Механика релятивистская это: Релятивистская механика | это… Что такое Релятивистская механика?

Релятивистская механика | это… Что такое Релятивистская механика?

Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.

Содержание 1 Общие принципы 2 Второй закон Ньютона в релятивистской механике 3 Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике 4 Релятивистская частица как неголономная система 5 Источники 6 См. также 7 Литература

Общие принципы

Релятивистская механика — теория, в которой, в отличие от классической механики, где пространственные координаты и время являются независимыми, при отсутствии голономных связей зависящих от времени, (время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта) и действуют преобразования Галилея, события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца.

Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта.

Основные законы релятивистской механики — релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.

Сила определяется как , также известно выражение для релятивистского импульса:

Взяв для определения силы производную по времени от последнего выражения, получим:

где введены обозначения: и .

В результате выражение для силы приобретает вид:

Отсюда видно, что в релятивистской механике в отличие от нерелятивистского случая ускорение не обязательно направлено по силе, в общем случае ускорение имеет также и составляющую, направленную по скорости.

Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике

Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия: , где -положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) , подставляя в интеграл движения, находим: . Но, с другой стороны, интеграл движения, можно выразить через функцию Лагранжа: . Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть:

.

Далее, разложим последнее выражение по степеням , получим:

, первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: , нетрудно определить константу :

. Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы:

.

Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое.

Поскольку квадрат 4-вектора импульса является постоянной величиной:

то релятивистская частица может рассматриваться как механическая система с неголономной связью в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве^[1][2][3].

Источники

1. ↑ O. Krupková and J. Musilová, «The relativistic particle as a mechanical system with non-holonomic constraints», J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 3859-3876.
2. ↑ O. Krupkova, J. Musilova, «The relativistic mechanics in a nonholonomic setting: A unified approach to particles with non-zero mass and massless particles» arXiv:0904.2933.
3. ↑ V.E. Tarasov «Relativistic non-Hamiltonian mechanics» Annals of Physics. Vol.325. No.10.(2010) p.2103-2119.

См. также

• Специальная теория относительности
• Теория относительности
• Релятивистски равноускоренное движение

Литература

• Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
• Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 3-е, переработанное. — М.: Физматгиз, 1960. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II).
• Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

Релятивистская механика | это… Что такое Релятивистская механика?

Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.

Содержание 1 Общие принципы 2 Второй закон Ньютона в релятивистской механике 3 Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике 4 Релятивистская частица как неголономная система 5 Источники 6 См. также 7 Литература

Общие принципы

Релятивистская механика — теория, в которой, в отличие от классической механики, где пространственные координаты и время являются независимыми, при отсутствии голономных связей зависящих от времени, (время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта) и действуют преобразования Галилея, события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца.

Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта.

Основные законы релятивистской механики — релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.

Сила определяется как , также известно выражение для релятивистского импульса:

Взяв для определения силы производную по времени от последнего выражения, получим:

где введены обозначения: и .

В результате выражение для силы приобретает вид:

Отсюда видно, что в релятивистской механике в отличие от нерелятивистского случая ускорение не обязательно направлено по силе, в общем случае ускорение имеет также и составляющую, направленную по скорости.

Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике

Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия: , где -положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) , подставляя в интеграл движения, находим: . Но, с другой стороны, интеграл движения, можно выразить через функцию Лагранжа: . Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть:

.

Далее, разложим последнее выражение по степеням , получим:

, первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: , нетрудно определить константу :

. Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы:

.

Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое.

Поскольку квадрат 4-вектора импульса является постоянной величиной:

то релятивистская частица может рассматриваться как механическая система с неголономной связью в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве^[1][2][3].

Источники

1. ↑ O. Krupková and J. Musilová, «The relativistic particle as a mechanical system with non-holonomic constraints», J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 3859-3876.
2. ↑ O. Krupkova, J. Musilova, «The relativistic mechanics in a nonholonomic setting: A unified approach to particles with non-zero mass and massless particles» arXiv:0904.2933.
3. ↑ V.E. Tarasov «Relativistic non-Hamiltonian mechanics» Annals of Physics. Vol.325. No.10.(2010) p.2103-2119.

См. также

• Специальная теория относительности
• Теория относительности
• Релятивистски равноускоренное движение

Литература

• Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
• Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 3-е, переработанное. — М.: Физматгиз, 1960. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II).
• Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

1.3 Релятивистская механика

1.3 Релятивистская механика

Квантовая механика для инженеров   © Леон ван Доммелен

Далее: II. Базовая квантовая механика

---

Подразделы

---

1.3 Релятивистская механика

1.3.1 Введение в релятивистскую механику

Нерелятивистская механика часто основана на использовании потенциальной энергии для описания сил. Например, в типичном молекулярном расчет динамики, силы между молекулами выводятся от потенциала, который зависит от различий в положении между атомы. К сожалению, такое описание плохо работает в действительно релятивистский случай.

Основная проблема не сложна для понимания. Если потенциал зависит только от пространственной конфигурации участвующих атомов, то движение атома мгновенно влияет на все остальные. Теория относительности просто не может справиться с мгновенными эффектами; они должны быть ограничивается скоростью света или появляются серьезные проблемы. Это делает релятивистская механика сложнее.

Самый простой способ справиться с проблемой — посмотреть на коллизии между частицами. Прямые столкновения по своей сути избегают ошибочных действие на расстоянии. Они позволяют выполнять простую динамику без использование потенциала между частицами, который релятивистски подозреваемый.

Рисунок 1.3: Пример упругого столкновения, наблюдаемого разными наблюдателями.

В качестве первого примера рассмотрим две частицы одинаковой массы и противоположно направленные. скорости, которые сталкиваются, как показано в центре рисунка 1.3. Вы можете думать о частицах как о двух гелиевых атомы. Предполагается, что хотя скорость атомов может быть довольно высоко, столкновение происходит под достаточно малым углом, чтобы не возбуждать атомы. Иными словами, предполагается, что удар упругий.

Наблюдатель С видит, что столкновение совершенно симметрично. Независимо от механики фактического столкновения наблюдатель C видит в этом нет ничего плохого. Энергия атомов гелия одинакова после столкновения, как прежде. Кроме того, чистый линейный импульс был равен нулю до столкновения и все равно ноль после. И что бы немного угловой момент есть, он тоже остается таким же после столкновение.

Но теперь рассмотрим наблюдателя А, который движется горизонтально вместе с верхний атом гелия. Для этого наблюдателя верхний атом гелия опускается вертикально и отскакивает вертикально. Наблюдатель B движется вместе с нижний атом гелия в горизонтальном направлении и видит этот атом двигаться вертикально. Теперь рассмотрим преобразование Лоренца (1.7) вертикальной скорости верхнего атома как его видит наблюдатель А, в вертикальную скорость этого атома как увиденное наблюдателем Б:

Они разные! В частности, меньше, чем . Следовательно, если массы атомов гелия, наблюдатели воспринимают как свою массу покоя, линейный импульс будет не сохраняться. Например, наблюдатель А воспринимал бы сеть направленный вниз импульс перед столкновением, а сетка направлена ​​вверх линейный импульс после него.

Ясно, что сохранение линейного импульса — слишком фундаментальная концепция, чтобы быть выкинутым напрочь. Вместо этого наблюдатель А воспринимает массу движущейся массой является быстро движущийся низший атом, т.е. больше массы покоя на фактор Лоренца:

и это точно компенсирует более низкую вертикальную скорость в выражение для импульса. (Помните, что предполагалось, что столкновение происходит под малым углом, поэтому вертикальная скорость компоненты слишком малы, чтобы оказывать влияние на массы.)

Нетрудно понять, почему все так. нерелятивистское определение импульса допускает два правдоподобных обобщения на релятивистский случай:

Действительно, нерелятивистски все наблюдатели соглашаются относительно временных интервалов. Однако релятивистски возникает вопрос, правильное ли время дифференциал импульса воспринимается наблюдателем, или надлежащая разница во времени, воспринимаемая гипотетическим второй наблюдатель движется вместе с частицей.

Небольшое размышление показывает, что правильная разница во времени должна быть . Ведь после столкновений сумма импульсов должна быть таким же, как до них. Однако скорость Лоренца преобразование (1.7) показывает, что воспринимаемые скорости нелинейно преобразуются от одного наблюдателя к другому. Для нелинейного преобразование, нет оснований предполагать, что если импульсы после столкновение такие же, как и раньше для одного наблюдателя, они также для другого наблюдателя. С другой стороны, поскольку все наблюдатели согласны о правильных временных интервалах, импульс, основанный на правильном времени интервал преобразуется как , как позиция, и это линейно. Линейное преобразование гарантирует, что если наблюдатель А видит, что сумма импульсов совокупности частицы 1,2,… одинаковы до и после,

то же самое делает любой другой наблюдатель B:

Используя цепное правило дифференцирования, компоненты четырехвектор импульса можно записать как

(1. 14)

Компоненты могут быть записаны в той же форме, что и в нерелятивистский случай путем определения движущейся массы

(1.15)

Как насчет нулевой компоненты? Поскольку он тоже является частью закон сохранения, разумно говоря, он может быть только релятивистским эквивалент нерелятивистской кинетической энергии. Действительно, он равен за исключением тривиального коэффициента масштабирования 1, чтобы дать ему единицы импульс.

Рисунок 1.4: Совершенно неупругий удар.

Обратите внимание, что пока это указывает только на то, что разница между и дает кинетическую энергию. Это не означает, что само по себе также соответствует значимой энергии. Однако, есть прекрасный простой аргумент, показывающий, что действительно кинетическая энергия может быть преобразована в массу покоя [21]. Рассмотрим две одинаковые массы покоя, которые разгоняются до высокой скорости и затем заставили врезаться друг в друга лоб в лоб, как в левой части рисунок 1.4. В этом случае думайте о массах как о макроскопические объекты, так что тепловая энергия является осмысленным понятием для них. Предположим, что энергия столкновения настолько велика, что массы тают и сливаются без всякого отскока. По симметрии объединенные масса имеет нулевую скорость. Импульс сохраняется: чистый импульс был равен нулю перед столкновением, потому что массы были противоположны скорость, и она все еще равна нулю после столкновения. Все очень прямолинейный.

Но теперь рассмотрим то же столкновение с точки зрения секунды наблюдатель, который движется вверх медленно по сравнению с первым наблюдателем с небольшой скоростью. Здесь нет никакой относительности все; поднимаясь так медленно, второй наблюдатель видит почти то же самое вещь как первая, с одним отличием. Согласно второму наблюдатель, весь процесс столкновения, кажется, имеет небольшой нисходящий скорость . Две массы имеют небольшой наклон вниз скорость перед столкновением и масса после столкновения. Но тогда сохранение вертикального импульса неизбежно подразумевает

Значит, должна быть в два раза больше движущейся массы. Комбинированный отдых масса есть не сумма масс покоя, а движущиеся массы. Вся кинетическая энергия, переданная две массы превратились в дополнительную массу покоя в .

1.3.2 Лагранжева механика

Лагранжева механика может упростить многие сложные динамические задачи. Например, в этом разделе он используется для вывода релятивистской движение частицы в электромагнитном поле.

Рассмотрим сначала нерелятивистское движение частицы в электростатическое поле. Это важный случай для этой книги, потому что это хорошее приближение для электрона в атоме водорода. К описать такое чисто нерелятивистское движение, физики любят определять лагранжиан как

(1. 16)

где – масса частицы, ее скорость и его заряд, а потенциальная энергия за счет электростатическое поле, которое зависит от положения частицы. (Важно помнить, что лагранжиан математически должен рассматривать как функцию скорости и положения частицы. В то время как для данного движения положение и скорость, в свою очередь, функции времени, производные по времени должны быть реализованы через цепное правило, то есть с помощью полных производных лагранжиана.)

Затем физики определяют канонический или обобщенный импульс как частная производная лагранжиана по скорости. Ан произвольная компонента канонического импульса находится как

(1.17)

Это оказывается просто компонентом нормального импульс. Уравнения движения принимаются в виде

(1. 18)

который оказывается

Это просто второй закон Ньютона; левая сторона просто масса, умноженная на ускорение, в то время как в правой части минус пространственное производная потенциальной энергии дает силу. Это также может быть видно, что сумма кинетической и потенциальной энергии частицы остается постоянным, умножая уравнение Ньютона на и подведение итогов.

Поскольку лагранжиан — это всего лишь скаляр, его относительно просто вычислить. угадать его вид в релятивистском случае. Чтобы получить правильный импульс, просто замените кинетическую энергию обратным фактором Лоренца,

Для скоростей, малых по сравнению со скоростью света, двухчлен Тейлора серия показывает, что это эквивалентно плюс кинетической энергии. Константа не имеет значения, так как только производные от используются лагранжианы. Для любой скорости, большой или малой, каноническая импульс, определенный выше, создает релятивистский импульс, основанный на движущаяся масса как следует.

Часть потенциальной энергии лагранжиана немного сложнее. предыдущий раздел показал, что импульс является четырехвекторным, включая энергия. Следовательно, переход от одного наблюдателя к другому смешивает энергию и импульс нетривиально, точно так же, как он смешивает пространство и время. Что имеет последствия для энергосбережения. В классическом решении кинетическая энергия частицы может быть временно сохранена как электростатической потенциальной энергии и восстанавливается позже в неизменном виде. Но релятивистски кинетическая энергия, видимая одним наблюдателем, становится импульс, увиденный другим. Если этот импульс должен быть восстановлен нетронутыми позже, должно быть что-то вроде потенциального импульса. Поскольку импульс является вектором, очевидно, что потенциальный импульс должен быть: должно быть что-то вроде векторного потенциала.

Основываясь на этих аргументах, вы можете предположить, что лагранжиан должен быть чем-то вроде

(1. 19)

И это на самом деле правильно. Нулевая компонента потенциала четырехвектор – классический электростатический потенциал. Пространственный вектор называется «магнитным вектором потенциал».

Канонический импульс теперь

(1.20)

и это уже не просто нормальный импульс, , но включает магнитный векторный потенциал.

Лагранжевы уравнения движения становятся такими же, как и прежде, но после очистки и в векторном представлении {D.6}:

(1.21)

Правая часть этого уравнения движения называется уравнением Лоренца. сила. В ней называется электрическим полем и магнитное поле. Эти поля связаны с четырехвекторным потенциал как

где по определению

это векторный оператор, называемый набла или дел.

Конечно, если приведенный выше лагранжиан верен, он должен применяться ко всем наблюдателей, независимо от их относительного движения. В частности, все наблюдатели должны согласиться с тем, что так называемая акция интеграл является стационарным для того, как частица ходы, {A.1.3}, {D.3.1} Это требует, чтобы оно преобразовывалось по закону Лоренца трансформация.

(Чтобы понять почему, вспомним, что скалярные произведения одинаковы для всех наблюдателей, и что квадратный корень в лагранжиане (1.19) равен где правильный временной интервал равен одинаково для всех наблюдателей. Таким образом, действие одинаково для всех наблюдателей.)

Из преобразования Лоренца , то из электрического и магнитные поля могут быть найдены; это не Лоренц трансформация. Обратите внимание, что это предполагает, что может быть больше фундаментальный физически, чем более интуитивный электрический и магнитный поля. И это именно то, что более продвинутые квантовые механические шоу, глава 13. 1.

Можно отметить, что напряженность поля не меняется при «калибровочном преобразовании», которое модифицируется и превращается в

(1.22)

где – произвольная функция положения и времени. Этот на первый взгляд может показаться не более чем изящным математическим трюком. Но на самом деле, в продвинутой квантовой механике это имеет решающее значение, глава 7.3, {А.19.5}.

Энергия может быть найдена в соответствии с дополнением {A.1} как

Гамильтониан — это энергия, выраженная через каноническую импульс вместо ; это работает к

используя формулу, приведенную в обзорном подразделе. Гамильтониан имеет большое значение в квантовой механике.

---

Далее: II. Базовая квантовая механика

Инженерный колледж FAMU-FSU   Обработано с помощью l2h

Релятивистская квантовая механика

Релятивистская квантовая механика
Next: Геометрия пространства Up: РАЗГОННЫЙ НОСИТЕЛЬ Предыдущий: ПЕРЕНОС, ВЫЗВАННЫЙ УСКОРЕНИЕМ Нашей отправной точкой является нетривиальная релятивистская квантовая механика как выражается уравнением Клейна-Гордона

1

where k ² = k ² _x + k ² _y + m ² .

Цель состоит в том, чтобы вывести из этого уравнения носитель отпечатков гравитации со следующими тремя основные требования:

1. Отпечатки должны быть унесены развивающейся динамикой квантового механическая волновая функция.

2. Несмотря на то, что динамическая система характеризуется своей массой м , носитель и отпечатки должны , а не зависеть от этой массы, т.е. перевозчик должен быть независимым от k ² . Это требование аналогично классический, в котором мировая линия частицы не зависит от его масса.

3. При отсутствии гравитации носитель должен отдавать измеримую результаты (ожидаемые значения), которые инвариантны относительно бустов Лоренца и пространственно-временные переводы.

Теперь мы расширим эти три требования. В квантовой механике волновая функция играет роль, которая в Ньютоновская механика играется траекторией частицы или в релятивистской механики мировой линией частицы. Что волна функция должна также взять на себя задачу нести отпечатки поэтому гравитация является разумным требованием.

Благодаря опыту Брагинского-Дике-Этвеша движение тел в гравитационном поле не зависит от состава этих тел, в частности их массы. Следовательно, движение свободного частиц в пространстве-времени прослеживает истории частиц, детали которых зависят только от гравитационного окружения этих частиц, а не от их внутренней конституции (уникальность свободного падения, «слабая принцип эквивалентности»). Напомним суперпозицию различных волн функций (состояний) релятивистской частицы дает интерференцию полосы, которые действительно зависят от массы частицы (“несовместимость между квантом и принципом эквивалентности” [10]). Если задача о эти волновые функции должны служить носителями отпечатков гравитации, то, в отличие от классической механики, эти мешающие волновые функции плохо справлялись со своей задачей: они реагировали к наличию (или отсутствию) гравитации способом, который зависит от детали внутреннего состава (массы) частицы. Этот нарушило бы простоту, подразумеваемую правилом Брагинского-Дике-Этвеша. эксперимент. Таким образом, мы не будем рассматривать такие носители. Это устраняет любая квантово-механическая структура, основанная на энергии и импульсе собственные функции, поскольку дисперсионное соотношение E ² = m ² + p ² _z + p ² _y + р ² _x , из этих волн зависит от внутренней массы м .

Напомним, что импульс и энергия являются константами движения, что подразумевает существование локально инерциальной системы отсчета. Следовательно, требование 2. исключает инерциальных кадров как жизнеспособное пространство-время каркас для размещения любого квантово-механического носителя отпечатков гравитации. Требование 2. также исключает предложение использовать интерференционные полосы гравитационного эффекта Бома-Ахаранова нести отпечатки гравитации [11]. Это потому, что бахрома расстояние зависит от массы покоя квантово-механической частицы.

Требование 3. выражает тот факт, что квантовомеханический носитель должны оставаться неизменными при преобразованиях симметрии, которые характеризуют двумерное пространство-время. Открыто подавляя оставшиеся два пространственных размеров мы игнорируем необходимую вращательную симметрию. Шаги к исправление этого пренебрежения было предпринято в другом месте [13].

Теперь мы представим носитель, который удовлетворяет трем основным требования. Он находится в пространстве решений Клейна-Гордона, пространство-время домен пара кадров, ускоряющихся в в противоположных направлениях («фреймы Риндлера»). Эти кадры разделяют пространство-время в пару изометрических и ахронно связанных риндлеровских Сектора I и II ,

2

Предположим, что мы представляем произвольное решение уравнения КГ в виде сложного двухкомпонентного векторного разложения по нормальным модам

3

Это коррелированное («запутанное») состояние с двумя независимыми степени свобода. Дополнительно имеется поляризация степени свободы к пространственной степени свободы. Поляризационная степень свободы имеет двумерное пространство состояний ( C ² ), натянутых на два спинора. Два компонента спинора относятся к амплитуде волны при диаметрально противоположных событиях на Гиперповерхность Коши в Риндлере I и II соответственно. Пространственное ( ) степень свободы имеет государственное пространство ( ) который -размерный и который натянутые скалярными собственными функциями буста

4

решения волнового уравнения Риндлера

5

которое представляет собой уравнение, полученное путем применения преобразования координат Уравнение (2) к уравнению Клейна-Гордона (1).