Матрицы умножение строки на число: Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число k называется матрица В= kA, элементы которой bij = kaij для i = 1, 2, …, m; j = 1,2,…, n

Рис.9

Иначе говоря, при умножении матрицы на постоянную каждый элемент этой матрицы умножается на эту постоянную k*Aij = (k*aij ).

Например, для матриц A и B из предыдущего примера (1) и (2)

В частности, произведений матрицы А на Число «0» есть нулевая матрица, то есть А х 0 = 0.

В MS Excel для выполнения операции умножения матри цы на число могут быть использованы формулы, вводи мые в соответствующие ячейки.

Выаолнить Задание 5. Умножить матрицу на число

Пусть, как и в предыдущем примере (1) матрица A введена в диапазон А1: С2. Необходимо получить матрицу С = 3 х A.

Порядок выполнения.

1. Табличный курсор поставьте в левый верхний угол результирующей матрицы, напри мер в El.

2. Введите формулу =3*А1 для вычисления первого элемента результирующей матрицы (предварительно установив английскую раскладку клавиатуры).

3. Скопируйте введенную формулу в остальные ячейки результирующей матрицы: поставьте табличный курсор в ячейку Е1; наведите указатель мыши на точку в правом нижнем углу ячейки, так чтобы указатель мыши принял вид тонкого крестика;

при нажатой левой кнопке мыши протяните указатель до ячейки G1; таким же образом протяните указатель мыши до ячейки G2.

В результате в ячейках E1:G2 появится матрица, равная исходной матрице, умноженной на постоянную —3.

Умножение матриц

Произведение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пусть A = (aij) m х n , B = (bij

) n х p, тогда размерность произведения А х В равна m х p .

При этом матрица С (размера m х p) называется произведением матриц A и В, если каждый ее элемент сij, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-гo столбца матрицы В:

Таким образом, перемножение матриц осуществляется по следующему правилу:

Пусть например

Рис.10

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций умножения матриц (что следует из определений этих операций).

Для матриц верны общие свойства операции умножения.

1. А(ВС) = (АВ)Сассоциативность.

2. А(В + С) = АВ + АСдистрибутивность.

3. (А + В)С= АВ + ВС.

4. (αА)В = А(αВ) = α(АВ), α ─ константа.

Однако имеются и специфические свойства операций умножения матриц.

5. Умножение матриц некоммутативно — АВ ≠ ВА.

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А i-го порядка на единичную матрицу Е того же порядка, причем это произведение равно А.

6. Если Е — единичная матрица, то ЕА = А; ВЕ = В.

Таким образом, единичная матрица играет при умножении ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

7. Из того, что А х В = 0, не следует, что А = 0 или В = 0.

В алгебре матриц нет действия деления. Выражение

А/В не имеет смысла. Его заменяют два различных выражения В-1 х А и А х В-1 , если существует В-1

Для квадратных матриц возможна операция возведения в степень. По определению полагают, что А0 = Е и А1 = А. Целой положительной степенью Аm (m > 1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, то есть:

Для нахождения произведения двух матриц в Excel используется функция МУМНОЖ, которая вычисляет произведение матриц (матрицы хранятся в массивах).

Функция имеет вид МУМНОЖ (массив1, массив 2). Здесь массив1 и массив2 — это перемножаемые массивы. При этом количество столбцов аргумента массив 1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив2, и оба массива должны содержать только числа. Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

Массив С, который является произведением двух массивов А и В, определяется следующим образом:

где i — номер строки, a j — номер столбца.

Рассмотрим примеры умножения матриц.

Выполнить Задание 6. Найти произведение матриц А и В из выше приведенного примера Рис.10.

Пусть матрица А из рассмотренного примера введена в диапазон A1:D3, а матрица В в диапазон А4 : В7.

Произведение матрицы на число | это… Что такое Произведение матрицы на число?

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.

) между ним и другими подобными объектами.

Правила выполнения операций над матрицами сделаны такими, чтобы было удобно записывать системы линейных уравнений.

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками «(…)» (встречается также выделение квадратными скобками «[…]», двойными прямыми линиями «||…||»).

Числа, составляющие матрицу (элементы матрицы), часто обозначают той же буквой, что и саму матрицу, но строчной.

У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (aij) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца. Говорят «матрица размерности », подразумевая, что в матрице m строк и n столбцов.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений
  • 3 Операции над матрицами
  • 4 Квадратная матрица и смежные определения
  • 5 Свойства матриц
  • 6 Элементарные преобразования матриц
  • 7 Типы матриц
  • 8 Матрица линейного оператора
  • 9 См.
    также
  • 10 Литература
  • 11 Ссылки

История

Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу.

Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений

Систему из m уравнений с n неизвестными

можно представить в матричном виде

и тогда всю систему можно записать так:

AX = B,

где A имеет смысл таблицы коэффициентов aij системы уравнений.

Если

m = n и матрица A невырожденная, то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы A – 1, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева

A – 1AX = A – 1B

A − 1A — превращается в E (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений

X = A – 1B.

Все правила, по которым проводятся операции над матрицами выводятся из операций над системами уравнений.

Операции над матрицами

Пусть aij — элементы матрицы A, а bij — элементы матрицы B.

Линейные операции:

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

bij = λaij

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

cij = aij + bij

Вычитание матриц AB определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C, элементы которой

cij = aijbij

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + Θ = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Нелинейные операции:

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

cij = aikbkj
k

В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть . Умножение матриц не коммутативно.

Умножение матриц ассоциативно. Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Транспонирование матрицы (обозначение: AT) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть

Если A — матрица размера , то AT — матрица размера

Квадратная матрица и смежные определения

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Для квадратных матриц существует единичная матрица E (аналог единицы для операции умножения чисел) такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно

EA = AE = A

У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю

Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица A – 1 такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица:

AA − 1 = E

Обратная матрица существует не всегда. Матрицы, для которых обратная существует, называются невырожденными (или регулярными), а для которых нет — вырожденными (или сингулярными). Матрица невырождена, если все ее строки (столбцы) линейно независимы как векторы. Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) называется рангом матрицы. Определителем (детерминантом) матрицы называется значение нормированной кососимметрической (антисимметрической) полилинейной формы валентности на столбцах матрицы. Квадратная матрица над числовым полем вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Свойства матриц

  1. A + (B + C) = (A + B) + C
  2. A + B = B + A
  3. A(BC) = (AB)C
  4. A(B + C) = AB + AC
  5. (B + C)A = BA + CA
  6. (AT)T = A
  7. (A * B)T = BT * AT

Элементарные преобразования матриц

Основная статья: Элементарные преобразования матрицы

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

  1. Умножение строки на число отличное от нуля
  2. Прибавление одной строки к другой строке

Элементарные преобразование столбцов матрицы определяются аналогично.

Типы матриц

  • Антиперестановочная: AB = − BA
  • Единичная
  • Блочно-диагональная
  • Ганкелева
  • Верхнетреугольная
  • Вырожденная
  • Диагональная
    • Трёхдиагональная
  • Заполненная — в вычислительной математике матрица, которая практически не содержит нулей. Такую матрицу приходится хранить в памяти целиком. Антоним: разреженная.
  • Квадратной называют матрицу, количество строк в которой равно количеству столбцов. Для квадратных матриц существует определитель.
  • Кососимметрическая
  • Нижнетреугольная
  • Нормальная
  • Нулевая
  • Ортогональная
  • Перестановочная: AB = BA
  • Разреженная — в вычислительной математике матрица, содержащая много нулей. Организовав подходящую структуру данных, вычисления с разреженными матрицами можно проводить очень быстро. Частные случаи: диагональная, трёхдиагональная, жорданова. Антоним: заполненная.
  • Симметричная
    1. Симметричная матрица A положительно определена (A > 0), если значения у всех ее главных угловых миноров Ak > 0
    2. Симметричная матрица A отрицательно определена (A < 0), если матрица ( − A) положительно определена, то есть если для любого k главный минор k-го порядка Ak имеет знак ( − 1)k
  • Теплицева
  • Треугольная
  • Эрмитова
  • Циркулянт
  • Унитарная
  • Унимодулярная

Матрица линейного оператора

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис . Пусть  — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

,

где xk — координаты вектора в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть  — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

.

Вектора также разложим в выбранном базисе, получим

,

где  — j-я координата k-го вектора из .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

.

Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец xk даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.

См. также

  • Норма матрицы
  • Определитель матрицы
  • Массив — тип данных в программировании, соответствующий многомерной матрице.
  • Разрежённый массив — компьютерная форма представления матриц со множеством нулей.
  • Линейные матричные неравенства — аппарат для решения задач синтеза законов управления.

Литература

  • Дж. Голуб, Ч.Ван Лоун Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999 (djvu).
  • Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu).
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц (2-е издание). — М.: Наука, 1966 (djvu).
  • Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973 (djvu).
  • Соколов Н. П. Пространственные матрицы и их приложения. — М.: ГИФМЛ, 1960 (djvu).

Ссылки

  • Операции над матрицами онлайн

матриц: умножение матриц | SparkNotes

Скалярное умножение

Чтобы умножить матрицу на скаляр, то есть на одну константу, переменной или выражению, умножьте все элементы матрицы на скаляр:


Например,


Скалярное умножение является распределительным: ± ( A + B ) = ± A + ± B . Например,

4( + ) = 4 +4

Умножение двух матриц

Чтобы умножить две матрицы, мы сначала должны знать, как умножить строку (а матрица 1×p) по столбцу (матрица p×1). Чтобы умножить строку на столбец, умножьте первую запись строки на первую вход в столбец. Затем умножьте вторую запись строки на вторая запись столбца и т. д., и добавить все результаты. ответ должен быть одним числом. Например,

[ 8 –1 3 0 ] = 8(2) + (- 1)(6) + 3(- 4) + 0(- 2) = 16 – 6 – 12 + 0 = – 2

Строка может быть умножена на столбец тогда и только тогда, когда строка и столбец столбец имеет одинаковое количество записей. Точно так же две матрицы могут умножаться тогда и только тогда, когда первая матрица имеет одинаковое количество столбцы, так как вторая матрица имеет строки. То есть две матрицы могут перемножаться тогда и только тогда, когда они имеют размеры м × р и р × п . Ответом будет матрица с тем же количеством строк как первая матрица и такое же количество столбцов, как вторая матрица. Другими словами, он будет иметь размерность м × n .

ПУНКТ Чтобы умножить две матрицы, умножьте каждую строку первой матрицы на каждую столбец второй матрицы. Поместите результат умножения 1-го строку по 1-му столбцу в 1-й строке и 1-м столбце ответа матрица. Поместите результат умножения 1-й строки на 2-й столбец в 1-й строке и втором столбце матрицы ответов. В общем, поместите результат умножения строки i по столбцу j в строке i и столбец j матрицы ответов.

Вот пример умножения матриц:


1-й ряд, 1-й столбец:

= 1(5) + 6(2) + – 2(- 1) = 5 + 12 + 2 = 19

Ряд 1, столбец 2:

= 1(0) + 6(4) + (- 2)(- 2) = 0 + 24 + 4 = 28

Ряд 1, столбец 3:

= 1(- 1) + 6(0) + (- 2)(4) = – 1 + 0 – 8 = – 9

Ряд 1, столбец 4:

= 1(1) + 6(6) + (- 2)() = 1 + 36 – 1 = 36

Строка 2, столбец 1:

= 0(5) + (- 3)(2) + 10(- 1) = 0 – 6 – 10 = – 16

и так далее. ..

Таким образом, ответ


r – Перемножение элементов матрицы в зависимости от чисел и строк имен строк и имен столбцов (2)

Этот вопрос похож на тот, который я задал здесь. У меня снова есть очень большая матрица с идентичными именами строк и столбцов. Эти имена представляют собой строку из трех букв, за которой следует число. Строка из трех букв повторяется, и меняется только число. После нескольких повторений строка меняется, и число снова начинается с 1.

В основном то, что я ищу, – это выполнение конкретных вычислений на основе имени строки и имени столбца каждого элемента.

Я приведу небольшой пример того, что я ищу. Вот матрица a :

 матрица <- матрица (c (1:36), nrow = 6, byrow = TRUE)
имена <- paste(rep(c("aaa", "bbb", "ccc"), each = 2), rep(c(1:2), times = 3))
имена строк (матрица) <- имена
colnames(matrix) <- имена
 

, что дает:

 aaa 1 aaa 2 bbb 1 bbb 2 ccc 1 ccc 2
ааа 1 1 2 3 4 5 6
ааа 2 7 8 9 10 11 12
1 13 14 15 16 17 18
ббб 2 19 20 21 22 23 24
ссс 1 25 26 27 28 2930
ссс 2 31 32 33 34 35 36
 

Для каждого элемента этой матрицы я хотел бы сделать умножение.

Оставить комментарий