Главная
Матрицы в алгебре: Матрицы в математике: определения и применение

Матрицы в алгебре: Матрицы в математике: определения и применение

Содержание

Лекция 19. Алгебра матриц

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 2.

Лекция 19. Алгебра матриц.

Краткое содержание: Основные определения, действия с матрицами и их свойства, нулевая и единичная матрицы, обратная матрица и ее свойства, обратимые матрицы.

Глава 1. Алгебра матриц.

п.1. Основные определения.

Пусть К – поле. Элементы поля К мы будем называть скалярами. Под полем К можно понимать или поле действительных чисел или поле комплексных чисел.

Определение. Матрицей размера над полем К называется таблица элементов поля К, имеющую строк и столбцов.

Обозначение:

.

Определение. Элементы называются элементами матрицы, где i – номер строки, в которой находится элемент , j – номер столбца.

Определение. Матрица размеров :

называется строкой длины .

Определение. Матрица размеров :

называется столбцом высоты .

Определение. Матрица размеров называется квадратной матрицей – го порядка.

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

В квадратной матрице выделяют две диагонали, как диагонали квадрата: главную диагональ и побочную диагональ.

Главную диагональ образуют элементы , т.е. элементы с одинаковыми нижними индексами.

Побочную диагональ образуют элементы .

Определение. Квадратная матрица, в которой все элементы вне главной диагонали равны 0, называется диагональной:

.

Определение. Матрица В размера называется транспонированной по отношению к матрице А размера , если к – й столбец матрицы В состоит из элементов к – й строки матрицы А, для всех .

Обозначение: .

Определение. Процесс (процедура) получения транспонированной матрицы из данной называется транспонированием матрицы.

Пример:

, .

Определение. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые размеры и для всех значений индексов выполняется равенство .

п.2. Сложение матриц.

Определение. Суммой матриц и одинаковой размерности называется третья матрица такой же размерности , где ее элементы определяются равенством для всех значений индексов.

Обозначение: .

Другими словами, для того, чтобы найти сумму двух матриц одинаковой размерности, нужно сложить соответствующие элементы (т.е. элементы, имеющие одинаковые нижние индексы) этих матриц.

Замечание. Сложение матриц различных размеров не определено. (Их нельзя складывать!)

Пример: , ,

.

Определение. Матрица В называется противоположной матрице А, если она удовлетворяет равенству , где 0 – нулевая матрица.

Обозначение: .

Множество всех матриц размера над полем K обозначим через

Теорема. (Свойства сложения матриц.)

Множество относительно сложения является абелевой группой.

Другими словами, сложение матриц подчиняется следующим законам:

1) ассоциативность: справедливо равенство ;

2) существование нулевой матрицы:

– нулевая матрица, такая, что верны равенства ;

3) существование противоположной матрицы:

, : ;

4) коммутативность:

.

п.3. Умножение матрицы на скаляр.

Определение. Произведением скаляра на матрицу называется матрица тех же размеров, что и матрица А, где элементы определяются равенством , для всех значений индексов.

Обозначение: .

Другими словами, для того, чтобы умножить матрицу на скаляр, нужно каждый элемент матрицы умножить на данный скаляр.

Пример:

,

.

Замечание. Легко видеть, что умножив матрицу на (–1) мы получаем противоположную матрицу: .

Теорема. (Свойства умножения матрицы на скаляр.)

Умножение матрицы на скаляр подчиняется законам:

5) ассоциативность: и

;

6) если 1 – единица поля K, тогда

;

7) дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров: и

;

8) Дистрибутивность умножения относительно сложения матриц: и

.

Следствие. Множество относительно сложения матриц и умножения матриц на скаляр является векторным пространством над полем К.

Обозначим через множество всех столбцов высоты n с элементами из поля K.

Следствие. Множество является векторным пространством над полем K.

Определение. Векторное пространство называется арифметическим векторным пространством столбцов высоты n.

п.4. Умножение матриц.

Определение. Произведением строки длины n на столбец высоты n называется скаляр, вычисляемый по правилу:

.

Замечание. Из определения следует, что для умножения строки на столбец необходимо, чтобы длина строки была равна высоте столбца. В противном случае произведение строки на столбец не определено.

Пример.

Определение. Произведением матрицы размера на матрицу размера называют матрицу размера , где элемент является результатом произведения – й строки матрицы А на – й столбец матрицы В для всех значений индексов , , т. е.

или

.

Обозначение: .

Другими словами, чтобы умножить две матрицы, нужно каждую строку первой матрицы умножить на каждый столбец второй матрицы. Умножая первую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы мы получим все элементы первой строки матрицы произведения, затем делаем то же самое для второй строки первой матрицы и т.д.

Замечание. Из определения следует, что умножение матриц возможно только тогда, когда ширина первой матрицы (т.е. число ее столбцов) равна высоте второй (т.е. числу ее строк)

Пример.

.

Определение. Квадратную матрицу – го порядка называют единичной матрицей n-го порядка и обозначают буквой Е, если для любой квадратной матрицы А – го порядка справедливо равенство: .

Множество всех квадратных матриц n-го порядка будем обозначать через .

Теорема. Множество содержит единичную матрицу n-го порядка, которой является матрица

.

Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.

Теорема. Единичная матрица Е является единственной в множестве .

Доказательство. Пусть еще одна единичная матрица. Тогда, по определению, . Положим , тогда . Далее, по определению, . Положим здесь . Получаем равенство, отсюда имеем , ч.т.д.

Заметим, что точно также доказывается единственность нейтрального элемента (при условии его существования) в любой алгебраической структуре.

Теорема доказана.

Из теоремы следует, что никакая другая матрица, кроме матрицы не является единичной.

Теорема. (Свойства умножения матриц.)

Умножение матриц подчиняется следующим законам:

9) ассоциативность:

;

10) существование единичной матрицы:

: ;

дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:

11) дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:

и

12) умножение матриц связано с умножением матрицы на число естественным законом: и верно равенство:

.

Замечание. Для квадратных матриц одного порядка выполняются все 12 свойств. Это говорит о том, что множество всех квадратных матриц одного и того же порядка образует алгебру матриц над полем К.

Замечание. Умножение матриц не обладает свойством коммутативности. Для доказательства достаточно привести один контрпример.

Пусть , . Тогда , .

Аналогичный пример можно привести для квадратных матриц любого порядка.

Последнее равенство говорит о том, что квадратные матрицы имеют делители нуля.

Следствие. Множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем K является некоммутативным кольцом с единицей и с делителями нуля.

Доказательство. На множестве всех квадратных матриц n-го порядка над полем K определены две операции: сложение матриц и их умножение, которые подчиняются законам 1) – 4) и 9) – 11), откуда и следует, по определению, что является кольцом с единицей (см. лекцию 1, п.14 и п.15). Пример, приведенный перед формулировкой данного следствия, показывает, что кольцо имеет делители нуля.

Следствие доказано.

Определение. Натуральной степенью квадратной матрицы А называется матрица .

Нулевую степень квадратной матрицы А – го порядка по определению полагают равной единичной матрице того же порядка: .

п.5. Обратная матрица.

Определение. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если

.

Из определения следует, что если матрица А имеет обратную, то обе они должны быть квадратными матрицами одного порядка.

Из определения следует, что если матрица В является обратной по отношению к матрице А, то и матрица А является обратной по отношению к матрице А.

Определение. Матрица имеющая обратную матрицу называется обратимой.

Теорема. Если квадратная матрица А имеет обратную, то она единственная.

Доказательство. Пусть В и С – две матрицы обратные к матрице А. Тогда и . Имеем,

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Заметим, что точно также доказывается единственность симметричного элемента в любой полугруппе при условии его существования.

Обозначение: если матрица А обратимая, то обратная к ней обозначается (мы можем это сделать в силу ее единственности) через .

Заметим, что если матрица А обратимая, то обратная к ней матрица также является обратимой.

Обозначение. Множество всех обратимых матриц n-го порядка над полем K обозначается через

.

Теорема. (Свойства обратных матриц.)

1. Произведение обратимых матриц одного и того же порядка является обратимой матрицей:

, и .

2. Единичная матрица является обратимой, т.е. если Е – единичная матрица n-го порядка, то

и .

3. Если А обратимая, то и также является обратимой, т.е. если , то и .

Доказательство. 1) Пусть А и В – обратимые матрицы и , – обратные к ним. Покажем, что произведение является матрицей обратной к произведению :

.

Аналогично получаем . Следовательно, матрица АВ имеет обратную и . Отсюда следует, что матрица АВ является обратимой, т.е. , ч.т.д.

2) Так как , то по определению, , т.е. единичная матрица имеет обратную и, следовательно, единичная матрица является обратимой и .

3) Действительно, из определения следует, что матрица А является обратной по отношению к матрице , следовательно, матрица обратимая и . Более того, в силу единственности обратной матрицы следует, что

.

Теорема доказана.

Следствие. Множество является некоммутативной группой относительно умножения.

Доказательство. На множестве умножение матриц является внутренней бинарной алгебраической операцией, поэтому осталось лишь проверить аксиомы группы.

1) Ассоциативность умножения в множестве выполняется потому что умножение квадратных матриц ассоциативно (см теорему о свойствах умножения матриц).

Далее, в предыдущей теореме доказано, что:

2) единичная матрица ;

3) существует обратная ей .

Следствие доказано.

Определение. Обратимая квадратная матрица называется также неособой или невырожденной. Если квадратная матрица не имеет обратной, то она называется особой или вырожденной.

Замечание. Легко доказать существование особых матриц. Например, матрица

является особой (вырожденной, необратимой). Действительно, если бы она была обратимой, то существовала бы обратная к ней и . Пусть далее, . Тогда и отсюда получаем

или , т.е. получаем противоречие.

Аналогично, легко показать существование особых матриц любого порядка. Отсюда следует вывод, что не все квадратные матрицы являются обратимыми.

В дальнейшем, мы найдем необходимое и достаточное условие обратимости квадратной матрицы любого порядка и не только докажем существование обратимых матриц, отличных от единичной матрицы, но и выведем формулу для ее вычисления.

Раздел 3. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

Раздел 3. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

6.

Матрицы, определители

6.1.

Основы линейной алгебры. Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами

Сегодня вы изучите вопросы

  1. Основы линейной алгебры

  2. Основные понятия линейной алгебры

  3. Понятие матрицы

Изучив тему занятия, вы сможете

  • умножать матрицу на число;

  • производить линейные операции над матрицами;

  • умножать матрицы;

  • возводить матрицы в натуральную степень.

Элементы линейной алгебры широко используются при решении большого числа прикладных экономических и управленческих задач. Успешное усвоение основных понятий данного занятия является основой для ее применения.

Основные понятия

6. 1.1.

Матрица. Основные понятия

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,…, X, Y, Z, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: , где

 — номер строки;

 — номер столбца.

Например, матрица размеров имеет вид:

или в сокращенной записи

Например, матрица размеров имеет вид:

.

Наряду с круглыми скобками для обозначения матриц используются

и другие:

Две матрицы А и В одинаковой размерности называются равными, если при всех

Виды матриц

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей (вектором)-столбцом и обозначается , а состоящая из одной строки — матрицей (вектором)-строкой, соответственно обозначается .

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:

.

Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы порядка n, а элементы  — побочную диагональ.

Например,

 — квадратная матрица третьего порядка, элементами главной диагонали являются числа 1, 5, 9, а побочной — 7, 5 ,3.

Если все элементы, кроме элементов, образующих главную диагональ квадратной матрицы, равны нулю, то такая матрица называется диагональной.

Например,  — диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается буквой Е.

Например,  — единичная матрица третьего порядка.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О. Нулевая матрица имеет следующий вид:

.

В линейной алгебре матрицы Е и О играют такую же роль, какую играют числа 1 и 0 в арифметике.

Матрица, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной и обозначается .

Пример 1. Так, если , то .

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: .

6.1.2.

Действия над матрицами

Умножение матрицы на число

Пусть  — произвольная матрица,  — произвольное действительное число.

Произведением матрицы А на число называется новая матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число , т.е.

.

Например,

Таким образом, можно выделить следующее следствие.

Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Сложение и вычитание матриц

Эта операция определяется только для матриц одинаковой размерности (формата).

Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности называется новая матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих (стоящих на одинаковых местах) элементов данных матриц.

Например, пусть А и В — матрицы размерности . Тогда по определению под суммой понимается

или .

Вышеприведенные действия над матрицами называются линейными.

Линейные операции над матрицами обладают следующими свойствами.

  1. Переместительность (коммутативность) умножения матрицы на число .

  2. Сочетательность (ассоциативность) со скалярным множителем .

  3. Переместительность (коммутативность) сложения матриц .

  4. Сочетательность (ассоциативность) сложения матриц .

  5. Распределительность (дистрибутивность) сложения матриц относительно умножения на число .

  6. Распределительность (дистрибутивность) относительно сложения чисел .

Таким образом, линейные операции над матрицами можно выполнять по аналогии с привычными правилами алгебры чисел.

Вычитание для матриц (как и для чисел) определяется как действие, обратное сложению. Разностью матриц А и В(А — В) одинаковой размерности называется такая матрица С, что

В + С = А.

Легко заметить, что матрица С, удовлетворяющая этому условию, всегда существует, и притом только одна. Ее элементы определяются равенствами

.

Таким образом, при вычитании матриц вычитаются соответствующие элементы этих матриц.

Например, .

Замечание. Знаки сравнения () для матриц любого формата лишены смысла.

Умножение матриц

Умножение матрицы А на матрицу В (рассматриваются именно в таком порядке) определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

Иначе говоря, если порядок матрицы А равен , то порядок согласованной с ней матрицы В должен быть , где  — любые натуральные числа.

Произведением матрицы на матрицу называется такая матрица , что

, где

Таким образом, для вычисления элемента , стоящего в строке и в столбце матрицы С, следует каждый элемент строки матрицы А умножить на соответственный элемент столбца матрицы В и результат сложить.

Примеры:

    1) .

    2) .

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

    1) ;

    2) ;

    3) ;

    4) .

Заметим, что умножение матриц некоммутативно: .

Выше было определено, что операция умножения имеет место только для согласованных матриц А и В, при этом матрицы, взятые в ином порядке (В и А), могут оказаться несогласованными, тогда их произведение не определено. Но даже в том случае, когда согласованность матриц не нарушается, произведения АВ и ВА могут оказаться разными.

Например, для матриц

и имеем:

, но

.

Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими). Очевидно, это может иметь место только в том случае, когда А и В — квадратные матрицы одного и того же порядка.

Например, коммутирующими являются матрицы

и .

Действительно,

,

то есть для данных матриц АВ = ВА.

Еще одно замечание: произведение двух матриц может быть нуль-матрицей, даже если ни один из сомножителей не является нуль-матрицей.

Например, пусть даны матрицы и . Найдем произведение АВ и ВА:

;

.

Отсюда следует, что умножение матриц обладает рядом свойств, не характерных для умножения действительных чисел, поэтому при действиях с матрицами необходимо проявлять осмотрительность и аккуратность.

В заключение, отметим свойства, присущие операции транспонирования:

    1) ;

    2) ;

    3) .

Возведение в степень

На основе определения произведения матриц умножать матрицу А на себя можно только в том случае, если это квадратная матрица.

Пусть k — целое неотрицательное число, тогда k-й степенью квадратной матрицы А называется матрица, которая вычисляется следующим образом:

Пример. Найти куб матрицы .

;

.

Контрольные вопросы

  1. Что называется матрицей? Перечислите виды матриц.

  2. Какую роль в линейной алгебре играют единичная и нулевая матрицы?

  3. Какая матрица называется диагональной?

  4. Дайте определение квадратной матрицы.

  5. Какая матрица называется транспонированной по отношению к данной?

  6. Для каких матриц определена операция сложения?

  7. Перечислите основные свойства сложения матриц.

  8. Какие матрицы называются коммутирующими между собой?

  9. Для каких матриц определена операция умножения?

  10. Перечислите основные свойства умножения матриц.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Примеры для самоподготовки

(действия над матрицами)

  1. Найти сумму матриц

    +

    Ответ. 

  2. Найти сумму матриц

    +

    Ответ. 

  3. Найти сумму матриц

    +

    Ответ.  

  4. Найти разность матриц

     —

    Ответ. 

  5. Найти разность матриц

     —

    Ответ. 

  6. Найти произведение действительного числа на матрицу

    Ответ. 

  7. Найти произведение действительного числа на матрицу

    Ответ. 

  8. Найти произведение матриц

    ∙

    Ответ. 

  9. Найти произведение матриц

    ∙

    Ответ. 

  10. Найти произведение матриц

    ∙

    Ответ. 

Задание 2. Примеры для самопроверки

(отметьте правильный вариант ответа)

  1. Найти сумму матриц

    +

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5)

  2. Найти сумму матриц

    +

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

  3. Найти сумму матриц

    +

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5)

  4. Найти разность матриц

     —

      1) ;

      2) ;

      3)

      4) ;

      5)

  5. Найти разность матриц

     —

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

  6. Найти разность матриц

     —

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

  7. Найти произведение действительного числа на матрицу

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

  8. Найти произведение действительного числа на матрицу

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

  9. Найти произведение действительного числа на матрицу

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

  10. Найти произведение матриц

    ∙

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

  11. Найти произведение матриц

    ∙

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

  12. Найти произведение матриц

    ∙

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

  13. Найти произведение матриц

    ∙

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

  14. Найти произведение матриц

    ∙

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

  15. Найти произведение матриц

    ∙

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

  16. Найти произведение матриц

    ∙ :

      1) ;

      2) ;

      3) ;

      4) ;

      5) .

Wolfram|Alpha Примеры: Матрицы

Ого! Wolfram|Alpha не работает без JavaScript.

Пожалуйста, включите JavaScript. Если вы не знаете, как это сделать, вы можете найти инструкции здесь. Как только вы это сделаете, обновите эту страницу, чтобы начать использовать Wolfram|Alpha.

Примеры для

Матрица — это двумерный массив значений, который часто используется для представления линейного преобразования или системы уравнений. Матрицы обладают многими интересными свойствами и являются основной математической концепцией линейной алгебры, а также используются в большинстве научных областей. Матричная алгебра, арифметика и преобразования — это лишь некоторые из многих матричных операций, в которых Wolfram|Alpha преуспевает.

Свойства матрицы

Исследуйте различные свойства данной матрицы.

Вычислить свойства матрицы:
{{6, -7}, {0, 3}}{{1, -5, 8}, {1, -2, 1}, {2, -1, -5 }}

Трассировка

Вычислить трассировку или сумму членов на главной диагонали матрицы.

Вычислить след матрицы:
tr {{9, -6, 7}, {-9, 4, 0}, {-8, -6, 4}}tr {{a, b}, {c , d}}

Сокращение строк

Приведение матрицы к сокращенной ступенчатой ​​форме строк.

Ряд уменьшить матрицу:
сокращение строки {{2, 1, 0, -3}, {3, -1, 0, 1}, {1, 4, -2, -5}}калькулятор сокращения строки

Диагонализация

Найти диагональ квадратная матрица.

Диагонализация матрицы:
диагонализация {{1, 2}, {3, 4}}

Типы матриц

Найдите информацию о различных видах матриц.

Определить, обладает ли матрица указанным свойством:
Является ли {{3, -3}, {-3, 5}} положительно определенной?
Получить информацию о типе матрицы:
Матрицы ГильбертаМатрицы Ганкеля
Укажите размер:
Матрица Гильберта 5×5

Матричная арифметика

Сложение, вычитание и умножение векторов и матриц.

Сложить матрицы:
{{1, 2}, {3, 4}} + {{2, -1}, {-1, 2}}
Умножить матрицы:
{{2, -1}, {1 , 3}} . {{1, 2}, {3, 4}}
Матричный векторный продукт:
{{2, -1, 1}, {0, -2, 1}, {1, -2, 0}} . {x, y, z}

Определитель

Вычислить определитель квадратной матрицы.

Вычислить определитель матрицы:
определитель {{3, 4}, {2, 1}}det({{9, 3, 5}, {-6, -9, 7}, {-1, -8, 1}})det {{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, j}}

Собственные значения и собственные векторы

Вычислить собственную систему заданной матрицы.

Вычисление собственных значений матрицы:
собственных значений {{4, 1}, {2, -1}}
Вычисление собственных векторов матрицы:
собственных векторов {{1, 0, 0}, {0, 0, 1 }, {0, 1, 0}}
Вычисление характеристического полинома матрицы:
характеристический полином {{4, 1}, {2, -1}} Разложение матрицы

Преобразование матрицы в указанное разложение.

Вычислить LU-разложение квадратной матрицы:
LU-разложение {{7, 3, -11}, {-6, 7, 10}, {-11, 2, -2}}
Вычислить сингулярное разложение :
SVD {{1, 0, -1}, {-2, 1, 4}}Другие примеры

ИДТИ ДАЛЬШЕ

Пошаговые решения для линейной алгебры

Линейная алгебра Web App

Бесплатный неограниченный линейной алгебры Практические задачи

СВЯЗАННЫЕ ПРИМЕРЫ

  • Алгебра
  • Решение уравнений
  • Линейная алгебра 9(-1)
    Найти псевдоинверсию:
    инверсия {{1, -4, 3}, {2, -5, 8}}

    Другие операции с матрицами

    Выполнение различных операций, таких как сопряженное преобразование, над матрицами.

    Вычислить транспонирование матрицы:
    транспонировать {{-3, 2}, {5, 1}}
    Вычислить ранг матрицы:
    rank {{6, -11, 13}, {4, -1 , 3}, {3, 4, -2}}
    Вычислить недействительность матрицы:
    недействительность {{6, -11, 13}, {4, -1, 3}, {3, 4, -2} }
    Вычислить сопряжение матрицы:
    сопряжение {{8, 7, 7}, {6, 9, 2}, {-6, 9, -2}}Геометрические преобразования

    Найдите матричные представления для геометрических преобразований.

    Вычислить матрицу вращения 2 x 2:
    повернуть на 30 градусов
    Вычислить матрицу отражения 3 x 3:
    отразить через x + y + z = 1Больше примеров

    Matrix Algebra Refresher – MATLAB & Simulink

    Matrix Algebra Refresher

    Введение

    Объяснения в следующих разделах должны помочь освежить ваши навыки работы с матрицами алгебра и использование MATLAB ® функции.

    Кроме того, Макро-инвестиционный анализ Уильяма Шарпа также предоставляет отличное объяснение операций матричной алгебры с использованием MATLAB. Он доступен в Интернете по адресу:

     https://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/mia.htm

    Сложение и вычитание матриц

    Сложение и вычитание матриц выполняются поэлементно. Две входные матрицы должны иметь одинаковые размеры. В результате получается новая матрица тех же размеров где каждый элемент представляет собой сумму или разность каждого соответствующего входного элемента. За Например, рассмотрите возможность объединения портфелей с разным количеством одних и тех же акций. («доли акций A, B и C [строки] в портфелях P и Q [столбцы] плюс акции A, B и C в портфелях R и S»).

     Портфели_PQ = [100 200
                 500 400
                 300 150];
Портфели_RS = [175 125
                 200 200
                 100 500];
NewPortfolios = Portfolios_PQ + Portfolios_RS 
     NewPortfolios =
        275 325
        700 600
        400 650

    Добавление или вычитание скаляра и матрицы разрешено и также работает поэлементно.

     SmallerPortf = NewPortfolios-10 
     Меньший Портф =
        265,00 315,00
        690,00 590,00
        390,00 640,00

    Умножение матриц

    Умножение матриц , а не работает поэлементно. Это работает по правилам линейной алгебры. При умножении матриц помогает чтобы помнить это ключевое правило: внутренние размеры должны быть одинаковыми. То есть, если первая матрица m -by- 3 , вторая должна быть 3 -by- n . Результирующая матрица м n . Это также помогает «поговорить через» единицы каждой матрицы, как упоминалось в разделе «Анализ наборов чисел с помощью матричных функций».

    Умножение матриц также является , а не коммутативным; то есть это не зависит от порядка. A*B делает , а не равным B*A. Размер правило иллюстрирует это свойство. Если А равно 1 -by- 3 матрица и B равна 3 -на- 1 матрица, A*B дает скалярная ( 1 -by- 1 ) матрица, но B*A дает 3 3 матрица.

    Умножение векторов

    Умножение векторов следует тем же правилам и помогает проиллюстрировать принципы. Например, портфель акций состоит из трех различных акций и их цены закрытия сегодня:

     ClosePrices = [42,5 15 78,875]

    Портфель содержит это количество акций каждой акции.

     Количество акций = [100
             500
             300]

    Чтобы найти стоимость портфеля, умножьте векторы

     PortfValue = ClosePrices * NumShares

    что дает:

     PortfValue =
            3.5413e+004

    Векторы 1 – 3 и 3 1 ; результирующий вектор 1 -by- 1 , скаляр. Умножение этих Таким образом, векторы означают умножение каждой цены закрытия на соответствующее количество акции и подведение итогов.

    Чтобы проиллюстрировать зависимость от порядка, измените порядок векторов

     Значения = NumShares * ClosePrices 
     Значения =
  1.0e+004 *
    0,4250 0,1500 0,7887
    2,1250 0,7500 3,9438
    1,2750 0,4500 2,3663

    , который показывает стоимость закрытия 100, 500 и 300 акций каждой акции, не стоимость портфеля, и это не имеет смысла для этого примера.

    Вычисление скалярных произведений векторов

    В матричной алгебре, если X и Y равны векторов одинаковой длины

    Y=[y1,y2,…,yn]X=[x1,x2,…,xn]

    тогда скалярное произведение

    X·Y=x1y1+x2y2+…+xnyn

    равно скалярное произведение двух векторов. Это исключение из коммутативное правило. Чтобы вычислить скалярное произведение в MATLAB, используйте сумма (Х. *У) или сумма(Y .* X) . Убедитесь, что оба вектора имеют одинаковые Габаритные размеры. Чтобы проиллюстрировать, используйте предыдущие векторы.

     Значение = сумма (NumShares .* ClosePrices') 
     Значение =
      3.5413e+004
 
     Значение = сумма (ClosePrices .* NumShares') 
     Значение =
      3.5413e+004

    Как и ожидалось, значение в этих случаях соответствует PortfValue вычислено ранее.

    Умножение векторов и матриц

    Умножение векторов и матриц следует правилам умножения матриц и процесс. Например, матрица портфеля содержит цены закрытия за неделю. А вторая матрица (вектор) содержит количество акций в портфеле.

     WeekClosePr = [42,5 15 78,875
               42,125 15,5 78,75
               42,125 15,125 79
               42,625 15,25 78,875
               43 15,25 78,625];
ПортКуан = [100
            500
            300];

    Чтобы увидеть стоимость портфеля закрытия за каждый день, просто умножьте

     WeekPortValue = WeekClosePr * PortQuan 
     WeekPortValue =
1. 0e+004 *
    3,5412
    3,5587
    3,5475
    3,5550
    3.5513

    Матрица цен 5 – 3 , Матрица количества (вектор) равна 3 – 1 , поэтому результирующая матрица (вектор) равна 5 1 .

    Умножение двух матриц

    Умножение матриц также следует правилам матричной алгебры. В матрице алгебраическое обозначение, если A является m n матрица и B является n – p матрица

    A=[a11a12⋯a1n⋮⋮⋮ai1ai2⋯ain⋮⋮⋮am1am2⋯amn],  B=[b11⋯b1j⋯b1pb21⋯b2j⋯ ⋯bnp]

    , затем C = A * B — это m p матрица; и элемент c ij в i -я строка и j -й столбец C равно

    cij=ai1b1j+ai2b12+…+ainbnj.

    Для иллюстрации предположим, что есть два портфеля одних и тех же трех акций ранее упомянутые, но с другими количествами.

     портфелей = [100 200
              500 400
              300 150];

    Умножение 5 на 3 закрытия недели матрица цен по 3 по 2 портфелям матрица дает матрицу 5 на 2 , показывающую каждую стоимость закрытия дня для обоих портфелей.

     Значения портфеля = WeekClosePr * Портфели 
     Значения портфеля =
1.0e+004 *
    3,5412 2,6331
    3,5587 2,6437
    3,5475 2,6325
    3,5550 2,6456
    3,5513 2,6494

    Значения за понедельник получаются путем умножения цены закрытия каждого понедельника на ее соответствующее количество акций и суммирование результата для первого портфеля, затем делаем то же самое для второго портфеля. Значения вторника являются результатом умножая цену закрытия каждого вторника на соответствующее количество акций и суммируем результат для первого портфеля, затем делаем то же самое для второго портфолио. И так до конца недели. Одной простой командой MATLAB быстро выполняет множество вычислений.

    Умножение матрицы на скаляр

    Умножение матрицы на скаляр является исключением из размерности и коммутативные правила. Он просто работает поэлементно.

     портфелей = [100 200
              500 400
              300 150];
DoublePort = портфели * 2 
     DoublePort =
        200 400
       1000 800
        600 300

    Деление матриц

    Деление матриц полезно в первую очередь для решения уравнений, и особенно для решение одновременных линейных уравнений (см. Решение одновременных линейных уравнений). Например, вы хотите решить на х в А * х = B.

    В обычной алгебре вы бы разделили обе части уравнения на A и X будут равны Б/А . Однако, поскольку матричная алгебра не коммутативна (А * Х ≠ X * A) , применяются разные процессы. В формальная матричная алгебра, решение включает матричную инверсию. MATLAB, однако, упрощает процесс, предоставляя два матричных деления. символы слева и справа ( \ и /). В вообще,

    X = A\B решает для X в A * X = B и

    X = B/A решает для X в Х * А = В .

    В общем случае матрица A должна быть невырожденной квадратной матрицей; что то есть оно должно быть обратимым и иметь одинаковое количество строк и столбцов. (Вообще, матрица обратима, если матрица, умноженная на обратную, равна единичная матрица. Чтобы понять теорию и доказательства, обратитесь к учебнику по линейным алгебра, такая как Элементарная линейная алгебра Хилла, указанная в Библиография.) MATLAB выдает предупреждающее сообщение, если матрица сингулярна или почти сингулярна.

    Решение одновременных линейных уравнений

    Деление матриц особенно полезно при решении одновременных линейных уравнений. Рассмотрим следующую задачу: даны два портфеля ипотечных инструментов, каждый из которых определенную доходность в зависимости от основной ставки, как вы оцениваете портфели по достичь определенных годовых денежных потоков? Ответ включает в себя решение двух линейных уравнения.

    Линейным уравнением является любое уравнение вида

    a1x+a2y=b,

    где a 1 , a 2 и b константы (с 1 и a 2 не оба 0), и x и y являются переменными. (это линейный уравнение, потому что оно описывает линию в xy -самолет. За например, уравнение 2 x + y = 8 описывает линия такая, что если x = 2, то y = 4.)

    Система линейных уравнений — это набор линейных уравнений, которые вы обычно хотите решать одновременно; то есть одновременно. Основной принцип точных ответов при решении одновременных линейных уравнений требуется, чтобы было столько уравнений, сколько есть неизвестные. Чтобы получить точные ответы на x и y , должно быть два уравнения. Например, для решения х и у в системе линейных уравнений

    2x+y=13x−3y=−18,

    должно быть два уравнения, которые есть. Матричная алгебра представляет это система в виде уравнения с тремя матрицами: A для левые константы, X для переменных и B для правых констант

    A=[211−3],     X=[xy],     B=[13−18],

    , где A * X = Б .

    Решение системы одновременно означает решение X . С использованием MATLAB,

     А = [2 1
     1-3];
В = [13
    -18];
 
     Х = А\В

    решает для X в A * X = B .

     Х = [3 7]

    Итак, х = 3 и y = 7 в этом примере. В вообще, вы можете использовать матричную алгебру для решения любой системы линейных уравнений, таких как AS

    A11X1+A12X2+…+A1NXN = B1A21X1+A22X2+…+A2NXN = B2 ⋮ AM1X1+AM2X2+…+AMNXN = BM

    , представляя их в качестве матрица

    A = [A11A12 ⋯1NA21a21a21a221 am21a21 a1na21 a1na21 a1na21. ],     X=[x1x2⋮xn],     B=[b1b2⋮bm]

    и решение для X в A * X = В .

    Для иллюстрации рассмотрим эту ситуацию. Имеются два портфеля ипотечных кредитов. инструменты М1 и М2. У них есть текущие ежегодные выплаты наличными в размере 100 и 70 долларов США на человека. ед., соответственно, исходя из сегодняшней основной ставки. Если основная ставка снизится на один процентных пункта, их выплаты составят 80 и 40 долларов. Инвестор владеет 10 единицами М1 и 20 единиц М2. Доходы инвестора равны наличным платежам, умноженным на единицы, или R. = C * U для каждого сценария с первоклассной ставкой. В виде словесных уравнений:

     

    M1

    M2

    Prime flat:

    $100 * 10 units

    + $70 * 20 units = $2400 receipts

    Prime down:

    80 долл. США * 10 единиц

    + 40 долл. США * 20 единиц = квитанции по 1600 долл. США0004

     Наличные = [100 70
         80 40];
Единицы = [10
        20];
Поступления = Денежные средства * Единицы 
     Поступления =
       2400
       1600

    Теперь инвестор задает вопрос: учитывая эти два портфеля и их характеристики, сколько единиц каждой из них они должны иметь, чтобы получить 7000 долларов, если основная ставка остается неизменной и 5000 долларов, если основная ставка упадет на один процентный пункт? Найди Ответьте, решив два линейных уравнения.

     

    M1

    M2

    Prime flat:

    $100 * x units

    + $70 * y units = $7000 поступления

    Prime down:

    80$ * x единиц

    + 40$ * y

    0 единиц =

    $ единиц квитанции

    Другими словами, найдите U (единиц) в уравнении R (квитанции) = C (наличные) * U (единицы). Используя MATLAB левое деление

     Денежные средства = [100 70
         80 40];
Поступления = [7000
            5000];
Единицы = Наличные \ Поступления
 
     Единицы =
         43.7500
         37.5000

    Инвестор должен владеть 43,75 ед. портфеля M1 и 37,5 ед. портфеля M2 для достижения желаемого годового дохода.

    Рабочий элемент по элементу

    Наконец, поэлементные арифметические операции называются операциями. К указать операцию массива MATLAB, поставить перед оператором точку ( . ). Сложение и вычитание, умножение матриц и деление на скаляр уже является операцией с массивом, поэтому точка не нужна. Когда при использовании операций с массивами над двумя матрицами размеры матриц должны быть такой же. Например, при заданных векторах дивидендов по акциям и цен закрытия

     Дивиденды = [1,90 0,40 1,56 4,50];
Цены = [25,625 17,75 26,125 60,50];
Доходность = Дивиденды ./ Цены 
     Доходность =
    0,0741 0,0225 0,0597 0,0744

    См. также

    • Анализ наборов чисел с помощью матричных функций
    • Использование входных и выходных аргументов с функциями

    Вы щелкнули ссылку, соответствующую этой команде MATLAB:

    Запустите команду, введя ее в командном окне MATLAB.

    Оставить комментарий

    Меню