное название “Хосин Канри”. Термин «хосин канри» стал широко применяться в Японии в середине 1970-х гг. в таких компаниях, как Toyota , Nippon Denso , Komatsu и Matsushita Electric Industrial Co. (Panasonic Corporation). К концу 1970-х гг. аккумулированный опыт привел к формализации принципов, и первые книги на данную тему вышли в свет.

Во второй половине 1980-х годов, после успеха японских подразделений американских корпораций, а также работам Ёджи Акао, система «хосин канри» привлекла к себе внимание и в Америке. Первой из западных компаний этот подход переняла Hewlett-Packard и при сотрудничестве с Н. Кано внедрила ее в свою систему стратегического управления.

Успех HP привлек к этой теории внимание других крупных американских корпораций которые также начали внедрять её: Florida Power & Light , Procter & Gamble , Exxon , Texas Instruments, Xerox ; Intel .

В России работы по хосин канри начали появляться относительно недавно, в 2008 году была переведена и опубликована на русском языке книга Томаса Джексона «Хосин канри: как заставить стратегию работать», в которой содержится подробное описание концепции хосин канри. Книга уже получившая общее признание в США, по сути, стала первым в России практическим пособием по внедрению хосин канри.

Основы Хосин Канри

Система хосин канри направлена на совершенствование процесса управления стратегией компании и является ключевым элементом бережливого производства . Данный подход ориентирован на развитие качеств и характеристик, обеспечивающих конкурентоспособность всей компании благодаря повышению прибыли. Данный подход используется для интеграции единого процесса производства, в рамках которого хосин канри и бережливые идеи являются единым интегрированным процессом . При этом хосин канри не поощряет внедрение случайных, неупорядоченных усовершенствований и ориентирует организацию на реализацию проектов, которые планомерно продвигают ее к достижению стратегических целей.

Сила этого подхода заключена в его тесной увязке с системой повседневного управления предприятием, основанной на принципах непрерывного совершенствования (система kaizen) .

В отличие от общепринятого подхода к управлению стратегией, подход хосин канри основан на применении цикла Деминга, или PDCA в масштабе всей компании и представляет собой концепцию циклического управления. За счет систематического применения PDCA в системе хосин канри, интегрируются функции планирования и исполнения на всех уровнях организации. Данная концепция подразумевает одновременное так называемое двухуровневое планирование и управление:

  1. Уровень стратегического планирования. Основная ориентация данного уровня заключена в достижение значительных улучшений эффективности или обеспечение выполнения ключевых целей компании.
  2. Ежедневный уровень. Это уровень текущей деятельности, на котором переводятся установленные стратегические цели на язык конкретных действий.

Правильное сочетание указанных двух уровней в согласованном процессе управления движением организации к целям, разделяемым всеми ее сотрудниками, является ключевым условием надлежащего развертывания политики хосин канри.

Хосин канри представляет собой комплексный замкнутый процесс планирования, установления и доведения до исполнителей целей предприятия и оперативного анализа его работы, который обеспечивает координацию всех действий, направленных на достижение установленных стратегических целей компании . Процесс внедрения системы хосин канри требует жесткого подхода и долгосрочной приверженности, а также терпения и усилий высшего исполнительного руководства.

Помимо всего прочего хосин Канри, как часть всеобщего процесса постоянного совершенствования, эффективен для укрепления корпоративной среды и морального климата в компании . Подход хосин канри содействует комплексному развертыванию стратегических планов компании при объединении усилий всех сотрудников компании.

Цикл Деминга (или PDCA) – ключевой элемент политики Хосин Канри

Классический цикл PDCA

Цикл PDCA (англ.: «Plan/Do/Check/Act») является главным инструментом процесса непрерывного улучшения. Цикл PDCA подразумевает принцип повторения в решении какого-либо вопроса – поэтапное достижение улучшения, и повторение цикла преобразования много раз. Цикл PDCA – это непрерывный процесс улучшений , представленный в виде циклической повторяющейся последовательности:

Применение циклов PDCA осуществляется до того момента, пока результат не совпадет с заранее определенным планом. Это обусловлено тем, что в соответствии с требованиями потребителей планируемые критерии качества подвержены изменениям, цикл PDCA служит непрерывному улучшению качества и является эффективным инструментом для достижения наилучших результатов.

В классическом понимании цикл PDCA представляет собой систему, в рамках которой члены высшего руководства создают и реализуют стратегию, не привлекая к этому тех, кто находится на нижних иерархических уровнях организации, что в итоге приводит к слабому пониманию людьми стратегии и слабой заинтересованности в их реализации. В отличие от классического подхода, в структуре хосин канри циклы PDCA встраиваются друг в друга образуя систему в рамках которой топ-менеджмент компании обеспечивает развернутое внедрение своего стратегического плана, привлекая менеджеров среднего звена и квалифицированных рабочих, как к планированию, так и к выполнению стратегических решений. Так возникает новый высокоэффективный тип организационного саморегулирования, в основе которого лежат четкое понимание всеми менеджерами и рабочими стратегических целей и высокая заинтересованность в их реализации . Со временем такая саморегулирующаяся организация становится гибкой бережливой организацией, потому что все эксперименты PDCA в системе хосин встроены друг в друга или связаны между собой и соответственно изменение, произведенное в одном из циклов, быстро транслируется и вызывает перемены во всех остальных.

Циклы PDCA в системе Хосин Канри

«Хосин Канри» процесс достаточно разнонаправленный. Он включает в себя реализацию циклов PDCA на разных уровнях менеджмента в оперативном, среднеднесрочном и долгосрочном масштабе.

Циклы PDCA в системе хосин канри :

Долгосрочная стратегия:

Общий план деятельности на длительный период (5-100 лет) – направлен на осуществление важнейших преобразований или внесение изменений в миссию организации.

Среднесрочная стратегия:

Это почти законченный план действий, который включает в себя критерии улучшений существующих процессов и рассчитанный на среднесрочную перспективу (3-5 лет). Ориентирован на формирование необходимых характеристик.

Ежегодный план (Тактика):

Конкретный план действий на ближайший период (6-18 месяцев), который подразумевает формирование свойств и характеристик, способствующих повышению конкурентоспособности компании.

Оперативная деятельность:

Достаточно конкретные проекты (3-6 месяцев) реализуемые с целью применения инноваций в стандартизированных процессах.

Применение циклов в системе хосин канри проводятся специально созданными для этого сетью рабочих групп, в состав которых входят высшее руководство, менеджеры среднего звена и в обязательном порядке весь рабочий персонал компании. Такие группы или команды создаются и объединяются по принципу иерархии, обязанности по планированию и внедрению распределяются между ними следующим образом:

  • Хосин-команда – это управленческая команда самого высокого уровня, которая отвечает в целом за стратегическое планирование и процесс реализации политики.
  • Тактическая команда – разрабатывают и управляют проведением определенных тактик по формированию некоторых характеристик, улучшающих конкурентоспособность организации.
  • Оперативная команда – разрабатывает и осуществляет оперативные проекты по совершенствованию конкретных процессов.
  • Команда исполнителей – разрабатывает и руководит проведением периодических относительно крупных усовершенствований () и осуществлением непрерывного улучшения (кайдзен).

У каждого цикла PDCA в системе хосин канри имеет свою определенную задачу, зависимую от продолжительности и того, каким образом он связан с общими целями компании. В итоге, чем длиннее определенный цикл, тем выше степень ответственности в управленческой иерархии организации. В целом процесс хосин канри не имеет конечной точки и циклы стратегических преобразований повторяются с периодичностью 1-2 раза в год. Процесс применения циклов PDCA в системе хосин канри, проводимый в контролируемых условиях стандартизированных рабочих процессов, позволяет вовлечь всех сотрудников компании для проверки правильности выбранной компанией стратегии .

Х-матрица. Хосин Канри в формате А3

Одним из основных условий реализации политики хосин канри является создание документа, в котором фиксируются результаты процесса разработки стратегии компании. Для этого в системе хосин применяют такой инструмент, как «Х-матрица», которая дает возможность представить весь процесс разработки стратегии на одном листе бумаги. Важно, что этот документ выполняет функции итогового документа, в котором фиксируются принятые решения и обсуждаемые аргументы, необходимые для формулировки и претворения в жизнь эффективной стратегии .

Х-матрица представляет собой пакет планов работы команд, которые описывают в практических, а также стратегических терминах основную суть бережливой организации: создать и укрепить конкурентоспособность, измеряемую в конкретных показателях, современных технологиях, высшем уровне качества, низких затратах и поставке «точно в срок» . Каждый план работы команды, который включается в систему Х-матриц, призван решить конкретную задачу: ликвидировать непроизводительные потери и уменьшить нестабильность, которые мешают одержать победу над конкурентами.

Х-матрица оформляется в формате А3 (), так как данный формат наиболее нагляден, лаконичен и мобилен, он является самым оптимальный форматом, для того чтобы ничего не упустить и в то же время избежать написание чего-либо лишнего. Данная форма используется для разработки и применения среднесрочной стратегии и годового хосин-плана компании, а также предназначена для объединения многочисленных планов команд различных уровней в единый масштабный документ, направленный на реализацию стратегии.

Х-матрица состоит из четырех основных блоков:

  1. Стратегии – это основной движущий фактор в матрице, описание того, что будет делаться, как на текущий период, так и в ближайшие 2-3 года.
  2. Тактики – описание того как будет достигаться выбранная стратегия в период ближайших 6-18 месяцев.
  3. Процесс – критерии оценки, с помощью которых будет оцениваться ход развития всего процесса.
  4. Результаты – описание всех результатов качественного управления процессом.

Дополнительные блоки матрицы:

  • Члены команды – перечисляются участники всех процессов;
  • Ответственность – отмечается, кто за какой процесс несет ответственность;
  • Взаимосвязи – фиксируются имеющиеся взаимоотношения между процессами.

Процесс разработки Х-матрицы.

Перед тем как заполнять Х-матрицу, требуется выполнить стратегический анализ и определить пути развития организации . Только после этого заполняется первый блок матрицы, содержащий сформулированную стратегию. Следующим шагом выбираются и заносятся тактики, которые позволят обеспечить выполнение выбранной стратегии. Далее необходимо описать проекты, то есть, что необходимо выполнить, чтобы реализовать сформулированные тактики. Затем прописываются планируемые финансовые итоги, то есть то, для чего всё это делается. В дальнейшем определяются взаимосвязи между выбранными стратегией и тактиками. В итоге установление этих взаимосвязей позволяет понять, насколько тактики способны реализовать стратегии. Далее необходимо определить, с помощью, каких проектов можно реализовать выбранные тактики и сколько это будет стоить. Взаимосвязи также устанавливаются и между проектами и тактиками. Определение взаимосвязей позволит понять, какой проект способен выполнить ту или иную тактику, а также какая тактика сможет реализовать выбранную стратегию. В результате будет получено видение далекой цели и конкретных шагов, позволяющих ее достичь. На последнем этапе выбираются ответственные лица. И после этого в матрице проставляется связь между проектами и результатами (то есть позволяют ли эти проекты получить желаемые результаты) и устанавливается связь результатов со стратегиями.

Х-матрица – это ключевой документ в системе хосин канри, который призван обеспечить максимально четкую реализацию данного подхода. В результате внедрения этого метода менеджеры начинают обсуждать ход выполнения поставленных задач чаще и в непосредственном контакте со своими подчиненными, а также с вышестоящими руководителями.

Поймай мяч или «кэтчбол» в методологии Хосин канри

Успешная реализация стратегии невозможна без активного участия коллектива в процессе ее развертывания и без заинтересованности каждого в конечных результатах. В системе хосин канри стратегии не просто спускаются с верхних уровней управленческой иерархии на нижние, а согласуются по определённой схеме, которая называется «поймай мяч». Прием «поймай мяч» или «кэтчбол» (англ. catch-ball) является ключевым элементом стратегии хосин канри, и представляет собой способ интерактивного построения плана.

Смысл метода в том, что стратегия как мяч перекидывается между различными уровнями, до тех пор пока не будет достигнуто окончательное согласование. Мяч политики перебрасывается между менеджерами всех уровней, и только потом принимается окончательное решение. Задача приема «поймай мяч» – преобразовать цели высшего руководства в цели всех сотрудников .

«Поймай мяч» – это процесс, с помощью которого руководители команд разрабатывают годовой хосин-план и передают его всем командам в организации. Свое название он получил из-за многочисленных обсуждений и активных переговоров, происходящих между командами при создании и обсуждении уставов и планов, в соответствии с которыми проходит внедрение системы хосин канри. В таком контексте процесс охватывает все уровни и все сектора вашей организации как в вертикальном (сверху вниз и снизу вверх), так и в горизонтальном направлениях, обеспечивая активное обсуждение будущего компании и возможность прийти к соглашению о целевых показателях, основных средствах, ролях, обязанностях и сферах ответственности, распределении и развитии ресурсов.

Ёсио Кондо описывает форму процесса «перебрасывания мяча» при развертывании планов на финансовый год в рамках концепции хосин канри следующим образом :

  1. Высшее руководство компании разрабатывает проект плана на будущий год. В проекте учитываются итоги работы прошлого года. Формулируется среднесрочная и долгосрочная стратегия и основная философия компании.
  2. Проект политики подвергается обсуждению во всех подразделении организации их руководителями вместе с менеджерами.
  3. Каждое подразделение выдвигает свои собственные идеи, относящиеся к планам организации, меняя первоначальный проект стратегии, если в этом есть необходимость.
  4. Проект с внесёнными предложениями затем обсуждается в каждом из отделов компании менеджерами следующих более мелких уровней, после чего каждый отдел выдвигает свой вариант предложенной политики.
  5. После того как в этом процессе будет учтено мнение как можно большего числа сотрудников компании информация возвращается по иерархии высшему руководству, и уже только после этого стратегия компании на следующий год окончательно принимается после дальнейшего обсуждения и изменения, если требуется.

Таким образом, в приеме «поймай мяч» планы политики для каждого подразделения компании, от высшего до низшего, неоднократно пересматриваются, начиная с высшего уровня в подразделениях, и доходят до нижних уровней. Политика компании утверждается только после того, как высшее руководство учтет информацию, полученную снизу. Благодаря процессу «поймай мяч» циклы PDCA оказываются вмонтированными один в другой по мере того, как стратегический план последовательно развертывается на различных этапах управления иерархии.

Выгоды данного метода заключаются в том, что обсуждение планов компании ее работниками углубляет понимание процессов преобразования и позволяет им думать одновременно о «необходимости» и о «возможности» реализации этих преобразований, т. е. включиться в процесс совершенствования. С помощью приема «поймай мяч» компания осуществляет качественный переход от нисходящих принудительных целей к добровольным восходящим. Вместо того, чтобы просто говорить людям, что делать, метод «поймай мяч» дает каждому менеджеру голос, а это чрезвычайно эффективный путь мотивации людей для достижения поставленных перед ними целей . Применение метода «поймай мяч» в системе хосин канри позволяет каждому работнику почувствовать, что ему доверяют, и поэтому он должен сделать все возможное, чтобы оправдать это доверие. Осознание работниками своей значимости для компании – это именно то, что необходимо руководству для эффективного внедрения концепции всеобщего управления качеством в компании .

Фундаментальная предпосылка, на которой основывается идея хосин канри, заключена в том, что главным условием достижения организацией требуемых результатов является понимание всеми ее работниками выбранного стратегического направления развития и их участия в выработке практических действий, ведущих к достижению желаемых результатов. Хосин канри требует, чтобы каждый сотрудник компании стал обученным и сертифицированным специалистом, способным применять методы PDCA. Для этого требуется активное внедрение различных обучающих программ. В конечном итоге развертывание политики хосин канри заключается в системном планировании, позволяющем увязать стратегию компании с фундаментальными основами, обеспечивающими ее успешную ежедневную деятельность. Применение данного подхода позволяет руководителям оценивать эффективность предлагаемых проектов, осуществлять контроль их выполнения и тем самым управлять изменениями в стратегии и развитии компании.

Примечания

  1. Лайкер Д. Дао. Toyota: 14 принципов менеджмента ведущей компании мира//Серия «Модели менеджмента ведущих корпораций»/ перев. с англ. – М.: Альпина Бизнес Букс, 2005. – С. 332 – 402 с. – ISBN 5-9614-0124-3.
  2. Shook J. Policy Deployment: aka Strategy Alignment, aka Hoshin Kanri.
  3. Корпоративный университет ЭКСWord. Стратегическое управление. Хосин канри.
  4. Governica.com. Hoshin Kanri.
  5. Нив Р.Г. Пространство доктора Деминга: Принципы построения устойчивого бизнеса// Модели менеджмента ведущих корпораций/ перев.: Ю. Рубаник, Ю. Адлер, В. Шпер. – М.: Альпина Паблишер, 2005. – С. 18 – 376 с. – ISBN 5-9614-0238-X.
  6. Управление технологией и инновациями в Японии/сборник статей/перев. с англ./ред. Корнелиус Х. и др. – М.: Волтерс Клувер, 2009. – С. 237 – 512 с.- ISBN 978-5-466-00269-0
  7. Всеобщее управление качеством. Материал из Википедии.
  8. Практика менеджмента. – М.: Вильямс, 2003. – 397c. – ISBN 5-8459-0085-9
Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения систем линейных уравнений матричным способом (см. пример решения подобных задач).

Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц.

где А, В, С – задаваемые матрицы, Х – искомая матрица. Матричные уравнения вида (1), (2) и (3) решаются через обратную матрицу A -1 . Если задано выражение A·X – B = C , то необходимо, сначала сложить матрицы C + B , и находить решение для выражения A·X = D , где D = C + B (). Если задано выражение A*X = B 2 , то предварительно матрицу B надо возвести в квадрат . Рекомендуется также ознакомиться с основными действиями над матрицами .

Пример №1 . Задание . Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

Обратная матрица A -1:
Найдем обратную матрицу B -1 .
Транспонированная матрица B T:
Обратная матрица B -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1

Ответ:

Пример №2 . Задание. Решить матричное уравнение
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.

Пример №3 . Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
Найдем обратную матрицу A -1 .
Транспонированная матрица A T:
Обратная матрица A -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1


Ответ: >

Ранг матрицы – определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Элементарные преобразования матриц:

Рассмотрим прямоугольную матрицу:

состоящую из m строк и n столбцов. В п.3.2 отмсчалось, что каждую строку матрицы можно рассматривать как n-мсрный вектор, а каждый столбец – как m-мерный вектор. Тогда матрицу А можно записать в виде:

и, следовательно, данную матрицу можно рассматривать как систему вектор строк или вектор столбцов. Б указанных системах вектор-строк и вектор-столбцов можно выделять линейно независимые (зависимые) векторы. Тогда будем говорить, что строки (столбцы) матрицы линейно независимы (зависимы), если соответствующие им векторы независимы (зависимы).

Определения

Определение: Рангом системы строк (соответственно столбцов) матрицы А называется наибольшее число линейно независимых среди них.

Поскольку легко доказать, что ранг системы строк матрицы равен рангу системы её столбцов, то справедливо следующее

Определение: Рангом матрицы, обозначаемым r(А), называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

При транспонировании матрицы ранг её не изменяется.

Другой метод определения ранга матрицы связан с понятием определителя.

Выделим в матрице А любые k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на их пересечении, образуют квадратную матрицу, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А. Ясно, что величина к должна удовлетворять двум условиям: . Полагая последовательно k = 1,2,…,l, где

, составляем при каждом k все миноры k-то порядка матрицы А. Тогда можно сформулировать еще одно определение ранга матрицы.

Определение: Рангом матрицы, обозначаемым r(А), называется порядок самого старшего минора этой матрицы, не равного нулю.

Из определения следует, что если ранг матрицы А равен l, то среди всех её миноров существует хотя бы один минор l-го порядка, отличный от нуля, но все миноры (l+1)-го порядков либо равны нулю, либо не могут быть составлены.

Вычисление ранга матрицы путём перебора всех её миноров весьма трудоёмко. Существует, однако, более простой способ вычисления ранга матрицы, основанный на упрощении структуры матрицы с помощью элементарных преобразований. Элементариыми преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

  1. обмен местами двух строк или двух столбцов матрицы;
  2. умножение всех элементов строки или столбца матрицы на произвольное число , не равное нулю;
  3. прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же число;
  4. исключение из матрицы строки или столбца, состоящего из нулей.

Матрицы называются эквивалентными, если от одной из них к другой можно перейти путём конечного числа элементарных преобразований.

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая тому свойству, что если в какой-либо из сё строк первый отличный от нуля элемент стоит на l-м месте, то во всех следующих строках на первых l местах стоят нули:

где элементы отличны от нуля, а все элементы, стоящие под ними, равны нулю.

Для вычисления ранга матрицы приводят её с помощью цепочки элементарных преобразований к ступенчатому виду. Тогда ранг матрицы совпадает с числом её ненулевых диагональных элементов.

Теоремы о ранге матриц. Свойства ранга матриц

Относительно ранга матриц можно сформулировать следующие теоремы:

Теорема: Если матрица имеет минор порядка r, отличный от нуля, для которого все содержащие его миноры порядка(окаймляющие миноры) равны нулю, то ранг этой матрицы равен r.

Вычисление ранга матрицы при помощи метода окаймления нужно вести от низших порядков к высшим. Сначала ищем минор первого порядка (т.е. элемент матрицы) или сразу второго порядка, отличный от нуля. Затем вычисляем окаймляющие его миноры следующего порядка, пока не найдём среди них отличного от нуля и т.д., пока не найдем минор порядка l, отличный от нуля, для которого либо все окаймляющие его миноры порядка l+1 равны нулю, либо такие миноры не могут быть составлены.

Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство теоремы следует из определения ранга матрицы и свойств определителей.

Пример:

Найти ранг матрицы:

Решение:

Минор первого порядка в левом верхнем углу равен . Окаймляющий его минор второго порядка:

Вычисляем окаймляющий его минор третьего порядка:

Значит ранг матрицы равен 2.

Пример:

Найти ранг матрицы:

Решение:

При помощи элементарных преобразований приведём данную матрицу к ступенчатому виду. На первом шаге умножим последовательно первую строку на 3, 3, 2 и вычтем из второй, третьей, четвёртой строк соответственно:

В эквивалентной матрице прибавим к третьей строке вторую и вычтем вторую из четвёртой строки:

(поменяем местами третью и четвертую строки)

(поменяем местами третий, четвёртый и пятый столбцы со вторым и опустим строки, состоящие из нулей) Преобразовали матрицу к ступеньчатому виду, у которой на диагонали три ненулевых элемента. Ранг матрицы равен 3.

Отмстим некоторые свойства ранга матриц.

  1. Ранг суммы двух (или нескольких) матриц не больше суммы их рангов.
  2. Любую матрицу ранга r можно представить в виде суммы r матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы менее чем r таких матриц.
  3. Любую матрицу С ранга r можно представить в виде произведения , где А состоит из r линейно независимых столбцов, г B -из r линейно независимых строк.
  4. Ранг произведения матриц порядка n удовлетворяет неравенству .

Определение системы m линейных уравнений с n неизвестными

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

Числа называются соответственно коэффициентами системы и ее свободными членами. Первый индекс i коэффициента соответствует номеру уравнения, в которое входит этот коэффициент, а второй индекс – номеру неизвестной , при которой стоит этот коэффициент. Индекс свободного члена соответствует номеру уравнения, содержащего .

С помощью знака суммирования систему (5.3.1) можно записать в виде:

Матрица

составленная из коэффициентов системы , называется матрицей

системы. Если к этой матрице добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы: Обозначив матрицу-столбец неизвестных и матрицу-столбец свободных членов , систему (5. 3.1) можно записать в матричной форме:

где

Используется также табличная форма записи системы (5.3.1):

Отметим, что (5.3.1), (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4)- различные виды записи одной и той же системы линейных уравнений.

Решением системы (5.3.1) называется любой упорядоченный набор действительных чисел , который при подстановке в (5.3.1) вместо неизвестных , обращает каждое из уравнений системы в верное равенство.

Система уравнений (5.3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений с одинаковыми наборами неизвестных называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Отмстим, что для любой системы (5.3.1) возможны только три случая:

  1. система (5.3.1) имеет единственное решение;
  2. система (5.3.1) имеет бесчисленное множество решений;
  3. система (5.3.1) несовместна.

Множество всех решений системы (5.3.1) называется ее общим решением.

Решить систему (5.3.1) – значит найти ее общее решение.

Пример:

Пусть задана система

Тогда эту систему можно записать в матричном виде:

или в виде таблицы:

Система определенная, так как она имеет единственное решение . Других решений быть не может, так как прямые

на координатной плоскости пересекаются в единственной точке.

Экономические задачи, приводящие к системе линейных уравнений

Предположим, что производственные мощности для изготовления n различных видов продукции установлены в т цехах. Пусть представляет собой суммарную мощность цеха i, и — часть производственного аппарата цеха i, которая необходима для производства единицы продукции вида j. Тогда обозначив через количество выпущенной продукции, получим систему уравнений, показывающих. как можно использовать имеющиеся мощности в полном объёме.

Широкий круг задач экономики приводит к составлению системы уравнений. Так в примере 4.3.2 составлялась система линейных уравнений (4.3.1) балансовой модели для трёх отраслей. В общем случае под балансовой моделью понимается система уравнений, каэ/сдое из которых выражает требование баланса между производимым количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.

При построении балансовых моделей используется понятие чистой (или технологической) отрасли, т.е. условной отрасли, объединяющей всё производство данного продукта независимо от ведомственной (административной) подчинённости и форм собственности предприятий и фирм. Всё народное хозяйство представляется в виде совокупности п отраслей, каждая из которых рассматривается как производящая и как потребляющая.

Если обозначить через:

то систему уравнений баланса можно записать в виде:

или в матричной форме:

где Х- вектор-столбец валовой продукции; Y- вектор-столбец конечной продукции; А – матрица коэффициентов прямых затрат.

Основу экономико-математической модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица А, содержащая коэффициенты прямых затрат на производство единицы продукции:

Коэффициент!,! прямых затрат являются довольно стабильной величиной во времени.

Переписав матричное уравнение (5.4.2) в виде EX-AX = Y или (E-A)X = Y, (5.4.3) получим стандартную форму записи системы уравнений.

Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выделить произвольно строк и столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу -го порядка. Определитель этой матрицы называется минором -го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен , то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка , но всякий минор порядка, большего чем , равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через (А).

Очевидно, что выполняется соотношение

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D -го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен .

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

  1. перестановка двух любых строк (или столбцов),
  2. умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
  3. прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: А ~ В.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы

равны нулю, например,

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример:

Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

Решение:

Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор отличный от нуля.

Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:

Таким образом, асе окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Пример:

Найти ранг матрицы и привести ее к каноническому виду.

Решение:

Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

из третьей строки вычтем первую; получим матрицу которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

Вычисление ранга матрицы

Для исследования разрешимости систем линейных уравнений важную роль играет понятие ранга матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу А

Выделим k произвольных строк и k произвольных столбцов этой матрицы. Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Обозначение: rank А,

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Рассмотрим некоторые методы вычисления ранга матрицы.

Метод окаймляющих миноров

Минор порядка k+1, содержащий в себе минор порядка k, называется окаймляющим минором.

Вычисляя ранг матрицы, удобнее переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если найден минор k-го порядка, отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры порядка k+1 равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Примеры решения матриц методом крамера. Решить систему уравнений методами Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

.

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

2

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A – 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

.

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij – алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A – 1 к матрице

.

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

.

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 – 3 × 3 × 3 – 1 × 5 × 4 – 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 – 27 – 20 – 32 = – 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A – 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных и – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

x

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

.

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

.

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j – независимые (искомые) переменные, a ij – постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

x 1 x 2 x j x s x n
y 1 = a 11 a 12 a 1j a 1s a 1n
…………………………………………………………………..
y i = a i 1 a i 2 a ij a is a in
…………………………………………………………………..
y r = a r 1 a r 2 a rj a rs a rn
………………………………………………………………….
y n = a m 1 a m 2 a mj a ms a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

x 1 x 2 x j y r x n
y 1 = b 11 b 12 b 1 j b 1 s b 1 n
…………………………………………………………………..
y i = b i 1 b i 2 b ij b is b in
…………………………………………………………………..
x s = b r 1 b r 2 b rj b rs b rn
………………………………………………………………….
y n = b m 1 b m 2 b mj b ms b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21 -26 -13 -37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = – 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = – 3 + 2t

x 2 = – 1 – 3t

x 3 = – 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; – 1; – 2; 4; 0).

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.


Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем

Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.

2.5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
  3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
  4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

  • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
  • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 3 = – 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = – 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 – (-2) \cdot 3 \cdot 10 – (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = – 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

что это такое в математике, операции и действия, как составить, примеры

При решении алгебраических или дифференциальных уравнений студенты сталкиваются с понятием матрицы. Этот термин используется в программировании, электронике, фотоискусстве, но основная область применения — математика. Рассмотрим, что это такое, как применяется и какие операции позволяет осуществить.

Что такое матрицы в математике

Матрица в математике — это абстрактный объект, имеющий вид таблицы чисел или других математических величин. Чаще таблица прямоугольная, но встречаются и другие виды (квадратные, треугольные).

Обычно матрица называется заглавной буквой латинского алфавита: матрица A, матрица B. В таблице есть строки (их количество называется m) и столбцы (их количество называется n). Количество строк и столбцов определяет размер матрицы и может называться порядком. Матрицы такого типа называются матрицами строения m×n, или размера m×n, или порядка m×n.

Элементы матрицы, т.е. числа или остальные величины, называются строчной буквой. Они имеют 2 нижних индекса, необходимых для определения их положения в матрице. Например, элемент a13 располагается на пересечении 2 строки и 3 столбца. Значения элемента а13 читаются по-отдельности, не как целое число: «а один-три».

Откуда они взялись и чем полезны

Первые упоминания матрицы появились в Древнем Китае. Это была квадратная таблица, получившая название магического или волшебного квадрата. Самым древним и известным считается квадрат 3×3, датируемый около 2200 г до н.э. Он был высечен на панцире черепахи. В Китае его называют квадрат Ло Шу, а в Западной Европе — «Печать Сатурна».

 

Таким же древним является квадрат, найденный в Кхаджурахо, столице средневекового государства Чандела (IX–XIII вв.) в Центральной Индии. Это первый из «дьявольских квадратов». Также он называется пандиагональным.

 

В древности матрицы были необходимы преимущественно для решения линейных уравнений. Когда матрицы появились в арабских странах, стали разрабатываться принципы работы с ними, в том числе, принцип сложения. В XVIII веке швейцарский математик, «отец линейной алгебры» Габриэль Крамер опубликовал правило Крамера. Это способ решения систем линейных уравнений с помощью матрицы.

Источник: ruspekh.ru

Способ Крамера не подходит для решения тех систем линейных уравнений, в которых может быть бесконечное множество решений.

В следующем веке появляется метод немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Этот способ решения алгебраических уравнений не является открытием ученого. Впервые о методе Гаусса написали в китайском трактате «Математика в девяти книгах», а сам он только привел способ в удобную форму.

Для решения уравнений таким способом необходимо записать расширенную матрицу системы.

Источник: ruspekh.ru

В отличие от метода Крамера, правило Гаусса можно использовать для решения любых систем линейных уравнений.

Детальная разработка теории матриц активно продолжилась с середины XIX века. Наиболее значимые ученые: Уильям Гамильтон, Артур Кэли, Карл Вейерштрасс, Мари Энмон Камиль Жордан, Фердинанд Георг Фробениус.

Сам термин «матрица» предложил английский математик Джеймс Сильвестр в 1850 г.

В наше время матрицы используются не только для записи и решения систем линейных уравнений. Списки, статистические данные, табеля с информацией — все это в какой-то степени матрица. Их применяют для упрощения подачи и работы с информацией в любой сфере. Например, таблица продаж, где указан год (первый столбец), вид продукции (первая строка), а остальные значения — количество проданных единиц.

Обозначения матриц

Помимо самого термина «матрицы», при их решении нужно знать и другие обозначения.

Элементы матрицы — любые математические объекты: числа, переменные, другие матрицы. Элемент обозначается как aab, где a — номер строки расположения элемента, b — номер столбца.

Главная диагональ матрицы — диагональ, пересекающая квадратную матрицу из верхнего левого угла в нижний правый угол (квадратные матрицы имеют одинаковое количество строк и столбцов). Прямоугольные матрицы также могут иметь диагонали: они пересекают элементы с одинаковыми индексами.

Побочная диагональ матрицы — диагональ, пересекающая верхний правый и нижний левый углы. Для прямоугольного вида матриц понятие «побочные диагонали» не используется.

Диагональные элементы — числа и другие математические величины матрицы, расположенные на главной диагонали.

Размер (порядок) матрицы — произведение количества строк на количество столбцов: m×n. Например, если матрица содержит 2 строки и 3 столбца, то ее обозначают матрицей 2×3.

След матрицы — сумма элементов матрицы, расположенных на главной диагонали. Обозначается как Sp (А) или Tr (A), где A — название матрицы.

Равные матрицы — матрицы, у которых соответствующие элементы равны.

Виды матриц, какие бывают

В математике существует несколько видов матриц в зависимости от их размера.

  1. Матрица–строка. Имеет размер 1×n, т.е. состоит из одной строки и нескольких столбцов.
    \(\begin{vmatrix}54&2&-7&0&4\end{vmatrix}\)
  2. Матрица–столбец. Имеет размер m×1, т.е. состоит из одного столбца и нескольких строк.
    \(\begin{vmatrix}3\\-6\\64.5\end{vmatrix}\)

Также различают матрицы по значениям их элементов.

  1. Нулевая матрица. Все элементы матрицы равны 0.
    \(\begin{vmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{vmatrix}\)
  2. Квадратная матрица. Количество строк и столбцов одинаковое: m=n.
    \(\begin{vmatrix}4&5&1\\5&0&0\\-2&2&-8\end{vmatrix}\)
  3. Диагональная матрица — разновидность квадратной матрицы, у которой все элементы равны 0, за исключением диагональных элементов.
    \(\begin{vmatrix}3&0&0\\0&-8&0\\0&0&1.5\end{vmatrix}\)
  4. Единичная матрица — разновидность диагональной матрицы. На главной диагонали расположены 1, а все остальные элементы равны 0. Обозначается латинской буквой E.
    \(\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}\)
  5. Треугольная матрица. Имеет 2 разновидности: верхняя и нижняя. У верхней треугольной матрицы равны 0 элементы под главной диагональю, а у нижней треугольной матрицы — над главной диагональю.
    \(A=\begin{vmatrix}4&1.5&-2\\0&1&7\\0&0&4\end{vmatrix}\)

Треугольная матрица всегда квадратная: m=n.

  1. Противоположная матрица. Обозначается -A и всегда рассматривается в отношении матрицы A. Ее элементы имеют обратный знак от элементов матрицы A.
  2. Кососимметрическая (антисимметричная) матрица. Отличается множителем -1. Т.е. все элементы матрицы A были умножены на -1 и получилась матрица AT, или транспонированная матрица.
    \(A=\begin{vmatrix}0&5&217\\-5&0&-43\\-217&43&0\end{vmatrix},\;A^T=\begin{vmatrix}0&-5&-217\\5&0&43\\217&-43&0\end{vmatrix}\)

Кососимметрическая матрица всегда квадратная.

  1. Симметрическая матрица. Элементы лежат симметрично по отношению к главной диагонали. Матрица всегда квадратная.
    \(A=\begin{vmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{vmatrix}\)
  2. Трапециевидная матрица. Есть ряд условий, при которых матрица становится такого вида. Например, она должна быть квадратной или прямоугольной, при этом количество столбцов обязательно больше числа строк. Также элементы, расположенные над главной диагональю, не равны 0, а элементы под главной диагональю равны 0.
    \(A=\begin{vmatrix}1&2&3&4&5&6\\0&-1&0&7&-3&2\\0&0&4&1&-1&-2\end{vmatrix}\)

Применение матриц в математико-экономическом моделировании

С древности и по настоящее время матрицы используются для решения и удобной записи системы линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. Но их также применяют в математико-экономическом моделировании для структурирования данных и комфортной работы с ними.

Наиболее популярной является матричная модель экономики «затраты–выпуск». Ее внедрил Василий Леонтьев — американский экономист. За развитие этого метода он получил нобелевскую премию: матричная модель упростила решение некоторых экономических проблем. В последствии Леонтьева стали называть «апостолом планирования».

Суть модели «затраты–выпуск» в том, что экономист разделил производственный сектор экономики на отрасли, число которых обозначается n. 1 отрасль — 1 вид продукции. Значит, n количество отраслей выпускает n количество продуктов. Это приводит к появлению межотраслевых связей: одна отрасль заимствует у другой продукт и использует в процессе производства своей продукции. Данная балансовая модель представлена в виде системы линейных уравнений, решаемых с помощью матрицы.

Какие операции можно производить с матрицами

С матрицами можно проводить несколько операций.

  1. Сложение и вычитание. Это действие можно проводить только с теми матрицами, у которых одинаковый размер. Например, матрица размера 3×2. Ответом будет матрица такого же размера. Чтобы получить ответ нужно вычесть или сложить соответствующие элементы двух матриц. Т.е. при сложении элемент a11 складывается с элементом b11.
  2. Умножение матрицы на число. Каждый элемент матрицы нужно умножить на число. Получится матрица такого же размера.
  3. Умножение матриц. Не все матрицы можно умножить между собой. Обязательное свойство: число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы. Например, можно умножить матрицу A размером 3×2 и матрицу B размером 2×3. Как осуществляется умножение: чтобы получить элемент a11 новой матрицы, нужно поочередно умножить элементы строки матрицы A на соответствующие элементы столбца матрицы B, а затем суммировать эти произведения.

При умножении матрицы нельзя менять местами.

  1. Транспонирование матрицы. Смена мест строк и столбцов матрицы. Первая строка матрицы становится первым столбцом. Дальше по аналогии.

Примеры решения задач на матрицы

Пример решения задачи на умножение.

Дано: \( A=\begin{vmatrix}1&-1\\2&0\\3&0\end{vmatrix},\;B=\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}\)

Найти: \(A*B\)

Решение: 

Назовем искомую матрицу \(C\). Она будет иметь следующий вид:

\(C=\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\\c_{31}&c_{32}\end{vmatrix}\)

Найдем значение каждого элемента:

\(с_{11}=a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}=1*1+(-1)*2=-1\)
\(c_{12}=a_{11}*b_{12}+a_{12}*b_{22}=1*1+(-1)*0=1\)
\(c_{21}=a_{21}*b_{11}+a_{22}*b_{21}=2*1+0*2=2\)
\(c_{22}=a_{21}*b_{12}+a_{22}*b_{22}=2*1+0*0=2\)
\(c_{31}=a_{31}*b_{11}+a_{32}*b_{21}=3*1+0*2=3\)
\(c_{32}=a_{31}*b_{12}+a_{32}*b_{22}=3*1+0*0=3\)

Ответ: \(C=\begin{vmatrix}-1&1\\2&2\\3&3\end{vmatrix}\)

Пример решения задачи на умножение матрицы на число 5.

Дано: \(A=\begin{vmatrix}12&-1\\7&0\end{vmatrix}\)

Найти: \(A*5\)

Решение: \(5\ast\begin{vmatrix}12&-1\\7&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5\ast12&5\ast(-1)\\5\ast7&5\ast0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}60&-5\\35&0\end{vmatrix}\)

Ответ: \(\begin{vmatrix}60&-5\\35&0\end{vmatrix}\)

Учитесь работать с матрицами и продолжайте осваивать математику, а если задач накопилось слишком много и «горят» сроки, вам поможет сервис Феникс.Хелп. Обращайтесь!

Определители квадратных матриц

         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Определители квадратных матриц  
   
   
 
1.Определители квадратных матриц.
2.Свойства определителей.

 

   
     
  1 2 3 4 5 6 7 8 9  
     
   

1.Определители квадратных матриц.

   Как известно из раздела матричной алгебры, матрицы получили широкое распрастранение в экономике. Для того, чтобы как-то характеризовать матрицу, а также решать различные задачи с использованием матриц, в математике введено понятие определитель матрицы. Т.е. определитель матрицы – это число, характеризующее матрицу (параметр). Для каждой квадратной матрицы можно рассчитать число по ее элементам по определенной формуле, которое будет ее характеризовать.

 
 

   Для матрицы первого порядка определитель равен элементу а11.

   
 

   Для матрицы второго порядка определитель равен разности произведений элементов матрицы, рассчитанный по формуле:

   
 

   Для матрицы третьего порядка определитель равен числу, рассчитанному по формуле:

   
 

    Определители квадратных матриц можно вычислить и другим способом: с помощью разложения элементов матрицы по строке. Для того, чтобы использовать такой способ, предварительно рассчитывают миноры и алгебраические дополнения. Минором Mij элемента аij называется определитель n-1 порядка, а алгебраическое дополнение это произведение Аij = (-1)i+j Mij

   
     

Таким образом, определитель третьего порядка можно разложить по элементам первой строки так:

   

2.Свойства определителей.

 
 

1. При транспонировании определитель не меняется.

2. Если поменять местами любые две строки (столбца) матрицы, то определитель поменяет знак на противоположный.

3. Для любой матрицы, определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

4. Определитель равен нулю, если матрица содержит две одинаковые строки (столбца).

5. Определитель равен нулю, если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю.

6. Если суммировать произведения элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов любой другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

7. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

 
 
   
 
 

Пример.

   
   
         
   
     
  1 2 3 4 5 6 7 8 9  
 
     
 

Решение матричных уравнений

А матричное уравнение уравнение, в котором переменная обозначает матрица .

Вы можете решить более простые матричные уравнения, используя матрица сложения а также скалярное умножение .

Примеры 1:

Решить для матрицы Икс : Икс + [ 3 2 1 0 ] знак равно [ 6 3 7 – 1 ]

Икс + [ 3 2 1 0 ] – [ 3 2 1 0 ] знак равно [ 6 3 7 – 1 ] – [ 3 2 1 0 ] Икс + [ 0 0 0 0 ] знак равно [ 6 – 3 3 – 2 7 – 1 – 1 – 0 ] Икс знак равно [ 3 1 6 – 1 ]

Примеры 2:

Решить для матрицы Икс : Икс – [ – 9 – 3 6 0 ] знак равно [ 4 0 12 – 10 ]

Икс – [ – 9 – 3 6 0 ] знак равно [ 4 0 12 – 10 ] Икс – [ – 9 – 3 6 0 ] + [ – 9 – 3 6 0 ] знак равно [ 4 0 12 – 10 ] + [ – 9 – 3 6 0 ] Икс – [ 0 0 0 0 ] знак равно [ 4 + ( – 9 ) 0 + ( – 3 ) 12 + 6 – 10 + 0 ] Икс знак равно [ – 5 – 3 18 – 10 ]

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц:

Матричные уравнения можно использовать для решать системы линейных уравнений используя левую и правую части уравнений.

Примеры 3:

Решите систему уравнений с помощью матриц: { 7 Икс + 5 у знак равно 3 3 Икс – 2 у знак равно 22

7 Икс + 5 у знак равно 3 3 Икс – 2 у знак равно 22 → [ 7 Икс + 5 у 3 Икс – 2 у ] знак равно [ 3 22 ]

Запишите матрицу слева как произведение коэффициентов и переменных.

[ 7 5 3 – 2 ] [ Икс у ] знак равно [ 3 22 ]

↑ ↑ ↑

коэффициент Переменная постоянный матрица матрица матрица

Сначала найдите обратную матрицу коэффициентов.Обратное [ 7 5 3 – 2 ] является

1 7 ( – 2 ) – ( 3 ) ( 5 ) [ – 2 – 5 – 3 7 ] знак равно – 1 29 [ – 2 – 5 – 3 7 ] знак равно [ 2 29 5 29 3 29 – 7 29 ]

Затем умножьте каждую сторону матричного уравнения на обратная матрица .Поскольку матричное умножение нет коммутативной, обратная матрица должна быть слева на каждый сторона матричного уравнения.

[ 2 29 5 29 3 29 – 7 29 ] [ 7 5 3 – 2 ] [ Икс у ] знак равно [ 2 29 5 29 3 29 – 7 29 ] [ 3 22 ]

[ 1 0 0 1 ] [ Икс у ] знак равно [ 4 – 5 ]

В единичная матрица слева подтверждает, что обратная матрица была рассчитана правильно.

[ Икс у ] знак равно [ 4 – 5 ]

Решение ( 4 , – 5 ) .

Использование матриц при решении системы уравнений (Алгебра 2, Матрицы) – Mathplanet

Матрицы могут использоваться для решения систем уравнений, но сначала нужно освоить, чтобы найти обратную матрицу, C -1 .{-1} = \ frac {1} {ad-bc} \ begin {bmatrix} d & -b \\ -c & a \ end {bmatrix} $$

Теперь мы на примере покажем, как решать системы уравнений с использованием матриц и обратных матриц.


Пример

Рассмотрим следующие одновременные уравнения (этот пример также показан в нашем видеоуроке)

$$ \ left \ {\ begin {matrix} 3x + y = 5 \\ 2x-y = 0 \\ \ end {matrix} \ right. {- 1} = \ frac {1} {3 \ cdot -1-1 \ cdot 2} \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 3 \ end {bmatrix} = $$

$$ = – \ frac {1} {5} \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 3 \ end {bmatrix} $$

Следующий шаг – умножить обе части матричного уравнения на обратную матрицу:

$$ – \ frac {1} {5} \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \ end {bmatrix } \ cdot \ begin {bmatrix} x \\ y \\ \ end {bmatrix} = – \ frac {1} {5} \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 5 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ – \ frac {1} {5} \ begin {bmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = – \ frac {1} {5} \ begin {bmatrix} -5 \\ -10 \ end {bmatrix} $$

$$ \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \ end { bmatrix} $$

Наше решение – (1,2), самый простой способ проверить, правы ли мы, – это подставить наши значения в наши исходные уравнения.


Видеоурок

Пример выше в видеоформате.

Определитель матрицы 2×2 – ChiliMath

Предположим, нам дана квадратная матрица A с четырьмя элементами: a, b, c и d.

Определитель матрицы A вычисляется как

Если вы еще не видите узор, то вот как он выглядит, когда элементы матрицы имеют цветовую маркировку.

  • Возьмем произведение элементов сверху слева направо вниз, , затем вычтем на произведение элементов сверху справа налево снизу .

Определитель матрицы 2 x 2 (анимированный)


Примеры того, как найти определитель матрицы 2 × 2

Пример 1: Найдите определитель матрицы ниже.

Это пример, когда все элементы матрицы 2 × 2 положительны.


Пример 2: Найдите определитель матрицы ниже.

Вот пример, когда все элементы отрицательны. Обязательно соблюдайте основные правила при умножении целых чисел.Помните, что произведение чисел с одинаковым знаком всегда будет положительным. Напротив, если знаки другие, продукт будет отрицательным.


Пример 3: Вычислите определитель матрицы ниже.

Обязательно запомните правила вычитания целых чисел. То есть, когда вы вычитаете целые числа, вы меняете операцию с вычитания на сложение, но вы должны переключить знак числа, находящегося непосредственно справа от него (это называется вычитанием), а затем продолжить обычное сложение целых чисел.


Пример 4: Вычислите определитель матрицы ниже.

Вы также можете столкнуться с проблемой, когда некоторые элементы в матрице являются переменными. Относитесь к этому как к обычной детерминантной проблеме. Вставьте эти переменные в обозначенные места в формуле, а затем упростите, как обычно.


Пример 5 : Найдите значение x в матрице ниже, если его определитель имеет значение -12.

Это не вопрос с подвохом.Фактически мы можем найти такое значение x, что, применив формулу, мы получим -12.

Получите определитель данной матрицы и установите его равным -12. Поступая таким образом, мы генерируем простое линейное уравнение, которое разрешимо относительно x.

Проверяем наш ответ:

Замените x на 7, затем вычислите определитель. Ожидаем -12.

Это подтверждает правильность нашего решения!


Практика с рабочими листами

Возможно, вас заинтересует:

Детерминанты матрицы 3 × 3

Ранг матрицы: решенные примеры задач

ρ ( A ) = 3.

Есть минор порядка 2, который не равен нулю.

ρ ( A ) = 2.

ρ ( A ) ≤ 3.

Поскольку все второстепенные элементы третьего порядка исчезают, ρ ( ) ≠ 3.

Существует минор порядка 2, который не равен нулю.

∴ρ ( A ) = 2.

Пример 1.6

Найдите ранг матрицы A =

Решение:

Порядок A равен 3 × 3 .

ρ ( A ) 3.

Преобразуем матрицу A в эшелонированную форму с помощью элементарных преобразований.


Количество ненулевых строк равно 2

∴Ранг A равен 2.

ρ ( A ) = 2.

Примечание

Строка, имеющая хотя бы одну ненулевую строку. -Нулевой элемент называется ненулевой строкой.

Пример 1.7

Найдите ранг матрицы A =

Решение:

Порядок A равен 3 × 4.

ρ ( A ) ≤3.

Преобразуем матрицу A в эшелонированную форму


Количество ненулевых строк равно 3. ∴ ρ ( A ) = 3.

Пример 1.8

Найдите ранг матрицы A =

Решение:

Порядок A равен 3 × 4.

ρ ( A ) 3.

Преобразуем матрицу A в эшелонированную форму


Количество ненулевых строк 3.

ρ ( A ) = 3.

Проверка непротиворечивости неоднородных линейных уравнений (две и три переменные) методом ранжирования: решенные примеры задач

Пример 1.9

Покажите, что уравнения x + y = 5, 2 x + y = 8 непротиворечивы и решите их.

Решение:

Матричное уравнение, соответствующее данной системе:


AX = B


Число ненулевых строк равно 2.

ρ (A) = ρ ([A, B]) = 2 = Количество неизвестных.

Данная система непротиворечива и имеет уникальное решение.

Теперь данная система преобразуется в


x + y = 5

y = 2

∴ (1) ⇒ x + 2

x = 3

Решение: x = 3, y = 2

Пример 1.10

Покажите, что уравнения 2 x + y = 5, 4 x + 2 y = 10 согласованы, и решите их.

Решение:

Матричное уравнение, соответствующее системе:


ρ ( A ) = ρ ([ B ]) = 1 <количество неизвестных

∴ Данная система непротиворечива и имеет бесконечно много решений.

Теперь данная система преобразована в матричное уравнение.


Возьмем y = k , k R

⇒ 2 x + k = 5

x = 1/2 (5 – k )

x = 1/2 ( 5 k ) , y = k для всех k R

Таким образом, задавая разные значения для k , мы получаем другое решение.Следовательно, система имеет бесконечное количество решений.

Пример 1.11

Покажите, что уравнения 3 x – 2 y = 6, 6 x – 4 y = 10 несовместимы.

Решение:

Матричное уравнение, соответствующее данной системе:


∴Данная система противоречива и не имеет решения.

Пример 1.12

Покажите, что уравнения 2 x + y + z = 5, x + y + z = 4, x y + 2 z = 1 непротиворечивы и, следовательно, решите их.

Решение:

Матричное уравнение, соответствующее данной системе:


Очевидно, последняя эквивалентная матрица имеет эшелонированную форму. В нем три ненулевых строки.

ρ ( A ) = ρ ( [A , B] ) = 3 = Количество неизвестных.

Данная система непротиворечива и имеет уникальное решение.

Чтобы найти решение, перепишем приведенную выше форму эшелона в матричную форму.


x + y + z = 4 (1)

y + z = 3 (2)

3z = 3 (3)

(3) ⇒ z = 1

(2 ) ⇒ y = 3 z = 2

(1) ⇒ x = 4 y z

x = x = 1, y = 2, z = 1

Пример 1.13

Покажите, что уравнения x + y + z = 6, x + 2 y + 3 z = 14, x + 4 y + 7 z = 30 согласованы и решите их.

Решение:

Матричное уравнение, соответствующее данной системе:


Очевидно, последняя эквивалентная матрица имеет эшелонированную форму. У него две ненулевые строки.

ρ ( [ A , B] ) = 2, ρ ( A

)

= = 2 ( A ) = ρ ( [ A , B] ) = 2 <количество .

Данная система непротиворечива и имеет бесконечно много решений.

Данная система эквивалентна матричному уравнению:


x + y + z = 6 (1)

y + 2z = 8 (2)

(2) ⇒ y = 8 2 z ,

(1) ⇒ x = 6 y z = 6 (8 – 2 z ) z = z 2

Возьмем z = k , k R , получим x = k , y = 8-2 k , Таким образом, задавая разные значения для k , мы получаем разные решения.Следовательно, данная система имеет бесконечно много решений.

Пример 1.14

Покажите, что уравнения x – 4 y + 7 z = 14, 3 x + 8 y – 2 z = 13, 7 x – 8 y + 26 z = 5 несовместимы.

Решение:

Матричное уравнение, соответствующее данной системе:


Последняя эквивалентная матрица имеет эшелонированную форму.[ A, B ] имеет 3 ненулевые строки, а [ A ] имеет 2 ненулевые строки.


Система несовместима и не имеет решения.

Пример 1.15

Найдите k, , если уравнения x + 2 y – 3 z = −2, 3 x y -2 z = 1 , 2 x + 3 y – 5 z = k согласованы.

Решение:

Матричное уравнение, соответствующее данной системе:


Для согласованности уравнений ρ ([ A , B] ) = ρ ( A ) = 2

∴21 + 7 k = 0

7 k = −21.

k = −3

Пример 1.16

Найдите k, , если уравнения x + y + z = 7, x + 2 y + 2 y z = 18, y + kz = 6 несовместимы.

Решение:

Матричное уравнение, соответствующее данной системе:


Для несогласованности уравнений

ρ ( [A , B] ) ρ ( A )

Возможно, если k – 2 = 0.

K = 2

Пример 1.17

Исследуйте, для каких значений « a » и « b » следующая система уравнений

x + y + z = 6, x + 2 y + 3z = 10, x + 2 y + az = b имеют

(i) нет решения (ii) единственное решение (iii) бесконечное количество решений.

Решение:

Матричное уравнение, соответствующее данной системе:


Случай (i) Без решения:

Система не имеет решения только тогда, когда ρ ( A ) ≠ ρ ([ A , B ]), что возможно только тогда, когда a – 3 = 0 и b – 10 ≠ 0

Следовательно, для a = 3, b ≠ 10 система не имеет решения.

Случай (ii) Для уникального решения:

Система обладает уникальным решением только тогда, когда ρ ( A ) = ρ ([ A , B ]) = количество неизвестных.

, т.е. когда ρ ( A ) = ρ ([ A , B ]) = 3

Что возможно только тогда, когда a – 3 ≠ 0 и b может быть любым действительным числом, как мы можно наблюдать.

Следовательно, для a ≠ 3 и b R система обладает уникальным решением.

Случай (iii) Для бесконечного числа решений:

Система обладает бесконечным числом решений только тогда, когда

ρ ( A ) = ρ ([ A , B ]) < количество неизвестных

i, e, когда ρ ( A ) = ρ ([ A , B ]) = 2 <3 (количество неизвестных) что возможно только при a – 3 = 0, b – 10 = 0

Следовательно, для a = 3, b = 10 система имеет бесконечное количество решений.

Пример 1.18

Общее количество произведенных единиц ( P ) является линейной функцией количества сверхурочного труда (в часах) ( л ), количества дополнительного машинного времени ( м3). ) и фиксированное время окончания ( a )

т.е. P = a + bl + cm

Из данных, приведенных ниже, найдите значения констант a, b и c


Оцените производство, если сверхурочная работа составит 50 часов, а дополнительное машинное время – 15 часов.

Решение:

У нас есть, P = a + bl + cm

Подставляя значения выше, мы получаем

6,950 = a + 40 b + 10 c

6,725 = a + 35 b + 9 c

7,100 = a + 40 b + 12 c

Матричное уравнение, соответствующее данной системе:


∴ Данная система эквивалентна к матричному уравнению


∴ Производственное уравнение: P = 5000 + 30 л + 75 м

P при л = 50, м = 15 = 5000 + 30 (50) + 75 (15)

= 7625 шт.

∴Производство = 7625 шт.

Решение матричных уравнений за один этап с помощью резистивных массивов точек пересечения

Значение

Линейная алгебра используется практически во всех научных и инженерных дисциплинах, например, в физике, статистике, машинном обучении и обработке сигналов. Решение матричных уравнений, таких как линейная система или уравнение с собственным вектором, выполняется путем факторизации матриц или итерационного умножения матриц на обычных компьютерах, что требует больших вычислительных ресурсов.Вычисления в оперативной памяти с аналоговой резистивной памятью продемонстрировали высокую эффективность использования времени и энергии за счет реализации умножения матрицы на вектор за один шаг по закону Ома и закону Кирхгофа. Однако решение матричных уравнений за одну операцию остается открытой проблемой. Здесь мы показываем, что схема обратной связи с перекрестной резистивной памятью может решать алгебраические задачи, такие как системы линейных уравнений, собственные векторы матриц и дифференциальные уравнения, всего за один шаг.

Abstract

Обычные цифровые компьютеры могут выполнять расширенные операции с помощью последовательности элементарных булевых функций из 2 или более битов.В результате сложные задачи, такие как решение линейной системы или решение дифференциального уравнения, требуют большого количества вычислительных шагов и широкого использования модулей памяти для хранения отдельных битов. Для ускорения выполнения таких сложных задач вычисления в памяти с резистивной памятью представляют собой многообещающее направление благодаря хранению аналоговых данных и физическим вычислениям в памяти. Здесь мы показываем, что массив точек пересечения резистивных запоминающих устройств может напрямую решать систему линейных уравнений или находить собственные векторы матрицы.Эти операции выполняются всего за один шаг, благодаря физическим вычислениям по законам Ома и Кирхгофа, а также благодаря подключению с отрицательной обратной связью в схеме коммутации. Алгебраические задачи демонстрируются на оборудовании и применяются к классическим вычислительным задачам, таким как ранжирование веб-страниц и решение уравнения Шредингера за один шаг.

Задачи линейной алгебры, такие как решение систем линейных уравнений и вычисление собственных векторов матриц, лежат в основе современных научных вычислений и задач, требующих обработки большого количества данных.Традиционно эти проблемы в форме матричных уравнений решаются матричными факторизациями или итеративными матричными умножениями (1, 2), которые требуют больших вычислительных ресурсов и полиномиальной временной сложности, например, O ( N 3 ), где N размер проблемы. Поскольку традиционные компьютеры все чаще сталкиваются с ограничениями масштабирования технологии комплементарного металл-оксид-полупроводник (КМОП) (3), а также из-за затрат энергии и задержек при перемещении данных между памятью и вычислительными блоками (4), улучшение вычислений производительность с увеличением аппаратных ресурсов становится сложной и неэкономичной.Чтобы обойти эти фундаментальные ограничения, вычисления в памяти недавно стали многообещающим методом для проведения вычислений на месте, то есть внутри блока памяти (5). Одним из примеров являются вычисления в массивах точек пересечения, которые могут ускорить умножение матрицы на вектор (MVM) по закону Ома и закону Кирхгофа с аналоговой и реконфигурируемой резистивной памятью (5⇓⇓ – 8). MVM в памяти был адаптирован для нескольких задач, включая сжатие изображений (5), разреженное кодирование (6) и обучение глубоких нейронных сетей (7, 8).Однако решение матричных уравнений, таких как линейная система Ax = b , за одну операцию остается открытой проблемой. Здесь мы показываем, что схема обратной связи, включающая реконфигурируемую резистивную решетку в точках пересечения, может обеспечить решение алгебраических задач, таких как системы линейных уравнений, собственные векторы матрицы и дифференциальные уравнения, всего за один шаг.

Резистивная память – это двухполюсные элементы, которые могут изменять свою проводимость в ответ на приложенное напряжение (9, 10).Благодаря своему энергонезависимому и реконфигурируемому поведению резистивные запоминающие устройства широко исследовались и разрабатывались для запоминающих устройств (11, 12), логики с отслеживанием состояния (13⇓ – 15), вычислений в памяти (5, 6, 16, 17), и нейроморфные вычислительные приложения (7, 8, 18, 19). Резистивная память включает в себя различные концепции устройств, такие как резистивная коммутационная память (RRAM, ссылки 9–12), память с изменением фазы (PCM, ссылка 20) и магнитная память с передачей вращения по крутящему моменту (21). Реализованные в архитектуре массива точек пересечения, резистивная память может естественным образом ускорить операции с большим объемом данных с улучшенной эффективностью времени / энергии по сравнению с классическими цифровыми вычислениями (5, 6, 17).Также недавно было показано, что итерированные операции MVM с резистивными массивами точек пересечения могут решать системы линейных уравнений в сочетании с цифровыми компьютерами с плавающей запятой (22). Чем выше желаемая точность решения, тем больше итераций требуется для завершения операции. Однако итерация поднимает фундаментальный предел для достижения высокой вычислительной производительности с точки зрения энергии и задержки.

Результаты

Схемы пересечения для решения системы линейных уравнений.

Рис. 1 A показывает предложенную схему обратной связи для решения системы линейных уравнений за один шаг, а аппаратная схема на печатной плате показана в приложении SI , рис. S1. Схема представляет собой матрицу устройств RRAM, каждое из которых состоит из пакета металл-изолятор-металл со слоем HfO 2 между верхним электродом из Ti и нижним электродом из C (15). Устройства показывают установленный переход от высокого сопротивления к низкому сопротивлению, когда положительное напряжение выше порогового значения V set применяется к Ti-электроду, и переход сброса от низкого сопротивления к высокому сопротивлению, когда отрицательное напряжение выше порогового значения V сброс применяется к Ti-электроду.Многоуровневая работа также возможна путем выполнения заданного перехода при переменном максимальном (согласованном) токе I C или выполнения перехода в сброс при переменном максимальном напряжении В stop (23), как показано в приложении SI , Рис. S2. Массив точек пересечения 3 × 3 на рисунке может выполнять MVM с разомкнутым контуром, то есть путем приложения вектора напряжения V к столбцам и измерения вектора тока I в строках без соединений строка-столбец, разрешенных с помощью операционные усилители (ОУ), которые показаны в приложении SI , рис.S3. Измеренные токи дают скалярное произведение I = A · V между приложенными аналоговыми напряжениями и матрицей A значений проводимости RRAM в матрице точек пересечения. Результаты свидетельствуют о небольшой погрешности, обычно менее 8%, в основном из-за нелинейности проводимости в резистивных устройствах с перекрестными точками. Это соответствует предыдущим результатам, в которых точность MVM оказалась удовлетворительной (5), хотя и не соответствовала полностью цифровым операциям с одинарной и двойной точностью.

Рис. 1.

Решение систем линейных уравнений с массивом точек пересечения резистивных устройств. ( A ) Схема пересечения для решения линейной системы или инвертирования положительной матрицы. Элементы RRAM (красные цилиндры) расположены в точках пересечения между строками (синие полосы) и столбцами (зеленые полосы). ( Вставка , Справа ) Экспериментальные значения проводимости, отображающие элементы матрицы A . Единицы преобразования между матрицами / векторами с действительным знаком и физическими реализациями были: G 0 = 100 мкс, V 0 = 1 В и I 0 = 100 мкА для проводимости RRAM, входное / выходное напряжение и выходной / входной ток соответственно.Другие случаи также следуют этому соглашению, если не указано иное. ( B ) Схемы для вычисления скалярного произведения I = G · V по закону Ома и для вычисления скалярного деления V = – I / G с помощью TIA. ( C ) Измеренное решение линейной системы с вектором входного тока I = [0,2; 1; 1] I 0 . Экспериментальные выходные напряжения дают решение, очень близкое к аналитическому.( D ) Измеренное решение для линейных систем, а именно выходное напряжение, как функция параметра β , управляющего входным током, задаваемым I = β · [0,2; 1; 1] I 0 с −1 ≤ β ≤ 1. Экспериментальные решения (цветные кружки) сравниваются с аналитическими решениями (цветные линии) системы, что подтверждает точность физического расчета. ( E ) Обратная экспериментальная матрица A −1 , а именно измеренные выходные напряжения в трех последовательных экспериментах с входным током I = [1; 0; 0] I 0 , [0; 1; 0] I 0 и [0; 0; 1] I 0 соответственно.Также показано аналитическое решение. ( Вставка ) Матричное произведение AA -1 очень близко к единичной матрице U , таким образом поддерживая экспериментальную инверсию.

Работа MVM является следствием физического закона Ома I = G · В , где G – проводимость устройства, В – приложенное напряжение, а I – измеренный ток ( Рис.1 B , Верх ).С другой стороны, обратная операция V = – I / G может быть получена для заданных I и G , просто нагнетая ток I в заземленном узле резистивного устройства. и измерение потенциала V во втором узле. Это физическое разделение выполняется трансимпедансным усилителем (TIA) на рис.1 B ( Bottom ), где ток вводится в узел инвертирующего входа OA, а проводимость обратной связи G соединяет вход и выходные узлы ОА.Дифференциальное входное напряжение В + В на ОУ минимизировано высоким коэффициентом усиления ОУ, тем самым устанавливая виртуальную землю ( В = 0) на инвертирующем входе. node (24, 25) и включение физического разделения. Это составляет основу схемы на рис. 1 A , которая решает систему линейных уравнений, выраженную матричной формулой: Ax = b, [1] где A – невырожденная квадратная матрица, отображаемая со значениями проводимости поперечного -точечные устройства RRAM, b – известный вектор, а x – неизвестный вектор.В этой схеме входные токи I = – b прикладываются к рядам точек пересечения, подключенным к узлам виртуальной земли OA. В результате токи вынуждены автоматически распределяться между резистивными элементами в массиве точек пересечения, чтобы установить выходной потенциал В, , удовлетворяющий A · V + I = 0, [2] что означает В = – A −1 · I = x . Схема, аналогичная показанной на рис. 1 A ранее была представлена ​​в отчете International Roadmap for Devices and Systems (25) и предложена исх.26, хотя не было продемонстрировано возможности решения линейной системы с помощью экспериментов или моделирования.

Чтобы продемонстрировать концепцию на рис. 1 A , мы измерили выходные напряжения в матрице точек пересечения RRAM 3 × 3 на рис. 1 A , где также показана матрица проводимости. Все матрицы, принятые в экспериментах в этой работе, представлены в приложении SI, таблица S1. Вектор тока [ I 10 ; I 20 ; I 30 ] с I 10 = 20 мкА, I 20 = 100 мкА, и I 30 = 100 мкА, было приложено к строкам массива, и результирующий потенциал в столбцах массива, т.е.е., [ V 10 ; В 20 ; V 30 ], было измерено, как показано на фиг. 1 C . Хорошее согласие (с относительными ошибками в пределах 3%) с аналитическим решением поддерживает функциональность цепи обратной связи, показанной на рис. 1 A для решения матричного уравнения в уравнении. 1 . Схема была дополнительно продемонстрирована путем линейного изменения входных токов в соответствии с I i = β I i 0 , где i = 1, 2 или 3, а β было изменяется равномерно в диапазоне от -1 до 1.Результаты представлены на рис. 1 D , где показаны измеренные выходные напряжения в сравнении с аналитическими решениями x = A -1 b . Ошибка остается ниже 10% для | β | > 0,5 ( SI Приложение , рис. S4). Примечательно, что уравнение. 1 физически решается всего за один шаг благодаря физическому MVM в массиве точек пересечения и соединению обратной связи, вынуждающему виртуальное заземление в рядах точек пересечения.

Та же концепция может быть расширена для вычисления инверсии матрицы A , удовлетворяющей AA -1 = U , где U – единичная матрица.Столбец i строки A -1 может быть измерен как выходное напряжение, когда столбец i строки U применяется в качестве входа, таким образом реализуя инверсию матрицы за N шагов. На рис. 1 E показаны измеренные элементы A −1 в сравнении с аналитически решенными элементами обратной матрицы, а относительные ошибки вычислены в приложении SI , рис. S5. Рис. 1 E ( вставка ) показывает, что экспериментальный продукт AA -1 хорошо аппроксимирует U , что дополнительно поддерживает вычисленную инверсию матрицы.

Схема на рис. 1 A по существу является оператором инверсии матрицы, который можно использовать для решения линейных систем и инверсий матриц, в то время как массив точек пересечения без обратной связи является оператором матрицы, который, естественно, может использоваться для выполнить MVM. Поскольку схема инверсии матрицы представляет собой систему с отрицательной обратной связью, стабильность выходного напряжения требует, чтобы коэффициент усиления контура ( G контур ) каждого контура обратной связи был отрицательным (27). Анализ показывает, что условие G loop <0 выполняется, когда все знаки диагональных элементов A −1 положительны ( SI Приложение , рис.S6). Следуя этому руководству, была решена система линейных уравнений и инверсия матрицы 5 × 5, при этом матрица была реализована в виде массива дискретных резисторов в точках пересечения. Небольшая относительная погрешность около нескольких процентов в этом идеальном случае с дискретными резисторами свидетельствует о том, что высокая точность может быть достигнута с помощью точных и линейных устройств резистивной памяти ( SI Приложение , Рис. S7).

Решение линейной системы с положительными и отрицательными коэффициентами.

Поскольку в резистивном элементе проводимость может быть только положительной, схема на рис.1 может решать только линейные системы с положительной матрицей коэффициентов. Для решения линейных систем с неположительными коэффициентами следует принять схему со смешанной матрицей, показанную на рисунке 2. Здесь матрица A, разделена на два массива точек пересечения согласно A = B -C, где B и C являются положительными. На рис.2 A показана реализация массива с двумя точками пересечения, где входной ток I разделен схемой на два компонента I B и I C = I I B , передаваемый в ряды виртуальной земли B и C , соответственно.Аналоговые инверторы позволяют инвертировать напряжение между столбцами B и C . Исходя из закона Ома и закона Кирхгофа, выходное напряжение В OA определяется выражением B · V + C (−V) + I = 0, [3] или A · V + I = 0, который решает линейную систему уравнения. 1 с I = – b .

Рис. 2.

Обращение смешанной матрицы. ( A ) Схема схемы двух точек пересечения для инверсии матриц, где два массива точек пересечения содержат элементы матриц B ( Bottom ) и C ( Top ) с A = B C .Напряжение в матрице C инвертируется в другой с помощью аналоговых инверторов, в то время как входной ток вводится в линии виртуальной земли и разделяется на две матрицы. ( B ) Измеренные значения матриц A , B и C , при этом A = B C . В эксперименте матрица B была реализована в виде массива точек пересечения RRAM, а матрица C была реализована в виде массива точек пересечения дискретных резисторов.( C ) Измеренные значения обратной матрицы A -1 как функция аналитически рассчитанных элементов A -1 . Поскольку A −1 является положительной матрицей, ее можно инвертировать с помощью одного массива точек пересечения, как показано на рисунке 1. ( D ) Значения проводимости для матрицы A −1 , реализованные в элементах RRAM. , как функция экспериментальных значений A −1 в C .Чтобы устройства работали в области высокой проводимости, матрица A -1 была реализована с G 0 = 500 мкс для проводимости RRAM. ( E ) Измеренные элементы матрицы ( A −1 ) −1 как функция аналитических расчетов. I 0 = 500 мкА и В 0 = 1 В использовались для входного тока и выходного напряжения соответственно. ( F ) Измеренные элементы матрицы ( A −1 ) −1 как функция с исходной матрицей A , демонстрируя замечательную точность, несмотря на накопленные ошибки по двум последовательным процессам инверсии и устройству -процесс программирования.

Мы экспериментально продемонстрировали инверсию смешанной матрицы 3 × 3 A с двумя матрицами B и C , реализованными в массиве RRAM и массиве резисторов, соответственно. Значения A , B и C показаны на рисунке 2 B , а на рисунке 2 C показаны измеренные элементы A -1 как функция аналитического результаты, демонстрирующие хорошую точность. Для дальнейшей поддержки инверсии физической матрицы мы инвертировали A -1 , которая является положительной матрицей, с одним массивом точек пересечения.Для этой цели элементы A -1 были сначала отображены как значения проводимости в массиве RRAM с использованием алгоритма программирования и проверки с ошибкой менее 5% (приложение SI , рис. S8). Хотя алгоритм программирования и проверки применялся к отдельному устройству RRAM за раз, массив точек пересечения подходит для параллельного программирования, чтобы значительно сократить время инициализации массива (28, 29). На рис. 2 D показаны измеренные значения проводимости RRAM как функция целевых значений, полученных из экспериментального A -1 на рис.2 С . Инверсия A −1 , то есть ( A −1 ) −1 , была вычислена схемой инверсии матрицы, показанной на рис. 1 A , что дало результаты на рис. E . Вычисленное ( A −1 ) −1 сравнивается с исходной матрицей A на рис.2 F , которая поддерживает хорошую точность двойных инверсий ( A −1 ) −1 = А .Относительные ошибки вышеупомянутых операций указаны в приложении SI , рис. S9.

Подобно схеме с одиночной матрицей точек пересечения на фиг. 1 A , условие отрицательной обратной связи применяется к смешанной матрице A . Кроме того, поскольку матрица точек пересечения B непосредственно участвует в обратной связи с обратной связью с OA, матрица B также должна удовлетворять условию G loop <0. В качестве предложения для практических приложений. , эталонная матрица B , удовлетворяющая условию цикла G , может быть принята в схеме со смешанной матрицей, в то время как матрица C может быть свободно размещена с помощью массива точек пересечения RRAM с условием C = B A .Чтобы продемонстрировать общность этой концепции, одномерное стационарное уравнение Фурье для диффузии тепла было решено с помощью схемы с перекрестными точками ( SI Приложение , рис. S10 и S11). Используя метод конечных разностей, дифференциальное уравнение сначала преобразуется в систему линейных уравнений, где характеристическая матрица A является смешанной трехдиагональной матрицей. Входные токи соответствуют известному термину, а именно рассеиваемой мощности в одномерной структуре.Решение дает профиль температуры вдоль эталонной структуры, которая решает численное уравнение Фурье.

Ключевым параметром для описания устойчивости решения линейной системы является число обусловленности κ матрицы (30). Число обусловленности отражает стабильность решения x при небольших изменениях известного члена b в уравнении. 1 , где чувствительность к возмущениям увеличивается с увеличением числа обусловленности. Чтобы изучить влияние числа обусловленности на решение линейных систем в массивах резистивной памяти, мы смоделировали схемное обращение трех матриц 10 × 10 с увеличением числа обусловленности.Чтобы проверить стабильность решения, случайная вариация 0,1 или -0,1 была добавлена ​​к каждому элементу в члене b уравнения Ax = b , где b – это i -й столбец единичная матрица U , x – это i -й столбец A −1 , и i был развернут от 1 до 10 для вычисления всей обратной матрицы. Результаты представлены в Приложении SI , рис. S12, что указывает на то, что ошибка вычисления увеличивается с увеличением числа обусловленности матрицы.

Влияние числа обусловленности также было проверено в экспериментах путем выполнения двойного обращения матрицы с большим числом обусловленности ( κ = 16,9) по сравнению с матрицей с κ = 9,5 на рис. 2. Номера условий для всех матриц в эксперименте сведены в SI Приложение , Таблица S1. Как показано в Приложении SI , рис. S13, матрица с большим значением κ успешно инвертируется дважды, хотя ошибки вычислений больше, чем в случае на рис.2 ( SI Приложение , рис. S14). Следует отметить, что рассматриваемые в данной работе матрицы хорошо подготовлены. Для плохо обусловленной матрицы с чрезвычайно высоким числом обусловленности должны потребоваться дополнительные схемы, возможно, включая алгоритмы итеративного уточнения, которые могут поддерживаться обычным цифровым компьютером (22) или реализованы в массиве резистивной памяти (26). Ошибка, вызванная тепловым шумом и дробовым шумом компонентов в схеме пересечения, также увеличивается с увеличением числа условий, хотя представляет гораздо менее значительную проблему ( SI Приложение , рис.S15).

Схемы коммутации для вычисления собственных векторов.

Решение линейной системы в уравнении. 1 можно расширить до вычисления собственных векторов с помощью физических вычислений в массиве точек пересечения. Уравнение для собственного вектора имеет вид Ax = λx, [4] где A – вещественная квадратная матрица, λ – ее собственное значение, а x – соответствующий собственный вектор. Рис. 3 A показывает схему собственного вектора, состоящую из цепи самоуправляемой обратной связи, где вектор напряжения V , сформированный в столбцах точек пересечения, формирует вектор тока I = A · V , с проводимость матрицы точек пересечения, отображающей матрицу A .Выходные токи преобразуются в напряжения с помощью TIA с резисторами обратной связи G λ , отображающими известное собственное значение λ . Затем выходные сигналы TIA инвертируются и возвращаются в столбцы точек пересечения. Комбинируя закон Ома и закон Кирхгофа, получаем – A · V / G λ = – V , следовательно, A · V = G λ V , который удовлетворяет уравнению. 4 . Поскольку физические напряжения и токи могут иметь только действительные значения, схема собственных векторов применяется только к действительным собственным значениям и собственным векторам. Для положительной матрицы, согласно теореме Перрона – Фробениуса (31), наивысшее собственное значение должно быть положительным действительным числом, а его собственный вектор также состоит из положительных действительных чисел. В результате собственный вектор наивысшего собственного значения положительной матрицы всегда может быть решен с помощью перекрестной схемы. Если собственный вектор самого низкого отрицательного собственного значения является действительным, его также можно измерить, удалив аналоговые инверторы в цепи обратной связи ( SI Приложение , рис.S16 A ). Обратите внимание, что схема собственного вектора на рис. 3 A работает автономно, подобно генератору с положительной обратной связью, благодаря активным TIA, устанавливающим вектор напряжения V .

Рис. 3.

Расчеты собственного вектора и PageRank. ( A ) Схема пересечения для решения уравнения собственных векторов Ax = λx , где x – собственный вектор, а λ – наивысшее положительное собственное значение положительной матрицы. вставка.Чтобы предотвратить нарушение при установке / сбросе проводимости RRAM, выходные напряжения OA были ограничены до ± 0,2 В. ( B ) Измеренные собственные векторы, соответствующие самому высокому положительному собственному значению и самому низкому отрицательному собственному значению, как функция нормированных собственных векторов полученные аналитическими решениями. Наибольшее положительное собственное значение и наименьшее отрицательное собственное значение были сохранены как проводимость обратной связи G λ TIA с проводимостью 940 и 331 мкс соответственно.( C ) Система из четырех веб-страниц с соответствующими ссылками. Стрелка, указывающая со страницы i на страницу j , указывает на ссылку j на странице i , поэтому важность веб-страницы можно определить по количеству стрелок, указывающих на эту страницу. ( D ) Матрица ссылок для системы в C . Сумма элементов в каждом столбце равна 1, а все диагональные элементы равны нулю, поскольку страницы не ссылаются на себя. Единица преобразования была G 0 = 684 мкс для проводимости RRAM, чтобы минимизировать нелинейность RRAM.Наивысшее положительное собственное значение равно 1, что соответствует резисторам обратной связи с проводимостью G 0 . ( E ) Измеренный собственный вектор, представляющий оценки важности четырех страниц, как функция аналитически решенного нормализованного собственного вектора.

Схема собственного вектора на рис. 3 A была экспериментально продемонстрирована для массива точек пересечения RRAM со значениями проводимости G , отображающими матрицу A (рис. 3 A , вставка ) путем вычисления собственные векторы для наивысшего положительного собственного значения ( λ + = 9.41) и наименьшее отрицательное собственное значение ( λ = −3,31). На рис. 3 B показаны измеренные значения собственных векторов как функции нормированных собственных векторов, полученных с помощью аналитических решений. Пропорциональность между экспериментальными и рассчитанными собственными векторами на рисунке указывает на правильное физическое вычисление собственных векторов.

Хотя ограничение решения самыми высокими / самыми низкими собственными значениями может показаться неудобным, оказывается, что для многих приложений используются только самые высокие положительные или самые низкие отрицательные собственные значения.Например, в алгоритме PageRank (32, 33), который дает оценки важности веб-страниц для их ранжирования, собственный вектор матрицы ссылок вычисляется для наивысшего положительного собственного значения. Последний всегда равен 1, поскольку матрица связей является стохастической матрицей (33). На Фиг.3 C показан пример четырех страниц с соответствующими ссылками, а на Фиг.3 D показана соответствующая матрица ссылок, которая была реализована как значения проводимости массива точек пересечения RRAM 4 × 4.Используя схему собственного вектора на рис. 3 A , был решен собственный вектор матрицы ссылок для вычисления оценок важности страниц. Рис. 3 E показывает экспериментальные оценки по сравнению с аналитическими оценками, демонстрируя хорошую точность физического вычисления собственного вектора. Реальный случай PageRank описан в приложении SI, рис. S17.

Анализ схемы собственных векторов на рис.3 A показывает, что G петля в идеале должна быть равна 1 ( SI Приложение , Рис.S18), что, однако, никогда не может быть полностью удовлетворено в практических схемах. На практике G λ можно экспериментально выбрать так, чтобы G петля была немного больше 1, что позволяет правильно решить собственный вектор с приемлемой ошибкой. Фактически, хотя выход изначально увеличивается из-за цикла G > 1, нелинейность схемы, возникающая из-за насыщения выхода TIA, уменьшает цикл G до 1.С другой стороны, установка G loop меньше 1 приводит к нулевому выходному напряжению, чего, таким образом, следует избегать. Аналогично Рис. 2 A , решение для собственных векторов может быть расширено до смешанной матрицы A с помощью техники разделения с двумя массивами точек пересечения, соединенными аналоговыми инверторами ( SI Приложение , Рис. S16 B ).

Мы проверили физическое вычисление собственных векторов для решения одномерного не зависящего от времени уравнения Шредингера: HΨ = EΨ, [5] где H – оператор Гамильтона, E – собственное значение энергии, а Ψ – соответствующая собственная функция.Уравнение 5 может быть численно решена методом конечных разностей, давая задачу на собственный вектор, заданную уравнением. 4 , где A – трехдиагональная матрица коэффициентов, x – вектор значений в дискретных позициях, а λ – наивысшее / наименьшее собственное значение. Уравнение Шредингера было решено для квадратной потенциальной ямы, показанной на рис. 4 A , которая была разделена поровну на 32 сегмента ( SI Приложение , рис. S19 и S20).На рис. 4 B показана трехдиагональная смешанная матрица A размером 33 × 33, описывающая уравнения собственных векторов. Матрица A, разделена на две положительные трехдиагональные матрицы B и C , которые отображаются в значениях проводимости двух массивов точек пересечения, соответственно. Собственный вектор был рассчитан для основного состояния с энергией E = -4,929 эВ, что соответствует наименьшему отрицательному собственному значению задачи. Собственные значения и собственные векторы, полученные путем численного решения на цифровом компьютере, также указаны в приложении SI , рис.S19. На рис. 4 C показан собственный вектор, полученный с помощью схемы смоделированного собственного вектора, в сравнении с аналитически вычисленным собственным вектором. Физически вычисленная волновая функция хорошо согласуется с численным решением, которое дополнительно поддерживает физические вычисления в схемах пересечения точек для реальных приложений.

Рис. 4.

Решение уравнения Шредингера в схеме пересечения. ( A ) Прямоугольная яма потенциала V ( x ), принятая в уравнении Шредингера.Потенциальная яма имеет глубину -5 эВ и ширину 2 нм, в то время как решение проводится с общей шириной 3,2 нм, дискретизированной в 32 равных интервалах. ( B ) Матрица A размером 33 × 33, полученная из пространственной дискретизации уравнения Шредингера, и две положительные матрицы B и C , реализованные в массивах точек пересечения, с A = В С . Единица преобразования 100 мкс для 7,6195 эВ была принята в матрицах B и C .Две матрицы проводимости имеют одну и ту же цветовую полосу. Собственное значение в основном состоянии составляет -4,929 эВ, что было отображено в проводимости (65 мкСм) резисторов обратной связи TIA. ( C ) Дискретная собственная функция основного состояния, полученная как смоделированное выходное напряжение в схеме пересечения по сравнению с аналитическими решениями. Обратите внимание, что пиковое напряжение составляет около 1,5 В напряжения питания ОУ из-за насыщения.

Обсуждение

Массивы точек пересечения позволяют решать широкий набор задач алгебры, от линейных систем до задач на собственные векторы, тем самым обеспечивая физическое решение дифференциальных уравнений, описывающих реальные проблемы в промышленности, экономике и здравоохранении.Решение основано на чрезвычайно простых схемных элементах, таких как имеющиеся в продаже OA и современные резистивные запоминающие устройства, такие как RRAM и PCM. Для сравнения, предыдущие решения линейных систем с использованием подхода квантовых вычислений (34, 35) менее привлекательны, поскольку квантовые схемы обычно работают при криогенных температурах и требуют специального оборудования и некоммерческих технологий. Другие предлагаемые решения с архитектурой нейронных сетей (36) или аналоговыми ускорителями на основе КМОП (37) основаны на итерационных операциях, что приводит к полиномиальному времени вычислений и стоимости.Напротив, массив точек пересечения позволяет быстро решить всего за один шаг без итераций. Время вычислений ограничено временем установления ОУ, которое может достигать нескольких наносекунд в передовой КМОП-технологии (38).

Чтобы оправдать ожидания практических приложений, схему коммутации следует масштабировать, чтобы продемонстрировать выполнимость схемы. Чтобы продемонстрировать масштабируемость схемы пересечения, решение системы линейных уравнений для матрицы коэффициентов модели 100 × 100 при моделировании показано в приложении SI , рис.S21. Результаты показывают, что линейная система точно решается схемой, которая поддерживает пригодность схемы коммутации для решения реальных проблем. Поскольку матричные коэффициенты хранятся в реальных наноразмерных устройствах с присущими им стохастическими вариациями, схема пересечения обеспечивает только приблизительное решение линейной задачи. Чтобы оценить влияние вариаций устройства, мы включили случайное отклонение проводимости каждого перекрестного устройства для матрицы 100 × 100 и рассчитали относительные ошибки выходных напряжений ( SI Приложение , рис.S22). Результаты моделирования показывают относительно низкие ошибки (около 10%) даже с отклонением в 10%. Таким образом, высокоточное хранение значений проводимости с помощью методов программирования и проверки имеет важное значение для повышения точности решения в зависимости от конкретных приложений. Нелинейная проводимость в резистивном элементе, физически возникающая из-за прыжковой проводимости и локального джоулева нагрева, также влияет на точность решения. Линейность проводимости может быть максимизирована путем увеличения проводимости устройства (5), что, однако, приводит к более высокому требованию энергии для перенастройки и работы схемы пересечения.Развитие технологии резистивной памяти, направленной на более высокую точность многоуровневого размещения и лучшую линейность проводимости, может улучшить схему пересечения для вычислений линейной алгебры в памяти.

По мере увеличения масштаба схемы коммутации паразитное сопротивление из-за плотной разводки межсоединений в массиве памяти может стать дополнительной проблемой. Чтобы оценить влияние паразитного сопротивления, мы смоделировали ту же линейную систему 100 × 100 из SI Приложение , рис.S21 с дополнительным паразитным сопротивлением провода ( SI Приложение , рис. S23). Для справки параметры межсоединений были взяты из Международной дорожной карты технологий для полупроводников на 65- и 22-нм технологических узлах (39). Относительные ошибки находятся в пределах ∼10 и 30% для узлов 65 и 22 нм соответственно. Эти результаты предполагают, что существует компромисс между масштабированием и точностью схемотехнических решений задач алгебры. Также следует отметить, что ошибки вычислений по существу продиктованы соотношением сопротивлений между сопротивлением устройства и паразитным сопротивлением.В результате точность вычислений может быть улучшена за счет увеличения сопротивления запоминающих устройств, что, в свою очередь, может вызвать проблему нелинейности проводимости, которая также влияет на точность вычислений. Мы пришли к выводу, что существует сложный компромисс между масштабированием, паразитным сопротивлением и нелинейностью устройства для оптимизации операций (40, 41). В этом сценарии трехмерная интеграция памяти точки пересечения, где плотность не обязательно приводит к увеличению сопротивления межсоединений, может повысить устойчивость точности вычислений к паразитному сопротивлению (42).

Хотя отсутствие итераций является очень привлекательной особенностью для быстрых вычислений, время, необходимое для программирования индивидуальных матричных коэффициентов в памяти, также следует учитывать для всесторонней оценки технологии. Хотя время записи в наших устройствах было относительно большим с целью точной настройки значений проводимости (см., Например, приложение SI, приложение , рис. S8), время программирования в реальном приложении могло бы быть значительно ускорено благодаря параллельному программирование (28, 29), схемы аналогового программирования (43), помимо субнаносекундной коммутации устройств RRAM (44) и устройств PCM (45).Кроме того, согласно концепции вычислений в памяти, одни и те же данные могут часто повторно использоваться для вычислений (42), таким образом, время программирования может играть незначительную роль в общем времени вычислений.

Хотя точность нашей схемы нельзя сравнивать с точностью решения с плавающей запятой в высокоточном цифровом компьютере, важно отметить, что требуемая точность может быть не высокой для всех приложений. На самом деле существует много случаев, когда задача линейной алгебры должна быть решена за короткое время, с низким бюджетом энергии и с достаточной устойчивостью к ошибкам.Например, в алгоритмах машинного обучения коэффициенты классификации / распознавания могут рассчитываться с некоторой погрешностью. Сетевые коэффициенты могут быть получены с помощью псевдообратной матрицы (46), вычисление которой может быть ускорено нашим подходом. Другим примером является ранжирование веб-страниц, где вычисленные оценки веб-сайтов должны отображаться в правильном порядке, хотя некоторые неточности все же могут допускаться для отдельных оценок. Для аналогичных типов приложений наши схемы могут предоставить решение с отличным компромиссом между точностью, скоростью и потреблением энергии.

В заключение были представлены решения задач линейной алгебры в резистивных массивах точек пересечения. Такие задачи, как системы линейных уравнений, собственные векторы матриц и дифференциальные уравнения, решаются ( i ) за один шаг (и инверсия матрицы за N шагов), ( ii ) in situ в массиве памяти точек пересечения, и ( iii ) через физические законы, такие как закон Ома, закон Кирхгофа и механизмы обратной связи в схемах с обратной связью. Предлагаемые вычисления в памяти прокладывают путь для будущих приблизительных вычислительных систем в памяти для решения практических задач с большими данными с огромной экономией времени и энергии для широкого спектра реальных приложений.

Методы

Подробная информация о производстве и характеристиках устройства, проектировании схем и методах измерения приведена в Приложении SI .

Выражение признательности

Эта работа получила финансирование от Европейского исследовательского совета в рамках программы исследований и инноваций Европейского Союза Horizon 2020 (Соглашение о гранте 648635). Эта работа была частично выполнена на Polifab, предприятии по микро- и нанотехнологии Миланского политехнического университета.

Сноски

  • Автор: З.С., Г.П., Д.И. спланированное исследование; Z.S., G.P., E.A., A.B., W.W. и D.I. проведенное исследование; З.С., Г.П., Д.И. проанализированные данные; и З.С. и Д. написал газету.

  • Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

  • Эта статья представляет собой прямое представление PNAS.

  • Эта статья содержит вспомогательную информацию на сайте www.pnas.org/lookup/suppl/doi:10.1073/pnas.1815682116/-/DCSupplemental.

  • Авторские права © 2019 Автор (ы).Опубликовано PNAS.

6. Матрицы и линейные уравнения

М. Борна

Мы хотим решить систему одновременных линейных уравнений с помощью матриц:

a 1 x + b 1 y = c 1
a 2 x + b 2 y = c 2

Если допустим

`A = ((a_1, b_1), (a_2, b_2))`, `\ X = ((x), (y)) \` и `\ C = ((c_1), (c_2))`

, затем AX = C . (Впервые мы увидели это в «Умножении матриц»).

Если теперь умножить каждую сторону

AX = C

слева от

А -1 , имеем:

A -1 AX = А -1 С .

Однако мы знаем, что A -1 A = I , матрица идентичности.Получаем

IX = A -1 C .

Но IX = X , поэтому решение системы уравнения даются по:

X = A -1 C

См. Рамку в верхней части Инверсии матрицы, чтобы узнать больше о том, почему это работает.

Примечание: Мы не можем изменить порядок умножения и использовать CA -1 , потому что умножение матриц не коммутативно.

Пример – решение системы с использованием обратной матрицы

Решите систему, используя матрицы.

x + 5 y = 4

2 x + 5 y = −2

Всегда проверяйте свои решения!

Ответ

У нас:

`A = ((- 1,5), (2,5)),` `\ X = ((x), (y)) \` и `\ C = ((4), (- 2)) `

Чтобы решить эту систему, нам понадобится обратное к A , которое мы запишем как A -1 .-1C“ = ((- 0,333,0,333), (0,133,0,067)) ((4), (- 2)) “ = ((- 2), (0,4)) `

Этот ответ означает, что мы нашли решение «x = -2» и «y = 0,4».

Решение правильное?

Проверяем в исходной системе уравнений:

`{: (- x + 5y, = 4), (2x + 5y, = – 2):}`

Подставляя `x = -2` и` y = 0.4`, получаем:

`- (- 2) + 5 × (0,4) = 2 + 2 = 4` [Проверяет ОК]

`2 × (−2) + 5 × (0,4)` `= −4 + ​​2“ = −2` [Проверяет ОК]

Итак, решение исходной системы уравнений –

.

`х = -2, \ \ у = 0.4`.

Решение 3 × 3 систем Уравнения

Мы можем распространить вышеуказанный метод на системы любого размера. Мы не можем использовать тот же метод для поиска обратных матриц больше 2 × 2.

Мы будем используйте систему компьютерной алгебры, чтобы найти инверсии больше, чем 2 × 2.

Пример – Система 3 × 3 Уравнения

Решите систему матричными методами.

`{: (x + 2y-z = 6), (3x + 5y-z = 2), (- 2x-y-2z = 4):}`

Я уже упоминал? Хорошая идея – всегда проверять свои решения.-1C`

`= ((5.5, -2.5, -1.5), (- 4,2,1), (- 3.5,1.5,0.5)) ((6), (2), (4))`

`= ((22), (- 16), (- 16))`

Чек:

`22 + 2 (-16) – (-16) = 6` [ОК]

`3 (22) + 5 (-16) – (-16) = 2` [ОК]

`-2 (22) – (16) – 2 (-16) = 4` [ОК]

Итак, решение – `x = 22`,` y = -16` и `z = -16`.

Пример – Электронное применение системы 3 × 3 Уравнения

Найдите электрические токи, указанные как решение матричного уравнения (полученного с использованием закона Кирхгофа) возникающие из этой цепи:


`((I_1 + I_2 + I_3), (- 2I_1 + 3I_2), (- 3I_2 + 6I_3)) = ((0), (24), (0))`

(Вы можете изучить, что на самом деле означает решение для этого примера, в этом апплете трехмерных интерактивных систем уравнений.-1 ((0), (24), (0)) `

Используя систему компьютерной алгебры для выполнения обратного и умножения на постоянную матрицу, мы получаем:

`I_1 = -6 \” A “`

`I_2 = 4 \” A “`

`I_3 = 2 \” A “`

Мы видим, что значение I 1 отрицательное, как и следовало ожидать из принципиальной схемы.

Упражнение 1

Найдены следующие уравнения в конкретной электрической цепи. Найдите токи с помощью матрицы методы.-1C`

`= ((0,294,0,353,0,294), (0,118, -0,059,0,118), (0,588, -0,294, -0,412)) ((0), (6), (- 3))`

`= ((1,236), (- 0,708), (- 0,528))`

Следовательно,

`I_A = 1,236 \” A “`,

`I_B = -0,708 \” A “и

`I_C = -0,528 \” A “`

Упражнение 2

Помните об этой проблеме? Если мы знаем используемые одновременные уравнения, мы сможем решить система с использованием обратных матриц на компьютере.

Уравнения схемы с использованием закона Кирхгофа:

−26 = 72 I 1 – 17 I 3 – 35 Я 4

34 = 122 I 2 – 35 I 3 – 87 Я 7

−4 = 233 I 7 – 87 I 2 -34 I 3 -72 I 6

−13 = 149 I 3 – 17 I 1 – 35 I 2 – 28 I 5 – 35 I 6 – 34 Я 7

−27 = 105 I 5 – 28 I 3 – 43 I 4 – 34 I 6

24 = 141 I 6 – 35 I 3 -34 I 5 -72 I 7

5 = 105 I 4 – 35 I 1 – 43 Я 5

Каковы отдельные токи, I 1 до I 7 ?

Телефонные пользователи

ПРИМЕЧАНИЕ: Если вы пользуетесь телефоном, вы можете прокрутить любую -ю матрицу на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение. – 1 [(-26), (34), (- 4), (- 13), (- 27), (24), (5)] `

`= [(- 0.-3), (- 0,22243), (- 0,27848), (0,21115), (0,20914)] `

Ответ означает, что токи в этой цепи равны (с точностью до 4 знаков после запятой):

`I_1 = -0,4680 \” A “`

`I_2 = 0,4293 \” A “`

`I_3 = 0,0005 \” A “`

`I_4 = -0,2224 \” A “`

`I_5 = -0,2785 \” A “`

`I_6 = 0,2112 \” A “`

`I_7 = 0.2091 \” A “`

Упражнение 3

Нам нужно 10 л бензина содержащий 2% добавки. У нас есть следующие барабаны:

Бензин без присадок

Бензин с 5% присадкой

Бензин с 6% присадкой

Нам нужно использовать в 4 раза больше чистого бензин в виде 5% присадки к бензину.Сколько нужно каждого?

Всегда проверяйте свои решения!

Ответ

Пусть

x = нет. литров чистого бензина

y = нет. литров 5% бензина

z = нет. литров 6% бензина

Из первого предложения имеем:

`x + y + z = 10`

Второе предложение дает нам:

Мы НЕ получаем присадок из чистого бензина.

Получаем (5% от y ) л добавки из второго барабана.

Получаем (6% от z ) л добавки из третьего барабана.

НАМ НУЖНО 2% из 10 л добавки = 0,2 л = 200 мл.

Так

`0,05y + 0,06z = 0,2`

Умножение на 100 дает:

`5y + 6z = 20`

Второе последнее предложение дает нам:

`x = 4y`

Мы можем записать это как:

`x – 4y = 0`

Это дает нам систему одновременных уравнений:

x + y + z = 10

5 y + 6 z = 20

x – 4 y = 0

Так

`A = ((1,1,1), (0,5,6), (1, -4,0))`, `\ C = ((10), (20), (0))`

Использование Scientific Notebook для обратного:

`((1,1,1), (0,5,6), (1, -4,0)) ^ – 1“ = ((0.96, -0,16,0,04), (0,24, -0,04, -0,24), (- 0,2,0,2,0,2)) `

Умножение обратной на матрицу C :

`((0,96, -0,16,0,04), (0,24, -0,04, -0,24), (- 0,2,0,2,0,2)) ((10), (20), (0))` `= ((6,4 ), (1.6), (2)) `

Итак, у нас есть 6,4 л чистого бензина, 1,6 л 5% присадок и 2 л 6% присадок.

Это правильно?

`6.4 + 1.6 + 2 = 10` L [ОК]

`5% xx 1,6 + 6% xx 2 = 200` мл [OK OK]

`4 × 1,6 = 6,4` [ОК]

Упражнение 4

Эта задача статики была представлена ​​ранее в разделе 3: Матрицы.

Из диаграммы получаем следующие уравнения (эти уравнения взяты из теории статики):

Вертикальные силы:

F 1 sin 69,3 ° – F 2 sin 71,1 ° – F 3 sin 56,6 ° + 926 = 0

Горизонтальные силы:

F 1 cos 69,3 ° – F 2 cos 71,1 ° + F 3 cos 56,6 ° = 0

Моменты:

7.80 F 1 sin 69,3 ° – 1,50 F 2 sin 71,1 ° – 5,20 F 3 sin 56,6 ° = 0

С помощью матриц найти силы F 1 , F 2 и F 3 .

Ответ

Запишем первое уравнение так, чтобы постоянный член оказался в правой части:

F 1 sin 69,3 ° – F 2 sin 71,1 ° – F 3 sin 56,6 ° = −926

В матричной форме запишем уравнения как:

`((грех 69.-1 ((- 926), (0), (0)) `

`= ((425.5), (1079.9), (362.2))`

Так

`F_1 = 425,5 \” N “`

`F_2 = 1079.9 \” N “`

`F_3 = 362,2 \” N “`

Это очень просто и быстро в Scientific Ноутбук, Matlab или любая другая система компьютерной алгебры!

4.5 Решение систем уравнений с использованием матриц – промежуточная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Напишите расширенную матрицу для системы уравнений
  • Использование операций со строками в матрице
  • Решение систем уравнений с помощью матриц

Будьте готовы 4.13

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Решите: 3 (x + 2) + 4 = 4 (2x − 1) +9,3 (x + 2) + 4 = 4 (2x − 1) +9.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 2.2.

Будьте готовы 4.14

Решите: 0,25p + 0,25 (p + 4) = 5,20. 0,0,25p + 0,25 (p + 4) = 5,20.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 2.13.

Будьте готовы 4.15

Вычислить, когда x = −2x = −2 и y = 3: 2×2 − xy + 3y2.y = 3: 2×2 − xy + 3y2.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.21.

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений

Решение системы уравнений может быть утомительной операцией, когда простая ошибка может нанести ущерб поиску решения. Доступен альтернативный метод, использующий основные процедуры исключения, но с более простой нотацией. Метод предполагает использование матрицы. Матрица – это прямоугольный массив чисел, упорядоченный по строкам и столбцам.

Матрица

Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, упорядоченных по строкам и столбцам.

Матрица с m строками и n столбцами имеет порядок m × n.m × n. Матрица слева внизу имеет 2 строки и 3 столбца и поэтому имеет порядок 2 × 3,2 × 3. Мы говорим, что это матрица 2 на 3.

Каждое число в матрице называется элементом или записью в матрице.

Мы будем использовать матрицу для представления системы линейных уравнений. Мы записываем каждое уравнение в стандартной форме, и коэффициенты переменных и константа каждого уравнения становятся строкой в ​​матрице.Тогда каждый столбец будет коэффициентами одной из переменных в системе или констант. Вертикальная линия заменяет знаки равенства. Полученную матрицу назовем расширенной матрицей системы уравнений.

Обратите внимание, что первый столбец состоит из всех коэффициентов x , второй столбец – это все коэффициенты y , а третий столбец – все константы.

Пример 4.37

Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

ⓐ {5x − 3y = −1y = 2x − 2 {5x − 3y = −1y = 2x − 2 ⓑ {6x − 5y + 2z = 32x + y − 4z = 53x − 3y + z = −1 {6x − 5y + 2z = 32x + y − 4z = 53x − 3y + z = −1

Решение

ⓐ Второе уравнение не имеет стандартной формы.Перепишем второе уравнение в стандартном виде.

y = 2x − 2−2x + y = −2y = 2x − 2−2x + y = −2

Заменим второе уравнение на его стандартную форму. В расширенной матрице первое уравнение дает нам первую строку, а второе уравнение дает нам вторую строку. Вертикальная линия заменяет знаки равенства.

ⓑ Все три уравнения имеют стандартную форму. В расширенной матрице первое уравнение дает нам первую строку, второе уравнение дает нам вторую строку, а третье уравнение дает нам третью строку.Вертикальная линия заменяет знаки равенства.

Попробовать 4.73

Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

ⓐ {3x + 8y = −32x = −5y − 3 {3x + 8y = −32x = −5y − 3 ⓑ {2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3 {2x −5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3

Попробовать 4.74

Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

ⓐ {11x = −9y − 57x + 5y = −1 {11x = −9y − 57x + 5y = −1 ⓑ {5x − 3y + 2z = −52x − y − z = 43x − 2y + 2z = −7 { 5x − 3y + 2z = −52x − y − z = 43x − 2y + 2z = −7

Это важно, поскольку мы решаем системы уравнений с использованием матриц, чтобы иметь возможность перемещаться между системой и матрицей.В следующем примере нам предлагается взять информацию из матрицы и написать систему уравнений.

Пример 4.38

Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице:

[4−3312−1−2−13 | −12−4]. [4−3312−1−2−13 | −12−4].

Решение

Мы помним, что каждая строка соответствует уравнению и что каждая запись является коэффициентом переменной или константы. Вертикальная линия заменяет знак равенства. Поскольку эта матрица имеет размер 4 × 34 × 3, мы знаем, что ее можно преобразовать в систему из трех уравнений с тремя переменными.

Попробовать 4.75

Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице: [1−12321−214−120]. [1−12321−214−120].

Попробовать 4.76

Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице: [111423−1811−13]. [111423−1811−13].

Использование операций со строками в матрице

Когда система уравнений принимает форму расширенной матрицы, мы будем выполнять операции со строками, которые приведут нас к решению.

Для решения методом исключения не имеет значения, в каком порядке мы размещаем уравнения в системе. Точно так же в матрице мы можем поменять местами строки.

Когда мы решаем методом исключения, мы часто умножаем одно из уравнений на константу. Поскольку каждая строка представляет собой уравнение, и мы можем умножить каждую часть уравнения на константу, аналогичным образом мы можем умножить каждую запись в строке на любое действительное число, кроме 0.

При исключении мы часто добавляем число, кратное одной строке, к другой строке.В матрице мы можем заменить строку с ее суммой на кратное другой строке.

Эти действия называются строковыми операциями и помогут нам использовать матрицу для решения системы уравнений.

Операции со строками

В матрице следующие операции могут быть выполнены с любой строкой, и результирующая матрица будет эквивалентна исходной матрице.

  1. Поменяйте местами любые два ряда.
  2. Умножьте строку на любое действительное число, кроме 0.
  3. Добавить ненулевое кратное одной строки в другую строку.

Выполнить эти операции легко, но все вычисления могут привести к ошибке. Если мы используем систему для записи операций со строками на каждом шаге, гораздо проще вернуться и проверить нашу работу.

Мы используем заглавные буквы с нижними индексами для обозначения каждой строки. Затем мы показываем операцию слева от новой матрицы. Чтобы показать перестановку ряда:

Чтобы умножить строку 2 на −3−3:

Чтобы умножить строку 2 на −3−3 и прибавить ее к строке 1:

Пример 4.39

Выполните указанные операции над расширенной матрицей:

ⓐ Поменяйте местами 2 и 3 ряды.

ⓑ Строку 2 умножить на 5.

ⓒ Умножить строку 3 на −2−2 и прибавить к строке 1.

[6−5221−43−31 | 35−1] [6−5221−43−31 | 35−1]
Решение

ⓐ Меняем ряды 2 и 3.

ⓑ Строку 2 умножаем на 5.

ⓒ Строку 3 умножаем на −2−2 и прибавляем к строке 1.

Попробовать 4.77

Выполнить указанные операции последовательно на расширенной матрице:

ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 3.

ⓑ Строку 3 умножить на 3.

ⓒ Строку 3 умножить на 2 и прибавить к строке 2.

[5−2−24−1−4−230 | −24−1] [5−2−24−1−4−230 | −24−1]

Попробовать 4.78

Выполните указанные операции над расширенной матрицей:

ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 2,

ⓑ Умножить строку 1 на 2,

ⓒ Строку 2 умножить на 3 и прибавить к строке 1.

[2−3−241−3504 | −42−1] [2−3−241−3504 | −42−1]

Теперь, когда мы попрактиковались в операциях со строками, мы рассмотрим расширенную матрицу и выясним, какую операцию мы будем использовать для достижения цели.Это именно то, что мы сделали, когда выполняли выбывание. Мы решили, на какое число умножить строку, чтобы переменная была исключена при сложении строк.

Учитывая эту систему, что бы вы сделали, чтобы исключить x ?

Следующий пример по сути делает то же самое, но с матрицей.

Пример 4,40

Выполните необходимую строковую операцию, в результате которой первая запись в строке 2 будет равна нулю в расширенной матрице: [1−14−8 | 20].[1−14−8 | 20].

Решение

Чтобы сделать 4 равным 0, мы могли бы умножить строку 1 на −4−4 и затем прибавить ее к строке 2.

Попробовать 4.79

Выполните необходимую строковую операцию, чтобы первая запись в строке 2 была равна нулю в расширенной матрице: [1−13−6 | 22]. [1−13−6 | 22].

Попробовать 4.80

Выполните необходимую строковую операцию, в результате которой первая запись в строке 2 будет равна нулю в расширенной матрице: [1−1−2−3 | 32]. [1−1−2−3 | 32].

Решение систем уравнений с помощью матриц

Чтобы решить систему уравнений с использованием матриц, мы преобразуем расширенную матрицу в матрицу в виде эшелона строк, используя операции со строками. Для непротиворечивой и независимой системы уравнений ее расширенная матрица находится в виде эшелона строк, когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали – нули.

Форма рядного эшелона

Для непротиворечивой и независимой системы уравнений ее расширенная матрица имеет строковую форму , когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали – нули.

Как только мы получим расширенную матрицу в виде ряда строк, мы можем написать эквивалентную систему уравнений и прочитать значение по крайней мере одной переменной. Затем мы подставляем это значение в другое уравнение, чтобы продолжить поиск других переменных. Этот процесс проиллюстрирован в следующем примере.

Пример 4.41

Как решить систему уравнений с помощью матрицы

Решите систему уравнений, используя матрицу: {3x + 4y = 5x + 2y = 1. {3x + 4y = 5x + 2y = 1.

Попробуй 4.81

Решите систему уравнений, используя матрицу: {2x + y = 7x − 2y = 6. {2x + y = 7x − 2y = 6.

Попробуйте 4.82

Решите систему уравнений, используя матрицу: {2x + y = −4x − y = −2. {2x + y = −4x − y = −2.

Шаги кратко описаны здесь.

How To

Решите систему уравнений с помощью матриц.
  1. Шаг 1. Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
  2. Шаг 2. Используя операции со строками, получите запись в строке 1, столбце 1, равной 1.
  3. Шаг 3. Используя операции со строками, получите нули в столбце 1 под 1.
  4. Шаг 4. Используя операции со строками, получите запись в строке 2, столбце 2, равной 1.
  5. Шаг 5. Продолжайте процесс до тех пор, пока матрица не примет вид ряда строк.
  6. Шаг 6. Напишите соответствующую систему уравнений.
  7. Шаг 7. Используйте подстановку, чтобы найти оставшиеся переменные.
  8. Шаг 8. Запишите решение в виде упорядоченной пары или тройки.
  9. Шаг 9. Убедитесь, что решение соответствует исходным уравнениям.

Вот наглядное изображение, показывающее порядок получения единиц и нулей в правильном положении для строковой формы.

Мы используем ту же процедуру, когда система уравнений состоит из трех уравнений.

Пример 4.42

Решите систему уравнений, используя матрицу: {3x + 8y + 2z = −52x + 5y − 3z = 0x + 2y − 2z = −1. {3x + 8y + 2z = −52x + 5y − 3z = 0x + 2y −2z = −1.

Попробуйте 4.83

Решите систему уравнений, используя матрицу: {2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3.{2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3.

Попробуйте 4.84

Решите систему уравнений, используя матрицу: {−3x + y + z = −4 − x + 2y − 2z = 12x − y − z = −1. {- 3x + y + z = −4 − x + 2y −2z = 12x − y − z = −1.

До сих пор мы работали с матрицами только с системами, которые согласованы и независимы, что означает, что у них есть только одно решение. Давайте теперь посмотрим, что происходит, когда мы используем матрицу для зависимой или несовместимой системы.

Пример 4.43

Решите систему уравнений, используя матрицу: {x + y + 3z = 0x + 3y + 5z = 02x + 4z = 1.{х + у + 3z = 0х + 3у + 5z = 02х + 4z = 1.

Попробуйте 4.85

Решите систему уравнений, используя матрицу: {x − 2y + 2z = 1−2x + y − z = 2x − y + z = 5. {X − 2y + 2z = 1−2x + y − z = 2x− у + г = 5.

Попробуйте 4.86

Решите систему уравнений, используя матрицу: {3x + 4y − 3z = −22x + 3y − z = −12x + y − 2z = 6. {3x + 4y − 3z = −22x + 3y − z = −12x + у − 2z = 6.

Последняя система была несовместимой и поэтому не имела решений. Следующий пример зависимый и имеет бесконечно много решений.

Пример 4.44

Решите систему уравнений с помощью матрицы: {x − 2y + 3z = 1x + y − 3z = 73x − 4y + 5z = 7.{x − 2y + 3z = 1x + y − 3z = 73x − 4y + 5z = 7.

Попробуйте 4.87

Решите систему уравнений, используя матрицу: {x + y − z = 02x + 4y − 2z = 63x + 6y − 3z = 9. {X + y − z = 02x + 4y − 2z = 63x + 6y − 3z = 9.

Попробовать 4.88

Решите систему уравнений, используя матрицу: {x − y − z = 1 − x + 2y − 3z = −43x − 2y − 7z = 0. {X − y − z = 1 − x + 2y − 3z = – 43x − 2y − 7z = 0.

Раздел 4.5 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Запишите расширенную матрицу для системы уравнений

В следующих упражнениях запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы.

196.


ⓐ {3x − y = −12y = 2x + 5 {3x − y = −12y = 2x + 5
ⓑ {4x + 3y = −2x − 2y − 3z = 72x − y + 2z = −6 {4x + 3y = −2x − 2y − 3z = 72x − y + 2z = −6

197.


ⓐ {2x + 4y = −53x − 2y = 2 {2x + 4y = −53x − 2y = 2
ⓑ {3x − 2y − z = −2−2x + y = 55x + 4y + z = −1 { 3x − 2y − z = −2−2x + y = 55x + 4y + z = −1

198.


ⓐ {3x − y = −42x = y + 2 {3x − y = −42x = y + 2
ⓑ {x − 3y − 4z = −24x + 2y + 2z = 52x − 5y + 7z = −8 { x − 3y − 4z = −24x + 2y + 2z = 52x − 5y + 7z = −8

199.


ⓐ {2x − 5y = −34x = 3y − 1 {2x − 5y = −34x = 3y − 1
ⓑ {4x + 3y − 2z = −3−2x + y − 3z = 4 − x − 4y + 5z = −2 {4x + 3y − 2z = −3−2x + y − 3z = 4 − x − 4y + 5z = −2

Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице.

200.

[2-11-3 | 42] [2-11-3 | 42]

201.

[2−43−3 | −2−1] [2−43−3 | −2−1]

202.

[10-31-200-12 | -1-23] [10-31-200-12 | -1-23]

203.

[2−2002−130−1 | −12−2] [2−2002−130−1 | −12−2]

Использование операций со строками в матрице

В следующих упражнениях выполните указанные операции с расширенными матрицами.

204.

[6−43−2 | 31] [6−43−2 | 31]

ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 2

ⓑ Строку 2 умножить на 3.

ⓒ Умножим строку 2 на −2−2 и прибавим к ней строку 1.

205.

[4−632 | −31] [4−632 | −31]

ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 2

ⓑ Строку 1 умножить на 4

ⓒ Строку 2 умножить на 3 и прибавить к ней строку 1.

206.

[4−12−84−2−3−62−1 | 16−1−1] [4−12−84−2−3−62−1 | 16−1−1]

ⓐ Поменяйте местами строки 2 и 3

ⓑ Строку 1 умножить на 4

ⓒ Умножить строку 2 на −2−2 и прибавить к строке 3.

207.

[6−5221−43−31 | 35−1] [6−5221−43−31 | 35−1]

ⓐ Поменяйте местами 2 и 3 ряды

ⓑ Строку 2 умножить на 5

ⓒ Умножить строку 3 на −2−2 и прибавить к строке 1.

208.

Выполните необходимую строковую операцию, в результате которой первая запись в строке 2 будет равна нулю в расширенной матрице: [12−3−4 | 5−1]. [12−3−4 | 5−1].

209.

Выполните необходимые операции со строками, чтобы первая запись в строке 2 и строке 3 была равна нулю в расширенной матрице: [1−233−1−22−3−4 | −45−1]. [1−233 −1−22−3−4 | −45−1].

Решение систем уравнений с помощью матриц

В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений, используя матрицу.

210.

{2x + y = 2x − y = −2 {2x + y = 2x − y = −2

211.

{3x + y = 2x − y = 2 {3x + y = 2x − y = 2

212.

{−x + 2y = −2x + y = −4 {−x + 2y = −2x + y = −4

213.

{−2x + 3y = 3x + 3y = 12 {−2x + 3y = 3x + 3y = 12

В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений, используя матрицу.

214.

{2x − 3y + z = 19−3x + y − 2z = −15x + y + z = 0 {2x − 3y + z = 19−3x + y − 2z = −15x + y + z = 0

215.

{2x − y + 3z = −3 − x + 2y − z = 10x + y + z = 5 {2x − y + 3z = −3 − x + 2y − z = 10x + y + z = 5

216.

{2x − 6y + z = 33x + 2y − 3z = 22x + 3y − 2z = 3 {2x − 6y + z = 33x + 2y − 3z = 22x + 3y − 2z = 3

217.

{4x − 3y + z = 72x − 5y − 4z = 33x − 2y − 2z = −7 {4x − 3y + z = 72x − 5y − 4z = 33x − 2y − 2z = −7

218.

{x + 2z = 04y + 3z = −22x − 5y = 3 {x + 2z = 04y + 3z = −22x − 5y = 3

219.

{2x + 5y = 43y − z = 34x + 3z = −3 {2x + 5y = 43y − z = 34x + 3z = −3

220.

{2y + 3z = −15x + 3y = −67x + z = 1 {2y + 3z = −15x + 3y = −67x + z = 1

221.

{3x − z = −35y + 2z = −64x + 3y = −8 {3x − z = −35y + 2z = −64x + 3y = −8

222.

{2x + 3y + z = 12x + y + z = 93x + 4y + 2z = 20 {2x + 3y + z = 12x + y + z = 93x + 4y + 2z = 20

223.

{x + 2y + 6z = 5 − x + y − 2z = 3x − 4y − 2z = 1 {x + 2y + 6z = 5 − x + y − 2z = 3x − 4y − 2z = 1

224.

{x + 2y − 3z = −1x − 3y + z = 12x − y − 2z = 2 {x + 2y − 3z = −1x − 3y + z = 12x − y − 2z = 2

225.

{4x − 3y + 2z = 0−2x + 3y − 7z = 12x − 2y + 3z = 6 {4x − 3y + 2z = 0−2x + 3y − 7z = 12x − 2y + 3z = 6

226.

{x − y + 2z = −42x + y + 3z = 2−3x + 3y − 6z = 12 {x − y + 2z = −42x + y + 3z = 2−3x + 3y − 6z = 12

227.

{−x − 3y + 2z = 14 − x + 2y − 3z = −43x + y − 2z = 6 {−x − 3y + 2z = 14 − x + 2y − 3z = −43x + y − 2z = 6

228.

{x + y − 3z = −1y − z = 0 − x + 2y = 1 {x + y − 3z = −1y − z = 0 − x + 2y = 1

229.

{x + 2y + z = 4x + y − 2z = 3−2x − 3y + z = −7 {x + 2y + z = 4x + y − 2z = 3−2x − 3y + z = −7

Письменные упражнения
230.

Решите систему уравнений {x + y = 10x − y = 6 {x + y = 10x − y = 6 построением графика и ⓑ путем подстановки. Ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

231.

Решите систему уравнений {3x + y = 12x = y − 8 {3x + y = 12x = y − 8 с помощью подстановки и объясните все свои шаги словами.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *