14. Решение невырожденных систем линейных ур-ий. Теорема Крамера. Привести пример решения слау методом Крамера.
Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.
Метод Крамера:
Этот метод применятся для решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений и число неизвестных совпадают и матрица системы – невырожденная. Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений и число неизвестных совпадает и , то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам
( ) – формулы Крамера
где , а – определитель, получаемый из определителя заменой его -го столбца на столбец свободных членов.
ПРИМЕР. Решить методом Крамера систему:
Так
как число уравнений и число неизвестных
в системе совпадают, и определитель
матрицы системы
,
то решение системы может быть найдено
по формулам Крамера.
, .
Следовательно, , .
Если кол-во ур-ий не равно кол-ву неизвестных, то систему решать методом Гауса.
15. Решение систем лин. ур-ий методом обратной матрицы. Условие существования данного решения. Решение ур-ий вида АХ=В,ХА=В,АХВ=С.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Обратной к матрице называется матрица, обозначаемая , такая, что .
СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
1) Если матрица имеет обратную, то и – квадратные одного порядка.
Действительно, чтобы существовали произведения и необходимо, чтобы матрицы и имели соответственно размеры и . Тогда матрица будет иметь размер , а матрица – размер . Но для равенства необходимо, чтобы размеры матриц и совпадали, т.е. .
2)
Если обратная матрица существует, то
она единственная.
Действительно, если предположить, что существует две матрицы и обладающие свойством
и ,
то будет существовать и произведение , причем
и .
Следовательно, .
3) Если матрица имеет обратную, то определитель матрицы отличен от нуля.
Действительно, так как и для любых квадратных матриц и , то
и, следовательно, и .
Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной.
Условие невырожденности матрицы оказалось не только необходимым для существования ее обратной матрицы, но и достаточным.
Условие существования решения методом обратной матрицы.:
Матрица
имеет обратную тогда и только тогда,
когда ее определитель
отличен от нуля.
Причем обратная матрица
может быть найдена по формуле:
,
где – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы , т.е.
.
Матрица называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы .
Решение ур-ий вида АХ = В, ХА = В, АХВ = С
АХ = В, ХА = В, АХВ = С,
где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.
Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.
Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.
Тогда:
Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.
Аналогично решаются другие уравнения.
Ключ к практическому экзамену 2
Практический экзамен 2
Проблема 1
Найдите уравнение параболы с фокусом в точке
(3,1) и директриса и
= -5.
Раствор
Это помогает сначала набросать график. Обратите внимание, что вершина всегда середина фокуса и директриса (точка на директрисе, ближайшая к в фокус). Таким образом, вершина находится в точке (3,-2).
Имеем, что а это расстояние от вершина в фокус, который равен 3. Поскольку директриса горизонтальна, уравнение параболы имеет вид
( x – ч ) 2 = 4 a ( y – к )
Подключение дает
( x – 3) 2 = 4(3)(
или
( x – 3) 2 = 12( y + 2)
Проблема 2
Найдите уравнение эллипса с фокусами в точках (-3,3) и (5,3) и вершина в (-4,3). Затем нарисуйте эллипс вручную.
Раствор
Сначала мы находим центр, который всегда является средней точкой между двумя фокусами.
Для координаты x мы находим среднее значение -3
а 5 – 1.
y -координата равна 3. Таким образом, центр
имеет координаты (1,3). У нас есть это
c
б 2 = а 2 – с 2
Подключение дает
б 2 = 25 – 16 = 9
Следовательно, уравнение эллипса
График показан ниже.
Проблема 3
Найдите уравнение гиперболы с вершинами в (-3,2) и (1,2) и асимптота у = 2 х + 4.
Раствор
Центр гиперболы всегда находится посередине между двумя вершинами.
Имеем, что а это расстояние между центром и вершине, таким образом, a = 2. (положительный) наклон асимптоты равен b / a , так что
б /2 = 2
Таким образом, b = 4.
Уравнение гиперболы
График показан ниже
Проблема 4
Определите тип конической формы каждого из них. Затем найдите любой применимый признак: центр, вершины, фокусы, директрисы, асимптоты.
А.
Раствор
Поскольку и x -термы, и y -термы возводятся в квадрат, не парабола. С x -term имеет отрицательное значение снаружи и y – не термин, это гипербола. Центр находится в (2,-1). У нас есть = 2 и b = 1. Таким образом, вершины находятся в: (2,-2) и (2,0). Наклоны асимптот равны 1/2 и -1/2. К найдите уравнение асимптот, обе проходят через центр (2,-1), поэтому мы используем форму наклона точки, чтобы получить
y – (-1) = 1/2 ( x – 2)
y = 1/2 x – 2
и
y
y = -1/2 x
Для фокусов используйте уравнение
в 2 = а 2 + б 2
c 2 = 2 2 + 1 2 = 5
так что
Фокусы находятся в точках
Б.
Раствор
Так как только один из двух членов возводится в квадрат, это парабола. Мы можем умножьте все три члена на 4, чтобы получить
4 x 2
или
y – 6 = -4 x 2
Парабола имеет вершину (0,6). У нас есть
1/4 p = -4
так что
р = -1/16
, чтобы фокус был на (0,95/16) а директриса это линия г = 97/16.
С.
Раствор
Так как x и y являются в квадрате, это не парабола. Так как коэффициенты этих квадратов члены и положительны, и различны, это эллипс. Чтобы найти центр, нам нужно заполнить квадрат для г -термины. Находим
Таким образом, нам нужно прибавить 9 к обеим сторонам.
4 х 2 + ( у – 3) 2 = 36
Наконец, разделите на 36, чтобы получить
.
Центр эллипса находится в точке (0,3). Мы есть a = 6 и b = 3. Вершины находятся в (0,-3) и (0,9). Чтобы найти фокусы, мы используем
в 2 = а 2 – б 2
c 2 = 36 – 9 = 27
Фокусы находятся в точках
Проблема 5
Решите каждую систему уравнений с помощью матриц. Если в системе нет решение говорят, что оно несовместимо.
А.
Раствор
Сначала настройте соответствующую расширенную матрицу.
Затем выполните операции со строками, чтобы привести их в форму эшелона строк:
Затем поместите это обратно в форму уравнения
x – 2 y + 5 z = 5
y – 13/5 z = -11/5
z = 2
Теперь подставьте обратно, чтобы получить
г – 13/5 (2) = -11/5
г = 3
x – 2(3) + 5(2) = 5
x = 1
Решение (1,3,2).
Б.
Раствор
Сначала настройте соответствующую расширенную матрицу.
Затем выполните операции со строками, чтобы привести их в форму эшелона строк:
Затем поместите это обратно в форму уравнения
x – 2 y + z = 3
г + г = 0
0 = 4
Так как последнее равенство является противоречием, то нет решения этого система уравнений.
Проблема 6
Найдите определитель следующей матрицы (без использования калькулятора).
Раствор
Расширить на первую строку:
Теперь просто найдите определитель каждой из матриц 2×2:
2[(5)(-2) – (0)(6)] + [(4)(-2) – (0)(1)] + 3[(4)(6) – (5)(1) )]
= 2[-10] + [-8] + 3[19]
= -20 – 8 + 57
= 29
Проблема 7
Используйте правило Крамера (без использования калькулятора), если оно применимо к
решить систему.
Раствор
Напомним, что правило Крамера дает решение в терминах определителей.
Теперь просто вычислите определители, чтобы получить
Так что
x = -1, y = -3
Проблема 8
Учитывая, что
Используйте свойства определителей, чтобы найти
Раствор
Обратите внимание, что вторая матрица получается путем взятия первой матрицы и первое переключение первого и третьего рядов:
Переключение строк умножает определитель на -1, следовательно, определитель этой второй матрицы равен -5. Затем замените первую строку на сумму первой строки и (-2) раз вторую строку, чтобы получить:
Эта операция со строками оставляет определитель без изменений. Итак, определитель
этой третьей матрицы по-прежнему -5.
Окончательно
умножьте вторую матрицу на 3, чтобы получить
матрица цели. Умножение строки на константу умножает
определитель от той же константы. Таким образом, определитель целевой матрицы
(3)(-5) = -15
Проблема 9
A. Найти обратную матрицу
Раствор
Дополняем эту матрицу тождеством и помещаем в сокращенную строку эшелонированная форма.
Следовательно, обратная матрица является правой частью:
B. Используйте результат из части A. для решения системы:
Раствор
Мы можем думать об этой системе уравнений как о матричном уравнении
Топор = б
Где b — правая часть уравнений. Это имеет решение
x = А -1 б
или
Проблема 10
График системы неравенств
Раствор
Сначала нарисуйте два уравнения, заметив, что они оба являются параболами:
г 2 > х
г < 4 - х 2
Тогда обратите внимание, что первое неравенство будет ложным для больших
x , поэтому решение должно лежать слева от первого
график.
Второй график верен для больших y , поэтому
решение лежит над вторым графиком. Мы также можем использовать контрольные точки.
Выбираем точку в каждой из областей, вырезанных графиками. У нас есть
(0,5): Второе неравенство ложно, так как 5 < 4 - 0 2 является ложным.
(5,0): первое неравенство ложно, так как 0 2 > 5 ложно.
(1,0): Первое неравенство ложно, так как 0 2 > 1 неверно.
(0,2): оба неравенства истинный. Следовательно, эта точка находится в области решения, которая является областью с наклонными линиями.
Решение показано ниже.
Проблема 11
Музей науки строит шепчущую галерею, которая будет 150 футов в длину. Очаги расположены 50 метров от центра. Как высоко будет потолок в центре?
Раствор
Шепчущая галерея имеет форму эллипса (или, по крайней мере,
полуэллипс).
Помогает набросать картинку
У нас есть
a = 75, c = 50
Теперь просто найдите b , то есть высоту галереи. У нас есть
Можно сделать вывод, что потолок примерно 55,9 футов в высоту.
Проблема 12
Джордан и Йеша имеют кредиты как в Bank of America, так и в Wells. Фарго. В первой таблице указаны суммы займа, во второй – процентная ставка в месяц.
|
|
||||||||||||||||
A.
Напишите матрицу A для сумм, заимствованных
каждому студенту и матрица B для ежемесячных процентов
ставки.
Раствор
A и B просто матрицы, соответствующие первой и второй таблицам.
B. Вычислить AB и интерпретировать результаты с использованием полного предложения.
Умножаем
Мы можем сказать, что общая сумма процентов, которую заплатит Джордан, равна 104 доллара, а общий процент, который заплатит Еша, составляет 0,01 доллара США.
Проблема 13
Диетолог хочет приготовить смесь злаков, содержащую не менее семи граммов
клетчатки и не менее 200 граммов углеводов.
Первой кашей смеси будут изюмные отруби, содержащие
5 грамм клетчатки на чашку и
100 граммов углеводов на чашку. Стоимость одной чашки изюма
30 центов. Второй крупой смеси будет
пшеничный чек, который содержит 3 грамма клетчатки и
110 граммов углеводов на чашку.
Одна чашка
пшеничный чек стоит 25 центов. Сколько чашек
каждый тип хлопьев должен быть в смеси, чтобы свести к минимуму стоимость
зерновой?
Раствор
Мы маркируем переменные:
x = стаканы изюмных отрубей
y = чашки пшеничных хлопьев
Информацию дает система неравенств
5 x + 3 y > 7
100 х + 110 у > 200
х > 0
г > 0
и уравнение оптимизации
C = 30 x + 25 y
График показан ниже
Минимальная стоимость должна быть в одной из вершин. Мы вычисляем стоимость для каждой из вершин, чтобы увидеть, какая из них наименьшая:
30(2) + 25(0) = 60
30(0,68) + 25(1,2) = 50,4
30(0) + 25(2,33) = 58,25
Так как второй балл соответствует наименьшей стоимости, диетолог
следует использовать 0,68 стакана изюмных отрубей и
1,2 стакана
пшеничный чек.