Матрицы матпрофи: умножение, сложение, вычитание. Как решать, с чего начать

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую размерность, и все их соответствующие элементы совпадают.

Определитель матриц второго и третьего порядка

Определителем второго порядка квадратной матрицы называется число, равное:

\[ A=\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right) \quad \Delta=|A|=\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \]

Суммой А + В двух матриц А=(а_ij) и В= (b_ij) одинакового размера m*n, называется матрица C=(c_ij), элементы которой c_ij=a_ij+ b_ij, для всех i=1,2,…,m и j=1,2…,n.

Задача

\[ \left(\begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 8 & -3 & 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} 4 & 5 & 4 \\ 12 & -4 & 2 \end{array}\right) \]

Согласно правилу сложения матриц A+O=A, где A — произвольная матрица, а O — нулевая матрица того же размера, что и A.

Вычитание матриц

Разность двух матриц одинакового размера определяется с помощью операции умножения матрицы B на число —1 и последующего сложения матриц A и (—1) B т. е.

\[A-B=A+(-1) B\]

Некоторые свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами. В частности, из определений операций умножения матрицы на число и сложения матриц следует, что

\[A+B=B+A\]

Вышеуказанная формула показывает свойство коммуникативности при сложении матриц.

Доказательство. Так как операция сложения определена только для матриц одинакового размера, причем сумма матриц является матрицей того же размера, что и слагаемые матрицы, то очевидно, что размер матрицы

\[A+B=F\]

равен размеру матрицы

\[B+A=G\]

Докажем, что и все элементы матрицы F равны соответствующим элементам матрицы G. {k} a_{i s} b_{s j}\]

\[i=1,2, \ldots, m \text { и } j=1,2, \ldots, n .\]

Обратим внимание на размеры матрицы C, число строк матрицы-произведения совпадает с числом строк первой, а число столбцов — с числом столбцов второй из перемножаемых матриц (см. Рис. 1).

Пример. Вычислить произведение матриц AB, если

\[ A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & -5 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 3 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right) \]

Решение матриц:

Определим размер матрицы — произведения: 

\[\underset{2 \times 3}{A} \underset{3 \times 3}{B}=\underset{2 \times 3}{C} .\]

Далее, вычислим элементы матрицы — произведения:

\[ C=\left(\begin{array}{rrr} 1+6+3 & 2-6+0 & 4+2+6 \\ 5+12-5 & 10-12+0 & 20+4-10 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{lll} 10 & -4 & 12 \\ 12 & -2 & 14 \end{array}\right) \]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Обратная матрица

Прежде чем переходить к понятию обратного выражения матрицы, следует рассмотреть алгоритм её транспонирования. Во время операции строки и столбцы переставляются местами.

На рисунке представлен метод решения обратной матрицы:

Для вычисления матрицы приведем ее к верхнетреугольному виду, используя преобразования над строками матрицы и свойства определителя матрицы.

По аналогии обратная матрица сходна с обратными числами. Например, противоположной цифре 5 будет дробь 1/5 = 5 (-1) степени. Произведение этих чисел равно 1, выглядит оно так: 5*5 (-1) = 1. Умножение обычной матричной таблицы на обратную даст в итоге единичную: А* А (-1) = Е. Это аналог числовой единицы.

Но для начала нужно понять алгоритм вычисления обратной матрицы. Для этого находят её определитель. Разработано два метода решения: с помощью элементарных преобразований или алгебраических дополнений.

Более простой способ решения — путём алгебраических дополнений. Рассмотрим матричную таблицу А, обратная ей А (-1) степени находится по формуле:

Матрица обратного вида возможна только для квадратного размера таблиц 2*2, 3*3 и т. д. Обозначается она надстроенным индексом (-1). Задачу легче рассмотреть на более простом примере, когда размер таблицы равен 2*2.

На первом этапе выполняют действия:

Обратного выражения матрицы не может быть, если определитель равен нулю. В рассматриваемом случае он равен -2, поэтому всё в порядке.

2 этап: рассчитывают матрицу миноров, которая имеет те же значения, что и первоначальная. Под минором k-того порядка понимается определитель квадратной матрицы порядка k*k, составленный из её элементов, которые располагаются в выбранных k- столбцах и k-строках. При этом расположение элементов таблицы не меняется. Чтобы найти минор верхнего левого числа, вычёркивают строчку и столбец, в которых прописан этот элемент. Оставшееся число и будет являться минором. На выходе должна получиться таблица:

3 этап: находят алгебраические дополнения

4 этап: определяют транспонированную матрицу

Матрица Эйзенхауэра: что это, как пользоваться, примеры

Тренды

Телеканал

Pro

Инвестиции

Мероприятия

РБК+

Новая экономика

Тренды

Недвижимость

Спорт

Стиль

Национальные проекты

Город

Крипто

Дискуссионный клуб

Исследования

Кредитные рейтинги

Франшизы

Газета

Спецпроекты СПб

Конференции СПб

Спецпроекты

Проверка контрагентов

РБК Библиотека

Подкасты

ESG-индекс

Политика

Экономика

Бизнес

Технологии и медиа

Финансы

РБК КомпанииРБК Life

РБК Тренды

Фото: Shutterstock

Чтобы не отвлекаться на бесполезные дела и не откладывать важные, нужно верно расставлять приоритеты.

1

Что такое матрица Эйзенхауэра

Матрица Эйзенхауэра — это метод тайм-менеджмента, помогающий расставлять приоритеты: делать важное и не тратить время на ненужное. Он подойдет всем, кто хочет разобраться с личным и рабочим временем, научиться планировать расписание, которое не съезжает. Матрица состоит из четырех квадратов: срочно и важно, несрочно и важно, срочно и неважно, несрочно и неважно. Идея такой матрицы отдаленно пересекается со знаменитым “правилом Парето”, согласно которому 20% усилий приводят к 80% результата и наоборот.

Матрица Эйзенхауэра

Идея распределять дела по такой методике появилась у 34-го президента США Дуайта Эйзенхауэра, руководившего страной с 1953-го по 1961 год. Эйзенхауэра считают одним из самых продуктивных президентов в истории Штатов.

Метод Эйзенхауэра оформил и популяризировал американский консультант Стивен Кови, описав его в книге «Семь навыков высокоэффективных людей».

Эффективность метода подтверждает исследование 2018 года [1]. Большинство людей выбирают срочные, а не важные дела. Ученые предложили участникам эксперимента выбрать, что делать в первую очередь. Срочные дела выбирали люди, которые описывали себя как «занятые». Зато когда их попросили обдумать последствия выбора той или иной задачи, они отдавали приоритет важным делам.

Читайте также: «Правила делегирования» — подборка РБК Pro

2

Как пользоваться матрицей Эйзенхауэра

Прежде чем заполнять матрицу, отследите в течение нескольких дней, какие задачи вы выполняете и сколько времени они отнимают. После наблюдения положите перед собой список дел и к каждому задайте три вопроса:

1. Была ли задача для меня срочной?
2. Была ли она для меня важной?
3. Я единственный, кто мог это сделать?

Когда распределите задачи по блокам, посмотрите, в каком квадрате их больше всего. Последовательно разбирайтесь с каждым квадратом.

3

Квадрат 1 — срочные и важные

Оперативно подхватить проект, пока коллега на больничном, закрыть задачу, прилетевшую за три часа до дедлайна, вылечить зуб с острой болью, — срочные и важные дела. Они требуют быстрого ответного действия. Обычно у таких задач есть осязаемые дедлайны и последствия, если не выполнить их вовремя. Сюда отнесем дела, возникшие из-за кризисов или форс-мажоров.

Если таких задач большинство. Возможно, у вас проблемы. Задачи в этом квадрате неизбежны, ведь ситуации и события, которыми нельзя управлять, будут происходить всегда. Но если фокусироваться только на срочных и важных делах, можно «заработать» хронический стресс, эмоциональное выгорание и ощущение потери контроля над жизнью. Это приведет к «внутренней миграции» — делам из четвертого квадрата.

Что делать. Старайтесь оставить здесь как можно меньше дел. Разработайте план по достижению актуальных целей. Поставьте дедлайны, составьте расписание. Проверьте в конце недели, что вы успели сделать, какие результаты получились и что будете делать на следующей неделе. Если срочные и важные задачи приходят извне, подумайте, как это предотвратить. Например, поговорите с начальством, коллегами или клиентом о перераспределении нагрузки или поменяйте рабочий план.

4

Квадрат 2 — несрочные и важные

Занятия в тренажерном зале, изучение языков, учеба на образовательных курсах — это задачи, связанные не с решением проблем, а с личным ростом. Эти дела помогают двигаться к долгосрочным целям с самыми ценными результатами. У них может не быть дедлайна или конечного срока, поэтому часто мы заменяем несрочные важные дела задачами из списка срочных.

Подкаст об образовании не поможет зарабатывать больше уже завтра, но поможет спланировать свою образовательную траекторию, чтобы зарабатывать больше в будущем. Это несрочно, но важно.

Если таких задач большинство. Вы расходуете свои ресурсы на то, что считаете важным. Уровень стресса снижается, вы почувствуете себя еще лучше, когда увидите первые результаты своих инвестиций.

Что делать. Это идеальная ситуация. Поддерживайте и сохраняйте ее как можно дольше.

5

Квадрат 3 — срочные и неважные

Сюда попадает проверка электронной почты и мессенджеров, рассылки документов, мытье посуды и другие бытовые дела. Это рутинные задачи, их результата ждут другие люди, но это почти не приближает вас к собственным целям. Автор книги «Сделай это завтра» Марк Форстер называет это занятостью. Занятость мешает делать «настоящую работу».

Если таких задач большинство. В этом квадрате можно увидеть эффект срочности: вы можете чувствовать драйв от поставленных галочек напротив списка дел. Как говорит знаменитый инвестор Уоррен Баффетт, каждым вечером следует задавать себе вопрос: «Стал ли я умнее сегодня, научился ли чему-то новому за день?» Другое дело, когда этот список состоит из мелких задач, которые почти ничего для вас не значат. Вместе с этим возникает ощущение, что вы занимаетесь не тем. Растет недовольство собой и своей жизнью.

Что делать. Стивен Кови советует делегировать такие задачи: службам доставки, личным ассистентам, клининговой службе, подрядчикам. Важно при этом грамотно делегировать задачи, чтобы не растерять уважение сотрудников, избегая при этом проявлений авторитаризма. Если делегирование невозможно — снизить их влияние на расписание. Например, выключать уведомления мессенджеров, ясно обозначать другим, сколько вам нужно времени на задачу, и говорить «нет», если таких дел становится слишком много. Еще один способ — заниматься задачами третьего квадрата, когда в первом и втором уже ничего нет.

6

Квадрат 4 — несрочные и неважные

Сюда попадают просмотры сериалов, пролистывание ленты в соцсетях и сортировка писем вместо ответа на них. Это «убийцы времени»: за этими занятиями мы проводим часы, но не получаем от них практической пользы в долгосрочной перспективе. Конечно, желание отвлечься, отдохнуть, полениться — это естественно. Самого Эйзенхауэра критиковали за игру в гольф в рабочее время. Но гольф и бридж создавали баланс между личным временем и стрессовой работой президента.

В долгосрочной перспективе «убийцы времени» мешают достигать важных целей. Исследование 2019 года, опубликованное в Journal of Applied Psychology, это доказывает [2]. Ученые нашли взаимосвязь между досугом сотрудников и их продуктивностью на следующий день. Исследователи выяснили, что работники, которые накануне долго смотрели передачи, пришли на работу с хорошим настроем. Но к концу недели их настроение ухудшалось, а мотивация падала. При этом работники, которые занимались спортом, йогой, медитацией, слушали музыку и помогали другим, чувствовали себя более спокойными и мотивированными.

Если таких задач большинство. Вы можете застрять в рутине. Из-за этого появится стресс и ощущение эскапизма, бегства от проблем.

Что делать. Фиксируйте время. Это поможет определить главных «убийц времени». Когда их найдете, подумайте, чем их заменить или ограничить.

7

Где собирать матрицу Эйзенхауэра

Блокнот или тетрадь. Не имеет значения, будут ли это разлинованные листы или нет — главное, чтобы вы осознавали границы между квадратами. Чтобы сделать распределение нагляднее, используйте разные цвета и шрифты для каждого блока.

Матрица Эйзенхауэра на бумаге

Todoist. В приложении можно маркировать задачи с помощью четырех уровней приоритетности, которые можно отфильтровать.

Матрица Эйзенхауэра в Todoist

Notion. Оформить матрицу в Notion можно несколькими способами. Например, создать базу с автоматическим присваиванием тега к задачам. Чтобы пользоваться такой матрицей, скопируйте шаблон у автора. Шаблон на английском языке.

Матрица Эйзенхауэра в Notion

Evernote. Это приложение для заметок. В нем есть шаблон матрицы, который можно настроить под себя: выбрать цвета, задачи. Можно заводить отдельную заметку с матрицей на каждый месяц, неделю или день.

Матрица Эйзенхауэра в Evernote

Обновлено 08.06.2022

Текст

Наталья Шацкова

об. 13 № 1 (2020): IEJEE

• 2022 Том 15 №: 2
• 2022 Том 15 №: 1
• 2022 Том 14 №: 5
• 2022 Том 14 №: 4
• 2022 Том 14 №: 3
• 2021 Том 14 №: 2
• 2021 Том 14 №: 1
• 2021 Том 13 №: 5
• 2021 Том 13 №: 4
• 2021 Том 13 №: 3
• 2020 Том 13 №: 2
• 2020 Том 13 №: 1
• 2020 Том 12 №: 5
• 2020 Том 12 №: 4
• 2020 Том 12 №: 3
• 2019 Том 12 №: 2
• 2019 Том 12 №: 1
• 2019Том 11 №: 5
• 2019 Том 11 №: 4
• 2019 Том 11 №: 3
• 2018 Том 11 №: 2
• 2018 Том 11 №: 1
• 2018 Том 10 №: 5
• 2018 Том 10 №: 4
• 2018 Том 10 №: 3
• 2017 Том 10 №: 2
• 2017 Том 10 №: 1
• 2016 Том 8 №: 4
• 2017 Том 9 №: 4
• 2017 Том 9 №: 3
• 2016 Том 9№: 2
• 2016 Том 9 №: 1
• 2016 Том 8 №: 3
• 2015 Том 8 №: 2
• 2015 Том 8 №: 1
• 2015 Том 7 №: 3
• 2015 Том 7 №: 2
• 2014 Том 7 №: 1
• 2014 Том 6 №: 3
• 2014 Том 6 №: 2
• 2013 Том 6 №: 1
• 2013 Том 5 №: 3
• 2013 Том 5 №: 2
• 2012 Том 5 №: 1
• 2012 Том 4 №: 3
• 2012 Том 4 №: 2
• 2011 Том 4 №: 1
• 2011 Том 3 №: 3
• 2011 Том 3 №: 2
• 2010 Том 3 №: 1
• 2010 Том 2 №: 3
• 2010 Том 2 №: 2
• 2009 г. Том 2 №: 1
• 2009 г. Том 1 №: 3
• 2009 г. Том 1 №: 2
• 2008 г. Том 1 №: 1

Уважаемые читатели IEJEE,

С марта 2020 года мы переживаем тяжелые времена из-за COVID-19. пандемия. Школы и университеты были вынуждены изменить способ организации занятий и семинаров. Преподавателям и студентам пришлось несколько месяцев держаться подальше от своих кампусов. Им пришлось создавать альтернативные решения для образовательной деятельности. Многие школы и университеты по-прежнему предлагают очные или неполные виртуальные курсы. Социальное дистанцирование по-прежнему является жизненно важной мерой предосторожности для защиты от вируса.

Исследователи должны были сделать перерыв в своей исследовательской деятельности или изменить свои методы.

Нет сомнений в том, что COVID-19 негативно повлиял на наше «свободное передвижение», сотрудничество и общение, и это необходимо сделать. Кроме того, мы должны признать, что мы многому научились. Мы научились находить творческие решения в трудные времена. Благодаря ИКТ мы научились общаться друг с другом и с нашими учениками с помощью различных технологий.

Опубликовано: 13 октября 2020 г.

Matrix Formula – Что такое Matrix Formula? Примеры

Матрица – это упорядоченное расположение чисел, выражений и даже символов в строках и столбцах. Если две матрицы имеют одинаковый размер (относительно их строк и столбцов), то их можно складывать, вычитать и умножать поэлементно. Давайте изучим матричные формулы вместе с несколькими решенными примерами.

Что такое матричная формула?

Матрица – это массив чисел, разделенный на строки и столбцы и представленный в квадратных скобках. Если вы видите матрицу 2 × 2, это означает, что матрица имеет 2 строки и 2 столбца. Матричные формулы используются для вычисления коэффициента вариации, сопряженной матрицы, определителя матрицы и обратной матрицы. Матричная формула особенно полезна в тех случаях, когда нам нужно сравнить результаты двух разных опросов с разными значениями.

Матричные формулы

Формула 1: Формула коэффициента вариации может быть представлена ​​как

\(M=\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12}\\ m_{21} & m_ {22} \end{bmatrix}\)

Формула 2:  Сопряженная формула матрицы 2 × 2 задается как

\( adj(M)=\begin{bmatrix} m_{22} & – m_{12}\\ -m_{21} & m_{11} \end{bmatrix}\)

Формула 3:  Обратная формула матрицы 2×2 задается как

Формула 6:  Матричная формула для сложения:

A= \(\begin{bmatrix }a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}\)
B=  \(\begin{bmatrix}j&k&l\\m&n&o\\p&q&r\end{bmatrix}\)

A+B=  \(\begin{bmatrix}a+j&b+k&c+l\\d+m&e+n&f +o\\g+p&h+q&i+r\end{bmatrix}\)

Формула 7:  Матричная формула для вычитания:

A = \(\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}\)
B=  \(\begin{bmatrix}j&k&l\\m&n&o\\p&q&r\end{bmatrix}\)

A-B=  \(\begin{bmatrix}a-j&b-k&c-l\\d-m&e-n&f-o \\g-p&h-q&i-r\end{bmatrix}\)

Формула 8: Матричная формула для умножения:

A= \(\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}\)
B = \(\begin{bmatrix}g&h\\i&j\\k&l\end{bmatrix}\)

AB = \(\begin{bmatrix}ag+bi+ck&ah+bj+cl\\dg+ei+fk&dh+ej+fl\end{bmatrix}\)

Формула 9: Для ортогональной матрицы произведение матрицы и ее транспонирования дает единичную матрицу. M × M ^T  = I

M × M ^T  = \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) × \(\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{ bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)

Применение матричных формул 

Матричные формулы обычно используются для нахождения решений линейных уравнений и исчисления, оптики, квантовой механики, и другие математические функции.

Давайте посмотрим, как использовать матричную формулу в следующем разделе решенных примеров.

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, зачем нужна математика, с нашими сертифицированными экспертами

Закажите бесплатный пробный урок

Примеры с использованием матричной формулы

Пример 1: Используя матричную формулу, определите определитель заданной матрицы.

\(\begin{bmatrix} 3 и 4 \\ 4 и 8 \end{bmatrix}\)

Решение: 

Найти: Определитель матрицы.
\(m_{11}\) = 3, \(m_{12}\) = 4, \(m_{21}\) = 4 и,   \(m_{22}\) = 8 (дано)

Используя матричную формулу для определителя,

|M| = \(m_{11}\)\(m_{22}\)–\(m_{12}\)\(m_{21}\)

= (3)(8) – (4)(4)

= 24 – 16
= 8

Ответ: определитель данной матрицы равен 8.

\(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\)

Решение:

Найти:  сопряжение заданной матрицы 2 x 2

Дано: \( m_{11}= 5, m_{12} = 6, m_{21} = 7 и, m_{22} = 8\)(дано)  

Используя матричную формулу для сопряженной матрицы,

\ ( adj(M)=\begin{bmatrix} m_{22} & -m_{12}\\ -m_{21} & m_{11} \end{bmatrix}\)

Поместите все значения,

\ ( adj(M)=\begin{bmatrix} 8 & – 6\\ – 7 & 5 \end{bmatrix}\)

Ответ: Сопряженная матрица равна \(\begin{bmatrix} 8 & – 6\\ – 7 & 5 \end{bmatrix}\).

Пример 3: Используйте матричную формулу для определения определителя матрицы:

\(\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix}\)

Решение:

Найти: Определитель матрицы.
\(m_{11}\)= 2, \(m_{12}\) = 4, \(m_{21}\) = 6 и,   \(m_{22}\) = 5 (дано)

Использование матричной формулы для определителя,

|M| = \(m_{11}\)\(m_{22}\)–\(m_{12}\)\(m_{21}\)

= (2)(5) – (4)(6)

= 10 – 24
= -14

Ответ: Определитель данной матрицы равен -14.

Часто задаваемые вопросы о матричной формуле

Что такое матричная формула в алгебре?

Матричные формулы используются для вычисления коэффициента вариации, сопряженного к матрице, определителя матрицы и обратной матрицы.