Метод гаусса для матриц онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Метод Лагранжа и метод Гаусса

§

В этом и последующих пунктах существенно потребуется знание МЕТОДА ГАУССА преобразования систем линейных уравнений.

П

Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы

из предыдущих пунктов, и, временно выходя из круга поставленных в настоящем разделе задач, побробуем применить к ней метод Гаусса приведения к треугольному виду:

Обратим внимание на два обстоятельства: диагональные элементы последней матрицы совпадают с коэффициентами канонического вида квадратичной формы, а коэффициенты замены переменных, приводящей к этому каноническому виду, совпадают с элементами строк этой матрицы, если их разделить на соответствующие диагональные элементы. Возникает подозрение , что метод Лагранжа является «замаскированной» версией метода Гаусса. ♦

Для того, чтобы выяснить аналитический смысл преобразований по методу Лагранжа найдем правило формирования коэффициентов в первом шаге приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Пусть исходная квадратичная форма записана в виде

т.е. коэффициенты при смешанных произведениях переменных записаны с выделением множителя . После выделения полного квадрата, содержащего переменные :

в правой части тождества образовалась квадратичная форма , не содержащая . Она равна

Если теперь выписать матрицу этой квадратичной формы (она имеет порядок ), то ее элементы образуются по точно такому же правилу, как и коэффициенты матрицы, получающейся из матрицы в результате первого шага метода Гаусса.

Т

Теорема. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду эквивалентен методу Гаусса приведения матрицы

к треугольному виду.

Доказательство. Действительно, первый шаг прямого хода метода исключения переменных Гаусса преобразует матрицу следующим образом:

здесь

и предполагается, что . Видим, что формула формирования элементов матрицы

точно такая же, как и матрицы квадратичной формы . Более того, поскольку матрица симметрична ( ), то и только что полученная матрица оказывается симметричной. Если , то к этой новой матрице можно снова применить ту же процедуру, и т.д., и в конце концов придем к матрице первого порядка. Собирая все промежуточные результаты в одну матрицу, получим ее в треугольном виде

при условии, что ни одно из чисел на диагонали не обратилось в нуль:

Если теперь обратиться к методу Лагранжа, то увидим, что полученная матрица как раз и определяет замену переменных

приводящую квадратичную форму к каноническому виду:

            Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂

y₂ = a₁₂x₁ + a₂₂x₂

где у₁ и у₂ – координаты вектора  в базисе .

            Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х₁, х₂) = х₁у₁ + х₂у₂.

 

            Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х₁ их

2 – скалярное произведение .

            Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

            Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

            При переходе к новому базису от переменных х₁ и х₂ мы переходим к переменным  и . Тогда:

 

            Тогда .

Выражение  называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

 

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х₁, х

2) = 27.

 

Коэффициенты: а₁₁ = 27,   а₁₂ = 5,   а₂₂ = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 – )(3 – ) – 25 = 0

² – 30 + 56 = 0

₁ = 2;   ₂ = 28;

 

 

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17x² + 12xy + 8y² – 20 = 0.

 

Коэффициенты а₁₁ = 17,   а₁₂ = 6,   а₂₂ = 8.      А =

Составим характеристическое уравнение:

(17 – )(8 – ) – 36 = 0

136 – 8 – 17 + ² – 36 = 0

² – 25 + 100 = 0

₁ = 5,     ₂ = 20.

Итого:  – каноническое уравнение эллипса.

 

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

            Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим ₁ = 2, ₂ = 6.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m₁ = 1, получим  n₁ =

полагая m₂ = 1, получим  n₂ =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

 

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

            Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим ₁ = 1, ₂ = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m₁ = 1, получим  n₁ =

полагая m₂ = 1, получим  n₂ =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

 

            Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

4ху + 3у² + 16 = 0

 

Коэффициенты: a₁₁

= 0;    a₁₂ = 2;    a₂₂ = 3.

Характеристическое уравнение:

Корни: ₁ = -1,   ₂ = 4.

Для ₁ = -1                                          Для ₂ = 4

                                  

 

m₁ = 1;     n₁ = -0,5;                                 m₂ = 1;    n₂ = 2;

 

= (1; -0,5)                                            = (1; 2)

                                                

                             

Получаем:   -каноническое уравнение гиперболы.

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) миноры Δ_i положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки Δ_i чередуются, причём Δ₁ < 0. Здесь главными минорами матрицы A называются определители вида

Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

не является неотрицательно определённой — так как, например, (Mv,v) = − 2 для v = (0,1, − 1). В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.

Содержание  [убрать]

двойной дополненной матрицы – Google Suce

AllebildervideoSnewsmapsShoppingBücher

Sucoptionen

Как использовать двойной матрицу для решения 2 уравнения

Mathelpforum.com ›…› Advanced Algebra

40004 MATHHELPFORUM.com. решить оба уравнения сразу? Решите оба этих уравнения, работая с матрицей 2 на 4:

Ähnliche Fragen

Что такое расширенная матрица?

Что является примером расширенной матрицы?

Как узнать, расширена ли матрица?

Обратная матрица — двойная расширенная матрица | Математика, Алгебра – Showme

www.showme.com ›…

Обратная матрица – вдвойне дополненная матрица Cevdet Harun Boke – 6 октября 2012.

Bilder

Alle Anzeigen

All Anzeigen

40004 WHAR изменение базиса с использованием двойной расширенной матрицы всегда в . ..

math.stackexchange.com › вопросы › почему-есть-чан…

Изменение базисной матрицы с ei на fi имеет в качестве своих элементов скаляры aij такие, что fi=∑jaijej. Если связать ei со стандартным базисом …

Расширенная матрица — Википедия

en.wikipedia.org › wiki › Augmented_matrix

В линейной алгебре расширенная матрица — это матрица, полученная путем сложения столбцов двух заданных матрицы, обычно с целью выполнения тех же …

Пример 2: Решение системы двух уравнений с помощью расширенной матрицы …

www.youtube.com › смотреть

03.09.2012 · В этом видео показано, как решить систему уравнений с помощью расширенной матрицы в …
Dauer: 6:25
Прислан: 03.09.2012

Уравнения Ax = b и Ax* b* имеют одну и ту же матрицу A. Что …

holooly.com › … › Решения для химической инженерии

Какую двойную расширенную матрицу следует использовать при исключении, чтобы решить оба уравнения одновременно? Решите оба этих уравнения, работая с матрицей 2 на 4:

Alg 3. 4.3.3 Используйте двойную расширенную матрицу для поиска … – Vimeo

vimeo.com › Brent Bower › Videos Найдите обратную матрицу 3×3″.

16.11.2022 · Введем понятие расширенной матрицы. … Вторая строка – константы из второго уравнения с тем же размещением …

Урок Видео: Расширенные матрицы – Nagwa

www.nagwa.com › видео

15.11.2020 · В этом видео мы научимся интерпретировать расширенные матрицы и… Для второго уравнения…
Добавлено: 16:57
Прислано: 15.11.2020

Ähnlichesuchanfragen

Создать расширенный матричный калькулятор

Построить расширенный матричный калькулятор

Записать расширенный матричный калькулятор

Как сделать расширенную матрицу0003

Как решить расширенную матрицу

Матрица коэффициентов

Расширенная матрица коэффициентов

Система уравнений для калькулятора расширенной матрицы , легко обмениваясь онлайн-контентом всего одним щелчком мыши. Общаясь с другими и потребляя развлекательный контент, вы также можете обнаружить вредные нарративы, представляющие реальную угрозу.

Вот почему вице-президент по инженерным вопросам компании Pendulum Аммар Харис хочет, чтобы искусственный интеллект его компании помог клиентам лучше понять вредоносный контент, который создается о них в Интернете. Это виды лжи, которые часто быстро распространяются, как лесной пожар, в видео, аудио и тексте на платформах социальных сетей.

Как и в случае с лесными пожарами, раннее обнаружение вредоносного онлайн-повествования может стать ключом к устранению любых разрушительных последствий.

Pendulum является членом Начальная программа NVIDIA , которая помогает стартапам развиваться, предоставляя доступ к передовым технологиям и экспертам NVIDIA.

Речевой ИИ и НЛП для благополучия общества

Еще в 2021 году Сэм Кларк и Марк Листес основали Pendulum с целью помочь клиентам идентифицировать вредоносный контент. Деловые партнеры знали, что их платформа может применять искусственный интеллект для речи и обработку естественного языка (NLP) для защиты репутации в Интернете или даже для обеспечения безопасности персонала в режиме реального времени.

В течение следующего года команда инженеров разработала ряд систем искусственного интеллекта для обнаружения и описания вредоносных лжи, отравляющих благополучие глобального общества.

Сегодня платформа Pendulum делает недоступные ранее истории наконец-то доступными, несмотря на огромное количество данных, которые необходимо обработать. Инженеры Pendulum знакомы с проблемами поиска мультимедийных материалов.

 «Видео на YouTube, BitChute, Rumble и TikTok, не говоря уже о аудио в подкастах, было трудно найти и еще труднее поместить в контекст. Вот почему слишком часто в чужих подходах ищут только метаданные, а не фактический необработанный контент», — пояснил Харис.

Механизмы ИИ обнаруживают настоящую ложь

Как изменился ландшафт обработки данных? Используя ускоренный речевой ИИ и NLP, Pendulum Intelligence Explorer и Narrative Engine теперь позволяют проводить интеллектуальный глубокий поиск, чтобы найти иголку (вредный рассказ) в стоге сена огромных медиа-корпусов.

На самом деле, вы, вероятно, уже знакомы со многими случаями крупномасштабной лжи в Интернете и с тем, как они могут мутировать в Интернете. На сегодняшний день, например, движок Pendulum сосредоточился на следующем:

• Ложная информация о знаменитостях
• Физические угрозы в отношении сотрудников компании
• Заговоры о задержках в цепочке поставок
• Дезинформация о вакцине против COVID-19
• Дезинформация о войне в Украине
• Недавняя попытка причинить вред на ЧМ-2022

Рисунок 1. Интерактивная информационная панель Pendulum, показывающая рассказы о вакцинах против COVID

На рисунке 1 показано, что Pendulum идентифицировал 3360 видеороликов, что составляет 38 миллионов просмотров, что, вероятно, подтверждает ложное представление о том, что вакцины против COVID изменяют вашу ДНК. Из них 1600 видео по-прежнему доступны на платформе, что на дату написания статьи набрало 16 миллионов просмотров. Ложные нарративы — это круги во времени, размер которых соответствует количеству просмотров.

Как Narrative Engine обнаруживает эти нарративы в сети и генерирует оповещения? Компания Pendulum разработала автоматизированный метод обнаружения и классификации каналов YouTube, способный расшифровывать десятки тысяч видео каждый день, главным образом путем анализа текста, расшифрованного с помощью автоматического распознавания речи (ASR).

Механизм прочесывает текст, ища миллиарды элементов для вспомогательных данных в виде диалогов, речей, подкастов и разговорных дорожек, в значительной степени независимо от типа медиа или платформы социальных сетей. Затем интересующий контент помечается, чтобы предупредить клиента о любых выявленных рисках или тенденциях.

Технология, лежащая в основе решения

Скорость обработки ASR может стать проблемой, если реализация на основе графического процессора не сможет справиться с пропускной способностью. NVIDIA Riva Enterprise имела смысл для Pendulum и оказалась отличным решением.

«Расшифровки более точны, чем другие облачные сервисы, которые мы оценивали, обеспечивая при этом более высокую пропускную способность и меньшую стоимость», — сказал Харис.

Благодаря диаграммам Riva Helm команде инженеров не приходилось иметь дело с большими накладными расходами во время настройки. Им удалось быстро довести до ума форсированный вариант двигателя. Riva позволяет самостоятельно размещать службу ASR локально или в облаке, что упрощает настройку диаграммы Helm.

В настоящее время Pendulum запускает сервис Riva Enterprise на экземплярах GPU на базе NVIDIA в Amazon Web Services (AWS), чтобы масштабировать объем аудио- и видеоконтента, который можно быстро транскрибировать и обрабатывать.

Когда этап ASR завершен, модуль повествования Pendulum применяет дополнительные ресурсы ИИ от Riva к только что расшифрованному тексту или к тексту, полученному в другом месте. Например, необработанный вывод процесса ASR обычно представляет собой длинный непрерывный поток слов без заглавных букв. Это вряд ли те данные, которые, как вы могли бы подумать, можно было бы превратить в полезный разведывательный отчет.

Принимая во внимание результат, Pendulum затем применяет модель искусственного интеллекта Riva для пунктуации и использования заглавных букв, чтобы преобразовать бессвязный поток слов в предложения. Вывод дополняется именами собственными с заглавной буквы, правильно расставленными запятыми и завершающими точками или вопросительными знаками, в зависимости от ситуации.

Ссылаясь на пример на рисунке 1, в методологии нарративного обнаружения Pendulum собственные подсистемы НЛП дополнительно обрабатывают текст. Например, движок разделяет текстовые подписи 14 миллионов видео на 205 миллионов 9.0125 фрагментов (сегменты текста длиной около 100 токенов). Результат далее фильтруется до видеороликов, содержащих один или несколько основных терминов COVID, включая формы слов «вакцина» и «ДНК». Результатом этого процесса является набор из 9 200 видеороликов и 15 689 фрагментов.

Наконец, Pendulum применяет запатентованный гибридный алгоритм обучения с нулевым выстрелом, что обеспечивает точность обнаружения 0,74 и отзыв 0,83. В этом случае 74% сниппетов, которые, по прогнозам, поддерживают повествование, действительно поддерживают повествование, в то время как 83 % сниппетов, поддерживающих повествование, были идентифицированы этим методом. Это впечатляющий результат.

Чтобы не отставать от спроса по мере роста своего бизнеса, команда Pendulum развернула многоузловой кластер графических процессоров на AWS, чтобы удовлетворить требования к пропускной способности и задержке. После этого, что еще требуется, помимо мощного оборудования, для выполнения этих сложных требований?

Программное обеспечение NVIDIA Triton Inference Server на сервере графического процессора обрабатывает несколько запросов ко всем различным моделям искусственного интеллекта Pendulum. Triton Inference Server поддерживает модели, логически объединенные в ансамбль для полной обработки в графическом процессоре, что позволяет избежать ловушки медленного копирования памяти из графического процессора в ЦП.

Впереди реальные вызовы

Возможности платформы Pendulum расширят возможности брендов социальных сетей, поскольку разработчики добавляют поддержку помимо доступных в настоящее время YouTube, Rumble, BitChute, Tik Tok и подкастов.

Тем не менее, руководство компании не может судить правду только по применению своих двигателей. На самом деле, избегание такой сложной ситуации позволило Pendulum шире раскрыть свою апертуру и принять новые вызовы.

Возьмем, к примеру, то, что все мы знаем, что видео может иметь больше смысла, чем просто произносимые слова, особенно в сопровождении эмоциональных образов и вызывающего воспоминания музыкального сопровождения. Даже если в таком видео вообще нет речи, оно все равно может способствовать повествованию.

(Вспомните видеозаписи вербовки ИГИЛ несколько лет назад: многие видео содержали мало речи, но содержали агитирующие сцены и музыку, предназначенные для связи с определенной аудиторией). рассказы остаются незамеченными.

Техническая команда Pendulum работает над устранением отвлекающих факторов, таких как видеореклама, всплывающая с речью во время воспроизведения, которая может запутать формирующийся нарратив. Харис объяснил: «Есть одна банковская видеореклама, которая является проклятием существования моей команды, нарушая процесс транскрипции.