ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ АБСТРАКТНАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТОВ АБСТРАКТНОГО АВТОМАТА ГРАФ АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ АБСТРАКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ АВМ ИТЕРАТИВНАЯ АВМ МЕХАНИЧЕСКАЯ АВМ ПНЕВМАТИЧЕСКАЯ АВМ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ АВТОКОД АВТОКОЛЕБАНИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ АВТОМАТ АВТОМАТ АВТОНОМНЫЙ АВТОМАТ АСИНХРОННЫЙ АВТОМАТ БЕЗ ПАМЯТИ АВТОМАТ ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АВТОМАТ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ АВТОМАТ ДЕФИНИТНЫЙ АВТОМАТ ИНИЦИАЛЬНЫЙ АВТОМАТ КОНЕЧНЫЙ АВТОМАТ ЛИНЕЙНЫЙ АВТОМАТ МАГАЗИННЫЙ АВТОМАТ МИКРОПРОГРАММНЫЙ АВТОМАТ МИНИМАЛЬНЫЙ АВТОМАТ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ АВТОМАТ ПРИВЕДЁННЫЙ АВТОМАТ ПУШ-ДАУН АВТОМАТ РЕГИСТРОВЫЙ АВТОМАТ С МАГАЗИННОЙ ПАМЯТЬЮ АВТОМАТ САМОВОСПРОИЗВОДЯЩИЙСЯ АВТОМАТ СВОБОДНЫЙ.  АВТОМАТ СВЯЗНЫЙ АВТОМАТ УПРАВЛЯЮЩИЙ АВТОМАТ ЧАСТИЧНЫЙ АВТОМАТА ДИАГРАММА АВТОМАТА МАТРИЦА ПЕРЕХОДОВ АВТОМАТА ПАМЯТЬ АВТОМАТА ТАБЛИЦА АВТОМАТА ФУНКЦИЯ АВТОМАТИЗАЦИЯ КОМПЛЕКСНАЯ АВТОМАТИЗАЦИЯ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ АВТОМАТИЗАЦИЯ МЕДИЦИНСКОЙ ДИАГНОСТИКИ АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЯ АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ АВТОМАТИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫМ ПРОЦЕССОМ АВТОМАТИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКОГО ТРУДА АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ КЛАСС АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ (АСУП) АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ ПОИСК ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРЕМ «АВТОМАТИКА» «АВТОМАТИКА И ТЕЛЕМЕХАНИКА» АВТОМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ АВТОМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОЕ ЦИФРО-ПЕЧАТАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО АВТОМАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ АВТОМАТОВ АБСТРАКТНАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТОВ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТОВ АНАЛИЗ АВТОМАТОВ ГОМОМОРФИЗМ.  АВТОМАТОВ ДЕКОМПОЗИЦИЯ АВТОМАТОВ ИГРЫ АВТОМАТОВ ИЗОМОРФИЗМ АВТОМАТОВ КОМПОЗИЦИИ АВТОМАТОВ МИНИМИЗАЦИЯ АВТОМАТОВ ПОВЕДЕНИЕ АВТОМАТОВ ПРОИЗВЕДЕНИЕ АВТОМАТОВ ПРЯМАЯ СУММА АВТОМАТОВ СИНТЕЗ АВТОМАТОВ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ АВТОМАТОВ СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТОВ СУПЕРПОЗИЦИЯ АВТОМАТОВ ТЕОРИЯ АВТОМАТОВ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ АВТОМАТЫ БЕСКОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ ИТЕРАТИВНЫЕ АВТОМАТЫ РАСТУЩИЕ АВТОНОМНОСТЬ АВТОПИЛОТИРОВАНИЕ АГРЕГАТНАЯ УНИФИЦИРОВАННАЯ СИСТЕМА (АУС) АГРЕГАТНО-БЛОЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ СРЕДСТВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ АДАМСА МЕТОД АДАПТАЦИЯ В КИБЕРНЕТИКЕ АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА АДРЕС МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АДРЕСНЫЙ ЯЗЫК АДРЕСОВ МОДИФИКАЦИЯ АИКА АЛГЕБРА АЛГОРИТМОВ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛОГИКИ АЛГЕБРА МАТРИЦ АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТОВ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ АЛГЕБРЫ СОБЫТИЙ АЛГЕБРЫ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ.  АЛГОЛ-60 АЛГОЛ-68 АЛГОРИТМ, АЛГОРИФМ АЛГОРИТМ ЛОКАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ РАСПОЗНАВАНИЯ АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ТВОРЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ЦВМ АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ ЯЗЫК АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦВМ АЛГОРИТМОВ ГРАФ-СХЕМЫ, ГРАФ-СХЕМЫ АЛГОРИТМОВ АЛГОРИТМОВ РАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГОРИТМОВ СЛОЖНОСТЬ АЛГОРИТМОВ СХЕМА АЛГОРИТМОВ ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ АЛГЭК АЛГЭМ АЛМО АЛФАВИТНО-ЦИФРОВОЕ ПЕЧАТАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО (АЦПУ) АЛФАВИТНЫЙ ОПЕРАТОР АЛЬГИБР АЛЬФА-СИСТЕМА АЛЬФА-ЯЗЫК АМПЛИТУДНО-ИМПУЛЬСНАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗАТОРНЫЕ СИСТЕМЫ АНАЛИТИК АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ. АНАЛОГ ЦИФРОВОЙ, ЦИФРОВАЯ МОДЕЛЬ АНАЛОГИИ АНАЛОГОВАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА (ABM) АНАЛОГО-ЦИФРОВАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА АНАЛОГО-ЦИФРОВАЯ СИСТЕМА АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ, ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ АНАЛОГ-КОД АНСАМБЛЬ СООБЩЕНИЙ АНТИГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ РАВНОМЕРНАЯ (чебышевская) АРИФМЕТИЗАЦИЯ МАТЕМАТИКИ АРИФМЕТИКА С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ АРИФМЕТИКА С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ АРИФМЕТИКА ФОРМАЛЬНАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИИ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ ЦВМ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ УСТРОЙСТВО (АУ) АРИФМЕТИЧЕСКОЕ УСТРОЙСТВО ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ УСТРОЙСТВО ПАРАЛЛЕЛЬНО-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ УСТРОЙСТВО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ АРХИВ в автоматизированных системах управления или системах обработки данных «АСОР», автоматизированная система организации работ АССЕМБЛЕР АССОЦИАТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ АСТАТИЗМ n-ПОРЯДКА БАЗА ДАННЫХ БАЙЕСА ФОРМУЛА, формула вероятностей гипотез БАЙЕСОВСКИЙ МЕТОД БАЙЕСОВСКОЕ ОБУЧЕНИЕ БАЙЕСОВСКОЕ РЕШАЮЩЕЕ ПРАВИЛО БАЙТ (англ.  byte)БАЛАНС МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ БАНК ДАННЫХ БАРАБАН МАГНИТНЫЙ ВЕЛЛМАНА ПРИНЦИП ОПТИМАЛЬНОСТИ ВЕЛЛМАНА УРАВНЕНИЕ БЕЛЫЙ ШУМ БЕРЖА ГРАФ БЕРНУЛЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ «БЕРРАУЗ КОРПОРЕЙШЕН» (Burroughs Corporation) БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ПОИСК БИБЛИОТЕКА СТАНДАРТНЫХ ПОДПРОГРАММ БИБЛИОТЕЧНЫХ ПОДПРОГРАММ МЕТОД БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ БИОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОРГАНИЗАЦИЯ БИОМЕДИЦИНСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА БИОНИКА БИОЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ БИТ БЛЕЙКА АЛГОРИТМ БЛОК в программировании БЛОК ПЕРЕМЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ БЛОК ХРАНЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ БЛОКИ ЦВМ ТИПОВЫЕ БЛОКИРОВКА ОБСЛУЖИВАНИЯ БЛОК-СХЕМА ПРОГРАММЫ БЛОЧНЫЙ СИНТЕЗ ЦВМ БОЛЬЦА ЗАДАЧА БОЛЬШАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ СХЕМА (БИС) БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН БУБНОВА — ГАЛЕРКИНА МЕТОД БУЛЕВА АЛГЕБРА БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЁТА АВТОМАТИЗАЦИЯ БЫСТРОДЕЙСТВИЕ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ БЫСТРОДЕЙСТВИЕ ЦВМ БЭКУСА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА «БЭСМ» ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД ВВОДА ИНФОРМАЦИИ УСТРОЙСТВО ВЕЙЧА ДИАГРАММА ВЕКТОР ОБОБЩЕННОГО ГРАДИЕНТА ВЕНГЕРСКИЙ МЕТОД ВЕРОЯТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ МАШИНА ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПРОЦЕСС ВЕРОЯТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЬ УСЛОВНАЯ «ВЕСНА» ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ МЕТОД ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ВИНЕРА—ХОПФА УРАВНЕНИЕ первого рода ВНЕШНЕЕ ОБОРУДОВАНИЕ ВНЕШНИЕ УСТРОЙСТВА «ВНИИЭМ» ВОЗБУЖДЕНИЯ КЛЕТКИ ТЕОРИЯ ВОЗМОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ МЕТОД ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ, ВОЛЬТЕРРЫ УРАВНЕНИЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ ВРЕМЕННОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ СИГНАЛОВ ВРЕМЕННЫЕ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ВРЕМЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ после отказа ВРЕМЯ ВЫБОРКИ ИНФОРМАЦИИ ВРЕМЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ВРЕМЯ ОБРАЩЕНИЯ К ЗАПОМИНАЮЩЕМУ УСТРОЙСТВУ ВРЕМЯ ОЖИДАНИЯ ВРЕМЯ РАБОТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ ПОЛЕЗНОЕ ВСЕСОЮЗНЫЙ ИНСТИТУТ НАУЧНОЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ (ВИНИТИ) ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА МЕТОД ВХОДНОЕ УСТРОЙСТВО ВЫБОРКА ТРЕНИРОВОЧНАЯ ВЫДЕЛЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ ВЫИГРЫША ФУНКЦИЯ ВЫИГРЫШЕЙ МАТРИЦА ВЫПУКЛАЯ ОБОЛОЧКА ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ ВЫПУКЛОЕ МНОГОГРАННОЕ МНОЖЕСТВО ВЫПУКЛОЕ МНОЖЕСТВО ВЫПУКЛЫЙ КОНУС ВЫПУКЛЫЙ МНОГОГРАННИК ВЫПУКЛЫЙ МНОГОГРАННЫЙ КОНУС ВЫСКАЗЫВАНИЙ ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ ЛОГИЧЕСКИ ИСТИННЫЕ, высказывания тождественно истинные ВЫСКАЗЫВАНИЯ ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЫХОДНОЕ УСТРОЙСТВО ВЫЧИСЛЕНИЯ В РЕАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА КЛАВИШНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СХЕМА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО АЛГОРИТМА ПОГРЕШНОСТЬ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО АЛГОРИТМА СХОДИМОСТЬ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СРЕДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР АКАДЕМИИ НАУК АРМЯНСКОЙ ССР И ЕРЕВАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР АКАДЕМИИ НАУК ГРУЗИНСКОЙ ССР ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР АКАДЕМИИ НАУК СССР ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН И СИСТЁМ КОМПЛЕКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ РАБОТ МЕТОДЫ ОРГАНИЗАЦИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЦЕНТРОВ СЕТИ ГАМИЛЬТОНОВ ПУТЬ (контур) ГАМИЛЬТОНОВА ЦЕПЬ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ МЕТОД ГАУССА МЕТОД ГАУССА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС ГЕДЕЛЯ ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ ГЕНЕРАТОР ПРОГРАММ ГЕНЕРАТОР СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ ГЕНЦЕНА ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ГИБРИДНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА ГИДРОБИОНИКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ.  ГИПЕРГРАФ ГИПЕРПЛОСКОСТИ ОТСЕКАЮЩЕЙ МЕТОД ГИПОТЕЗА КОМПАКТНОСТИ ГИСТОГРАММА ГЛОБАЛЬНОГО ПОИСКА МЕТОДЫ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ГНЕЗДОВОЙ СПИСОК ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КИБЕРНЕТИКИ ГОЛОГРАФИЯ ГОМЕОСТАЗИС ГОМЕОСТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ГОМОРИ МЕТОД ГОНОК ПРОБЛЕМА ГОРНЕРА СХЕМА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ФОНД АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ (ГФАП) ГРАДИЕНТ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД ГРАММАТИКА АВТОМАТНАЯ, грамматика с конечным числом состояний ГРАММАТИКА БЕСКОНТЕКСТНАЯ, грамматика контекстно-свободная ГРАММАТИКА ЗАВИСИМОСТЕЙ, грамматика управлений ГРАММАТИКА КАТЕГОРИАЛЬНАЯ ГРАММАТИКА ЛИНЕЙНАЯ ГРАММАТИКА ПОРОЖДАЮЩАЯ ГРАММАТИКА РАСПОЗНАЮЩАЯ ГРАММАТИКА СОСТАВЛЯЮЩИХ, грамматика непосредственно составляющих ГРАММАТИКА ТРАНСФОРМАЦИОННАЯ ГРАММАТИКА ФОРМАЛЬНАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ГРАФ ГРАФ ВЗВЕШЕННЫЙ ГРАФ РАСКРАШЕННЫЙ ГРАФИЧЕСКОЕ РЕГИСТРИРУЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО ГРАФОВ СВЯЗНОСТЬ ГРАФОВ ТЕОРИЯ ГРАФОПОСТРОИТЕЛЬ ГРУПП ТЕОРИЯ ГРУППА в алгебре ГРУППОВОЙ ИСТОЧНИК НАПРЯЖЕНИЯ ГРУППЫ НЕПРЕРЫВНЫЕ.  ГУРВИЦА КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА ТЕОРЕМА ДАННЫЕ ДАТЧИК ВРЕМЕНИ, ДАТЧИК ОДИНОЧНЫХ ИМПУЛЬСОВ ДАТЧИК РАБОЧЕГО ЦИКЛА ДАТЧИК СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ ДВИГАТЕЛЬ ПОЛИМЕРНЫЙ ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ ЗАКОН, принцип двойственности ДВОЙСТВЕННОСТИ ТЕОРИЯ в программировании линейном ДВОЙСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ДВОЙСТВЕННЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД, метод последовательного уточнения оценок ДВОЙСТВЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ МЕТОД ДВУПОЛЮСНИК КОНТАКТНЫЙ ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ВРЕМЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЕКОДИРУЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО ДЕКОМПОЗИЦИИ МЕТОД, блочный метод ДЕЛЕЖ в теории игр ДЕЛИТЕЛЬ НАПРЯЖЕНИЯ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДЕМОДУЛЯТОР, детектор ДЕМПФИРОВАНИЕ «ДЕРЕВО» в теории графов «ДЕРЕВО» КОНТАКТНОЕ с n реле ДЕСКРИПТОР ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ДЕШИФРАТОР ДЕШИФРОВКА ТЕКСТОВ ДИАГНОСТИКА АВТОМАТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА НЕИСПРАВНОСТЕЙ ЦВМ ДИАГНОСТИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ, техническая диагностика ДИАЛОГА РЕЖИМ ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА (ДНФ) ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МИНИМАЛЬНАЯ ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ТУПИКОВАЯ.  ДИЗЪЮНКЦИЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ СЛАБАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ СТРОГАЯ, антиэквивалентность, сложение по модулю 2 ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ТЕОРИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАМЯТИ ДИОД ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЙ ДИОДНАЯ ЛИНЕЙКА ДИОДНАЯ МАТРИЦА ДИОДНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДИРАКА ФУНКЦИЯ ДИСК МАГНИТНЫЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛИРУЮЩАЯ СРЕДА ДИСКРЕТНАЯ СИСТЕМА ДИСКРЕТНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ, импульсная система управления ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМА ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ДИСПЕРСИЯ ДИСПЕТЧЕР в программировании ДИСПЕТЧЕРСКОГО УПРАВЛЕНИЯ АВТОМАТИЗАЦИЯ ДИСТАНЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЭКСТРЕМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ КЛАССИФИКАЦИЯ.  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ РЕНТ МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СИМВОЛЬНОЕ, дифференцирование аналитическое ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОЕ ДИФФУЗИОННЫЙ ПРОЦЕСС ДЛИНА ОЧЕРЕДИ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ОЖИДАНИЯ «ДНЕПР» ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРИЯ, метаматематика ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ НА ЭВМ, машинный поиск логического вывода ДОКУМЕНТ НАУЧНЫЙ ДОКУМЕНТАЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИОННОПОИСКОВАЯ СИСТЕМА ДОКУМЕНТАЛЬНО-ФАКТОГРАФИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ ДОЛГОВРЕМЕННОЕ ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО (ДЗУ) ДОМИНИРОВАНИЕ в теории игр. ДОПУСТИМАЯ ОБЛАСТЬ ДОПУСТИМАЯ ТОЧКА ДОПУСТИМОЕ МНОЖЕСТВО ДОПУСТИМОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДОПУСТИМЫЙ ВЕКТОР ДОПУСТИМЫЙ ПУТЬ в теории графов ДОПУСТИМЫХ НАПРАВЛЕНИЙ МЕТОД ДОСТАТОЧНОСТЬ ПРИЗНАКОВ. ДОСТАТОЧНЫЕ СТАТИСТИКИ ДОСТУП ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ ДОСТУП ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ДРЕЙФ НУЛЕВОГО УРОВНЯ операционного усилителя ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ЗАДАЧА ДРОБНЫХ ШАГОВ МЕТОД ДУАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДУГА графа ДУЭЛЬ в теории игр ЕДИНАЯ СИСТЕМА ЭЛЕКТРОННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН (ЕС ЭВМ) ЕДИНИЦЫ КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ ЕМКОСТНАЯ МОДЕЛЬ ЖЕГАЛКИНА АЛГЕБРА ЗАГРУЗЧИК в программировании ЗАДАЧА О КОММИВОЯЖЕРЕ ЗАДАЧА О КРАТЧАЙШЕМ ПУТИ ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ ЗАДАЧА О ПЕРЕВОЗКАХ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ПУНКТАМИ ЗАДАЧА О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПОСТАВОК ЗАДАЧА О РЮКЗАКЕ ЗАДАЧА О СКЛАДЕ ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОМ БЫСТРОДЕЙСТВИИ ЗАДАЧА ОБ УЗКИХ МЕСТАХ ЗАДАЧА С ЗАКРЕПЛЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ ЗАМЫКАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО АЛГОРИТМА ЗАПАЗДЫВАНИЯ БЛОК ЗАПАСОВ ТЕОРИЯ, теория управления запасами ЗАПИСЬ ЗАПИСЬ БЕССКОБОЧНАЯ, польская запись ЗАПОМИНАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА ЕМКОСТЬ ЗАПОМИНАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА ЗОНА ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО (ЗУ) ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО АВМ (ЗУ АВМ) ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО АДРЕСНОЕ ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО АССОЦИАТИВНОЕ ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО БУФЕРНОЕ ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО ВНЕШНЕЕ, внешний накопитель ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО ДОЛГОВРЕМЕННОЕ ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО МАГАЗИННОЕ ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО НА ЛИНИЯХ ЗАДЕРЖКИ ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО ОПЕРАТИВНОЕ ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ ОБРАЩЕНИЕМ ЗАПОМИНАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОБРАЩЕНИЕМ ЗАПОМИНАЮЩИЙ ЭЛЕМЕНТ ЗАЦИКЛИВАНИЕ ЗАЩИТА ПАМЯТИ ЗНАКОВЫЙ РАЗРЯД ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ приближенного числа ИБМ (International Business Machines) ИГР ТЕОРИЯ ИГРА АЗАРТНАЯ ИГРА БЕЗ ПОБОЧНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ ИГРА БЕСКОАЛИЦИОННАЯ ИГРА ВЫПУКЛАЯ ИГРА ВЫРОЖДЕННАЯ ИГРА ДИНАМИЧЕСКАЯ ИГРА КООПЕРАТИВНАЯ ИГРА НА ГРАФЕ ИГРА НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ ИГРА ПОЗИЦИОННАЯ ИГРА ПРОСТАЯ ИГРА РЕКУРСИВНАЯ ИГРА С ВЫБОРОМ МОМЕНТА ВРЕМЕНИ ИГРА СТОХАСТИЧЕСКАЯ ИГРУШКИ КИБЕРНЕТИЧЕСКИЕ ИГРЫ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ ЗНАЧЕНИЕ ИГРЫ МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ НА ВЫЖИВАНИЕ ИГРЫ РЕФЛЕКСИВНЫЕ ИДЕНТИФИКАТОР ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ (ИСУ) ИЕРАРХИЧНОСТЬ УПРАВЛЕНИЯ ИЗБЫТОЧНОСТЬ СИСТЕМЫ ИЗБЫТОЧНОСТЬ СООБЩЕНИЙ ИМПЛИКАЦИЯ в алгебре логики ИМПЛИКАЦИЯ СТРОГАЯ ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ ИМПУЛЬСНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНАЯ ЭЛЕМЕНТНАЯ СТРУКТУРА ЦВМ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИЗНАКОВ ИНВАРИАНТНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕРТОР ИНГВЕ ГИПОТЕЗА, гипотеза глубины ИНДЕКСИРОВАНИЕ ИНДИКАТОРЫ ИНФОРМАЦИИ ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДИСКРЕТНЫХ АВТОМАТОВ ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТОВ АВТОМАТИЗАЦИЯ ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ АКАДЕМИИ НАУК КИРГИЗСКОЙ ССР ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ТЕЛЕМЕХАНИКИ (ТЕХНИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ) АКАДЕМИИ НАУК СССР ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ АКАДЕМИИ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ АКАДЕМИИ НАУК ГРУЗИНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ АКАДЕМИИ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ АКАДЕМИИ НАУК ЭСТОНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ С ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ЦЕНТРОМ АКАДЕМИИ НАУК УЗБЕКСКОЙ ССР ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ АКАДЕМИИ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ АКАДЕМИИ НАУК ГРУЗИНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ ТЕХНИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ АКАДЕМИИ НАУК БЕЛОРУССКОЙ ССР ИНСТИТУТ ТОЧНОЙ МЕХАНИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ АКАДЕМИИ НАУК СССР ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОНИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ АКАДЕМИИ НАУК ЛАТВИЙСКОЙ ССР ИНСТРУМЕНТАЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ, приборная погрешность ИНТЕГРАЛОВ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ.  ИНТЕГРАЛЬНАЯ СХЁМА ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ. ИНТЕГРАТОР ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИМВОЛЬНОЕ, интегр ирование аналитическое ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ ПОТОКА в теории массового обслуживания «ИНТЕРНЕЙШЕНАЛ БИЗНЕС МАШЙНЗ КОРПОРЕЙШЕН», ИБМ (International Business Machines Corporation, IBM) «ИНТЕРНЕЙШЕНАЛ КОМПЬЮТЕРЗ ЛЙМИТЕД» (International Computers Limited, I. С. L.) ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ИНТЕРПОЛЯТОР ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЯЗЫКА СТРУКТУРНАЯ ИНТЕРПРЕТИРУЮЩАЯ СИСТЕМА ИНТУИЦИОНИЗМ ИНФОРМАТИВНОСТЬ ПРИЗНАКОВ ИНФОРМАТИКА ИНФОРМАЦИИ КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ПРЕДПРИЯТИЯ ИНФОРМАЦИОННО-ЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ИНФОРМАЦИОННО-ЛОГИЧЕСКИЙ ЯЗЫК ИНФОРМАЦИОННО-ПЛАНИРУЮЩАЯ СИСТЕМА ИНФОРМАЦИОННО-ПОИСКОВАЯ СИСТЕМА ИНФОРМАЦИОННО-ПОИСКОВАЯ СИСТЕМА ДОКУМЕНТАЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИОННО-ПОИСКОВАЯ СИСТЕМА ФАКТОГРАФИЧЕСКАЯ ИНФОРМАЦИОННО-ПОИСКОВОЕ УСТРОЙСТВО ИНФОРМАЦИОННО-ПОИСКОВЫЙ ЯЗЫК ИНФОРМАЦИОННО-СПРАВОЧНАЯ СИСТЕМА ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩАЯ СИСТЕМА ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ ТЕХНИЧЕСКОЕ ОСНАЩЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПОТОКИ НАУКИ ИНФОРМАЦИОННЫХ РАБОТ АВТОМАТИЗАЦИЯ ИНФОРМАЦИЯ (лат.  informatio — разъяснение, изложение, осведомленность)ИНФОРМАЦИЯ ДОКУМЕНТАЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ НАУЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ СЕМАНТИЧЕСКАЯ ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО ЗАКОН «ИСКРА» ИСКУССТВЕННАЯ МЫШЦА ИСКУССТВЕННЫЙ РАЗУМ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МЕХАНИЗМ ИСТОЧНИК ОПОРНОГО НАПРЯЖЕНИЯ ИСТОЧНИК СООБЩЕНИЙ ИСЧИСЛЕНИЕ, дедуктивная система ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ, пропозициональное исчисление ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ МИНИМАЛЬНОЕ, логика минимальная ИСЧИСЛЕНИЕ ЗАДАЧ, теория задач ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ УЗКОЕ, исчисление предикатов первой ступени ИСЧИСЛЕНИЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЕ «ИТЕРАТОР» ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИТЕРАЦИЯ СОБЫТИЯ ИФАК (International Federation of Automatic Control) ИФИП (International Federation for Information Processing) КАЛЕНДАРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ КАНАЛ МАШИННЫЙ КАНАЛОВ СВЯЗИ ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛЫ СВЯЗИ КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА КАРНАУ КАРТА, Вейча диаграмма КАРТА МАГНИТНАЯ КАСКАДОВ МЕТОД КАТАЛОГ КАТЕГОРИЙ ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ КВАЗИАНАЛОГОВАЯ МОДЕЛИРУЮЩАЯ СРЕДА КВАЗИАНАЛОГОВАЯ МОДЕЛЬ КВАЗИАНАЛОГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАЗИРЕЗИСТОР КВАЙНА МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ КВАНТОВАНИЕ КВАНТОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ КВАНТОРЫ КИБЕРНЕТИКА «КИБЕРНЕТИКА» «КИБЕРНЕТИКА» – реферативный журнал, КИБЕРНЕТИКА БИОЛОГИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ КИБЕРНЕТИКА МЕДИЦИНСКАЯ КИБЕРНЕТИКА ТЕХНИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА ЭКОНОМИЧЕСКАЯ КЛАСС ЗАМКНУТЫЙ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ КЛАСС ИНВАРИАНТНЫЙ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ КЛАСС ПРЕДПОЛНЫЙ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ КЛАССИФИКАЦИИ ИЕРАРХИЧЕСКИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ АВТОМАТИЧЕСКАЯ КЛЮЧЕВОЕ СЛОВО КОБОЛ КОД (от лат.  codex)КОД СЕМАНТИЧЕСКИЙ КОДИРОВАНИЕ АВТОМАТНОЕ КОДИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЙ АВТОМАТА КОДИРОВАНИЯ ТЕОРИЯ КОДЫ КОРРЕКТИРУЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СКРЫТЫЕ КОЛМОГОРОВА УРАВНЕНИЯ КОМАНД МОДИФИКАЦИЯ КОМАНД СИСТЕМА КОМАНДА МАШИННАЯ КОМАНДЫ ФОРМАТ КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ КОМБИНАЦИОННАЯ СХЕМА КОМБИНИРОВАННАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА КОМБИНИРОВАННАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ КОМБИНИРОВАННЫЕ МНОЖИТЕЛЬНО-ДЕЛИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА КОМИТ КОММУНИКАЦИОННЫЙ ПРОЦЕССОР «КОМПАНИ ИНТЕРНАСЬОНАЛЬ ПУР Л’ИНФОРМАТИК» (Compagnie internationale pour l’informatique) КОМПАУНДИРУЮЩИЕ СВЯЗИ В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ КОМПЕНСАЦИОННЫЙ СПОСОБ НАСТРОЙКИ И ИЗМЕРЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ КОМПЛЕКСИРОВАНИЕ МАШИН КОМПЛЕКТ ПЕРФОРАЦИОННЫЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОМПЬЮТЕР КОНЕЧНОРАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ, методы сеток КОНКУРЕНЦИИ МОДЕЛИ КОНСТРУКТИВНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ В МАТЕМАТИКЕ, конструктивная математика КОНСТРУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ, рекурсивный анализ, вычислимый анализ «КОНТРОЛ ДЕЙТА КОРПОРЁЙШЕН» (Control Data Corporation) КОНТРОЛЬ ABM КОНТРОЛЬ НАБОРА ЗАДАЧ В АВМ КОНТРОЛЬ ПРОГРАММНЫЙ КОНТРОЛЬ ЦВМ КОНТРОЛЬНИК КОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА КОНЪЮНКЦИЯ КООРДИНАЦИОННО – УПРАВЛЯЮЩИЙ ЦЕНТР ПРЕДПРИЯТИЯ КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА МЕТОД КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ.  КОРНЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА КОРРЕКЦИЯ ДРЕЙФА НУЛЯ КОРРЕКЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ КОРРЕЛЯТОР, коррелометр, коррелограф КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЯРНАЯ (знаковая) КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ СИСТЕМА КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АППАРАТУРНЫЙ АНАЛИЗ случайных процессов КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МЕТОД РАСПОЗНАВАНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ ЧИТАЮЩИЙ АВТОМАТ КОРРЕЛЯЦИЯ в теории вероятностей КОШИ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕДАЧИ АВМ КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛНОТЫ ПОИСКА КОЭФФИЦИЕНТ ТОЧНОСТИ ПОИСКА КРАЕВАЯ ЗАДАЧА КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ. КРАЙНЯЯ ТОЧКА КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ СПОСОБЫ ПРИБЛИЖЁННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИОГЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ КРИОТРОН КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ СЕМАНТИЧЕСКОГО СООТВЕТСТВИЯ КРИТИЧЕСКИЙ ПУТЬ КУБ ФЕРРИТОВЫЙ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ «КИIВ-67» ЛАГ И ТАГ СИСТЕМЫ ЛАГРАНЖА ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАПЛАСА ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА—КЛЕБША УСЛОВИЕ ЛЕНТА МАГНИТНАЯ ЛИНГВИСТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИНГВИСТИКА ПРИКЛАДНАЯ ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНАЯ ФОРМА, линейный функционал, ковектор ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ АНАЛИЗ ЛИСП ЛОГИКА КОНСТРУКТИВНАЯ ЛОГИКА МАЖОРИТАРНАЯ ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ, формальная логика ЛОГИКА МИНИМАЛЬНАЯ ЛОГИКА МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА ПОРОГОВАЯ ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ ВЫСШИХ СТУПЕНЕЙ ЛОГИКИ НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКАЯ РАСПОЗНАЮЩАЯ СИСТЕМА ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ ЛОГИЧЕСКИЙ ЗАДЕРЖИВАЮЩИЙ ЭЛЕМЕНТ ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ АВМ ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ ЦВМ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ЛОКАЛЬНОГО КОДИРОВАНИЯ ПРИНЦИП ЛЯПАС ЛЯПУНОВА МЕТОДЫ «М-20» МАЖОРИТАРНЫЙ ЭЛЕМЕНТ МАЙЕРА ЗАДАЧА МАК-КЛАСКИ АЛГОРИТМ МАКРОКОМАНДА МАКРОМОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МАКСИМИНА ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПРАВДОПОДОБИЯ МЕТОД МАНИПУЛЯТОР «MARK-1» МАРКЕР МАРКОВА ЦЕПЬ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС МАССИВ МАССИВ ИНФОРМАЦИОННЫЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ТЕОРИЯ, теория очередей МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЁТОДЫ В ПОЭТИКЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЦВМ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЦВМ ВНУТРЕННЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, среднее значение МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ МАТРИЦА МАТРИЦА ВТОРЫХ МОМЕНТОВ МАТРИЦА ЗАПОМИНАЮЩАЯ МАТРИЦА ОБУЧАЕМАЯ МАТРИЦА ФЕРРИТОВАЯ МНОГООТВЕРСТНАЯ МАТРИЦА ФЕРРИТОВАЯ СЛОИСТАЯ МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ МАШИНА МАШИНА ЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО КОНТРОЛЯ МАШИННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ МАШИННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СХЕМ МАШИННОЕ СЛОВО МАШИННЫЙ «ИНТЕЛЛЕКТ» МАШИННЫЙ ПЕРЕВОД, автоматический перевод МЕДИЦИНСКАЯ ИНФОРМАЦИОННАЯ СИСТЕМА МЕДИЦИНСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА МЕЖДУНАРОДНАЯ АССОЦИАЦИЯ ПО АНАЛОГОВЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ МЕЖДУНАРОДНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ МЕЖДУНАРОДНАЯ ФЕДЕРАЦИЯ ПО АВТОМАТИЧЕСКОМУ УПРАВЛЕНИЮ МЕЖДУНАРОДНАЯ ФЕДЕРАЦИЯ ПО ОБРАБОТКЕ ИНФОРМАЦИИ МЕМИСТОР МЕРЫ СЛОЖНОСТИ в теории автоматов.  МЕТАЛОГИКА МЕТАМАТЕМАТИКА МЕТАСИМВОЛЫ МЕТАТЕОРИЯ МЕТАТРАНСЛЯТОР МЕТАЯЗЫК МЕТКА МЕТОД ЗАМЕНЫ ЯДРА ВЫРОЖДЕННЫМ МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИЗЪЮНКТИВНЫХ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ МИКРОКОМАНДА МИКРОМОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ МИКРООПЕРАЦИЯ МИКРОПРОГРАММ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. МИКРОПРОГРАММА МИКРОПРОГРАММНАЯ АЛГЕБРА МИКРОПРОГРАММНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МИКРОСХЕМА МИКРОЭЛЕКТРОННАЯ ЭЛЕМЕНТНАЯ БАЗА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ МИЛИ АВТОМАТ МИНИМАКС МИНИМАКСНОЕ РЕШАЮЩЕЕ ПРАВИЛО МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВАЯ СИСТЕМА МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИЯ НАБОРА ПРИЗНАКОВ МИНИМИЗАЦИЯ СХЕМ ЦВМ МИНИМИЗАЦИЯ ЧИСЛА СОСТОЯНИЙ АВТОМАТА «МИНСК» «МИР», машина для инженерных расчетов «МИР-2» (разработана в 1969) |
Математика и живая природа | Образовательная социальная сеть
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Лицей №20»
Секция «МАТЕМАТИКА»
МАТЕМАТИКА И ЖИВАЯ ПРИРОДА
Применение теории матриц к решению задач в биологии.
Выполнил: ученик 11 класса
Животченко Антон
Руководитель: учитель
математики Лицея №20
Сорочкина О.А.
Междуреченск 2012г.
Содержание
Введение
- Теоритическая часть.
- Понятие теории матриц.
- Миграционная матрица.
- Практическая часть.
- Задача на смещение популяции.
Заключение
Литература
Введение.
В последние десятилетия математика всё шире используется при решение различных задач, непосредственно касающихся человека, его образа жизни, здоровья, организации его деятельности и взаимодействие с окружающей средой.
Но не только к человеку, но и ко многим областям, окружающей нас биосферы применим математический подход. Оставим в стороне использование математики во вех отраслях техники, статистики и чистой науки. Посмотрим, какую пользу она может принести биологии.
Выбор именно этой области связан в основном с интересом к человеку как к центральной фигуре нашего мира.
Опять таки все методы решения задач, используемых в математике ( теория вероятности, дифференциальные исчисления, теория множеств и т.д.) охватить в нашем исследовании не представляется возможности. Поэтому мы остановимся только на теории матриц, которая в наши дни находит достаточно широкое применение.
Понятие матриц впервые появилось в математике в связи решением систем линейных уравнений. Первыми использовали это понятие древнекитайские математики во 2 в. до н.э., а в европейской науки он стал применяться с 19в.
Что же такое матрица? В переводе с латинского matricis означает источник. В математике под матрицей понимается прямоугольная таблица, составленная из каких-либо математических объектов ( чисел, математических выражений и т.
д.), обозначаемая обычно заглавными буквами. Понятно, что числа и алгебраические выражения представляют собой определённые данные о предметах, событиях или явлениях.
Матрицы обладают рядом свойств, которые изучал английский математик А. Кэли, после того как в 1858 году ввёл общую операцию их умножения.
Матрицы широко используются в экономике, социологии, физики, и как это не удивительно археологии и истории. Мы попробуем применить их в биологии.
Итак, цель исследования: изучение возможности применения теории матриц к решению биологических задач.
Объект исследования: математический подход к решению проблем биологии
Предмет исследования: теория матриц.
Гипотеза: используя свойства матриц, можно решать многие сложные задачи, в том числе из области биологии.
Для достижении цели и проверки гипотезы, надо было решить следующие задачи:
- Подобрать и изучить литературу по выбранной теме.
- Познакомиться с основными матриц и матричных уравнений.
- Применить полученные данные на решение простейшей задачи на смещение популяции.
- Оформить работу
- Теоретическая часть.
- Понятие о теории матриц.
Матрица, как уже было сказано представляет собой прямоугольную таблицу из чисел, например :
Матрица Р Матрица Q ;
Данные матрицы имеют по две строки и три столбца; говорят, что это 2×3 матрицы. Данные матрицы можно складывать и вычитать выполняя данные действия над соответствующими элементами матриц.
P + Q = =
P – Q = =
В общем случае матрицы могут содержать m строк и n столбцов. Тогда их называют (m×n) матрицы. При m=n матрица называется квадратной. Матрицы можно умножать, но при этом должно выполняться следующее условие: Количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй. Так как в предыдущем примере матрица Q не отвечала условию, то выполнить произведение этих матриц не представляется возможным.
Поэтому возьмём вместо старой, новую матрицу Q
Q = у которой три строки и четыре столбца. Теперь можем образовать произведение PQ, но заметим, что произведение QP образовать нельзя. Что же представляет собой PQ? Первым элементом первой строки матрицы
будет: + + = 47 И видно, что это сумма парных произведений соответствующих элементов первой строки Р и первого столбца Q:
=
Второй элемент первой строки матрицы PQ – это сумма произведений элементов первой строки Р и второго столбца Q. Третий элемент образован первой строкой Р и третьим столбцом Q и т.д. Вторая строка произведения матриц получается из второй строки Р и столбцов Q в аналогичном порядке. Произведя действия, получим матрицу PQ
PQ =
В случае, когда матрицы P и Q квадратные матрицы одного порядка, то есть каждая из них имеет n строк и n столбцов, существуют как матрицы PQ, так и матрицы QP, но вообще говоря, они не равны друг другу.
Матрицы имеющие один единственный столбец, называются векторами.
Рассмотрим в качестве примера умножение квадратной матрицы на вектор:
=
Полученный результат оказывается вектором той же размерности, что и исходный вектор, что и исходный вектор.вектор
Последний пример позволяет понять суть всех матричных применений. Дело в том, что матрицы порядка n имеет обычно n независимых векторов, обладающим замечательным свойством: матрица умноженная на такой вектор переводит его в самого себя, умножая при этом на некий числовой множитель. Такой вектор называется собственным вектором матрицы, а этот числовой множитель – её собственным значением. Рассмотрим пример умножение матрицы на вектор :
В этом случае собственное значение равно 3, а вектор – собственный вектор, соответствующий этому собственному значению.
Чем же важны собственные значения и векторы? Оказывается, поведение любой физической или биологической системы, движение которой математически описывается матричным уравнением, полностью определяется собственными значениями и собственными векторами.
Система может быть устойчивой или не устойчивой, или совершать колебания, и всё это можно узнать, рассматривая собственные значения и векторы. Скрытые свойства матриц проявляются при их последовательном умножении на самих себя. При этом матричное умножение соответствует некоторому действительному преобразованию состояния мира.
1.2. Миграционная матрица.
Введём так называемую биологическую или миграционную матрицу
От места М: К месту
Каждая точка в этой матрице представляет ту часть населения, в процентах, которая перемещается с одного места на другое за единицу времени. Эти части умножаются на значения ( число людей или ещё чего-либо) в местах А, В, С и в результате получаются значения А, В и С спустя единицу времени:
Это матричное уравнение для миграции (переселения). Если эту операцию повторять несколько раз мы увидим как миграция, представленная матрицей М сказывается на значениях в местах А, В и С по пришествии нескольких промежутков времени.
По мере увеличения числа умножений матриц, эти величины всё меньше зависят от их начальных значений, и некоторое время спустя они начинают зависеть, лишь от миграционной матрицы М. Покажем это на примере:
Пусть имеется матрица M = для движениями между двумя популяциями, содержащими соответственно 54 и 108 особей, то есть возьмём n = .
После миграции новые численности популяций представляются элементами вектора n’, где: n’ = M × n = =
Повторение миграции приведёт к вектору:
n’’ = M × n’ = × =
и далее к и в конце концов к . Следовательно, – собственный вектор матрицы М, соответствующий собственному значению 1. Отсюда следует, что любая симметричная картина миграции, представленная элементами матрицы М, не изменяет численности двух популяций, как только последние становятся равны.
- Практическая часть.
2.1. Задача на смещение популяций.
Обратимся к важному явлению в биологии, которому подвержено множество человеческих популяций – смещению.
Под этим термином будем подразумевать объединение групп людей с различными генетическими характеристиками и последующее случайное спаривание. С этим процессом возникает вопросы: можно ли предсказать последствия смешения населения? Заключается ли в наших генах вся история смешения различных рас? И др. На эти вопросы без участия математики биологам ответить трудно. Это обусловлено сложной природой главной генетической системы – системы групп крови, а так же невозможностью обнаружения всех генотипов по её анализу.
Чтобы как-то ответить на поставленные вопросы, используем введённую нами матрицу миграции и тот маленький опыт, который мы получили, рассматривая смещение двух популяций с её помощью.
Теперь для Р популяции матрица смещения квадратная и имеет порядок р×р. Элемент , стоящий в I – й строке и в j – м столбце, представляет ту часть j – го населения, которые мигрируют в I – е население.
Нам нужно также определить матрицу Q, составленную из частот всех генов, во всех популяциях.
Предположим нам надо рассмотреть k генов, тогда матрица Q должна иметь k столбцов и p строк.
М = ; Q =
Каждая строка при этом в матрице Q описывает генетический фонд для одной из популяций. Понятие генетического фонда является важным для больших популяций со случайными спариваниями, так как по существу включает в себя все имеющиеся гены безотносительно к тем индивидуумам, которые ими обладают. В результате умножения матрицы Q слева на матрицу М, получается новая матрица Q’, описывающая состояние генофондов в популяции после миграции и смешивание через одно поколение.
Q’ = Q×M
Каждый столбец матрицы Q можно рассматривать как вектор, который меняется в результате миграции. Это совпадает с тем, что имеется в матричном уравнении для миграции. То, что эти векторы составляют вместе матрицу Q очень удобно, ибо теперь одновременное изменение различных генов во всех популяциях можно описать одним уравнением.
Что бы до конца разобраться, что происходит, упростим нашу задачу, сужая и конкретизируя её.
Пусть имеется только две популяции, в первой из которой геном А обладает населения, а во второй от общего количества. Тогда соответственно геном В в первой популяции обладает а во второй населения. Пусть так же в каждом поколении каждой популяции мигрирует в другую. Вопрос: к чему приведёт эффект смещения?
Составим миграционную матрицу М, и матрицу частот всех генов Q:
М = ; Q =
Запишем миграционное уравнение и определим новые генетические частоты:
Q’ = Q×M
Q’ = =
Из найденных значений видно, что эффект смещения приводит к сближению частот гена А в этих двух популяциях: более высокое значение уменьшается до , а более низкое значение возрастает от , до . Относительно гена В можно сделать такой же вывод:
Если мы захотим определить генетические частоты в следующем поколении, то нам потребуется миграционное уравнение:
Q’’ = Q’×M и т.д.
Задача, в общем-то решена, эффект смещения установлен.
А в заключении хотелось бы отметить, что миграционное уравнение очень важно в популяционной генетики, так как им можно воспользоваться так как им можно воспользоваться не только для определения изменения генетических частот по известным величинам миграции, но и наоборот, по известным частотам можно вычислить коэффициенты миграции.
Заключение:
Проведённое исследование показало, что алгебра матриц применима к решению большого круга важных задач, она упрощает процедуру решения и облегчает понимание процесса. И хотя в нашей работе этот метод к очень упрощённым, утрированным биологическим проблемам, стало ясно, что он может быть использовать и в решении реальных задач генетики, биологии популяций, систематики. Следовательно, высказанная гипотеза полностью подтвердилась, а поставленная цель-достигнута.
Список литературы
- Лайтхилл Дж. и др. В.И. Новые области применения математики Под ред. Дж. Эндрюса и Р. Мак−Лауна. −М.: Мир, 2009.
- Смит Дж. Математические идеи в биологии. − М.: Mиp,2001.
− М.: Mиp,2001.Введение в матричную теорию | Математическая ассоциация Америки
Это краткое и конкретное введение в теорию матриц и линейную алгебру, разработанное как односеместровый курс для студентов, изучающих естественные науки и инженерные науки. Необычно он избегает всех приложений (стр. v: «не отвлекаясь на приложения»). Книга ориентирована на инженерную учебную программу в Индии, которая обычно отводит только один семестр для изучения линейной алгебры или теории матриц (стр. vi).
Это в первую очередь книга о матрицах (а не книга о линейных пространствах), как указывает ее название, но в ней есть несколько более абстрактных глав, посвященных векторным пространствам. Необычно то, что в нем есть глава о матричных нормах, в том числе обсуждение теоремы о сжимающем отображении и матричных экспонент. В книге достаточное количество упражнений. Они делятся на упражнения, которые появляются в конце каждого раздела и представляют собой числовые упражнения, и задачи, которые появляются в конце каждой главы и являются более теоретическими или открытыми и предназначены для «любознательного ученика» (стр.
ви). Никаких ответов или подсказок не дается ни для одного из Упражнений или Задач. (Насколько я могу судить, к этой книге нет дополнений или учебных материалов.)
Я думаю, что лаконичность этой книги и отсутствие в ней всех приложений (включая геометрические) — это недостаток. Книга имеет тенденцию быть сборником определений и примеров определений, и она не дает хорошего представления о том, где этот предмет может быть полезен. В книге много времени уделяется многочисленным каноническим формам матриц, и трудно понять, почему были выбраны именно эти формы, если мы нигде не видим их использования. Эта слабость также затрагивает обращение с собственными векторами и собственными значениями, которые я считаю центральной идеей линейной алгебры, но в этой книге не уделяю должного внимания.
Книга Гилберта Стрэнга Введение в линейную алгебру также является текстом для односеместрового курса. Это также книга матриц, хотя в ней векторы рассматриваются как центральные: умножение матриц — это метод формирования линейных комбинаций столбцов матрицы.
Акцент на векторах придает книге сильный геометрический вид, чего в Сингхе меньше. Глава 6 о собственных значениях и собственных векторах особенно сильна и является «мостом» книги: связывает воедино то, что было сказано ранее, и указывает направление для остальной части книги. В этой книге относительно мало приложений, и они в основном разделены в последней главе, поэтому при желании их можно опустить.
«Линейная алгебра и ее приложения» Дэвида К. Лея и др. также является текстом для курса, рассчитанного на один семестр, хотя в нем гораздо больше материала, чем может уместиться в одном семестре, и ожидается, что преподаватель выберет подмножество, основанное на направленности курса. Отправной точкой для этой книги являются системы линейных уравнений, и это влияет на направление остальной части книги. Эта книга очень сильна в приложениях, и они повсюду чередуются с теорией.
Аллен Стенгер — любитель математики и бывший разработчик программного обеспечения.
С 2010 по 2021 год он был редактором отдела теории чисел журнала Mathematical Sciences штата Миссури. Его личный веб-сайт — allenstenger.com. Его математические интересы связаны с теорией чисел и классическим анализом.
– Что такое теория матриц?
Матрицы представляют собой компактные представления линейных систем уравнений.
Эти типы задач называются «линейными», потому что они тесно связаны с прямыми линиями (и плоскими плоскостями в более высоких измерениях).
Примечание: Матрицы можно использовать самыми разными способами, но в этом ответе я сосредоточусь на их историческом отношении к простым задачам алгебры. Однако следует отметить, что некоторые свойства матриц легче понять с других точек зрения (например, из их приложений в геометрии и т. д.).
В конце будут даны ответы на все ваши вопросы, но потребуется некоторое время, чтобы мотивировать и обосновать эти ответы. Так что, пожалуйста, потерпите меня.
ЗАДАЧА
Помните, в начальной школе вы впервые научились решать задачи, подобные приведенным ниже?
$$ 7х+2у=5\\ 3x-4y=7 $$
Как именно вы решили такую проблему?
С помощью графика
Один из способов состоял в том, чтобы решить оба уравнения относительно $y$, изобразить их в виде двух прямых на декартовой плоскости, найти точку их пересечения и перечислить упорядоченную пару, соответствующую этой точке, в качестве ответа. Вот страница Wolfram Alpha, делающая именно это. Точка пересечения $(1,-1)$; следовательно, решение $x=1$ и $y=-1$.
С этой точки зрения “линейный” характер проблемы достаточно очевиден.
Путем подстановки
Другой стандартный способ решения этой задачи — «подстановка», которая включает решение одного уравнения для $y$ через $x$, а затем подстановку его в другое уравнение для нахождения $x$ ( а затем $y$). Вот так:
$$ 7x+2y=5\\2y=5-7x\\y=\frac{5}{2}-\frac{7}{2}x\\ \ \ \ \\ \ \ \ \\ 3x-4y= 7\\3x-4(\frac{5}{2}-\frac{7}{2}x)=7\\3x-10+14x=7\\17x=17\\x=1\\ \ \ \ \\ y=\frac{5}{2}-\frac{7}{2}(1)\\y=-1 $$
Преимущество этого метода в том, что он менее сложен, чем метод построения графиков, но он также более абстрактен.
Вычислить ответ проще, но связь с геометрией гораздо менее очевидна. С этого момента эта тема будет повторяться: Мы продолжим обменивать очевидность и простоту на элегантные расчеты.
Операции со строками
Последний метод, которому обычно обучают, заключается в выполнении операций над целым уравнением (например, умножении на число), а затем прибавлении к другому уравнению. При продуманном подходе этот метод значительно ускоряет процесс решения проблем. Вот как это может работать в этом случае:
$$ 7х+2у=5\\ 3х-4у=7\\ \ \ \ \\ 2(7x+2y=5) \rightarrow 14x+4y=10\\ \ \ \\(14x+4y=10)\\+ (3x-4y=7)\\ \rule{4 см {0.4pt} \\17x=17\\ \ \ \\ x=1, \text{etc….} $$
Матрицы: исключение Гаусса-Жордана
Если вы немного изучали матричную алгебру, то последний метод должен показаться вам знакомым. Метод «Операции со строками» — это в точности та же идея, что и метод исключения Гаусса-Жордана на расширенной матрице.
Исключение Гаусса-Жордана значительно более абстрактно, чем предыдущие методы, поскольку переменные $x$ и $y$ больше не фигурируют в самой задаче.
Однако все коэффициенты остались, и это главное. Цель в этом случае состоит в том, чтобы привести матрицу в форму эшелона с уменьшенной строкой. Вот быстрая демонстрация:
$$\text{Start:}\ \left(\begin{array}{cc|c}7&2&5\\ 3 & -4 & 7 \end{array}\right)\\ \ text{Верхний ряд x2:} \ \left(\begin{array}{cc|c} 14 & 4 & 10 \\ 3 & -4 & 7 \end{array}\right)\\ \text{Добавить верх к Внизу:} \ \left(\begin{array}{cc|c} 14 & 4 & 10 \\ 17 & 0 & 17 \end{array}\right)\\ \text{Нижняя строка $\div$17:} \ \left(\begin{array}{cc|c}14 & 4 & 10 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \text{Нижняя строка x14:} \\left(\begin {array}{cc|c}14 & 4 & 10 \\ 14 & 0 & 14 \end{array}\right)\\ \text{Вычесть низ сверху:} \ \left(\begin{array}{cc |c} 0 & 4 & -4 \\ 14 & 0 & 14 \end{массив}\right)\\ \text{Верхняя строка $\div$4:} \ \left(\begin{array}{cc|c } 0 & 1 & -1 \\ 14 & 0 & 14 \end{массив}\right)\\ \text{Нижняя строка $\div$14:} \ \left(\begin{array}{cc|c} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{массив}\right)\\ \text{Переключить строки:} \ \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\ 0 и 1 и -1 \конец{массив}\справа) $$
Матрицы: инверсия
Теперь, когда мы видим некоторую связь между матрицами и линейными системами уравнений, естественно задаться вопросом, как представить эту задачу в виде матричного уравнения и легко ли решить это матричное уравнение.
Сначала составим матричное уравнение:
$$ \textbf{A}\vec{x}=\vec{b}\\ \ \ \\ \text{Let, } \textbf{A}=\ влево(\begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 3 & -4 \end{массив}\right), \\vec{x}=\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{массив}\right), \ \text{and} \ \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{массив}\right)\\ \ \ \ \ \поэтому \\left(\begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 3 & -4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{ массив}\справа) = \слева(\начало{массив}{с} 5 \\ 7 \конец{массив}\справа) $$
Отсюда очевидно, что выполнение матричного умножения между матрицей и вектором в левой части уравнения приводит к исходной системе уравнений с самого начала:
$$\left(\begin{array} {cc} 7 & 2 \\ 3 & -4 \end{массив}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{массив}\right) = \left(\begin{ array}{c} 5 \\ 7 \end{массив}\right)\\ \left(\begin{array}{c} 7x+2y \\ 3x-4y \end{массив}\right) = \left( \begin{массив}{c} 5 \\ 7 \end{массив}\справа) $$
Таким образом, можно видеть, что вектор – это просто упорядоченная пара, повернутая на бок .
Верхняя запись — это координата $x$, а нижняя запись — это координата $y$. Таким образом, наша цель в этой задаче — определить компоненты неизвестного вектора $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)$. Для этого мы должны изолировать $\vec{x}$ (точно так же, как если бы это была обычная переменная, а не переменный вектор).
Изолировать $\vec{x}$ означает найти обратную $\textbf{A}$. 9{-1}\textbf{A}=\textbf{I}\\ \ \ \\ \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{массив}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{массив}\right) $$
Для удобства (и поскольку у него есть много других применений) мы определяем $ad-bc$ как “детерминант $\textbf{A}$”. В данной ситуации это важно, потому что это коэффициент, на который необходимо разделить обратную матрицу, чтобы получить единичную матрицу при умножении на $\textbf{A}$. 9{-1}\vec{b}\\ \ \ \\ \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{массив}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{массив}\right) =-\frac{1}{34}\left(\begin{array}{cc} -4 & -2 \\ -3 & 7 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c } 5 \\ 7 \end{массив}\right)\\ \ \ \\ \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{массив}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{массив}\right) $$
Как видите, алгебра теперь намного сложнее, чем основные методы, которые вы изучали в начальной школе.