Метод гаусса для неквадратной матрицы: Частное решение матрицы методом гаусса. Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных)

Метод – квадратный корень – Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3

Cтраница 3

В силу ее специфики ( матрица С симметрична и неотрицательна) эту систему в общем случае целесообразно решать методом квадратного корня.  [31]

Для определения значений оценок at стандартизованных коэффициентов регрессии а ( наиболее часто находят применение следующие методы решения системы нормальных уравнений: метод определителей, метод квадратного корня и матричный метод. В последнее время для решения задач регрессионного анализа широко применяется матричный метод. Здесь же рассмотрим решение системы нормальных уравнений методом определителей.  [32]

В главах 3 и 4 будут рассмотрены еще две подпрограммы: SYSTRD-для решения систем с трехдиагональной матрицей и МСНВ – для решения систем уравнений с ленточной симметричной матрицей методом квадратного корня.  [33]

При численной реализации предлагаемой методики решение системы линейных алгебраических уравнений (11.

31) ( с коэффициентами (11.60)) и анализ системы (11.38) ( с коэффициентами (11.63)) в силу симметрии их матриц проводим на основе метода квадратного корня. Это позволяет более экономно использовать оперативную память ЭЦВМ, так как запоминанию подлежат элементы не квадратной, а соответствующей треугольной матрицы.  [34]

Оценить число арифметических операций и загрузку памяти ЭВМ ( при условии ctij – dji объем памяти, требуемый для запоминания матрицы А, уменьшается) нри решении системы с вещественной положительно определеннной матрицей А методом квадратного корня.  [35]

Матрица А – положительно определенная симметричная матрица, в общем случае она является плотной ( не разреженной) матрицей, и поэтому для решения системы нормальных уравнений линейного МНК (8.17) следует применять соответствующие методы решения систем линейных алгебраических уравнений ( [21, 25]), например метод Холецкого, называемый также

методом квадратного корня.  [36]

Набор программ по численным метопам решения систем линейных алгебраических уравнений, помимо матрично-зекторных операций, содержит метод Гаусса с выбором главного элемента матрицы, метод Краута ( компактная схема метода Гаусса) с выбором главного элемента по столбцу, метод Гаусса-Жордана с выбором главного элемента, метод вращений малочувствительный к провалам промежуточных определителей,

метод квадратных корней, хорошо зарекомендовавший себя при реше – нлп систем линейных алгебраических уравнений. Кроме того, в наборе имеются программы по обращению матрицы методом исключения Гаусса, по вычислению определителя методом Гаусса, по решению систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с одновременным вычислением определителя, по решению систем линейных алгебраических уравнений с несколькими правыми частями и с вычислением определителя методом Гаусса.  [37]

Общая система разрешающих уравнений для задачи теплопроводности получается из систем уравнений ( IV-3) для отдельных элементов путем суммирования соответствующих членов.

Решение системы осуществляется методом квадратного корня с помощью процедуры, учитывающей структуру матрицы.  [38]

Если это так, метод квадратного корня может быть полезным численным методом. Этот вопрос требует подробного изучения.  [39]

Канонические уравнения решаются известными методами решения линейных алгебраических уравнений высоких порядков, так как число степеней свободы при решении сложных задач может достигать нескольких десятков тысяч. Обычно используются метод Гаусса,

метод квадратного корня ( метод Халецкого), метод Зейделя и другие прямые или итерационные методы. В результате решения определяются значения степеней свободы. По найденному вектору степеней свободы q и системе координатных функций ф; , которая была назначена заранее, определяется функция яеремещений (1.4) по всей области системы, а по ней – напряжения и деформации в интересующих расчетчика местах.  [40]

Битти и Икехара [15] предприняли тщательное исследование методов комбинирования констант и нашли, что наилучшим способом является использование линейного сочетания для всех констант, содержащих объем в первой степени, и линейного метода квадратных корней для имеющих объем во второй степени.

В случае уравнения Бчтти-Бриджмена следует принять-линейный метод квадратных корней для А0 и линейное сочетание для всех других констант. Этот метод испытан при использовании уравнения Битти – Бриджмена на следующих смесях: аргон – этилен, кислород – этилен, азот-водород, азот-метан и водород-окись углерода. Во всех случаях данные представлены удовлетворительно и большей; частью лежат в пределах возможной ошибки опыта.  [41]

Обратная матрица В 1 находится методом квадратного корня

.  [42]

Многократность решения систем не приводит к заметному увеличению времени счета. Если для систем (37.1), (37.2) применяется метод квадратного корня, то разложения матриц А А и АА, полученные на первом шаге, используются и на всех остальных, шагах.  [43]

Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями, то и значения неизвестных, полученные точным методом, неизбежно будут содержать погрешности. К точным методам относятся, например, метод Гаусса, метод квадратных корней.  [44]

Поскольку все матрицы Ат А, Г2, АТ 1 – 1А, В ( АТА – 1ВТ симметричны и положительно определены, то для их обращения рекомендуется применять эффективный метод квадратного корня, созданный как раз для обращения симметричных матриц. В математическом обеспечении современных компьютеров имеются стандартные программы обращения симметричных матриц методом квадратного корня.  [45]

Страницы:      1    2    3    4

«Элементы линейной алгебры анализа» — Мегаобучалка

Главная | О нас | Обратная связь   К главе I. 1) Если матрицы и можно умножать, следует ли из этого, что их можно складывать? 2) Если матрицы и можно складывать, следует ли из этого, что их можно умножать? 3) Можно ли умножать квадратную матрицу на не квадратную? 4) Может ли произведение не квадратных матриц быть квадратной матрицей? 5) Может ли при умножении нулевых матриц получиться нулевая матрица? 6) Могут ли совпадать матрицы и ? 7) Как выглядит матрица ? 8) Верно ли равенство ? 9) Верно ли равенство 10) Верно ли равенство 11) Верно ли равенство 12) Верно ли равенство 13) Обязательно ли существуют произведения , если ? 14) Может ли произведение матриц быть числом? 15) Как изменятся произведения матриц и , если переставить -ю и -ю строки матрицы ? 16) Как изменится произведение матриц и , если к -й строке матрицы А прибавить -ю строку, умноженную на число 17) Как изменится произведение матриц и , если переставить -й и -й столбцы матрицы ? 18) Как изменится произведение матриц и , если к -му столбцу матрицы В прибавить -й столбец, умноженный на число К главе II. 19) Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы быть равны соответствующим минорам, т. е. ? 20) Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы быть равны соответствующим минорам ? 21) Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы быть равны соответствующим элементам ? 22) Может ли определитель 2-го порядка принимать значение большее, чем определитель 5-го порядка? 23) Может ли определитель изменить знак на противоположный при транспонировании матрицы? 24) Дана квадратная матрица n-го порядка . Чему равна сумма ? 25) Можно ли вычислить миноры, дополнительные к элементам не квадратной матрицы? 26) Как изменится определитель 3-го порядка, если его строки переставить следующим образом: первую – на место второй, вторую – на место третьей, третью – на место первой? 27) Как изменится определитель n-го порядка, если его строки переставить следующим образом: первую – на место второй, вторую – на место третьей, … , -ю – на место -й, -ю – на место первой? 28) Сколько всего миноров у квадратной матрицы -го порядка? 29) К главе III. 30) Могут ли различные методы решения системы линейных уравнений (метод Крамера и метод обратной матрицы) дать различные ответы? 31) Возможно ли, чтобы система линейных уравнений имела решение с помощью метода Гаусса, но не имела бы решения по формулам Крамера? 32) В системе n линейных уравнений с n неизвестными поменяли местами два уравнения. Изменятся ли формы записи решения с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера? Изменится ли общее решение? 33) Доказать, что формулы Крамера являются другой формой записи решения системы линейных уравнений 34) Решить систему линейных уравнений:   Читайте также: ©2015-2020 megaobuchalka. ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (655)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку… Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы

математика – Решение системы линейных уравнений в неквадратной матрице

спросил 11 лет, 1 месяц назад

Изменено 3 года, 3 месяца назад

Просмотрено 39 тысяч раз

У меня есть система линейных уравнений, составляющих матрицу NxM (т.е. неквадратную), которую мне нужно решить – или хотя бы попытаться решить , чтобы показать, что система не имеет решения. (скорее всего, решения не будет)

Как я понимаю, если моя матрица не квадратная (пере- или недоопределенная), то точного решения найти нельзя – правильно ли я думаю? Есть ли способ преобразовать мою матрицу в квадратную матрицу, чтобы вычислить детерминант, применить исключение Гаусса, правило Крамера и т. д.?

Стоит упомянуть, что коэффициенты моих неизвестных может быть равным нулю, поэтому в некоторых, редких случаях можно было бы иметь нулевой столбец или нулевую строку.

• математика
• матрица
• линейная алгебра
• линейное уравнение

3

Независимо от того, является ли ваша матрица квадратной, размер решения не определяется. Это определяет ранг матрицы по сравнению с количеством столбцов (см. Теорему о ранге недействительности). В общем, у вас может быть ноль, одно или бесконечное количество решений линейной системы уравнений, в зависимости от ее ранга и отношения недействительности.

Однако, чтобы ответить на ваш вопрос, вы можете использовать исключение Гаусса, чтобы найти ранг матрицы и, если это указывает на существование решений, найти конкретное решение x0 и нулевое пространство Null(A) матрицы. Затем вы можете описать все свои решения как x = x0 + xn, где xn представляет собой любой элемент Null(A). Например, если матрица имеет полный ранг, ее нулевое пространство будет пустым, и линейная система будет иметь не более одного решения. Если его ранг также равен количеству строк, то у вас есть единственное решение. Если нулевое пространство имеет размерность один, то вашим решением будет линия, проходящая через x0, любая точка на этой линии удовлетворяет линейным уравнениям.

1

Хорошо, во-первых: неквадратная система уравнений может иметь точное решение

 [ 1 0 0 ][x] = [1]
[ 0 0 1 ][г] [1]
         [г]
 

явно имеет решение (на самом деле у него есть одномерное семейство решений: x=z=1). Даже если система переопределена вместо недоопределена , она все равно может иметь решение:

 [ 1 0 ][x] = [1]
[ 0 1 ][г] [1]
[ 1 1 ] [2]
 

(х=у=1). Вы можете начать с рассмотрения методов наименьших квадратов методов решения, которые находят точное решение, если оно существует, и «наилучшее» приближенное решение (в некотором смысле), если таковое отсутствует.

Берем Ax = b , где A имеет m столбцов и n строк. Мы не гарантируем наличие одного и только одного решения, что во многих случаях происходит потому, что у нас на больше уравнений, чем неизвестных (m больше n). Это может быть из-за повторных измерений, которые нам действительно нужны, потому что мы осторожны в отношении влияния шума.

Если мы заметим, что не можем найти решение, это на самом деле означает, что нет никакого способа найти b, путешествуя по пространству столбца, охватываемому A . (Поскольку x принимает только комбинацию столбцов).

Однако мы можем запросить точку в пространстве, натянутом на A, ближайшую к b. Как найти такую ​​точку? Идти по самолету ближе всего к точке за его пределами , это идти до тех пор, пока вы не окажетесь прямо внизу. Геометрически говоря, это когда наша ось зрения перпендикулярна плоскости.

Теперь у нас есть математическая формулировка. Перпендикулярный вектор напоминает нам ортогональные проекции . И это то, что мы собираемся сделать. Самый простой случай говорит нам сделать a.T b . Но мы можем взять всю матрицу A.T b .

Для нашего уравнения применим преобразование к с обеих сторон : A.T Ax = A.T b . Последний шаг — найти x, взяв , обратное A.T.A : 9-1 * A.T b

Метод наименьших квадратов очень хорош.

Добавлю, что вы можете попробовать разложение по сингулярным числам (SVD), которое даст вам наилучший возможный ответ и бесплатно предоставит информацию о нулевом пространстве.

Решить неквадратную матрицу с помощью python: как использовать numpy.linalg.lstsq()?

спросил 3 года, 8 месяцев назад

Изменено 3 года, 8 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

Запрошенное поведение
Я хотел бы решить неквадратную матрицу с помощью Python. Матрица имеет два линейно зависимых вектора.

Текущее состояние
Сначала я попытался использовать numpy.linalg.solve() , но это работает только для квадратных матриц. В других сообщениях StackOverflow рекомендуется использовать numpy.linalg.lstsq() .

выпуск
Однако я не понимаю, как правильно реализовать numpy.linalg.lstsq() . Функция правильно решает последний параметр, но не другие параметры. Один пост рекомендует это решение, которое я тоже не понимаю.

Должен ли я как-то реализовать цикл?

Может ли кто-нибудь предоставить мне пример кода? Как решить эту матрицу проблема с использованием питона?

Мой текущий код

 импортировать numpy как np

# определение системы линейных уравнений E=F с
# | -2*х1 - 4*х2 + 1*х3 - 9* х4 + 0 * х5 = +5 |
# | 3 * х1 + 6 * х2 + 0 * х3 + 12 * х4 + 3 * х5 = +15 |
# | 1 * х1 + 2 * х2 + 1 * х3 + 3 * х4 + 1 * х5 = -17 |
# | -5 * х1 - 4 * х2 + 1 * х3 - 9 * х4 + 0 * х5 = +14 |


E=np.массив(
    [
        [-2,-4,1,-9,0],
        [3,6,0,12,3],
        [1,2,1,3,1],
        [-5,-10,3,-23,1]
    ]
)

F=np.массив(
    [3,15,-17,14]
)

решениеNonSquare = np.linalg.lstsq(E, F)
print('вектор решения: {x1, x2, x3, x4, x5}=')
печать (решение неквадратное) 

Письменное матричное решение

• питон
• numpy
• матрица
• линейная алгебра

5

Это недоопределенная система уравнений. Это означает, что существует много решений, и не существует такого понятия, как «то самое» решение. Тот факт, что исключение Гаусса и lstsq дают разные решения, не означает, что что-то не так.

Сгенерируем и проверим различные решения:

 импортировать scipy.linalg как sla
E_null = sla.null_space(E)
def check_solution (коэфф):
    x = решениеNonSquare[0] + E_null @коэффициенты
    проверить = Е @ х - F
    с np.printoptions (точность = 2, подавление = True):
        печать ('х = {}'.формат (х))
    с np.printoptions (точность = 5, подавление = True):
        print('E .x - F = {}'.format(проверить))
    print('|x| = {}'.format(np.linalg.norm(x)))
 

Мы можем проверить решение минимальной нормы, полученное с помощью lstsq :

 >>> check_solution([0, 0])
х = [-4,35-8,69-19,69 2,31 17,5 ]
Э . х - F = [ 0. -0. -0. 0.]
|х| = 28,174593028253167
 

Мы можем генерировать и тестировать множество других решений

 >>> check_solution(100 * np.