Матрицы решение: Онлайн решение задач по математике. Матрицы

Содержание

1.3.4. Примеры решения задач по теме «Обратная матрица»

Задача 1.

Найти обратную матрицу для матрицы

И проверить выполнение условий ­А А-1 = А-1А = Е.

Указание

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Решение

Убедимся, что матрица А – невырожденная. ΔА = 1·4 – 2·(-1) ≠ 0, следовательно, А-1 существует.

Вычислим алгебраические дополнения к элементам А:

Применим способ вычисления обратной матрицы:

.

Не забудьте, что обратная матрица образована из алгебраических дополнений к элементам Транспонированной матрицы!

Найдем произведения ­А А-1 и А-1А:

Таким образом, найденная матрица А-1 отвечает определению обратной матрицы.

Ответ: .

Задача 2.

Найти обратную матрицу для матрицы

.

Указание

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Решение

Следовательно, матрица А невырожденная, и обратная матрица существует.

Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Обратная матрица имеет вид:

Ответ: .

Задача 3.

Найти обратную матрицу для матрицы

.

Указание

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Решение

Вычислим определитель матрицы А разложением по первому столбцу:

.

Следовательно, обратная матрица для матрицы

А существует.

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Значит,

.

Ответ: .

Задача 4.

Найти обратную матрицу для матрицы

.

Указание

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Решение

.

Ответ:

Задача 5.

При каких X, Y, Z матрица

Является обратной к матрице

Указание

Необходимым условием того, что

В = А-1, является требование АВ = Е.

Решение

Проверим невырожденность матрицы А:

Необходимым условием того, что В = А-1, является требование АВ = Е.

Найдем АВ:

Для того, чтобы выполнялось условие АВ = Е, X, Y, Z должны быть решением системы уравнений

Проверим, будет ли равно единичной матрице произведение ВА:

Значит, при найденных значениях X, Y, Z В = А-1.

Ответ: X = -3, Y = -3, Z = 4.

< Предыдущая   Следующая >

Решение матричных уравнений — Журнал «Код»

Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях». 

Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано. 

Краткое содержание прошлых частей: 

  • Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности. 
  • Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел. 
  • Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше). 
  • Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
  • Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми. 
  • Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный. 

И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.

❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.

9 простых задач на математику

Шаг 1.

Упрощаем уравнение 

Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.

Приводим матричное уравнение к упрощённому виду

Шаг 2. Вводим единичную

матрицу 

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу. 

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 1001

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100-1

При перемножении этих двух чисел получится единица:
1001 × 100-1 = 100 × 0,01 = 1. 

Вот такое, только в мире матриц. 

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А-1. Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение: 

А-1 × А × Х = А-1 × В  

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись: 

А-1 × А = E — единичная матрица 

E × Х = А-1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А-1 × В — новая запись уравнения 

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B. 

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A-1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто. 

Шаг 3. Находим обратную матрицу

Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы: 

  1. Делим единицу на определитель матрицы A.  
  2. Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений. 
  3. Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.
Формула вычисления обратной матрицыПервое действие. Мы посчитали определитель и убедились, что он не равен нулю, — это значит, что у матричного уравнения есть вариант решения и можно продолжатьВторое действие, часть 1: получаем матрицу миноровВторое действие, часть 2: переводим матрицу миноров в транспонированную матрицу алгебраических дополнений

Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.

Третье действие: получаем обратную матрицу

Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А-1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу

Шаг 5. Проверяем уравнение

Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново. 

👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.

Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны

Ну и что

Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:

Этого котика не существует, а матрицы — существуют. 

Текст:

Александр Бабаскин

Редактура:

Максим Ильяхов

Художник:

Даня Берковский

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Мария Дронова

Соцсети:

Олег Вешкурцев

Перерабатываемые в растворе металлоорганические каркасы для мембран со смешанной матрицей с использованием пористых жидкостей

  • Артикул
  • Опубликовано:
  • Александр Кнебель ORCID: orcid. org/0000-0002-5866-1106 1,2 na1 ,
  • Анастасия Бавыкина ORCID: orcid.org/0000-0003-3456-7358
    2
    na1 ,
  • Шуво Джит Датта ORCID: orcid.org/0000-0001-5156-4234 3 na1 ,
  • Лев Сандерманн 1 na1 ,
  • Луис Гарсон-Товар ORCID: orcid.org/0000-0003-0253-4041 2 ,
  • Юрий Лебедев ORCID: orcid.org/0000-0003-2985-6876 2 ,
  • Сара Дурини 2 ,
  • Рафия Ахмад 4 ,
  • 9009 3
  • Козлов 9 Сергей М.0004
  • Genrikh Shterk 2 ,
  • Madhavan Karunakaran 3 ,
  • Ionela Daniela Carja 3 ,
  • Dino Simic 5
    ,
  • Irina Weilert 5 ,
  • Manfred Klüppel 5 ,
  • Ульрих Гизе 5 ,
  • Луиджи Кавалло ORCID: orcid. org/0000-0002-1398-338X 4 ,
  • Магнус Рюпинг ORCID: orcid.org/0000-0003-4580-5227 4 ,
  • Мохамед Эддауди ORCID: orcid.org/0000-0003-1916-9837 3 ,
  • Юрген Каро ORCID: orcid.org/0000-0003-0931-085X 1,6 и
  • Хорхе Гаскон ORCID: orcid.org/0000-0001-7558-7123
    2
     

Природные материалы том 19 , страницы 1346–1353 (2020)Процитировать эту статью

  • 16k обращений

  • 106 цитирований

  • 147 Альтметрический

  • Сведения о показателях

Предметы

  • Химическая инженерия
  • Химия

Abstract

Сочетание четко определенных молекулярных полостей и химической функциональности делает кристаллические пористые твердые тела привлекательными для множества технологических применений, от катализа до разделения газов. Однако, в отличие от других широко применяемых синтетических твердых материалов, таких как полимеры, отсутствие технологичности кристаллических расширенных твердых материалов затрудняет их применение. В этой работе мы демонстрируем, что металлоорганические каркасы, тип высококристаллического пористого твердого тела, можно сделать пригодными для обработки в растворе путем функционализации внешней поверхности с использованием N-гетероциклических карбеновых лигандов. Селективная функционализация внешней поверхности относительно крупных наночастиц (250 нм) хорошо известного цеолитного имидазолатного каркаса ZIF-67 позволяет стабилизировать перерабатываемые дисперсии, демонстрирующие постоянную пористость. Полученные пористые жидкости типа III могут быть либо непосредственно использованы в качестве жидких адсорбентов, либо подвергнуты совместной обработке с современными полимерами для получения высоконагруженных мембран со смешанной матрицей с превосходными механическими свойствами и выдающимися характеристиками при сложном разделении пропилена из пропан. Мы ожидаем, что этот подход может быть распространен на другие металлоорганические каркасы и другие приложения.

Это предварительный просмотр содержимого подписки, доступ через ваше учреждение

Соответствующие статьи

Статьи открытого доступа со ссылками на эту статью.

  • Пористая ионная жидкость II типа на основе металлоорганических каркасов, позволяющая идентифицировать L-триптофан

    • Чжусю Чжан
    • , Баолинь Ян
    •  … Сюй Цяо

    Связь с природой Открытый доступ 29 апреля 2022 г.

Варианты доступа

Подписаться на журнал

Получите полный доступ к журналу на 1 год

118,99 €

всего 9,92 € за выпуск

Подписка

Расчет налогов будет завершен во время оформления заказа.

Купить статью

Получите ограниченный по времени или полный доступ к статье на ReadCube.

32,00 $

Купить

Все цены указаны без учета стоимости.

Рис. 1: Сравнение оригинального и модифицированного ZIF-67. Рис. 2: Энергии замещения линкера. Рис. 3: Кривые адсорбции газа и проскока смеси пропилена/метана на пористой жидкости. Рис. 4: Физические характеристики мембран. Рис. 5: Характеристики газопроницаемости.

Доступность данных

Все данные, полученные и/или проанализированные в этом исследовании, включены в эту опубликованную статью и ее дополнительный информационный файл, а также доступны у соответствующего автора (Хорхе Гаскона) по разумному запросу.

Ссылки

  1. “>

    Бавыкина А. и Гаскон Дж. Эффективное наносито.

    Нац. Матер. 17 , 1057–1058 (2018).

    КАС Google ученый

  2. Rogge, S.M.J. et al. Металлоорганические и ковалентные органические каркасы как одноцентровые катализаторы. Хим. соц. Ред. 46 , 3134–3184 (2017).

    КАС Google ученый

  3. Бейкер, Р. В. и Лоу, Б. Т. Материалы газоразделительной мембраны: перспектива. Макромолекулы 47 , 6999–7013 (2014).

    КАС Google ученый

  4. Дечник Дж., Гаскон Дж., Дунан С.Дж., Джаниак С. и Сумби С.Дж. Мембраны со смешанной матрицей.

    Анжю. хим. Междунар. Эд. 56 , 9292–9310 (2017).

    КАС Google ученый

  5. Chung, T. -S., Jiang, L.Y., Li, Y. & Kulprathipanja, S. Мембраны со смешанной матрицей (MMM), содержащие органические полимеры с диспергированными неорганическими наполнителями для газоразделения. Прогр. Полим. науч. 32 , 483–507 (2007).

    КАС Google ученый

  6. Seoane, B. et al. Мембраны со смешанной матрицей на основе металлоорганического каркаса: решение для высокоэффективного улавливания CO

    2 ? Хим. соц. Ред. 44 ​​ , 2421–2454 (2015).

    КАС Google ученый

  7. Адамс Р., Карсон К., Уорд Дж., Танненбаум Р. и Корос В. Мембраны со смешанной матрицей на металлоорганическом каркасе для разделения газов. Микропористый мезопористый материал. 131 , 13–20 (2010).

    КАС Google ученый

  8. Бавыкина А.

    , Кадью А. и Гаскон Дж. Пористые жидкости на основе пористых каркасов, металлоорганических каркасов и металлоорганических полиэдров. Координ. хим. 386 , 85–95 (2019).

    КАС Google ученый

  9. Шан, В. и др. Новый класс пористых жидкостей III типа: перспективная платформа для рационального регулирования газосорбционных свойств. Приложение ACS Матер. Интерфейсы 10 , 32–36 (2018).

    КАС Google ученый

  10. Коста Гомес, М., Пизон, Л., Червинка, К. и Падуя, А. Пористые ионные жидкости или жидкие металлоорганические каркасы? Анжю. хим. Междунар. Эд. 57 , 11909–11912 (2018).

    КАС Google ученый

  11. Дево, А. и др. Солюбилизация нанокристаллов цеолита L, насыщенных красителем. Микропористый мезопористый материал. 90 , 69–72 (2006).

    КАС Google ученый

  12. Crudden, C.M. et al. Сверхстабильные самоорганизующиеся монослои N-гетероциклических карбенов на золоте. Нац. хим. 6 , 409–414 (2014).

    КАС Google ученый

  13. Man, R.W.Y. et al. Ультрастабильные наночастицы золота, модифицированные бидентатными N-гетероциклическими карбеновыми лигандами. Дж. Ам. хим. соц. 140 , 1576–1579 (2018).

    КАС Google ученый

  14. Хопкинсон, М. Н., Рихтер, К., Шедлер, М. и Глориус, Ф. Обзор N-гетероциклических карбенов. Природа 510 , 485–496 (2014).

  15. Стандартная справочная база данных NIST, номер 20 (Национальный институт стандартов и технологий, 2000 г.).

  16. “>

    Li, X., Gao, X., Ai, L. & Jiang, J. Механизм взаимодействия и адсорбции Cr(VI) микрокристаллами цеолитового имидазолата каркас-67 из водного раствора. Хим. англ. J. 274 , 238–246 (2015).

    КАС Google ученый

  17. Ду, Х.-Д. и другие. Обширная и селективная адсорбция ZIF-67 по отношению к органическим красителям: эффективность и механизм. J. Коллоидный интерфейс Sci. 506 , 437–441 (2017).

    КАС Google ученый

  18. Лин К.-Ю. А. и Чанг, Х.-А. Сверхвысокая адсорбционная способность цеолита имидазольного каркаса-67 (ЗИФ-67) по удалению малахитовой зелени из воды. Хемосфера 139 , 624–631 (2015).

    КАС Google ученый

  19. Гросс, А. Ф., Шерман, Э. и Вайо, Дж. Дж. Водный синтез кобальта и содалита цинка, цеолита, имидизолята при комнатной температуре. Далтон Транс. 41 , 5458–5460 (2012).

    КАС Google ученый

  20. Zhu, Y. et al. Распутывание поверхностных и межфазных структур металлоорганического каркаса методом просвечивающей электронной микроскопии. Нац. Матер. 16 , 532–536 (2017).

    КАС Google ученый

  21. Ся, В. и др. Четко определенные углеродные полиэдры, полученные из нанометаллоорганических каркасов для восстановления кислорода. Дж. Матер. хим. А 2 , 11606–11613 (2014).

    КАС Google ученый

  22. Фаливен Л., Козлов С. М. и Кавалло Л. Наведение мостов между вычислительными инструментами в гетерогенном и гомогенном катализе. ACS Катал. 8 , 5637–5656 (2018).

    КАС Google ученый

  23. “>

    О’Рейли Н., Гири Н. и Джеймс С. Л. Пористые жидкости. Хим. Евро. J. 13 , 3020–3025 (2007).

    Google ученый

  24. Джеймс, С. Л. Прорыв плотины для пористых жидкостей. Доп. Матер. 28 , 5712–5716 (2016).

    КАС Google ученый

  25. Gaillac, R. et al. Жидкометаллорганические каркасы. Нац. Матер. 16 , 1149–1154 (2017).

    КАС Google ученый

  26. Мело Г., Гири Н., Дэвидсон К. Э., Джеймс С. Л. и Дель Пополо М. Г. Проектирование и понимание постоянной микропористости в жидкостях. Физ. хим. хим. физ. 16 , 9422–9431 (2014).

    КАС Google ученый

  27. Zhang, J. et al. Пористые жидкости: перспективный класс сред для разделения газов. Анжю. хим. Междунар. Эд. 54 , 932–936 (2015).

    КАС Google ученый

  28. Ма, Л. и др. Координационные клетки как постоянно пористые ионные жидкости. Нац. хим. 12 , 270–275 (2020).

    КАС Google ученый

  29. Гири, Н. и др. Жидкости с постоянной пористостью. Природа 527 , 216–220 (2015).

    КАС Google ученый

  30. Hasell, T. et al. Контроль кристаллизации пористых органических каркасов: молекулярные аналоги изоретикулярных каркасов с использованием формоспецифических направляющих растворителей. Дж. Ам. хим. соц. 136 , 1438–1448 (2014).

    КАС Google ученый

  31. Лю, С. и др. Пористая жидкость: стабильный коллоид ZIF-8 в ионной жидкости с постоянной пористостью. Ленгмюр 34 , 3654–3660 (2018).

    КАС Google ученый

  32. Сочи Т. Неньютоновские течения в пористых средах. Полимер 51 , 5007–5023 (2010).

    КАС Google ученый

  33. Дечник, Дж., Сумби, С.Дж. и Джаниак, С. Повышение характеристик мембраны со смешанной матрицей с добавками металлоорганического каркаса. Кристалл. Рост Des. 17 , 4467–4488 (2017).

    КАС Google ученый

  34. Крокидас, П. и др. Каркас ZIF-67: перспективный новый кандидат для разделения пропилена/пропана. Экспериментальные данные и молекулярное моделирование. J. Phys. хим. C. 120 , 8116–8124 (2016).

    КАС Google ученый

  35. Чжан К., Дай Ю. , Джонсон Дж. Р., Карван О. и Корос В. Дж. Высокоэффективная смешанная матричная мембрана ZIF-8/6FDA-DAM для разделения пропилена/пропана. Дж. член. науч. 389 , 34–42 (2012).

    КАС Google ученый

  36. Ан, Х., Пак, С., Квон, Х.Т., Чон, Х.-К. & Lee, J.S. Новый превосходный конкурент для исключительного разделения пропилена/пропана: ZIF-67, содержащий мембраны со смешанной матрицей. J. Член. науч. 526 , 367–376 (2017).

    КАС Google ученый

  37. Лю, Ю. и др. Эффекты молекулярного сита с контролируемой конформацией для мембранного разделения пропилена/пропана. Доп. Матер. 31 , 1807513 (2019).

    Google ученый

  38. Лю Г. и др. Использование фторированных мембран на основе MOF для одновременного удаления H 2 S и CO 2 из природного газа. Анжю. хим. Междунар. Эд. 57 , 14811–14816 (2018).

    КАС Google ученый

  39. Лю, Д. и др. Рациональное соответствие между MOF и полимерами в мембранах со смешанной матрицей для разделения пропилена/пропана. Хим. англ. науч. 204 , 151–160 (2019).

    КАС Google ученый

  40. Yu, J., Wang, C., Xiang, L., Xu, Y. & Pan, Y. Enhanced C 3 H 6 /C 3 H 8 (винилацетатная) мембрана, смешанная с нанокристаллами ZIF-8. Хим. англ. науч. 179 , 1–12 (2018).

    КАС Google ученый

  41. Lin, R., Ge, L., Diao, H., Rudolph, V. & Zhu, Z. Мембраны со смешанной матрицей, селективные к пропилену/пропану, с наполнителем MOF/CNT с разветвленными виноградными ветвями. Дж. Матер. хим. А 4 , 6084–6090 (2016).

    КАС Google ученый

  42. Аскари, М. и Чанг, Т.-С. Очистка природного газа и разделение олефинов/парафинов с использованием термически сшиваемых мембран со смешанной матрицей из полиимида/ZIF-8. Дж. член. науч. 444 , 173–183 (2013).

    КАС Google ученый

  43. Квон, Х.Т., Чон, Х.-К., Ли, А.С., Ан, Х.С. и Ли, Дж.С. Гетероэпитаксиально выращенные цеолитно-имидазолатные каркасные мембраны с беспрецедентными характеристиками разделения пропилена/пропана. Дж. Ам. хим. соц. 137 , 12304–12311 (2015).

    КАС Google ученый

  44. Чжоу, С. и др. Парализованная мембрана: управляемый током синтез металлоорганического каркаса с заостренным разделением пропен/пропан. Науч. Доп. 4 , eaau1393 (2018).

    КАС Google ученый

  45. Вийманс, Дж. Г. и Бейкер, Р. В. Модель раствор-диффузия: обзор. J. Член. науч. 107 , 1–21 (1995).

    КАС Google ученый

  46. Купер А. И. Пористые молекулярные твердые тела и жидкости. АКЦ Цент. науч. 3 , 544–553 (2017).

    КАС Google ученый

  47. Крафтщик Б., Корос В. Дж., Джонсон Дж. Р. и Карван О. Плотнопленочные полиимидные мембраны для разделения агрессивных кислых газов. Дж. Член. науч. 428 , 608–619 (2013).

    КАС Google ученый

Скачать ссылки

Благодарности

Л.С., А.К. и JC признают поддержку Deutsche Forschungsgemeinschaft в приоритетной программе SPP 1928 COORNETs (Координационные сети: структурный элемент функциональных систем), грант №. CA 147/20-1 (JC). Р.А., С.К. и Л.К. выразить признательность Лаборатории суперкомпьютеров KAUST за вычислительные ресурсы (Cray XC40, ShaheenII). Мы благодарим П. М. Бхатта за помощь в исследовании кинетики адсорбции пропилена/пропана. Университет науки и технологий имени короля Абдаллы отмечен за финансовую поддержку.

Информация об авторе

Примечания автора

  1. Эти авторы внесли равный вклад: Александр Кнебель, Анастасия Бавыкина, Шуво Джит Датта, Лион Сандерманн.

Authors and Affiliations

  1. Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry, Leibniz University Hannover, Hannover, Germany

    Alexander Knebel, Lion Sundermann & Jürgen Caro

  2. Advanced Catalytic Materials, KAUST Catalysis Center, King Abdullah University наук и технологий, Тувал, Саудовская Аравия

    Александр Кнебель, Анастасия Бавыкина, Луис Гарзон-Товар, Юрий Лебедев, Сара Дурини, Генрих Штерк и Хорхе Гаскон

  3. Дизайн функциональных материалов, открытие и разработка, Центр перспективных мембран и пористых материалов, Университет науки и технологии им. короля Абдуллы , Тувал, Саудовская Аравия

    Шуво Джит Датта, Мадхаван Карунакаран, Ионела Даниэла Карха и Мохамед Эддауди

  4. Лаборатория вычислительной химии, Катализный центр KAUST, Научно-технический университет имени короля Абдуллы, Тувал, Саудовская Аравия

    Рафия Ахмад, Сергей М. Козлов, Луиджи Кавалло и Магнус Рюпинг

  5. Немецкий институт каучуковых технологий e. V., Hannover, Germany

    Dino Simic, Ирина Вейлерт, Манфред Клуппель и Ульрих Гиз

  6. Школа химии и химической инженерии, Южно -Китайский университет, Гуанчжоу, Китай

    Jürgen Caro

855555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555559н

.

  • Александр Кнебель

    Посмотреть публикации автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Анастасия Бавыкина

    Посмотреть публикации автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Shuvo Jit Datta

    Посмотреть публикации автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Lion Sundermann

    Посмотреть публикации автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Луис Гарсон-Товар

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Юрий Лебедев

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Sara Durini

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Академия

  • Рафия Ахмад

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Сергей М. Козлов

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Генрих Штерк

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Madhavan Karunakaran

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Ionela Daniela Carja

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Dino Simic

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Ирина Вейлерт

    Посмотреть публикации автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Manfred Klüppel

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Ulrich Giese

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Luigi Cavallo

    Посмотреть публикации автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Magnus Rueping

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Mohamed Eddaoudi

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Jürgen Caro

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Академия

  • Хорхе Гаскон

    Просмотр публикаций автора

    Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  • Contributions

    J. G. и А.К. задумал и разработал проект и руководил сотрудничеством между KAUST, LUH и DIK. А.К., Л.С., Л.Г.-Т. и А.Б. отвечали за синтез и функционализацию частиц. А.К. и Л.С. выполнили измерения рентгеновской дисперсии, SEM и ATR-FTIR. А.Б. и С.Дж.Д. были ответственны за измерения адсорбции. А.Б., Л.Г.-Т. и С.Д. выполнили прорывные измерения. Д. С. и И. В. выполняли и помогали с интерпретацией измерений динамической вязкости. Г. С. провел измерения методом рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии. Л.Г.-Т. провел измерения ЯМР. Ю.Л. предложил использование и синтезировал карбены. С.Д. получены изотермы адсорбции на жидких образцах. С.Дж.Д. и MMM, разработанные ME. С.Дж.Д. изготовили и проанализировали МММ и измерили изотермы сорбции пропилена и пропана на порошке МОК, МММ и полимерах. С.Дж.Д. рассчитали растворимость и диффузионную способность и описали результаты МММ в рукописи. М.К. провели тесты на проницаемость мембраны. I.D.C. синтезированный полимер 6FDA-DHTM-Durene. I.D.C. и С. Дж.Д. охарактеризовали МММ с помощью SEM, рентгеновской дифракции, термогравиметрического анализа и ATR-FTIR. Р.А., С.К. и Л.К. выполнено моделирование теории функционала плотности. А.К., Л.С., А.Б., Дж.К., С.Дж.Д., Р.А., С.К., Л.К. и Дж.Г. составил бумагу. Все авторы внесли свой вклад в написание рукописи.

    Авторы переписки

    Переписка с Александр Кнебель, Анастасия Бавыкина, Юрий Лебедев или Хорхе Гаскон.

    Заявление об этике

    Конкурирующие интересы

    Авторы не заявляют об отсутствии конкурирующих интересов.

    Дополнительная информация

    Примечание издателя Springer Nature остается нейтральной в отношении юрисдикционных претензий в опубликованных картах и ​​институциональной принадлежности.

    Дополнительная информация

    Дополнительная информация

    Дополнительное обсуждение, рис. 1–54 и таблицы 1–14.

    Дополнительное видео 1

    СЭМ-реконструкция сфокусированного ионного пучка МММ ZIF-67-IDip/6FDA-DAM.

    Права и разрешения

    Перепечатка и разрешения

    Об этой статье

    Эта статья цитируется

    • Пористая ионная жидкость II типа на основе металлоорганических каркасов, позволяющая идентифицировать L-триптофан

      • Чжусю Чжан
      • Баолинь Ян
      • Сюй Цяо

      Nature Communications (2022)

    • Микропористая вода с высокой растворимостью газов

      • Дэниел П. Эрдоси
      • Малия Б. Венни
      • Джарад А. Мейсон

      Природа (2022)

    • Металлоорганические каркасы и ковалентные органические каркасы как разрушающие мембранные материалы для энергосберегающего газоразделения

      • А. Кнебель
      • Дж. Каро

      Природа Нанотехнологии (2022)

    • Электрохимический синтез сплошных металлоорганических каркасных мембран для разделения углеводородов

      • Шэн Чжоу
      • Усама Шеха
      • Мохамед Эддауди

      Энергия природы (2021)

    Подробнее о расширенной матрице

    Онлайн-заметки Пола
    Главная / Алгебра / Системы уравнений / Подробнее о расширенной матрице

    Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

    Уведомление для мобильных устройств

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 7.4: Еще о расширенной матрице

    В первом разделе этой главы мы видели, что при решении систем двух уравнений есть несколько особых случаев. Мы увидели, что решения вообще не должно быть и что на самом деле у нас может быть бесконечно много решений. В этом разделе мы собираемся обобщить это на общие системы уравнений и посмотрим, как поступать в этих случаях при использовании расширенных матриц для решения системы.

    Сначала приведем следующий факт.

    Факт

    Для любой системы уравнений существует ровно три возможности решения.

    1. Решения не будет.
    2. Будет ровно одно решение.
    3. Решений будет бесконечно много.

    Это именно то, что мы обнаружили, когда рассматривали два уравнения. Просто оказалось, что не имеет значения, сколько у нас уравнений. Остаются только эти три возможности.

    Теперь давайте посмотрим, как мы можем определить первую и последнюю возможность, когда используем для решения метод расширенной матрицы. В предыдущем разделе мы заявили, что хотим использовать операции со строками для преобразования расширенной матрицы в следующую форму:

    . \[\ left[ {\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & h \\ 0 & 1 & k \ end {array}} \ right] \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {or}} \ hspace {0,25 дюйма} \ left [ {\ begin {массив} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & p \\ 0 & 1 & 0 & q \\ 0 & 0 & 1 & r \ end {массив}} \ right] \]

    в зависимости от количества уравнений в системе. Оказывается, надо было добавить к этой инструкции квалификатор «если возможно», потому что не всегда это возможно сделать. На самом деле, если это невозможно представить в одной из этих форм, мы будем знать, что находимся либо в первой, либо в последней возможности решения системы.

    Прежде чем перейти к некоторым примерам, давайте сначала рассмотрим, как мы узнали, какое решение было основано на этих формах расширенной матрицы. Давайте поработаем со случаем двух уравнений.

    С,

    \[\ влево [ {\ begin {массив} {rr | r} 1 & 0 & h \\ 0 & 1 & k \ end {массив}} \ right] \]

    — это расширенная матрица, которую мы всегда можем преобразовать обратно в уравнения. Каждая строка представляет собой уравнение, а первый столбец — это коэффициент при \(x\) в уравнении, а второй столбец — это коэффициент при \(y\) в уравнении. Последний столбец — это константа, которая будет находиться в правой части уравнения.

    Итак, если мы сделаем это для этого случая, мы получим

    \[\begin{align*}\left( 1 \right)x + \left( 0 \right)y & = h\hspace{0. 25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\, x = h\\ \left( 0 \right)x + \left( 1 \right)y & = k\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,y = k \конец{выравнивание*}\]

    , и это именно то, о чем мы говорили в предыдущем разделе.

    Идея превращения расширенной матрицы обратно в уравнения будет важна в следующих примерах.

    Говоря об этом, давайте поработаем над парой примеров. Мы начнем с двух систем уравнений, которые мы рассмотрели в первом разделе, дающих частные случаи решений.

    Пример 1 Используйте расширенные матрицы для решения каждой из следующих систем.

    1. \(\begin{align*}x – y &= 6\\ – 2x + 2y & = 1\end{align*}\)
    2. \(\begin{align*}2x + 5y &= – 1\\ – 10x – 25y & = 5\end{align*}\)

    Показать все решения Скрыть все решения

    a \(\begin{align*}x – y &= 6\\ – 2x + 2y & = 1\end{align*}\) Показать решение

    Так вот, мы уже разобрались с этим, поэтому знаем, что у этой системы нет решения. Зная это, давайте посмотрим, что дает нам метод расширенной матрицы, когда мы пытаемся его использовать.

    Начнем с расширенной матрицы.

    \[\require{color} \left[ {\begin{array}{rr|r}1&{ – 1}&6\\{\color{Red} – 2}&2&1\end{array}} \right]\]

    Обратите внимание, что у нас уже есть 1 в верхнем левом углу, поэтому нам не нужно ничего с этим делать. Итак, нам нужно преобразовать -2 в 0.

    \[\require{color} \left[ {\begin{array}{rr|r}1&{ – 1}&6\\{\color{Red} – 2}&2&1\end{array}} \right]\begin {array}{*{20}{c}}{{R_2} + 2{R_1} \to {R_2}}\\ \to\end{array}\left[ {\begin{array}{rr|r} 1&{ – 1}&6\\0&{\color{Red} 0}&{13}\end{массив}} \right]\]

    Теперь следующим шагом должно стать получение единицы в правом нижнем углу, но это невозможно сделать, не изменив ноль в левом нижнем углу. Это проблема, потому что у нас должен быть ноль в этом месте, а также единица в правом нижнем углу. Это говорит нам о том, что невозможно представить эту расширенную матричную форму.

    Теперь вернемся к уравнениям и посмотрим, что у нас получилось в этом случае.

    \[\begin{align*}x – y & = 6\\ 0 & = 13\,\,\,???\end{align*}\]

    Первая строка преобразуется обратно в первое уравнение. Однако вторая строка снова превращается в бессмыслицу. Мы знаем, что это неправда, а значит, решения нет. Помните, что если мы достигнем точки, в которой у нас есть уравнение, которое просто не имеет смысла, у нас не будет решения.

    Обратите внимание, что если бы мы получили

    \[\ влево [ {\ begin {массив} {rr | r} 1 & { – 1} & 6 \\ 0 & 1 & 0 \ end {массив}} \ right] \]

    все было бы в порядке, так как последняя строка вернет уравнение \(y = 0\), так что не путайте этот случай с тем, что мы на самом деле получили для этой системы.

    b \(\begin{align*}2x + 5y &= – 1\\ – 10x – 25y & = 5\end{align*}\) Показать решение

    В этом случае мы знаем из первого раздела, что существует бесконечно много решений этой системы. Посмотрим, что мы получим, если воспользуемся для решения методом расширенной матрицы.

    Вот расширенная матрица для этой системы.

    \[\require{color} \left[ {\begin{array}{rr|r}{\color{Red} 2}&5&{- 1}\\{- 10}&{- 25}&5\end{array }} \Правильно]\]

    В этом случае нам нужно сначала получить 1 в верхнем левом углу, и не будет никакого простого способа сделать это, чтобы избежать дробей, поэтому мы просто разделим первую строку на 2.

    \[\require{color} \left[ {\begin{array}{rr|r}{\color{Red} 2}&5&{- 1}\\{- 10}&{- 25}&5\end{array }} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}{R_1}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array} {rr|r} 1 & {\ frac {5} {2}} & { – \ frac {1} {2}} \\ {\ color {Red} – 10} & { – 25} & 5 \ end {array} } \Правильно]\]

    Теперь мы можем получить ноль в левом нижнем углу.

    \[\require{color} \left[ {\begin{array}{rr|r}1&{\frac{5}{2}}&{ – \frac{1}{2}}\\{\color{ Красный} – 10}&{ – 25}&5\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{{R_2} + 10{R_1} \to {R_2}}\ \ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rr|r}1&{\frac{5}{2}}&{ – \frac{1}{2}}\\0&{\ цвет {красный} 0}&0\конец{массив}} \право]\]

    Теперь, как и в первой части, мы никогда не сможем поставить 1 вместо красного нуля без изменения первого нуля в этой строке. Однако это не та чушь, что была в первой части. Вернемся к уравнениям.

    \[\begin{align*}x + \frac{5}{2}y & = – \frac{1}{2}\\ 0 & = 0\end{align*}\]

    Последнее уравнение является верным уравнением, поэтому в нем нет ничего неправильного. В этом случае у нас бесконечно много решений.

    Напомним, что нам еще нужно немного поработать, чтобы получить решение. Решаем одно из уравнений относительно одной из переменных. Однако обратите внимание, что если мы используем уравнение из расширенной матрицы, это очень легко сделать.

    \[x = – \frac{5}{2}y – \frac{1}{2}\]

    Затем мы запишем решение как

    \[\begin{array}{*{20}{c}}\begin{aligned}x & = – \frac{5}{2}t – \frac{1}{2}\\ y & = t\ end{align} &{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{где}}t{\mbox{ – любое действительное число}}}\ конец {массив}\]

    Мы получаем решения, выбирая \(t\) и подставляя его в уравнение для \(x\). Обратите внимание, что это НЕ тот набор уравнений, который мы получили в первом разделе. Это нормально. Когда существует бесконечно много решений, существует более одного способа написать уравнения, которые будут описывать все решения.

    Давайте подытожим то, что мы узнали из предыдущего набора примеров. Во-первых, если у нас есть строка, в которой все записи, кроме самой последней, равны нулю, а последняя запись НЕ равна нулю, то мы можем остановиться, и система не будет иметь решения.

    Далее, если мы получим строку со всеми нулями, то у нас будет бесконечно много решений. Затем нам нужно будет проделать немного больше работы, чтобы получить решение, а количество уравнений будет определять, сколько работы нам нужно сделать.

    Теперь посмотрим, как работают некоторые системы с тремя уравнениями. Случай без решения будет идентичен, но в случае с бесконечным решением придется немного поработать.

    Пример 2. Решите следующую систему уравнений, используя расширенные матрицы. \[\begin{align*}3x – 3y – 6z & = – 3\\ 2x – 2y – 4z & = 10\\ – 2x + 3y + z & = 7\end{align*}\]

    Показать решение

    Вот расширенная матрица для этой системы.

    \[\require{color} \left[ {\begin{array}{rrr|r}{\color{Red} 3}&{ – 3}&{ – 6}&{ – 3}\\2&{ – 2 }&{ – 4}&{10}\\{ – 2}&3&1&7\end{массив}} \right]\]

    Мы можем получить 1 в верхнем левом углу, разделив первую строку на 3.

    \[\require{color} \left[ {\begin{array}{rrr|r}{\color{Red} 3}&{ – 3}&{ – 6}&{ – 3}\\2&{ – 2 }&{ – 4}&{10}\\{ – 2}&3&1&7\end{массив}} \right]\begin{массив}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}{ R_1}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rrr|r}1&{- 1}&{- 2}&{- 1}\\{\color{Red} 2 }&{ – 2}&{ – 4}&{10}\\{\color{Red} – 2}&3&1&7\end{массив}} \right]\]

    Далее, мы получим два числа под этим, чтобы быть нулями.

    \[\require{color} \left[ {\begin{array}{rrr|r}1&{- 1}&{-2}&{-1}\\{\color{Red} 2}&{-2 }&{ – 4}&{10}\\{\color{Red} – 2}&3&1&7\end{массив}} \right]\begin{массив}{*{20}{c}}{{R_2} – 2{R_1} \to {R_2}}\\{{R_3} + 2{R_1} \to {R_3}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rrr|r} 1&{ – 1}&{ – 2}&{ – 1}\\0&0&0&{12}\\0&1&{ – 3}&5\end{массив}} \right]\]

    И мы можем остановиться. В средней строке все нули, за исключением последней записи, которая не равна нулю. Обратите внимание, что не имеет значения, какое число, если оно не равно нулю.

    Как только мы достигаем строки этого типа, мы знаем, что у системы не будет никаких решений, и поэтому нет никаких причин идти дальше.

    Хорошо, давайте посмотрим, как мы решим систему из трех уравнений с бесконечным числом решений методом дополненной матрицы. Этот пример также проиллюстрирует интересную идею о системах.

    Пример 3. Решите следующую систему уравнений, используя расширенные матрицы. \[\begin{align*}3x – 3y – 6z & = – 3\\ 2x – 2y – 4z & = – 2\\ – 2x + 3y + z & = 7\end{align*}\]

    Показать решение

    Обратите внимание, что эта система почти идентична системе из предыдущего примера. Единственное отличие состоит в числе справа от знака равенства во втором уравнении. В этой системе это -2, а в предыдущем примере было 10. Изменение этого числа полностью меняет тип решения, которое мы собираемся получить. Часто такое простое изменение не влияет на тип получаемого решения, но в некоторых редких случаях может.

    Поскольку первые два шага процесса идентичны предыдущей части, мы не будем их обсуждать. Они здесь.

    \[\require{color} \left[ {\begin{array}{rrr|r}{\color{Red} 3}&{ – 3}&{ – 6}&{ – 3}\\2&{ – 2 }&{ – 4}&{ – 2}\\{ – 2}&3&1&7\end{массив}} \right]\begin{массив}{*{20}{c}}{\frac{1}{3} {R_1}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rrr|r}1&{- 1}&{-2}&{-1}\\{\color{Red} 2}&{ – 2}&{ – 4}&{ – 2}\\{\color{Red} – 2}&3&1&7\end{массив}} \right]\begin{массив}{*{20}{c }}{{R_2} – 2{R_1} \to {R_2}}\\{{R_3} + 2{R_1} \to {R_3}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{ array}{rrr|r}1&{ – 1}&{ – 2}&{ – 1}\\0&0&0&0\\0&1&{ – 3}&5\end{массив}} \right]\]

    У нас есть ряд нулей, поэтому мы сразу знаем, что у нас есть бесконечно много решений. Однако, в отличие от случая с двумя уравнениями, мы не собираемся останавливаться. Похоже, с помощью пары операций со строками мы можем сделать второй столбец таким, каким он должен быть в окончательной форме, так что давайте сделаем это.

    \[\require{color} \left[ {\begin{array}{rrr|r}1&{- 1}&{- 2}&{- 1}\\0&{\color{Red} 0}&0&0\\ 0&1&{ – 3}&5\end{массив}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{{R_2} \to {R_3}}\\ \to \end{массив}\left [ {\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ color {Red} – 1} & { – 2} & { – 1} \\ 0 & 1 & { – 3} & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {массив}} \ right]\begin{array}{*{20}{c}}{{R_1} + {R_2} \to {R_1}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rrr |r}1&0&{ – 5}&4\\0&1&{ – 3}&5\\0&0&0&0\end{массив}} \right]\]

    В этом случае мы смогли сделать второй столбец таким, каким он должен быть, а третий столбец никогда не будет выглядеть правильно. Однако не исключено, что ситуация может быть обратной, и именно третий столбец мы сможем сделать правильным, а второй не будет выглядеть правильно.

    Оставить комментарий