Матрица математика решение: Онлайн решение задач по математике. Матрицы - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Решение высшей математики онлайн

‹– Назад

Определение 14.1 Матрицей размеров называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Обычно принято обозначать матрицы большими буквами, а саму таблицу чисел заключать в круглые скобки. Например, — матрица размеров , — матрица размеров , или другими словами, матрица-столбец, — матрица размеров , или матрица-строка.

Иногда вместо круглых скобок в записи матрицы используют квадратные или двойные прямые линии. Например, или .

Если элементы матрицы обозначаются буквами, то для этого обозначения используется та же буква, что и для обозначения матрицы, только не большая, а малая, и эта буква снабжается двумя индексами. Например, матрицу размеров можно записать в виде

В этой записи означает, что элемент находится в строке с номером и столбце с номером , то есть первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца.

Например, в матрице

, .

Наряду с указанным обозначением элементов матрицы используется также обозначение , в котором номер строки указывает верхний индекс, а номер столбца — нижний.

Укажем основные типы матриц.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Число строк или, что то же самое, число столбцов в ней называется порядком матрицы.

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. Нулевая матрица обозначается обычной цифрой 0. Как правило, из контекста ясно, является ли этот 0 числом или матрицей.

Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю матрицы. Например, в матрице главную диагональ образуют числа . Отметим, что при обозначении элементов матрицы буквами с двумя индексами у элементов главной диагонали и только у них индексы будут равны друг другу. Так у квадратной матрицы порядка элементами главной диагонали являются элементы , .

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Примеры диагональных матриц:

Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Например, верхние треугольные матрицы:

Нижние треугольные матрицы:

Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя треугольная — левой треугольной.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1. Для обозначения единичной матрицы обычно используется буква . Порядок матрицы при этом обычно ясен из контекста. Например, — единичная матрица третьего порядка.

Из определения единичной матрицы видно, что ее элементы равны нулю, если индексы различны, и равны 1, если индексы совпадают. В математике таким свойством обладает величина , называемая символом Кронекера:

Поэтому .

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы, стоящие на одинаковых местах, равны друг другу.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Ответы на вопросы к экзамену по математике

Вопрос №1: «Матрицы и алгебра матриц».

Матрицы и многомерные векторы. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая n строк и m столбцов.

Виды матриц.

Две матрицы называются равными, если их соответствующие элементы равны.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (n=m), то матрица называется квадратной.

Матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали равны 0, называется

диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной.

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.

Если в квадратной матрице все элементы стоящие ниже (выше) главной диагонали равны 0, то она называется верхний (нижний) треугольник.

Если в матрице А строки записать столбцами с теми же номерами, то полученная матрица будет называться транспонированной к матрице А.

Если матрица А равна транспонированной, то она называется симметричной.

Действия над матрицами:

1) Умножение матрицы на число. В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число. Мы получим одинаковый результат, умножая число на матрицу, или матрицу на число. Из определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

2) Сложение и вычитание матриц. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности. Суммой (разностью) двух матриц называется матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой определяется как сумма (разность) соответствующих элементов матриц. Очевидно, результат сложения не изменится, если слагаемые матрицы поменять местами. Если к матрице прибавить или от нее отнять нулевую матрицу той же размерности, то получим исходную матрицу.

3) Умножение матрицы на матрицу. Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя. Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата.

Свойства операций над матрицами.

1) В общем случае . Если то матрицы А и В называются перестановочными по отношению друг к другу.

2) Ассоциативность;

3) Дистрибутивность;

4) При умножении любой квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется .

Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей».

Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства. Если квадратная матрица имеет определитель, отличный от нуля (Δ ≠ 0), то говорят, что матрица невырожденная, в противном случае – матрица вырожденная или особая.

Определителем квадратной матрицы

2-го порядка, называется число равное разности произведений элементов главной и побочной диагонали матрицы.

Определителем квадратной матрицы 3-го порядка, называется число равное:

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Вопрос №3: «Свойства определителей».

Свойства определителей:

1) Если строка (столбец) матрицы состоит из 0, то ее определитель равен 0.

2) Если все элементы, какой либо строки (столбца) матрицы умножить на одно и тоже число, то и ее определитель умножится на это же число.

3) При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

4) При перестановки, каких либо двух строк (столбцов) матрицы знак матрицы меняется на противоположный. Доказательство вытекает из того, что при перестановке одной транспозиции четность инверсии меняется.

5) Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен 0.

6) Сумма произведений элементов, какой либо строки (столбца) на алгебраические дополнения какой либо строки (столбца) равно 0.

7) Если элементы, какой либо строки (столбца) равны сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме указанных, те же что и в исходном определителе, а рассматриваемая k-строка (столбец) в первом определителе содержит первые слагаемые, во втором вторые.

8) Определитель матрицы не изменится если к элементам какой либо строки (столбца) прибавить элемент какой либо строки (столбца) предварительно умноженные на одно и то же число.

Вопрос №4: «Обратная матрица и её вычисление».

Обратная матрица. Матрицей, обратной матрице А, называется матрица A^-1 такая, что A^-1A = A A^-1 = E.

Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.

Можно показать, что для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠ 0 ). Это условие является и достаточным для существования A^-1 матрице А. Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.

Сформулируем правило нахождения обратной матрицы на примере матрицы А.

1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠ 0, то матрица A^-1существует.

2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А. Т.е. в матрице В элементом i – ой строки и j – го столбца будет алгебраическое дополнение A_ijэлемента a_ij исходной матрицы.

3. Транспонируем матрицу В и получим B^T.

Теорема существования и единственности обратной матрицы. Для квадратной матрицы А существует и при том единственная обратная матрица А^-1 тогда и только тогда, когда эта матрица не вырождена.

Вопрос №5: «Системы линейных уравнений, их решение матричная запись».

Системы линейных уравнений. Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные в первой степени и не содержит их произведений.

Запись в матричной форме.

– система линейных уравнений.

Обозначим, – матрица коэффициентов, – вектор неизвестных,

– вектор свободных членов. A_mn X_n1 + B_m1 = 0 – матричная запись системы уравнений.

Если система уравнений имеет решение, она называется совместной, не имеет – несовместной. Совместная система, имеющая одно решение, называется определенной, если много – неопределенной. Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если каждое решение является решением уравнения системы или наоборот.

Вопрос №6: «Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы». Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная). Из этих условий следует, что и, следовательно, система совместна и определена. Решение системы можно получить так: . Используя свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы . Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.

Пример. Решить систему матричным методом. Решение. Найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы .

Вычислим определитель, раскладывая по первой строке: . Поскольку Δ ≠ 0, то A^-1 существует.

Обратная матрица найдена верно.

Найдем решение системы .

Следовательно, x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3.

Матричный метод годится для решения любых систем, у которых матрица А квадратная и невырожденная.

Вопрос №7: «Теорема Крамера, формулы Крамера».

Пусть Δ = |A| определитель матричной системы n линейных уравнений с n неизвестных, а Δ_j определитель матрицы, полученный из матричной системы заменой j-того столбца на столбец правых частей. Тогда если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, определенное по формулам.

Вопрос №8: «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса».

Решение и исследование систем линейных уравнений методом Гаусса. Этот метод решения систем линейных уравнений пригоден для решения систем с любым числом уравнений и неизвестных.

Суть метода Гаусса заключается в преобразовании заданной системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему ступенчатого треугольного вида.

Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении. Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д.

Если система совместна и определена (единственное решение), то последнее уравнение содержит одно неизвестное. Найдя последнее неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно – предпоследнее. Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдем решение системы.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются следующие преобразования:

– перестановка местами двух уравнений;

– умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

– прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему.

Две системы называются эквивалентными, если всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот.

Вопрос №9: «Понятие вектора. Сложение векторов, умножение вектора на скаляр».

Векторы на плоскости и в пространстве. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Векторы и линейные операции над ними. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой двух векторов a и b называется вектор c, направленный из начала вектора a в конец вектора b при условии, что начало b совпадет с концом вектора a. Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника: чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

Вопрос №10: «Декартова и полярная система координат на плоскости».

Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.

Системы координат на плоскости.

Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.1). О – начало координат, Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат, – базисные векторы, – абсцисса точки M ( – проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), – ордината точки M ( – проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox).

Системы координат в пространстве.

Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.4). О – начало координат, Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат, Оz – ось аппликат , – базисные векторы. Oxy, Oxz, Oyz – координатные плоскости, – абсцисса точки M ( – проекция точки M на ось Ох параллельно плоскости Оyz), – ордината точки M ( – проекция точки M на ось Oy параллельно плоскости Oxz), – ордината точки M ( – проекция точки M на ось Oz параллельно плоскости Oxy).

Полярные координаты на плоскости. О – полюс, Ox – полярная ось, – полярный радиус, – полярный угол. Главные значения и : (иногда ).

Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные:

Выражение полярных координат через декартовы прямоугольные:

Вопрос 11: «Цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве».

Сферические и цилиндрические координаты в пространстве.

Цилиндрические координаты. Главные значения , , :

Связь между декартовыми прямоугольными и цилиндрическими координатами:

Сферические координаты. Главные значения , , θ:

Иногда вместо θ рассматривают :

Вопрос №12: «Скалярное произведение векторов и его свойства».

Скалярное произведение и его свойства.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. Из определения следует где φ – угол между векторами.

В зависимости от значения угла между векторами, проекция может принимать отрицательные, положительные или нулевые значения.

Свойства скалярного произведения.

Вопрос №13: «Векторное произведение векторов и его свойства».

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , определяемый следующим образом:

1) длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. где φ – угол между векторами и ;

2) вектор перпендикулярен векторам и ;

3) векторы после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения

Вопрос №14: «Смешанное произведение векторов и его свойства».

Смешанным произведением трех векторов называется число

Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Свойства смешанного произведения:

Вопрос №15: Двойное векторное произведение».

Вопрос №16: «Уравнение прямой с угловым коэффициентом».

Вопрос №17: «Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как . Две прямые параллельны, если k₁ = k₂. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА, В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Вопрос №18: «Общее уравнение прямой».

Вопрос №19: «Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости».

Вопрос №20: «Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей».

Вопрос №21: «Канонические уравнения прямой в пространстве».

Вопрос №22: «Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Вопрос №23: «Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве».

Вопрос №24: « Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве».

Вопрос №25: «Угол между прямой и плоскостью».

Вопрос №26: «Каноническое уравнение эллипса. Исследование формы эллипса».

Вопрос №27: «Каноническое уравнение гиперболы. Исследование формы гиперболы».

Вопрос №28: «Каноническое уравнение параболы. Исследование формы параболы».

Вопрос №29: «Общее уравнение линии второго порядка. Понятие типа линии второго порядка».

Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять никакой линии.

В простейшем случае, при В = 0, тип кривой можно определить, выделив полные квадраты переменных.

Вопрос №30: «Числовые последовательности и операции над ними, ограниченные и неограниченные последовательности».

Вопрос №31: «Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, основные свойства бесконечно малых последовательностей».

Вопрос №32: «Сходящиеся последовательности: предел последовательности, основные свойства сходящихся последовательностей».

Вопрос №33: «Монотонные последовательности, число е».

Вопрос №34: «Определение функции. Способы задания функций».

Вопрос №35: «Предел функции. Односторонние пределы. Свойства пределов. Два замечательных предела».

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

Вопрос №36: «Непрерывность и разрывы и функций».

Вопрос №37: «Обратные функции».

Пусть X и Y – некоторые множества и пусть задана функция f, т.е. множество пар чисел (x;y) (x ϵ X; y ϵ Y), в котором каждое число x входит в одну и только одну пару, а каждое число y – по крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этого множества числа x и y поменять местами, то получим множество пар чисел (y;x), которое называется обратной функцией φ к функции f.

Вопрос №38: «Сложные функции».

Если на некотором множестве X определена функция z = φ(x) со множеством значений Z, а на множестве Z – функций y = f [φ(x)] называется сложной функцией от x [или суперпозицией (иногда композицией) функций φ(x) и f(z)], а переменная z – промежуточной переменной сложной функции.

Вопрос №39: «Производная. Ее физический и геометрический смысл».

Вопрос №40: «Правила дифференцирования».

Вопросы 41: «Производные от элементарных функций. Таблица производных».

Вопрос №42: «Дифференциал. Определение и геометрический смысл».

Вопрос №43: «Производные и дифференциалы высших порядков».

Вопрос №44: «Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя».

Вопрос №45: «Формулы Тейлора и Маклорена».

Вопрос №46: «Разложение в ряд Маклорена элементарных функций, вычисление числа е».

Матрицы с примерами и вопросы с решениями

Приведены примеры и вопросы по матрицам вместе с их решениями.

Содержание страницы

Определение матрицы
Запись матрицы (или элемент)
Квадратная матрица
Единичная матрица
Диагональная матрица
Треугольная матрица
Транспонирование матрицы
Симметричная матрица
Вопросы по матрицам: часть А
Вопросы по матрицам: часть B
Ответы на вопросы в части A
Ответы на вопросы в части B
Рекомендации

Определение матрицы

Ниже приведены примеры матриц (множественное число от матрицы ).

Матрица m n (читается «m на n») представляет собой расположение чисел (или алгебраических выражений) в m строк и n столбцов . Каждое число в данной матрице называется элементом или записью .
Нулевая матрица имеет все элементы, равные нулю.

Пример 1
Следующая матрица имеет 3 строки и 6 столбцов.

Порядок (или размеры, или размер) матрицы указывает количество строк и количество столбцов матрицы. В этом примере порядок матрицы равен 3 6 (читается «3 на 6»).

Запись матрицы (или элемент)

\( \) \( \) \( \) \( \)

Элемент (или элемент) в строке i и столбце j матрицы A (заглавная буква A) обозначается символом \((A)_{ij} \) или \( a_{ij} \ ) (строчная буква а).

Пример 2

В матрице A, показанной ниже, \(a_{11} = 5 \), \(a_{12} = 2 \) и т. д. … или \( (A)_{11} = 5 \), \( (А)_{12} = 2 \) и т.д… \[ \textbf{А} = \begin{bmatrix} 5 и 2 и 7 и -3 \\ -9 и -2 и -7 и 11\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} а_{11} и а_{12} и а_{13} и а_{14} \\ а_{21} и а_{22} и а_{23} и а_{24} \\ \end{bmatrix} \]

Квадратная матрица

Квадратная матрица имеет количество строк, равное количеству столбцов.

Пример 3

Для каждой приведенной ниже матрицы определите порядок и укажите, является ли она квадратной матрицей.
\[ а) \begin{bmatrix} -1 и 1 и 0 и 3 \\ 4 и -3 и -7 и -9\\ \end{bmatrix} \;\;\;\; б) \begin{bmatrix} -6 & 2 & 0 \\ 3&-3&4\ -5 и -11 и 9 \end{bmatrix} \;\;\;\; \\ в) \begin{bmatrix} 1 и -2 и 5 и -2 \end{bmatrix} \;\;\;\; г) \begin{bmatrix} -2 и 0 \\ 0 и -3 \end{bmatrix} \;\;\;\; д) \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} \]
Решения
а) порядок: 2 4. Количество строк и столбцов не равно, следовательно, матрица не квадратная.
б) порядок: 3 3. Количество строк и столбцов равно, поэтому эта матрица является квадратной матрицей.
c) порядок: 1 4. Количество строк и столбцов не равно, следовательно, матрица не квадратная. Матрица с одной строкой называется матрицей-строкой (или вектором-строкой).
d) порядок: 2 2. Количество строк и столбцов равно, следовательно, это квадратная матрица.
д) порядок: 1 1. Количество строк и столбцов равно, поэтому эта матрица является квадратной матрицей.

Идентификационная матрица

Единичная матрица I _n представляет собой nn-квадратную матрицу, в которой все ее элементы на диагонали равны 1, а все остальные элементы равны нулю.
Пример 4
Ниже приведены все матрицы идентичности. \[I_1= \begin{bmatrix} 1\\ \end{bmatrix} \четверка, \четверка I_2= \begin{bmatrix} 1 и 0\\ 0 и 1 \end{bmatrix} \quad , \quad I_3= \begin{bmatrix} 1 и 0 и 0\\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \end{bmatrix} \]

Диагональная матрица

Диагональная матрица — это квадратная матрица, все элементы которой (элементы) равны нулю, за исключением элементов на главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого. \[A = \begin{bmatrix} 6 и 0 и 0 \\ 0 и -2 и 0 \\ 0 и 0 и 2 \end{bmatrix} \]

Треугольная матрица

Верхняя треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Матрица U, показанная ниже, является примером верхней треугольной матрицы. Нижняя треугольная матрица — это квадратная матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю. Показанная ниже матрица L является примером нижней треугольной матрицы. 9Т\).
Пример 6
Симметричные матрицы \[ \begin{bmatrix} 4&-2&1\ -2&5&7\ 1 и 7 и 8 \end{bmatrix} \]

Вопросы по матрицам: Часть A

Учитывая матрицы: \[ А = \begin{bmatrix} -1 и 23 и 10\ 0&-2&-11\ \end{bmatrix} ,\четверка B = \begin{bmatrix} -6&2&10\ 3&-3&4\ -5&-11&9\ 1 и -1 и 9 \end{bmatrix} ,\четверка С = \begin{bmatrix} -3 и 2 и 9 и -5 и 7 \end{bматрица} \\ D = \begin{bmatrix} -2 и 6\ -5 и 2\\ \end{bmatrix} ,\четверка Е = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} ,\четверка F = \begin{bmatrix} 3\\ 5\\ -11\ 7 \end{bmatrix} ,\четверка G = \begin{bmatrix} -6&-4&23\ -4 и -3 и 4 \\ 23 и 4 и 9Т\).

Вопросы по матрицам: часть B

1) Учитывая матрицы: \[ А = \begin{bmatrix} 23 и 10\ 0 & -11 \\ \end{bmatrix} ,\четверка B = \begin{bmatrix} -6 & 0 & 0 \\ -1 и -3 и 0 \\ -5 и 3 и -9 \\ \end{bmatrix} ,\четверка С = \begin{bmatrix} -3 и 0\\ 0 и 2 \end{bматрица} \\ ,\четверка D = \begin{bmatrix} -7 и 3 и 2 \ 0 и 2 и 4 \\ 0 и 0 и 9 \\ \end{bmatrix} ,\четверка Е = \begin{bmatrix} 12 & 0 & 0 \\ 0 и 23 и 0 \\ 0 и 0 и -19Т = \begin{bmatrix} -6 и -4 и 23\\ -4 и -3 и 4\\ 23 и 4 и 9 \end{bmatrix} \]

Ответы на вопросы в части B

а) С и Е
б) Б
в) А и Г

Дополнительные ссылки

Матрицы сложения, вычитания и скалярного умножения
Умножение и мощность матриц
Линейная алгебра
Операции со строками и элементарные матрицы
Матрица (математика)
Матрицы, применяемые к электрическим цепям
Обратная квадратная матрица

Матрицы класса 12 — решения NCERT [Обновлено 2023-24 NCERT]

Вы учитесь. ..

Нажмите на любую из ссылок ниже, чтобы начать учиться у Teachoo…

Изучите главу 3 Матрицы класса 12 бесплатно с решениями всех вопросов NCERT, включая примеры и упражнения.

В этой главе мы узнаем

Что такое матрица , как мы ее формируем и каков ее порядок
Затем мы видим различные типы матрицы , такие как квадратная матрица, нулевая матрица, единичная матрица, матрица строк, матрица столбцов и т. д.
Если две матрицы равны , то как найти ее элементы
Как складывать и вычитать матрицы ,
И их Заявление вопросы
Тогда как на перемножить матрицы , учитывая их приказ
И его вопросы заявления
Как решить уравнение x + y или x + y + z с помощью матриц
Затем, нахождение элемента по заданному уравнению
Или, нахождение всей матрицы по заданному уравнению
Что такое Транспонирование матрицы и ее порядок
Затем, Что такое Симметричные и кососимметричные матрицы . .. и как представить любую матрицу в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц
Затем ответьте на несколько контрольных вопросов, используя свойство транспонирования – (AB)’ = B’A’
И нахождение Обратной матрицы с помощью элементарного Преобразования. Пожалуйста, проверьте все его вопросы. Особенно те, которые отмечены как важные
И, наконец, вопросы по доказательству с использованием Математическая индукция

Ознакомьтесь с главой Способ NCERT или предпочтительный … концептуальный способ

Серийный заказ

Пример 3.1

Пример 3.2

Пример 3.3

Пример 3.4

Примеры

Разное

Вопросы, основанные на конкретных случаях (MCQ)

Концептуальные вопросы

Формирование и порядок матрицы

Типы матриц

Равные матрицы

Сложение/вычитание матриц

Вопросы-постановления – Сложение/вычитание матриц

Умножение матриц

Вопросы-постановления – Умножение матриц

Решение уравнения

Находка неизвестна – Элемент

Поиск неизвестного – Матрица

Транспонирование матрицы

Симметричные и кососимметричные матрицы

Доказательство с использованием свойства транспонирования

Обратная матрица с использованием элементарного преобразования

Доказательство с использованием математической индукции

Что в нем?

Бесплатно изучите главу 3 «Матрицы класса 12» с решениями всех вопросов NCERT, включая примеры и упражнения.