Метод гаусса матпрофи: Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уравнений). Правила, примеры

Примеры решения системы линейных алгебраических уравнений 3-его порядка методом Гаусса, пример № 1

СЛАУ 3-его порядка: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12

---

Условие

x 1  + 2x 2  + 3x 3   =   3  3x 1  + 5x 2  + 7x 3   =   0  x 1  + 3x 2  + 4x 3   =   1

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом – Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы.

Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по математике и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 3 × 4, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 3 (Строка 2 – 3 × строка 1)
• Из строки № 3 вычтем строку № 1 (Строка 3 – строка 1
  )

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 2 умножим на -1 (Строка 2 = -1 × строка 2 )
• Из строки № 3 вычтем строку № 2 (Строка 3 – строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 3 умножим на -1 (Строка 3 = -1 × строка 3 )
• Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 2 – 2 × строка 3)
• Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 ( Строка 1 – 3 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 2 (Строка 1 – 2 × строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х₁

= -4
х₂ = -13
х₃ = 11

Вы поняли, как решать? Нет?

Другие примеры

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Лекция 5
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
(продолжение)
МЕТОД ГАУССА
§ 1. МЕТОД ГАУССА
Решить систему линейных уравнений – значит получить
равносильную ей систему, которая уже является разрешенной
или несовместной. Это удобно сделать при помощи метода
Гаусса, который позволяет привести систему к более простому
виду, с помощью элементарных преобразований строк в
расширенной матрице системы
Пусть дана система линейных уравнений. Поставим на
первое место любое уравнение с ненулевым коэффициентом при
x1:
• Шаг 1: умножим каждое уравнение, кроме первого, на
множитель a11/ai1, где i -номер уравнения в системе (номер
строки системы).
• после этого все коэффициенты при переменной x1 во всех
уравнениях равны a11.

Шаг 2: Вычтем из каждого уравнения системы, начиная
со второго, первое уравнение. Получим систему, в которой
все коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме
первого обратились в ноль.
Повторить шаги 1-2 для второго столбца, начиная с третьего
уравнения. И т.д.
• Рассмотрим частные случаи приведенных по методу Гаусса
систем в случае с тремя неизвестными.

Случай 1. Система методом Гаусса приведена к следующему
виду:
В данном случае система имеет единственное решение,

которое получается последовательным нахождением
переменных, начиная с последнего уравнения:
Замечание: в данном случае ранг основной матрицы равен
3, ранг расширенной матрицы также равен 3.
• Случай 2. Система методом Гаусса приведена к следующему
виду:
• В данном случае система из-за последнего уравнения
несовместна и, следовательно, не имеет решений.
• Ранг основной матрицы системы очевидно равен 2.
• Рассмотрим расширенную матрицу системы и минор из первого
столбца, второго столбца и столбца свободных членов. Порядок
полученного минора равен 3.
• Следовательно, ранг расширенной матрицы больше ранга
матрицы системы.
• В этом случае система решения не имеет.
• Случай 3. Система методом Гаусса приведена к следующему
виду:
• Последнее уравнение системы обратилось в ноль, и
система стала недоопределенной – два уравнения на три
неизвестных. Запишем решение системы следующим
образом:
• Задавая различные значения параметра k, мы получим
различные решения системы. Следовательно, решений
бесконечно много. Так как решение зависит от одного
параметра, то размерность решения равна 1.
Рассмотрим ранги основной матрицы системы и расширенной
матрицы.