Метод гаусса метод крамера матричный метод: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Содержание

Метод гаусса и крамера примеры с решением. Продолжаем решать системы методом Крамера вместе


2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :



Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:


Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим

формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.


Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод,

обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:


Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера – весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно.

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем

Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.

2.5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
  3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
  4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

  • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
  • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 3 = – 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = – 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 – (-2) \cdot 3 \cdot 10 – (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = – 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Метод крамера и гаусса теория.

Метод крамера решения систем линейных уравнений

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

.

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

2

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A – 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

.

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij – алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A – 1 к матрице

.

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

.

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 – 3 × 3 × 3 – 1 × 5 × 4 – 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 – 27 – 20 – 32 = – 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1. 14) слева на A – 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных и – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1. 15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

x

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

.

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

.

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1. 18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j – независимые (искомые) переменные, a ij – постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

x 1 x 2 x j x s x n
y 1 = a 11 a 12 a 1j a 1s a 1n
…………………………………………………………………. .
y i = a i 1 a i 2 a ij a is a in
…………………………………………………………………..
y r = a r 1 a r 2 a rj a rs a rn
………………………………………………………………….
y n = a m 1 a m 2 a mj a ms a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

x 1 x 2 x j y r x n
y 1 = b 11 b 12 b 1 j b 1 s b 1 n
…………………………………………………………………..
y i = b i 1 b i 2 b ij b is b in
…………………………………………………………………..
x s = b r 1 b r 2 b rj b rs b rn
………………………………………………………………….
y n = b m 1 b m 2 b mj b ms b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21 -26 -13 -37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = – 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = – 3 + 2t

x 2 = – 1 – 3t

x 3 = – 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; – 1; – 2; 4; 0).

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.


Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера – весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .


А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений

Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.

Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.   

Матричный метод решения – метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A-1 · B, где A-1 – обратная матрица.

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с nнеизвестными:

Её можно переписать в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A-1 — матрицу, обратную к матрице AA-1 (AX) = A-1B

Так как A-1A = E, получаем X = A-1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: detA≠ 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.

Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они  понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Теперь найдём союзную матрицу и транспонируем  её, потом подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Найдем неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу  и столбец свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

Если у Вас есть вопросы или Вам нужна помощь в решении линейных уравнений или систем, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь.  

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Правило Крамера – объяснение и примеры

Для решения системы уравнений мы в основном используем метод подстановки , метод исключения, метод построения графиков или . Мы также можем использовать матричную алгебру для решения системы уравнений. Такие процессы, как исключение Гаусса (также известное как исключение Гаусса-Жордана), могут помочь решить систему уравнений с $ 3 $ или более неизвестными. Мы также можем использовать Правило Крамера для решения системы.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера – это метод решения системы уравнений с использованием определителей.

В этом уроке мы рассмотрим, что такое правило Крамера и как решить систему уравнений. Далее следуют несколько примеров и практических задач.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера – это метод решения системы уравнений с использованием определителей. Это красоты правила Крамера. Мы можем найти значение отдельной переменной, не решая всю систему (или другие переменные).

Помните детерминанты?

Рассмотрим матрицу $ 2 \ times 2 $, показанную ниже:

$ A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} $

Определитель этой матрицы определяется выражением:

$ det (A) = | А | = \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = ad – bc $

Примечание: мы использовали обозначения $ 3 $ для обозначения определителя.

Теперь рассмотрим матрицу $ 3 \ times 3 $, показанную ниже:

$ B = \ begin {bmatrix} {a} & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \ end {bmatrix} $

Определитель этой матрицы определяется выражением:

$ det (B) = | B | = \ begin {vmatrix} {a} & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \ end {vmatrix} = a \ begin {vmatrix} {e} & f \\ h & i \ end {vmatrix} – b \ begin {vmatrix} d & f \\ g & i \ end {vmatrix} + c \ begin {vmatrix} d & e \\ g & h \ end {vmatrix} $

Обратите внимание, что мы разбили матрицу $ 3 \ times 3 $ на более мелкие матрицы $ 2 \ times 2 $.Вертикальные черты за пределами матриц $ 2 \ times 2 $ показывают, что мы должны взять определитель. Зная определитель матриц $ 2 \ times 2 $, мы можем дополнительно упростить формулу до следующего вида:

$ det (B) = | B | = a (ei-fh) – b (di – fg) + c (dh-eg) $

Рассмотрим систему уравнений, показанную ниже:

$ \ begin {align *} {2x} + 3y & = \ , {7} \\ {- 3x} + 4y & = {15} \ end {align *} $

Теперь мы дадим наименование некоторым матрицам, которые помогут нам использовать правило Крамера для решения этой системы позже. на.

  • Следуя формуле детерминанта $ 2 \ times 2 $, мы можем записать матрицу детерминанта как:

$ D = \ begin {vmatrix} 2 & 3 \\ {- 3} & 4 \ end {vmatrix } $

Мы назвали его “D.”

  • Поместив постоянные коэффициенты из системы в первый столбец (вместо $ x $ s), мы можем написать другую матрицу:

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 7 & 3 \\ {15} & 4 \ end {vmatrix} $

Мы назвали его «$ D_ {x} $» и назвали его x-матрицей .

  • Точно так же, поместив константы из системы во второй столбец (вместо $ y $ s), мы можем написать другую матрицу:

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 2 & 7 \ \ {- 3} & 15 \ end {vmatrix} $

Мы назвали его «$ D_ {y} $» и назвали его y-матрицей .

Теперь формула правила Крамера для решения переменных $ x $ и $ y $ показана ниже:

$ x = \ frac {D_ {x}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} 7 & 3 \\ {15} & 4 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 & 3 \\ {- 3} & 4 \ end {vmatrix}} $

$ y = \ frac {D_ {y}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} 2 & 7 \\ {- 3} & 15 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 & 3 \\ {- 3} & 4 \ end {vmatrix}} $

Следующий раздел покажет нам, как на самом деле использовать правило и решать систему! Обратите внимание, что не может использовать правило Крамера, когда детерминант матрицы равен $ 0 $! Нулевой определитель может означать:

  • Система несовместима (у нее нет решения)
  • Система зависима (у нее бесконечное количество решений)

В этом случае мы должны полагаться на другие методы в решение системы, например, методом замены / исключения или методом исключения Гаусса.

Как пользоваться правилом Крамера?

Давайте решим систему уравнений ($ 2 $ переменных), используя правило Крамера, чтобы увидеть концепцию live в действии!

Решите систему уравнений, показанную ниже, используя правило Крамера:

$ \ begin {align *} {2x} + y & = \, {7} \\ {3x} – 2y & = {- 7} \ end {align *} $

Первый шаг – записать определители этой системы уравнений, определитель ($ D $), определитель $ x – $ ($ D_ {x}) и определитель $ y – $ ($ D_ {y}).Воспользуемся выученной формулой и запишем их:

$ D = \ begin {vmatrix} 2 & 1 \\ {3} & {- 2} \ end {vmatrix} $

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 7 & 1 \\ {- 7} & {- 2} \ end {vmatrix} $

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 2 & {7} \\ {3} & {- 7 } \ end {vmatrix} $

Вспомните формулу для вычисления определителя $ 2 \ times 2 $:

Для матрицы $ 2 \ timess 2 $ –

$ A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} $

Определитель вычисляется как –

$ det (A) = | А | = \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = ad – bc $

Рассчитаем детерминанты:

$ D = \ begin {vmatrix} 2 & 1 \\ {3} & {- 2} \ end {vmatrix} = (2) (- 2) – (1) (3) = – 4 – 3 = – 7 $

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 7 & 1 \ \ {- 7} & {- 2} \ end {vmatrix} = (7) (- 2) – (1) (- 7) = – 14 – (- 7) = – 14 + 7 = – 7 $

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 2 & {7} \\ {3} & {- 7} \ end {vmatrix} = (2) (- 7) – (7) (3) = -14 – 21 = – 35 $

Теперь мы можем использовать формулы и, таким образом, правило Крамера , чтобы найти переменные $ x $ и $ y $.Показано ниже:

$ x = \ frac {D_ {x}} {D} = \ frac {- 7} {- 7} = 1 $

$ y = \ frac {D_ {y}} {D} = \ frac {- 35} {- 7} = 5 $

Набор решений системы равен (1, 5) .

Вы можете заметить, что если бы мы хотели решить только $ 1 $ переменных, не решая всю систему, мы могли бы легко использовать формулу для одной переменной, чтобы найти это. Правило Крамера – довольно изящный инструмент для поиска решений системы уравнений.Мы увидим несколько примеров, а также один с переменными $ 3 $.

Пример 1

Решите систему уравнений, показанную ниже, используя правило Крамера:

$ \ begin {align *} {- x} – y & = \, {5} \\ {2x} + y & = {4} \ end {align *} $

Решение

Первый шаг – записать определители этой системы уравнений, определитель ($ D $), $ x – $ определитель ($ D_ {x }) и определитель $ y – $ ($ D_ {y}).Воспользуемся выученной формулой и запишем их:

$ D = \ begin {vmatrix} – 1 & – 1 \\ {2} & {1} \ end {vmatrix} $

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 5 & – 1 \\ {4} & {1} \ end {vmatrix} $

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} – 1 & {5} \\ {2} & {4 } \ end {vmatrix} $

Мы будем использовать формулу для вычисления определителей матриц $ 2 \ times 2 $ для вычисления матриц $ D $, $ D_ {x} $ и $ D_ {y} $.

$ D = \ begin {vmatrix} – 1 & – 1 \\ {2} & {1} \ end {vmatrix} = (- 1) (1) – (- 1) (2) = – 1 + 2 = 1 $

$ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 5 & – 1 \\ {4} & {1} \ end {vmatrix} = (5) (1) – (- 1) (4) = 5 + 4 = 9 $

$ D_ {y} = \ begin {vmatrix} – 1 & {5} \\ {2} & {4} \ end {vmatrix} = (- 1) (4) – (5 ) (2) = – 4 – 10 = – 14 $

Теперь мы используем формулы, изученные в правиле Крамера, чтобы найти значения переменных:

$ x = \ frac {D_ {x}} {D} = \ frac {9} {1} = 9 $

$ y = \ frac {D_ {y}} {D} = \ frac {- 14} {1} = – 14 $

Решение установило система составляет долларов США (9, – 14) долларов США.

Давайте посмотрим на пример с переменными $ 3 $.

Пример 2

Решите систему уравнений, показанную ниже, используя правило Крамера:

$ \ begin {align *} 2a + b – 2c & = \, – 1 \\ 3a – 3b – c & = 5 \\ a – 2b + 3c = 6 \ end {align *} $


Решение

Первый шаг – записать определители этой системы уравнений, определитель ($ D $), $ a – определитель $ ($ D_ {a}), определитель $ b – $ ($ D_ {b}) и определитель $ c – $ ($ D_ {c}).Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

$ D = \ begin {vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {vmatrix} $

$ D_ {a} = \ begin {vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & 3 \ end {vmatrix} $

$ D_ {b} = \ begin {vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \ end {vmatrix} $

$ D_ {c} = \ begin {vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \ end {vmatrix} $

Для матрицы в форме:

$ B = \ begin {bmatrix} {a} & {b } & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \ end {bmatrix} $

Определитель рассчитывается как:

$ | B | = a (ei-fh) – b (di – fg) + c (dh-eg) $

Теперь мы используем правило Крамера и вычисляем значения переменных $ a $, $ b $ и $ c $ .Шаги показаны ниже (мы не показывали подробные шаги поиска определителей матриц $ 3 \ times 3 $):

$ a = \ frac {D_ {a}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & 3 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {vmatrix}} = \ frac {-26} {- 26} = 1 $

$ b = \ frac {D_ {b}} {D} = \ frac {\ begin {vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {vmatrix}} = \ frac {26} {- 26} = -1 $

$ c = \ frac {D_ {c}} {D } = \ frac {\ begin {vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {vmatrix}} = \ frac {-26} {- 26} = 1 $

Набор решений системы равен $ ( 1, – 1,1) $.

Практические вопросы

  1. Решите систему уравнений, показанную ниже, используя правило Крамера:

    $ \ begin {align *} {5x} + 2y & = \, {10} \\ {- x} + 4y & = {20} \ end {align *} $

  2. Решите систему уравнений, показанную ниже, используя правило Крамера:

    $ \ begin {align *} 3x – 4y + z & = \, -5 \ \ x – y – z & = – 10 \\ 6x – 8y + 2z = 10 \ end {align *} $

Ответы

  1. Первый шаг – написать определители этой системы уравнений, определитель ($ D $), определитель $ x – $ ($ D_ {x} $) и определитель $ y – $ ($ D_ {y} $).Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

    $ D = \ begin {vmatrix} 5 & 2 \\ {- 1} & {4} \ end {vmatrix} $

    $ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 10 & 2 \\ {20} & {4} \ end {vmatrix} $

    $ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 5 & {10} \\ {- 1} & {20} \ end {vmatrix} $

    Мы будем использовать формулу для вычисления определителей матриц $ 2 \ times 2 $ для вычисления матриц $ D $, $ D_ {x} $ и $ D_ {y} $.

    $ D = \ begin {vmatrix} 5 & 2 \\ {- 1} & {4} \ end {vmatrix} = (5) (4) – (2) (-1) = 20 + 2 = 22 $

    $ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 10 & 2 \\ {20} & {4} \ end {vmatrix} = (10) (4) – (2) (20) = 40-40 = 0 $

    $ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 5 & {10} \\ {- 1} & {20} \ end {vmatrix} = (5) (20) – (10) (-1) = 100 + 10 = 110 $

    Теперь мы используем формулы, изученные в правиле Крамера, чтобы найти значения переменных:

    $ x = \ frac {D_ {x}} {D} = \ frac {0} {22 } = 0 $

    $ y = \ frac {D_ {y}} {D} = \ frac {110} {22} = 5 $

    Набор решений системы равен $ (0, 5) $ .

  2. Первый шаг – записать определители этой системы уравнений, определитель ($ D $), определитель $ x – $ ($ D_ {x}), $ y – $ определитель ($ D_ {y}) $ И определитель $ z – $ ($ D_ {z}) $. Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

    $ D = \ begin {vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 6 & -8 & 2 \ end {vmatrix} $

    $ D_ {x} = \ begin {vmatrix} 5 & -4 & 1 \\ -10 & -1 & -1 \\ 10 & -8 & 2 \ end {vmatrix} $

    $ D_ {y} = \ begin {vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & -10 & -1 \\ 6 & 10 & 2 \ end {vmatrix} $

    $ D_ {z} = \ begin {vmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & -1 & -10 \\ 6 & -8 & 10 \ end {vmatrix} $

    Напомним, что матрица $ 3 \ times 3 $ вида:

    $ B = \ begin {bmatrix} {a} & {b} & c \\ {d} & {e} & f \\ g & h & i \ end {bmatrix} $

    Имеет определитель, равный:

    $ | B | = a (ei-fh) – b (di – fg) + c (dh-eg) $

    Сначала найдем значение определителя, $ D $,

    $ D = \ begin {vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 6 & -8 & 2 \ end {vmatrix} = 3 (-2-8) +4 (2 + 6) +1 (-8 + 6) = 3 (-10) + 4 (8) +1 (-2) = 0 $

    Определитель этой матрицы равен $ 0 $; таким образом, мы не можем решить систему с помощью правила Крамера !!

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОГО МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ – Основы количественных методов

Линейные уравнения могут быть решены с помощью матричных методов, таких как: метод обращения матриц, правило Крамера и методы исключения Гаусса-Джордана.Однако, прежде чем изучать эти методы, следует уметь представлять линейные уравнения в матричной записи.

Представление линейных уравнений в матричной записи

Рассмотрим следующие n линейных уравнений от n неизвестных:

Вышеупомянутая система линейных уравнений может быть представлена ​​в матрице для A X = B

Правило Крамера

Как описано ранее, определители полезны при нахождении обратной матрицы невырожденной матрицы.Теперь давайте посмотрим, как его использовать при решении линейных систем, матричный коэффициент (A) которых неособен (или обратим).

Например, рассмотрим линейную систему в матричной форме,

A X = B (с двумя неизвестными)

Где, A – матричный коэффициент

B – неоднородный член, а

X, неизвестная матрица-столбец

Рассмотрим систему,

Это называется правилом Крамера.

Значения D, D1 и D2 также можно получить следующим образом:

Пример 9.13

Решите линейную систему, используя правило Крамера,

7x -5лет = 20

2x – y = 7

Решение:

Запись вышеуказанной системы в матричной форме A X = B

Правило Крамера: (три неизвестных или матрица 3 × 3)

Пусть система уравнений будет

Получено заменой первого столбца на B

Пример 9.14

5x – 2y + 3z = – 1

3x + y – 2z = 25 2x – 4y + 5z = – 29

Решение:

Метод инверсии матрицы

Для решения системы уравнений можно использовать метод обращения матрицы.В следующем примере показано, как можно решить систему уравнений с помощью этого метода. Пример 9.15

Решить x + y + z = 6 x – y + z = 2

2x – y + 3z = 9, используя метод инверсии матрицы.

Решение:

Данная система уравнений может быть выражена как,

AX = B

Метод исключения Гаусса – Джордана

Процедура решения линейных уравнений с использованием метода исключения Гаусса-Жордана следующая:

    1. Запишите систему уравнений в виде расширенной матрицы.
    2. Обозначьте крайний левый столбец, в котором не все нули.
    3. Если верхний элемент в крайнем левом столбце равен нулю, поменяйте местами верхнюю строку, чтобы в этом столбце появился ненулевой элемент.
    4. Если этот ненулевой элемент – «a», умножьте верхнюю строку на 1 / a, чтобы получить начальную 1 в этой строке.
    5. Добавьте числа, кратные этой строке, к другим строкам, чтобы все остальные строки имели 0 в этом столбце.
    6. Закройте (игнорируя) верхний ряд и вернитесь ко второму шагу, учитывая ряды ниже этого (до шага 5).

Продолжайте этот процесс, пока матрица не уменьшится до единичной матрицы.

Следующий пример иллюстрирует процедуру решения системы уравнений с использованием метода исключения Гаусса-Жордана.

Пример 9.16

Найдите значения x, y и z, решив следующую систему уравнений.

2y – 3z = 2

2х + г = 3

х – у + 3z = 1

Решение:

Шаг 1: Запишите систему уравнений в виде расширенной матрицы

Шаг 2: Поменяйте местами первую и третью строки, чтобы верхний левый элемент был ненулевым.

Шаг 3: Добавьте 2 раза первую строку ко второй строке, чтобы получить 0 во втором элементе первого столбца.

Шаг 4. Разделите вторую строку на 2, чтобы получить 1 в начале строки 2

Шаг 5: Добавьте вторую строку к первой; и прибавьте 2 раза вторую строку к третьей, чтобы получить 0 во втором столбце

Шаг 6: Разделите строку 3 на 2, чтобы получить 1 в начале

Шаг 7: прибавьте 1/2 строки 3 к строке 1 и добавьте 5/2 раза строку 3 к строке 2, чтобы получить 0 в третьем столбце

Итак, приведенная выше матрица является единичной матрицей.

Следовательно, x = 5/4

y = 7/4 z = 1/2

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения исходным уравнениям.

2y – 3z = 2 (7/4) – 3 (1/2) = (7/2) – (3/2) = 4/2 = 2 2x + z =

2 (5/4) + (1/2) = (5/2) + (1/2) = 6/2 = 3 x – y + 3z = (5/4)

– (7/4) + 3 (1/2) = – (2/4) + (3/2) = 2/2 = 1

Значения x, y, z, вычисленные с использованием метода исключения Гаусса-Жордана, удовлетворяют уравнениям в примере.

Таким образом, менеджер может использовать правило Крамера, метод обращения матриц или метод исключения Гаусса-Жордана для решения системы уравнений.

Исключение Гаусса – обзор

1.6 Централизаторы и нормализаторы

В этом разделе мы построим централизаторы и нормализаторы в алгебре Ли L. Мы также даем алгоритмы вычисления базисов этих пространств. Для этого мы всюду предполагаем, что L имеет базис { x 1 ,…, x n } и структурные константы CijK относительно этого базиса (см. Раздел 1.5).

Пусть S будет подмножеством L. Тогда набор

CLS = x∈L | xs = 0foralls∈S

называется централизатором S в L. Мы доказываем, что C L ( S ) является подалгебра L. Пусть x, y C L ( S ) и s S. Тогда по тождеству Якоби

(1.19) xys = −ysx − sxy = 0,

, так что [ x, y ] ∈ C L ( S ) и C L ( S ) является подалгеброй L.

Несложно увидеть, что C L ( S ) равно центратору K в L, , где K – это подпространство, охватываемое S. Следовательно, в В алгоритме построения централизатора предполагается, что вход является базисом { y 1 ,…, y t } подпространства K из L, где

(1.10) yl = ∑j = 1nλljxj.

Тогда x = ∑ i α i x i лежит в C L ( K ) if и y l ] = 0 для 1 ≤ l t. Это эквивалентно

∑i = 1n∑j = 1nλljCijkαi = 0for1≤k≤nand1≤L≤t.

Отсюда следует, что мы имеем nt уравнений для n неизвестных α 1 ,… , α n . Мы можем решить эти проблемы методом исключения Гаусса; и поэтому мы находим алгоритм Централизатор для вычисления централизатора подпространства K из L.

Подмножество

CL = x∈L | xy = 0форально∈L

называется центром из L . У нас есть, что центр L сам по себе является центратором L , т.е. C ( L ) – C L ( L ). Поскольку [ x, y ] = 0 для всех x C ( L ) и y L, сразу же становится идеальным in L. Центр является ядром объявления карты: L → Конец (L), т.е.

CL = x∈L | adx = 0.

Итак, если мы изучаем структуру L по сопряженной карте, то мы теряем «из виду» центр.

Если C ( L ) = L, , то L называется абелевым или коммутативным.

Алгоритм вычисления централизатора также дает алгоритм вычисления центра. В этом случае требование для элемента x = ∑ i α i x i , чтобы принадлежать C ( L ), составляет [ x x j ] = 0 для 1 ≤ j n, , что сводится к

∑i = 1nCijkαi = 0for1≤j, k≤n.

Итак, у нас есть n 2 уравнения для n неизвестных α 1 ,… , α n , которые могут быть решены методом исключения Гаусса. Это дает нам алгоритм Center.

Пусть V будет подпространством L. Тогда набор

NLV = x∈L | xv∈Vforallv∈V

называется нормализатором из V в L. В том же Что касается централизатора, мы можем доказать, что нормализатор V в L является подалгеброй L. Если V оказывается подалгеброй L, , тогда V является идеалом в алгебре Ли N L ( V ).

Опишем алгоритм вычисления нормализатора. Пусть V будет подпространством L , охватываемым y 1 ,… , y t , где y 1 такие же, как в (1.10). Тогда x = ∑ i α i x i является элементом N L ( V ) , если и только если β есть лм для 1 ≤ л, м т такое, что

xyl = βl1y1 + ⋯ + βltytforl = 1,…, t.

Это составляет следующие линейные уравнения в переменных α i и β lm :

∑i = 1n∑j = 1nλljCijkαi − ∑m = 1tλmkβlm = 0for1≤l≤nand1 т.

Мы снова можем решить эти уравнения методом исключения Гаусса. Однако нас не интересуют значения β лм , поэтому мы отбрасываем ту часть решения, которая соответствует этим переменным, и находим базис N L ( V ) .Как следствие, у нас есть алгоритм Нормализатор для вычисления нормализатора подпространства V из L.

Пример 1.6.1

Пусть L будет алгеброй Ли с базисом { x 1 , …, x 5 } и таблица умножения

x1x4 = x1, x1x5 = −x2, x2x4 = x2, x2x5 = x1, x4x5 = x3.

(Как обычно, мы указываем только продукты [ x i , x j ] для i и опускаем те, которые равны 0.) Вычисляем базис центра L. Пусть x = ∑i = 15αixi – произвольный элемент L. Тогда x C ( L ) тогда и только тогда, когда [ x i , x ] = 0 для 1 ≤ i ≤ 5. Таким образом, 0 = [ x 1 , x ] = α 4 , x 1 α 5 , x 2 откуда следует, что α 4 = α 5 = 0.Тогда также [ x 2 , x ] = 0. Легко видеть, что [ x 3 , x ] = 0. От 0 = [ x 4 , x ] = α 1 , x 1 α 2 , x 2 + α α 5 , 43 x 9044 , 43 x 9044 что α 1 = α 2 = α 5 = 0.Наконец [ x 5 , x ] = α 1 , x 1 α 2 , x 1 – α x 3 , из которых α 1 = α 2 = α 4 = 0. Видно, что только α 3 может быть ненулевым. Отсюда следует, что C (L) охватывает размер x 3 .

Пусть V будет подпространством L , охватываемым x 1 . x 5 Пусть x = ∑i = 15αixi будет элементом L. Тогда x N L ( V ) тогда и только тогда, когда

xx1 = ax1 + bx5xx5 = Cx1 + dx5.

Первое из этих требований дает α 5 = 0 и a + α 4 = 0. Второе сводится к c – α 2 = 0 и α 1 = α 4 = 0. Следовательно, N L ( V ) охватывает x 2 , x 3 .

Примеры решения систем по методу Крамера. Линейные уравнения


2. Решение систем уравнений матричным методом (с использованием обратной матрицы).
3. Метод Гаусса для решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера используется для решения систем линейных алгебраических уравнений ( SLAU ).

Формулы для примера системы двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решите систему методом Крамера

Переменные NS и в .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы Вычисление определителей. :



Применяем формулы Крамера и находим значения переменных:
и.
Пример 1:
Решите систему уравнений:

относительно переменных NS и в .
Решение:


Давайте заменим первый столбец в этом определителе на столбец коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Проделаем аналогичное действие, заменив второй столбец в первом определителе:

Применимые формулы Крамера и найдем значения переменных:
и.
Ответ:
Комментарий: Этот метод можно использовать для решения систем более высоких измерений.

Комментарий: Если оказывается, что и на ноль делить нельзя, то говорят, что в системе нет единого решения. В этом случае у системы либо бесконечно много решений, либо их нет вовсе.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решите систему уравнений:

относительно переменных NS и в .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первым из уравнений системы является равенство, которое верно для любых значений переменных (потому что 4 всегда равно 4). Итак, осталось только одно уравнение. Это уравнение взаимосвязи между переменными.
Получается, что решением системы является любая пара значений переменных, связанных между собой равенством.
Общее решение будет записано так:
Частные решения могут быть определены путем выбора произвольного значения y и вычисления x, используя это равенство связи.

и т. Д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместима):

Решите систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы:

Формулы Крамера применить нельзя.Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы – равенство, что неверно ни при каких значениях переменных (разумеется, поскольку -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не выполняется ни при каких значениях переменных, то вся система не имеет решений.
Ответ: решений нет

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Используя определители третьего порядка, решение такой системы может быть записано в той же форме, что и для системы двух уравнений, т.е.е.

(2,4)

, если 0. Здесь

Это Правило Крамера решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера:

Решение … Найти определитель главной матрицы системы

Поскольку 0, мы можем применить правило Крамера, чтобы найти решение системы, но сначала мы вычислим еще три детерминанта:

Обследование :

Значит, решение нашлось правильно.

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, предполагают, что одни и те же правила могут быть сформулированы для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратичная система линейных уравнений с ненулевым определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение, и это решение рассчитывается по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  и определитель матрицы , производный от основного, замена и -го столбца на столбец свободных элементов .

Обратите внимание, что если  = 0, то правило Крамера не применяется. Это означает, что система либо не имеет решений вовсе, либо имеет бесконечно много решений.

После формулировки теоремы Крамера естественным образом возникает вопрос о вычислении определителей более высоких порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительный минор M ij элемент a ij называется определителем, полученным из данного путем удаления i -й строки и j -го столбца. Алгебраическое дополнение A ij элемент a ij называется младшим этого элемента, взятым со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найти миноры и дополнения элементов a 23 и a 31 определитель

Получим

Используя понятие алгебраического дополнения, мы можем сформулировать Теорема о разложении детерминантов n -й порядок по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов определенной строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Эта теорема лежит в основе одной из основных методы вычисления определителей, т. н. Метод приведения порядка … В результате разложения определителя n -го порядка в любую строку или столбец мы получаем n определителей ( n –1) -го порядка.Чтобы таких определителей было меньше, рекомендуется выбирать строку или столбец с наибольшим количеством нулей. На практике формула разложения определителя обычно записывается в виде:

тех. алгебраические дополнения явно записываются через миноры.

Примеры 2.4. Вычислите определители, сначала развернув их в любой строке или столбце. Обычно в таких случаях выбирают столбец или строку с наибольшим количеством нулей. Выбранная строка или столбец будет обозначен стрелкой.

2.5. Основные свойства определителей

Раскладывая определитель в любой строке или столбце, мы получаем n определителей ( n –1) -го порядка. Тогда каждый из этих определителей ( n –1) -го порядка также может быть разложен в сумму определителей ( n –2) -го порядка. Продолжая этот процесс, можно достичь определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Итак, для вычисления определителей 2-го порядка необходимо вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых.Количество членов будет резко увеличиваться по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление детерминант очень высокого порядка становится довольно трудоемкой задачей, по силам даже компьютеру. Однако можно вычислить определители и другим способом, используя свойства определителей.

Объект 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е.е. при транспонированной матрице :

.

Это свойство указывает на равенство строк и столбцов определителя. Другими словами, любое утверждение о столбцах определителя верно для его строк и наоборот.

Имущество 2 . Определитель меняет знак при обмене местами двух строк (столбцов).

Последствия . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбцы), то он равен нулю.

Недвижимость 3 . Общий множитель всех элементов в любой строке (столбце) можно переместить за знак определителя .

Например,

Последствия . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю .

Имущество 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число .

Например,

Свойство 5 . Определитель матричного произведения равен произведению определителей матриц:

При количестве уравнений такое же, как и количество неизвестных с главным определителем матрицы, не равным нулю, коэффициенты системы (для таких уравнений есть решение и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы отличен от нуля, это означает, что система непротиворечива и имеет одно решение, и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в которой вместо i ый столбец содержит столбец правых частей.

Когда определитель системы равен нулю, это означает, что система может стать совместной или несовместимой.

Этот метод обычно используется для небольших систем с большими вычислениями и когда необходимо определить одно из неизвестных. Сложность метода состоит в том, что необходимо вычислить множество детерминант.

Описание метода Крамера.

Имеется система уравнений:

Систему трех уравнений можно решить методом Крамера, который был рассмотрен выше для системы из двух уравнений.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных:

Это будет системный идентификатор … Когда D ≠ 0 , значит система совместима. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему формул Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Учитывая систему:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Поскольку Δ ≠ 0, следовательно, по теореме Крамера система непротиворечива и имеет одно решение.Вычисляем дополнительные детерминанты. Определитель Δ 1 получается из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же образом получим определитель Δ 2 из определителя матрицы системы, заменив второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Для того, чтобы освоить этот абзац, вы должны уметь открывать квалификаторы «два на два» и «три на три».Если классификаторы плохие, изучите, пожалуйста, урок Как рассчитать определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом сложения семестров!

Дело в том, что даже иногда, но есть такая задача – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом этапе вычисляем определитель, он называется главным определителем системы .

Метод Гаусса.

Если, то система имеет единственное решение, и чтобы найти корни, мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные квалификаторы также можно обозначать латинскими буквами.

Находим корни уравнения по формулам:
,

Пример 7

Решаем систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, на справа – десятичные числа с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую ​​систему? Вы можете попробовать выразить одну переменную через другую, но в этом случае вы, вероятно, получите ужасные причудливые дроби, с которыми крайне неудобно работать, и дизайн решения будет выглядеть просто ужасно.Вы можете умножить второе уравнение на 6 и выполнить почленное вычитание, но здесь будут отображаться те же дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

;

Ответ :,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приблизительно, что вполне приемлемо (и даже часто) для эконометрических задач.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс.При использовании этого метода обязательный фрагментом задания будет следующий фрагмент: «Что означает, что система имеет только одно решение» … В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Не лишним будет проверить, что удобно проводить на калькуляторе: в левую часть каждого уравнения системы подставляем приблизительные значения. В результате с небольшой ошибкой вы должны получить числа, которые находятся в нужных частях.

Пример 8

Ответ представлен обычными неправильными дробями. Сделайте чек.

Пример для самостоятельного решения (пример окончания и ответ в конце урока).

Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Найдите главный определитель системы:

Если, то система имеет бесконечно много решений или противоречива (не имеет решения).В этом случае правило Крамера не поможет; вам нужно использовать метод Гаусса.

Если, то система имеет уникальное решение, и для нахождения корней необходимо вычислить еще три определителя:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «ходит» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решите систему, используя формулы Крамера.

Решение : Решим систему, используя формулы Крамера.

, а значит, у системы есть уникальное решение.

Ответ :.

Собственно, здесь опять особо комментировать нечего, в виду того, что решение принимается по готовым формулам.Но следует отметить несколько моментов.

Бывает, что в результате вычислений получаются “плохие” несократимые дроби, например :.
Рекомендую следующий алгоритм “лечения”. Если у вас под рукой нет компьютера, делаем так:

1) Возможна ошибка расчета. Как только вы столкнулись с «плохой» дробью, вы должны немедленно проверить , правильно ли переписано условие … Если условие переписано без ошибок, то необходимо пересчитать детерминанты, используя разложение по другой строке ( столбец).

2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задачи была опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решаем задачу до конца, а потом обязательно проверим и оформляем на чистую копию после решения. Конечно, проверка дробного ответа – неприятный урок, но это будет обезоруживающий аргумент для учителя, который, ну, любит ставить минус за любую бяку. Как работать с дробями, подробно описано в ответе к примеру 8.

Если под рукой есть компьютер, то для его проверки воспользуйтесь автоматизированной программой, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение метода системной матрицы.

Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная, а во втором – переменная.В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, открывать определители с нулями рационально по той строке (столбцу), в которой стоит ноль, так как вычислений гораздо меньше.

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример самостоятельного решения (образец отделки и ответ в конце урока).

Для случая системы из 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно найти в уроке Determinant Properties. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже довольно напоминает сапог профессора на груди удачливого ученика.


Решение системы с использованием обратной матрицы

Метод обратной матрицы По сути, это частный случай матричного уравнения (см. Пример № 3 указанного урока).

Для изучения этого раздела вы должны уметь расширять определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут предоставлены по пути.

Пример 11

Решите систему с помощью матричного метода

Решение : Давайте запишем систему в матричной форме:
, где

Обратите внимание на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю, все понимают.Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в соответствующие места в матрице пришлось бы поставить нули.

Находим обратную матрицу по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы.

Сначала мы имеем дело с определителем:

Здесь квалификатор раскрывается в первой строке.

Внимание! Если, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно.В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нам нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Артикул: Полезно знать значение двойных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой расположен этот элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором расположен этот элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, и, например, элемент находится в строке 3, столбце 2

По ходу решения подсчета несовершеннолетних лучше расписывать подробно, хотя при определенном опыте их можно приучить считать с ошибками устно.

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ нахождения неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только в том случае, если количество искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть основная матрица, сформированная из системы, должна быть квадратной и не содержать нулевых строк, а также если ее определитель должен не быть нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $ D $ основной матрицы, основанный на коэффициентах уравнений, не равен нулю, то система уравнений непротиворечива и имеет единственное решение.Решение такой системы вычисляется с помощью так называемых формул Крамера для решения систем линейных уравнений: $ x_i = \ frac (D_i) (D) $

Что такое метод Крамера

Суть метода Крамера заключается в следующем. следует:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, сначала вычислим главный определитель матрицы $ D $. Когда вычисленный определитель основной матрицы при вычислении методом Крамера оказался нулевым, то система не имеет решений или имеет бесконечное количество решений.В этом случае, чтобы найти общий или базовый ответ для системы, рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем вам нужно заменить крайний столбец основной матрицы на столбец свободных элементов и вычислить определитель $ D_1 $.
  3. Повторите то же самое для всех столбцов, получая определители от $ D_1 $ до $ D_n $, где $ n $ – номер самого правого столбца.
  4. После нахождения всех определителей $ D_1 $ … $ D_n $, вы можете вычислить неизвестные переменные по формуле $ x_i = \ frac (D_i) (D) $.

Методы вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше 2 на 2 вы можете использовать несколько методов:

  • Правило треугольников или правило Сарруса похоже на то же правило . Суть метода треугольника заключается в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединенных на рисунке красной линией справа, они записываются со знаком плюс, а все числа, соединенные таким же образом на рисунке на слева – со знаком минус.B оба правила подходят для матриц 3 x 3. В случае правила Сарруса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней, рядом с ней, заново переписываются ее первый и второй столбцы. Диагонали проводятся через матрицу, и эти дополнительные столбцы, элементы матрицы, лежащие на главной диагонали или параллельно ей, записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на боковой диагонали или параллельно ей, записываются с помощью знак минус.

Рисунок 1.Правило треугольника для вычисления определителя по методу Крамера

  • Используя метод, известный как метод Гаусса, этот метод также иногда называют уменьшением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольной форме, а затем все числа на главной диагонали умножаются. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя умножать или делить строки или столбцы на числа, не принимая их в качестве множителя или делителя.В случае поиска определителя возможно только вычитание и сложение строк и столбов вместе, предварительно умножив вычтенную строку на ненулевой коэффициент. Также при каждой перестановке строк или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости изменения финального знака матрицы.
  • При решении СЛАУ с 4 неизвестными методом Крамера лучше всего использовать метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или для определения определителей путем поиска миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применяем метод Крамера для системы из двух уравнений и двух искомых величин:

$ \ begin (cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \ end (кейсы) $

Для удобства отобразим его в расширенном виде:

$ A = \ begin (array) (cc | c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \ end (array) $

Найдем определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$ D = \ begin (array) (| cc |) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \ end (array) = a_1 \ cdot a_4 – a_3 \ cdot a_2 $

Если главный определитель не равен нулю, то для решения проблемы методом Крамера необходимо вычислить еще пару определителей из двух матриц с замененными столбцами основной матрицы на строка бесплатных терминов:

$ D_1 = \ begin (array) (| cc |) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \ end (array) = b_1 \ cdot a_4 – b_2 \ cdot a_4 $ 90 009

$ D_2 = \ begin (массив) (| cc |) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \ end (array) = a_1 \ cdot b_2 – a_3 \ cdot b_1 $

Теперь давайте найдем неизвестные $ x_1 $ и $ x_2 $:

$ x_1 = \ frac (D_1) (D) $

$ x_2 = \ frac (D_2) (D) $

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3-го порядка (3 x 3) и тремя требуемыми.

Решите систему уравнений:

$ \ begin (кейсы) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 9 \\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \ end (кейсы)

$

Рассчитаем главный определитель матрицы, используя приведенное выше правило под номером 1:

$ D = \ begin (массив) (| ccc |) 3 & -2 & 4 \\ 3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \ end (массив) = 3 \ cdot 4 \ cdot (-1) + 2 \ cdot (-2) \ cdot 2 + 4 \ cdot 3 \ cdot (-1) – 4 \ cdot 4 \ cdot 2-3 \ cdot (-2) \ cdot (-1) – ( – 1) \ cdot 2 \ cdot 3 = – 12-8-12-32-6 + 6 = – 64 $

А теперь еще три детерминанта:

$ D_1 = \ begin (массив) (| ccc |) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \ end (массив) = 21 \ cdot 4 \ cdot 1 + ( – 2) \ cdot 2 \ cdot 10 + 9 \ cdot (-1) \ cdot 4-4 \ cdot 4 \ cdot 10-9 \ cdot (-2) \ cdot (-1) – (-1) \ cdot 2 \ cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296 долларов США

$ D_2 = \ begin (массив) (| ccc |) 3 & 21 & 4 \\ 3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \ end (массив) = 3 \ cdot 9 \ cdot (- 1 ) + 3 \ cdot 10 \ cdot 4 + 21 \ cdot 2 \ cdot 2 – 4 \ cdot 9 \ cdot 2 – 21 \ cdot 3 \ cdot (-1) – 2 \ cdot 10 \ cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 9000 долларов США

$ D_3 = \ begin (массив) (| ccc |) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \ end (массив) = 3 \ cdot 4 \ cdot 10 + 3 \ cdot (-1) \ cdot 21 + (-2) \ cdot 9 \ cdot 2-21 \ cdot 4 \ cdot 2 – (-2) \ cdot 3 \ cdot 10 – (-1) \ cdot 9 \ cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60 $

Найдем нужные значения:

$ x_1 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (- 296) (- 64) = 4 \ frac (5) (8)

долларов США

$ x_2 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (108) (-64) = – 1 \ frac (11) (16)

$

$ x_3 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (-60) (-64) = \ frac (15) (16)

долларов США

Измените систему уравнений на расширенную матрицу.Затем используйте метод Крамера для решения …

  • Данная матрица представляет собой расширенную матрицу, представляющую систему линейных уравнений относительно x, y, …

    Данная матрица представляет собой расширенную матрицу, представляющую систему линейных уравнений относительно x, y и z. Используйте метод исключения Гаусса-Жордана (см. Блок метода исключения Гаусса-Жордана и пример 1), чтобы найти решение системы. ſi 2 51 | 2 – 4 LO 1 – 3 (x, y, z) = (

  • 1. (a) Выразите следующую систему уравнений в форме расширенной матрицы.2x – 4 года + …

    1. (a) Выразите следующую систему уравнений в форме расширенной матрицы. 2x – 4y + 5z = 9 x + 3y + 8z = 41 6x + y – 3z = 25 (2 балла) (b) Используйте метод исключения Гаусса для решения системы уравнений. (6 баллов)

  • Предположим, что линейная система уравнений относительно неизвестных x, y и z имеет следующую расширенную матрицу ….

    Предположим, что линейная система уравнений с неизвестными x, y и z имеет следующие дополненные матрица. 1 -1 2 -2 -4 -2 3 1 3 -2 4 -3 Используйте метод исключения Гаусса-Жордана, чтобы решить систему относительно x, y и z.Проблема №7: Введите значения x, y и z. здесь, в таком порядке через запятую.

  • Используйте расширенную матрицу для решения линейной системы

    Используйте расширенную матрицу для решения линейной системы. x + 4y-2z = 3 Шаг № 1 [1 4 -2: 3] x + 3y + 7z = 1 [1 3 7: 1] 2x + 9y + z = 8 [2 9 1: 8]

  • 1. (a) Выразите следующую систему уравнений в форме расширенной матрицы. 2x – 4 года + …

    1. (a) Выразите следующую систему уравнений в форме расширенной матрицы.2x – 4y + 5z = 9 x + 3y + 8z = 41 6x + y – 3z = 25 (2 балла) (6) Используйте метод исключения Гаусса для решения системы уравнений. (6 баллов) 2. Учитывая, что матрица A: 18 A = 1 8 -1 4 -1 -1 -1 8 (a) Определите AT. (6) Вычислите det (A). (2 балла) (6 баллов) 3. См. График …

  • 4. Решите следующую систему линейных уравнений, используя метод обратной матрицы. 1 г = …

    4. Решите следующую систему линейных уравнений, используя метод обратной матрицы. 1 y = 1 2, 3 2 -r- 1 5 4 a) x + y + z = 6 x-y-3z = -8 x + y- 2z = -6 b) Решите следующую систему линейных уравнений, используя правило Крамера.5. 2 1 -X- 3 2 1 3 X + -y-1 5 4 y = 1 a) x + y + z = 6 x-y-3z = -8 x + y- 2z = -6 b) 4. Решите следующую систему линейных уравнений, используя метод обратной матрицы. 1 …

  • Вопрос 4 Решите приведенную ниже систему, используя расширенную матрицу и метод редукции Гаусса …

    Вопрос 4 Решите приведенную ниже систему, используя расширенную матрицу и метод редукции Гаусса. Ваша итоговая матрица должна быть в виде эшелона строк. Укажите все используемые вами элементарные операции со строками.+ 2y – 52 6 + 3y 2 -X 5y 10z = 6 X

  • Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице, используя переменные x, y и z

    Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице, используя переменные x, y и z. 0 10 6–53 8 – 9 7– 5 0 – 3–4

  • Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице. Затем выполните строковые операции R1 …

    Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице.Затем выполните строковые операции R1 = – 4r2 + 17 и R3 = 212 +13 над данной расширенной матрицей 9-611-6 2-4 3-6 – 4 15 5 Какая из следующих систем уравнений соответствует расширенной матрица? О.А. 9x-6y + 1 = -6 OB. 19x-6y + z = -6 2x – 4y +3 = -6 2x – 4y + 3z = -6 | – 4x + …

  • 2,3, 6, 7 1. Без матриц решите следующую систему, используя метод исключения Гаусса + …

    2,3, 6, 7 1. Без матриц решите следующую систему, используя метод исключения Гаусса + 1 + HP 6x – Sy- -2 2.Рассмотрим следующую линейную систему уравнения 3x 2 Sy- (a) Запишите расширенную матрицу для этой линейной системы (b) Используйте операции со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в форму row.echelon (пометьте все шаги) (c) Используйте обратную подстановку, чтобы решить линейную систему.

  • Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *