Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений
Похожие презентации:
Линейная алгебра. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Лекция 5
Системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. (Тема 9.2)
Линейная алгебра. Ранг матрицы. (Тема 2)
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, матричным методом, методом Гаусса
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Системы линейных уравнений. Ранг матрицы
Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера
Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений
1. Линейная алгебра
Метод Гаусса решения систем линейныхуравнений
Ранг матрицы
Исследование систем линейных уравнений
Однородные системы линейных уравнений
2.
Метод Гаусса решения систем линейных уравненийРассмотрим задачу решения системы линейных уравненийразмерностью (m x n). Запишем систему в матричном виде: A X B
a11 a12 a13 a1n x1 b1
a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 b 2
a a a a x b
mn n
m
m1 m 2 m 3
b1
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2 n b2
B A B
a a a a b
m
mn
m1 m 2 m 3
Если закрепить раз и
навсегда нумерацию
неизвестных, то можно
опустить неизвестные в
записи системы и
записать ее в виде
матрицы, отделяя
столбец свободных
членов вертикальной
чертой.
Расширенная матрица
системы
3. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Следующие действия над расширенной матрицей системыназываются элементарными преобразованиями.
Умножение или деление элементов строк на одно и то же
число, не равное нулю
Перестановка местами двух строк
Прибавление к элементам строки элементов другой строки,
умноженных на произвольный множитель.
Конечной целью элементарных преобразований является
получение верхнетреугольной матрицы, у которой все элементы,
стоящие под главной диагональю равны нулю. Преобразования
стараются производить так, чтобы на главной диагонали
появлялись единицы.
a11 a12
a 21 a 22
a
31 a 32
a13
a 23
a 33
b1
b2
b 3
1 c 12
0 1
0 0
c 13
c 23
1
d1
d2
d3
4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
5 x 2y 4z 52x 3 y z 7
3 x y 2z 3
Ко второй строке
Запишем
прибавим третью строку,
расширенную
умноженную на (-5)
матрицу системы
( 2)
5 2 4 5 ( 2) 1 8 6 9 ( 3)
~
1 строке
7 прибавим
2 К3первой
~
2 3 1 7
строку,
3 1 вторую
3 1 2 3
2
3
на (-2)
умноженную
6
9 1Ко второй
8
6строке
9 ( 5)
1 8
прибавим
первую
строку,
вычтем
Из третьей строки
0 19 13на (-2),
25
~
0 19 13 25 ~ умноженную
вторую строку
строке
0 23 16 30
0 К третьей
4 первую
3 строку,
5
прибавим
умноженную на (-3).
5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
1 8 6 9 40
~
0 1 2
0 4 3 5
x 1 y 2
1 8 6 9
: 5
0 1 2 0
~
строке
0 К0третьей
прибавим
5
5
вторую строку,
умноженную на 4
Вторую строку умножим
на (-1), третью
строку
Восстановим
систему:
разделим на 5
1 8 6 9
0 1 2 0
0 0
1
1
x 8 y 6 z 9
y 2z 0
z 1
( 1)
x 9 8 y 6 z
y 2z 2
z 1
z 1
x 9 16 6 1
y 2
z 1
6. Ранг матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).a11 a12
a 21 a 22
a
a 32
31
am1 am 2
a13
a 23
a 33
am3
a1n
aa1111 a12 aa131n
a 2n
a1112 aa121n
22aa 3121 a 3222 aa233n
M33M
a3n M
a2132 aa223n
aam311 aam322 a 33mn
amn
Выделим в этой матрице произвольное число k строк и k столбцов.
Элементы матрицы А, стоящие на пересечении выделенных строк
и столбцов, образуют определитель k – того порядка.
Минором k-того порядка матрицы А называют определитель,
полученный из А выделением произвольных k строк и k столбцов.
7. Ранг матрицы
Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного отнуля минора этой матрицы.
2 3 4 5
A 0 2 3 1
0 2 2 4
2
18 миноров 2 – го порядка, например:
3
0 2
4
0 2 3 20
Матрица А имеет 4 минора 3 – его порядка,
например:
2
3
0
4
12 миноров 1 – го порядка – сами элементы.
Наибольший порядок отличного от нуля минора
этой матрицы равен 3, поэтому: r ( A ) 3
2
2
8. Ранг матрицы
Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называетсябазисным минором. Он может быть не единственным.
Можно показать, что эквивалентные преобразования не меняют
ранга матрицы. Поэтому, когда требуется вычислить ранг матрицы,
ее приводят к треугольному виду.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы,
приведенной к треугольному виду
1 3 2
A 0 5 4 ~
1 7 6
1 3 2 ( 2)
0 5 4
~
0 10 8
r( A ) 2
1 3 2
0 5 4
0 0 0
9.
Исследование систем линейных уравненийТеорема Кронекера – Капелли.Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений
была совместна (имела решение ), необходимо и достаточно,
чтобы ранг расширенной матрицы
системы равнялся рангу
матрицы коэффициентов: r (B) r ( A )
Если r(B) r( A ) n (числу неизвестных), то система
совместна и определенна (имеет единственное решение).
Если r(B) r( A ) n ,то система совместна и неопределенна
(имеет бесконечное множество решений).
Если r (B) r ( A ) ,то система несовместна (не имеет решений).
При решении систем линейных алгебраических уравнений нет
необходимости заранее вычислять ранги основной и расширенной
матриц. Их определение производится автоматически при
выполнении метода исключения Гаусса.
10. Исследование систем линейных уравнений
2×1 2x 2 2x 3 4x1 x 2 x 3 0
3 x1 3 x 2 x 3 2
x1 x 2 3 x 3 2
2 2 2 4
:2
1 1 1 0
3 3 1 2 ~
1 1 3 2
1 1 1 2 ( 3)
1 1 1 0 V
~
3 3 1 2
1 1 3 2
: ( 2)
1
0
0
0
2
0 2 2
0 4 4
0 4
4
1
1
: ( 4)
V : 4
~
11.
Исследование систем линейных уравнений10
0
0
1 1 2
0 1 1 V
~
0 1 1
0 1 1
r(B) r( A ) 2
1
0
0
0
1 1 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0
система совместна
n 3 – число неизвестных
r(B) n система неопределенна
n r 3 2 1 – число свободных переменных
Восстановим систему:
Пусть x 2 t.
x1 1 t
x 1 2 t x 3 1 t
x1 t x 3 2
x2 t
x3 1
x3 1
x 1
3
12. Исследование систем линейных уравнений
x 2y 4z 12 x y 5z 1
x y z 3
1 2 4 1
2 1 5 1
1 1 1 3
( 2)
~
1 2 4 1 1 2 4 1
~
0 3 3 3
0 3 3 3
0 3 3
0 0
2
0
5
r(B) 3
r( A ) 2
r(B) r( A ) система несовместна
13. Однородные системы линейных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если всесвободные члены ее равны нулю.
a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0
a 21 x1 a 22 x 2 a 2n x n 0
am1x1 am 2 x 2 amn x n 0
Однородная система всегда имеет решение:
x1 0
x 2 0 xn 0
Это решение называется тривиальным.
Оно являетсяединственным решением системы в случае, когда r( A ) n
Если r( A ) n , то система имеет бесконечное множество
решений.
14. Однородные системы линейных уравнений
Пусть: r( A ) r nТогда система имеет r базисных переменных и n – r свободных
переменных.
Общее решение системы запишется в виде:
x1( t1,…, t n r )
…
x r ( t1,…, t n r )
X
t1
…
t n r
Базисные переменные,
зависящие от свободных
переменных
Значения свободных
переменных
t1 xr 1; t 2 xr 2 ; tn r xn
15. Однородные системы линейных уравнений
Выберем n – r частных решений однородной системы, полученныхиз общего решения следующим образом: полагаем одно из
значений свободных переменных равным 1, а остальные равными
0 :
x1(1,0,…, 0)
x1(0,0,…,1)
x1(0,1,…, 0)
x r (0,0,…,1)
x r (1,0,…, 0)
x r (0,1,…, 0)
0
1
0
X
X1
X2
n r
0
0
1
1
0
0
Эти решения образуют фундаментальную систему решений
однородной системы (ФСР).
16. Однородные системы линейных уравнений
Найти фундаментальную систему решений:1 1 5 7 ( 3)
1
~
2 1 4
3 2 1 6
x1 x 2 5 x 3 7 x 4 0
2×1 x 2 4 x 3 x 4 0
3 x 2x x 6 x 0
2
3
4
1
1 1 5 7
~
0 1 14 15
0 1 14 15
1 1 5 7
0 1 14 15
( 2)
1 1 5 7 ( 1)
~
0 1 14 15
0 0
0
0
r( A ) 2
n 4
n r 4 2 2 – число свободных переменных
17. Однородные системы линейных уравнений
Обозначим:x 3 t1
x4 t2
(в качестве свободных переменных обычно берут те,
которые имеют 0 на главной диагонали)
x 1 x 2 5t 1 7t 2 0
x 2 14t1 15t 2 0
x1 x 2 5t 1 7t 2
x 2 14t1 15t 2
x1 14t1 15t 2 5t1 7t 2 11t1 12t 2 Фундаментальная
x 2 14t1 15t 2
11t1 12t 2
14t 1 15t 2
X
t1
t
2
11 решение
12
Общее
15
14
X2
X1
0
1
1
0
English Русский Правила
Калькуляторsvd с пошаговыми инструкциями – Googlesuche
AlleBilderShoppingVideosMapsNewsBüchersuchoptionen
Калькулятор разложения по сингулярным числам – eMathHelp
www.
emathhelp. net › linear-алгебра › svd-calculator
Найдите SVD матрицы шаг за шагом . Калькулятор найдет разложение по сингулярным числам (SVD) данной матрицы с указанием шагов.
SVD – Калькулятор разложения по единственному значению – AtoZmath.com
atozmath.com › MatrixEv › q=svd
SVD – Калькулятор разложения по сингулярным числам – Онлайн SVD – Калькулятор разложения по сингулярным числам, который шаг за шагом найдет решение онлайн.
Калькулятор разложения по сингулярным числам – keisan – CASIO
keisan.casio.com › exec › system
Калькулятор разложения по сингулярным числам. Главная / Линейная алгебра / Разложение матриц. Сингулярное разложение общей матрицы.
SVD Calculator (Singular Value Decomposition)
www.omnicalculator.com › math › svd
02.02.2023 · Этот SVD-калькулятор поможет вам понять, что такое разложение матриц по единственному числу.
Калькулятор сингулярных значений
www.
omnicalculator.com › математика › сингулярные значения
02.02.2023 · С помощью этого калькулятора сингулярных значений вы быстро и легко научитесь находить сингулярные значения любой матрицы.
Разложение по сингулярным числам — Wolfram|Alpha
www.wolframalpha.com › input
Вычисляйте ответы, используя революционную технологию и базу знаний Wolfram, на которые полагаются миллионы студентов и профессионалов. Для математики, науки, питания, …
Разложение матриц – Wolfram|Alpha Examples
www.wolframalpha.com › алгебра › матрицы › матр…
Используйте интерактивные калькуляторы для LU, Jordan, Schur, Hessenberg , QR и матричные разложения по сингулярным числам и получите ответы на свои вопросы по линейной алгебре.
Калькулятор SVD – comnuan.com
comnuan.com › cmnn01004
Онлайн матричный калькулятор для разложения по сингулярным числам, svd действительных и комплексных матриц.
Ähnliche Fragen
Каковы этапы SVD?
Как рассчитать SVD численно?
Как рассчитывается разложение SVD?
Как найти SVD матрицы вручную?
Онлайн-калькулятор матриц – DotNumerics
www.
dotnumerics.com › MatrixCalculator
Выберите операции, которые необходимо выполнить: определитель, трассировка матрицы, обратная матрица, собственные значения и собственные векторы, разложение по сингулярным числам …
Разложение по сингулярным числам (SVD) — рабочий пример — Medium single-value-decomposi…
В этой истории я буду работать с примером SVD и разбивать … Шаг 3. После того, как мы вычислили собственные значения, пришло время вычислить …
Ähnliche Суханфраген
SVD онлайн
Разложение по сингулярным числам
Singulärwertzerlegung
Пример разложения по сингулярным числам
Объяснение SVD
Матрица SVD 3×3
90 004 Упражнения SVDКалькулятор собственных векторов
Калькулятор систем линейных уравнений 2×2
Система уравнений 2×2 — Решатель, показывающий шаги — Math Portal
www.mathportal.org › калькуляторы › system-2×2
Этот калькулятор решает системы двух уравнений с двумя неизвестными с пошаговым объяснением, используя метод сложения/исключения или правило Крамера.
Online Systems of Equations Solver – Wolfram|Alpha
www.wolframalpha.com › system-equation-calculator
Мощный инструмент для поиска решений систем уравнений и ограничений. Wolfram|Alpha способен решать самые разные системы уравнений.
Система линейных уравнений 2×2 – Онлайн-решатель – MathCracker.com которые часто называют «системами два на два».
Ähnliche Fragen
Как решать системы линейных уравнений?
Как решить систему двух линейных уравнений графическим методом?
Калькулятор для систем линейных уравнений 2×2
elsenaju.eu › Калькулятор › система уравнений-2х2
Калькулятор для систем уравнений 2х2 с использованием приравнивания, сложения, определителя и графического метода.
Калькулятор систем уравнений – MathPapa
www.mathpapa.com › system-calculator
Пошагово показывает, как решать системы уравнений! Этот калькулятор решит ваши проблемы.
Калькулятор системы уравнений – Symbolab
www.
symbolab.com › Step-by-Step › Алгебра
Бесплатный калькулятор системы уравнений – решайте систему уравнений шаг за шагом.
Система 2 линейных уравнений с 2 переменными Калькулятор – keisan
keisan.casio.com › exec › system
Вычисляет решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными и рисует график.
Калькулятор системы линейных уравнений – eMathHelp
www.emathhelp.net › калькуляторы › алгебра-2 › система… метод исключения Гаусса-Жордана, …
Калькулятор системы линейных уравнений – Калькулятор матриц
matrixcalc.org › slu
Этот калькулятор решает системы линейных уравнений с показанными шагами, используя метод исключения Гаусса, метод обратной матрицы или правило Крамера. Также вы можете …
Тип: 2×2 | Muss Folgendes enthalten:2×2
Решение системы линейных уравнений – HackMath.net
www.hackmath.net › калькулятор › решение системы-..