Матрица в математике – примеры с решением, теоремы и доказательства
Содержание:
- Понятие матрицы. Основные определения
- Действия над матрицами и их свойства. Определим основные действия над матрицами
- Сложение матриц
- Произведение матриц
Понятие матрицы. Основные определения
Матрицей размерности называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Для записи матрицы применяются либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:
или
Сокращенно матрица записывается также в виде
либо ,
где указывает номер строки а — номер столбца.
Числа , образующие матрицу называются ее элементами.
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы совпадают.
Иначе говоря, если и — матрицы одинаковой размерности, то
для всех и .
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
Матрица размерности (соответственно, ) называется вектор-столбцом (соответственно, вектор-строкой).
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через О:
Матрица называется противоположной матрице
Матрица, полученная из данной матрицы заменой местами строк и столбцов с сохранением порядка их следования, называется транспонированной к матрице и обозначается через А(или ). Итак, если — матрица размерности , то транспонированная матрица
имеет размерность .
Нетрудно заметить, что, транспонируя транспонированную матрицу, возвращаемся к исходной матрице, т. е.
Матрица , у которой число строк равно числу столбцов:, называется квадратной матрицей порядка . В квадратной матрице
диагональ , идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол, называется главной диагональю матрицы . Побочной диагональю той же матрицы называется другая диагональ: , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Признак Даламбера: пример решения |
Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера |
Собственные векторы матрицы |
Квадратная матрица , называется верхней треугольной {нижней треугольной), если все элементы этой матрицы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю.
Итак, верхняя треугольная матрица имеет вид
а нижняя треугольная матрица — вид
Квадратная матрица , называется диагональной, если все элементы этой матрицы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю: для всех . Если в диагональной матрице
все элементы главной диагонали равны единице: , то эта матрица называется единичной и обычно обозначается через . Итак, иначе говоря, где
Действия над матрицами и их свойства.
Определим основные действия над матрицамиСложение матрицСуммой двух матриц и одинаковой размерности , называется матрица той же размерности , элементы которой определяются равенством
В этом случае пишут
Точно так же определяется понятие разности двух матриц одной и той же размерности. Итак, по определению
Из определения суммы двух матриц (см. формулу (1.4)) следует, что операция сложения матриц обладает такими же свойствами, что и операция сложения действительных чисел:
Теорема 1.
1. Операция сложения матриц обладает следующими основными свойствами:
1) коммутативность:
2) ассоциативность:
3) существование нулевого вектора:
4) существование противоположной матрицы:
где А, В и С — произвольные матрицы одной и той же размерности, а О — нулевая матрица.
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы размерности на число называется матрица той же размерности , элементы которой определяются равенством:
В этом случае пишут или . Итак, по определению
Теорема 1.2. Умножение матрицы на число обладает следующими основными свойствами:
1) ассоциативность:
2) дистрибутивность относительно суммы матриц:
3) дистрибутивность относительно суммы чисел:
4) нормированность:
где Л и В — произвольные матрицы одной и той же размерности, а и — произвольные числа.
Доказательства перечисленных в теореме свойств непосредственно следуют из формул (1.
4) и (1.10).
Произведение матриц
Пусть — матрица размерности , а — матрица размерности , т. е. предполагаем, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Произведением матрицы на матрицу называется матрица размерности , элементы которой определяются равенством:
где . То есть, элемент -й строки и -го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов -й строки матрицы А на соответствующие элементы -го столбца матрицы В.
Для обозначения произведения матрицы А на В используют запись или .
Если применить указанное правило умножения матриц к квадратным матрицам второго порядка, получим
Теорема 1.3. Произведение матриц обладает следующими основными свойствами:
1) ассоциативность:
2) дистрибутивность относительно суммы матриц:
3) однородность:
если, конечно, указанные суммы и произведения матриц имеют смысл.
Доказательство.
Свойства (1.19) и (1.20) непосредственно следуют из формул (1.4), (1.10) и (1.16).
Докажем свойство (1.18). Пусть — матрица размерности , — матрица размерности , а матрица размерности . Тогда, согласно (1.16), элемент произведения вычисляется по формуле
а элемент произведения — по формуле
Теперь заметим, что { в силу правомерности изменения порядка суммирования относительно и .
Теорема доказана.
| Замечание 1.1. Пусть А и В — квадратные матрицы одинакового порядка. Тогда имеет смысл ставить вопрос о свойстве коммутативности произведения матриц. |
Следующий простой пример показывает, что произведение квадратных матриц одинакового порядка, вообще говоря, не обладает свойством коммутативности .
В самом деле, пусть
Тогда
и, значит,
Однако верно утверждение: для произвольной квадратной матрицы порядка справедливы равенства
где — единичная матрица, а — нулевая матрица того же порядка .
Справедливость формулы (1.22) очевидна.
Докажем формулу (1.21). Пусть , а , где , если , и , если (см. (1.3)). Тогда, в силу (1.16), для элемента произведения получаем
т. е. . Точно так же имеем: . Итак, формула (1.21) доказана.
det a
det aВы искали det a? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и det a матрицы, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «det a».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте.
Решить задачу det a вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Просто любопытно – кто использует Матрицы в реальной работе? :math
Просто любопытно – кто использует Матрицы в реальной работе? : математика Похоже, вы используете новый Reddit в старом браузере. Сайт может работать некорректно, если вы не обновите свой браузер! Если вы не обновляете свой браузер, мы предлагаем вам посетить старый Reddit.
Нажмите J, чтобы перейти к новостной ленте. Нажмите на знак вопроса, чтобы узнать остальные сочетания клавиш
Поиск по всему RedditНашел Интернет!
R/
MATH
R/ MATH
18 Комментарии
70% UPSOTED
В этом потоке архивируют
Новые комментарии не могут быть опубликованы, и голосование не может быть вынесено
Просмотреть дискуссии в 40003
Сообщества
О сообществе
R/Math
Добро пожаловать в Math
Созданы 24 января 2008
2,0M
Математики
459
онлайн
459
онлайн
0003Similar to this post
r/math
Hilbert Curve pumpkin carving
98%
8
5d
r/math
What is a math “fact” Это совершенно неинтуитивно для .
..92%
918
4D
R/MATH
Исследователи считали, что это была ошибка (интегралы Borwein)
9%
9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 26
17h
r/math
Давайте обсудим собственные значения и собственные векторы!
97%
173
2d
R/MATH
Введение с двумя частями в «Конечное расчет» от одного из …
96%
3d 96% 3dr/math
Самое странное, что можно сделать…
94%
207
5d
R/Math
Определения математики, которые не совсем правиль .
93%
101
6d
R/Math
Каковы математические трюки ».
R/Math
Что вы бы переименовали «воображаемый» или «комплекс» …
90%
252
4d
R/Math
DO, вы думаете алей ZFC?
93%
79
6d
r/math
Неполнота Гёделя — это хорошо.
85%
60
6d
r/math
Все ли математические факты могут быть доказаны теоретически?
87%
130
5d
r/math
Czelakowski’s two papers, on applications of…
99%
41
5d
r/math
Решение в закрытой форме для Infinite Series of Bessel.
..87%
10
1d
..
..Reddit и его партнеры используют файлы cookie и аналогичные технологии, чтобы предоставить вам лучший опыт. , вы соглашаетесь на использование нами файлов cookie для предоставления и обслуживания наших услуг и сайта, улучшения качества Reddit, персонализации контента и рекламы Reddit и измерения эффективности рекламы. обеспечить надлежащее функционирование нашей платформы. Для получения дополнительной информации ознакомьтесь с нашим Уведомлением об использовании файлов cookie и нашей Политикой конфиденциальности.
Реклама
профессий по математике
AffordableCollegesOnline.org — это сайт, поддерживаемый рекламой. Рекомендуемые или доверенные партнерские программы, а также все результаты поиска, поиска или подбора школ предназначены для школ, которые выплачивают нам компенсацию. Эта компенсация не влияет на рейтинги наших школ, справочники ресурсов или другую независимую от редакции информацию, опубликованную на этом сайте.
Готовы ли вы найти свою форму?
Что вы можете сделать со степенью по математике
Бюро статистики труда (BLS) прогнозирует, что число математических профессий вырастет на 27% в период с 2019 по 2029 год, что намного быстрее, чем в среднем по стране для всех профессий. Все более серьезная роль, которую большие данные играют в бизнесе, СМИ, здравоохранении и некоторых других отраслях, вероятно, лежит в основе более высоких, чем в среднем, темпов роста математических профессий. Некоторые профессии, основанные на математике, такие как актуарий и специалист по данным, используют инструменты для анализа и интерпретации больших данных.
В основе математики лежит решение задач. Многие профессионалы полагаются на применение математических концепций для выполнения работы. Студенты могут получить степень младшего специалиста, бакалавра, магистра и/или доктора математики в зависимости от их карьерных целей.
Подобно другим профессиональным аренам, аспирантура часто дает выпускникам возможность карьерного роста и более высокую заработную плату.
Лучшие рабочие места, которые вы можете получить с дипломом по математике
- Математик
- Статистик
- Профессор математики колледжа
- Актуарий
- Аналитик по маркетинговым исследованиям
- Экономист
- Аэрокосмический инженер
- Финансовый аналитик
- Специалист по данным
- Астроном
Узнайте больше о карьере в области математики
Выпускники со степенью по математике могут заниматься такими ролями, как статистик, операционный аналитик, актуарий и учитель математики.
Да, BLS прогнозирует рост числа рабочих мест в области математики на 27% в период с 2019 по 2029 год, что намного быстрее, чем в среднем по стране.
Чистая математика включает в себя такие области, как алгебра, геометрия, исчисление, топология и тригонометрия.
Прикладная математика включает динамические системы и дифференциальные уравнения, математическую физику, вероятность и статистику.
Математическая степень дает выпускникам право на несколько должностей с высокой средней заработной платой, таких как специалист по данным (9 долларов США).8 230), статистик (93 290 долларов) и актуарий (111 030 долларов).
AffordableCollegesOnline.org — это сайт, поддерживаемый рекламой. Рекомендуемые или доверенные партнерские программы, а также все результаты поиска, поиска или подбора школ предназначены для школ, которые выплачивают нам компенсацию. Эта компенсация не влияет на рейтинги наших школ, справочники ресурсов или другую независимую от редакции информацию, опубликованную на этом сайте.
Избранные онлайн-школы
Наши школы-партнеры предлагают программы, которые помогут вам улучшить свое образование, не нарушая расписания. Посетите их сайты, чтобы узнать больше о степенях, предлагаемых курсах, датах начала, переносе кредитов и многом другом.
Зачем получать степень по математике?
Математические степени позволяют получить прибыльную и востребованную работу в различных областях. BLS прогнозирует, что рабочие места в области математики вырастут на 27% в период с 2019 по 2029 год, что намного быстрее, чем в среднем по стране для всех профессий.
Многие колледжи и университеты предлагают онлайн-программы по математике. Студенты, которые решают получить степень по математике онлайн, часто в конечном итоге платят меньше за свое образование, экономя на некоторых расходах, которые обычно несут студенты в кампусе, таких как расходы на проезд и проживание. Кроме того, многие школы предлагают онлайн-студентам скидки на обучение.
Математические специализации
Специализация или концентрация дает учащимся знания и навыки в определенной области математики, что часто позволяет им занимать руководящие должности в этих практических областях. Специализации различаются в зависимости от программы, но в следующем списке перечислены несколько общих специализаций по математике.
Каковы требования к образованию по математике?
Студенты могут получить степень младшего специалиста, бакалавра, магистра и/или доктора математики. Студенты также могут пройти программу бакалавриата или магистратуры, которая обычно требует меньше кредитов и занимает меньше времени, чем программа получения степени.
Ассоциированный сотрудник
Для младшего специалиста по математике обычно требуется около 60 кредитов и два года очного обучения. В дополнение к общеобразовательным курсам студенты проходят курсы по таким темам, как аналитическая геометрия и исчисление, дифференциальные уравнения, линейная алгебра и элементарная статистика. Выпускники могут получить работу начального уровня в таких областях, как веб-разработка, механическое проектирование и системное администрирование Linux.Бакалавриат
Программы бакалавриата по математике обычно состоят из 120 кредитов, и для их завершения требуется четыре года очного обучения. Типичные занятия охватывают такие темы, как абстрактная алгебра, теория комплексных переменных, векторное исчисление и вычислительное мышление. Выпускники могут выполнять различные роли, такие как криптограф, статистик, аналитик по исследованию операций и специалист по финансовому планированию.Магистр
Магистерские программы обычно состоят из 30-60 кредитов и занимают 1-2 года очного обучения. Студенты, получающие степень магистра математики, изучают такие темы, как топология и геометрия, прикладная математика и дифференциальные уравнения, численный анализ и вероятность. Большинство магистерских программ требуют от кандидатов написания диссертации. Выпускники могут продолжить карьеру в таких областях, как среднее образование, количественный анализ и статистика.Докторантура
Многие школы требуют, чтобы докторанты завершили диссертацию и набрали не менее 75 кредитов сверх степени бакалавра. Продолжительность докторских программ варьируется, но часто они занимают от 3 до 6 лет. Учащиеся могут изучать такие темы, как динамические системы и эргодическая теория, многолинейный гармонический анализ, статистическая механика в двух измерениях и теория случайных матриц. Выпускники могут продолжить карьеру в качестве администраторов высшего образования, профессоров математики в колледжах, актуариев и статистиков.
Типичные занятия охватывают такие темы, как абстрактная алгебра, теория комплексных переменных, векторное исчисление и вычислительное мышление. Выпускники могут выполнять различные роли, такие как криптограф, статистик, аналитик по исследованию операций и специалист по финансовому планированию.
Продолжительность докторских программ варьируется, но часто они занимают от 3 до 6 лет. Учащиеся могут изучать такие темы, как динамические системы и эргодическая теория, многолинейный гармонический анализ, статистическая механика в двух измерениях и теория случайных матриц. Выпускники могут продолжить карьеру в качестве администраторов высшего образования, профессоров математики в колледжах, актуариев и статистиков.Сколько стоит диплом по математике?
По данным Национального центра статистики образования, средняя стоимость обучения и сборов за один год (2019-2020) в государственных учреждениях штата составляет 9 349 долларов США для четырехлетних университетов и 3 377 долларов США для двухгодичных колледжей. Стоимость обучения и сборы в частных четырехлетних и двухгодичных школах составили 35 807 и 16 898 долларов соответственно. На уровне аспирантуры абитуриенты государственных колледжей штата платили 12 171 доллар за обучение и сборы, а студенты частных учебных заведений платили 27 776 долларов.
Студенты часто могут сэкономить деньги, получив степень по математике онлайн . Например, онлайн-студенты часто экономят на некоторых расходах, которые несут студенты в кампусе, например на жилье и проезд до работы. Многие школы также предлагают скидки на обучение онлайн-студентам. Кроме того, онлайн-обучение часто дает студентам возможность продолжать работу во время получения степени.
Студенты также могут компенсировать свои расходы на образование, используя возможности финансовой помощи, такие как стипендии, кредиты, гранты и программы обучения и работы.
Сколько зарабатывают математики?
Выпускники со степенью по математике могут претендовать на прибыльные, востребованные должности. Например, BLS сообщает, что аналитики по исследованию операций, которым обычно требуется степень бакалавра в области математики или смежной области, получают среднюю годовую зарплату в размере 86 200 долларов, что намного выше, чем средняя зарплата для всех профессий.
BLS также прогнозирует, что рабочие места для этих специалистов вырастут на 25% в период с 2019 по 2029 год.
Математики и статистики со степенью магистра получают среднюю годовую зарплату в размере 9 долларов США.3290 человек, и прогнозируемый рост числа рабочих мест составит 33% в период с 2019 по 2029 год. Профессионалы-математики с докторской степенью, занимающиеся компьютерными и информационными исследованиями, зарабатывают в среднем 126 830 долларов. BLS прогнозирует рост числа рабочих мест для этих специалистов на 15%.
Перспективы карьеры и заработной платы для получения математической степени
Специалисты по математике могут делать карьеру в различных профессиональных сферах, включая четыре, перечисленные ниже. Для некоторых должностей требуется ученая степень, но профессионалы-математики со степенью бакалавра также имеют множество профессиональных возможностей.
| Карьера | Средняя годовая зарплата | Прогнозируемый темп роста (2019-2029 гг. ) |
|---|---|---|
| Актуарии | 108 350 долларов США | 18% |
| Математики и статистики | $92 030 | 33% |
| Финансовые аналитики | $81 590 | 5% |
| Учитель высшей школы | 79 540 долл. США | 9% |
Источник: Бюро статистики труда
Сертификаты и лицензии для математики
Многие математические профессии не требуют лицензирования или сертификации. Тем не менее, профессионалы в области математики могут получить специальные полномочия, чтобы продемонстрировать свой опыт и претендовать на более высокие должности в этой области.
В следующем списке приведены несколько общих полномочий для профессионалов в области математики.
Ресурсы для математических специальностей
AMS предлагает множество ресурсов для студентов и аспирантов, изучающих математику, в том числе награды и программы стипендий, центр карьеры и возможности наставничества.
Члены ASA получают доступ к эксклюзивной доске объявлений о вакансиях, программам профессионального развития, возможностям для стипендий, а также онлайн- и локальным сетевым мероприятиям. В состав MAA входят специалисты по чистой и прикладной математике, специалисты по информатике, а также студенты и аспиранты по математике. Участники получают доступ ко многим профессиональным ресурсам и сетевым возможностям. Члены SOA получают доступ к отраслевым публикациям, инструментам и другим ресурсам, которые могут помочь им в их практике, включая калькулятор показателей плана с несколькими работодателями и актуарный инструментарий.Похожие статьи, которые могут вас заинтересовать
AffordableCollegesOnline.org — это сайт, поддерживаемый рекламой. Рекомендуемые или доверенные партнерские программы, а также все результаты поиска, поиска или подбора школ предназначены для школ, которые выплачивают нам компенсацию. Эта компенсация не влияет на рейтинги наших школ, справочники ресурсов или другую независимую от редакции информацию, опубликованную на этом сайте.