Матрицы решение методом крамера онлайн с решением: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

14. Решение невырожденных систем линейных ур-ий. Теорема Крамера. Привести пример решения слау методом Крамера.

Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Метод Крамера:

Этот метод применятся для решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений и число неизвестных совпадают и матрица системы – невырожденная. Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений и число неизвестных совпадает и , то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам

( ) – формулы Крамера

где , а – определитель, получаемый из определителя заменой его -го столбца на столбец свободных членов.

ПРИМЕР. Решить методом Крамера систему:

Так как число уравнений и число неизвестных в системе совпадают, и определитель матрицы системы , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера.

Имеем:

, .

Следовательно, , .

Если кол-во ур-ий не равно кол-ву неизвестных, то систему решать методом Гауса.

15. Решение систем лин. ур-ий методом обратной матрицы. Условие существования данного решения. Решение ур-ий вида АХ=В,ХА=В,АХВ=С.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Обратной к матрице называется матрица, обозначаемая , такая, что .

СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

1) Если матрица имеет обратную, то и – квадратные одного порядка.

Действительно, чтобы существовали произведения и необходимо, чтобы матрицы и имели соответственно размеры и . Тогда матрица будет иметь размер , а матрица – размер . Но для равенства необходимо, чтобы размеры матриц и совпадали, т.е. .

2) Если обратная матрица существует, то она единственная.

Действительно, если предположить, что существует две матрицы и обладающие свойством

и ,

то будет существовать и произведение , причем

и .

Следовательно, .

3) Если матрица имеет обратную, то определитель матрицы отличен от нуля.

Действительно, так как и для любых квадратных матриц и , то

и, следовательно, и .

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной.

Условие невырожденности матрицы оказалось не только необходимым для существования ее обратной матрицы, но и достаточным.

Условие существования решения методом обратной матрицы.:

Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Причем обратная матрица может быть найдена по формуле:

,

где – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы , т.е.

.

Матрица называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы .

Решение ур-ий вида АХ = В, ХА = В, АХВ = С

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Ключ к практическому экзамену 2

Практический экзамен 2

Проблема 1

Найдите уравнение параболы с фокусом в точке (3,1) и директриса и = -5.

Затем нарисуйте параболу вручную.

Раствор

Это помогает сначала набросать график. Обратите внимание, что вершина всегда середина фокуса и директриса (точка на директрисе, ближайшая к в фокус). Таким образом, вершина находится в точке (3,-2).

Имеем, что а это расстояние от вершина в фокус, который равен 3. Поскольку директриса горизонтальна, уравнение параболы имеет вид

( x ч ) 2   =  4 a ( y к )

Подключение дает

( x – 3) 2   =  4(3)(

y + 2)

или

( x – 3) 2   =  12( y + 2)

 

Проблема 2

Найдите уравнение эллипса с фокусами в точках (-3,3) и (5,3) и вершина в (-4,3). Затем нарисуйте эллипс вручную.

Раствор

Сначала мы находим центр, который всегда является средней точкой между двумя фокусами. Для координаты x мы находим среднее значение -3 а 5 – 1.  y -координата равна 3. Таким образом, центр имеет координаты (1,3). У нас есть это c

— расстояние между центром и фокусом, которое равно 4.  a  – расстояние от центра до вершины равно 5. Далее используйте формулу

б 2   =  а 2 с 2

Подключение дает

б 2  =  25 – 16  =  9

Следовательно, уравнение эллипса

График показан ниже.

 

 

Проблема 3

Найдите уравнение гиперболы с вершинами в (-3,2) и (1,2) и асимптота у = 2 х + 4.

Раствор

Центр гиперболы всегда находится посередине между двумя вершинами.

x -координата центра -1 и координата y равна 2.  координаты центра (-1,2).

Имеем, что а это расстояние между центром и вершине, таким образом, a = 2. (положительный) наклон асимптоты равен b / a , так что

б /2 = 2

Таким образом, b  =  4.

Уравнение гиперболы

График показан ниже

 

 

Проблема 4

Определите тип конической формы каждого из них. Затем найдите любой применимый признак: центр, вершины, фокусы, директрисы, асимптоты.

А.

Раствор

Поскольку и x -термы, и y -термы возводятся в квадрат, не парабола. С x -term имеет отрицательное значение снаружи и y – не термин, это гипербола. Центр находится в (2,-1). У нас есть = 2 и b = 1. Таким образом, вершины находятся в: (2,-2) и (2,0). Наклоны асимптот равны 1/2 и -1/2. К найдите уравнение асимптот, обе проходят через центр (2,-1), поэтому мы используем форму наклона точки, чтобы получить

y – (-1)  =  1/2 ( x – 2)

y   =  1/2 x – 2

и

y

– (-1)  =  -1/2 ( x – 2)

y   =  -1/2 x

Для фокусов используйте уравнение

в 2 а 2 + б 2

c 2 = 2 2 + 1 2 =  5

так что

 

Фокусы находятся в точках

 

Б.

Раствор

Так как только один из двух членов возводится в квадрат, это парабола. Мы можем умножьте все три члена на 4, чтобы получить

4 x 2

+ y – 2 =  4

или

y – 6  =  -4 x 2

Парабола имеет вершину (0,6). У нас есть

1/4 p   =  -4

так что

р = -1/16

, чтобы фокус был на (0,95/16) а директриса это линия г = 97/16.

 

С.

Раствор

Так как x и y являются в квадрате, это не парабола. Так как коэффициенты этих квадратов члены и положительны, и различны, это эллипс. Чтобы найти центр, нам нужно заполнить квадрат для г -термины. Находим

Таким образом, нам нужно прибавить 9 к обеим сторонам.

4 x 2 + у 2 – 6 у + 9  =  27 + 9

4 х 2 + ( у – 3) 2 =  36

Наконец, разделите на 36, чтобы получить

.

Центр эллипса находится в точке (0,3). Мы есть a  = 6 и b = 3. Вершины находятся в (0,-3) и (0,9). Чтобы найти фокусы, мы используем

в 2   =  а 2 б 2

c 2  = 36 – 9 = 27

Фокусы находятся в точках

 

Проблема 5

Решите каждую систему уравнений с помощью матриц. Если в системе нет решение говорят, что оно несовместимо.

А.

Раствор

Сначала настройте соответствующую расширенную матрицу.

Затем выполните операции со строками, чтобы привести их в форму эшелона строк:

Затем поместите это обратно в форму уравнения

x – 2 y + 5 z   =  5

y  – 13/5 z = -11/5

z   =  2

Теперь подставьте обратно, чтобы получить

г – 13/5 (2)  =  -11/5

г   =  3

 

x – 2(3) + 5(2) = 5

x   =  1

Решение (1,3,2).

 

Б.

Раствор

Сначала настройте соответствующую расширенную матрицу.

Затем выполните операции со строками, чтобы привести их в форму эшелона строк:

Затем поместите это обратно в форму уравнения

x – 2 y + z   =  3

г + г   =  0

0  =  4

Так как последнее равенство является противоречием, то нет решения этого система уравнений.

 

Проблема 6

Найдите определитель следующей матрицы (без использования калькулятора).

Раствор

Расширить на первую строку:

Теперь просто найдите определитель каждой из матриц 2×2:

2[(5)(-2) – (0)(6)] + [(4)(-2) – (0)(1)] + 3[(4)(6) – (5)(1) )]

= 2[-10] + [-8] + 3[19]

= -20 – 8 + 57

= 29

 

Проблема 7

 Используйте правило Крамера (без использования калькулятора), если оно применимо к решить систему.

Раствор

Напомним, что правило Крамера дает решение в терминах определителей.

Теперь просто вычислите определители, чтобы получить

Так что

x   =  -1,  y   = -3

 

Проблема 8

Учитывая, что

 

Используйте свойства определителей, чтобы найти

Раствор

Обратите внимание, что вторая матрица получается путем взятия первой матрицы и первое переключение первого и третьего рядов:

Переключение строк умножает определитель на -1, следовательно, определитель этой второй матрицы равен -5. Затем замените первую строку на сумму первой строки и (-2) раз вторую строку, чтобы получить:

Эта операция со строками оставляет определитель без изменений. Итак, определитель этой третьей матрицы по-прежнему -5. Окончательно умножьте вторую матрицу на 3, чтобы получить матрица цели. Умножение строки на константу умножает определитель от той же константы. Таким образом, определитель целевой матрицы

(3)(-5)  = -15

 

Проблема 9

A. Найти обратную матрицу

 

Раствор

Дополняем эту матрицу тождеством и помещаем в сокращенную строку эшелонированная форма.

Следовательно, обратная матрица является правой частью:

 

B. Используйте результат из части A. для решения системы:

Раствор

Мы можем думать об этой системе уравнений как о матричном уравнении

Топор б

Где b — правая часть уравнений. Это имеет решение

x   =  А -1 б

или

 

Проблема 10

График системы неравенств

 

Раствор

Сначала нарисуйте два уравнения, заметив, что они оба являются параболами:

г 2   > х

г   <  4 - х 2

Тогда обратите внимание, что первое неравенство будет ложным для больших x , поэтому решение должно лежать слева от первого график. Второй график верен для больших y , поэтому решение лежит над вторым графиком. Мы также можем использовать контрольные точки. Выбираем точку в каждой из областей, вырезанных графиками. У нас есть

(0,5):  Второе неравенство ложно, так как 5 < 4 - 0 2 является ложным.

(5,0): первое неравенство ложно, так как 0 2 > 5 ложно.

(1,0):  Первое неравенство ложно, так как 0 2 > 1 неверно.

(0,2): оба неравенства истинный. Следовательно, эта точка находится в области решения, которая является областью с наклонными линиями.

Решение показано ниже.

 

 

 

Проблема 11

Музей науки строит шепчущую галерею, которая будет 150 футов в длину. Очаги расположены 50 метров от центра. Как высоко будет потолок в центре?

Раствор

Шепчущая галерея имеет форму эллипса (или, по крайней мере, полуэллипс). Помогает набросать картинку

У нас есть

a   =  75,    c =  50

Теперь просто найдите b , то есть высоту галереи. У нас есть

Можно сделать вывод, что потолок примерно 55,9 футов в высоту.

 

Проблема 12

Джордан и Йеша имеют кредиты как в Bank of America, так и в Wells. Фарго. В первой таблице указаны суммы займа, во второй – процентная ставка в месяц.

  Б из А Уэллс Фарго
Иордания 8000 долларов 4000 долларов
Еша 6000 долларов 5000 долларов
       
Ежемесячные процентные ставки
Б из А 0,008
Уэллс Фарго 0,01

A. Напишите матрицу A для сумм, заимствованных каждому студенту и матрица B для ежемесячных процентов ставки.

Раствор

A и B просто матрицы, соответствующие первой и второй таблицам.

 

B. Вычислить AB и интерпретировать результаты с использованием полного предложения.

Умножаем

Мы можем сказать, что общая сумма процентов, которую заплатит Джордан, равна 104 доллара, а общий процент, который заплатит Еша, составляет 0,01 доллара США.

 

Проблема 13

Диетолог хочет приготовить смесь злаков, содержащую не менее семи граммов клетчатки и не менее 200 граммов углеводов. Первой кашей смеси будут изюмные отруби, содержащие 5 грамм клетчатки на чашку и 100 граммов углеводов на чашку. Стоимость одной чашки изюма 30 центов. Второй крупой смеси будет пшеничный чек, который содержит 3 грамма клетчатки и 110 граммов углеводов на чашку. Одна чашка пшеничный чек стоит 25 центов. Сколько чашек каждый тип хлопьев должен быть в смеси, чтобы свести к минимуму стоимость зерновой?

Раствор

Мы маркируем переменные:

x  = стаканы изюмных отрубей

y   =  чашки пшеничных хлопьев

Информацию дает система неравенств

5 x + 3 y   > 7

100 х + 110 у > 200

х > 0

г > 0

и уравнение оптимизации

C   =  30 x + 25 y

График показан ниже

Минимальная стоимость должна быть в одной из вершин. Мы вычисляем стоимость для каждой из вершин, чтобы увидеть, какая из них наименьшая:

30(2) + 25(0) = 60

30(0,68) + 25(1,2) = 50,4

30(0) + 25(2,33) = 58,25

Так как второй балл соответствует наименьшей стоимости, диетолог следует использовать 0,68 стакана изюмных отрубей и 1,2 стакана пшеничный чек.

Оставить комментарий