Матрицы столбцы и строки: 04. Матрицы и операции над ними

04. Матрицы и операции над ними

Матрицы и определители матриц широко используются при решении систем линейных уравнений, линейном программировании, исследовании систем дифференциальных уравнений. Аппарат теории матриц применяется в вычислительной математике, физике, моделировании практических задач в технике, экономике и бизнесе.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита в виде , если важно знать ее размеры, или буквами . Записывается матрица в следующем виде .

Элементы матрицы нумеруются двумя индексами. Первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент в матрице. Матрица называется числовой, если ее элементы вещественные или комплексные числа; функциональной, если ее элементы – функции; блочной, если ее элементы – другие матрицы. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрицу называют квадратной.

Все элементы квадратной матрицы, которые имеют одинаковые первые и вторые индексы, образуют главную диагональ матрицы. Если матрица имеет только одну строку, то ее называют матрицей – строкой или вектор – строкой. Такая матрица совпадает с арифметическим вектором, и ее элементы отделяют друг от друга запятыми. Если матрица имеет только один столбец, то ее называют матрицей – столбцом или вектор – столбцом. По соглашению, арифметические векторы записывают в виде вектор – столбцов. Например, матрица – прямоугольная числовая матрица размером две строки на три столбца, матрица – квадратная числовая матрица размером две строки на два столбца, матрица – это матрица – строка, а матрица – матрица – столбец.

Некоторые матрицы имеют специальные обозначения и названия.

Произвольная матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Например, матрица – нулевая размером два на три.

Квадратная матрица называется единичной, если все ее элементы на главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Так, матрица – единичная и имеет размеры два на два.

Квадратная матрица называется диагональной, если ее элементы, стоящие выше и ниже главной диагонали равны нулю. Например, матрица – диагональная.

Если в матрице размером заменить строки на столбцы с тем же номером, то получится новая матрица размером , которую называют транспонированной к исходной матрице . Таким образом, по определению для всех элементов транспонированной матрицы выполняются соотношения: . Например, транспонированной по отношению к матрице размером две строки на три столбца будет матрица размером три строки на два столбца. Если дважды транспонировать матрицу, то в результате получится исходная матрица.

Матрицы и Называют равными, если они имеют одинаковые размеры и все их соответствующие элементы равны, т. е. , если .

Например, числовая матрица равна квадратной, функциональной матрице , но они записаны в различных формах.

Квадратная матрица Называется симметричной, если она совпадает с транспонированной матрицей, т.

е. . Например, матрица – симметричная, и видно, что она симметрична относительно главной диагонали. Отметим также, что диагональная и единичная матрицы являются симметричными, так как они совпадают со своими транспонированными матрицами, что проверяется непосредственно.

Для матриц введены две основные операции: сложение матриц и умножение матрицы на число (вещественное или комплексное).

Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц, то есть .

Так, если и , то .

Для операции сложения матриц выполняются свойства коммутативности И ассоциативности , которые следуют из соответствующих свойств чисел. Если к любой матрице прибавить слева или справа нулевую матрицу, то исходная матрица не изменится; таким образом, выполняются равенства . Для любой матрицы существует единственная противоположная матрица , такая что , что также следует из аксиоматических свойств чисел. Разность двух матриц одинаковых размеров определяется как обычно по правилу , то есть соответствующие элементы первой и второй матриц вычитаются. Так, если

и , то .

Произведением матрицы на число (вещественное или комплексное) называется матрица , полученная из исходной матрицы умножением всех ее элементов на число , то есть .

Например, пусть . Тогда .

Для основных матричных операций выполняются, дополнительно к вышеуказанным четырем свойствам, следующие четыре свойства:

– при умножении на число 1 матрица не изменяется ,

– ассоциативность умножения на числа ,

– две дистрибутивности и . Все свойства матриц следуют из соответствующих свойств чисел.

Таким образом, для матриц относительно основных операций сложения и умножения на число выполняются все восемь аксиом линейного пространства. Это позволяет считать матрицы элементами некоторого конкретного линейного пространства и обращаться с ними как с векторами. Отметим, что арифметические векторы по их определению совпадают с матрицами – строками или матрицами – столбцами.

Следовательно, арифметические векторы также удовлетворяют всем восьми свойствам абстрактного линейного пространства и могут, как и матрицы, называться векторами.

Операция умножения первой матрицы на вторую матрицу Не является основной. Эта операция определяется только в том случае, когда число столбцов первой равно числу строк второй (длина строк первой матрицы равна высоте столбцов второй матрицы).

Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , все элементы которой находятся по формулам

.

Таким образом, для нахождения элементов последовательно выбираются строки и столбцы, причем при каждом выборе элементы строки умножаются на соответствующие элементы столбца и все такие парные произведения складываются. Пусть, например, первая матрица имеет размер две строки на два столбца, вторая матрица- такой же размер. Тогда матрица , равная их произведению , находится по определяющим формулам в виде и также имеет размер две строки на два столбца.

Так как матрицы И Квадратные, то их можно перемножить в обратном порядке, то есть найти

.

Мы получили в нашем случае, что . Этот контрпример доказывает, что в общем случае умножение матриц не подчиняется закону коммутативности. Существуют матрицы, для которых свойство коммутативности выполняется. Такие матрицы называют коммутирующими, и они обязательно должны быть квадратными.

Покажем, например, что матрицы и коммутирующие. Действительно

,

,

Что и доказывает наше утверждение.

Если матрица Не является квадратной, то есть , то ее нельзя умножить саму на себя, так как число столбцов первой матрицы не будет равно числу строк второй матрицы. Однако если ее транспонировать, то определено как произведение размера , так и произведение размера . Рассмотрим для примера матрицу – строку вида . Транспонированная к ней матрица будет матрицей – столбцом вида . Произведение будет иметь размер три на три, а произведение будет иметь размер одна строка на один столбец.

Сформируем далее матрицу

.

В этой формуле символом обозначен определитель матрицы , состоящей из одного элемента. Как показывается ниже, определитель такой матрицы равен значению этого единственного элемента. Полученная матрица симметричная и при умножении на себя дает единичную матрицу.

Основные свойства, связанные с умножением матриц, доказываются в общем виде на основе соответствующих свойств чисел путем непосредственного сопоставления матриц слева и справа от знака равенства:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) .

< Предыдущая		Следующая >

В матрице найти строку и столбец с максимальными суммами элементов

Опубликовано: 02.12.2022Рубрика: Задачи на PythonАвтор: mob25

Заполните матрицу случайными числами.  Найдите в ней строку и столбец с максимальными суммами элементов. Выведите на экран индексы строки и столбца, а также суммы.

from random import random
# Матрица - двумерный список,
# т. е. список, содержащий
# вложенные списки одинаковой длины.
matrix = []
# За одну итерацию внешнего цикла
# формируется один вложенный список,
# т. е. одна строка матрицы.
for i in range(5):
    # строка матрицы
    row = []
    # заполнение строки
    for j in range(5):
        # добавляется случайное число
        # от 0 до 9 включительно
        row.append(int(random()*10))
    # строка добавляется в матрицу
    matrix.append(row)
# построчный вывод матрицы
for row in matrix:
    print(row)
# Переменная для хранения
# максимальной суммы строки.
max_row = 0
# Переменная для хранения
# индекса строки с максимальной суммой.  
id_row = 0
# индекс текущей строки
i = 0
# для каждой строки в матрице ...
for row in matrix:
    # Функция sum() возвращает
    # сумму элементов переданного ей списка.
    # Если сумма элементов строки
    # больше значения max_row,
    if sum(row) > max_row:
        # то присвоить переменной max_row эту сумму,
        max_row = sum(row)
        # а в id_row сохранить индекс этой строки.
        id_row = i
    # увеличить индекс на 1
    i += 1
# вывод индекса и суммы
print(id_row, '-', max_row)
# Переменная для хранения
# максимальной суммы столбца.
max_col = 0
# Переменная для хранения
# индекса столбца с максимальной суммой.
id_col = 0
# перебор индексов столбцов
for i in range(5):
    # сумма текущего столбца
    col_sum = 0
    # перебор индексов строк
    for j in range(5):
        # Извлекается очередной элемент столбца,
        # и добавляется к col_sum,
        # при этом изменяется индекс строк (j),
        # индекс столбца неизменен (i).
        col_sum += matrix[j][i]
    # Если сумма элементов текущего столбца
    # больше значения max_col,
    if col_sum > max_col:
        # то записать значение
        # первой переменной в вторую,
        max_col = col_sum
        # а индекс столбца сохранить в id_col. 
        id_col = i
# вывод индекса столбца и его суммы
print(id_col, '-', max_col)

0

Column Matrix – определение, формула, свойства, примеры.

Матрица-столбец — это матрица, все элементы которой находятся в одном столбце. Элементы расположены вертикально, а порядок матрицы столбцов равен n x 1. Матрица столбцов имеет только один столбец и может иметь множество строк, равное количеству элементов в столбце.

Давайте узнаем больше о свойствах матрицы-столбца, матричных операциях над матрицей-столбцом, на примерах, в часто задаваемых вопросах.

1.	Что такое матрица столбцов?
2.	Свойства матрицы столбцов
3.	Операции над матрицей столбцов
4.	Примеры на матрице столбцов
5.	Практические вопросы
6.	Часто задаваемые вопросы о столбцовой матрице

Что такое матрица столбцов?

Матрица-столбец — это матрица, в которой все элементы находятся в одном столбце. Матрица столбцов имеет только один столбец и несколько строк. Порядок матрицы-столбца равен n × 1, и она состоит из n элементов. Элементы расположены вертикально, при этом количество элементов равно количеству строк в матрице-столбце. Общая форма матрицы-столбца выглядит следующим образом.

Примеры матрицы столбцов

Давайте посмотрим на три примера матриц столбцов ниже.

B = \(\begin{bmatrix}4\\5\end{bmatrix}_{2×1}\)

C = \(\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix }_{3×1}\)

D = \(\begin{bmatrix}8\\-2\\4\\1\end{bmatrix}_{4×1}\)

Свойства матрицы столбцов

Следующие свойства матрицы-столбца помогают глубже понять матрицу-столбец.

• Матрица столбцов имеет только один столбец.
• Матрица-столбец имеет множество строк.
• Количество элементов в матрице-столбце равно количеству строк в матрице.
• Матрица-столбец также является прямоугольной матрицей.
• Транспонирование матрицы-столбца является матрицей-строкой.
• Матрица-столбец может быть добавлена ​​или вычтена только из матрицы-столбца того же порядка.
• Матрица-столбец может быть умножена только на матрицу-строку
• Произведение матрицы-столбца на матрицу-строку дает одноэлементную матрицу.

Операции над матрицей столбцов

Над матрицами-столбцами можно выполнять следующие алгебраические операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания над матрицами-столбцами можно выполнять так же, как и над любыми другими матрицами. Матрица-столбец может быть добавлена ​​или вычтена только из любой другой матрицы-столбца. Здесь порядок двух матриц должен быть одинаковым.

A = \(\begin{bmatrix}7\\-3\\4\\5\end{bmatrix}\), B = \(\begin{bmatrix}3\\8\\2\\-7 \end{bmatrix}\)

A + B = \(\begin{bmatrix}7+3\\(-3)+8\\4+2\\5+(-7)\end{bmatrix}\) = \(\begin{ bmatrix}10\\5\\6\\-2\end{bmatrix}\)

Умножение матрицы-столбца возможно на матрицу-строку. При выполнении условия умножения матриц количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице. То есть количество столбцов в матрице столбцов для умножения равно количеству строк в столбце строки.

A = \(\begin{bmatrix}4\\2\\3\\1\end{bmatrix}\), B = \(\begin{bmatrix}7&4&6&5\end{bmatrix}\)

A × B = \(\begin{bmatrix}4\\2\\3\\1\end{bmatrix}\), × \(\begin{bmatrix}7&4&6&5\end{bmatrix}\)

= \(\begin{bmatrix}4×7&4×4&4×6&4×5\\2×7&2×4&2×6&2×5\\3×7&3×4&3×6&3×5\\1×7&1×4&1×6&1×5\ end{bmatrix}\)

= \(\begin{bmatrix}28&16&24&20\\14&8&12&10\\21&12&18&15\\7&4&6&5\end{bmatrix}\)

Умножение матрицы-столбца на матрицу-строку приводит к квадратной матрице . Кроме того, матрицу-столбец нельзя использовать для деления, поскольку обратной матрицы-столбца не существует.

Связанные темы

Следующие темы помогают лучше понять матрицу столбцов.

• Операции с матрицами
• Матрица трансформации
• Несингулярная матрица
• Эрмитова матрица
• Нильпотентная матрица

Примеры на матрице столбцов

1. Пример 1: Найти транспонирование матрицы-столбца \(\begin{bmatrix}5\\11\\4\\3\end{bmatrix}\).

   Решение:

   Дана матрица A = \(\begin{bmatrix}5\\11\\4\\3\end{bmatrix}\)

   Чтобы найти транспонирование этой матрицы-столбца, элементы столбца записываются как элементы строки.

   A ^T = \(\begin{bmatrix}5&11&4&3\end{bmatrix}\)

   Следовательно, транспонирование матрицы-столбца является матрицей-строкой.

2. Пример 2: Найдите произведение матрицы-столбца \(\begin{bmatrix}4 \\5\\3\end{bmatrix}\) и матрицы-строки \(\begin{bmatrix}2&6&9\end{bmatrix}\).

   Решение:

   Даны матрицы A = \(\begin{bmatrix}4 \\5\\3\end{bmatrix}\) и B = \(\begin{bmatrix}2&6&9\end{ bматрица}\).

   A × B = \(\begin{bmatrix}4 \\5\\3\end{bmatrix}\) × \(\begin{bmatrix}2&6&9\end{bmatrix}\)

   = \(\begin {bmatrix}4×2&4×6&4×9\\5×2&5×6&5×9\\3×2&3×6&3×9\\\end{bmatrix}\)

   = \(\begin{bmatrix}8&24&36\\ 10&30&45\\6&18&27\\\конец{bmatrix}\)

   Таким образом, произведение матрицы-столбца и матрицы-строки является одноэлементной матрицей.

перейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по матрице столбцов

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о матрице столбцов

Что такое матрица столбцов?

Матрица-столбец — это матрица только с одним столбцом, все элементы которой расположены друг под другом по вертикальной линии. В матрице столбцов A = \(\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}\) четыре элемента размещены в одном столбце. Матрица столбцов имеет только один столбец и множество строк. Порядок матрицы-столбца равен n × 1.

Каков порядок матрицы-столбца?

Порядок матрицы-столбца равен n × 1. Матрица-столбец состоит из одного столбца и n строк. Количество строк в матрице-столбце равно количеству элементов.

Какой тип матрицы является матрицей-столбцом?

Матрица-столбец представляет собой прямоугольную матрицу. Он имеет неравное количество строк и столбцов. Матрица столбцов имеет один столбец и множество строк в зависимости от количества элементов в матрице.

Что такое транспонирование матрицы столбцов?

Транспонирование матрицы-столбца дает матрицу-строку. Матрица-столбец порядка n × 1 имеет транспонированную матрицу, которая представляет собой матрицу-строку порядка 1 × n. В матрице столбцов элементы расположены вертикально, а в матрице строк элементы расположены вертикально.

Какие операции выполняются над матрицей-столбцом?

Матричные операции сложения, вычитания и умножения можно выполнять с помощью матрицы-столбца. Обратная матрица-столбец невозможна, так как это не квадратная матрица. Сложение или вычитание матриц возможно между двумя матрицами-столбцами одного порядка. Умножение матрицы-столбца возможно на матрицу-строку. При выполнении условия умножения матриц количество столбцов в матрице-столбце должно быть равно количеству строк матрицы-строки.

В чем разница между матрицей столбцов и матрицей строк?

В матрице столбцов элементы расположены вертикально, а в матрице строк элементы расположены горизонтально. Порядок матрицы-столбца равен n × 1, а порядок матрицы-строки — 1 × n. Матрица-столбец или матрица-строка имеют одинаковое количество элементов. А произведение матрицы-столбца и матрицы-строки дает одноэлементную матрицу.

Векторы и матрицы

Марко Табога, доктор философии

Эта лекция представляет собой неформальное введение в матрицы и векторы.

Содержание

1. Матрица

2. Размер матрицы

3. Элементы матрицы

   900 74

4. Векторы

5. Скаляры

6. Равные матрицы

7. Нулевые матрицы

8. Квадратные матрицы

9. Диагональные и недиагональные элементы

10. Единичная матрица

11. Транспонирование матрицы

12. Симметричные матрицы

13. Решенные упражнения

    901 34

14. Упражнение 1

15. Упражнение 2

16. Упражнение 3

Матрица

Матрица — это двумерный массив с фиксированным числом строк и столбцов и содержит число на пересечении каждой строки и столбца.

Матрица обычно ограничивается квадратными скобками.

Пример Вот пример матрицы с двумя строками и двумя столбцы:

Размерность матрицы

Если матрица имеет ряды и столбцы, мы говорим, что он имеет размерность , или что это матрица.

Пример матрица имеет ряды и столбцы. Итак, мы говорим, что это матрица.

Элементы матрицы

Числа, содержащиеся в матрице, называются элементами числа. матрица (или элементы, или компоненты).

Если является матрицей, запись на пересечении строки и колонка обычно обозначается (или ). Мы говорим, что это -й запись .

Пример Позволять быть матрица определяется как следует: элемент на пересечении третьей строки и первого столбца, т. е. его -й вход

Векторы

Если матрица имеет только одну строку или только один столбец, она называется вектором.

Матрица, имеющая только одну строку, называется вектором-строкой .

Пример матрикс вектор-строку, потому что он имеет только одну строку.

Матрица, имеющая только один столбец, называется вектором-столбцом .

Пример матрикс вектор-столбец, потому что он имеет только один столбец.

Скаляры

Матрица, имеющая только одну строку и один столбец, называется скалярной.

Пример матрикс скаляр. Другими словами, скаляр — это одно число.

Равные матрицы

Равенство между матрицами определяется очевидным образом.

Два матрицы и имеют одинаковую размерность, называются равно тогда и только тогда, когда все их соответствующие элементы равны каждому другое:

Нулевые матрицы

Матрица является нулевой матрицей , если все ее элементы равны нулю, и мы пишем

Пример Если это матрица и , затем

Квадратные матрицы

А матрица называется квадратной матрицей , если количество его строк равно столько же, сколько и количество его столбцов, т. е. .

Пример матрикс квадратная матрица.

Пример матрикс квадратная матрица.

Диагональные и недиагональные элементы

Позволять быть квадратной матрицей.

Диагональ (или главная диагональ ) это набор всех записей такой, что .

Элементы, принадлежащие диагонали, называются диагональными элементами, и все остальные элементы называются недиагональными.

Пример Позволять быть матрица определена всем внедиагональные записи равны , а три диагональных элемента равны , , и , соответственно.

Идентификационная матрица

Квадратная матрица называется единичной матрицей , если все ее диагональные элементы равны и все его недиагональные элементы равны . Обычно обозначается буквой .

Пример матрикс в единичная матрица.

Транспонирование матрицы

Если это матрица, это транспонировать , обозначается , это матрица такая, что -й элемент равно -й элемент для любой и удовлетворяющий и .

Другими словами, столбцы равны строкам (равнозначно ряды равны столбцам ).

Пример Позволять быть матрица определяется Его транспонировать следующее матрица:

Пример Позволять быть матрица определяется Его транспонировать следующее матрица:

Симметричные матрицы

Говорят, что квадратная матрица равна 9.0003 симметричный , если он равен его транспонировать.

Пример Позволять быть матрица определяется Его транспонировать следующее матрица: какая равно . Поэтому, симметричен.

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять быть матрица определена по

Найдите его транспонирование.

Решение

Транспонирование матрица такая, что ее столбцы равны строкам :

Упражнение 2

Позволять быть вектор-столбец определен по

Покажите, что его транспонирование является вектором-строкой.

Решение

Транспонирование матрица такая, что ее строки равны столбцам . Но имеет только один столбец, что означает, что имеет только одну строку. Следовательно, это ряд вектор:

Упражнение 3

Позволять быть матрица определена по

Является ли он симметричным?

Раствор

симметричен, если он равен своему транспонированному.