|
Стр 1 из 3Следующая ⇒ Матрицы. Сумма, произведение на число, произведение матриц. Свойства произведения матриц. 1. Свойство ассоциативности умножения матриц . 2. Два свойства дистрибутивности и . 3. В общем случае операция умножения матриц некоммутативна . 4. Единичная матрица Е порядка n на n является нейтральным элементом по умножению, то есть, для произвольной матрицы А порядка p на n справедливо , а для произвольной матрицы А порядка n на p справедливо 4. Транспонированная матрица. Перестановки, четные и нечетные перестановки. Определение определителя. Вычисление определителей второго и третьего порядка. Перестановкой чисел 1, 2,…, n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего. Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Свойства определителей Вычисление определителя методом Гаусса. Алгебраические дополнения элементов определителя. Разложение определителя по строке или столбцу Обратная матрица. Существование обратной матрицы.
Определитель Вандермонда. Определителем Вандермонда называется определитель Он равен нулю тогда и только тогда, когда для некоторых . Миноры, разложение определителя по группе строк или столбцов. См. 8 Определитель произведения матриц. Пусть и — квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда т.е. определитель произведения матриц равен произведению их определителей. Доказательство теоремы проводится в три этапа. Во-первых, теорема справедлива, если один из сомножителей имеет простейший вид (см. рис. 1.6). Пусть, например, матрица квадратная л-го порядка имеет простейший вид: . Если , то в произведении последние строк будут нулевыми. Тогда по свойствам 1,2 определителей: и , т.е. равенство (2.6) верно. Если же , то — единичная матрица. Тогда
Второй этап — доказательство формулы (2.6) для элементарных матриц. Если матрица элементарная вида (1.1), (1.3) или (1.5), то ее определитель равен или 1 соответственно, а произведение есть элементарное преобразование столбцов матрицы . По свойствам 1, 3, 6 или 9 определителей убеждаемся в справедливости (2.6). Аналогично рассматривается случай, когда матрица элементарная вида (1.2), (1.4), (1.6).
Третий этап — доказательство формулы (2.6) для произвольных квадратных матриц n-го порядка. По теореме 1.2 любую квадратную матрицу можно представить в виде произведения простейшей (она является элементарной) и элементарных преобразующих матриц: и . Система линейных уравнений. Матрица системы. Векторная запись системы. Правило Крамера. Теорема 15.1 (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Доказательство. По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле где — алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому , откуда и следует утверждение теоремы. Однородная система линейных уравнений. Существование ненулевого решения. Свойства решений. Теорема 1. Линейная комбинация решений однородной системы (1) является решением системы (1). Доказательство. Пусть , и  Найдем .. является решением системы (1). Теорема 2. Разность двух решений неоднородной системы (2) является решением однородной системы (1). Доказательство. Пусть и – решения системы (2). Рассмотрим . , . . является решением однородной системы (1). Теорема 3. Сумма решения однородной системы (1) с решением неоднородной системы (8.2) есть решение неоднородной системы (2). Пусть– решение системы (1), – решение системы (2). Покажем, что – решение системы (2). Доказательство. , . . является решением неоднородной системы (2). Теорема Кронекера-Капелли.
В отрезках. Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: Иногда его называют каноническим уравнением прямой.
Общее уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом x = l t + x0 y = m t + y0 где (x0, y0) – координаты точки лежащей на прямой, {l, m} – координаты направляющего вектора прямой. По трем точкам, в отрезках. Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, компланарных этой плоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей. Пусть в координатном пространстве заданы: а) точка ; б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15). Требуется составить уравнение плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим — радиус-векторы точек и (рис.4.16). Условие компланарности векторов (рис.4.16) можно записать, используя свойства смешанного произведения Применяя формулу (1. Матрицы. Сумма, произведение на число, произведение матриц. 123Следующая ⇒ Читайте также: |
Действия над транспонированными матрицами
Это решение задается формулами
17), получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и компланарной двум неколлинеарным векторам:Матрицы и их свойства. Сумма и произведение матрицы. Квадратная матрица. Свойства операции умножения матриц
Глава 6 Матрицы и их свойства.
Определение 1: Матрицей называется прямоугольная таблица вида:
числа строк – m и число столбцов – n, называют размерами матрицы.
Определение 2:
Сij=aij+bij для всех ij.
Определение 3: Произведением матрицы А на число называется матрица А элементами которой являются аijдля всех i и j.
Определение 4: Пусть матрица А имеет размерность , а матрица В имеет размерность . Произведением матрицы А и матрицы
Сij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbkj
Определение 5: Матрица называется квадратной если число ее строк равно числу столбцов.
Определение 6: Квадратная матрица вида:
называется единичной матрицей Е.
Свойства операции умножения матриц.
1.
А(ВС)=(АВ)С – ассоциативность.
2. А(В+С)=АВ+АС – дистрибутивность.
3. (А+В)С=АС+ВС – дистрибутивность.
4. – где – число.
5. Если Е единичная матрица то АЕ=А и ЕВ=В.
Следует отметить, что операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности.
6. Любой матрице А размером можно сопоставить матрицу АT (матрица транспортированная к А) размером . Строки матрицы АT – это столбцы матрицы А с сохранением их порядка. Причем операция умножения матриц обладает следующим свойством.
Если матрица квадратичная то можно вычислить определитель такой матрицы. Причём с определителем матрицы тесно связано понятие невырожденной матрицы.
Определение 7: Квадратная матрица А называется
невырожденной если ее определитель не равен нулю.
Даем еще одно очень важное свойство матриц. Оно касается обратных матриц.
Определение 8: Квадратная матрица В размерности называется обратной, если АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Обозначается обратная матрица А-1 то есть В=А-1. Следующая теорема позволяет установить один из способов нахождения обратных матриц.
Теорема:
Для всякой невырожденной квадратной матрицы А существует обратная матрица причём она вычисляется по следующему правилу.
где - определитель n- ого порядка квадратной матрицы А размерности .
Аij – алгебраические дополнения к элементам определителя, причём следует отметить, что алгебраические дополнения вычисленные к элементам строки определителя располагаются в обратной матрице в соответствующем столбце.
Существует еще один алгоритм вычисления обратной матрицы, приведём его здесь:
1.
Приписать справа к матрице
А единичную матрицу соответствующих размеров .
2. Элементарными преобразованиями строк матрицу преобразовать к виду .
3. Получившаяся в первой половине матрица В и будет обратной для матрицы А то есть В=А-1.
Ниже будет рассмотрен пример применения этого алгоритма.
Рассмотрим примеры решения задач по теме главы 6.
Пример 1:Найти матрицу С, являющуюся суммой двух матриц А и В.
Решение:
.
Пример 2:
Найти произведение матрицы А на число , если:
Решение:
.
Пример 3:
Некоторая фирма занимается реализацией товара в трёх
районах. Данные об уровне продаж товаров по районам образуют матрицу А
размерности ,строки матрицы соответствуют
районам, а столбцы – видам товара.
Цены на реализуемые товары образуют матрицу С
столбец размерности .
Найти матрицу Р характеризующую суммарную продажу по районам, если :
Объемы продаж заданы в тыс. штук. Цены в тыс.руб/тыс.штук.
Решение:Для нахождения матрицы Р, необходимо матрицу А размером умножить на матрицу С размером . Проверяем соответствие размерностей перемножаемых матриц, количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы. Такие матрицы можно перемножать. Размерность результирующей матрицы Р получится .
Таким образом искомая матрица Р характеризующая суммарную продажу по районам имеет вид:
.
Пример 4:
Даны две матрицы А размерности и В размерности . Найти произведение матриц А.В и В.А если:
Решение:
Найдём произведение матриц А.
В. Проверяя
соответствие размерностей матрицы А и
матрицы В мы выделим, что
перемножение матриц возможно, причём в результате мы получаем матрицу размером , то есть матрицу, содержащую
только один элемент.
Теперь найдём произведение матриц В.А. Произведение таких матриц тоже возможно, так как размерность матрицы В , а матрицы А , причем результирующая матрица имеет размерность
Пример 5:
Найти обратную матрицу для заданной матрицы С если:
Решение:
1й способ:
Прежде чем находить С-1 определим, является ли матрица С невырожденной. Для этого найдём определитель матрицы С.
матрица является невырожденной поэтому существует обратная матрица С-1.
Для того чтобы воспользоваться теоремой о нахождении
обратной матрицы найдём алгебраические дополнения ко всем элементам
определителя.
Зная алгебраические дополнения и определитель матрицы запишем обратную матрицу С-1.
Правильность вычислений легко можно проверить если найти произведение матриц должна получится единичная матрица Е.
таким образом вычисления проведены верно.
2й способ:
Найдём обратную матрицу с помощью алгоритма нахождения обратной матрицы.
Задана матрица С
припишем справа единичную матрицу Е размером получим:
осуществляем элементарные преобразования строк, чтобы преобразовать матрицу к виду
Полученная матрица D является обратной к матрице С, то есть:
В процессе преобразования матрицы были выполнены следующие элементарные преобразования:
1. Из третьей строки вычли вторую строку и результат записали на место третьей строки.
2.
а) Первую строку умножили
на (-2) и сложили со второй строкой, результат записали на место второй строки.
б) Первую строку умножили на (-1) и сложили с третьей строкой, результат записали на место третьей строки.
3. а) Третью строку сложили со второй строкой, результат записали на место второй строки.
б) Третью строку умножили на (-3) и сложили с первой строкой, результат записали на место первой строки.
4. Поменяли местами первый и второй столбцы.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти произведение матриц АВ и ВА если заданы матрицы А и В.
2. Найти сумму матриц А и В если:
3.
Предприятие выпускает три
вида продукции П1,П2,П3 используя два вида
сырья S1,
S2.
нормы расхода сырья заданы матрицей А размером . Где столбцы характеризуют виды
продукции, а строки виды сырья. План выпуска продукции задан матрицей столбцом С
размером .
Стоимость каждого из видов
сырья в расчёте на единицу сырья заданы матрицей строкой Р размером . Найти реализации данного плана
если:
4. Для матрицы вычислить матрицы А2=А.А; А3=А2.А; В=Е-2А+А2, где Е единичная матрица.
5. При каком соотношении между параметрами k и l будет справедливо равенство АВ=ВА если:
8 Сумма элементов вектора и след матрицы
Иногда бывает нужно вычислить сумму всех элементов вектора. Для этого существует вспомогательный оператор, задаваемый кнопкой VectorSum (Сумма вектора) на панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш <Ctrl>+<4>. Этот оператор чаще оказывается полезным не в векторной алгебре, а при организации циклов с индексированными переменными.
Сумму диагональных
элементов квадратной матрицы называют следом (trace)
матрицы.
След можно найти с помощью
функции tr:
tr(A) – след квадратной матрицы A.
Задание: Найдите след квадратной матрицы A = .
Решение:
9 Обращение квадратной матрицы
Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная, и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Inverse (Обратная матрица) на панели инструментов Matrix (Матрица).
10 Возведение матрицы в степень
К квадратным
матрицам можно формально применять
операцию возведения в степень n.
Для этого n должно быть целым числом. Ввести оператор
возведения матрицы M в степень n можно точно так же, как и для скалярной
величины: нажав кнопку Raise
to Power (Возвести в степень) на панели Calculator (Калькулятор) или клавишу <^>.
После появления местозаполнителя в
него следует ввести значение степени n.
11 Символьные преобразования
Все матричные и векторные операторы, о которых шла речь выше, допустимо использовать в символьных вычислениях. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными.
Пример:
12 Генераторы матриц
Самым наглядным способом создания матрицы или вектора является применение первой кнопки панели инструментов Matrix (Матрицы). Однако в большинстве случаев, в частности, при программировании сложных проектов, удобнее бывает создавать массивы с помощью встроенных функций.
12.1 Создание матрицы на основе функции
Matrix(M, N, f) – создание матрицы размера M×N, каждый i, j элемент которой есть f(i, j), где:
M – количество строк;
N – количество столбцов;
f(i, j) – функция.
12.2 Генерация матриц специального вида
В Mathcad легко создать матрицы определенного вида с помощью одной из встроенных функций:
identity(N) – единичная матрица размера N×N;
diag(V) – диагональная матрица, на диагонали которой находятся элементы вектора V;
geninv(A) – создание матрицы, обратной матрице А;
rref(A) – преобразование матрицы или вектора A в ступенчатый вид, где:
N – целое число;
V – вектор;
A – матрица из действительных чисел.
Примечание: Размер N×M матрицы A для функции geninv должен быть таким, чтобы N M.
13 Выделение части матрицы
Часть матрицы выделяется одним из следующих способов:
1) для выделения одного элемента предназначен оператор нижнего индекса. Оператор вводится нажатием кнопки Subscript (Нижний индекс) со значком xn на панели Matrix (Матрица), либо нажатием клавиши <[>;
2) для выделения из матрицы столбца примените оператор выделения столбца нажатием кнопки Matrix Column (Столбец матрицы) с изображением угловых скобок <> на панели Matrix (Матрица), либо сочетанием клавиш <Ctrl>+<6>. Этот оператор называют еще, по аналогии с предыдущим, оператором верхнего индекса;
3) чтобы выделить из матрицы строку, примените тот же оператор <> к транспонированной матрице;
4) для выделения подматрицы используйте встроенную функцию submatrix(A, ir,
jr, ic, js), возвращающую часть матрицы A,
находящуюся между строками ir,
jr и столбцами ic, jc включительно.
Примечание: выделить из матрицы один столбец или одну строку можно и с помощью функции submatrix.
Сумма элементов матрицы
В этом уроке объясняется, как использовать матричные методы для вычисления сумм из вектор элементы и суммы матричные элементы.
Как вычислять суммы: элементы вектора
Суммарный вектор 1 n представляет собой столбец 1 x n вектор все n элементов равны единице. Основное использование вектора суммы состоит в том, чтобы найти сумму элементов из другого вектора 1 x n , скажем, вектора x n .
Покажем на примере.
| 1 = | x = |
Тогда сумма элементов из вектора x IS:
σ x I = ‘‘ ‘‘ ‘‘ ‘‘ ‘‘ ‘‘ ‘.
= ( 1 * 1 ) + ( 1 * 2) + ( 1 * 3 ) = 1 + 2 + 3 = 6
Примечание: Для этого веб-сайта мы определили вектор суммы быть вектором столбца . В других местах вы можете увидеть его определение как ряд вектор.
Реклама
Как вычислять суммы: элементы матрицы
Суммарный вектор также используется для нахождения суммы элементов матрицы. Матрица элементы можно суммировать тремя различными способами: внутри столбцов, внутри строк и по всей матрице.
Внутри столбцов. Вероятно, наиболее частым применением является суммирование элементов внутри столбцы, как показано ниже.
1 ‘ Х = [ Σ X r 1 Σ X r 2 … Σ X r c ] = S
, где
1 есть вектор суммы r x 1 , и 1 ‘это его транспонировать
X – это матрица r x c
Σ X r i – сумма элементов из столбец i матрицы X
S равен 1 x c матрица строк, элементы которой суммы столбцов из матрицы XВнутри строк.
Также возможно суммировать элементы в строках, как показано ниже.X 1 = Σ X 1 c Σ X 2 c . . . σ x R C = S , где
1
1 . представляет собой матрицу r x c
Σ X i c представляет собой сумму элементов из строка i матрицы X
S представляет собой r x 1 матрицу-столбец, элементы которой суммы строк из матрицы XДля всей матрицы.
И, наконец, можно вычислить большую сумму
всех элементов в матрице X , как показано ниже.1 r ‘ X 1 c = Σ X r c = S
, где
1 r есть вектор суммы r x 1 , и 1 r ‘является его транспонировать
1 C – C x 1 Сумма вектор
x – R x C Матрица
σ x R C – сумма всех элементов от из элементов от Elements матрица X
S — действительное число, равное сумме всех элементов из матрица X
Проверьте свое понимание
Задача 1
Рассмотрим матрицу A .
| А = |
|
Using matrix methods, create a 1 x 3 vector b ‘, такой, что
элементы b ‘ представляют собой сумму элементов столбца из А .
То есть
b ‘ = [ Σ A i 1 Σ А и 2 Σ A i 3 ]
Подсказка: используйте вектор суммы, 1 2 .
Решение
Вектор 1 x 3 b ‘ может быть получен путем предварительного умножения матрица А по транспонировать из 1 2 , как показано ниже.
| б ‘ = |
| ||||||||
| 1 2 ‘ | A |
| b ‘= |
|
.
0027 B ‘=| 12 | 6 | 5 |
Уведомление о каждом элементе B. сумма элементов столбца из матрицы A .
Последний урок Следующий урок
Сумма матриц 3×3 с примерами
Эта статья будет о Сумма матриц 3×3, с пошаговым объяснением на различных примерах.
Как суммировать матрицу 3×3
Матрица с порядком 3×3 имеет 3 строки и 3 столбца, и мы можем суммировать матрицу 3×3 только с другой матрицей того же порядка, иначе мы не сможем их суммировать. В этой статье мы разработаем несколько примеров суммы матриц такого типа. Если то, что мы объясняем в следующем абзаце, не так ясно, перейдите к разделу примеров ниже, чтобы попрактиковаться в том, что мы объяснили.
Когда мы суммируем две матрицы с порядком 3×3, мы должны суммировать каждое число внутри матриц с той же позицией другой матрицы, это означает, что найти число (в результирующей матрице) в строке 3, столбце 3 , нам нужно будет суммировать числа в строке 3 и столбце 3 обеих матриц, которые мы складываем, и результатом этого будет наш ответ, этот процесс будет выглядеть так: A 23 B 23 = C 23 , A и B — матрицы, которые мы складываем, а C — результирующая матрица, и как только мы сделали все 9 позиций матрицы 3×3, мы уже получили бы результирующая матрица.
Пример 1:
Матрица B
| 8 | 1 | 3 |
| -6 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 7 |
Сначала запишем сумму
| 3+8 | -2+1 | 6+3 |
| 1+(-6) | 7+1 | 9+1 |
| -3+2 | 4+1 | 2+7 |
Результирующая матрица
| 11 | -1 | 9 |
| -5 | 8 | 10 |
| -1 | 5 | 9 |
Иисус любит тебя
Иисус – сын Божий, который был послан на смерть, чтобы каждый, кто верит в него, имел жизнь вечную.
Узнать больше
Пример 2: Суммировать следующие матрицы 3×3
Матрица А
| -1 | -4 | -5 |
| -1 | -9 | 0 |
| 2 | 7 | -2 |
Матрица B
| 3 | 12 | 2 |
| 3 | 7 | 5 |
| 8 | 9 | 0 |
Запишите сумму каждой позиции
| -1+3 | -4+12 | -5+2 |
| -1+3 | -9+7 | 0+5 |
| 2+8 | 7+9 | -2+0 |
Результирующая матрица
| 2 | 8 | -3 |
| 2 | -2 | 5 |
| 10 | 16 | -2 |
Пример 3: Найдите результирующую матрицу следующей суммы
Матрица А
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
Матрица B
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
Суммируем позиции.
| 0+1 | 1+0 | 0+1 |
| 0+1 | 1+0 | 0+1 |
| 0+1 | 1+0 | 0+1 |
Результирующая матрица
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Пример 4: Чему равен результат суммы матриц A + B
Матрица А
| 33 | 21 | 12 |
| 44 | 31 | 9 |
| 91 | 72 | 2 |
Матрица B
| 21 | 90 | 10 |
| 11 | 31 | 13 |
| 24 | 63 | 61 |
Суммируем позиции
| 33+21 | 21+90 | 12+10 |
| 44+11 | 31+31 | 9+13 |
| 91+24 | 72+63 | 2+61 |
Результирующая матрица
| 54 | 111 | 22 |
| 55 | 62 | 22 |
| 115 | 135 | 63 |
Пример 5: Решите сумму следующих матриц 3×3
Матрица A
| 7 | 3 | 4 |
| 2 | 9 | 6 |
| 1 | 2 | -20 |
Матрица B
| 3 | 8 | 8 |
| 11 | 5 | 9 |
| 15 | 15 | 38 |
Пишем позиции
| 7+3 | 3+8 | 4+8 |
| 2+11 | 9+5 | 6+9 |
| 1+15 | 2+15 | -20+38 |
Результирующая матрица
| 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 |
| 16 | 17 | 18 |
Пример 6: ¿Какова результирующая матрица суммы следующих матриц 3×3?
Матрица А
| -21 | -1 | -3 |
| -1 | -62 | -12 |
| -98 | -22 | -90 |
Матрица Б
| 14 | 67 | 91 |
| 72 | 14 | 0 |
| 2 | 1 | 3 |
Суммируем каждую позицию
| -21+14 | -1+67 | -3+91 |
| -1+72 | -62+14 | -12+0 |
| -98+2 | -22+1 | -90+3 |
Результирующая матрица
| -7 | 66 | 88 |
| 71 | 48 | -12 |
| 96 | -21 | 87 |
3×3 Matrix Addition Calculator
- login
- register
- Home
- Math
- Finance
- Engineering
CALCULATE
report this ad
CALCULATE
3×3 matrix addition калькулятор использует две матрицы $3\times 3$ и вычисляет их сумму.
Это математический онлайн-инструмент, специально
запрограммирован для выполнения сложения матриц между двумя матрицами $3\times 3$.
Необходимо выполнить следующие шаги:
- Ввести в поле две матрицы $3\times3$. Элементы матриц должны быть действительными числами.
- Нажмите кнопку ” GENERATE WORK “, чтобы выполнить расчет;
- Калькулятор сложения матриц 3×3 выдаст сумму двух матриц $3\times3$, представленных в виде матрицы.
Ввод: Две матрицы $3\times3$;
Вывод: Матрица $3\times3$.
$3\times 3$ Формула сложения матриц:
Сумма двух матриц $A=[a_{ij}]_{3\times3}$ и $B=[a_{ij}]_{3\times3}$ определяется по следующей формуле $$\begin{align}&\left( \begin{массив}{ccc} а_{11} и а_{12} и а_{13} \\ а_{21} и а_{22} и а_{23} \\ а_{31} и а_{32} и а_{33} \\ \конец{массив} \справа)+ \оставил( \begin{массив}{ccc} б_{11} и б_{12} и б_{13} \\ б_{21} и б_{22} и б_{23} \\ б_{31} &б_{32} & б_{33} \\ \конец{массив} \right)= \left(\begin{массив}{ccc} a_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22}& a_{23}+b_{23}\\ a_{31}+b_{31} &a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33}\\ \end{массив}\right)\end{align}$$
Матрицы — мощный инструмент в математике, науке и жизни.
Матрицы повсюду, и у них есть важные приложения. Например, электронная таблица, такая как Excel, или письменная таблица представляет собой матрицу. Слово «матрица» является латинским словом и означает «матка». Этот термин был введен Дж. Дж. Сильвестром (английский математик) в 1850 г.
Первая потребность в матрицах возникла при изучении систем одновременных линейных уравнений.
Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, расположенных следующим образом
$$А=\влево(
\begin{массив}{cccc}
а_{11} и а_{12} и \ldots&a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots& a_{2n} \\
\ldots &\ldots &\ldots&\ldots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots&a_{mn} \\
\конец{массив}
\справа)=\слева[
\begin{массив}{cccc}
а_{11} и а_{12} и \ldots&a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots& a_{2n} \\
\ldots &\ldots &\ldots&\ldots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots&a_{mn} \\
\конец{массив}
\право]$$
Существует два обозначения матрицы: в круглых скобках или квадратных скобках. Члены матрицы называются ее элементами или ее элементами.
Матрицы чаще всего обозначаются прописными буквами, а соответствующие им строчные буквы с двумя нижними индексами являются элементами матриц.
Например, матрицы обозначаются $A,B,\ldots Z$, а их элементы — $a_{11}$ или $a_{1,1}$ и т. д. Горизонтальные и вертикальные строки элементов матрицы называются строк и столбцов соответственно.
Размер матрицы — это произведение Декарта на количество содержащихся в ней строк и столбцов. Матрица, состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов, называется $m\times n$ матрицей. В этом случае $m$ и $n$ — его размерности. Если матрица состоит только из одной строки, она называется матрицей-строкой. Если матрица состоит только из одного столбца, она называется матрицей-столбцом. Матрица, содержащая в качестве элементов только нули, называется нулевой матрицей.
Как найти сумму двух матриц 3×3?
Матрицы $A$ и $B$ можно складывать тогда и только тогда, когда их размеры равны. Их сумма представляет собой матрицу $C=A+B$ с элементами
$$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$$
Матрица суммы имеет тот же размер, что и матрицы $A$ и $B$.
Это означает, что каждый элемент в $C$ равен сумме элементов в $A$ и $B$, стоящих на соответствующих местах.
Например,
$c_{13}=a_{13}+b_{13}$. Если две матрицы имеют разные размеры, их сумма не определена.
Легко доказать, что $A+B=B+A$, другими словами, сложение матриц является коммутативной операцией.
Матрица $3\times 3$ имеет $3$ столбцов и $3$ строк. Например, сумма двух $3\times 3$ матриц $A$ и $B$ есть такая матрица $C$, что
$$\begin{align} C=&\left(
\begin{массив}{ccc}
а_{11} и а_{12} и а_{13} \\
а_{21} и а_{22} и а_{23} \\
а_{31} и а_{32} и а_{33} \\
\конец{массив}
\справа)+
\оставил(
\begin{массив}{ccc}
б_{11} и б_{12} и б_{13} \\
б_{21} и б_{22} и б_{23} \\
б_{31} &б_{32} & б_{33} \\
\конец{массив}
\right)= \left(\begin{массив}{ccc}
a_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& a_{13}+b_{13} \\
a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22}& a_{23}+b_{23} \\
a_{31}+b_{31} &a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} \\
\end{массив}\right)\end{align}$$
Например, найдем сумму для
$$А=\влево(
\begin{массив}{ccc}
10 и 20 и 10\
4 и 5 и 6 \\
2 и 3 и 5 \\
\конец{массив}
\право)\четырехъядерный\mbox{и}\четырехъядерный B=\левый(
\begin{массив}{ccc}
3 и 2 и 4 \\
3 и 3 и 9\\
4 и 4 и 2 \\
\конец{массив}
\справа)$$
По формуле сложения матриц сумма матриц $A$ и $B$ есть матрица
$$A+B=\влево(
\begin{массив}{ccc}
10+3 и 20+2 и 10+4 \\
4+3 и 5+3 и 6+9 \\
2+4 и 3+4 и 5+2 \\
\конец{массив}
\справа)=\слева(
\begin{массив}{ccc}
13 и 22 и 14\
7 и 8 и 15\
6 и 7 и 7 \\
\конец{массив}
\справа)$$
Работа по сложению матриц $3\times 3$ с шагами показывает полный пошаговый расчет для нахождения суммы двух матриц $3\times3$ $A$ и $B$ по формуле сложения матриц.
Для любых других матриц просто укажите элементы матриц $2$ в виде действительных чисел и нажмите кнопку GENERATE WORK. Учащиеся начальной школы могут использовать это сложение матрицы $3\x3$ для создания работы, проверки результатов сложения матриц, полученных вручную, или для эффективного решения домашних заданий.
Реальные задачи с использованием сложения матриц 3×3
Чтобы представить данные с помощью матрицы, мы выберем, какая категория будет представлена столбцами, а какая — строками. Например, было проведено исследование, чтобы выяснить, какие виды спорта наиболее популярны и как они могут привлечь больше людей. Приведенная ниже матрица представляет их выводы (в процентах людей)
Матрицы широко используются в геометрии, физике и компьютерной графике. Под матричными вычислениями можно понимать набор инструментов, предполагающий изучение методов и процедур, используемых для сбора, классификации и анализа данных. Во многих приложениях необходимо вычислить сложение матриц, где этот онлайн-калькулятор сложения матриц 3×3 может помочь нам легко упростить вычисления для соответствующих входных данных.
3×3 Практические задачи на сложение матриц
Практическая задача 1 :
Найти сумму матриц $$X=\left(
\begin{массив}{ccc}
-4&2&10\
-7 и 15 и -6\
12 и 0 и 5 \\
\конец{массив}
\right)\quad\mbox{and}\quad Y=\left(
\begin{массив}{ccc}
-13 и 0 и -4 \
13 & 0 & 0 \\
45 и 8 и 2\
\конец{массив}
\справа)$$ Практическая задача 2 :
Дан треугольник $\Delta ABC$ в трехмерной координатной плоскости с $A(0,0,1),$ $B(3,6,2)$ и $C(-4,6, 7)$. Перенесите этот треугольник на вектор $\vec a=(1,2,4)$.
Калькулятор сложения матриц 3×3, формула, пример расчета (работа с шагами), реальные задачи и практические задачи были бы очень полезны для учащихся начальной школы (образование K-12), чтобы понять сложение двух или более матриц. Используя эту концепцию, они могут смотреть на реальные жизненные ситуации и преобразовывать их в математические модели.
- Калькулятор определителя матрицы 4×4, 3×3 и 2×2
- Калькулятор транспонированной матрицы
- nxn Калькулятор обратной матрицы
- 4×4 Matrix Addition & Subtraction Calculator
- 3×3 Matrix Subtraction Calculator
- 2×2 Matrix Addition & Subtraction Calculator
- 4×4 Matrix Multiplication Calculator
- 3×3 Matrix Multiplication Calculator
- 2×2 Matrix Multiplication Calculator
- Squared Matrix Calculator
- Gauss Калькулятор исключения
Сумма области матрицы: нахождение суммы чисел внутри прямоугольника | Уоррен Ню
Пошаговое руководство о том, как концептуализировать матрицу и решить этот вопрос алгоритма с помощью грубой силы
Фото Скотта Грэма на Unsplash По какой-то причине мне очень трудно понять матрицы.
Это не первый мой опыт работы с матрицами, но то, как она структурирована и ее 2D-природа, заставляет меня вертеться в голове, когда я пытаюсь обработать то, как я буду повторять матрицу.
И вот мы — пишем очередной блог о матрицах. Надеюсь, дополнительное письмо и практика помогут мне (и вам тоже!).
Матрица, говоря простым языком, представляет собой массив массивов. Матрица — это квадрат чисел или двумерная матрица чисел. Его подмассивы должны содержать одинаковое количество элементов внутри массива. Если их нет, то это а не матрица.
Рассмотрим пример:
Как видите, наша матрица имеет размер 5×5, а это означает, что в матричном массиве 5 массивов и по 5 элементов в каждом массиве. Он содержит одинаковое количество элементов внутри массива, что делает приведенный выше пример матрицей.
Отлично! Теперь, когда мы поняли, что такое матрица, давайте представим упражнение, использующее матрицу в качестве входных данных.
Задача, которую мы будем решать, состоит в следующем:
Дана матрица целых чисел и координаты прямоугольной области в матрице. Найдите сумму чисел, попадающих внутрь прямоугольника. Наша программа будет вызываться несколько раз с разными прямоугольными областями одной и той же матрицы.
Когда я пытался решить эту проблему, мой друг посоветовал мне сначала попытаться решить эту проблему как человек , прежде чем решать его с помощью кода.
Прислушавшись к этому совету, я снова посмотрел на проблему и попытался решить ее по-человечески. Давайте снова воспользуемся приведенным выше примером:
Допустим, мы хотели получить сумму всех приведенных выше чисел. Логичнее всего было бы взять первое число (10) и прибавить к нему следующее число (29) и так далее, пока не дойдем до конца ряда. Закончив ряд, мы переходим к следующему ряду (или массиву), начинаем слева и продолжаем добавлять числа.
Слева направо.
Сверху вниз. Это то, к чему мы привыкли в английском языке.
К счастью, мы можем написать наш код почти таким же образом! Мы можем пройти по нашей матрице с помощью вложенного цикла for, чтобы получить доступ к каждому массиву и его отдельным элементам и суммировать все числа. Внешний цикл for обращается к каждому отдельному массиву, в то время как вложенный цикл for идет на уровень глубже и обращается к каждому отдельному значению внутри каждого массива.
Давайте добавим дополнительный уровень сложности, который дополнит заданный нам вопрос:
Используя координаты, данные нам для определения прямоугольной области, найдите сумму чисел, которые попадают в эту область
Итак, вместо того, чтобы просто получить сумму всех чисел в матрице, нам теперь нужно как-то взять координаты и установить регион в нашей матрице и получить сумму только для этого сегмента.
Как мы можем это сделать?
Наши координаты будут представлены массивом, содержащим два значения.
Допустим, наши координаты следующие:
const coord1 = [2, 2]
const coord2 = [4, 4]
Начнем с coord1, [2, 2]. Используя наш пример с матрицей, coord1 говорит нам, что первые 2 являются вторым индексом (или строкой) матричного массива. Поэтому мы смотрим на следующую строку:
Вторая цифра 2 в координате представляет, как далеко в массиве нам нужно пройти. В нашем случае нам нужно снова перейти ко 2-му индексу, который равен 21.
Отлично, мы установили нашу первую координату! Coord2 работает аналогичным образом -> coord2 заставляет нас перейти к 4-й строке или 4-му массиву в матричном массиве:
Подобно нашей первой координате, вторая 4 представляет, как далеко в массиве нам нужно пройти. Мы переходим к 4-му индексу, который равен 88. Это создает нашу прямоугольную область, с которой нам нужно работать!
Давайте заново представим нашу задачу и начнем программировать!
Дана матрица целых чисел и координаты прямоугольной области внутри матрицы.
Найдите сумму чисел, попадающих внутрь прямоугольника. Наша программа будет вызываться несколько раз с разными прямоугольными областями одной и той же матрицы.
Как упоминалось выше, у нас будет двойной цикл for для обхода строк и элементов. Тем не менее, нам нужно будет внести некоторые небольшие коррективы, чтобы получить доступ к только области, которую мы потратили так много времени, объявляя выше в наших координатах.
Мы знаем, что нам нужен текущий счет для отслеживания суммы нашего региона, поэтому давайте объявим это сейчас:
Итак, как мы настроим наши циклы for? У нас есть координаты, поэтому нам нужно начать итерацию в начале нашей прямоугольной области, а не в начале нашей матрицы.
Следовательно, мы установили бы для нашего внешнего i значение coord1[0], что равно 2. Нам нужно было бы повторить его до 4-го индекса или массива нашей матрицы (coord2[0])
В нашем внутреннем цикле for , мы затем присвоим нашему внутреннему параметру j значение coord1[1], что равно 2, и он будет выполнять итерацию по 4-му индексу (coord2[1]), который равен 4.
Помните, что первая координата в обеих координатах представляет собой строку, а вторая координата представляет индекс в этой строке.
Наш последний шаг — убедиться, что наш результат увеличивается с каждой итерацией. Наш окончательный код будет выглядеть следующим образом:
Наш окончательный кодВот он! Шаг за шагом мы увидели, как мы можем пройти через матрицу и настроить региональный прямоугольник, когда у нас есть пара координат для работы. Таким образом, мы избавим нас от необходимости перебирать полную матрицу и предоставим нам гораздо более эффективное решение.
По общему признанию, мне все еще сложно понять, как итерируются матрицы, но я призываю вас больше практиковаться с ними всякий раз, когда вы их видите — чем больше повторений вы делаете с этой сложной структурой данных, тем комфортнее вы будете двигаться. вперед.
До следующего раза!
Подробнее на plainenglish.io
Матрица сумм Эвальда — документация DScribe 0.
3.xМатрица сумм Эвальда [1] может рассматриваться как логическое расширение кулоновской матрицы матрица для периодических систем, поскольку она моделирует взаимодействие между атомами в периодический кристалл за счет электростатического взаимодействия. Однако для того, чтобы рассчитать кулоновское взаимодействие между ядрами атомов в периодическом кристалла, метод суммирования Эвальда должен использоваться вместе с однородным нейтрализующий фоновый заряд. 92} Z_i Z_j~\forall~i \neq j\]
Настройка
Создание экземпляра объекта, используемого для создания матриц сумм Эвальда, может быть выполнено следующим образом: следует:
Конструктор принимает следующие параметры:
-
ЭвальдСумМатрица.__init__( n_atoms_max , перестановка = ‘sorted_l2’ , Sigma = none , Seed = None , flalten = , = None , flosten = , .- Параметры
n_atoms_max ( int ) — максимальное количество атомов, которое может образцы могут быть.
Это контролирует, сколько нулей должно быть
дополняется до конечного результата.перестановка ( строка ) –
Определяет метод обработки перестановки инвариантность. Может быть одним из следующих:
нет: матрица возвращается в порядке, определенном Атомы.
sorted_l2: Строки и столбцы отсортированы по норме L2.
собственный спектр: возвращаются отсортированные только собственные значения по их абсолютному значению в порядке убывания.
случайный: строки и столбцы сортируются по норме L2 после применения гауссовского шума к нормам. Стандарт отклонение шума определяется сигма-параметр.
сигма ( с плавающей запятой ) – предоставляется только при использовании случайный -перестановка вариант. Стандартное отклонение гауссовского распределенного шума определение того, сколько строк и столбцов случайно отсортированные матрицы скремблируются.
seed ( int ) — предоставляется только при использовании случайной -перестановки вариант. Семя, используемое для взятия образцов из нормального распределение.
flatten ( bool ) — следует ли сглаживать вывод create() в одномерный массив.
sparse ( bool ) – должен ли вывод быть разреженной матрицей или плотный массив numpy.
Создание
После того, как матрица суммы Эвальда настроена, ее можно использовать на периодическом атомном анализе.
структуры с помощью метода create() .
Синтаксис вызова функции создания следующий:
-
ЭвальдСумМатрица.создать( система , Точность = 1E-05 , W = 1 , RCUT = Нет , GCUT = NONE , A = , N_JOBS = 1 , 464, N_JOBS = 1 , 464.
Вернуть матрицу Кулона для заданных систем.
- Параметры
система (
ase.Atomsили списокase.Atoms) – один или множество атомных структур.точность ( плавающая ) — точность, с которой сходится сумма. Соответствует переменной \(A\) в https://doi.org/10.1080/08927022.2013.840898. Используется только если gcut, rcut и a не указаны. Предоставьте любой значение или список значений для каждой системы.
w ( float ) — параметр веса, представляющий относительную вычислительные затраты на расчет срока в реальном и взаимное пространство. Это мало влияет на общую энергию, т. но может повлиять на скорость вычислений в больших системах. Примечание что этот параметр используется только тогда, когда установлены отсечки и на Нет. Укажите либо одно значение, либо список значений для каждого система.
rcut ( float ) – радиус отсечки в реальном пространстве, определяющий количество членов используется в реальной пространственной сумме.
{1/6}\).
Соответствует стандартному отклонению гауссианы. Предоставлять
либо одно значение, либо список значений для каждой системы.n_jobs ( int ) — количество параллельных заданий для создания. Параллелизует расчет по выборкам. По умолчанию используется последовательный расчет с n_jobs=1.
verbose ( bool ) — определяет, следует ли печатать ход выполнения каждого задания. в консоль.
- Возвращает
Суммарная матрица Эвальда для данные системы. Тип возвращаемого значения зависит от «разреженного» и «сгладить»-атрибуты. Для сглаженного вывода один массив numpy или возвращается разреженный scipy.csr_matrix. Первое измерение определяется количеством систем.
- Тип возврата
np.ndarray | scipy.sparse.csr_matrix
Обратите внимание, что если вы укажете в n_atoms_max меньшее число, чем число атомов в вашем
структуры это вызовет ошибку.
В этом случае вывод будет сглаженным
матрица, в частности массив numpy с размером #atoms * #atoms. Количество
функции могут быть запрошены заранее с помощью get_number_of_features() -метод.
В случае нескольких образцов создание можно также распараллелить с помощью n_jobs -параметр. Это разбивает список структур на части одинакового размера. и порождает отдельный процесс для обработки каждой части.
Примеры
Следующие примеры демонстрируют использование дескриптора. Эти примеры также доступны в dscribe/examples/ewaldsummatrix.py.
Точность
Самый простой способ контролировать точность суммирования Эвальда — использовать точность -параметр. Меньшие значения этого параметра соответствуют более плотным критерии сходимости и более высокая точность.
Другим вариантом является прямое определение действительного и обратного пространств:
Нахождение суммы и разности двух матриц | Колледж Алгебра |
Чтобы решить задачу, подобную описанной для футбольных команд, мы можем использовать матрицу , которая представляет собой прямоугольный массив чисел.
Строка в матрице представляет собой набор чисел, выровненных по горизонтали. Столбец в матрице представляет собой набор чисел, выровненных по вертикали. Каждое число запись , иногда называемая элементом матрицы. Матрицы (во множественном числе) заключаются в [ ] или ( ) и обычно называются заглавными буквами. Например, ниже показаны три матрицы с именами
A,B,A,B,\text{}A,B,
и
CCC
.
A=[1234],B=[1270−56782],C=[−103321]A=\left[\begin{массив}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{массив}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 7\\ 0& -5& 6\\ 7& 8& 2\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{c}- 1\\ 0\\ 3\end{массив}\begin{массив}{c}3\\ 2\\ 1\конец{массив}\right]A=[1324],B=⎣
⎡1072−58762⎦
⎤,C=⎣
⎡−103321⎦
⎤
Матрицы описания
5 9 Матрица часто упоминается по ее размеру или размерам:m × n \text{ }m\text{ }\times \text{ }n\text{ } m × n
указывает
mmm
строк и
nnn
столбцы.
Элементы матрицы определяются сначала по строке, а затем по столбцу. Например, чтобы найти запись в матрице
AAA
идентифицируется как
aij,{a}_{ij},\text{}aij,
мы ищем запись в строке
i,i,\text{}i,
столбец
jjj
. В матрице
A,A\text{,} \hspace{0.17em}A,
, показанной ниже, запись в строке 2, столбце 3:
a23{a}_{23}a23
.
A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}\\ {a}_{ 21}& {a}_{22}& {a}_{23}\\ {a}_{31}& {a}_{32}& {a}_{33}\end{массив}\right ]А=⎣
⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎦
⎤
Квадратная матрица — это матрица с размерами
n × n,\text{ }n\text{ }\times \text{ }n,\text{} n × n,
, что означает, что она имеет то же число строк как столбцов.
Матрица
3×33\times 33×3
выше является примером квадратной матрицы.
Матрица строк представляет собой матрицу, состоящую из одной строки с размерами
1 × n1\text{ }\times \text{ }n1 × n
.
[a11a12a13]\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}\end{array}\right][a11 a12a13]
Матрица столбцов — это матрица, состоящая из одного столбца с размерами
м × 1м\текст{ }\times \text{ }1м × 1
.
[a11a21a31]\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ {a}_{31}\end{array}\right]⎣
⎡a11a21a31⎦
⎤
Матрица может использоваться для представления системы уравнений. В этих случаях числа представляют собой коэффициенты переменных в системе.
Матрицы часто облегчают решение систем уравнений, потому что они не перегружены переменными. Мы исследуем эту идею подробнее в следующем разделе, но сначала мы рассмотрим основные матричные операции .
A Общее примечание: Матрицы
Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, который обычно обозначается заглавной буквой:
A,B,C,A,B,C,\text{}A,B,C,
и так далее. Каждая запись в матрице обозначается как
aij{a}_{ij}aij
, так что
iii
представляет строку, а
jjj
представляет столбец. Матрицы часто называют их размерами:
m×nm\times nm×n
с указанием
ммм
строк и
nnn
столбцов.
Пример 1. Определение размеров заданной матрицы и поиск элементов
Дана матрица
A:A:A:
- Каковы размеры матрицы
A?A?A?
- Что такое записи по адресу
a31{a}_{31}a31
иa22?{a}_{22}?a22?
A=[21024731−2]A=\left[\begin{array}{rrrr}\qquad 2& \qquad & \qquad 1& \qquad 0\\ \qquad 2& \qquad & \qquad 4& \qquad 7\\ \qquad 3& \qquad & \qquad 1& \qquad -2\end{массив}\right]A=⎣
⎡22314107−2⎦
⎤
Решение
- Размеры:
3 × 3 \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ } 3 × 3
, поскольку имеется три строки и три столбца. - Запись
a31{a}_{31}a31
– это число в строке 3 столбца 1, что равно 3. Записьa22{a}_{22}a22
– это число в строке 2 столбца 2, то есть 4. Помните, сначала идет строка, затем столбец.
Сложение и вычитание матриц
Мы используем матрицы для перечисления данных или для представления систем.
Поскольку записи являются числами, мы можем выполнять операции над матрицами. Мы добавляем или вычитаем матрицы, добавляя или вычитая соответствующие элементы.
Для этого записи должны совпадать. Следовательно, сложение и вычитание матриц возможно только тогда, когда матрицы имеют одинаковые размеры . Мы можем добавить или вычесть
3 × 3 \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ } 3 × 3
9матрица 1361 и еще одна3 × 3 \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ } 3 × 3
матрица, но мы не можем добавить или вычесть
2 × 3 \text { }2\text{ }\times \text{ }3\text{ } 2 × 3
матрица и
3 × 3 \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ } 3 × 3
матрица, потому что некоторым элементам в одной матрице не будет соответствующего элемента в другой матрице.
A Общее примечание: сложение и вычитание матриц
Даны матрицы
AAA
и
BBB
из аналогичных размеров, добавление и вычитание
AAA
и
BBB
будет производить MATRIX
CCC
или MATRIBIX 9000.
.1361 или MATRIBIX 9000.361 или MATRIX 9000.361.1361 или MATRIX3.
или MATRIX 9000.361.1361 или MATRIX.
A+B=C такие, что aij+bij=cijA+B=C\text{ такие, что }{a}_{ij}+{b}_{ij}={c}_{ij}A+B =C такой, что aij+bij=cij
A−B=D такой, что aij−bij=dijA-B=D\text{ такой, что }{a}_{ij}-{b}_{ij }={d}_{ij}A−B=D такие, что aij-bij=dij
Сложение матриц коммутативно.
А+В=В+АА+В=В+АА+В=В+А
Тоже ассоциативный.
(A+B)+C=A+(B+C)\влево(A+B\вправо)+C=A+\влево(B+C\вправо)(A+B)+C=A+(B+ C)
Пример 2: Нахождение суммы матриц
Найдите сумму
AAA
и
B,B,\text{}B,
, учитывая
A=[abcd] и B=[efgh]A=\left[\begin{array}{cc }a& b\\ c& d\end{массив}\right]\text{ и }B=\left[\begin{массив}{cc}e& f\\ g& h\end{массив}\right]A=[ acbd] и B=[egfh]
Решение
Добавьте соответствующие записи.
A+B=[abcd]+[efgh] =[a+eb+fc+gd+h]\begin{array}{l}A+B=\left[\begin{array}{cc}a& b \\ c& d\end{массив}\right]+\left[\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{массив}\right]\qquad \\ \text{ }=\left[ \begin{массив}{ccc}a+e& & b+f\\ c+g& & d+h\end{массив}\right]\qquad \end{массив}A+B=[acbd]+ [egfh] =[a+ec+gb+fd+h]
Пример 3. Добавление Matrix
A и Matrix BНайдите сумму
ААА
и
ВВВ
.
A=[4132] и B=[5907]A=\left[\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 2\end{массив}\right]\text{ и }B=\left[ \begin{array}{cc}5& 9\\ 0& 7\end{array}\right]A=[4312] и B=[5097]
Решение
Добавьте соответствующие записи. Добавьте запись в строке 1, столбце 1,
a11,{a}_{11},\text{}a11,
матрицы
AAA
к записи в строке 1, столбце 1,
b11{b}_{11}b11
, из
ВВВ
.
Продолжайте шаблон, пока не будут добавлены все записи.
A+B=[4132]+[5907] =[4+51+93+02+7] =[]\begin{array}{l}A+B=\left[\begin{array}{ cc}4& 1\\ 3& 2\end{массив}\right]+\left[\begin{array}{cc}5& 9\\ 0& 7\end{массив}\right]\qquad \\ \text{ } =\left[\begin{массив}{ccc}4+5& & 1+9\\ 3+0& & 2+7\end{массив}\right]\qquad \\ \text{ }=\left[\begin {array}{cc}9& 10\\ 3& 9\end{массив}\right]\qquad \end{массив}A+B=[4312]+[5097] =[4+53+01+92+7] =[93109]
Пример 4. Нахождение разности двух матриц
Найдите разницу между
AAA
и
BBB
.
A=[−2301] и B=[8154]A=\left[\begin{array}{cc}-2& 3\\ 0& 1\end{array}\right]\text{ и }B=\ left[\begin{array}{cc}8& 1\\ 5& 4\end{array}\right]A=[−2031] и B=[8514]
Решение
Мы вычитаем соответствующие элементы каждой матрицы.
A−B=[−2301]−[8154] =[−2−83−10−51−4] =[−102−5−3]\begin{массив}{l}AB=\left[\begin {массив}{rr}\qquad -2& \qquad 3\\ \qquad 0& \qquad 1\end{массив}\right]-\left[\begin{массив}{rr}\qquad 8& \qquad 1\\ \ qquad 5& \qquad 4\end{массив}\right]\qquad \\ \text{ }=\left[\begin{array}{rrr}\qquad -2 – 8& \qquad & \qquad 3 – 1\\ \ qquad 0 – 5& \qquad & \qquad 1 – 4\end{массив}\right]\qquad \\ \text{ }=\left[\begin{array}{rrr}\qquad -10& \qquad & \qquad 2 \\ \qquad -5& \qquad & \qquad -3\end{массив}\right]\qquad \end{массив}A−B=[−2031]−[8514] =[−2 −80−53−11−4] =[−10−52−3]
Пример 5.
Нахождение суммы и разности двух матриц 3 x 3Дано
AAA
и
B:B:B:
- Найдите сумму.
- Найдите разницу.
A=[2−10−21412104−22] и B=[610−20−12−4−52−2]A=\left[\begin{array}{rrr}\qquad 2& \qquad -10& \ qquad -2\\ \qquad 14& \qquad 12& \qquad 10\\ \qquad 4& \qquad -2& \qquad 2\end{array}\right]\text{ и }B=\left[\begin{array}{ rrr}\qquad 6& \qquad 10& \qquad -2\\ \qquad 0& \qquad -12& \qquad -4\\ \qquad -5& \qquad 2& \qquad -2\end{массив}\right]A=⎣ 9Решение
- Добавьте соответствующие записи.
A+B=[2−10−21412104−22]+[610−20−12−4−52−2]=[2+6−10+10−2−214+012−1210−44−5− 2+22−2]=[80−41406−100]\begin{массив}{l}\qquad \\ A+B=\left[\begin{массив}{rrr}\qquad 2& \qquad -10& \qquad -2\\ \qquad 14& \qquad 12& \qquad 10\\ \qquad 4& \qquad -2& \qquad 2\end{массив}\right]+\left[\begin{array}{rrr}\qquad 6& \qquad 10& \qquad -2\\ \qquad 0& \qquad -12& \qquad -4\\ \qquad -5& \qquad 2& \qquad -2\end{массив}\right]\qquad \\ =\left[\begin{ array}{rrr}\qquad 2+6& \qquad -10+10& \qquad -2 – 2\\ \qquad 14+0& \qquad 12 – 12& \qquad 10 – 4\\ \qquad 4 – 5& \qquad -2 +2& \qquad 2 – 2\end{массив}\right]\qquad \\ =\left[\begin{array}{rrr}\qquad 8& \qquad 0& \qquad -4\\ \qquad 14& \qquad 0& \ qquad 6\\ \qquad -1& \qquad 0& \qquad 0\end{массив}\right]\qquad \end{массив}A+B=⎣
⎡2144−1012−2−2102⎦
⎤+⎣
⎡60−510−122−2−4−2⎦
⎤=⎣ 3 ⎣ 2+614+04−5−10+1012−12−2+2−2−210−42−2⎦
⎤=⎣
⎡814−1000−460⎦
⎤
- Вычесть соответствующие записи.
A−B=[2−10−21412104−22]−[610−20−12−4−52−2]=[2−6−10−10−2+214−012+1210+44+5− 2−22+2]=[−4−2001424149−44]\begin{array}{l}\qquad \\ AB=\left[\begin{array}{rrr}\qquad 2& \qquad -10& \qquad – 2\\ \qquad 14& \qquad 12& \qquad 10\\ \qquad 4& \qquad -2& \qquad 2\end{массив}\right]-\left[\begin{array}{rrr}\qquad 6& \qquad 10& \qquad -2\\ \qquad 0& \qquad -12& \qquad -4\\ \qquad -5& \qquad 2& \qquad -2\end{массив}\right]\qquad \\ =\left[\begin{массив }{rrr}\qquad 2 – 6& \qquad -10 – 10& \qquad -2+2\\ \qquad 14 – 0& \qquad 12+12& \qquad 10+4\\ \qquad 4+5& \qquad -2 – 2& \qquad 2+2\end{массив}\right]\qquad \\ =\left[\begin{array}{rrr}\qquad -4& \qquad -20& \qquad 0\\ \qquad 14& \qquad 24& \ qquad 14\\ \qquad 9& \qquad -4& \qquad 4\end{массив}\right]\qquad \end{массив}A−B=⎣
⎡2144−1012−2−2102⎦
⎤−⎣
⎡60−510−122−2−4−2⎦
⎤=⎣
⎡2−614−04+5−10−1012+12−2−2−2 +210+42+2⎦
⎤=⎣
⎡−4149−2024−40144⎦
⎤
Попробуйте 1
Добавьте матрицу
AAA
и матрицу
BBB
.