Механика 9 класс формулы и определения: Механика – Основные формулы

Содержание

Механическое движение — определение, формулы, примеры

Механическое движение

Когда мы идем в школу или на работу, автобус подъезжает к остановке или сладкий корги гуляет с хозяином, мы имеем дело с механическим движением.

Механическим движением называется изменение положения тел в пространстве относительно других тел с течением времени.

«Относительно других тел» — очень важные слова в этом определении. Для описания движения нам нужны:

  • тело отсчета
  • система координат
  • часы

В совокупности эти три параметра образуют систему отсчета.

В механике есть такой раздел — кинематика. Он отвечает на вопрос, как движется тело. Дальше мы с помощью кинематики опишем разные виды механического движения. Не переключайтесь 😉

Прямолинейное равномерное движение

Движение по прямой, при котором тело проходит равные участки пути за равные промежутки времени называют прямолинейным равномерным. Это любое движение с постоянной скоростью.

Например, если у вас ограничение скорости на дороге 60 км/ч, и у вас нет никаких препятствий на пути — скорее всего, вы будете двигаться прямолинейно равномерно.

Мы можем охарактеризовать это движение следующими величинами.

Скалярные величины (определяются только значением)

  • Время — в международной системе единиц СИ измеряется в секундах [с].
  • Путь — длина траектории (линии, по которой движется тело). В случае прямолинейного равномерного движения — длина отрезка [м].

Векторные величины (определяются значением и направлением)

  • Скорость — характеризует быстроту перемещения и направление движения материальной точки [м/с].
  • Путь — вектор, проведенный из начальной точки пути в конечную [м].

Чтобы сразу практиковаться, приходите в современную школу для подростков Skysmart. Ученики занимаются на интерактивной платформе по индивидуальной программе, отслеживает прогресс в личном кабинете и чувствуют себя увереннее на школьных контрольных.


Проецирование векторов

Векторное описание движения полезно, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения.

Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами — проекциями векторов.

Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция равна длине вектора. А если вектор противоположно направлен оси — проекция численно равна длине вектора, но отрицательна. Если вектор перпендикулярен — его проекция равна нулю.


Скорость может определяться по вектору перемещения и пути, только это будут две разные характеристики.

Скорость — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту перемещения, а средняя путевая скорость — это отношение длины пути ко времени, за которое путь был пройден.

Скорость

→ →
V = S/t


V — скорость [м/с]

S — перемещение [м]
t — время [с]

Средняя путевая скорость

V ср.путевая = S/t

V ср.путевая — средняя путевая скорость [м/с]

S — путь [м]
t — время [с]

В чем разница между перемещением и путем?

Перемещение — это вектор, проведенный из начальной точки в конечную, а путь — это длина траектории.

Задача

Найдите, с какой средней путевой скоростью должен двигаться автомобиль, если расстояние от Санкт-Петербурга до Великого Новгорода в 210 километров ему нужно пройти за 2,5 часа. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Возьмем формулу средней путевой скорости
V ср.путевая = S/t

Подставим значения:
V ср.путевая = 210/2,5 = 84 км/ч

Ответ: автомобиль будет двигаться со средней путевой скоростью равной 84 км/ч

Уравнение движения

Основной задачей механики является определение положения тела в данный момент времени. Для решения этой задачи помогает уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t).

Уравнение движения

x(t) = x0 + vxt

x(t) — искомая координата [м]
x0 — начальная координата [м]
vx — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v < 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Уравнение движения при движении против оси

x(t) = x0 – vxt

x(t) — искомая координата [м]
x0 — начальная координата [м]
vx — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Графики

Изменение любой величины можно описать графически. Вместо того, чтобы писать множество значений, можно просто начертить график — это проще.

В видео ниже разбираемся, как строить графики кинематических величин и зачем они нужны.

Прямолинейное равноускоренное движение

Чтобы разобраться с тем, что за тип движения в этом заголовке, нужно ввести новое понятие — ускорение.

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. В международной системе единиц СИ измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.

СИ — международная система единиц. «Перевести в СИ» означает перевод всех величин в метры, килограммы, секунды и другие единицы измерения без приставок. Исключение — килограмм с приставкой «кило».

Итак, прямолинейное движение — это движение с ускорением по прямой линии.2, а в задачах мы и вовсе осмеливаемся округлять его до 10 (физики просто дерзкие).

Вообще в значении ускорения свободного падения для Земли очень много знаков после запятой. В школе обычно дают значение: g = 9,8 м/с2. В экзаменах ОГЭ и ЕГЭ в справочных данных дают g = 10 м/с2.

И кому же верить?

Все просто: для кого решается задача, тот и главный. В экзаменах берем g = 10 , в школе при решении задач (если в условии задачи не написано что-то другое) берем g = 9,8 м/с2.

Частным случаем движения по вертикали (частным случаем частного случая, получается) считается свободное падение — это равноускоренное движение под действием силы тяжести, когда другие силы, действующие на тело, отсутствуют или пренебрежимо малы.

Помните о том, что свободное падение — это не всегда движение по вертикали. Если мы бросаем тело вверх, то начальная скорость, конечно же, будет.

Примеров механического движения в жизни — масса. Узнайте больше у преподавателей онлайн-школы Skysmart. Каждый урок по физике — это новый эксперимент: интерактивный, живой и очень увлекательный.

Приходите на бесплатный вводный урок и начните заниматься физикой в удовольствие уже завтра!


Основные формулы по физике – МЕХАНИКА

Формулы механики. Механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику. В разделе кинематика рассматриваются такие кинематические характеристики движения, как перемещение, скорость, ускорение. Здесь необходимо использовать аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

В основе классической динамики лежат три закона Ньютона. Здесь необходимо обратить внимание на векторный характер действующих на тела сил, входящих в эти законы.

Динамика охватывает такие вопросы, как закон сохранения импульса, закон сохранения полной механической энергии, работа силы.

При изучении кинематики и динамики вращательного движения следует обратить внимание на связь между угловыми и линейными характеристиками. Здесь вводятся понятия момента силы, момента инерции, момента импульса и рассматривается закон сохранения момента импульса.

Смотрите также основные формулы по термодинамике

Таблица основных формул по механике

Физические законы, формулы, переменные

Формулы механики

Скорость мгновенная:

где r – радиус-вектор материальной точки,

t – время;

– производная радиус-вектора материальной точки по времени.

Модуль вектора скорости:

где s – расстояние вдоль траектории движения (путь)

Скорость средняя (модуль):

Ускорение мгновенное:

Модуль вектора ускорения при прямолинейном движении:

Ускорение при криволинейном движении:

1) нормальное

где R – радиус кривизны траектории,

2) тангенциальное

3) полное (вектор)

4) (модуль)

Скорость и путь при движении:

1) равномерном

2) равнопеременном 

V0

– начальная скорость;

а > 0 при равноускоренном движении;

а < 0 при равнозамедленном движении.

1)

 

2)

 

Угловая скорость:

где φ – угловое перемещение.

Угловое ускорение:

Связь между линейными и угловыми величинами:

Импульс материальной точки:

где m – масса материальной точки.

Основное уравнение динамики поступательного движения (II закон Ньютона):

где F – результирующая сила,   <>

Формулы сил:

тяжестиP

где g – ускорение свободного падения

трения Fтр

где μ – коэффициент трения,

N – сила нормального давления,

упругости Fупр

где k – коэффициент упругости (жесткости),

Δх – деформация (изменение длины тела).

 

 

 

Закон сохранения импульса для замкнутой системы, состоящей из двух тел:

где – скорости тел до взаимодействия;

– скорости тел после взаимодействия.

Потенциальная энергия тела:

1) поднятого над Землей на высоту h

2) упругодеформированного

1)

 

2)

 

Кинетическая энергия поступательного движения:

Работа постоянной силы:

где α – угол между направлением силы и направлением перемещения.

Полная механическая энергия:

Закон сохранения энергии:

силы консервативны

силы неконсервативны

где W1 – энергия системы тел в начальном состоянии;

W2 – энергия системы тел в конечном состоянии.

 

Момент инерции тел массой m относительно оси, проходящей через центр инерции (центр масс):

1) тонкостенного цилиндра (обруча)

где R – радиус,

2) сплошного цилиндра (диска)

3) шара

4) стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину

Момент инерции тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера):

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, d – расстояние между осями.

Момент силы(модуль):

где l – плечо силы.

Основное уравнение динамики вращательного движения:

где – угловое ускорение,

– результирующий момент сил.

Момент импульса:

1) материальной точки относительно неподвижной точки

где r – плечо импульса,

2) твердого тела относительно неподвижной оси вращения

1)

 

2)

 

Закон сохранения момента импульса:

где L1 – момент импульса системы в начальном состоянии,

L2 – момент импульса системы в конечном состоянии.

Кинетическая энергия вращательного движения:

Работа при вращательном движении

где Δφ – изменение угла поворота.



ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ.. Физические основы механики.

Примеры решения задач.

Примеры решения задач Пример 6 Один конец тонкого однородного стержня длиной жестко закреплен на поверхности однородного шара так, что центры масс стержня и шара, а также точка крепления находятся на одной

Подробнее

КОЛЛОКВИУМ 1 (механика и СТО)

КОЛЛОКВИУМ 1 (механика и СТО) Основные вопросы 1. Система отсчета. Радиус вектор. Траектория. Путь. 2. Вектор смещения. Вектор линейной скорости. 3. Вектор ускорения. Тангенциальное и нормальное ускорение.

Подробнее

1. Цели освоения дисциплины

2 1. Цели освоения дисциплины Целью освоения дисциплины «Физика» является формирование у студентов навыка проведения измерений, изучение различных процессов и оценка результатов экспериментов. 2. Место

Подробнее

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса Закон сохранения импульса Замкнутая (или изолированная) система – механическая система тел, на которую не действуют внешние силы. d v ‘ ‘ d d v d… ‘ v ‘ v v ‘… ‘ v… v v

Подробнее

Динамика вращательного движения

Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления Лекция 3 Динамика вращательного движения ВСГУТУ, кафедра «Физика» План Момент импульса частицы Момент силы Уравнение моментов Момент

Подробнее

3.3. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ Средняя длина свободного пробега молекулы n, где d эффективное сечение молекулы, d эффективный диаметр молекулы, n концентрация молекул Среднее число соударений, испытываемое молекулой

Подробнее

Тема: «Динамика материальной точки»

Тема: «Динамика материальной точки» 1. Тело можно считать материальной точкой если: а) его размерами в данной задаче можно пренебречь б) оно движется равномерно ось вращения является неподвижной угловое

Подробнее

Конспект по физике за 1 семестр

СПбГЭТУ ЛЭТИ Конспект по физике за 1 семестр Лектор: Ходьков Дмитрий Афанасьевич Работу выполнили: студент группы 7372 Чеканов Александр студент группы 7372 Когогин Виталий 2018 г КИНЕМАТИКА (МАТЕРИАЛЬНОЙ

Подробнее

Динамика вращательного движения

Динамика вращательного движения План Момент импульса частицы Момент силы Уравнение моментов Собственный момент импульса Момент инерции Кинетическая энергия вращающегося тела Связь динамики поступательного

Подробнее

С Б О Р Н И К ЗАДАНИЙ ПО КУРСУ ФИЗИКИ

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Институт физики, нанотехнологий и телекоммуникаций (ИФНиТ) Кафедра экспериментальной физики Гаспарян Р.А. С Б О Р Н И К ЗАДАНИЙ ПО КУРСУ ФИЗИКИ

Подробнее

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Лекция 5 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Термины и понятия Метод интегрального исчисления Момент импульса Момент инерции тела Момент силы Плечо силы Реакция опоры Теорема Штейнера 5.1. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО

Подробнее

Билет 1. Билет 2. Билет 3. Билет 4. Билет 5.

Билет 1. 1. Предмет механики. Пространство и время в механике Ньютона. Тело отсчета и система координат. Часы. Синхронизация часов. Система отсчета. Способы описания движения. Кинематика точки. Преобразования

Подробнее

Лектор Алешкевич В. А. Январь 2013

студентыфизики Лектор Алешкевич В. А. Январь 2013 Неизвестный Студент физфака Билет 1 1. Предмет механики. Пространство и время в механике Ньютона. Система координат и тело отсчета. Часы. Система отсчета.

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ТЕРМОДИНАМИКА

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ТЕРМОДИНАМИКА Распределение Максвелла Начала термодинамики Цикл Карно Распределение Максвелла В газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не

Подробнее

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный минерально-сырьевой университет

Подробнее

Демонстрационный вариант 1

Тестовые задания на экзамене по курсу «Физика. Механика. Термодинамика» Демонстрационный вариант 1 1. Материальная точка движется вдоль оси x. Закон движения точки имеет вид x ( t ) = At, где A постоянная.

Подробнее

Вопросы к экзамену по физике МЕХАНИКА

Вопросы к экзамену по физике МЕХАНИКА Поступательное движение 1. Кинематика поступательного движения. Материальная точка, система материальных точек. Системы отсчета. Векторный и координатный способы описания

Подробнее

Демонстрационный вариант 1

Тестовые задания на экзамене по курсу «Физика. Механика. Термодинамика» Демонстрационный вариант 1 1. Материальная точка движется равномерно по окружности со скоростью v. Определите модуль изменения вектора

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Подробнее

Примеры решения задач

Примеры решения задач 1.Движение тела массой 1 кг задано уравнением найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды. Решение. Мгновенную скорость

Подробнее

Кузьмичев Сергей Дмитриевич

Кузьмичев Сергей Дмитриевич СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ 9 Вращение твердого тела. 1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.. Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера. 3. Кинетическая энергия вращающегося

Подробнее

; в) модуль среднего вектора полного ускорения a

Задачи по курсу «Физика. Механика. Термодинамика» (ИБ-, ПМ-, ПМ-, РТ-, РТ-, РТ-3, ИКТ-, ИТК-, ИКТ-3, ИКТ-4, семестр 9/ уч. года) Механика Кинематика материальной точки. Точка движется по окружности со

Подробнее

Тема 5. Механические колебания и волны.

Тема 5. Механические колебания и волны. 5.1. Гармонические колебания и их характеристики Колебания процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от физической природы повторяющегося

Подробнее

Принцип независимости действия сил

Лекция 2 Принцип независимости действия сил. Виды сил. Принцип относительности Галилея. Закон сохранения импульса. Центр масс. Система центра инерции. Работа и мощность. Кинетическая энергия и потенциальная

Подробнее

Основные законы и формулы

1.5. Механические колебания и волны Основные законы и формулы Колебания, при которых физические величины, которые их описывают (например, отклонение от положения равновесия, скорость, ускорение и т.д.),

Подробнее

Основные положения термодинамики

Основные положения термодинамики (по учебнику А.В.Грачева и др. Физика: 10 класс) Термодинамической системой называют совокупность очень большого числа частиц (сравнимого с числом Авогадро N A 6 10 3 (моль)

Подробнее

Движение по окружности, угловая скорость, частота, период, центростремительное ускорение. Формулы, определения, пояснения

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение – это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено – это есть период T. Путь, который преодолевает точка – это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение – изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Основные понятия и законы физики и свойства элементарных частиц материи

 
Доклад на Президиуме РАН 27 октября 2009 г.
Опубликован в книге Л. Б. Окуня «О движении материи»

1. Введение

1.1. Аннотация. Законы теории относительности и квантовой механики, согласно которым происходит движение и взаимодействие элементарных частиц материи, предопределяют формирование и появление закономерностей широчайшего круга явлений, изучаемых различными естественными науками. Эти законы лежат в основе современных высоких технологий и во многом определяют состояние и развитие нашей цивилизации. Поэтому знакомство с основами фундаментальной физики необходимо не только студентам, но и школьникам. Активное владение основными знаниями об устройстве мира необходимо вступающему в жизнь человеку для того чтобы найти своё место в этом мире и успешно продолжать обучение.

1.2. В чём основная трудность этого доклада. Он адресован одновременно и специалистам в области физики элементарных частиц, и гораздо более широкой аудитории: физикам, не занимающимся элементарным частицами, математикам, химикам, биологам, энергетикам, экономистам, философам, лингвистам,… Чтобы быть достаточно точным, я должен пользоваться терминами и формулами фундаментальной физики. Чтобы быть понятым, я должен постоянно пояснять эти термины и формулы. Если физика элементарных частиц не является Вашей специальностью, прочтите сначала только те разделы, заглавия которых не помечены звёздочками. Потом пытайтесь читать разделы с одной звёздочкой *, двумя **, и, наконец, тремя ***. О большинстве разделов без звёздочек я успел рассказать во время доклада, а на остальные не было времени.

1.3. Физика элементарных частиц. Физика элементарных частиц представляет собой фундамент всех естественных наук. Она изучает мельчайшие частицы материи и основные закономерности их движений и взаимодействий. В конечном счёте именно эти закономерности и определяют поведение всех объ ектов на Земле и на небе. Физика элементарных частиц имеет дело с такими фундаментальными понятиями как пространство и время; материя; энергия, импульс и масса; спин. (Большинство читателей имеют представление о пространстве и времени, возможно слышали о связи массы и энергии и не представляют при чём тут импульс, и вряд ли догадываются о важнейшей роли спина в физике. О том, что называть материей, не могут пока договориться между собой даже эксперты.) Физика элементарных частиц была создана в XX веке. Её создание неразрывно связано с созданием двух величайших теорий в истории человечества: теории относительности и квантовой механики. Ключевыми константами этих теорий являются скорость света c и константа Планка h.

1.4. Теория относительности. Специальная теория относительности, возникшая в начале XX века, завершила синтез целого ряда наук, изучавших такие классические явления, как электричество, магнетизм и оптика, создав механику при скоростях тел, сравнимых со скоростью света. (Классическая нерелятивистская механика Ньютона имела дело со скоростями v<<c.) Затем в 1915 г. была создана общая теория относительности, которая была призвана описать гравитационные взаимодействия, учитывая конечность скорости света c.

1.5. Квантовая механика. Квантовая механика, созданная в 1920-х годах, объяснила строение и свойства атомов, исходя из дуальных корпускулярно-волновых свойств электронов. Она объяснила огромный круг химических явлений, связанных с взаимодействием атомов и молекул. И позволила описать процессы испускания и поглощения ими света. Понять информацию, которую несёт нам свет Солнца и звёзд.

1.6. Квантовая теория поля. Объединение теории относительности и квантовой механики привело к созданию квантовой теории поля, позволяющей с высокой степенью точности описать важнейшие свойства материи. Квантовая теория поля, разумеется, слишком сложна, чтобы её можно было объяснить школьникам. Но в середине XX века в ней возник наглядный язык фейнмановских диаграмм, который радикально упрощает понимание многих аспектов квантовой теории поля. Одна из основных целей этого доклада — показать, как с помощью фейнмановских диаграмм можно просто понять широчайший круг явлений. При этом я буду более детально останавливаться на вопросах, которые известны далеко не всем экспертам по квантовой теории поля (например, о связи классической и квантовой гравитации), и лишь скупо очерчу вопросы, широко обсуждаемые в научно-популярной литературе.

1.7. Тождественность элементарных частиц. Элементарными частицами называют мельчайшие неделимые частицы материи, из которых построен весь мир. Самым удивительнейшим свойством, отличающим эти частицы от обычных не элементарных частиц, например, песчинок или бусинок, является то, что все элементарные частицы одного сорта, например, все электроны во Вселенной абсолютно(!) одинаковы — тождественны. А как следствие, тождественны друг другу и их простейшие связанные состояния — атомы и простейшие молекулы.

1.8. Шесть элементарных частиц. Чтобы понять основные процессы, происходящие на Земле и на Солнце, в первом приближении достаточно понимать процессы, в которых участвуют шесть частиц: электрон e, протон p, нейтрон n и электронное нейтрино νe, а также фотон γ и гравитон g̃. Первые четыре частицы имеют спин 1/2, спин фотона равен 1, а гравитона 2. (Частицы с целым спином называют бозонами, частицы с полуцелым спином называют фермионами. Более подробно о спине будет сказано ниже.) Протоны и нейтроны обычно называют нуклонами, поскольку из них построены атомные ядра, а ядро по-английски nucleus. Электрон и нейтрино называют лептонами. Они не обладают сильными ядерными взаимодействиями.

Из-за очень слабого взаимодействия гравитонов наблюдать отдельные гравитоны невозможно, но именно посредством этих частиц осуществляется в природе гравитация. Подобно тому, как посредством фотонов осуществляются электромагнитные взаимодействия.

1.9. Античастицы. У электрона, протона и нейтрона есть так называемые античастицы: позитрон, антипротон и антинейтрон. В состав обычного вещества они не входят, так как встречаясь с соответствующими частицами, вступают с ними в реакции взаимного уничтожения — аннигиляции. Так, электрон и позитрон аннигилируют в два или три фотона. Фотон и гравитон являются истинно нейтральными частицами: они совпадают со своими античастицами. Является ли истинно нейтральной частицей нейтрино, пока неизвестно.

1.10. Нуклоны и кварки. В середине XX века выяснилось, что сами нуклоны состоят из более элементарных частиц — кварков двух типов, которые обозначают u и d: p = uud, n = ddu. Взаимодействие между кварками осуществляется глюонами. Антинуклоны состоят из антикварков.

1.11. Три поколения фермионов. Наряду с u, d, e, νeбыли открыты и изучены две другие группы (или, как говорят, поколения) кварков и лептонов: c, s, μ, νμ и t, b, τ , ντ . В состав обычного вещества эти частицы не входят, так как они нестабильны и быстро распадаются на более лёгкие частицы первого поколения. Но они играли важную роль в первые мгновения существования Вселенной.

Для ещё более полного и глубокого понимания природы нужно ещё больше частиц с ещё более необычными свойствами. Но, возможно, в дальнейшем всё это разнообразие удастся свести к нескольким простым и прекрасным сущностям.

1.12. Адроны. Многочисленное семейство частиц, состоящих из кварков и/или антикварков и глюонов, называют адронами. Все адроны, за исключением нуклонов, нестабильны и поэтому в состав обычного вещества не входят.

Часто адроны тоже относят к элементарным частицам, поскольку их нельзя разбить на свободные кварки и глюоны. (Так поступил и я, отнеся протон и нейтрон к первым шести элементарным частицам.) Если все адроны считать элементарными, то число элементарных частиц будет измеряться сотнями.

1.13. Стандартная модель и четыре типа взаимодействий. Как будет разъяснено ниже, перечисленные выше элементарные частицы позволяют в рамках так называемой «Стандартной модели элементарных частиц» описать все известные до сих пор процессы, проистекающие в природе в результате гравитационного, электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Но для того чтобы понять, как работают первые два из них, достаточно четырёх частиц: фотона, гравитона, электрона и протона. При этом то, что протон состоит из u– и d-кварков и глюонов, оказывается несущественным. Конечно, без слабого и сильного взаимодействий нельзя понять, ни как устроены атомные ядра, ни как работает наше Солнце. Но как устроены атомные оболочки, определяющие все химические свойства элементов, как работает электричество и как устроены галактики, понять можно.

1.14. За пределами познанного. Мы уже сегодня знаем, что частицы и взаимодействия Стандартной модели не исчерпывают сокровищницы природы.

Установлено, что обычные атомы и ионы составляет лишь менее 20% всей материи во Вселенной, а более 80% составляет так называемая тёмная материя, природа которой пока неизвестна. Наиболее распространено мнение, что тёмная материя состоит из суперчастиц. Возможно, что она состоит из зеркальных частиц.

Ещё более поразительным является то, что вся материя, как видимая (светлая), так и тёмная, несёт в себе лишь четверть всей энергии Вселенной. Три четверти принадлежат так называемой тёмной энергии.

1.15. Элементарные частицы «e в степени» фундаментальны. Когда мой учитель Исаак Яковлевич Померанчук хотел подчеркнуть важность какого-либо вопроса, он говорил, что вопрос e в степени важен. Разумеется, большая часть естественных наук, а не только физика элементарных частиц, фундаментальны. Физика конденсированных сред, например, подчиняется фундаментальным законам, которыми можно пользоваться, не выясняя того, как они следуют из законов физики элементарных частиц. Но законы теории относительности и квантовой механики «e в степени фундаментальны» в том смысле, что им не может противоречить ни один из менее общих законов.

1.16. Основные законы. Все процессы в природе происходят в результате локальных взаимодействий и движений (распространений) элементарных частиц. Основные законы, управляющие этими движениями и взаимодействиями, очень необычны и очень просты. Они основаны на понятии симметрии и принципе, что всё, что не противоречит симметрии, может и должно происходить. Ниже мы, используя язык фейнмановских диаграмм, проследим, как это реализуется в гравитационном, электромагнитном, слабом и сильном взаимодействиях частиц.

2. Частицы и жизнь

2.1. О цивилизации и культуре. Иностранный член РАН Валентин Телегди (1922–2006) пояснял: «Если WC (ватерклозет) — это цивилизация, то умение пользоваться им — это культура».

Сотрудник ИТЭФ А. А. Абрикосов мл. написал мне недавно: «Одна из целей Вашего доклада — убедить высокую аудиторию в необходимости шире преподавать современную физику. Если так, то возможно, стоило бы привести несколько бытовых примеров. Я имею в виду следующее:

Мы живём в мире, который даже на бытовом уровне немыслим без квантовой механики (КМ) и теории относительности (ТО). Сотовые телефоны, компьютеры, вся современная электроника, не говоря про светодиодные фонари, полупроводниковые лазеры (включая указки), ЖК-дисплеи — это существенно квантовые приборы. Объяснить, как они работают, невозможно без основных понятий КМ. А как их объяснишь, не упоминая о туннелировании?

Второй пример, возможно, знаю от Вас. Спутниковые навигаторы стоят уже в каждой 10-й машине. Точность синхронизации часов в спутниковой сети не меньше, чем 10−8 (это отвечает погрешности порядка метра в локализации объекта на поверхности Земли). Подобная точность требует учитывать поправки ТО к ходу часов на движущемся спутнике. Говорят, инженеры не могли в это поверить, поэтому первые приборы имели двойную программу: с и без учёта поправок. Как выяснилось, первая программа работает лучше. Вот Вам проверка теории относительности на бытовом уровне.

Разумеется, болтать по телефону, ездить на автомобиле и стучать по клавишам компьютера можно и без высокой науки. Но едва ли академики должны призывать не учить географию, ибо «извозчики есть».

А то школьникам, а потом и студентам пять лет талдычат про материальные точки и галилеевскую относительность, и вдруг ни с того, ни с сего заявляют, что это «не совсем правда».

Перестроиться с наглядного ньютоновского мира на квантовый даже на физтехе трудно. Ваш, AAA».

2.2. О фундаментальной физике и образовании. К сожалению, современная система образования отстала от современной фундаментальной физики на целый век. И большинство людей (в том числе и большинство научных работников) не имеют представления о той удивительно ясной и простой картине (карте) мира, которую создала физика элементарных частиц. Эта карта даёт возможность гораздо легче ориентироваться во всех естественных науках. Цель моего доклада — убедить вас в том, что некоторые элементы (понятия) физики элементарных частиц, теории относительности и квантовой теории могут и должны стать основой преподавания всех естественнонаучных предметов не только в высшей, но и в средней и даже в начальной школе. Ведь фундаментально новые понятия легче всего осваиваются именно в детском возрасте. Ребёнок легко овладевает языком, осваивается с мобильным телефоном. Многие дети в считанные секунды возвращают кубик Рубика в исходное состояние, а мне и суток не хватит.

Чтобы в дальнейшем не было неприятных сюрпризов, закладывать адекватное мировосприятие надо в детском саду. Константы c и h должны стать для детей инструментами познания.

2.3. О математике. Математика — царица и служанка всех наук — безусловно должна служить основным инструментом познания. Она даёт такие основные понятия, как истина, красота, симметрия, порядок. Понятия о нуле и бесконечности. Математика учит думать и считать. Фундаментальная физика немыслима без математики. Образование немыслимо без математики. Конечно, изучать теорию групп в школе, может быть, и рано, но научить ценить истину, красоту, симметрию и порядок (а заодно и некоторый беспорядок) необходимо.

Очень важно понимание перехода от вещественных (реальных) чисел (простых, рациональных, иррациональных) к мнимым и комплексным. Изучать гиперкомплексные числа (кватернионы и октонионы) должны, наверное, только те студенты, которые хотят работать в области математики и теоретической физики. В своей работе я, например, никогда не использовал октонионы. Но я знаю, что они упрощают понимание самой многообещающей, по мнению многих физиков-теоретиков, исключительной группы симметрии E8.

2.4. О мировоззрении и естественных науках. Представление об основных законах, управляющих миром, необходимо во всех естественных науках. Конечно, физика твёрдого тела, химия, биология, науки о Земле, астрономия имеют свои специфические понятия, методы, проблемы. Но очень важно иметь общую карту мира и понимание того, что на этой карте есть много белых пятен неизведанного. Очень важно понимание того, что наука это не окостеневшая догма, а живой процесс приближения к истине во множестве точек карты мира. Приближение к истине — асимптотический процесс.

2.5. Об истинном и вульгарном редукционизме. Представление о том, что более сложные конструкции в природе состоят из менее сложных конструкций и, в конечном счёте, из простейших элементов, принято называть редукционизмом. В этом смысле то, в чём я пытаюсь Вас убедить, это редукционизм. Но абсолютно недопустим вульгарный редукционизм, претендующий на то, что все науки могут быть сведены к физике элементарных частиц. На каждом всё более высоком уровне сложности формируются и возникают (emerge) свои закономерности. Чтобы быть хорошим биологом, знать физику элементарных частиц не нужно. Но понимать её место и роль в системе наук, понимать узловую роль констант c и h необходимо. Ведь наука в целом это — единый организм.

2.6. О гуманитарных и общественных науках. Общее представление об устройстве мира очень важно и для экономики, и для истории, и для когнитивных наук, таких, как науки о языке, и для философии. И наоборот — эти науки крайне важны для самой фундаментальной физики, которая постоянно уточняет свои основополагающие понятия. Это будет видно из рассмотрения теории относительности, к которому я сейчас перейду. Особо скажу о науках юридических, исключительно важных для процветания (не говоря уже о выживании) естественных наук. Я убеждён в том, что общественные законы не должны противоречить фундаментальным законам природы. Законы человеческие не должны противоречить Божественным Законам Природы.

2.7. Микро-, Макро-, Космо-. Наш обычный мир больших, но не гигантских, вещей принято называть макромиром. Мир небесных объектов можно назвать космомиром, а мир атомных и субатомных частиц называют микромиром. (Поскольку размеры атомов порядка 10−10 м, то под микромиром подразумевают объекты как минимум на 4, а то и на 10 порядков меньшие, чем микрометр, и на 1–7 порядков меньшие, чем нанометр. Модная область нано расположена по дороге от микро к макро.) В XX веке была построена так называемая Стандартная модель элементарных частиц, которая позволяет просто и наглядно понимать многие закономерности макро и космо на основе закономерностей микро.

2.8. Наши модели. Модели в теоретической физике строятся путём отбрасывания несущественных обстоятельств. Так, например, в атомной и ядерной физике гравитационные взаимодействия частиц пренебрежимо малы, и их можно не принимать во внимание. Такая модель мира вписывается в специальную теорию относительности. В этой модели есть атомы, молекулы, конденсированные тела,… ускорители и коллайдеры, но нет Солнца и звёзд.

Такая модель наверняка будет неправильна на очень больших масштабах, где существенна гравитация.

Конечно, для существования ЦЕРН необходимо существование Земли (и, следовательно, гравитации), но для понимания подавляющего большинства экспериментов, ведущихся в ЦЕРН (кроме поисков на коллайдере микроскопических «чёрных дырочек»), гравитация несущественна.

2.9. Порядки величин. Одна из трудностей в понимании свойств элементарных частиц связана с тем, что они очень маленькие и их очень много. В ложке воды огромное количество атомов (порядка 1023). Не намного меньше и число звёзд в видимой части Вселенной. Больших чисел не надо бояться. Ведь обращаться с ними несложно, так как умножение чисел сводится в основном к сложению их порядков: 1 = 100, 10 = 101, 100 = 102. Умножим 10 на 100, получим 101+2 = 103 = 1000.

2.10. Капля масла. Если каплю масла объёмом 1 миллилитр капнуть на поверхность воды, то она расплывётся в радужное пятно площадью порядка нескольких квадратных метров и толщиной порядка сотни нанометров. Это всего на три порядка больше размера атома. А толщина плёнки мыльного пузыря в самых тонких местах порядка размеров молекул.

2.11. Джоули. Обычная батарейка АА имеет напряжение 1,5 вольта (В) и содержит запас электрической энергии 104 джоулей (Дж). Напомню, что 1 Дж = 1 кулон × 1 В, а также, что 1 Дж = кг м22 и что ускорение земного притяжения примерно 10 м/с2. Так что 1 джоуль позволяет поднять 1 килограмм на высоту 10 см, а 104 Дж поднимут 100 кг на 10 метров. Столько энергии потребляет лифт, чтобы поднять школьника на десятый этаж. Вот сколько энергии в батарейке.

2.12. Электронвольты. Единицей энергии в физике элементарных частиц является электронвольт (эВ): энергию 1 эВ приобретает 1 электрон, прошедший разность потенциалов 1 вольт. Поскольку в одном кулоне 6,24 · 1018 электронов, то 1 Дж= 6,24 ·× 1018 эВ.

1 кэВ =103 эВ, 1 МэВ =106 эВ, 1 ГэВ =109 эВ, 1 ТэВ =1012 эВ.

Напомню, что энергия одного протона в Большом адронном коллайдере ЦЕРН должна быть равна 7 ТэВ.

3. О теории относительности

3.1. Системы отсчёта. Все наши опыты мы описываем в тех или иных системах отсчёта. Системой отсчёта может быть лаборатория, поезд, спутник Земли, центр галактики… . Системой отсчёта может быть и любая частица, летящая, например, в ускорителе частиц. Так как все эти системы движутся друг относительно друга, то не все опыты будут в них выглядеть одинаково. Кроме того, в них различно и гравитационное воздействие ближайших массивных тел. Именно учёт этих различий составляет основное содержание теории относительности.

3.2. Корабль Галилея. Галилей сформулировал принцип относительности, красочно описав всевозможные опыты в каюте плавно плывущего корабля. Если окна занавешены, невозможно с помощью этих опытов выяснить, с какой скоростью движется корабль и не стоит ли он. Эйнштейн добавил в эту каюту опыты с конечной скоростью света. Если не смотреть в окно, узнать скорость корабля нельзя. Но если посмотреть на берег, то можно.

3.3. Далёкие звёзды*. Разумно выделить такую систему отсчёта, относительно которой люди могли бы формулировать результаты своих опытов, независимо от того, где они находятся. За такую универсальную систему отсчёта уже давно принимают систему, в которой неподвижны далёкие звёзды. А сравнительно недавно (полвека тому назад) были открыты ещё более далёкие квазары и выяснилось, что в этой системе должен быть изотропен реликтовый микроволновой фон.

3.4. В поисках универсальной системы отсчёта*. По существу, вся история астрономии — это продвижение ко всё более универсальной системе отсчёта. От антропоцентрической, где в центре человек, к геоцентрической, где в центре покоящаяся Земля (Птолемей, 87–165), к гелиоцентрической, где в центре покоится Солнце (Коперник, 1473–1543), к галацентрической, где покоится центр нашей Галактики, к небулярной, где покоится система туманностей — скоплений галактик, к фоновой, где изотропен космический микроволновой фон. Существенно, однако, что скорости этих систем отсчёта малы по сравнению со скоростью света.

3.5. Коперник, Кеплер, Галилей, Ньютон*. В книге Николая Коперника «О вращениях небесных сфер», вышедшей в 1543 г., говорится: «Все замечаемые у Солнца движения не свойственны ему, но принадлежат Земле и нашей сфере, вместе с которой мы вращаемся вокруг Солнца, как и всякая другая планета; таким образом, Земля имеет несколько движений. Кажущиеся прямые и обратные движения планет принадлежат не им, но Земле. Таким образом, одно это её движение достаточно для объяснения большого числа видимых в небе неравномерностей».

Коперник и Кеплер (1571–1630) дали простое феноменологическое описание кинематики этих движений. Галилей (1564–1642) и Ньютон (1643–1727) объяснили их динамику.

3.6. Универсальные пространство и время*. Пространственные координаты и время, отнесённые к универсальной системе отсчёта, можно назвать универсальными или абсолютными в полнейшей гармонии с теорией относительности. Важно подчеркнуть только, что выбор этой системы производится и согласовывается локальными наблюдателями. Любая система отсчёта, поступательно движущаяся относительно универсальной системы, является инерциальной: в ней свободное движение равномерно и прямолинейно.

3.7. «Теория инвариантности»*. Заметим, что и Альберт Эйнштейн (1879–1955), и Макс Планк (1858–1947) (который ввёл в 1907 г. термин «теория относительности», назвав им теорию, выдвинутую Эйнштейном в 1905 г.) считали, что термин «теория инвариантности» мог бы более точно отражать ее суть. Но, по-видимому, в начале XX века важней было подчеркнуть относительность таких понятий, как время и одновременность в равноправных инерциальных системах отсчёта, чем выделять одну из этих систем. Важней было, что при занавешенных окнах каюты Галилея выяснить скорость корабля нельзя. Но сейчас пришла пора раздвинуть шторы и посмотреть на берег. При этом, разумеется, все закономерности, установленные при закрытых шторах, останутся незыблемыми.

3.8. Письмо Чиммеру*. В 1921 г. Эйнштейн в письме Э. Чиммеру — автору книги «Философские письма» написал: «Что касается термина «теория относительности», то я признаю, что он неудачен и приводит к философским недоразумениям». Но менять его, по мнению Эйнштейна, уже поздно, в частности, потому, что он широко распространён. Это письмо опубликовано в вышедшем осенью 2009 г. 12 томе 25-томного «Собрания трудов Эйнштейна», издаваемого в Принстоне.

3.9. Максимальная скорость в природе. Ключевой константой теории относительности является скорость света c = 300 000 км/с= 3 × 108 м/с. (Более точно, c = 299 792 458 м/с. И это число лежит теперь в основе определения метра.) Эта скорость является максимальной скоростью распространения любых сигналов в природе. Она на много порядков величин превышает скорости массивных объектов, с которыми мы имеем дело каждодневно. Именно её непривычно большая величина мешает пониманию основного содержания теории относительности. Частицы, движущиеся со скоростями порядка скорости света, называют релятивистскими.

3.10. Энергия, импульс и скорость. Свободное движение частицы характеризуется энергией частицы E и её импульсом p. Согласно теории относительности, скорость частицы v определяется формулой

Одна из основных причин терминологической путаницы, о которой говорится в разд. 3.14, заключается в том, что при создании теории относительности пытались сохранить ньютоновскую связь между импульсом и скоростью p = mv, что противоречит теории относительности.

3.11. Масса. Масса частицы m определяется формулой

В то время как энергия и импульс частицы зависят от системы отсчёта, величина её массы m от системы отсчёта не зависит. Она является инвариантом. Формулы (1) и (2) являются основными в теории относительности.

Как ни странно, первая монография по теории относительности, в которой появилась формула (2), вышла только в 1941 г. Это была «Теории поля» Л. Ландау (1908–1968) и Е. Лифшица (1915–1985). Ни в одном из трудов Эйнштейна я её не нашёл. Нет её и в замечательной книге «Теория относительности» В. Паули (1900–1958), вышедшей в 1921 г. Но релятивистское волновое уравнение, содержащее эту формулу, было в вышедшей в 1930 г. книге «Принципы квантовой механики» П. Дирака (1902–1984), а еще раньше в статьях 1926 г. О. Клейна (1894– 1977) и В. Фока (1898–1974).

3.12. Безмассовый фотон. Если масса частицы равна нулю, т. е. частица является безмассовой, то из формул (1) и (2) следует, что в любой системе отсчета ее скорость равна c. Поскольку масса частицы света — фотона — настолько мала, что ее не удается обнаружить, то принято считать, что она равна нулю и что c — это скорость света.

3.13. Энергия покоя. Если же масса частицы отлична от нуля, то рассмотрим систему отсчёта, в которой свободная частица покоится и у неё v = 0, p = 0. Такую систему отсчёта называют системой покоя частицы, а энергию частицы в этой системе называют энергией покоя и обозначают E0. Из формулы (2) следует, что

Эта формула выражает соотношение между энергией покоя массивной частицы и её массой, открытое Эйнштейном в 1905 г.

3.14. «Самая знаменитая формула». К сожалению, очень часто формулу Эйнштейна записывают в виде «самой знаменитой формулы E = mc2», опуская нулевой индекс у энергии покоя, что приводит к многочисленным недоразумениям и путанице. Ведь эта «знаменитая формула» отождествляет энергию и массу, что противоречит теории относительности вообще и формуле (2) в частности. Из неё вытекает широко распространённое заблуждение, что масса тела, согласно теории относительности, якобы растёт с ростом его скорости. В последние годы Российская академия образования много сделала для того, чтобы рассеять это заблуждение.

3.15. Единица скорости*. В теории относительности, имеющей дело со скоростями, сравнимыми со скоростью света, естественно выбрать c в качестве единицы скорости. Такой выбор упрощает все формулы, поскольку c/c = 1, и в них следует положить c = 1. При этом скорость становится безразмерной величиной, расстояние имеет размерность времени, а масса имеет размерность энергии.

В физике элементарных частиц массы частиц обычно измеряют в электронвольтах — эВ и их производных (см разд. 2.14). Масса электрона порядка 0,5 МэВ, масса протона порядка 1 ГэВ, масса самого тяжёлого кварка порядка 170 ГэВ, а массы нейтрино порядка долей эВ.

3.16. Астрономические расстояния*. В астрономии расстояния измеряют световыми годами. Размеры видимой части Вселенной порядка 14 миллиардов световых лет. Это число производит ещё более сильное впечатление, если сравнить его со временем 10−24 с, за которое свет проходит расстояние порядка размера протона. И во всём этом колоссальном диапазоне работает теория относительности.

3.17. Мир Минковского. В 1908 г. за несколько месяцев до своей безвременной смерти Герман Минковский (1864–1909) пророчески сказал: «Воззрения на пространство и время, которые я намерен перед вами развить, возникли на экспериментально-физической основе. В этом их сила. Их тенденция радикальна. Отныне пространство само по себе и время само по себе должны обратиться в фикции, и лишь некоторый вид соединения обоих должен еще сохранить самостоятельность».

Спустя столетие мы знаем, что время и пространство не превратились в фикции, но идея Минковского позволила очень просто описать движения и взаимодействия частиц материи.

3.18. Четырёхмерный мир*. В единицах, в которых c = 1, особенно красиво выглядит представление о мире Минковского, который объединяет время и трёхмерное пространство в единый четырёхмерный мир. Энергия и импульс объединяются при этом в единый четырёхмерный вектор, а масса в соответствии с уравнением (2) служит псевдоевклидовой длиной этого 4-вектора энергии-импульса p = Ep:

Четырёхмерную траекторию в мире Минковского называют мировой линией, а отдельные точки — мировыми точками.

3.19. Зависимость хода часов от их скорости**. Многочисленные наблюдения указывают на то, что часы идут быстрее всего, когда они покоятся относительно инерциальной системы. Финитное движение в инерциальной системе отсчёта замедляет их ход. Чем быстрей они перемещаются в пространстве, тем медленнее идут во времени. Замедление это абсолютное в универсальной системе отсчёта (см. разд. 3.1–3.8). Его мерой является отношение E/m, которое часто обозначают буквой γ.

3.20. Мюоны в кольцевом ускорителе и в покое**. В существовании этого замедления нагляднее всего можно убедиться, сравнивая времена жизни покоящегося мюона и мюона, вращающегося в кольцевом ускорителе. То обстоятельство, что в ускорителе мюон движется не вполне свободно, а имеет центростремительное ускорение ω2R, где ω — радиальная частота обращения, а R — радиус орбиты, даёт лишь пренебрежимо малую поправку, поскольку E/ω2R = ER >> 1. Движение по окружности, а не по прямой, абсолютно существенно для непосредственного сопоставления вращающегося мюона с покоящимся. Но в том, что касается темпа старения движущегося мюона, дуга окружности достаточно большого радиуса неотличима от прямой. Этот темп определяются отношением E/m. (Подчеркну, что согласно специальной теории относительности, система отсчёта, в которой покоится вращающийся мюон, не инерциальна.)

3.21. Дуга и хорда**. С точки зрения наблюдателя, по- коящегося в инерциальной системе отсчёта, дуга окружности достаточно большого радиуса и её хорда практически неотличимы: движение по дуге почти инерциально. С точки же зрения наблюдателя, покоящегося относительно мюона, летящего по окружности, его движение существенно не инерциально. Ведь его скорость меняет знак за пол-оборота. (Для движущегося наблюдателя далёкие звёзды отнюдь не неподвижны. Вся Вселенная для него асимметрична: звёзды впереди синие, а позади красные. В то время как для нас все они одинаковые — золотистые, потому что скорость солнечной системы мала.) А неинерциальность этого наблюдателя проявляется в том, что созвездия впереди и сзади меняются по мере движения мюона в кольцевом ускорителе. Мы не можем считать покоящегося и движущегося наблюдателей эквивалентными, поскольку первый не испытывает никакого ускорения, а второй, чтобы вернуться к месту встречи, должен испытывать его.

3.22. ОТО**. Физики-теоретики, привыкшие к языку Общей теории относительности (ОТО), настаивают на том, что все системы отсчёта равноправны. Не только инерциальные, но и ускоренные. Что пространство-время само по себе — кривое. При этом гравитационное взаимодействие перестаёт быть таким же физическим взаимодействием, как электромагнитное, слабое и сильное, а становится исключительным проявлением кривого пространства. В результате вся физика для них оказывается как бы расколотой на две части. Если же исходить из того, что ускорение всегда обусловлено взаимодействием, что оно не относительно, а абсолютно, то физика становится единой и простой.

3.23. «Ленком». Употребление слов «относительность» и «релятивизм» в отношении скорости света напоминает название театра «Ленком» или газеты «Московский комсомолец», лишь генеалогически связанных с комсомолом. Таковы языковые парадоксы. Скорость света в пустоте не относительна. Она абсолютна. Просто физикам нужна помощь лингвистов.

4. О квантовой теории

4.1. Константа Планка. Если в теории относительности ключевой константой является скорость света c, то в квантовой механике ключевой является константа h = 6,63·10−34 Дж· c, открытая Максом Планком в 1900 г. Физический смысл этой константы станет ясен из последующего изложения. Большей частью в формулах квантовой механики фигурирует так называемая приведённая константа Планка:

ħ = h/2π = 1,05·10−34 Дж × c = 6,58·10−22 МэВ·c.

Во многих явлениях важную роль играет величина ħc = 1,97·10−11 МэВ·см.

4.2. Спин электрона. Начнём с широко известного наивного сравнения атома с планетной системой. Планеты вращаются вокруг Солнца и вокруг собственной оси. Подобно этому, электроны вращаются вокруг ядра и вокруг собственной оси. Вращение электрона по орбите характеризуют орбитальным угловым импульсом L (его часто и не вполне правильно называют орбитальным угловым моментом). Вращение электрона вокруг собственной оси характеризуют собственным угловым импульсом — спином S. Оказалось, что у всех электронов в мире спин равен (1/2)ħ. Для сравнения отметим, что «спин» Земли равен 6·1033 м2·кг/c = 6·1067ħ.

4.3. Атом водорода. На самом деле атом это не планетная система, а электрон не обычная частица, движущаяся по орбите. Электрон, как и все другие элементарные частицы, вовсе не является частицей в том житейском смысле этого слова, который подразумевает, что частица должна двигаться по определённой траектории. В простейшем атоме — атоме водорода, если он находится в своём основном состоянии, т. е. не возбуждён, электрон напоминает скорее сферическое облачко радиусом порядка 0,5·10−10 м. По мере возбуждения атома, электрон переходит во все более высокие состояния, имеющие всё больший размер.

4.4. Квантовые числа электронов. Без учёта спина движение электрона в атоме характеризуют двумя квантовыми числами: главным квантовым числом n и орбитальным квантовым числом l, причём n ≥ l. Если l = 0, то электрон представляет собой сферически симметричное облако. Чем больше n, тем больше размер этого облака. Чем больше l, тем больше движение электрона похоже на движение классической частицы по орбите. Энергия связи электрона, находящегося в атоме водорода на оболочке с квантовым числом n, равна

где α = e2/ħc ≈ 1/137, a e — заряд электрона.

4.5. Многоэлектронные атомы. Спин играет ключевую роль при заполнении электронных оболочек многоэлектронных атомов. Дело в том, что два электрона с одинаково направленным собственным вращением (одинаково направленными спинами) не могут находиться на одной оболочке с данными значениями n и l. Это запрещено так называемым принципом Паули (1900–1958). По существу, принцип Паули определяет периоды Периодической таблицы элементов Менделеева (1834–1907).

4.6. Бозоны и фермионы. Все элементарные частицы обладают спином. Так, спин фотона равен 1 в единицах ħ, спин гравитона равен 2. Частицы с целым спином в единицах ħ получили название бозонов. Частицы с полуцелым спином называют фермионами. Бозоны — коллективисты: «они стремятся все жить в одной комнате», находиться в одном квантовом состоянии. На этом свойстве фотонов основан лазер: все фотоны в лазерном пучке имеют строго одинаковые импульсы. Фермионы же индивидуалисты: «каждому из них нужна отдельная квартира». Это свойство электронов определяет закономерности заполнения электронных оболочек атомов.

4.7. «Квантовые кентавры». Элементарные частицы это как бы квантовые кентавры: получастицы — полуволны. Благодаря своим волновым свойствам квантовые кентавры, в отличие от классических частиц, могут проходить сразу через две щели, создавая в результате интерференционную картину на стоящем позади экране. Все попытки уложить квантовых кентавров в прокрустово ложе понятий классической физики оказались бесплодными.

4.8. Соотношения неопределённости. Константа ħ определяет особенности не только вращательного, но и поступательного движения элементарных частиц. Неопределённости положения и импульса частицы должны удовлетворять так называемым соотношениям неопределённости Гейзенберга (1901–1976), типа

Аналогичное соотношение существует для энергии и времени:

4.9. Квантовая механика. И квантование спина, и соотношения неопределённости являются частными проявлениями общих закономерностей квантовой механики, созданной в 20-х годах XX века. Согласно квантовой механике, любая элементарная частица, например, электрон, это одновременно и элементарная частица, и элементарная (одночастичная) волна. Причём, в отличие от обычной волны, которая является периодическим движением колоссального числа частиц, элементарная волна — это новый, неизвестный ранее вид движения индивидуальной частицы. Элементарная длина волны λ частицы с импульсом p равна λ = h/|p|, а элементарная частота ν, отвечающая энергии E, равна ν = E/h.

4.10. Квантовая теория поля. Итак, сначала мы были вынуждены признать, что частицы могут быть сколь угодно лёгкими и даже безмассовыми, и что их скорости не могут превышать c. Потом мы были вынуждены признать, что частицы вовсе не частицы, а своеобразные гибриды частиц и волн, поведение которых объединяется квантом h. Объединение теории относительности и квантовой механики было произведено Дираком (1902–1984) в 1930 г. и привело к созданию теории, которая получила название квантовая теория поля. Именно эта теория описывает основные свойства материи.

4.11. Единицы, в которых c, ħ = 1. В дальнейшем мы, как правило, будем пользоваться такими единицами, в которых за единицу скорости принята c, а за единицу углового импульса (действия) — ħ. В этих единицах все формулы существенно упрощаются. В них, в частности, размерности энергии, массы и частоты одинаковы. Эти единицы приняты в физике высоких энергий, поскольку в ней существенны квантовые и релятивистские явления. В тех случаях, когда надо подчеркнуть квантовый характер того или иного явления, мы будем явно выписывать ħ. Аналогично будем поступать и с c.

4.12. Эйнштейн и квантовая механика*. Эйнштейн, в известном смысле породив квантовую механику, не примирился с ней. И до конца жизни пытался построить «единую теорию всего» на основе классической теории поля, игнорируя ħ. Эйнштейн верил в классический детерминизм и в недопустимость случайности. Он повторял о Боге: «Он не играет в кости». И не мог примириться с тем, что мгновение распада индивидуальной частицы в принципе предсказать нельзя, хотя среднее время жизни того или иного типа частиц предсказывается в рамках квантовой механики с беспрецедентной точностью. К сожалению, его пристрастия определили взгляды очень многих людей.

5. Диаграммы Фейнмана

5.1. Простейшая диаграмма. Взаимодействия частиц удобно рассматривать с помощью диаграмм, предложенных Ричардом Фейнманом (1918–1988) в 1949 г. На рис. 1 приведена простейшая диаграмма Фейнмана, описывающая взаимодействие электрона и протона путём обмена фотоном.

Стрелки на рисунке указывают направление течения времени для каждой частицы.

5.2. Реальные частицы. Каждому процесс отвечает одна или несколько диаграмм Фейнмана. Внешним линиям на диаграмме соответствуют входящие (до взаимодействия) и выходящие (после взаимодействия) частицы, которые свободны. Их 4-импульсы p удовлетворяют уравнению

Их называют реальными частицами и говорят, что они находятся на массовой поверхности.

5.3. Виртуальные частицы. Внутренние линии диаграмм соответствуют частицам, находящимся в виртуальном состоянии. Для них

Их называют виртуальными частицами и говорят, что они находятся вне массовой поверхности. Распространение виртуальной частицы описывается математической величиной, которую называют пропагатором.

Эта общепринятая терминология может натолкнуть новичка на мысль, что виртуальные частицы менее материальны, чем реальные частицы. В действительности же они в равной степени материальны, но реальные частицы мы воспринимаем как вещество и излучение, а виртуальные — в основном как силовые поля, хотя это различие в значительной степени условно. Важно, что одна и та же частица, например, фотон или электрон, может быть реальной в одних условиях и виртуальной — в других.

5.4. Вершины. Вершины диаграммы описывают локальные акты элементарных взаимодействий между частицами. В каждой вершине 4-импульс сохраняется. Легко видеть, что если в одной вершине встречаются три линии стабильных частиц, то по крайней мере одна из них должна быть виртуальной, т. е. должна находиться вне массовой поверхности: «Боливару не снести троих». (Например, свободный электрон не может испустить свободный фотон и остаться при этом свободным электроном.)

Две реальные частицы взаимодействуют на расстоянии, обмениваясь одной или несколькими виртуальными частицами.

5.5. Распространение. Если о реальных частицах говорят, что они движутся, то о виртуальных частицах говорят, что они распространяются (propagate). Термин «распространение» подчёркивает то обстоятельство, что у виртуальной частицы может быть много траекторий, и может быть, что ни одна из них не является классической, как у виртуального фотона с нулевой энергией и ненулевым импульсом, описывающим статическое кулоновское взаимодействие.

5.6. Античастицы. Замечательным свойством фейнмановских диаграмм является то, что они единым образом описывают как частицы, так и соответствующие античастицы. При этом античастица выглядит, как частица, движущаяся вспять по времени. На рис. 2 приведена диаграмма, изображающая рождение протона и антипротона при аннигиляции электрона и позитрона.

Движение вспять по времени в равной мере применимо и к фермионам, и к бозонам. Оно делает ненужной интерпретацию позитронов как незаполненных состояний в море электронов с отрицательной энергией, к которой прибег Дирак, когда в 1930 г. ввёл понятие античастицы.

5.7. Швингер и диаграммы Фейнмана. Швингер (1918–1994), которому вычислительные трудности были нипочём, диаграмм Фейнмана не любил и несколько свысока писал о них: «Как компьютерный чип в более недавние годы, диаграмма Фейнмана несла вычисления в массы». К сожалению, до самых широких масс, в отличие от чипа, диаграммы Фейнмана не дошли.

5.8. Фейнман и диаграммы Фейнмана. По непонятным причинам диаграммы Фейнмана не дошли даже до знаменитых «Фейнмановских лекций по физике». Я убежден в том, что их необходимо довести до учеников средней школы, объясняя им основные идеи физики элементарных частиц. Это самый простой взгляд на микромир и на мир в целом. Если школьник владеет понятием потенциальной энергии (например, законом Ньютона, или законом Кулона), то диаграммы Фейнмана позволяют ему получать выражение для этой потенциальной энергии.

5.9. Виртуальные частицы и физические силовые поля. Фейнмановские диаграммы — это наиболее простой язык квантовой теории поля. (По крайней мере в тех случаях, когда взаимодействие не очень сильное и можно пользоваться теорией возмущений.) В большинстве книг по квантовой теории поля частицы рассматриваются как квантовые возбуждения полей, что требует знакомства с формализмом вторичного квантования. На языке же диаграмм Фейнмана поля заменяются виртуальными частицами.

Элементарные частицы обладают и корпускулярными, и волновыми свойствами. Причём в реальном состоянии они являются частицами материи, а в виртуальном состоянии они же являются переносчиками сил между материальными объектами. После введения виртуальных частиц понятие силы становится ненужным, а с понятием поля, если с ним не было знакомства раньше, возможно, следует знакомиться после того, как освоено понятие виртуальной частицы.

5.10. Элементарные взаимодействия*. Элементарные акты испускания и поглощения виртуальных частиц (вершины) характеризуются такими константами взаимодействия, как электрический заряд e в случае фотона, слабые заряды e/sin θW в случае W-бозона и e/sin θW cos θW в случае Z-бозона (где θW — угол Вайнберга), цветовой заряд g в случае глюонов, и величина √G в случае гравитона, где G — константа Ньютона. (См. гл. 6–10.) Электромагнитное взаимодействие рассмотрено ниже в гл. 7. Слабое взаимодействие — в гл. 8. Сильное — в гл. 9.

А начнём мы в следующей гл. 6 с гравитационного взаимодействия.

6. Гравитационное взаимодействие

6.1. Гравитоны. Я начну с частиц, которые пока не открыты и наверняка не будут открыты в обозримом будущем. Это частицы гравитационного поля — гравитоны. Не открыты пока не только гравитоны, но и гравитационные волны (и это в то время, как электромагнитные волны буквально пронизывают нашу жизнь). Это обусловлено тем, что при низких энергиях гравитационное взаимодействие очень слабо. Как мы увидим, теория гравитонов позволяет понять все известные свойства гравитационного взаимодействия.

6.2. Обмен гравитонами. На языке диаграмм Фейнмана гравитационное взаимодействие двух тел осуществляется обменом виртуальными гравитонами между составляющими эти тела элементарными частицами. На рис. 3 гравитон испускается частицей с 4-импульсом p1 и поглощается другой частицей с 4-импульсом p2. В силу сохранения 4-импульса, q=p1 − p′1=p′2−p2, где q — 4-импульс гравитона.

Распространение виртуального гравитона (ему, как и любой виртуальной частице, отвечает пропагатор) изображено на рисунке пружинкой.

6.3. Атом водорода в гравитационном поле Земли. На рис. 4 изображена сумма диаграмм, на которых атом водорода с 4-импульсом p1 обменивается гравитонами со всеми атомами Земли, обладающими суммарным 4-импульсом p2. И в этом случае q = p1 − p′1 = p′2 − p2, где q — суммарный 4-импульс виртуальных гравитонов.

6.4. О массе атома. В дальнейшем при рассмотрении гравитационного взаимодействия мы будем пренебрегать массой электрона по сравнению с массой протона, а также пренебрегать разностью масс протона и нейтрона и энергией связи нуклонов в атомных ядрах. Так что масса атома это примерно сумма масс нуклонов в атомном ядре.

6.5. Коэффициент усиления*. Число нуклонов Земли NE ≈ 3,6·1051 равно произведению числа нуклонов в одном грамме земного вещества, т. е. числа Авогадро NA ≈ 6·1023, на массу Земли в граммах ≈ 6·1027. Поэтому диаграмма рис. 4 представляет собой сумму 3,6·1051 диаграмм рис. 3, что отмечено утолщением линий Земли и виртуальных гравитонов на рис. 4. Кроме того, «гравитонная пружина», в отличие от пропагатора одного гравитона, сделана на рис. 4 серой. Она как бы содержит 3,6·1051 гравитонов.

6.6. Яблоко Ньютона в гравитационном поле Земли. На рис. 5 все атомы яблока, обладающие суммарным 4-импульсом p1, взаимодействуют со всеми атомами Земли, обладающими суммарным 4-импульсом p2.

6.7. Число диаграмм*. Напомню, что один грамм обычного вещества содержит NA = 6·1023 нуклонов. Число нуклонов в 100-граммовом яблоке Na = 100NA = 6·1025. Масса Земли 6·1027 г, и следовательно, число нуклонов Земли NE = 3,6 · 1051. Разумеется, утолщение линий на рис. 5 ни в какой мере не отвечает огромному числу нуклонов яблока Na, нуклонов Земли NE и гораздо большему, просто фантастическому числу фейнмановских диаграмм Nd = Na NE = 2,2·1077. Ведь каждый нуклон яблока взаимодействует с каждым нуклоном Земли. Чтобы подчеркнуть колоссальное число диаграмм, пружина на рис. 5 сделана темной.

Хотя взаимодействие гравитона с отдельной элементарной частицей очень мало, сумма диаграмм для всех нуклонов Земли создаёт значительное притяжение, которое мы ощущаем. Универсальная гравитация притягивает Луну к Земле, их обеих к Солнцу, все звёзды в нашей Галактике и все галактики друг к другу.

6.8. Фейнмановская амплитуда и её фурье-образ***.

Фейнмановской диаграмме гравитационного взаимодействия двух медленных тел с массами m1 и m2 соответствует фейнмановская амплитуда

где G — константа Ньютона, a q — 3-импульс, переносимый виртуальными гравитонами. (Величина 1/q2, где q — 4-импульс, называется гравитонным пропагатором. В случае медленных тел энергия практически не передается и потому q2 = −q2.)

Чтобы перейти от импульсного пространства к конфигурационному (координатному), надо взять фурье-образ амплитуды A(q)

Величина A(r) даёт потенциальную энергию гравитационного взаимодействия нерелятивистских частиц и определяет движение релятивистской частицы в статическом гравитационном поле.

6.9. Потенциал Ньютона*. Потенциальная энергия двух тел с массой m1 и m2 равна

где G — константа Ньютона, a r — расстояние между телами.

Эта энергия заключена в «пружине» виртуальных гравитонов на рис. 5. Взаимодействие, потенциал которого спадает как 1/r, называется дальнодействующим. Используя фурье-преобразование, можно увидеть, что гравитация — дальнодействующая, потому что гравитон безмассов.

6.10. Потенциал типа потенциала Юкавы**. Действительно, если бы гравитон имел ненулевую массу m, то фейнмановская амплитуда для обмена им имела бы вид

и ей отвечал бы потенциал типа потенциала Юкавы с радиусом действия r ≈ 1/m:

6.11. О потенциальной энергии**. В нерелятивистской механике Ньютона кинетическая энергия частицы зависит от её скорости (импульса), а потенциальная только от её координат, т. е. от положения в пространстве. В релятивистской механике сохранить такое требование нельзя, поскольку само взаимодействие частиц зачастую зависит от их скоростей (импульсов) и, следовательно, от кинетической энергии. Однако для обычных, достаточно слабых гравитационных полей изменение кинетической энергии частицы мало по сравнению с её полной энергией, и поэтому этим изменением можно пренебречь. Полную энергию нерелятивистской частицы в слабом гравитационном поле можно записать в виде ε = Ekin + E0 + U.

6.12. Универсальность гравитации. В отличие от всех других взаимодействий, гравитация обладает замечательным свойством универсальности. Взаимодействие гравитона с любой частицей не зависит от свойств этой частицы, а зависит только от величины энергии, которой частица обладает. Если эта частица медленная, то её энергия покоя E0 = mc2, заключённая в её массе, намного превышает её кинетическую энергию. И потому её гравитационное взаимодействие пропорционально её массе. Но для достаточно быстрой частицы её кинетическая энергия намного больше её массы. В этом случае её гравитационное взаимодействие от массы практически не зависит и пропорционально её кинетической энергии.

6.13. Спин гравитона и универсальность гравитации**. Более точно, испускание гравитона пропорционально не просто энергии, а тензору энергии-импульса частицы. А это, в свою очередь, обусловлено тем, что спин гравитона равен двум. Пусть 4-импульс частицы до испускания гравитона был p1, а после испускания p2. Тогда импульс гравитона равен q = p1p2. Если ввести обозначение p = p1 + p2, то вершина испускания гравитона будет иметь вид

где hαβ — волновая функция гравитона.

6.14. Взаимодействие гравитона с фотоном**. Особенно наглядно это видно на примере фотона, масса которого равна нулю. Экспериментально доказано, что когда фотон летит с нижнего этажа здания на верхний этаж, его импульс уменьшается под действием притяжения Земли. Доказано также, что луч света далёкой звезды отклоняется гравитационным притяжением Солнца.

6.15. Взаимодействие фотона с Землёй**. На рис. 6 показан обмен гравитонами между Землёй и фотоном. Этот рисунок условно представляет собой сумму рисунков гравитонных обменов фотона со всеми нуклонами Земли. На нём земная вершина получается из нуклонной умножением на число нуклонов в Земле NE c соответствующей заменой 4-импульса нуклона на 4-импульс Земли (см. рис. 3).

6.16. Взаимодействие гравитона с гравитоном***. Поскольку гравитоны несут энергию, они сами должны испускать и поглощать гравитоны. Отдельных реальных гравитонов мы не видели и никогда не увидим. Тем не менее взаимодействие между виртуальными гравитонами приводит к наблюдаемым эффектам. На первый взгляд вклад трёх виртуальных гравитонов в гравитационное взаимодействие двух нуклонов слишком мал, чтобы его можно было обнаружить (см. рис. 7).

6.17. Вековая прецессия Меркурия**. Однако этот вклад проявляется в прецессии перигелия орбиты Меркурия. Вековая прецессия Меркурия описывается суммой однопетлевых гравитонных диаграмм притяжения Меркурия к Солнцу (рис. 8).

6.18. Коэффициент усиления для Меркурия**. Отношение масс Меркурия и Земли равно 0,055. Так что число нуклонов в Меркурии NM = 0,055 NE = 2·1050. Масса Солнца MS = 2·1033 г. Так что число нуклонов в Солнце NS = NAMS = 1,2·1057. А число диаграмм, описывающих гравитационное взаимодействие нуклонов Меркурия и Солнца, NdM = 2,4·10107.

Если потенциальная энергия притяжения Меркурия к Солнцу равна U = GMS MM/r, то после учёта обсуждаемой поправки на взаимодействие виртуальных гравитонов друг с другом она умножается на коэффициент 1 − 3GMS/r. Мы видим, что поправка к потенциальной энергии составляет −3G2MS2 MM/r2.

6.19. Орбита Меркурия**. Радиус орбиты Меркурия a = 58·106 км. Период обращения 88 земных суток. Эксцентриситет орбиты e = 0,21. Из-за обсуждаемой поправки за один оборот большая полуось орбиты поворачивается на угол 6πGMS/a(1 − e2), т. е. порядка одной десятой угловой секунды, а за 100 земных лет поворачивается на 43”.

6.20. Гравитационный лэмбовский сдвиг**. Всякий, кто изучал квантовую электродинамику, сразу увидит, что диаграмма рис. 7 похожа на треугольную диаграмму, описывающую сдвиг частоты (энергии) уровня 2S1/2относительно уровня 2P1/2 в атоме водорода (там треугольник состоит из одной фотонной и двух электронных линий). Этот сдвиг измерили в 1947 г. Лэмб и Ризерфорд и установили, что он равен 1060 МГц (1,06 ГГц).

Это измерение положило начало цепной реакции теоретических и экспериментальных работ, приведших к созданию квантовой электродинамики и фейнмановских диаграмм. Частота прецессии Меркурия на 25 порядков меньше.

6.21. Классический или квантовый эффект?**. Хорошо известно, что лэмбовский сдвиг энергии уровня — это чисто квантовый эффект, в то время как прецессия Меркурия — чисто классический эффект. Каким образом могут они описываться похожими фейнмановскими диаграммами?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо вспомнить соотношение E = ħω и учесть, что преобразование Фурье при переходе от импульсного пространства к конфигурационному в разд. 6.8 содержит eiqr/ħ. Кроме того, следует учесть, что в электромагнитном треугольнике лэмбовского сдвига только одна линия безмассовой частицы (фотона), а две других — это пропагаторы электрона. Поэтому характерные расстояния в нём определяются массой электрона (комптоновской длиной волны электрона). А в треугольнике прецессии Меркурия имеются два пропагатора безмассовой частицы (гравитона). Это обстоятельство, обусловленное трёхгравитонной вершиной, и приводит к тому, что гравитационный треугольник даёт вклад на несравненно больших расстояниях, чем электромагнитный. В этом сравнении проявляется мощь квантовой теории поля в методе фейнмановских диаграмм, позволяющих просто понимать и рассчитывать широкий круг явлений, как квантовых, так и классических.

7. Электромагнитное взаимодействие

7.1. Электрическое взаимодействие. Электрическое взаимодействие частиц осуществляется обменом виртуальными фотонами, как на рис. 1, 9.

Фотоны, как и гравитоны, тоже безмассовые частицы. Так что электрическое взаимодействие тоже дальнодействующее:

Почему же оно не столь универсально, как гравитация?

7.2. Положительные и отрицательные заряды. Во-первых, потому, что существуют электрические заряды двух знаков. И во-вторых, потому, что существуют нейтральные частицы, которые вообще не имеют электрического заряда (нейтрон, нейтрино, фотон…). Частицы с зарядами противоположных знаков, как электрон и протон, притягиваются друг к другу. Частицы с одинаковыми зарядами отталкиваются. В результате атомы и состоящие из них тела в основном электронейтральны.

7.3. Нейтральные частицы. Нейтрон содержит u-кварк с зарядом +2e/3 и два d-кварка с зарядом −e/3. Так что суммарный заряд нейтрона равен нулю. (Напомним, что протон содержит два u-кварка и один d-кварк.) Истинно элементарными частицами, не имеющими электрического заряда, являются фотон, гравитон, нейтрино, Z-бозон и бозон Хиггса.

7.4. Кулоновский потенциал. Потенциальная энергия притяжения электрона и протона, находящихся на расстоянии r друг от друга, равна

7.5. Магнитное взаимодействие. Магнитное взаимодействие является не столь дальнодействующим, как электрическое. Оно спадает как 1/r3. Оно зависит не только от расстояния между двумя магнитами, но и от их взаимной ориентации. Хорошо известный пример — взаимодействие стрелки компаса с полем магнитного диполя Земли. Потенциальная энергия взаимодействия двух магнитных диполей μ1 и μ2 равна

где n = r/r.

7.6. Электромагнитное взаимодействие. Величайшим достижением XIX столетия было открытие того, что электрические и магнитные силы — это два различных проявления одной и той же электромагнитной силы. В 1821 г. М. Фарадей (1791–1867) исследовал взаимодействие магнита и проводника с током. Спустя десятилетие он установил законы электромагнитной индукции при взаимодействии двух проводников. В последующие годы он ввёл понятие электромагнитного поля и высказал идею об электромагнитной природе света. В 1870-х Дж. Максвелл (1831–1879) осознал, что электромагнитное взаимодействие ответственно за широкий класс оптических явлений: испускание, преобразование и поглощение света, и написал уравнения, описывающие электромагнитное поле. Вскоре Г. Герц (1857–1894) открыл радиоволны, а В. Рентген (1845–1923) — Х-лучи. Вся наша цивилизация основана на проявлениях электромагнитных взаимодействий.

7.7. Объединение теории относительности и квантовой механики. Важнейшим этапом в развитии физики был 1928 год, когда появилась статья П. Дирака (1902–1984), в которой он предложил квантовое и релятивистское уравнение для электрона. Это уравнение содержало магнитный момент электрона и указывало на существование античастицы электрона — позитрона, открытого через несколько лет. После этого квантовая механика и теория относительности объединились в квантовую теорию поля.

То, что электромагнитные взаимодействия вызваны испусканием и поглощением виртуальных фотонов, стало полностью ясно лишь в середине XX века с появлением диаграмм Фейнмана, т. е. после того, как чётко сформировалось понятие виртуальной частицы.

8. Слабое взаимодействие

8.1. Ядерные взаимодействия. В начале XX века были открыты атом и его ядро и α-, β– и γ-лучи, испускаемые радиоактивными ядрами. Как оказалось, γ-лучи — это фотоны очень высокой энергии, β-лучи — это высокоэнергичные электроны, α-лучи — ядра гелия. Это привело к открытию двух новых типов взаимодействий — сильного и слабого. В отличие от гравитационного и электромагнитного взаимодействий, сильное и слабое взаимодействия являются короткодействующими.

В дальнейшем было установлено,что они ответственны за преобразование водорода в гелий в нашем Солнце и других звёздах.

8.2. Заряженные токи*. Слабое взаимодействие ответственно за превращение нейтрона в протон с испусканием электрона и электронного антинейтрино. В основе большого класса процессов слабого взаимодействия лежат превращения кварков одного типа в кварки другого типа с испусканием (или поглощением) виртуальных W-бозонов: uct ↔ dsb. Аналогично при испускании и поглощении W-бозонов происходят переходы между заряженными лептонами и соответствующими нейтрино:

eνe, μνμ, τ ↔ ντ. В равной степени происходят и переходы типа dˉuW и eˉνe W. Во всех этих переходах с участием W-бозонов участвуют так называемые заряженные токи, меняющие на единицу заряды лептонов и кварков. Слабое взаимодействие заряженных токов короткодействующее, оно описывается потенциалом Юкавы e−mWr/r, так что эффективный радиус у него r ≈ 1/mW.

8.3. Нейтральные токи*. В 1970-х годах были открыты процессы слабого взаимодействия нейтрино, электронов и нуклонов, обусловленные так называемыми нейтральными токами. В 1980-х годах было экспериментально установлено, что взаимодействия заряженных токов происходят путем обмена W-бозонами, а взаимодействия нейтральных токов — путём обмена Z-бозонами.

8.4. Нарушение P– и CP-чётности*. Во второй половине 1950-х годов было открыто нарушение пространственной чётности P и зарядовой чётности C в слабых взаимодействиях. В 1964 г. были открыты слабые распады, нарушающие сохранение CP-симметрии. В настоящее время механизм нарушения CP-симметрии изучается в распадах мезонов, содержащих b-кварки.

8.5. Осцилляции нейтрино*. Последние два десятилетия внимание физиков приковано к измерениям, проводимым на подземных килотонных детекторах в Камиока (Япония) и Садбери (Канада). Эти измерения показали, что между тремя сортами нейтрино νe, νμ, ντ происходят в вакууме взаимные переходы (осцилляции). Природа этих осцилляций выясняется.

8.6. Электрослабое взаимодействие. В 1960-х годах была сформулирована теория, согласно которой электромагнитное и слабое взаимодействия являются различными проявлениями единого электрослабого взаимодействия. Если бы имела место строгая электрослабая симметрия, то массы W– и Z-бозонов были бы равны нулю подобно массе фотона.

8.7. Нарушение электрослабой симметрии. В рамках Стандартной модели бозон Хиггса нарушает электрослабую симметрию и объясняет таким образом, почему фотон безмассов, а слабые бозоны массивны. Он же даёт массы лептонам, кваркам и самому себе.

8.8. Что надо узнать о хиггсе. Одной из основных задач Большого адронного коллайдера LHC является открытие бозона Хиггса (который называют просто хиггс и обозначают h или H) и последующее установление его свойств. В первую очередь измерение его взаимодействий с W– и Z-бозонами, с фотонами, а также его самовзаимодействия, т. е. изучение вершин, содержащих три и четыре хиггса: h3 и h4, и его взаимодействия с лептонами и кварками, особенно с топ-кварком. В рамках Стандартной модели для всех этих взаимодействий существуют чёткие предсказания. Их экспериментальная проверка представляет очень большой интерес с точки зрения поисков «новой физики» за пределами Стандартной модели.

8.9. А если хиггса нет? Если же окажется, что в интервале масс порядка нескольких сот ГэВ хиггс не существует, то это будет означать, что при энергиях выше ТэВ лежит новая, абсолютно неизведанная область, где взаимодействия W– и Z-бозонов становятся непертурбативно сильными, т. е. не могут описываться теорией возмущений. Исследования этой области принесут много сюрпризов.

8.10. Лептонные коллайдеры будущего. Для выполнения всей этой программы исследований в дополнение к LHC возможно придётся построить лептонные коллайдеры:

ILC (International Linear Collider) с энергией столкновения 0,5 ТэВ,

или CLIC (Compact Linear Collider) с энергией столкновения 1 ТэВ,

или MC (Muon Collider) с энергией столкновения 3 ТэВ.

8.11. Линейные электрон-позитронные коллайдеры. ILC — Международный линейный коллайдер, в котором должны сталкиваться электроны с позитронами, а также фотоны с фотонами. Решение о его строительстве может быть принято только после того, как станет ясно, существует ли хиггс и какова его масса. Одно из предлагаемых мест строительства ILC — окрестности Дубны. CLIC — Компактный линейный коллайдер электронов и позитронов. Проект разрабатывается в ЦЕРН.

8.12. Мюонный коллайдер. МС — Мюонный коллайдер был впервые задуман Г. И. Будкером (1918–1977). В 1999 г. в Сан-Франциско состоялась пятая Международная конференция «Физический потенциал и развитие мюонных коллайдеров и нейтринных фабрик». В настоящее время проект МС разрабатывается в Фермиевской национальной лаборатории и может быть осуществлён лет через 20.

9. Сильное взаимодействие

9.1. Глюоны и кварки. Сильное взаимодействие держит нуклоны (протоны и нейтроны) внутри ядра. В его основе взаимодействие глюонов с кварками и взаимодействие глюонов с глюонами. Именно самодействие глюонов приводит к тому, что несмотря на то, что масса глюона равна нулю, так же, как равны нулю массы фотона и гравитона, обмен глюонами не приводит к глюонному дальнодействию, подобному фотонному и гравитонному. Более того, оно приводит к отсутствию свободных глюонов и кварков. Это обусловлено тем, что сумма одноглюонных обменов заменяется глюонной трубкой или нитью. Взаимодействие нуклонов в ядре подобно силам Ван-дер-Ваальса между нейтральными атомами.

9.2. Конфайнмент и асимптотическая свобода. Явление невылетания глюонов и кварков из адронов называют словом конфайнмент. Обратной стороной динамики, приводящей к конфайнменту является то, что на очень малых расстояниях глубоко внутри адронов взаимодействие между глюонами и кварками постепенно спадает. Кварки как бы становятся свободными на малых расстояниях. Это явление называют термином асимптотическая свобода.

9.3. Цвета кварков. Явление конфайнмента является следствием того, что каждый из шести кварков существует как бы в виде трех «цветовых» разновидностей. Кварки обычно «раскрашивают» в желтый, синий и красный цвета. Антикварки раскрашивают в дополнительные цвета: фиолетовый, оранжевый, зелёный. Всеми этими цветами обозначают своеобразные заряды кварков — «многомерные аналоги» электрического заряда, ответственные за сильные взаимодействия. Разумеется, никакой связи, кроме метафорической, между цветами кварков и обычными оптическими цветами нет.

9.4. Цвета глюонов. Ещё более многочисленно семейство цветных глюонов: их восемь, из которых два идентичны своим античастицам, а остальные шесть — нет. Взаимодействия цветовых зарядов описываются квантовой хромодинамикой и определяют свойства протона, нейтрона, всех атомных ядер и свойства всех адронов. То, что глюоны несут цветовые заряды, приводит к явлению конфайнмента глюонов и кварков, заключающегося в том, что цветные глюоны и кварки не могут вырваться из адронов. Ядерные силы между бесцветными (белыми) адронами представляют собой слабые отголоски могучих цветовых взаимодействий внутри адронов. Это похоже на малость молекулярных связей по сравнению с внутриатомными.

9.5. Массы адронов. Массы адронов вообще и нуклонов в частности обусловлены глюонным самодействием. Таким образом, масса всего видимого вещества, составляющего 4–5% энергии Вселенной, обусловлена именно самодействием глюонов.

10. Стандартная модель и за её пределами

10.1. 18 частиц Стандартной модели. Все известные фундаментальные частицы естественно распадаются на три группы:

6 лептонов (спин 1/2):
3 нейтрино: νe, νμ, ντ;
3 заряженных лептона: e, μ, τ;
6 кварков (спин 1/2):
u, c, t,
d, s, b;
6 бозонов:
g̃ — гравитон (спин 2),
γ, W, Z, g — глюоны (спин 1),
h — хиггс (спин 0).

10.2. За пределами Стандартной модели. 96% энергии Вселенной находится за пределами Стандартной модели и ждёт своего открытия и изучения. Есть несколько основных предположений о том, как может выглядеть новая физика (см. Ниже пункты 10.3–10.6).

10.3. Великое объединение. Объединению сильного и электрослабого взаимодействия посвящено огромное число работ, в основном теоретических. В большинстве из них предполагается, что оно происходит при энергиях порядка 1016 ГэВ. Такое объединение должно приводить к распаду протона.

10.4. Суперсимметричные частицы. Согласно идее суперсимметрии, впервые зародившейся в ФИАН, у каждой «нашей» частицы есть суперпартнер, спин которого отличается на 1/2: 6 скварков и 6 слептонов со спином 0, хиггсино, фотино, вино и зино со спином 1/2, гравитино со спином 3/2. Массы этих суперпартнёров должны быть существенно больше, чем у наших частиц. Иначе их давно бы открыли. Некоторые из суперпартнёров, возможно, будут открыты, когда заработает Большой адронный коллайдер.

10.5. Суперструны. Развивает гипотезу о суперсимметрии гипотеза о существовании суперструн, которые живут на очень малых расстояниях порядка 10−33 см и отвечающих им энергиях 1019 ГэВ. Многие физики-теоретики надеются, что именно на основе представлений о суперструнах удастся построить единую теорию всех взаимодействий, не содержащую свободных параметров.

10.6. Зеркальные частицы. Согласно идее о зеркальной материи, впервые зародившейся в ИТЭФ, у каждой нашей частицы есть зеркальный двойник, и существует зеркальный мир, который только очень слабо связан с нашим миром.

10.7. Тёмная материя. Только 4–5% всей энергии во Вселенной существует в виде массы обычного вещества. Порядка 20% энергии вселенной заключено в так называемой тёмной материи, состоящей, как думают, из суперчастиц, или зеркальных частиц, или каких-то других неизвестных частиц. Если частицы тёмной материи гораздо тяжелее обычных частиц и если, сталкиваясь друг с другом в космосе, они аннигилируют в обычные фотоны, то эти фотоны высокой энергии могут быть зарегистрированы специальными детекторами в космосе и на Земле. Выяснение природы тёмной материи является одной из основных задач физики.

10.8. Тёмная энергия. Но подавляющая часть энергии Вселенной (порядка 75%), обусловлена так называемой тёмной энергией. Она «разлита» по вакууму и расталкивает скопления галактик. Ее природа пока непонятна.

11. Элементарные частицы в России и мире

11.1. Указ Президента РФ. 30 сентября 2009 г. был издан Указ Президента РФ «О дополнительных мерах по реализации пилотного проекта по созданию Национального исследовательского центра “Курчатовский институт”». Указ предусматривает участие в проекте следующих организаций: Петербургского института ядерной физики, Института физики высоких энергий и Института теоретической и экспериментальной физики. Указ предусматривает также «включение указанного учреждения, как наиболее значимого учреждения науки, в ведомственную структуру расходов федерального бюджета в качестве главного распорядителя бюджетных средств». Этот Указ может способствовать возвращению физики элементарных частиц в число приоритетных направлений развития науки в нашей стране.

11.2. Слушания в Конгрессе США 1. 1 октября 2009 г. состоялись слушания в подкомитете по энергии и окружающей среде комитета по науке и технологии Палаты представителей США по теме «Исследования природы материи, энергии, пространства и времени». Ассигнования Департамента энергии на эту программу в 2009 г. составляют 795,7 млн долларов. Профессор Гарвардского университета Лиза Рендалл изложила взгляды на материю, энергию и происхождение Вселенной с точки зрения будущей теории струн. Директор Фермиевской национальной лаборатории (Батавия) Пьер Оддоне рассказал о состоянии физики частиц в США, и в частности, о предстоящем завершении работы Тэватрона и начале совместной работы ФНАЛ и подземной лаборатории DUSEL по изучению свойств нейтрино и редких процессов. Он подчеркнул важность участия американских физиков в проектах по физике высоких энергий в Европе (LHC), Японии (JPARC), Китае (ВЕРС) и международном космическом проекте (GLAST, названном недавно именем Ферми).

11.3. Слушания в Конгрессе США 2. Директор Национальной Лаборатории имени Джеферсона Хью Монтгомери говорил о вкладе этой Лаборатории в ядерную физику, в ускорительные технологии и в образовательные программы. Директор научного отдела по физике высоких энергий Департамента энергии Деннис Ковар рассказал о трёх основных направлениях по физике высоких энергий:

1) ускорительные исследования при максимальных энергиях,

2) ускорительные исследования при максимальных интенсивностях,

3) наземные и спутниковые исследования космоса с целью выяснения природы тёмной материи и тёмной энергии,

и трёх основных направлениях по ядерной физике:

1) изучение сильных взаимодействий кварков и глюонов,

2) изучение того, как из протонов и нейтронов образовались атомные ядра,

3) изучение слабых взаимодействий с участием нейтрино.

12. О фундаментальной науке

12.1. Что такое фундаментальная наука. Из изложенного выше текста ясно, что я, как и большинство научных работников, называю фундаментальной наукой ту часть науки, которая устанавливает наиболее фундаментальные законы природы. Эти законы лежат в фундаменте пирамиды науки или отдельных её этажей. Они определяют долговременное развитие цивилизации. Существуют, однако, люди, которые фундаментальной наукой называют те разделы науки, которые оказывают наибольшее непосредственное влияние на сиюминутные достижения в развитии цивилизации. Мне лично кажется, что эти разделы и направления лучше называть прикладной наукой.

12.2. Корни и плоды. Если фундаментальную науку можно сравнить с корнями дерева, то прикладную можно сравнить с его плодами. Такие важнейшие технологические прорывы, как создание мобильных телефонов или оптоволоконной связи, это плоды науки.

12.3. А. И. Герцен о науке. В 1845 г. Александр Иванович Герцен (1812–1870) опубликовал в журнале «Отечественные записки» замечательные «Письма об изучении природы». В конце первого письма он написал: «Наука кажется трудною не потому, чтоб она была в самом деле трудна, а потому, что иначе не дойдёшь до её простоты, как пробившись сквозь тьму тем готовых понятий, мешающих прямо видеть. Пусть входящие вперёд знают, что весь арсенал ржавых и негодных орудий, доставшихся нам по наследству от схоластики, негоден, что надобно пожертвовать вне науки составленными воззрениями, что, не отбросив все полулжи, которыми для понятности облекают полуистины, нельзя войти в науку, нельзя дойти до целой истины».

12.4. О сокращении школьных программ. Современные программы по физике в школе вполне могут включить в себя активное владение элементами теории элементарных частиц, теории относительности и квантовой механики, если сократить в них те разделы, которые имеют в основном описательный характер и увеличивают «эрудицию» ребенка, а не понимание окружающего мира и умение жить и творить.

12.5. Заключение. Было бы правильно, чтобы Президиум РАН отметил важность раннего приобщения молодёжи к мировоззрению, основанному на достижениях теории относительности и квантовой механики, и поручил Комиссиям Президиума РАН по учебникам (председатель — вице-президент  В.В. Козлов) и по образованию (председатель — вице-президент В. А. Садовничий) подготовить предложения по совершенствованию преподавания современной фундаментальной физики в средней и высшей школе.

Закон сохранения механической энергии: определение, формулы

Майер предположил, что кровь не меняет цвет, поскольку организму в тропическом климате нет необходимости тратить кислород на поддержание

температуры тела. Вернувшись на родину, перед тем как сформулировать закон сохранения механической энергии, Майер продолжил опыты с открытыми на то время разновидностями энергии:
  • кинетической,
  • потенциальной,
  • внутренней,
  • механической;

…и смог определить, в чем заключается закон сохранения механической энергии.

«Тепло, электричество и перемещение представляют собою феномены, которые могут быть сведены к одной силе, измеряются друг другом и переходят друг в друга по определенным законам» — излагал в своей научной работе Майер.

Английский физик Джеймс Джоуль, чье имя носит единица измерения энергии, и германский естествоиспытатель Герман Гельмгольц несколькими годами позже также
описали закон сохранения энергии.

Физика. 8 класс. Учебник.

Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования. Большое количество красочных иллюстраций, разнообразные вопросы и задания, а также дополнительные сведения и любопытные факты способствуют эффективному усвоению учебного материала.

Купить

Кинетическая и потенциальная энергия

Энергия тела — физическая величина, определяющая работу наблюдаемого тела или системы тел за бесконечно долгое время.

В изучении механических явлений рассматривают потенциальную и кинетическую энергии.

  • Единица энергии в СИ 1 Джоуль (Дж).

Кинетическая энергия — энергия, которой обладает тело в движении (вращении, перемещении в пространстве).

Футбольный мяч, летящий в ворота, летящая в цель стрела, выпущенная метким лучником, едущие с горы сани с сидящим в них хохочущим ребенком — все они во время движения характеризуются кинетической энергией.

Кинетическая энергия напрямую зависит от массы тела и скорости перемещения.

Формула кинетической энергии Ек = mv2/2

Где где m — масса объекта;

v  — скорость перемещения объекта в конкретной точке.

Потенциальная энергия. Само по себе тело потенциальной энергией не обладает.  Этот вид энергии характеризует взаимосвязь элементов объекта или двух отдельных тел в пространстве.

Стоящие на вершине холма санки, стрела, вложенная лучником в натянутую тетиву, ядро в стволе средневековой пушки — пример объекта, обладающего потенциальной энергией.

Потенциальная энергия бывает положительной или отрицательной относительно определенного условного нулевого уровня, принятого для системы координат:

  • сила тяжести,
  • сила упругости,
  • архимедова сила

Потенциальная энергия объекта зависит от приложенных к нему сил.

Если оценивать расположение объекта в отношении уровня Земли, то потенциальная энергия объекта на поверхности планеты принимается за ноль.

Уравнение Еп = mɡh поможет рассчитать потенциальную энергию на высоте h:
где m — масса тела;
ɡ – ускорение свободного падения;
h — высота центров масс объектов относительно поверхности планеты;
ɡ = 9,8 м/с2

Потенциальная энергия упруго деформированного объекта (пружины) рассчитывается согласно уравнению:
Еп = k·(∆x)2/2,
где k — коэффициент жёсткости,
∆x — изменение длины объекта вследствие его сжатия или растяжения.

Подробно различные виды потенциальной энергии разбираются на странице 131 учебника «Физика 10 кл. под редакцией Касьянова В. А.»

Физика. 9 класс. Учебник.

Учебник отличаются качественным современным оформлением, в нём приводятся многочисленные слайды и микрофотографии. Выполняя проблемные, поисковые и исследовательские задания, школьники не только активно усваивают материал, но и учатся мыслить, искать и анализировать информацию из разных источников, в том числе из интернета. Особое внимание уделяется практическим заданиям: ученикам предлагается проводить опыты, конструировать модели, разрабатывать проекты.

Купить Закон превращения и сохранения энергии

Суммарное число значений потенциальной и кинетической энергий объекта обозначают как механическая энергия. Для каждого конкретного объекта механическая энергия определяется не выбором системы отсчета, в которой рассчитывают скорость движения исследуемого объекта, а установлением уровня условного нуля для всех видов потенциальных энергий, определенных у данного объекта.

Механическая энергия определяет свойство объекта (системы объектов) совершать работу за счет изменения скорости перемещения объекта или изменения расположения взаимодействующих объектов относительно друг друга.

Что ещё почитать?

Сформулируем закон сохранения механической энергии с помощью математического уравнения:

Еk1 + Еп1 = Еk2 + Еп2

Глядя на представленную формулу видно, что энергия не появляется из ниоткуда и не исчезает в неизвестном направлении; лишь происходит преобразование одной разновидности в другую или переход между взаимодействующими объектами.

В изолированной или закрытой системе, т.е. системе, на которую не оказывают влияния силы извне или их возможно игнорировать, энергетический обмен с внешней средой не происходит, и внутренняя энергия объекта не изменяется. В ней могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и наоборот. В учебнике «Физика. 10 класс» под редакцией В. А. Касьянова на портале LECTA разобраны примеры задач на закон сохранения энергии.

#ADVERTISING_INSERT#

Формула массы тела в физике

Содержание:

Определение и формула массы тела

Определение

В механике Ньютона массой тела называют скалярную физическую величину, которая является мерой инерционных его свойств и источником гравитационного взаимодействия.{n} m_{i}(1)$$

В классической механике считают:

  • масса тела не является зависимой от движения тела, от воздействия других тел, расположения тела;
  • выполняется закон сохранения массы: масса замкнутой механической системы тел неизменна во времени.

Инертная масса

Свойство инертности материальной точки состоит в том, что если на точку действует внешняя сила, то у нее возникает конечное по модулю ускорение. Если внешних воздействий нет, то в инерциальной системе отсчета тело находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно. Масса входит во второй закон Ньютона:

$$\bar{F}=m \bar{a}(2)$$

где масса определяет инертные свойства материальной точки (инертная масса).

Гравитационная масса

Масса материальной точки входит в закон всемирного тяготения, при этом она определяет гравитационные свойства данной точки.при этом она носит название гравитационной (тяжелой) массы.

Эмпирически получено, что для всех тел отношения инертных масс к гравитационным являются одинаковыми.{2}}}}$$

Слишком сложно?

Формула массы тела не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Какова масса 2м3 меди?

Решение. Будем считать, что медь однородна и для решения задачи используем формулу:

$$m=\rho V$$

При этом если известно вещество (медь), то можно при помощи справочника найти ее плотность. Плотность меди будем считать равной $\rho$ Cu=8900 кг/м3 . Для расчета все величины известны. Проведем вычисления:

$m=8900 \cdot 2=17800$ (кг)

Ответ. $m=8900 \cdot 2=17800$ (кг)

Читать дальше: Формула момента силы.

Формула механической энергии | Определения и примеры

Если KE и PE относятся к кинетической и потенциальной энергии тела, его механическая энергия определяется выражением

ME = KE + PE

Для объекта, брошенного вверх, дается его полная механическая энергия. по:

E = ½ mv2 + mgh

Где m – масса объекта, v, скорость этого объекта, g, ускорение свободного падения, а h указывает, на какой высоте находится объект от земля.

Пример: кинетическая энергия тела, летящего на определенной высоте от земли, составляет 4500 Дж, а его потенциальная энергия – 8000 Дж. Найдите полную механическую энергию, связанную с ним.

Решение:

KE = 4500 Дж, PE = 8000 Дж, ME =?

ME = KE + PE = 4500 + 8000 = 12500 Дж

Пример: объект массой 2 кг проецировался вертикально вверх с кинетической энергией 100 Дж. Найдите максимальную высоту, которую он может достичь (возьмите g = 10 м / с2 и ПЭ объекта в точке проекции равно нулю).

Решение: При движении под действием силы тяжести сохраняется общая механическая энергия.

Общая механическая энергия в точке проецирования = общая механическая энергия на максимальной высоте.

В точке проецирования: KE1 = 100 Дж, PE1 = 0

На максимальной высоте: KE2 = 0, PE2 = mgh

Теперь KE1 + PE1 = KE2 + PE2

Следовательно, 100 + 0 = 0 + mgh

⇒h = 100mg = 1002 × 10 = 5 м

Максимальная высота объекта 5 м.

Вопрос: Мяч, брошенный вверх с определенной кинетической энергией, может достигать максимальной высоты 8 м. Идентичный шар, подброшенный с четырехкратной кинетической энергией, может достигать максимальной высоты:

Варианты:

(a) 8 м

(b) 32 м

(c) 64 м

(d) 128 m

Ответ: (d)

Какова формула силы? – Определение и объяснение – Видео и стенограмма урока

Формула силы

Формула силы утверждает, что сила равна массе, умноженной на ускорение.Итак, если вы знаете массу и ускорение, просто умножьте их вместе, и теперь вы знаете силу! Единицами измерения ускорения являются метры на секунду в квадрате (м / с2), а единицей измерения массы – килограммы (кг).

Давайте посмотрим на пример:

Мэри пытается поднять ящик с пола на полку. Она разгоняет 2-килограммовую коробку со скоростью 2 м / с2. Какую силу Мэри прилагает к коробке?

Чтобы решить эту проблему, просто умножьте массу (2 кг) на ускорение (2 м / с2), чтобы получить окончательный ответ: на коробку была приложена сила 4 Н.Помните, что в физике всегда включайте все единицы как в вашу задачу, когда вы показываете свою математику, так и когда вы пишете свой окончательный ответ.

Решение других переменных

Вы также можете вычислить любую другую переменную в уравнении, если у вас есть две из трех. Например, если у вас есть масса и сила, вы можете рассчитать ускорение.

Если вы немного не уверены в алгебраических уравнениях, вот вам ярлык!

Используя круг, проведите горизонтальную линию через середину.Затем разделите нижнюю половину круга на две части. Сверху напишите F для силы, а внизу поставьте м для массы в одной секции и и для ускорения в другой. Горизонтальная линия будет использоваться для деления, а вертикальные линии – для умножения. Затем закройте пальцем любую переменную, которую вы хотите найти. Например, предположим, что мы хотим найти ускорение. Накройте и по кругу. Теперь у вас остается F , разделенные на м. Это математика, которую вы используете для вычисления силы! Довольно просто, да?

Давайте посмотрим на пример:

Джордан пытается подтолкнуть через комнату большой стул для своей тети. Она хочет, чтобы это было на солнце, чтобы она могла читать днем. Джордан использует 300 Н силы на стуле 300 кг. Насколько быстро Джордан должен разогнаться, чтобы передвинуть стул?

Давайте снова воспользуемся кругом. Закройте переменную, которую вы хотите найти, a. Теперь у нас остается F , разделенные на м. Теперь мы можем подставить наши числа. Сила (300 Н), разделенная на массу (300 кг), равна 1 м / с2 – ускорению, которое Джордан должен использовать для перемещения кресла.

Net Force

Обычно на объекты одновременно действует множество сил, а не одна, как мы видели до сих пор. Чтобы вычислить другие переменные, нам нужно сложить силы, чтобы увидеть, что такое результирующая сила или сумма сил, действующих на объект. Сила считается вектором , что означает, что она имеет величину и направление.Обычно мы обозначаем силы, которые направлены вниз, как отрицательные, а силы, направленные вверх, как положительные. Точно так же силы, идущие влево, отрицательны, а силы, идущие вправо, положительны.

Ученые придумали отличный способ систематизировать совокупные силы, действующие на объект, который называется диаграммой свободного тела. Диаграммы свободного тела – это изображения, на которых изображены все силы, действующие на объект. Вы начинаете с точки, представляющей объект. Затем вы рисуете силы, действующие на объект, выходящий из точки, со стрелками на конце.Так, например, если я толкаю коробку вправо с 10 Н, я бы нарисовал линию на диаграмме свободного тела справа, обозначенную 10 Н. После того, как вы записали все свои силы, пора их сложить! Мы добавляем силы только в одном направлении за раз.

Когда у вас есть более одной силы в задаче, вам нужно сначала нарисовать диаграмму свободного тела, вычислить чистую силу, а затем использовать круг или алгебру для решения.

Давайте посмотрим на пример:

Керри хочет повесить новую причудливую лампу весом 150 кг, которую она нашла в благотворительном магазине.Она знает, что Fg лампы или ее вес составляет 200 Н. Кабель, который она должна его подвесить, имеет только натяжение (FT) 150 Н. Каково ускорение лампы?

Сначала мы рисуем диаграмму свободного тела, где F g идет вниз, поскольку это связано с силой тяжести, и F T идет вверх, поскольку веревка тянет лампу к потолку.

Затем, поскольку F g понижается, эта сила будет отрицательной, а поскольку F T возрастает, это число будет положительным.Когда мы добавляем -200 Н плюс положительные 150 Н, мы получаем -50 Н. Это означает, что общая сила, действующая на нашу лампу, уменьшается, что означает, что лампа тоже гаснет. Не похоже, что этот кабель подойдет Керри! Но давайте продолжим решать эту проблему, потому что нам нужно было найти ускорение.

Теперь, когда у нас есть чистая сила, мы можем использовать круг или алгебру. Когда мы подставляем числа, мы получаем -50 Н (сила), разделенную на 150 кг (масса), что дает нам ускорение -0,33 м / с2.

Резюме урока

Формула для силы говорит, что сила равна массе ( м, ), умноженной на ускорение ( a ).Если у вас есть две любые из трех переменных, вы можете решить третью. Сила измеряется в Ньютонах (Н), масса – в килограммах (кг), а ускорение – в метрах в секунду в квадрате (м / с2). Если у вас более одной силы в задаче, сначала нарисуйте диаграмму свободного тела, затем добавьте свои силы, чтобы получить чистую силу, и, наконец, решите свою проблему.

Что следует помнить

  • Сила равна массе, умноженной на ускорение.
  • Сила измеряется в Ньютонах.
  • Вы можете использовать уравнение силы, чтобы также найти массу или ускорение объекта.
  • Чтобы рассчитать чистую силу, действующую на объект, можно нарисовать диаграмму свободного тела.

Результаты обучения

Просмотрите и затем просмотрите этот видео-урок о формуле силы, чтобы вы могли легко выполнить следующие задачи:

  • Напишите определение силы и поймите, как она измеряется
  • Распознать формулу для расчета силы
  • Создать диаграмму свободного тела
  • Найдите другие переменные и рассчитайте чистую силу

Веб-сайт класса физики

Работа, энергия и сила: обзор набора задач

Этот набор из 32 задач нацелен на вашу способность использовать уравнения, связанные с работой и мощностью, для расчета кинетической, потенциальной и полной механической энергии, а также использовать соотношение работа-энергия для определения конечной скорости, тормозного пути или конечной высоты подъема. объект.Более сложные задачи обозначены цветом , синим цветом, .

Работа

Работа возникает, когда на объект действует сила, вызывающая смещение (или движение) или, в некоторых случаях, чтобы препятствовать движению. В этом определении важны три переменные – сила, смещение и степень, в которой сила вызывает или препятствует смещению. Каждая из этих трех переменных входит в уравнение работы.Это уравнение:

Работа = Сила • Смещение • Косинус (тета)

W = F • d • cos (тета)

Поскольку стандартной метрической единицей силы является Ньютон, а стандартной метрической единицей перемещения является метр, то стандартной метрической единицей работы является Ньютон • метр, определяемый как Джоуль и сокращенно J.

Самая сложная часть уравнения работы и расчетов работы – это значение угла тета в приведенном выше уравнении.Угол – это не просто любой заявленный угол в задаче; это угол между векторами F и d. При решении рабочих задач нужно всегда помнить об этом определении: тета – это угол между силой и смещением, которое она вызывает. Если сила в том же направлении, что и смещение, то угол равен 0 градусов. Если сила направлена ​​в направлении, противоположном смещению, то угол составляет 180 градусов. Если сила направлена ​​вверх, а смещение вправо, то угол составляет 90 градусов.Это показано на рисунке ниже.


Мощность

Мощность определяется как скорость, с которой работа выполняется над объектом. Как и все величины скорости, мощность зависит от времени. Мощность связана с тем, насколько быстро выполняется работа. Две одинаковые работы или задачи можно выполнять с разной скоростью – медленно или быстро. Работа в каждом случае одинакова (поскольку это одинаковые рабочие места), но мощность разная.Уравнение мощности показывает важность времени:

Мощность = Работа / время

P = Вт / т

Единицей стандартной метрической работы является Джоуль, а стандартной метрической единицей измерения времени является секунда, поэтому стандартной метрической единицей измерения мощности является Джоуль / секунда, определяемая как Ватт и сокращенно W. путайте единицу Ватт, обозначаемую сокращенно W, с количественной работой, также обозначаемой буквой W.

Объединение уравнений мощности и работы может привести ко второму уравнению мощности. Мощность – Вт / т, работа – F • d • cos (тета). Подставляя выражение для работы в уравнение мощности, получаем P = F • d • cos (theta) / t. Если это уравнение переписать как

P = F • cos (тета) • (d / t)

можно заметить возможное упрощение. Отношение d / t – это значение скорости для движения с постоянной скоростью или средняя скорость для ускоренного движения.Таким образом, уравнение можно переписать как

P = F • v • cos (тета)

где v – постоянная скорость или среднее значение скорости. Некоторые из задач в этом наборе задач будут использовать это производное уравнение для мощности.

Механическая, кинетическая и потенциальная энергии

Есть две формы механической энергии – потенциальная энергия и кинетическая энергия.

Потенциальная энергия – это накопленная энергия положения. В этом наборе задач нас больше всего будет интересовать запасенная энергия из-за вертикального положения объекта в гравитационном поле Земли. Такая энергия известна как потенциальная энергия гравитации (PE grav ) и рассчитывается по формуле

.

PE grav = m • g • h

где м, – масса объекта (в условных единицах килограмма), г, – ускорение свободного падения (9.8 м / с / с) и h – высота объекта (в стандартных единицах измерения) над произвольно заданным нулевым уровнем (например, землей или верхом лабораторного стола в комнате физики).

Кинетическая энергия определяется как энергия, которой обладает объект из-за своего движения. Объект должен двигаться, чтобы обладать кинетической энергией. Количество кинетической энергии ( KE ), которым обладает движущийся объект, зависит от массы и скорости. Уравнение кинетической энергии

КЕ = 0.5 • м • в 2

где м, – масса объекта (в условных единицах килограммов), а v – скорость объекта (в стандартных единицах измерения м / с).

Полная механическая энергия, которой обладает объект, складывается из его кинетической и потенциальной энергий.

Связь между работой и энергией

Существует связь между работой и общей механической энергией.Взаимосвязь лучше всего выражается уравнением

TME i + W NC = TME f

Другими словами, это уравнение говорит о том, что начальное количество полной механической энергии ( TME i ) системы изменяется из-за работы, совершаемой с ней неконсервативными силами ( W nc ). Конечное количество полной механической энергии ( TME f ), которой обладает система, эквивалентно начальному количеству энергии ( TME i ) плюс работа, выполняемая этими неконсервативными силами ( W нс. ).

Механическая энергия, которой обладает система, представляет собой сумму кинетической энергии и потенциальной энергии. Таким образом, приведенное выше уравнение может быть преобразовано в форму

KE i + PE i + W NC = KE f + PE f

0,5 • m • v i 2 + m • g • h i + F • d • cos (theta) = 0,5 • m • v f 2 + m • g • h f

Работа, совершаемая системой неконсервативными силами (W nc ), может быть описана как положительная работа или как отрицательная работа.Положительная работа выполняется в системе, когда сила, выполняющая работу, действует в направлении движения объекта. Отрицательная работа выполняется, когда сила, выполняющая работу, противодействует движению объекта. Когда положительное значение работы подставляется в уравнение работы-энергии выше, конечное количество энергии будет больше, чем начальное количество энергии; считается, что система получила механическую энергию. Когда отрицательное значение работы подставляется в приведенное выше уравнение работы-энергии, конечное количество энергии будет меньше начального количества энергии; считается, что система потеряла механическую энергию.Бывают случаи, когда единственными силами, выполняющими работу, являются консервативные силы (иногда называемые внутренними силами). Обычно такие консервативные силы включают гравитационные силы, силы упругости или пружины, электрические силы и магнитные силы. Когда единственные силы, выполняющие работу, являются консервативными силами, тогда член W nc в приведенном выше уравнении равен нулю. В таких случаях говорят, что система сохранила свою механическую энергию.

Правильный подход к проблеме работы-энергии включает в себя внимательное чтение описания проблемы и подстановку значений из него в уравнение работы-энергии, перечисленное выше.Выводы о некоторых терминах должны быть сделаны на основе концептуального понимания кинетической и потенциальной энергии. Например, если объект изначально находится на земле, то можно сделать вывод, что PE i равен 0, и этот член может быть исключен из уравнения работы-энергии. В других случаях высота объекта в исходном состоянии такая же, как и в конечном состоянии, поэтому термины PE i и PE f совпадают. Таким образом, их можно математически исключить с каждой стороны уравнения.В других случаях скорость постоянна во время движения, поэтому члены KE i и KE f одинаковы и, таким образом, могут быть исключены математически с каждой стороны уравнения. Наконец, есть случаи, когда условия KE и / PE не указаны; вместо этого даны масса (м), скорость (v) и высота (h). В таких случаях члены KE и PE могут быть определены с помощью соответствующих уравнений. Сделайте своей привычкой с самого начала просто начать с уравнения работы и энергии, отменить члены, которые равны нулю или неизменны, подставить значения энергии и работы в уравнение и найти указанное неизвестное.

Привычки эффективно решать проблемы

Эффективный решатель проблем по привычке подходит к физическим проблемам таким образом, чтобы отражать набор дисциплинированных привычек. Хотя не все эффективные специалисты по решению проблем используют один и тот же подход, все они имеют общие привычки. Эти привычки кратко описаны здесь. Эффективное решение проблем …

  • …. внимательно читает задачу и создает мысленную картину физической ситуации. При необходимости они набрасывают простую схему физической ситуации, чтобы помочь визуализировать ее.
  • … определяет известные и неизвестные величины в организованном порядке, часто записывая их на диаграмме. Они приравнивают заданные значения к символам, используемым для представления соответствующей величины (например, m = 1,50 кг, v i = 2,68 м / с, F = 4,98 Н, t = 0,133 с, v f = ???) .
  • … строит стратегию решения неизвестной величины; стратегия, как правило, сосредоточена вокруг использования физических уравнений и во многом зависит от понимания физических принципов.
  • … определяет подходящую (ые) формулу (ы) для использования, часто записывая их. При необходимости они выполняют необходимое преобразование количеств в правильные единицы.
  • … выполняет подстановки и алгебраические манипуляции, чтобы найти неизвестную величину.

Подробнее …

Дополнительная литература / Учебные пособия:

Следующие страницы из учебного пособия по физике могут быть полезны для понимания концепций и математики, связанных с этими проблемами.

Набор задач “Работа, энергия и мощность”

Просмотреть набор задач

Решения с аудиосистемой для работы, энергии и мощности

Просмотрите аудиогид решения проблемы:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32

Уравнение Бернулли

В 1700-х гг. Даниэль Бернулли исследовал силы, присутствующие в движущемся жидкость.На этом слайде показана одна из многих форм Бернулли. уравнение . Уравнение появляется во многих физиках, Гидромеханика и учебники по самолетам. Уравнение утверждает, что статическое давление пс в потоке плюс динамическое давление, половина плотности r , умноженная на квадрат скорости V , равняется постоянной на всем протяжении течение. Мы называем эту константу полным давлением потока pt .

Как обсуждалось на свойства газа page, есть два способа взглянуть на жидкость; от большого, макро свойства жидкости, которые мы можем измерить, и с малого, микромасштаба молекулярного движения и взаимодействия. На этой странице мы рассмотрим уравнение Бернулли с обеих точек зрения.

Выведение макроуровня

Термодинамика это отрасль науки, которая описывает свойства макромасштаба жидкости.Один из основных результатов изучения термодинамика – это сохранение энергии; внутри системы энергия не создается и не уничтожается, но может быть преобразована из одна форма в другую. Мы выведем уравнение Бернулли, начиная с уравнение сохранения энергии. Наиболее общий вид сохранения энергии дан на Уравнение Навье-Стокса страница. Эта формула включает эффекты нестационарных течений и вязкий взаимодействия. Предполагая устойчивый невязкий поток , мы имеем упрощенный уравнение сохранения энергии в терминах энтальпия жидкости:

ht2 – ht1 = q – wsh

где ht – полная энтальпия жидкости, q – это теплопередача в жидкость, а wsh – полезная работа, выполняемая жидкостью.

Предполагая, что теплопередача в жидкость отсутствует, и жидкость не выполняет никакой работы , мы имеют:

ht2 = ht1

Из определения полной энтальпии:

е2 + (р * v) 2 + (.2) 1 = константа = pt

Это простейшая форма уравнения Бернулли и наиболее часто встречающаяся. цитируется в учебниках. Если мы сделаем другие предположения при выводе, мы можем вывести другие формы уравнения.

Это важно при применении любого уравнения, о котором вы знаете ограничения на его использование; ограничения обычно возникают в вывод уравнения при определенных упрощающих предположениях о характер проблемы.Если игнорировать ограничения, вы можете часто получить неправильный «ответ» из уравнения. Для Например, эта форма уравнения была получена в предположении, что поток был несжимаемым, что означает что скорость потока намного меньше скорости звука. Если вы используете эту форму для сверхзвукового потока, ответ будет неправильный.

Получение молекулярных масштабов

Мы можем сделать другую интерпретацию уравнения следующим образом: принимая во внимание движение молекул газа.Молекулы внутри жидкости находятся в постоянном случайном движении и сталкиваются с каждым прочее и со стенками объекта в жидкости. Движение молекулы придают молекулам линейный импульс и давление жидкости является мерой этого импульса. Если газ находится в состоянии покоя, все движение молекул является случайным, и давление, которое мы обнаруживаем, является полное давление газа. Если газ приводится в движение или потоков, некоторые из случайных составляющих скорости изменяются в пользу направленного движения.Мы называем направленное движение «упорядоченным», так как в отличие от беспорядочного случайного движения.

Мы можем связать «давление» с импульсом упорядоченного движение газа. Мы называем это давление динамическое давление. Оставшееся случайное движение молекул по-прежнему производит Давление называется статическим давлением . На молекулярном уровне нет различия между случайным и упорядоченным движением. Каждый молекула имеет скорость в каком-то направлении, пока не столкнется с другая молекула, и скорость изменяется.Но когда вы подводите итоги скорости всех молекул, которые вы обнаружите в упорядоченном движение. Из закона сохранения энергии и импульса статическая давление плюс динамическое давление равно исходному общему давление в потоке (при условии, что мы не добавляем и не вычитаем энергию в потоке). поток). Форма динамического давления – это плотность, умноженная на квадрат скорости деленный на два.

Приложения уравнения Бернулли

Проблема жидкостей, показанная на этом слайде, заключается в потоке с низкой скоростью через трубка с изменяющейся площадью поперечного сечения.Для обтекаемости вдоль в центре трубы скорость уменьшается от первой до второй. Уравнение Бернулли описывает связь между скоростью, плотность и давление для этой задачи потока. Поскольку плотность постоянна для задачи с низкой скоростью уравнение внизу слайда связывает давление и скорость на второй станции с условиями на первой станции.

На малой скорости аэродинамический профиль поток несжимаемый, а плотность остается неизменной. постоянный.Тогда уравнение Бернулли сводится к простому соотношению между скоростью и статическим давлением. Поверхность профиля представляет собой рационализировать. Поскольку скорость меняется вдоль линии тока уравнение Бернулли можно использовать для вычисления изменения под давлением. Статическое давление, интегрированное по всей поверхности аэродинамического профиля дает общую аэродинамическую приложить к фольге. Эту силу можно разбить на подъемная сила и сопротивление профиля.

Уравнение Бернулли также используется в самолетах для определения спидометра. называется трубкой Пито-статики.M


Экскурсии с гидом
  • Основные уравнения динамики жидкости:
  • Статическая трубка Пито:

Навигация ..


Руководство для начинающих Домашняя страница

Уравнения движения – Гипертекст по физике

Обсуждение

постоянное ускорение

Для большей точности этот раздел следует называть «Одномерные уравнения движения при постоянном ускорении».Учитывая, что такое название было бы стилистическим кошмаром, позвольте мне начать этот раздел со следующей оговорки. Эти уравнения движения действительны только тогда, когда ускорение постоянное и движение ограничено прямой линией.

Учитывая, что мы живем в трехмерной вселенной, в которой единственной постоянной является изменение, у вас может возникнуть соблазн сразу отказаться от этого раздела. Было бы правильно сказать, что ни один объект никогда не двигался по прямой с постоянным ускорением в любом месте Вселенной в любое время – ни сегодня, ни вчера, ни завтра, ни пять миллиардов лет назад, ни тридцать миллиардов лет в будущем. , никогда.Об этом я могу сказать с абсолютной метафизической уверенностью.

Так что же тогда хорошего в этом разделе? Что ж, во многих случаях полезно предположить, что объект двигался или будет двигаться по прямому пути с почти постоянным ускорением; то есть любое отклонение от идеального движения можно по существу игнорировать. Движение по криволинейной траектории можно считать фактически одномерным, если для задействованных объектов имеется только одна степень свободы .Дорога может извиваться и поворачиваться и исследовать всевозможные направления, но автомобили, едущие по ней, имеют только одну степень свободы – свободу двигаться в одном или противоположном направлении. (Вы не можете ехать по дороге по диагонали и надеетесь остаться на ней надолго.) В этом отношении это мало чем отличается от движения, ограниченного прямой линией. Аппроксимация реальных ситуаций моделями, основанными на идеальных ситуациях, не считается обманом. Так поступают в физике. Это настолько полезный прием, что мы будем использовать его снова и снова.

Наша цель в этом разделе – вывести новые уравнения, которые можно использовать для описания движения объекта с точки зрения его трех кинематических переменных: скорости ( v ), положения ( с ) и времени ( т ). Их можно объединить в пары: скорость-время, положение-время и скорость-положение. В этом порядке их также часто называют первым, вторым и третьим уравнениями движения, но нет веских причин для изучения этих имен.

Поскольку мы имеем дело с движением по прямой линии, направление будет обозначено знаком – положительные величины указывают в одну сторону, а отрицательные величины указывают в противоположную сторону.Определение того, какое направление является положительным, а какое отрицательным, совершенно произвольно. Законы физики изотропны ; то есть они не зависят от ориентации системы координат. Однако некоторые проблемы легче понять и решить, если одно направление предпочтительнее другого. Пока вы последовательны в решении проблемы, это не имеет значения.

скорость-время

Связь между скоростью и временем проста при равномерно ускоренном прямолинейном движении.Чем дольше ускорение, тем больше изменение скорости. Изменение скорости прямо пропорционально времени, когда ускорение постоянно. Если скорость увеличивается на определенную величину за определенное время, она должна увеличиваться вдвое на эту величину в два раза быстрее. Если объект уже стартовал с определенной скоростью, то его новая скорость будет равна старой скорости плюс это изменение. Вы должны быть в состоянии увидеть уравнение уже мысленным взором.

Это самое простое из трех уравнений, которое можно вывести с помощью алгебры.Начнем с определения ускорения.

Разверните ∆ v до v v 0 и конденсируйте ∆ t до t .

Затем решите v как функцию от t .

v = v 0 + на [1]

Это первое уравнение движения . Он записывается как полином – постоянный член ( v 0 ), за которым следует член первого порядка ( на ).Поскольку наивысший порядок равен 1, правильнее называть его линейной функцией .

Символ v 0 [vee naught] называется начальной скоростью или скоростью за время t = 0. Его часто называют «первой скоростью», но это довольно наивный способ Опишите это. Лучшее определение было бы сказать, что начальная скорость – это скорость, которую имеет движущийся объект, когда он впервые становится важным в проблеме. Скажем, метеор был замечен глубоко в космосе, и проблема заключалась в том, чтобы определить его траекторию, тогда начальная скорость, вероятно, будет той скоростью, которую он имел при первом наблюдении.Но если проблема заключалась в том, что тот же самый метеор сгорает при входе в атмосферу, то начальная скорость, вероятно, равна скорости, которую он имел при входе в атмосферу Земли. Ответ на вопрос “Какая начальная скорость?” “Это зависит от обстоятельств”. Это оказывается ответом на множество вопросов.

Обозначение v – это скорость через некоторое время t после начальной скорости. Ее часто называют конечной скоростью , но это не делает ее «последней скоростью» объекта. Возьмем случай с метеором.Какая скорость обозначена символом v ? Если вы внимательно слушали, значит, вы должны были ожидать ответа. По-разному. Это может быть скорость метеора, когда он проходит мимо Луны, входит в атмосферу Земли или ударяется о поверхность Земли. Это также может быть скорость метеорита, находящегося на дне кратера. (В этом случае v = 0 м / с.) Является ли какое-либо из этих значений конечной скоростью? Кто знает. Кто-то мог извлечь метеорит из дыры в земле и уехать вместе с ним.Это актуально? Наверное, нет, но это зависит от обстоятельств. Для такого рода вещей нет правил. Вы должны проанализировать текст задачи на предмет физических величин, а затем присвоить значение математическим символам.

Последняя часть этого уравнения на – это изменение скорости от начального значения. Напомним, что a – это скорость изменения скорости, а t – это время после некоторого начального события . Ставка раз время меняется. Учитывая, что объект ускоряется со скоростью 10 м / с 2 , через 5 с он будет двигаться на 50 м / с быстрее.Если бы он стартовал со скоростью 15 м / с, то его скорость через 5 с была бы…

15 м / с + 50 м / с = 65 м / с

позиция-время

Смещение движущегося объекта прямо пропорционально скорости и времени. Двигайся быстрее. Иди дальше. Двигайтесь дольше (как и дольше). Иди дальше. Ускорение усугубляет эту простую ситуацию, поскольку скорость теперь также прямо пропорциональна времени. Попробуйте сказать это словами, и это прозвучит нелепо. «Смещение прямо пропорционально времени и прямо пропорционально скорости, которая прямо пропорциональна времени.”Время удваивается, поэтому смещение пропорционально квадрату времени. Автомобиль, ускоряющийся в течение двух секунд, преодолеет в четыре раза расстояние, превышающее расстояние автомобиля, ускоряющегося всего за одну секунду (2 2 = 4). Автомобиль, ускоряющийся в течение трех секунд покрыли бы расстояние в девять раз больше (3 2 = 9).

Если бы это было так просто. Этот пример работает, только когда начальная скорость равна нулю. Смещение пропорционально квадрату времени, когда ускорение постоянное, а начальная скорость равна нулю.Истинное общее утверждение должно учитывать любую начальную скорость и то, как она менялась. Это приводит к ужасно запутанному утверждению соразмерности. Смещение прямо пропорционально времени и пропорционально квадрату времени, когда ускорение постоянно. Функция, которая является одновременно линейной и квадратной, называется квадратичной , что позволяет нам значительно сжать предыдущее утверждение. Смещение является квадратичной функцией времени при постоянном ускорении

Формулировки пропорциональности полезны, но не столь общие, как уравнения.Мы до сих пор не знаем, каковы константы пропорциональности для этой проблемы. Один из способов понять их – использовать алгебру.

Начнем с определения средней скорости.

Расширить ∆ с до с с 0 и сжать ∆ t до t .

Решите для позиции.

с = с 0 + vt [a]

Чтобы продолжить, нам нужно прибегнуть к небольшому трюку, известному как теорема о средней скорости или правило Мертона .Я предпочитаю второй вариант, поскольку правило может применяться к любой величине, которая изменяется с одинаковой скоростью, а не только к скорости. Правило Мертона было впервые опубликовано в 1335 году в Мертон-колледже, Оксфорд, английским философом, математиком, логиком и калькулятором Уильямом Хейтсбери (1313–1372). Когда скорость изменения величины постоянна, ее среднее значение находится на полпути между ее конечным и начальным значениями.

v = ½ ( v + v 0 ) [4]

Подставьте первое уравнение движения [1] в это уравнение [4] и упростите, чтобы исключить v .

v = ½ [( v 0 + при ) + v 0 ]

v = ½ (2 v 0 + при )

v = v 0 + ½ at [b]

Теперь замените [b] на [a], чтобы исключить v [vee bar].

с = с 0 + ( v 0 + ½ при ) t

И, ​​наконец, найдите s как функцию от t .

с = с 0 + v 0 t + ½ при 2 [2]

Это второе уравнение движения . Он записывается как полином – постоянный член ( s 0 ), за которым следует член первого порядка ( v 0 t ), за которым следует член второго порядка (½ при 2 ). Поскольку наивысший порядок равен 2, правильнее называть его квадратичным .

Символ s 0 [ess naught] часто рассматривается как начальная позиция . Обозначение s – это позиция через некоторое время t . Если хотите, вы можете называть ее конечной позицией . Изменение положения (∆ s ) называется смещением или расстоянием (в зависимости от обстоятельств), и некоторые люди предпочитают писать второе уравнение движения таким образом.

с = v 0 t + ½ при 2 [2]

скорость-позиция

Каждое из первых двух уравнений движения описывает одну кинематическую переменную как функцию времени.По сути…

  1. Скорость прямо пропорциональна времени при постоянном ускорении ( v t ).
  2. Смещение пропорционально квадрату времени при постоянном ускорении (∆ с т 2 ).

Объединение этих двух утверждений дает начало третьему, не зависящему от времени. При замене должно быть очевидно, что…

  1. Смещение пропорционально квадрату скорости при постоянном ускорении (∆ с v 2 ).

Это утверждение особенно важно для безопасности вождения. Когда вы вдвое увеличиваете скорость автомобиля, требуется в четыре раза больше расстояния, чтобы его остановить. Увеличьте скорость втрое, и вам понадобится в девять раз больше расстояния. Это хорошее практическое правило, которое следует запомнить.

Концептуальное введение сделано. Пришло время вывести формальное уравнение.

метод 1

Объедините первые два уравнения таким образом, чтобы исключить время как переменную. Самый простой способ сделать это – начать с первого уравнения движения…

v = v 0 + на [1]

решить на время…

и подставляем во второе уравнение движения…

с = с 0 + v 0 t + ½ при 2 [2]

нравится…

с = с 0 + с 0

в в 0

+ ½ а

в в 0 2

а а
с с 0 = vv 0 v 0 2 + v 2 -2 vv 0 + v 0 2
а 2 а
2 a ( с с 0 ) = 2 ( vv 0 v 0 2 ) + ( v 2 – 2 vv 0 + v 0 2 )
2 a ( с с 0 ) = v 2 v 0 2

Возведите объект в квадрат скорости, и все готово.

v 2 = v 0 2 + 2 a ( s s 0 ) [3]

Это третье уравнение движения . Еще раз, символ s 0 [ess naught] – это начальная позиция , , а s, – это позиция через некоторое время t позже. Если вы предпочитаете, вы можете написать уравнение, используя ∆ s – изменение положения , смещение или расстояние в зависимости от ситуации.

v 2 = v 0 2 + 2 a s [3]

метод 2

Более сложный способ вывести это уравнение – начать со второго уравнения движения в этой форме…

с = v 0 t + ½ при 2 [2]

и решите ее на время. Это непростая работа, поскольку уравнение квадратично. Переставьте термины так…

½ при 2 + v 0 t – ∆ s = 0

и сравните его с общей формой квадратичной.

ось 2 + bx + c = 0

Решение этого дается известным уравнением…

x = b ± √ ( b 2 – 4 ac )
2 а

Замените символы в общем уравнении эквивалентными символами из нашего преобразованного второго уравнения движения…

т = v 0 ± √ [ v 0 2 – 4 (½ a ) (∆ s )]
2 (½ a )

почисти немного…

т = v 0 ± √ ( v 0 2 – 2 a s )
а

, а затем подставьте его обратно в первое уравнение движения.

v = v 0 + на [1]

v = v 0 + a

v 0 ± √ ( v 0 2 – 2 a s )

а

Материал отменяется, и мы получаем это…

v = ± √ ( v 0 2 + 2 a с )

Выровняйте обе стороны, и все готово.

v 2 = v 0 2 + 2 a s [3]

Это было не так уж и плохо, не так ли?

исчисления выводов

Исчисление – это сложная математическая тема, но она значительно упрощает вывод двух из трех уравнений движения. По определению, ускорение – это первая производная скорости по времени. Возьмите операцию в этом определении и отмените ее. Вместо того, чтобы дифференцировать скорость, чтобы найти ускорение, интегрируйте ускорение, чтобы найти скорость.Это дает нам уравнение скорость-время. Если предположить, что ускорение постоянное, мы получим так называемое первое уравнение движения [1].

а =
дв = и ДТ
=
v v 0 = при
в = v 0 + при [1]

Опять же, по определению, скорость – это первая производная положения по времени.Выполните эту операцию в обратном порядке. Вместо того, чтобы различать положение для определения скорости, интегрируйте скорость, чтобы найти положение. Это дает нам уравнение положения-времени для постоянного ускорения, также известное как второе уравнение движения [2].

в =
DS = v dt
DS = ( v 0 + at ) dt
=
т

( v 0 + на ) dt
0
с с 0 = v 0 t + ½ при 2
с = с 0 + v 0 t + ½ при 2 [2]

В отличие от первого и второго уравнений движения, нет очевидного способа вывести третье уравнение движения (то, которое связывает скорость с положением) с помощью расчетов.Мы не можем просто перепроектировать это по определению. Нам нужно разыграть довольно изощренный трюк.

Первое уравнение движения связывает скорость со временем. По сути, мы вывели его из этой производной…

Второе уравнение движения связывает положение со временем. Это произошло от этой производной…

Третье уравнение движения связывает скорость с положением. По логике, это должно происходить от производной, которая выглядит так…

Но что это значит? Ну, ничего по определению, но, как и все количества, оно равно самому себе.Он также равен самому себе, умноженному на 1. Мы будем использовать специальную версию 1 ( dt dt ) и специальную версию алгебры (алгебра с бесконечно малыми). Посмотрите, что происходит, когда мы это делаем. Мы получаем одну производную, равную ускорению ( dv dt ), и другую производную, равную обратной скорости ( dt ds ).

дв = дв 1
DS DS
дв = дв дт
DS DS дт
дв = дв дт
DS дт DS
дв = а 1
DS в

Следующий шаг, разделение переменных.Соберите вместе похожие вещи и интегрируйте их. Вот что мы получаем при постоянном ускорении…

=
в дв = и DS
=
½ ( v 2 v 0 2 ) = a ( с с 0 )
в 2 = v 0 2 + 2 a ( s s 0 ) [3]

Безусловно, умное решение, и оно было не так уж сложно, чем первые два варианта.Однако на самом деле это сработало только потому, что ускорение было постоянным – постоянным во времени и постоянным в пространстве. Если бы ускорение каким-либо образом изменилось, этот метод был бы неудобно трудным. Мы вернемся к алгебре, чтобы спасти наше здравомыслие. Не то чтобы в этом что-то не так. Алгебра работает, а здравомыслие стоит сэкономить.

v = v 0 + при [1]
+
с = с 0 + v 0 t + ½ при 2 [2]
=
v 2 = v 0 2 + 2 a ( s s 0 ) [3]

9.2 Механическая энергия и сохранение энергии – Физика

Цели обучения секции

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Объясните закон сохранения энергии в терминах кинетической и потенциальной энергии
  • Выполните вычисления, связанные с кинетической и потенциальной энергией. Применить закон сохранения энергии

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:

  • (6) Научные концепции.Учащийся знает, что в физической системе происходят изменения, и применяет законы сохранения энергии и количества движения. Ожидается, что студент:
    • (B) исследовать примеры кинетической и потенциальной энергии и их преобразований;
    • (D) демонстрируют и применяют законы сохранения энергии и сохранения количества движения в одном измерении.

Кроме того, Руководство лаборатории по физике для старших классов рассматривает содержание этого раздела лаборатории под названием «Работа и энергия», а также следующие стандарты:

  • (6) Научные концепции.Учащийся знает, что в физической системе происходят изменения, и применяет законы сохранения энергии и количества движения. Ожидается, что студент:
    • (В) исследовать примеры кинетической и потенциальной энергии и их превращений;
    • (D) продемонстрировать и применить законы сохранения энергии и сохранения количества движения в одном измерении.

Раздел Основные термины

Закон сохранения энергии

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] Начните с выделения механической энергии из других форм энергии.Объясните, почему общее определение энергии как способности выполнять работу имеет смысл с точки зрения любой из форм механической энергии. Обсудите закон сохранения энергии и развейте любые заблуждения, связанные с этим законом, такова идея о том, что движущиеся объекты просто естественным образом замедляются. Определите тепло, выделяемое трением, как обычное объяснение явных нарушений закона.

[AL] Начните обсуждение о том, как другие полезные формы энергии также превращаются в потраченное впустую тепло, например свет, звук и электричество.Постарайтесь научить студентов понимать тепло и температуру на молекулярном уровне. Объясните, что энергия, теряемая на трение, действительно преобразует кинетическую энергию на макроскопическом уровне в кинетическую энергию на атомном уровне.

Механическая энергия и сохранение энергии

Ранее мы видели, что механическая энергия может быть потенциальной или кинетической. В этом разделе мы увидим, как энергия преобразуется из одной из этих форм в другую. Мы также увидим, что в замкнутой системе сумма этих форм энергии остается постоянной.

Немного потенциальной энергии получает автомобиль с американскими горками и его пассажиры, когда они поднимаются на вершину первого холма. Помните, что часть термина с потенциалом означает, что энергия была сохранена и может быть использована в другое время. Вы увидите, что эту накопленную энергию можно либо использовать для работы, либо преобразовать в кинетическую энергию. Например, когда объект, обладающий гравитационной потенциальной энергией, падает, его энергия преобразуется в кинетическую энергию.Помните, что и работа, и энергия выражаются в джоулях.

Вернитесь к Рисунку 9.3. Объем работы, необходимой для подъема телевизора из точки A в точку B, равен количеству потенциальной энергии гравитации, которую телевизор получает от его высоты над землей. Обычно это верно для любого объекта, поднятого над землей. Если вся работа, выполняемая над объектом, используется для поднятия объекта над землей, объем работы равен приросту объекта в потенциальной энергии гравитации. Однако обратите внимание, что из-за работы, выполняемой трением, эти преобразования энергия-работа никогда не бывают идеальными.Трение вызывает потерю некоторой полезной энергии. В следующих обсуждениях мы будем использовать приближение, согласно которому преобразования происходят без трения.

Теперь посмотрим на американские горки на рис. 9.6. Была проделана работа на американских горках, чтобы добраться до вершины первого подъема; в этот момент американские горки обладают гравитационной потенциальной энергией. Он движется медленно, поэтому обладает небольшой кинетической энергией. Когда автомобиль спускается по первому склону, его PE преобразуется в KE .В нижней точке большая часть оригинального PE была преобразована в KE , и скорость максимальна. По мере того, как автомобиль движется по следующему склону, часть KE превращается обратно в PE , и автомобиль замедляется.

Рис. 9.6. Во время этой поездки на американских горках происходит преобразование потенциальной энергии в кинетическую.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[OL] [AL] Спросите, имеют ли смысл определения энергии для класса, и постарайтесь выявить любые выражения недоумения или неправильных представлений.Помогите им совершить логический скачок: если энергия – это способность выполнять работу, логично, что она выражается в одной и той же единице измерения. Попросите учащихся назвать все возможные формы энергии. Спросите, помогает ли это им понять природу энергии. Спросите, есть ли у них проблемы с пониманием того, как могут работать некоторые формы энергии, например солнечный свет.

[BL] [OL] Вы можете ввести понятие контрольной точки как начальной точки движения. Свяжите это с началом координатной сетки.

[BL] Дайте понять, что энергия – это другое свойство с разными единицами, нежели сила или мощность.

[OL] Помогите учащимся понять, что скорость, с которой доставляется телевизор, не входит в расчет PE . Предполагается, что скорость постоянна. Любой KE из-за увеличения скорости подачи будет потерян при остановке движения.

[BL] Убедитесь, что есть четкое понимание различия между кинетической и потенциальной энергией, а также между скоростью и ускорением.Объясните, что слово потенциал означает, что энергия доступна, но это не означает, что имеет для использования или будет использоваться .

Virtual Physics

Energy Skate Park Basics

Это моделирование показывает взаимосвязь кинетической и потенциальной энергии в сценарии, аналогичном американским горкам. Наблюдайте за изменениями в KE и PE , щелкая по полям гистограммы. Также попробуйте три скейт-парка разной формы.Перетащите фигуриста на дорожку, чтобы запустить анимацию.

Проверка захвата

Это моделирование (http://phet.colorado.edu/en/simulation/energy-skate-park-basics) показывает, как связаны кинетическая и потенциальная энергии, в сценарии, аналогичном американским горкам. Наблюдайте за изменениями в KE и PE, нажимая на поля гистограммы. Также попробуйте три скейт-парка разной формы. Перетащите фигуриста на дорожку, чтобы запустить анимацию. Гистограммы показывают, как KE и PE преобразуются взад и вперед.Какое утверждение лучше всего объясняет, что происходит с механической энергией системы при увеличении скорости?
  1. Механическая энергия системы увеличивается при отсутствии потерь энергии из-за трения. Энергия преобразуется в кинетическую при увеличении скорости.
  2. Механическая энергия системы остается постоянной при условии отсутствия потерь энергии из-за трения. Энергия преобразуется в кинетическую при увеличении скорости.
  3. Механическая энергия системы увеличивается при отсутствии потерь энергии из-за трения. Энергия преобразуется в потенциальную при увеличении скорости.
  4. Механическая энергия системы остается постоянной при условии отсутствия потерь энергии из-за трения. Энергия преобразуется в потенциальную при увеличении скорости.
Teacher Support
Teacher Support

На этой анимации показаны преобразования между KE и PE , а также изменение скорости в процессе.Позже мы можем вернуться к анимации, чтобы увидеть, как трение преобразует часть механической энергии в тепло и как сохраняется общая энергия.

На настоящих американских горках бывает много взлетов и падений, и каждый из них сопровождается переходами между кинетической и потенциальной энергией. Предположим, что на трение не теряется энергия. В любой момент поездки общая механическая энергия одинакова и равна энергии, которую автомобиль имел на вершине первого подъема. Это результат закона сохранения энергии, который гласит, что в замкнутой системе сохраняется полная энергия, то есть она постоянна.Используя индексы 1 и 2 для обозначения начальной и конечной энергии, этот закон выражается как

KE1 + PE1 = KE2 + PE2.KE1 + PE1 = KE2 + PE2.

Любая сторона равна общей механической энергии. Фраза в закрытой системе означает, что мы предполагаем, что энергия не теряется в окружающую среду из-за трения и сопротивления воздуха. Если мы проводим расчеты для плотных падающих объектов, это хорошее предположение. Для американских горок это предположение вносит некоторую неточность в расчет.

Расчеты с использованием механической энергии и сохранения энергии

Советы для успеха

При расчете работы или энергии используйте метры для расстояния, ньютоны для силы, килограммы для массы и секунды для времени. Это гарантирует, что результат будет выражен в джоулях.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL] [OL] Поразите ученикам значительный объем работы, необходимой для того, чтобы привести автомобиль-американские горки к вершине первой, самой высокой точки.Сравните это с объемом работы, который потребуется, чтобы подняться на вершину американских горок. Спросите учащихся, почему они могут чувствовать усталость, если им пришлось идти или взбираться на вершину американских горок (они должны использовать энергию, чтобы приложить силу, необходимую для перемещения их тела вверх против силы тяжести). Убедитесь, что учащиеся могут правильно предсказать, что отношение массы автомобиля к массе человека будет соотношением проделанной работы и полученной энергии (например, если масса автомобиля в 10 раз больше массы человека, объем работы, необходимый для переместить машину на вершину холма будет в 10 раз больше работы, необходимой для подъема на холм).

Watch Physics

Сохранение энергии

В этом видео обсуждается преобразование PE в KE и сохранение энергии. Сценарий очень похож на американские горки и скейт-парк. Это также хорошее объяснение изменений энергии, изученных в лаборатории моментальных снимков.

Teacher Support
Teacher Support

Прежде чем показывать видео, просмотрите все уравнения, включающие кинетическую и потенциальную энергию и сохранение энергии.Также убедитесь, что учащиеся имеют качественное представление о происходящем преобразовании энергии. Вернитесь в лабораторию моментальных снимков и лабораторию моделирования.

Проверка захвата

Вы ожидали, что скорость внизу склона будет такой же, как при падении объекта прямо вниз? Какое утверждение лучше всего объясняет, почему это не совсем так в реальных жизненных ситуациях?

  1. Скорость была такой же в сценарии в анимации, потому что объект скользил по льду, где есть большое трение.В реальной жизни большая часть механической энергии теряется в виде тепла из-за трения.
  2. Скорость была такой же в сценарии анимации, потому что объект скользил по льду, где есть небольшое трение. В реальной жизни большая часть механической энергии теряется в виде тепла из-за трения.
  3. Скорость была такой же в сценарии анимации, потому что объект скользил по льду, где есть большое трение.В реальной жизни механическая энергия не теряется из-за сохранения механической энергии.
  4. Скорость была такой же в сценарии анимации, потому что объект скользил по льду, где есть небольшое трение. В реальной жизни механическая энергия не теряется из-за сохранения механической энергии.

Рабочий пример

Применение закона сохранения энергии

Камень весом 10 кг падает с обрыва высотой 20 м.Какова кинетическая и потенциальная энергия при падении камня на 10 м?

Стратегия

Выберите уравнение.

KE1 + PE1 = KE2 + PE2KE1 + PE1 = KE2 + PE2

9,4

КЕ = 12мв2; PE = mghKE = 12мв2; PE = mgh

9,5

12mv12 + mgh2 = 12mv22 + mgh312mv12 + mgh2 = 12mv22 + mgh3

9,6

Перечислите известные.

м = 10 кг, v 1 = 0, г = 9,80

h 1 = 20 м, h 2 = 10 м

Определите неизвестное.

KE 2 и PE 2

Подставьте известные значения в уравнение и решите относительно неизвестных переменных.

Решение

PE2 = mgh3 = 10 (9,80) 10 = 980 JPE2 = mgh3 = 10 (9,80) 10 = 980 Дж

9,8

KE2 = PE2− (KE1 + PE1) = 980 – {[0− [10 (9.80) 20]]} = 980 JKE2 = PE2− (KE1 + PE1) = 980 – {[0− [10 (9.80) 20] ]} = 980 Дж

9,9

Обсуждение

В качестве альтернативы уравнение сохранения энергии может быть решено для v 2 и KE 2 .Обратите внимание, что м также могут быть исключены.

Советы для успеха

Обратите внимание, что мы можем решить многие проблемы, связанные с преобразованием между KE и PE , не зная массы рассматриваемого объекта. Это потому, что кинетическая и потенциальная энергия пропорциональны массе объекта. В ситуации, когда KE = PE , мы знаем, что м g h = (1/2) м v 2 .

Разделив обе стороны на м и переставив, получим соотношение

2 g h = v 2 .

Поддержка учителя

Поддержка учителя

Кинетическая и потенциальная энергия пропорциональны массе объекта. В ситуации, когда KE = PE , мы знаем, что м g h = (1/2) м v 2 .Разделив обе стороны на м и переставив, получим соотношение 2 g h = v 2 .

Практические задачи

5.

Ребенок скатывается с детской горки. Если высота горки 3 м, а вес ребенка 300 Н, сколько потенциальной энергии находится у ребенка в верхней части горки? (Круглый г до 10 м / с 2,10 м / с2.)

  1. 0 Дж
  2. 100 Дж
  3. 300 Дж
  4. 900 Дж
6.

Яблоко на яблони весом 0,2 кг имеет потенциальную энергию 10 Дж. Оно падает на землю, превращая весь свой PE в кинетическую энергию. Какова скорость яблока перед тем, как оно упадет на землю?

  1. 0 м / с
  2. 2 м / с
  3. 10 м / с
  4. 50 м / с

Snap Lab

Преобразование потенциальной энергии в кинетическую

В этом упражнении вы рассчитаете потенциальную энергию объекта и спрогнозируете скорость объекта, когда вся эта потенциальная энергия будет преобразована в кинетическую энергию.Затем вы проверите свой прогноз.

Вы будете сбрасывать предметы с высоты. Обязательно держитесь на безопасном расстоянии от края. Не наклоняйтесь слишком далеко через перила. Убедитесь, что вы не роняете предметы в место, где проезжают люди или автомобили. Убедитесь, что падающие предметы не вызовут повреждений.

Вам понадобится:

Материалы для каждой пары учеников:

  • Четыре шарика (или аналогичные маленькие плотные предметы)
  • Секундомер

Материалы для класса:

  • Метрическая рулетка достаточной длины для измерения выбранной высоты
  • Шкала

Инструкции

Порядок действий

  1. Работа с партнером.Найдите и запишите массу четырех маленьких плотных объектов в каждой группе.
  2. Выберите место, где предметы можно будет безопасно сбросить с высоты не менее 15 метров. Хорошо подойдет мост через воду с безопасной пешеходной дорожкой.
  3. Измерьте расстояние, на которое упадет объект.
  4. Рассчитайте потенциальную энергию объекта перед тем, как его уронить, используя PE = м г ч = (9.80) мч.
  5. Предскажите кинетическую энергию и скорость объекта, когда он приземлится, используя PE = KE и, следовательно, mgh = mv22; v = 2 (9.80) h = 4.43h.mgh = mv22; v = 2 (9.80) h = 4.43h.
  6. Один партнер роняет предмет, а другой измеряет время, необходимое для его падения.
  7. По очереди будьте капельницей и таймером, пока не сделаете четыре измерения.
  8. Усредните ваше падение, умноженное на, и рассчитайте скорость объекта, когда он приземлился, используя v = a t = g t = (9.80) t .
  9. Сравните ваши результаты с вашим прогнозом.
Поддержка учителя
Поддержка учителя

Перед тем, как учащиеся приступят к лабораторной работе, найдите ближайшее место, где предметы можно безопасно уронить с высоты не менее 15 м.

По мере того, как учащиеся работают в лаборатории, предложите партнерам по лаборатории обсудить свои наблюдения. Поощряйте их обсуждать различия в результатах между партнерами. Спросите, есть ли какая-то путаница в используемых ими уравнениях и кажутся ли они верными на основе того, что они уже узнали о механической энергии.Попросите их обсудить эффект сопротивления воздуха и то, как плотность связана с этим эффектом.

Проверка захвата

Эксперименты Галилея доказали, что, вопреки распространенному мнению, тяжелые предметы не падают быстрее легких. Как уравнения, которые вы использовали, подтверждают этот факт?

  1. Тяжелые объекты не падают быстрее, чем легкие, потому что при сохранении механической энергии системы член массы аннулируется, и скорость не зависит от массы.В реальной жизни изменение скорости различных объектов наблюдается из-за ненулевого сопротивления воздуха.
  2. Тяжелые объекты не падают быстрее легких, потому что при сохранении механической энергии системы массовый член не отменяется, а скорость зависит от массы. В реальной жизни изменение скорости различных объектов наблюдается из-за ненулевого сопротивления воздуха.
  3. Тяжелые объекты не падают быстрее, чем легкие, потому что при сохранении механической энергии в системе массовый член аннулируется, и скорость не зависит от массы.В реальной жизни изменение скорости различных объектов наблюдается из-за нулевого сопротивления воздуха.
  4. Тяжелые объекты не падают быстрее легких, потому что при сохранении механической энергии системы массовый член не отменяется, а скорость зависит от массы. В реальной жизни изменение скорости различных объектов наблюдается из-за нулевого сопротивления воздуха.

Проверьте свое понимание

7.

Опишите преобразование между формами механической энергии, которое происходит с падающим парашютистом перед раскрытием его парашюта.

  1. Кинетическая энергия преобразуется в потенциальную.
  2. Потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию.
  3. Работа превращается в кинетическую энергию.
  4. Кинетическая энергия превращается в работу.
8.

Верно или неверно. Если камень подбросить в воздух, увеличение высоты увеличит кинетическую энергию камня, а затем увеличение скорости при падении на землю увеличит его потенциальную энергию.

  1. Истинно
  2. Ложь
9.

Определите эквивалентные термины для накопленной энергии и энергии движения .

  1. Накопленная энергия – это потенциальная энергия, а энергия движения – это кинетическая энергия.
  2. Энергия движения – это потенциальная энергия, а запасенная энергия – это кинетическая энергия.
  3. Запасенная энергия – это потенциальная, а также кинетическая энергия системы.
  4. Энергия движения – это потенциальная, а также кинетическая энергия системы.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Используйте вопросы «Проверьте свое понимание», чтобы оценить достижения учащимися учебных целей раздела. Если учащиеся не справляются с какой-либо конкретной целью, «Проверьте свое понимание» поможет определить, какая из них, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

Квадратичные уравнения – Квадратные уравнения Как решить

Льюис Мулатеро, Getty Images

  • Математик из Университета Карнеги-Меллона разработал более простой способ решения квадратных уравнений.
  • Математик надеется, что этот метод поможет учащимся избежать запоминания бестолковых формул .
  • Его секрет в том, чтобы обобщить два корня вместе вместо того, чтобы хранить их как отдельные ценности.

    Математик вывел более простой способ для решения задач с квадратными уравнениями, согласно MIT’s Technology Review .

    Вы любите сложные математические задачи. И мы тоже. Решим их вместе.

    Квадратные уравнения – это многочлены, содержащие x², и учителя используют их, чтобы научить студентов находить два решения одновременно. Новый процесс, разработанный доктором По-Шен Ло из Университета Карнеги-Меллона, обходит традиционные методы, такие как завершение квадрата, и превращает поиск корней в более простую вещь, включающую меньшее количество шагов, которые также являются более интуитивными.

    Вот поясняющее видео доктора Ло:

    Этот контент импортирован с YouTube. Вы можете найти тот же контент в другом формате или найти дополнительную информацию на их веб-сайте.

    Квадратные уравнения попадают в интересную дыру в образовании. Студенты изучают их, начиная с классов алгебры или предалгебры, но они представляют собой скучные примеры, которые очень легко работают с целочисленными решениями. То же самое происходит с теоремой Пифагора, где в школе большинство примеров заканчиваются решением троек Пифагора , небольшого набора целочисленных значений, которые четко работают в теореме Пифагора.

    Этот контент импортирован из {embed-name}. Вы можете найти тот же контент в другом формате или найти дополнительную информацию на их веб-сайте.

    Квадратные уравнения – это полиномы, означающие цепочки математических терминов. Выражение типа «x + 4» является многочленом. У них может быть одна или несколько переменных в любой комбинации, и их величина определяется тем, в какой степени они принимают переменные. Итак, x + 4 – это выражение, описывающее прямую линию, а (x + 4) ² – это кривая.

    Поскольку линия только один раз пересекает любую конкретную широту или долготу, ее решение – только одно значение. Если у вас x², это означает два корневых значения в форме круга или дуги, образующей два пересечения.

    Росс Мантл

    Метод доктора Ло, которым он также подробно поделился на своем веб-сайте, использует идею двух корней каждого квадратного уравнения, чтобы упростить получение этих корней. Он понял, что может описать два корня квадратного уравнения таким образом: вместе они получают среднее значение до определенного значения, а затем существует значение z, которое показывает любое дополнительное неизвестное значение.Вместо того чтобы искать два отдельных, разных значения, мы сначала ищем два идентичных значения. Это упрощает арифметическую часть умножения формулы.


    Популярная механика

    «Обычно, когда мы решаем задачу факторизации, мы пытаемся найти два числа, которые умножаются на 12 и складываются в 8», – сказал доктор Ло. Эти два числа являются решением квадратичной, но студентам требуется много времени, чтобы решить их, так как они часто используют подход «угадывай и проверяй».

    Вместо того, чтобы начинать с факторизации произведения 12, Loh начинает с суммы 8.

    Если два числа, которые мы ищем, сложенные вместе, равны 8, то они должны быть равноудалены от своего среднего значения. . Таким образом, числа могут быть представлены как 4 – u и 4 + u.

    Когда вы умножаете, средние члены сокращаются, и вы получаете уравнение 16 – u2 = 12. Решая для u, вы увидите, что каждое положительное и отрицательное 2 работает, и когда вы замените эти целые числа обратно в уравнения 4 – u и 4 + u, вы получите два решения, 2 и 6, которые решают исходное полиномиальное уравнение.

    Это быстрее, чем классический метод фольгирования, используемый в квадратной формуле, и здесь не требуется никаких предположений. —Кортни Линдер


    Доктор Ло считает, что студенты могут изучать этот метод более интуитивно, отчасти потому, что не требуется специальной, отдельной формулы. Если учащиеся могут вспомнить несколько простых обобщений о корнях, они смогут решить, куда идти дальше.


    Решите эти сложные головоломки

    SpeedRipper Кубик Рубика

    Кубик Рубика сводит людей с ума уже 40 лет.Попробуйте решить это самостоятельно или научитесь решать с помощью математики.

    Трехмерная головоломка Kanoodle

    Образовательные идеи amazon.com

    Имея всего 12 частей, но всего 200 задач, Kanoodle поразит детей и взрослых двумерными и трехмерными головоломками.

    Настольная игра Sagrada

    Игры Floodgate amazon.com

    В одной из лучших настольных игр года вы и еще до трех игроков пытаетесь создать витражи Храма Святого Семейства.

    Измерение трехмерной головоломки

    Темза и Космос amazon.com

    Эта динамичная трехмерная игра-головоломка сочетает в себе быстрое мышление, логику и удачу, чтобы складывать ваши сферы, чтобы заработать как можно больше очков.


    Это все еще сложно, но не так сложно, особенно если доктор Ло прав в том, что это облегчит понимание учащимися того, как работают квадратные уравнения и как они вписываются в математику.Понимание их является ключом к начальным идеям, например, о предварительном исчислении.

    За исключением примеров, готовых для использования в классе, квадратичный метод непрост. Реальные примеры и приложения беспорядочные, с уродливыми корнями из десятичных или иррациональных чисел. Будучи студентом, трудно понять, что вы нашли правильный ответ. Новый метод доктора Ло предназначен для реальной жизни, но он надеется, что он также поможет студентам почувствовать, что они в то же время лучше понимают квадратную формулу.

    Многие студенты-математики изо всех сил пытаются преодолеть пропасть в понимании между простыми примерами в классе и самим применением идей.Ло хочет построить для них мост получше.


    Теперь смотрите это:

    Этот контент создается и поддерживается третьей стороной и импортируется на эту страницу, чтобы помочь пользователям указать свои адреса электронной почты. Вы можете найти больше информации об этом и подобном контенте на сайте piano.io.

    .

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *