ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²: ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, слоТСниС, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅. Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ, с Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

a b ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

a b ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

Π’Ρ‹ искали a b ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°? На нашСм сайтС Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° любой матСматичСский вопрос здСсь. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с описаниСм ΠΈ пояснСниями ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ с самой слоТной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΈ a b Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ домашним Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΎΠ»ΠΈΠΌΠΏΠΈΠ°Π΄Π°ΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² Π²ΡƒΠ·. И ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ запрос ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ – Ρƒ нас ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. НапримСр, Β«a b ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Β».

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ распространСно Π² нашСй ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. Они ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… расчСтах, ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ сооруТСний ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ спортС. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ использовал Π΅Ρ‰Π΅ Π² дрСвности ΠΈ с Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ возрастаСт. Однако сСйчас Π½Π°ΡƒΠΊΠ° Π½Π΅ стоит Π½Π° мСстС ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ»Π°ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ a b ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,a b Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ,i j ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,reshish matrix,Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,всС ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ…,всС ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ дСйствия Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ,Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ дСйствия Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ,Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ дСйствия Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ дСйствия с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ,Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ дСйствия с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹,Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½,Π²Ρ‹ΡˆΠΌΠ°Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π° ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π° Π²,Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π° ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π° Π²,Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π° ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ с,Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π° ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ с Π° Π²,Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π° ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ с ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π° ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ с Π° Π²,дСйствиС с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ,дСйствия Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,дСйствия с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ,дСйствия с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,дСйствия с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,дСйствия с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,дСйствия с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ,Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ,ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ,ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ,ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 2 Π½Π° 2,ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ,ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 2 Π½Π° 2,ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ,ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ дСйствий с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ сумма,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ дСйствия с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° всС ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ…,ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° матриця,матСматичСская ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,матСматичСская ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅,матСматичСскиС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° 1 Π½Π° 1,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° 2 Π°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° 6 Π½Π° 6,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° a,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° a b,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° a b c b,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° b a,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ba ab,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° i j,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° m Π½Π° n,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° n Π½Π° n,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π° 2,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π° 2 Π°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π² Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π²Ρ‹ΡˆΠΌΠ°Ρ‚,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° для,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° матСматичСская Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° плюс число,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° с нуля,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ‚Π΅ΠΌΠ°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ‚Π΅ΠΌΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ‚Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° чисСл,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° число,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° числовая,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° это Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ–,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ a b ΠΈ b a b,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ с,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ тСория с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ это,матриця ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ,Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ a b,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ a b ΠΈ b a,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 2Π°,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ x ΠΈΠ· уравнСния ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ с ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Ρ…,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ,Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ дСйствия с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† с комплСксными числами,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† с ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,пСрСстановочныС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ с ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅,ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,расчСт ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с комплСксными числами,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ 2 Π½Π° 2,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 5 Π½Π° 5,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ с ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,слоТСниС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,столбСц ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,строка ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,сумма ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,сумма ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Ρ‚Π΅ΠΌΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,Ρ‚Π΅ΠΌΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅,Ρ‚Π΅ΠΌΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Ρ‚Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,уравнСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†,Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,число ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,число плюс ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,числовая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°,элСмСнт ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹,элСмСнтарныС прСобразования ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,элСмСнтарныС прСобразования ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,элСмСнтарныС прСобразования ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€.

На этой страницС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚Π΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ любой вопрос, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ a b ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π² окошко ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒΒ» здСсь (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, i j ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°).

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ a b ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π° нашСм сайтС https://pocketteacher.ru. БСсплатный ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ любой слоТности Π·Π° считанныС сСкунды. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ – это просто ввСсти свои Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ввСсти Π²Π°ΡˆΡƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π° нашСм сайтС. А Ссли Ρƒ вас ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вопросы, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Ρ‡Π°Ρ‚Π΅ снизу слСва Π½Π° страницС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π Π°Π·Ρ€Π΅ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ (sparse matrix) для Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

Автор Π ΠΎΠΌΠ°Π½ ΠšΠΎΡ‚ΡŽΠ±Π΅Π΅Π²

Π’ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· статСй ΠΏΠΎ Apache Spark я Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ» ΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… (sparse) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ…, Π½ΠΎ Π½Π΅ вдавался Π² подробности. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΡΠ±ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ с Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΡƒ эти Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ ΠΈΡ… хранСния отличаСтся ΠΎΡ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Data Science, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΈΡ… Ρ…Ρ€Π°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅. БСгодня ΠΌΡ‹ шаг Π·Π° шагом рассмотрим ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΊ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ, Π½Π°Ρ‡Π°Π² со списка ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (COOrdinate list) ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠ² сТатым Ρ…Ρ€Π°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ строкой (CSR) ΠΈ столбцом (CSC).

Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹: ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅

Допустим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас имССтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° (см. рисунок Π½ΠΈΠΆΠ΅). ΠŸΡ€ΠΈ Π±Π΅Π³Π»ΠΎΠΌ взглядС осознаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ (Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, это ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° c ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями) А Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π±Ρ‹ это Π±Ρ‹Π»Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° 1000Γ—1000? А ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° 100000Γ—500000 со всСми этими нулями? НСт смысла Ρ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, Π³Π΄Π΅ большая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ элСмСнтов – это Π½ΡƒΠ»ΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΈ ΠΊ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† (sparse matrix).

ΠŸΠ»ΠΎΡ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

Π Π°Π·Ρ€Π΅ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π°Ρ…:

  • ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ список (Coordinate List),
  • сТатоС Ρ…Ρ€Π°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ строкой (Compressed Sparse Row),
  • сТатоС Ρ…Ρ€Π°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ столбцом (Compressed Sparse Column),
  • список списков (List of lists),
  • ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅ΠΉ (Dict of keys)

ΠœΡ‹ расскаТСм ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅.

Бписок ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (Coordinate List)

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, самый ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ хранСния Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† являСтся список ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ прСдставляСт собой Ρ‚Ρ€ΠΈΠΏΠ»Π΅Ρ‚ (строка, столбСц, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅). ΠŸΡ€ΠΈ этом, хранятся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ значСния. НапримСр, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ списка ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚

Π’ этом Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ Π΅Ρ‰Π΅ хранится Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ записанныС значСния ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ нулями.

Π£Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ°Π΅ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ row-major order

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ ΡƒΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ список ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ индСкс строки, Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ количСство Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ строкС. Π’ΠΎΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ случится, послС примСнСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°:

Π£Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ список ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚

ПодобноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ строкам называСтся порядок ΠΏΠΎ строкам (row-major mode). Ничто Π½Π΅ ΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊ столбцам, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ порядок ΠΏΠΎ столбцам (column-major order) [1].

Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Ρ…Ρ€Π°Π½ΠΈΠΌ мСньшС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…: Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ мСньшС Π½Π° Π΄Π²Π° элСмСнта ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ списком ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

А Ρ‡Ρ‚ΠΎ насчСт ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π°? ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Ρ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ массива ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ строки (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ это row-major order) ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅? Алгоритм извлСчСния p-ΠΉ строки достаточно прост. Допустим, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° 3-я строка (Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎ счСт с 0), Ρ‚.Π΅. послСдняя строка (0,0,0,1,0,3,0), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° трСбуСтся:

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ количСство n Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… элСмСнтов Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ p-ΠΉ строки. Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ эту ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ суммирования элСмСнтов Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π΅ НС-0 Π² строкС Π²ΠΏΠ»ΠΎΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ p-ΠΉ строки. Для 3-ΠΉ строки получаСтся 1 + 3 + 0 = 4, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ количСство Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… элСмСнтов Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ 3-ΠΉ строки Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 4.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ количСство k элСмСнтов Π² p-ΠΉ строкС. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ p-ΠΌΡƒ элСмСнту Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° НС-0 Π² строкС. Для 3-Π΅ строки это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2.
  3. Π”ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Π΄ΠΎ элСмСнта n + 1 Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π‘Ρ‚ΠΎΠ»Π±Π΅Ρ† ΠΈ Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ нашСм случаС это 4 + 1 = 5.
  4. Π’Π·ΡΡ‚ΡŒ k ΠΏΠ°Ρ€ элСмСнтов Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π‘Ρ‚ΠΎΠ»Π±Π΅Ρ† ΠΈ Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ нашСм случаС это ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ (3, 1) ΠΈ (5, 3).
  5. Π’Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° N (Π³Π΄Π΅ N – это количСство строк) с Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠΈ, Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ нулями. Π’ нашСм случаС это a[3] = 1 ΠΈ a[5] = 3, Π° всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ β€” это Π½ΡƒΠ»ΠΈ.
Π‘ΠΆΠ°Ρ‚ΠΎΠ΅ Ρ…Ρ€Π°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ строкой (Compressed Sparse Row, CSR)

А Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΡ‹ Π·Π°Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ строку 2-ю, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ 1-ю, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ снова 2-ю ΠΈ Ρ‚.Π΄. Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ°, происходит суммированиС элСмСнтов Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° НС-0 Π² строкС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π· ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΎΠΉ строки. Π’Π°ΠΊ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, сразу ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ НС-0 Π² строкС Π½Π° ΠΊΡƒΠΌΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΈΠ²Π½ΡƒΡŽ сумму количСства Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… элСмСнтов Π² строкС ΠΈ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠšΡƒΠΌΡƒΠ»ΡΡ‚Π° НС-0 Π² строкС. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° получится Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ CSR

И Π²ΠΎΡ‚ снова трСбуСтся ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ p-ю строку, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 3-ю. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Π΅Π΅ получСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ:

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ количСство Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… элСмСнтов Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ p-ΠΉ строки. Π­Ρ‚ΠΎ просто (p β€” 1)-ΠΉ элСмСнт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠšΡƒΠΌΡƒΠ»ΡΡ‚Π° НС-0 Π² строкС. Для 3-ΠΉ строки β€” это 4.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ количСство Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… элСмСнтов Π² строкС p. Π­Ρ‚ΠΎ количСство Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ p-ΠΌ ΠΈ (p-1)-ΠΌ элСмСнтами Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠšΡƒΠΌΡƒΠ»ΡΡ‚Π° НС-0 Π² строкС. Для 3-ΠΉ строки эта Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 3-ΠΌ ΠΈ 2-ΠΌ элСмСнтами, Ρ‚.Π΅. 6 β€” 4 = 2.
  3. Π¨Π°Π³ΠΈ 3, 4, 5 Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ шагС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ условиС ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ 0-ю строки: Если трСбуСтся 0-я строка, Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ 0 β€” ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ этой строки Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅Ρ‚.

Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ хранСния называСтся сТатоС Ρ…Ρ€Π°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ строкой (Compressed Sparse Row, CSR).

Π‘ΠΆΠ°Ρ‚ΠΎΠ΅ Ρ…Ρ€Π°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ столбцом (Compressed Sparse Column, CSC)

Π’ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… машинного обучСния (machine learning) Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ распространСнной ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ являСтся ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ столбцов (ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²) Π½Π΅ΠΆΠ΅Π»ΠΈ строк. Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ строки ΠΈ столбцы ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ эквивалСнтны, поэтому ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊ столбцам. Вакая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° прСдставлСния Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ сТатоС Ρ…Ρ€Π°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ столбцом (Compressed Sparse Column, CSC).

Если ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ кумуляту ΠΏΠΎ столбцам, Ρ‚.Π΅. ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ порядка ΠΏΠΎ столбцам (column-major order), Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ CSC

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ столбца считаСм Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»Π΅Π²Π΅Π΅ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ. И Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ возвращаСтся 0 Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ шагС Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ 0-Π³ΠΎ столбца.

Π•Ρ‰Π΅ большС подробностСй ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ… ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… структурах Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ· Data Science Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π½Π° спСциализированном курсС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Β«PYML: Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² машинноС ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° PythonΒ» Π² Π»ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ обучСния ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π»ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΄ΠΆΠ΅Ρ€ΠΎΠ², Π°Ρ€Ρ…ΠΈΡ‚Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€ΠΎΠ², администраторов, Data Scientist’ов ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ² Big Data Π² МосквС.

Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ расписаниС

Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° курс

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊΠΈ

  1. https://en. {th}$ столбцС Ρ€Π°Π²Π½Π° $a_{ij}$. ΠœΡ‹ часто пишСм $A = [a_{ij}]$. 9{Π’} = \left[ \begin{массив}{ll} 6 ΠΈ -4\\ 9 ΠΈ -6\\ \end{массив} \right]$.

    Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

    К ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°, просто Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ записи. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ссли $B=[b_{ij}]$ ΠΈ $C=[c_{ij}]$, $$ B + C = [b_ {ij} + c_ {ij}] {\ small \ textrm {ΠΈ}} BC = [b_ {ij} – c_ {ij}]. $$

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

    Для $B = \left[ \begin{массив}{rr} 6 ΠΈ 9 \\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \right]$ ΠΈ $C = \left[ \begin{массив}{rr} 1 ΠΈ 2 \\ -1 ΠΈ 0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \справа]$, $$ Π’ + Π‘ = \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ [ \begin{массив}{cc} 6 +1 ΠΈ 9+2 \\ -4+(-1) ΠΈ -6+0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \справа] = \слСва[ \begin{массив}{rr} 7 ΠΈ 11 \\ -5 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ] $$ $$ Π’-Π‘ = \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ[ \begin{массив}{cc} 6-1 ΠΈ 9-2\ -4-(-1) ΠΈ -6-0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \справа] = \слСва[ \begin{массив}{rr} 5 ΠΈ 7 \\ -3 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ]. $$

    НулСвая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° $m\times n$ , 0 , для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ свойство, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для любой $m\times n$ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ $A$, $$ А+\mathbf{0} = А. $$

    БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ $A$ Π½Π° число $c$ («скаляр»), ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ запись $A$ ΠΏΠΎ $c$. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, $$ сА=[са_{ij}]. $$

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

    ИспользованиС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ $B= \left[ \begin{массив}{rr} 6 ΠΈ 9\\ -4 &-6\\ \end{array} \right]$ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, $$ 3B = 3\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ[\begin{массив}{rr} 6 ΠΈ 9\\ -4 &-6\\ \end{массив}\right] = \left[ \begin{массив}{rr} 18 ΠΈ 27\\ -12 &-18\\ \end{массив}\right]. $$ 9{n}_{k=1} x_{ik}y_{kj}. $$

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
    • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $XY$ опрСдСляСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, Ссли количСство столбцов $X$ совпадаСт с количСством строк $Y$.
    • $XY$ ΠΈ $YX$ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π½Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. Если ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Π° ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚, ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°.
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

    Для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† $B = \left[ \begin{массив}{rr} 6 ΠΈ 9 \\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \right]$ ΠΈ $C = \left[ \begin{массив}{rr} 1 ΠΈ 2 \\ -1 ΠΈ 0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \справа]$, $$ { Π‘Πš = \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ [ \begin{массив}{rr} 6 ΠΈ 9\\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π»Π΅Π²ΠΎ[ \begin{массив}{rr} 1 ΠΈ 2 \\ -1 ΠΈ 0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \right] = \left[ \begin{массив}{cc} (6)(1)+(9)(-1) ΠΈ (6)(2)+(9)(0)\\ (-4)(1)+(-6)(-1) ΠΈ (-4)(2) + (-6)(0)\\ \end{массив} \right] = \left[ \begin{массив}{cc} -3 ΠΈ 12\ 2 ΠΈ -8\\ \end{массив} \right]} $$ ΠΏΠΎΠΊΠ° $$ { ΠšΠ‘ = \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ [ \begin{массив}{rr} 1 ΠΈ 2 \\ -1 ΠΈ 0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π»Π΅Π²ΠΎ[ \begin{массив}{rr} 6 ΠΈ 9 \\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \right] = \left[ \begin{массив}{cc} (1)(6) + (2)(-4) ΠΈ (1)(9)) + (2)(-6)\\ (-1)(6) + (0)(-4) ΠΈ (-1)(9) + (0)(-6)\\ \end{массив} \right] = \left[ \begin{массив}{cc} -2 ΠΈ -3 \\ -6 ΠΈ -9\\ \end{массив} \right]}. $$

    ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° $n\times n$, всС элСмСнты Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1 ΠΈ всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ 0, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ тоТдСства . $Π―$. НапримСр, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° $3\times 3$ Ρ€Π°Π²Π½Π° $\left[ \begin{массив}{ll} 1 ΠΈ 0 ΠΈ 0\\ 0 ΠΈ 1 ΠΈ 0\\ 0 ΠΈ 0 ΠΈ 1\\ \end{массив} \right]$. Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° $n \times n$ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ свойство, состоящСС Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли $A$ β€” любая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° $n \times n$, $$ АИ = ИА = А. $$ 9{-1}$.


    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
    • Волько ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ $X$ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅. Если X Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ , Π° Π½Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ для любого Y ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ XY Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ YX, ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π° произвСдСния ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚.
    • НС каТдая квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ. Если сущСствуСт инвСрсия, ΠΎΠ½Π° ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°.
    • Если ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ, говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌΠ° .

    ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ $2 \times 2$ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ просто: $$ {\ small \ textrm {If}} A = \ left [ \ begin {массив} {rr} Π° ΠΈ Π±\\ CD\\ \end{массив} \right], {\small\textrm{then}} A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left[ \begin{массив}{rr} Π΄&-Π±\\ -с ΠΈ Π°\\ \end{массив} \right]. $$ 9{-1}C = \left[ \begin{массив}{rr} 0 ΠΈ -1\\ 1/2 ΠΈ 1/2\\ \end{массив} \right]\left[ \begin{массив}{rr} 1 ΠΈ 2 \\ -1 ΠΈ 0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \right] = \left[ \begin{массив}{rr} 1 ΠΈ 0\\ 0 ΠΈ 1\\ \end{массив} \right].$

    ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° $B = \left[ \begin{массив}{rr} 6 ΠΈ 9 \\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \right]$ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ.

    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

    Как ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $B = \left[ \begin{массив}{rr} 6 ΠΈ 9\\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \right]$ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ?

    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ числа $A$, $\det A$, являСтся числом со свойством Ρ‡Ρ‚ΠΎ $A$ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $\det A \not= 0$.

    Для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ $2 \times 2$ $A=\left[ \begin{array}{rr} Π° ΠΈ Π±\\ CD\\ \end{массив} \right]$, $\det A = ad -bc$.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

    Для $B = \left[ \begin{массив}{rr} 6 ΠΈ 9 \\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \right]$, $\det B = (6)(-6)- (9{i+j}M_{ij}(A)$ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ $(i,j)$ ΠΊΠΎΡ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ $A$.

    Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ $\det A$ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ разлоТСния Лапласа ΠΏΠΎ любой строкС ΠΈΠ»ΠΈ столбцу $A$:

    Π’Π΄ΠΎΠ»ΡŒ строки $i$: $$ \det A = a_{i1}c_{i1}(A) + a_{i2}c_{i2}(A) + \ldots + a_{in}c_{in}(A). $$

    Π’Π΄ΠΎΠ»ΡŒ столбца $j$: $$ \det A = a_{1j}c_{1j}(A) + a_{2j}c_{2j}(A)+ \ldots + a_{nj}c_{nj}(A). $$

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ $A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3\\ 1 & 0 & -1\\ 2 & 1 & 6\\ \end{array} \right ].$

    По ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ряду,

    $\begin{массив}{rcl} \det A & = & (1) \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ[ (0)(6) – (-1)(1) \Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ] – (-1)\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ [ (1)(6)-(-1)(2) \справа] + 3 \слСва[ (1)(1)-(0)(2) \справа] \\ & = & (1)(1) + (1)(8)+(3)(1)\\ & = & 12. \end{массив}$

    ВмСсто этого вычисляя $\det A$ ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ столбцу,

    $\begin{массив}{rcl} \det A & = & -(-1) \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ[ (1)(6) – (-1)(2) \Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ] + ( 0)\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ [ (1)(6)-(3)(2) \справа] – 1 \слСва[ (1)(-1)-(3)(1) \справа] \\ & = & (1)(8)+(0)(0)-(1)(-4)\\ & = & 12 {\ small\textrm{ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ оТидалось.}} \end{массив}$ 9{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left[ \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \\ \end{array}\right].$

  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ $\det A$:

    Если $A = \left[ \begin{array}{ll} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right]$, $\det A = Ρ€Π΅ΠΊΠ»Π°ΠΌΠ°-BC$. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС $\qquad$ вдоль строки $i$: $\qquad\qquad$ $\det A = a_{i1}c_{i1}(A) + a_{i2}c_{i2}(A) + \ldots + a_{in}c_{in}(A)$. $\qquad$ ΠΏΠΎ столбцу $j$: $\qquad\qquad$ $\det A = a_{1j}c_{1j}(A) + a_{2j}C_{2j}(A)+ \ldots + a_{ nj}c_{nj}(A)$.


  3. [Π― Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ тСст.] [МнС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ большС.]

    Wolfram|Alpha ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹: ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

    О-ΠΎ! Wolfram|Alpha Π½Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π±Π΅Π· JavaScript.

    ΠŸΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉΡΡ‚Π°, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ JavaScript. Если Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ инструкции здСсь. Как Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Ρ‹ это сдСлаСтС, ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅ эту страницу, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Wolfram|Alpha.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ для

    ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° β€” это Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ массив Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для прСдставлСния Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ прСобразования ΠΈΠ»ΠΈ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ интСрСсными свойствами ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ основной матСматичСской ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… областСй. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°, Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΈ прСобразования β€” это лишь Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Wolfram|Alpha прСуспСваСт.

    Бвойства ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

    Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ свойства Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

    Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ свойства ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:
    {{6, -7}, {0, 3}}{{1, -5, 8}, {1, -2, 1}, {2, -1, -5 }}

    Врассировка

    Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ трассировку ΠΈΠ»ΠΈ сумму Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

    Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ слСд ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:
    tr {{9, -6, 7}, {-9, 4, 0}, {-8, -6, 4}}tr {{a, b}, {c , d}}

    Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ строк

    ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊ сокращСнной ступСнчатой ​​формС строк.

    Ряд ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ:
    сокращСниС строк {{2, 1, 0, -3}, {3, -1, 0, 1}, {1, 4, -2, -5}}ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ сокращСния строк

    Диагонализация

    Найти диагональ квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°.

    Диагонализация ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:
    диагонализация {{1, 2}, {3, 4}}

    Π’ΠΈΠΏΡ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

    НайдитС ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄Π°Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.

    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ свойством:
    ЯвляСтся Π»ΠΈ {{3, -3}, {-3, 5}} ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ?
    ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:
    ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π°ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ГанкСля
    Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€:
    ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π° 5×5

    ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

    Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.

    Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:
    {{1, 2}, {3, 4}} + {{2, -1}, {-1, 2}}
    Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:
    {{2, -1}, {1 , 3}} . {{1, 2}, {3, 4}}
    ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚:
    {{2, -1, 1}, {0, -2, 1}, {1, -2, 0}} . {x, y, z}

    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ

    Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

    ВычислСниС опрСдСлитСля ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:
    ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ {{3, 4}, {2, 1}}det({{9, 3, 5}, {-6, -9, 7}, {-1, -8, 1}})det {{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, j}}

    БобствСнныС значСния ΠΈ собствСнныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

    Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ систСму Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

    ВычислСниС собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:
    собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ {{4, 1}, {2, -1}}
    ВычислСниС собствСнных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:
    собствСнных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² {{1, 0, 0}, {0, 0, 1 }, {0, 1, 0}}
    ВычислСниС характСристичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:
    Π₯арактСристичСский ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ {{4, 1}, {2, -1}} Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

    ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π² ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

    Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ LU-Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:
    LU-Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ {{7, 3, -11}, {-6, 7, 10}, {-11, 2, -2}}
    Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ сингулярноС Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ :
    SVD {{1, 0, -1}, {-2, 1, 4}}Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

    Π˜Π”Π’Π˜ ДАЛЬШЕ

    ΠŸΠΎΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

    Π’Π΅Π±-ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

    БСсплатный Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

    БВЯЗАННЫЕ ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π Π«

  4. АлгСбра
  5. РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
  6. ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° 9(-1)
    Найти ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠΈΠ½Π²Π΅Ρ€ΡΠΈΡŽ:
    инвСрсия {{1, -4, 3}, {2, -5, 8}}

    Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ

    Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ сопряТСнноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ.

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ