a b ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°
a b ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΡ ΠΈΡΠΊΠ°Π»ΠΈ a b ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°? ΠΠ° Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π½Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Π·Π΄Π΅ΡΡ. ΠΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π²Π°ΠΌ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΈ a b Π½Π°ΠΉΡΠΈ, Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΈΡΡΡΡ ΠΊ Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡΠ½ΠΈΠΌ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ, ΠΎΠ»ΠΈΠΌΠΏΠΈΠ°Π΄Π°ΠΌ, Π° ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΡΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π² Π²ΡΠ·. Π ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ Π·Π°ΠΏΡΠΎΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ Π½Π΅ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ – Ρ Π½Π°Ρ ΡΠΆΠ΅ Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Β«a b ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°Β».
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΎ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ
ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. ΠΠ½ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ
ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ
, ΡΡΡΠΎΠΈΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π΅ ΡΠΎΠΎΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ
ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π» Π΅ΡΠ΅ Π² Π΄ΡΠ΅Π²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Ρ ΡΠ΅Ρ
ΠΏΠΎΡ ΠΈΡ
ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ Π½Π°ΡΠΊΠ° Π½Π΅ ΡΡΠΎΠΈΡ Π½Π°
ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΈ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ»Π°ΠΆΠ΄Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ
ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ a b ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,a b Π½Π°ΠΉΡΠΈ,i j ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,reshish matrix,Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,Π²ΡΠ΅ ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°Ρ
,Π²ΡΠ΅ ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°Ρ
Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ,Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ,Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ,Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ,Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½,Π²ΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π° ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π° Π²,Π΄Π°Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,Π΄Π°Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π° ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π° Π²,Π΄Π°Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π° ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Ρ,Π΄Π°Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π° ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Ρ Π° Π²,Π΄Π°Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π° ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π΄Π°Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π° ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΡΠΈ Ρ Π° Π²,Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ,Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ,Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΠΉ,Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ,ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ 2 Π½Π° 2,ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ 2 Π½Π° 2,ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΡΠΌΠΌΠ°,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π²ΡΠ΅ ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°Ρ
,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° 1 Π½Π° 1,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° 2 Π°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° 6 Π½Π° 6,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° a,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° a b,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° a b c b,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° b a,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ba ab,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° i j,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° m Π½Π° n,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° n Π½Π° n,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π° 2,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π° 2 Π°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π² Π²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π²ΡΡΠΌΠ°Ρ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π΄Π»Ρ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΏΠ»ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Ρ Π½ΡΠ»Ρ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΠΌΠ°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠΈΡΠ΅Π»,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΡΠΎ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ a b ΠΈ b a b,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ²,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Ρ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠ°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠΎ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ,Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,Π½Π°ΠΉΡΠΈ a b,Π½Π°ΠΉΡΠΈ a b ΠΈ b a,Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ 2Π°,Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ x ΠΈΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Ρ
,Π½Π°ΠΉΡΠΈ Ρ
ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,Π½ΠΎΡΠΌΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°ΠΌΠΈ,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅,ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ 2 Π½Π° 2,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ 5 Π½Π° 5,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΡΡΡΠΎΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ,ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅,ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ,ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠ»ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°,ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ.
Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ a b ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π½Π° Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ https://pocketteacher.ru. ΠΠ΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π·Π° ΡΡΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π΄Ρ. ΠΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ – ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Π΅. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ ΠΈ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²Π°ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π½Π° Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅. Π Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π²Π°Ρ ΠΎΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ, ΡΠΎ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΈΡ Π² ΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ ΡΠ»Π΅Π²Π° Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ°.
Π Π°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ (sparse matrix) Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²
ΠΠ²ΡΠΎΡ Π ΠΎΠΌΠ°Π½ ΠΠΎΡΡΠ±Π΅Π΅Π²
Π ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠ°ΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎ Apache Spark Ρ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ» ΠΎ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
(sparse) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°Ρ
, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°Π»ΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ
ΡΠ±ΠΈΠ²Π°ΡΡ Ρ ΡΠΎΠ»ΠΊΡ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΎΡΠΌΠ°Ρ ΠΈΡ
Ρ
ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΡΡ
ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² Data Science, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΈΡ
Ρ
ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Π·Π°ΡΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅. Π‘Π΅Π³ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΌΡ ΡΠ°Π³ Π·Π° ΡΠ°Π³ΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄ ΠΎΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΡΡ
ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΊ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌ, Π½Π°ΡΠ°Π² ΡΠΎ ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (COOrdinate list) ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠ² ΡΠΆΠ°ΡΡΠΌ Ρ
ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ (CSR) ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠΌ (CSC).
ΠΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ: ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅
ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Ρ Π½Π°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° (ΡΠΌ. ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ Π½ΠΈΠΆΠ΅). ΠΡΠΈ Π±Π΅Π³Π»ΠΎΠΌ Π²Π·Π³Π»ΡΠ΄Π΅ ΠΎΡΠΎΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΡΠ»Π΅ΠΉ (Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° c ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ) Π ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΡΡΠΎ Π±ΡΠ»Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° 1000Γ1000? Π ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° 100000Γ500000 ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠΈ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π½ΡΠ»ΡΠΌΠΈ? ΠΠ΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ»Π° Ρ ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π³Π΄Π΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² β ΡΡΠΎ Π½ΡΠ»ΠΈ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡΠ»ΠΈ ΠΊ ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΌ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ (sparse matrix).
ΠΠ»ΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°Π Π°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠ°Ρ :
- ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ (Coordinate List),
- ΡΠΆΠ°ΡΠΎΠ΅ Ρ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ (Compressed Sparse Row),
- ΡΠΆΠ°ΡΠΎΠ΅ Ρ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠΌ (Compressed Sparse Column),
- ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΡΠΏΠΈΡΠΊΠΎΠ² (List of lists),
- ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ (Dict of keys)
ΠΡ ΡΠ°ΡΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ
ΡΡΠ΅Ρ
, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΠ΅.
Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (Coordinate List)
ΠΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΠΌΡΠΉ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΡΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ°Ρ Ρ
ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠΈΠΏΠ»Π΅Ρ (ΡΡΡΠΎΠΊΠ°, ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅)
. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ, Ρ
ΡΠ°Π½ΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠ΅ Π΅ΡΠ΅ Ρ ΡΠ°Π½ΠΈΡΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. ΠΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½ΡΠ»ΡΠΌΠΈ.
Π£Π»ΡΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ row-major order
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΡΠΈΡΡ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ Ρ ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Ρ ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅. ΠΠΎΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°:
Π£Π»ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΏΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌ (row-major mode). ΠΠΈΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΊ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°ΠΌ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°ΠΌ (column-major order) [1].
ΠΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ Ρ ΡΠ°Π½ΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ : Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π½Π° Π΄Π²Π° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΏΠΈΡΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
Π ΡΡΠΎ Π½Π°ΡΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ°? ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ Ρ
ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π° ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΡ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠΎ row-major order) ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅? ΠΠ»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ p-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡ. ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½Π° 3-Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° (Π½Π΅ Π·Π°Π±ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎ ΡΡΠ΅Ρ Ρ 0), Ρ.Π΅. ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° (0,0,0,1,0,3,0)
, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ:
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ n Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ
ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π²ΡΡΠ΅ p-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ΅
ΠΠ΅-0 Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅
Π²ΠΏΠ»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎ p-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. ΠΠ»Ρ 3-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ 1 + 3 + 0 = 4, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π²ΡΡΠ΅ 3-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 4. - ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ k ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π² p-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅. ΠΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ p-ΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠ΅-0 Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅
.ΠΠ»Ρ 3-Π΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 2.
- ΠΠΎΠΉΡΠΈ Π΄ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° n + 1 Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π‘ΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ
ΠΈΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
. Π Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠΎ 4 + 1 = 5. - ΠΠ·ΡΡΡ k ΠΏΠ°Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π‘ΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ
ΠΈΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
. Π Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠΎ ΠΏΠ°ΡΡ(3, 1)
ΠΈ(5, 3)
. - ΠΠ΅ΡΠ½ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° N (Π³Π΄Π΅ N β ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊ) Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ, Π° ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ Π½ΡΠ»ΡΠΌΠΈ. Π Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠΎ
a[3] = 1
ΠΈa[5] = 3
, Π° Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ β ΡΡΠΎ Π½ΡΠ»ΠΈ.
Π‘ΠΆΠ°ΡΠΎΠ΅ Ρ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ (Compressed Sparse Row, CSR)
Π ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π·Π°Ρ
ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ 2-Ρ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ 1-Ρ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° 2-Ρ ΠΈ Ρ.Π΄. ΠΡΡ
ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΠ΅-0 Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅
ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ°Π· ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ, ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΠ΅-0 Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅
Π½Π° ΠΊΡΠΌΡΠ»ΡΡΠΈΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ
ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΠΈ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΡΠΌΡΠ»ΡΡΠ° ΠΠ΅-0 Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅
. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ:
Π Π²ΠΎΡ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ p-Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 3-Ρ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ:
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ
ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π²ΡΡΠ΅ p-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ (p β 1)-ΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΡΠΌΡΠ»ΡΡΠ° ΠΠ΅-0 Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅
. ΠΠ»Ρ 3-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ β ΡΡΠΎ 4. - ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ
ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ p. ΠΡΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ p-ΠΌ ΠΈ (p-1)-ΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΡΠΌΡΠ»ΡΡΠ° ΠΠ΅-0 Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅
. ΠΠ»Ρ 3-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΡΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ 3-ΠΌ ΠΈ 2-ΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, Ρ.Π΅. 6 β 4 = 2. - Π¨Π°Π³ΠΈ 3, 4, 5 ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π²ΡΡΠ΅.
Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ°Π³Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ 0-Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ: ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ 0-Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°, Π²Π΅ΡΠ½ΡΡΡ 0 β ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅Ρ.
Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ°Ρ Ρ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΆΠ°ΡΠΎΠ΅ Ρ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ (Compressed Sparse Row, CSR).
Π‘ΠΆΠ°ΡΠΎΠ΅ Ρ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠΌ (Compressed Sparse Column, CSC)
Π Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ
ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ (machine learning) Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² (ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²) Π½Π΅ΠΆΠ΅Π»ΠΈ ΡΡΡΠΎΠΊ. Π‘ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π²ΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΊ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°ΠΌ. Π’Π°ΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΆΠ°ΡΠΎΠ΅ Ρ
ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠΌ (Compressed Sparse Column, CSC).
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΡΠΌΡΠ»ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°ΠΌ, Ρ.Π΅. ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°ΠΌ (column-major order), ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅:
Π€ΠΎΡΠΌΠ°Ρ CSCΠΡΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ Π»Π΅Π²Π΅Π΅ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ. Π ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ 0 Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ°Π³Π΅ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ 0-Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°.
ΠΡΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ , ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°Ρ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ°Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠ· Data Science Π²Ρ ΡΠ·Π½Π°Π΅ΡΠ΅ Π½Π° ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΊΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Β«PYML: ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° PythonΒ» Π² Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π·ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΡΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΄ΠΆΠ΅ΡΠΎΠ², Π°ΡΡ ΠΈΡΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠΎΠ², Π°Π΄ΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΡΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ², Data ScientistβΠΎΠ² ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΊΠΎΠ² Big Data Π² ΠΠΎΡΠΊΠ²Π΅.
Π‘ΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΊΡΡΡ
ΠΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ
- https://en.
{th}$ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½Π° $a_{ij}$. ΠΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ $A = [a_{ij}]$. 9{Π’} = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{ll} 6 ΠΈ -4\\ 9 ΠΈ -6\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right]$.
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ
Π ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π²Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ°, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ $B=[b_{ij}]$ ΠΈ $C=[c_{ij}]$, $$ B + C = [b_ {ij} + c_ {ij}] {\ small \ textrm {ΠΈ}} BC = [b_ {ij} – c_ {ij}]. $$
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
ΠΠ»Ρ $B = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 6 ΠΈ 9 \\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right]$ ΠΈ $C = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 1 ΠΈ 2 \\ -1 ΠΈ 0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \ΡΠΏΡΠ°Π²Π°]$, $$ Π + Π‘ = \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ [ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{cc} 6 +1 ΠΈ 9+2 \\ -4+(-1) ΠΈ -6+0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \ΡΠΏΡΠ°Π²Π°] = \ΡΠ»Π΅Π²Π°[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 7 ΠΈ 11 \\ -5 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ] $$ $$ Π-Π‘ = \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{cc} 6-1 ΠΈ 9-2\ -4-(-1) ΠΈ -6-0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \ΡΠΏΡΠ°Π²Π°] = \ΡΠ»Π΅Π²Π°[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 5 ΠΈ 7 \\ -3 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ]. $$
ΠΡΠ»Π΅Π²Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° $m\times n$ , 0 , Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ $m\times n$ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ $A$, $$ Π+\mathbf{0} = Π.
$$
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ $A$ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ $c$ (Β«ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΒ»), ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΡΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ $A$ ΠΏΠΎ $c$. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, $$ ΡΠ=[ΡΠ°_{ij}]. $$
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ $B= \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 6 ΠΈ 9\\ -4 &-6\\ \end{array} \right]$ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°, $$ 3B = 3\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ[\begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 6 ΠΈ 9\\ -4 &-6\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}\right] = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 18 ΠΈ 27\\ -12 &-18\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}\right]. $$ 9{n}_{k=1} x_{ik}y_{kj}. $$
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $XY$ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² $X$ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΡΡΠΎΠΊ $Y$.
- $XY$ ΠΈ $YX$ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π½Π΅ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Π° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ, ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΈ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΡΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
ΠΠ»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ $B = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 6 ΠΈ 9 \\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right]$ ΠΈ $C = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 1 ΠΈ 2 \\ -1 ΠΈ 0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \ΡΠΏΡΠ°Π²Π°]$, $$ { ΠΠ = \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ [ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 6 ΠΈ 9\\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ Π»Π΅Π²ΠΎ[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 1 ΠΈ 2 \\ -1 ΠΈ 0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right] = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{cc} (6)(1)+(9)(-1) ΠΈ (6)(2)+(9)(0)\\ (-4)(1)+(-6)(-1) ΠΈ (-4)(2) + (-6)(0)\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right] = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{cc} -3 ΠΈ 12\ 2 ΠΈ -8\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right]} $$ ΠΏΠΎΠΊΠ° $$ { ΠΠ = \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ [ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 1 ΠΈ 2 \\ -1 ΠΈ 0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ Π»Π΅Π²ΠΎ[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 6 ΠΈ 9 \\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right] = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{cc} (1)(6) + (2)(-4) ΠΈ (1)(9)) + (2)(-6)\\ (-1)(6) + (0)(-4) ΠΈ (-1)(9) + (0)(-6)\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right] = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{cc} -2 ΠΈ -3 \\ -6 ΠΈ -9\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right]}.
$$
ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ° $n\times n$, Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π½Ρ 1 ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ 0, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° . $Π―$. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° $3\times 3$ ΡΠ°Π²Π½Π° $\left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{ll} 1 ΠΈ 0 ΠΈ 0\\ 0 ΠΈ 1 ΠΈ 0\\ 0 ΠΈ 0 ΠΈ 1\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right]$. ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° $n \times n$ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ $A$ β Π»ΡΠ±Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° $n \times n$, $$ ΠΠ = ΠΠ = Π. $$ 9{-1}$.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ
- Π’ΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ $X$ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ X ΡΠ°Π²Π½ΠΎ , Π° Π½Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ², ΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Y ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ XY Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ°, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ YX, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ.
- ΠΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡ, ΠΎΠ½Π° ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°.
- ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ, Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌΠ° .
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ $2 \times 2$ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ: $$ {\ small \ textrm {If}} A = \ left [ \ begin {ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} {rr} Π° ΠΈ Π±\\ CD\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right], {\small\textrm{then}} A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} Π΄&-Π±\\ -Ρ ΠΈ Π°\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right].
$$ 9{-1}C = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 0 ΠΈ -1\\ 1/2 ΠΈ 1/2\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right]\left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 1 ΠΈ 2 \\ -1 ΠΈ 0\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right] = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 1 ΠΈ 0\\ 0 ΠΈ 1\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right].$
ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ° $B = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 6 ΠΈ 9 \\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right]$ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ $B = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 6 ΠΈ 9\\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right]$ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ?
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° $A$, $\det A$, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΡΠΎ $A$ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $\det A \not= 0$.
ΠΠ»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ $2 \times 2$ $A=\left[ \begin{array}{rr} Π° ΠΈ Π±\\ CD\\ \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right]$, $\det A = ad -bc$.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
ΠΠ»Ρ $B = \left[ \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rr} 6 ΠΈ 9 \\ -4 ΠΈ -6\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \right]$, $\det B = (6)(-6)- (9{i+j}M_{ij}(A)$ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ $(i,j)$ ΠΊΠΎΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ $A$.
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ $\det A$ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° ΠΏΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ $A$:
ΠΠ΄ΠΎΠ»Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ $i$: $$ \det A = a_{i1}c_{i1}(A) + a_{i2}c_{i2}(A) + \ldots + a_{in}c_{in}(A).
$$
ΠΠ΄ΠΎΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° $j$: $$ \det A = a_{1j}c_{1j}(A) + a_{2j}c_{2j}(A)+ \ldots + a_{nj}c_{nj}(A). $$
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
ΠΡΡΡΡ $A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3\\ 1 & 0 & -1\\ 2 & 1 & 6\\ \end{array} \right ].$
ΠΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌΡ ΡΡΠ΄Ρ,
$\begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rcl} \det A & = & (1) \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ[ (0)(6) β (-1)(1) \Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ] β (-1)\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ [ (1)(6)-(-1)(2) \ΡΠΏΡΠ°Π²Π°] + 3 \ΡΠ»Π΅Π²Π°[ (1)(1)-(0)(2) \ΡΠΏΡΠ°Π²Π°] \\ & = & (1)(1) + (1)(8)+(3)(1)\\ & = & 12. \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}$
ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡ $\det A$ ΠΏΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ,
$\begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{rcl} \det A & = & -(-1) \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ[ (1)(6) β (-1)(2) \Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ] + ( 0)\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ [ (1)(6)-(3)(2) \ΡΠΏΡΠ°Π²Π°] β 1 \ΡΠ»Π΅Π²Π°[ (1)(-1)-(3)(1) \ΡΠΏΡΠ°Π²Π°] \\ & = & (1)(8)+(0)(0)-(1)(-4)\\ & = & 12 {\ small\textrm{ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡ.}} \end{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}$ 9{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left[ \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \\ \end{array}\right].$
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ $\det A$:
ΠΡΠ»ΠΈ $A = \left[ \begin{array}{ll} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right]$, $\det A = ΡΠ΅ΠΊΠ»Π°ΠΌΠ°-BC$.
Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ $\qquad$ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ $i$: $\qquad\qquad$ $\det A = a_{i1}c_{i1}(A) + a_{i2}c_{i2}(A) + \ldots + a_{in}c_{in}(A)$. $\qquad$ ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ $j$: $\qquad\qquad$ $\det A = a_{1j}c_{1j}(A) + a_{2j}C_{2j}(A)+ \ldots + a_{ nj}c_{nj}(A)$.
- ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°
- Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
- ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° 9(-1)
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡ:
ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡ {{1, -4, 3}, {2, -5, 8}}ΠΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ.
[Π― Π³ΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΠΉΡΠΈ ΡΠ΅ΡΡ.] [ΠΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅.]
Wolfram|Alpha ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ: ΠΠ°ΡΡΠΈΡΡ
Π-ΠΎ! Wolfram|Alpha Π½Π΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ Π±Π΅Π· JavaScript.ΠΠΎΠΆΠ°Π»ΡΠΉΡΡΠ°, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ JavaScript. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅ΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ, Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΠΈ Π·Π΄Π΅ΡΡ. ΠΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Ρ ΡΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΠ΅, ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΠ΅ ΡΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Wolfram|Alpha.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π»Ρ
ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ° β ΡΡΠΎ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ² Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡ
ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠ΅ΠΉ. ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°, Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ β ΡΡΠΎ Π»ΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ
ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ
ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
Wolfram|Alpha ΠΏΡΠ΅ΡΡΠΏΠ΅Π²Π°Π΅Ρ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
{{6, -7}, {0, 3}}{{1, -5, 8}, {1, -2, 1}, {2, -1, -5 }}Π’ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ°
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
tr {{9, -6, 7}, {-9, 4, 0}, {-8, -6, 4}}tr {{a, b}, {c , d}}Π‘ΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊ
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΏΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΎΠΉ ββΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊ.
Π ΡΠ΄ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊ {{2, 1, 0, -3}, {3, -1, 0, 1}, {1, 4, -2, -5}}ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°.
ΠΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ {{1, 2}, {3, 4}}Π’ΠΈΠΏΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ Π»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ:
Π―Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ {{3, -3}, {-3, 5}} ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ?ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
ΠΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΠΈΠ»ΡΠ±Π΅ΡΡΠ°ΠΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΠ°Π½ΠΊΠ΅Π»ΡΠ£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅Ρ:
ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΠΈΠ»ΡΠ±Π΅ΡΡΠ° 5×5ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ½Π°Ρ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠ°
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ.
Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
{{1, 2}, {3, 4}} + {{2, -1}, {-1, 2}}Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
{{2, -1}, {1 , 3}} . {{1, 2}, {3, 4}}ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ:
{{2, -1, 1}, {0, -2, 1}, {1, -2, 0}} . {x, y, z}ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ {{3, 4}, {2, 1}}det({{9, 3, 5}, {-6, -9, 7}, {-1, -8, 1}})det {{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, j}}Π‘ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ {{4, 1}, {2, -1}}ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² {{1, 0, 0}, {0, 0, 1 }, {0, 1, 0}}ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ {{4, 1}, {2, -1}} Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π² ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ LU-ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
LU-ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ {{7, 3, -11}, {-6, 7, 10}, {-11, 2, -2}}ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠΈΠ½Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ :
SVD {{1, 0, -1}, {-2, 1, 4}}ΠΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΠΠ’Π ΠΠΠΠ¬Π¨Π
ΠΠΎΡΠ°Π³ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ
ΠΠ΅Π±-ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ
ΠΠ΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΡΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ