Метод гаусса матрицы: Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уравнений). Правила, примеры

Строительная механика

Строительная механика

Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика: Учеб. для строит. спец. вузов. —8-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1986. — 607 с. В учебнике отражены вопросы курса строительной механики (статика и динамика сооружений). Изложение материала иллюстрируется конкретными примерами. В отличие от предыдущего издания (7-е— 1976 г.) рассматриваются методы расчета с использованием ЭВМ, указываются особенности этих методов. В учебнике отражено современное состояние строительной механики. Предназначается для студентов строительных специальностей вузов. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава 1. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СООРУЖЕНИЙ § 1. 2. УСЛОВИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ § 1.3. УСЛОВИЯ СТАТИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛИМОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕИЗМЕНЯЕМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Глава 2. БАЛКИ § 2.2. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ ДЛЯ ОДНОПРОЛЕТНЫХ И КОНСОЛЬНЫХ БАЛОК § 2.3. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ ДЛЯ ОДНОПРОЛЕТНЫХ И КОНСОЛЬНЫХ БАЛОК § 2.4. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ПРИ УЗЛОВОЙ ПЕРЕДАЧЕ НАГРУЗКИ § 2.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ С ПОМОЩЬЮ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ § 2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕВЫГОДНЕЙШЕГО ПОЛОЖЕНИЯ НАГРУЗКИ НА СООРУЖЕНИИ. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ НАГРУЗКА § 2.7. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ § 2.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В МНОГОПРОЛЕТНЫХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛКАХ ОТ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ § 2.9. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ ДЛЯ МНОГОПРОЛЕТНЫХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК § 2.10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛКАХ С ЛОМАНЫМИ ОСЯМИ ОТ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ § 2.11. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ В БАЛКАХ КИНЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Глава 3. ТРЕХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАМЫ § 3. 1. ПОНЯТИЕ ОБ АРКЕ И СРАВНЕНИЕ ЕЕ С БАЛКОЙ § 3.2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ § 3.3. ГРАФИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ. МНОГОУГОЛЬНИК ДАВЛЕНИЯ § 3.4. УРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ОСИ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ § 3.5. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК НА ПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ § 3.6. ЯДРОВЫЕ МОМЕНТЫ И НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ Глава 4. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ § 4.1. ПОНЯТИЕ О ФЕРМЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ ФЕРМ § 4.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ПРОСТЕЙШИХ ФЕРМ § 4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ СЛОЖНЫХ ФЕРМ § 4.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ ФЕРМ РАЗЛИЧНОГО ОЧЕРТАНИЯ § 4.5. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ ФЕРМ § 4.6. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИИ В СТЕРЖНЯХ ПРОСТЕЙШИХ ФЕРМ § 4.7. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ СЛОЖНЫХ ФЕРМ § 4.8. ШПРЕНГЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ § 4,9. ТРЕХШАРНИРНЫЕ АРОЧНЫЕ ФЕРМЫ И КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ Глава 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В УПРУГИХ СИСТЕМАХ § 5.2. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ РАБОТ § 5.3. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ § 5.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. ИНТЕГРАЛ МОРА § 5.5. ПРАВИЛО ВЕРЕЩАГИНА § 5.6. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА § 5.7. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ § 5.8. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПРИЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ § 5.9. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ ОПОР Глава 6. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ § 6.2. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛ § 6.3. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ НА ДЕЙСТВИЕ ЗАДАННОЙ НАГРУЗКИ § 6.4. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ НА ДЕЙСТВИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ § 6.5. СОСТАВЛЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАСЧЕТЕ СИСТЕМ НА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОПОР § 6.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ § 6.7. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ. ПРОВЕРКА ЭПЮР § 6.8. СПОСОБ УПРУГОГО ЦЕНТРА § 6.9. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ПРОСТЕЙШИХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ § 6.10. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ § 6.11. ГРУППИРОВКА НЕИЗВЕСТНЫХ § 6.12. СИММЕТРИЧНЫЕ И ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЕ НАГРУЗКИ § 6.13. СПОСОБ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАГРУЗКИ § 6. 14. ПРОВЕРКА КОЭФФИЦИЕНТОВ И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ СИСТЕМЫ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 6.15. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА РАМ § 6.16. «МОДЕЛИ» ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ УСИЛИИ ДЛЯ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК Глава 7. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И СМЕШАННЫМ § 7.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА НЕИЗВЕСТНЫХ § 7.3. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА § 7.4. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ § 7.5. СТАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ СИСТЕМЫ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 7.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ СИСТЕМЫ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕМНОЖЕНИЕМ ЭПЮР § 7.7. ПРОВЕРКА КОЭФФИЦИЕНТОВ И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ СИСТЕМЫ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ § 7.8. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР M, Q И N В ЗАДАННОЙ СИСТЕМЕ § 7.9. РАСЧЕТ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ НА ДЕЙСТВИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ § 7.10. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ ПРИ РАСЧЕТЕ РАМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ § 7.11. ПРИМЕР РАСЧЕТА РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ § 7.12. СМЕШАННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА § 7.13. КОМБИНИРОВАННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДАМИ СИЛ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ § 7. 14. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Глава 8. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ § 8.2. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ, СТАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ § 8.3. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОВМЕСТНОСТИ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ § 8.4. ЗАКОН ГУКА. ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ § 8.5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ. СМЕШАННЫЙ МЕТОД § 8.6. МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ § 8.7. МЕТОД СИЛ § 8.8. УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ИХ СВЯЗЬ С УРАВНЕНИЯМИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Глава 9. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВМ § 9.2. ПОЛУАВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КАЛЬКУЛЯТОРОВ § 9.3. АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ДЛЯ СТЕРЖНЯ § 9.4. МАТРИЦЫ РЕАКЦИЙ (ЖЕСТКОСТИ) ДЛЯ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ § 9.5. ОПИСАНИЕ УЧЕБНОГО КОМПЛЕКСА ПО РАСЧЕТУ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ. ВНУТРЕННЕЕ И ВНЕШНЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ. БЛОК-СХЕМА КОМПЛЕКСА ПО РАСЧЕТУ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Глава 10. УЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ И ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ ПРИ РАСЧЕТЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ § 10.2. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ § 10.3. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ § 10.4. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ Глава 11. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МКЭ) § 11.2. СВЯЗЬ МКЭ С УРАВНЕНИЯМИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ § 11.3. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 11.4. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ § 11.5. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБЪЕМНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 11.6. СЛОЖНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ИСКРИВЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ § 11.7. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦ РЕАКЦИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК § 11.8. ОСОБЕННОСТИ КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ ПО МКЭ. СУПЕРЭЛЕМЕНТНЫЙ ПОДХОД Глава 12. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ СООРУЖЕНИЙ § 12. 2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ § 12.3. РАСЧЕТ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ § 12.4. РАСЧЕТ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НАГРУЗКИ. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ § 12.5. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ К ДВУМ СИСТЕМАМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ § 12.6. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ. УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА § 12.7. ПРИВЕДЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ К СИЛОВОМУ § 12.8. СВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ К РАЗДЕЛЯЮЩИМСЯ УРАВНЕНИЯМ С ПОМОЩЬЮ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ § 12.9. МЕТОД ПОСТОЯННОГО УСКОРЕНИЯ И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Глава 13. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ § 13.2. МАТРИЦЫ, ИХ ВИДЫ, ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ § 13.3. ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА § 13.4. МЕТОД ГАУССА ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ МАТРИЦ § 13.5. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЕШЕНИЕ n УРАВНЕНИЙ С m НЕИЗВЕСТНЫМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ГАУССА § 13.6. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА. МАТРИЦА КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ. ПРОИЗВОДНАЯ ОТ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ § 13.7. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННОЙ МАТРИЦЫ § 13.8. ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРЕУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ § 13.9. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА

Матрица. Метод Гаусса

Элементарные  преобразования переводят систему  уравнений в равносильную ей.

Элементарные  преобразования системы используются в методе Гаусса.

Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:

Дана система:

                            ( 1 )

1-ый  шаг метода Гаусса.   

На первом шаге исключим неизвестное х₁ из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а₁₁. Получим уравнение:                  

            

                                            ( 2 )

где

Исключим х₁ из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение  (2), умноженное на коэффициент при х₁ (соответственно а₂₁ и а₃₁).

Система примет вид:                                      

              ( 3 )

Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах  первой преобразованной системы.

2-ой  шаг метода Гаусса.  

На втором шаге исключим неизвестное х₂ из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:                  

                                          ( 4 )

где 

Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:                            

        

Предполагая, что  находим                            

 

В результате преобразований система приняла вид:                                     

                             (5)                            

 

Система вида (5) называется треугольной.

Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.

Нахождение  неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.

Для этого найденное  значение  х₃  подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х₂.   Затем х₂  и  х₃  подставляют в первое уравнение и находят х₁.

В общем случае для системы т линейных уравнений с п неизвестными проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения.

Отсюда другое называние метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

Если  в  ходе  преобразований  системы  получается  противоречивое  уравнение  вида 0 = b, где b ¹ 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.

В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход  метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному  или к  ступенчатому  виду.

Треугольная система  имеет вид:

Такая система  имеет единственное решение, которое  находится в результате проведения обратного хода метода гаусса.

Ступенчатая система имеет вид:

Такая система  имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными х_k+1,  … , x_k переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными  и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находим х₁, … , x_k, которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно узнать в рекомендуемой литературе.

Рассмотренный метод Гаусса легко программируется  на ЭВМ и является более экономичным (по числу действий),  чем другие методы. 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ  

Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментом для записи различных математических преобразований и широко используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.

Integral Matrix Root Gram and Lattice Gaussian Sampled Without floats

Paper 2019/320

Integral Matrix Root Gram and Lattice Gaussian Sampled Without floats

Лео Дукас, Стивен Гэлбрейт, Томас Прест и Ян Юй

Abstract

Многие продвинутые криптосистемы на основе решетки требуют выборки точек решетки из гауссовых распределений. Одна из проблем для этой задачи заключается в том, что все современные алгоритмы в какой-то момент прибегают к арифметике с плавающей запятой (FPA), которая на практике имеет множество недостатков: она требует числового анализа стабильности, дополнительной памяти для высокой точности, ленивых методов / методов возврата для эффективности, и может страдать слабым детерминизмом, который может полностью сломать определенные схемы. В этой статье мы даем методы реализации гауссовой выборки на общих решетках без использования FPA. С этой целью мы вернемся к подходу Пайкерта, используя выборку возмущений. Подход Пайкерта использует непрерывную гауссову выборку и некоторую декомпозицию $\mathbf{\Sigma} = \mathbf{A} \mathbf{A}^t$ целевой ковариационной матрицы $\mathbf{\Sigma}$. Предлагаемое разложение, например. разложение Холецкого дает квадратную матрицу $\mathbf{A}$ с действительными (не целыми) элементами. Наша идея, в двух словах, состоит в том, чтобы заменить это разложение интегральным. Хотя в общем случае целочисленного решения не существует, если мы ограничим $\mathbf{A}$ квадратной матрицей, мы показываем, что такое разложение может быть эффективно найдено, если позволить $\mathbf{A}$ быть шире (скажем, $n \ раз 9п$). Это можно рассматривать как распространение теоремы четырех квадратов Лагранжа на матрицы. Кроме того, мы адаптируем наш алгоритм интегральной декомпозиции к параметрам кольца: для циклотомики степени 2 мы можем использовать структуру башни колец для повышения сложности и компактности.

Метаданные

Доступный(е) формат(ы)

PDF

Категория

Криптография с открытым ключом

Информация о публикации

Незначительная редакция публикации IACR в EUROCRYPT 2020

Ключевые слова

Криптография на основе решеткиДискретная гауссовская выборкаМатричная декомпозиция

Связаться с автором(ами)

ducas @ cwi nl
s galbraith @ auckland ac nz
thomas perst @ pqshield com
yang yu0986 @ gmail com

История

30. 05.2020: последняя из 6 ревизий

2019-03-29: получен

Посмотреть все версии

Короткий URL-адрес

https://ia.cr/2019/320

Лицензия

СС BY

БибТекс

@misc{cryptoeprint:2019/320,
      автор = {Лео Дука и Стивен Гэлбрейт, Томас Перст и Ян Ю},
      title = {Интегральный матричный корень Грама и решетчатая гауссовская выборка без поплавков},
      какpublished = {Архив ePrint по криптологии, документ, 2019 г./320},
      год = {2019},
      примечание = {\url{https://eprint.iacr.org/2019/320}},
      URL = {https://eprint.iacr.org/2019/320}
}
 

Примечание. В целях защиты конфиденциальности читателей, eprint.iacr.org не использует файлы cookie или встроенный сторонний контент.

scipy.ndimage.gaussian_filter — SciPy v1.

10.0 Manual

scipy.ndimage.gaussian_filter( ввод , сигма , порядок=0 , вывод=нет , режим=’отражать’ , cval=0.0 , truncate=4.0 , * , radius=Нет )[источник]

Многомерный фильтр Гаусса.

Параметры:

ввод array_like

Входной массив.

сигма скаляр или последовательность скаляров

Стандартное отклонение для ядра Гаусса. Стандарт отклонения фильтра Гаусса даны для каждой оси в виде последовательность или как одно число, и в этом случае оно равно для все оси.

порядок целое число или последовательность целых чисел, опционально

Порядок фильтра по каждой оси задается как последовательность целых чисел или как одно число. Порядок 0 соответствует свертки с ядром Гаусса. Положительный заказ соответствует свертке с этой производной гауссиана.

вывод массив или dtype, необязательный

Массив для размещения вывода или dtype возвращаемый массив. По умолчанию массив того же dtype, что и ввод будет создан.

режим строка или последовательность, необязательно

Параметр режима определяет, как расширяется входной массив когда фильтр перекрывает границу. Проходя последовательность режимов с длиной, равной количеству измерений входного массива, различные режимы могут быть указаны вдоль каждой оси. Значение по умолчанию ‘отражать’. Допустимые значения и их поведение следующие:

«отражать» ( d c b a | a b c d | d c b a )

Ввод расширяется за счет отражения о краю последнего пиксель. Этот режим также иногда называют полувыборочным. симметричный.

‘константа’ ( k k k k | a b c d | k k k k )

Ввод расширяется путем заполнения всех значений за краем с помощью то же постоянное значение, определенное параметром cval .

‘ближайший’ ( a a a a | a b c d | d d d d )

Ввод расширяется за счет репликации последнего пикселя.

«зеркало» ( d c b | a b c d | c b a )

Ввод расширяется путем отражения относительно центра последнего пиксель. Этот режим также иногда называют полновыборочным. симметричный.

‘обтекание’ ( a b c d | a b c d | a b c d )

Ввод расширяется за счет переноса на противоположный край.

Для согласованности с функциями интерполяции следующий режим также можно использовать имена:

«постоянная сетки»

Это синоним слова «постоянная».

«решетка-зеркало»

Это синоним слова «отражать».

«сетка-обертка»

Это синоним слова «обертка».

cval скаляр, необязательный

Значение для заполнения границ ввода, если режим «постоянный». По умолчанию 0,0.

обрезать плавать, опционально

Усечение фильтра при таком количестве стандартных отклонений. По умолчанию 4.0.

radius None или int или последовательность целых чисел, опционально

Радиус ядра Гаусса. Радиус указан для каждой оси как последовательность или как одно число, и в этом случае оно равно для всех осей. Если указано, размер ядра по каждой оси будет 2*radius + 1 , а truncate игнорируется. По умолчанию нет.

Возвращает:

gaussian_filter ndarray

Возвращаемый массив той же формы, что и input .

Примечания

Многомерный фильтр реализован в виде последовательности Одномерные сверточные фильтры. Промежуточные массивы хранится в том же типе данных, что и выходные данные. Поэтому для вывода типы с ограниченной точностью, результаты могут быть неточными потому что промежуточные результаты могут быть сохранены с недостаточным точность.

Ядро Гаусса будет иметь размер 2*радиус + 1 по каждой оси где радиус = круглый(усечение * сигма) .

Примеры

 >>> из scipy.ndimage импортировать gaussian_filter
>>> импортировать numpy как np
>>> a = np.arange(50, step=2).reshape((5,5))
>>> а
массив([[ 0, 2, 4, 6, 8],
       [10, 12, 14, 16, 18],
       [20, 22, 24, 26, 28],
       [30, 32, 34, 36, 38],
       [40, 42, 44, 46, 48]])
>>> gaussian_filter(a, sigma=1)
массив([[ 4, 6, 8, 9, 11],
       [10, 12, 14, 15, 17],
       [20, 22, 24, 25, 27],
       [29, 31, 33, 34, 36],
       [35, 37, 39, 40, 42]])
 

 >>> из наборов данных импорта scipy
>>> импортировать matplotlib.pyplot как plt
>>> рис = plt.figure()
>>> plt.gray() # показать отфильтрованный результат в оттенках серого
>>> ax1 = fig.add_subplot(121) # левая сторона
>>> ax2 = fig.add_subplot(122) # правая сторона
>>> восхождение = наборы данных. восхождение()
>>> результат = gaussian_filter(восхождение, сигма=5)
>>> ax1.