Метод гаусса примеры решений: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Метод Гаусса, СЛАУ — понятие, примеры задач

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик, физик, механик, геодезист и астроном. Его называют «королём математиков». Гаусс внес величайший вклад в науку. Во всех областях математики он провёл фундаментальные исследования: в алгебре, в теории вероятностей, в теории чисел, в теории функций комплексного переменного, в дифференциальной и неевклидовой геометрии, в математическом анализе, в аналитической и небесной механике, в астрономии, в физике и в геодезии. Но метод Гаусса не был им открыт. Он был известен за долго до рождения математика. Впервые этот метод упоминается в китайском трактате «Математика в девяти книгах», возраст которого датируется примерно с ІІ в. до н. э.

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

СЛАУ: определение, виды систем

Определение

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащей m линейных уравнений и n неизвестных, называется система вида

Число уравнений \[m\] не обязательно совпадает с числом неизвестных n.

Особенности системы линейных алгебраических уравнений:

Уравнение не обязательно заранее на совместность.
Есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычисленных операций.
Можно решать такие системы уравнений, у которых определитель основной матрицы равняется нулю или количество уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных.

Система линейных алгебраических уравнений может иметь:

Одно решение;
Много решений;
Не имеет решений.

Если решений нет тогда СЛАУ называется несовместима, если есть — совместимой. Если решение одно, тогда система линейных алгебраических уравнений называется определённой, если решений несколько – неопределённой.

Метод Гаусса и метод последовательного исключения неизвестных

Определения

Метод Гаусса – это метод решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), суть которого заключается в последовательном исключение неизвестных переменных с помощью элементарных преобразований строк.

Прямой ход метода Гаусса – это поочерёдное преобразования уравнений системы для последующего избавления от переменных неизвестных.

Обратный ход метода Гаусса – это вычисление переменных неизвестных от последнего уравнения к первому.

Решение уравнений методом Гаусса

Пример №1 решение уравнений методом Гаусса:

С первой строки определяем х. Сначала -2у переносим на другую сторону уравнения, а затем обе стороны делим на 4.

Теперь во второе уравнение системы подставляем значение х. Находим у.

Теперь когда у нас есть значение у, ми возвращаемся в первое уравнение и определяем х.

Ответ: \[x=-\frac{5}{4} ; \quad y=\frac{3}{2}\]

Пример №2.

Для упрощение перепишем уравнение так, чтобы на первом месте была строка с коэффициентом 1.

Теперь последовательно исключаем \[x_{1}\]с последующих строк. Для исключения с второго уравнения обе части первого уравнение надо умножаем на -3, а затем сложить с вторым.

Так же и с третьим уравнением, только умножение на -4.

Теперь приводим уравнение к ступенчатому виду. Нужно сделать так, чтобы во второй строке возле \[x_{2}\] стала 1. Значит нам надо обе части уравнения умножить \[-\frac{1}{4}\]

Для того чтобы избавится от \[x_{2}\] в третьим уравнении, мы множим вторую строку на 5 и слаживаем её с третьей.

Теперь с третьей строки находим \[x_{3}\].

Мы закончили прямой ход метода Гаусса. Теперь приступаем к обратному ходу. Подставляем значение х₃ во вторую строку и вычисляем \[x_{2}\]

Подставляем значение \[x_{2} и x_{3}\] в первое уравнение и вычисляем \[x_{1}\].

\[\left\{\begin{array}{l} x_{1}=1 \\ x_{2}=2 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.\]

Ответ: \[x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=3\]

Рассмотрим решение систем уравнений методом Гаусса.

Определение

Матрица системы уравнений – это та матрица, которая создаётся только с коэффициентов при переменных неизвестных.

Матрицей данной системы линейных алгебраических уравнений есть:

Вектор неизвестных – это вектор \[\bar{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\], координатами которого являются неизвестные нашей системы.

Вектор \[\bar{b}=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}\right)\] – это вектор-столбец из свободных членов правых частей уравнений.

Расширенная матрица – та, в которой ещё записаны и свободные члены.

Если хотя бы одно из чисел \[b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}\] не равно нулю, то система называется неоднородной. Если в правой части стоят только нули \[\left(b_{1}=b_{2}=\ldots=b_{m}=0\right)\], то такая система однородная.

Решение системы уравнений – это набор чисел \[x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n}\], то есть вектор \[\bar{x}\].

Эквивалентными системами называются, когда каждое решение одной системы является решением другой, и на оборот.

Элементарные преобразования матрицы:

Если в матрице две строки становятся идентичными, оставляем одну, а другую убираем. Рассмотрим, например, матрицу

В данной матрице второй и третий ряд одинаковые, а четвёртый (если разделить на 2) такой же, как и они. Значить нам достаточно оставить только одну строку. И теперь наша матрица будет выглядеть так:

Если в ходе работы с матрицей один из рядом имеет сплошные нули, его тоже нужно удалить.

В матрице строки и столбцы можно менять местами.

Матричную строку можно делить, умножать на любое число, не равное нулю.

В этом примере целесообразно первую строку разделить на 5, а вторую умножить на 2. И теперь матрица будет выглядеть так:

Данные преобразования не меняют совокупности решений системы линейных алгебраических уравнений, то есть новые системы эквивалентные прежней.

А теперь рассмотрим тот же пример системы линейных алгебраических уравнений, что рассматривали ранее, только теперь с помощью матрицы.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Пример №3:

Запишем матрицу.

Теперь так же само, как и в предыдущем варианте, надо 3 во втором ряду первом столбце превратить в 0. Каждое число первого ряда надо умножаем на -3, а затем сложить с числами второго.

Так же само 4 в третьем ряду первом столбце превращаем в 0. Каждое число первого ряда умножаем на -4, а затем сложить с числами третьего ряда.

Чтобы привести к ступенчатому виду, или как в научной и учебной литературе называется трапециевидный или треугольный вид. Нужно сделать так чтобы во второй строке во втором столбце место -4 стала 1. Умножаем на \[-\frac{1}{4}\]

В третьем ряду надо – 5 превратить в 0. Множим вторую строку на 5 и слаживаем её с третьей.

\[-\frac{7}{2}\] превращаем в 1. Третий ряд умножаем на \[-\frac{7}{2}\].

Теперь возвращаемся от матрицы к системе уравнений.

Конечный вариант выходит тот же.

\[ \left\{\begin{array}{l} x_{1}=1 \\ x_{2}=2 \\ x_{3}=3 \end{array}\right. \]

Ответ: \[x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=3\].

Пример №4.

Записываем расширенную матрицу для данного СЛАУ.
\[ \left(\begin{array}{llrr} 3 & 2 & -5 \mid & -1 \\ 2 & -1 & 3 \mid & 13 \\ 1 & 2 & -1 & 9 \end{array}\right) \]
Переставляем третью строку на первое место.
\[ \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & 9 \\ 3 & 2 & -5 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \mid & 13 \end{array}\right) \]
Убираем 3 с первого столбца второй строки. Первый ряд умножаем на -3 и складываем с вторым.
\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 9 \\ 0 & -4 & -2 \mid & -28 \\ 2 & -1 & 3 \mid & 13 \end{array}\right) \]

Убираем 2 с первого столбца второй строки. Первый ряд умножаем на -2 и складываем с третьим.
\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 9 \\ 0 & -4 & -2 \mid & -28 \\ 0 & -5 & 5 \mid & -5 \end{array}\right) \]
Превращаем -4 во втором столбце второй строки в 1. Умножаем второй ряд на -\[\frac{1}{4}\].
\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 \mid & 9 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \mid & 7 \\ 0 & -5 & 5 \mid & -5 \end{array}\right) \]
Убираем -5 с второго столбца третьей строки. Второй ряд умножаем на 5 и складываем с третьим.

\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 \mid & 9 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \mid & 7 \\ 0 & 0 & \frac{15}{2} \mid & 30 \end{array}\right) \]
Превращаем \[\frac{15}{2}\] с третьего столбце третьей строки в 1. Умножаем третий ряд на \[\frac{2}{15}\]
\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 9 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \mid & 7 \\ 0 & 0 & 1 \mid & 4 \end{array}\right) \]
А теперь возвращаемся к системе линейных алгебраических уравнений.
\[ \left\{\begin{array}{c} x+2 y-z=9 \\ y+\frac{1}{2} z=7 \\ z=4 \end{array}\right. \]
Приступаем к обратному ходу методу Гаусса.
\[ \left\{\begin{array}{c} x+2 y-z=9 \\ y=5 \\ z=4 \end{array}\right.
\]
\[ \left\{\begin{array}{l} x=3 \\ y=5 \\ z=4 \end{array}\right. \]
Ответ: х=3, у=5, z=4.
Пример №5.
Переводим в матричную систему и проводим элементарные преобразование.
В конечном результате исходная система свелась к ступенчатой.
\[\left\{\begin{array}{c} x_{1}-x_{2}-5 x_{3}=2 \\ x_{2}+13 x_{3}-5 x_{4}=-3 \end{array}\right.\]
Ответ: \[x_{2}=5 x_{4}-13 x_{3}-3 ; \quad x_{1}=5 x_{4}-8 x_{3}-1\]
Математический анализ. (Виленкин)
Математический анализ. (Виленкин)

Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. Математический анализ. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. M., Просвещение, 1969 г.
Учебное пособие для школ с математической специализацией, снабженное большим количеством задач и упражнений. Как и вышедшая ранее (1968 г.) книга “Алгебра” того же авторского коллектива, может быть использована преподавателями и учащимися общеобразовательной школы.

Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
ВВЕДЕНИЕ
2. Числовые множества.
3. Пустое множество.
4. Подмножество.
5. Пересечение множеств.
6. Сложение множеств.
7. Разбиение множеств.
8. Вычитание множеств.
9. Отображение множеств.
10. Краткие исторические сведения.
Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Тождественные преобразования многочленов
2. Целые рациональные выражения и функции.
3. Степень с натуральным показателем и ее свойства.
4. Многочлены.
5. Умножение многочленов.
6. Числовые кольца и поля.
7. Кольцо многочленов над данным числовым полем.
8. Бином Ньютона.
§ 2. Деление многочленов. Корни многочленов
2. Теорема Безу. Схема Горнера.
3. Корни многочлена.
4. Интерполяционные формулы.
5. Кратные корни.
6. Многочлены второй степени.
7. Многочлены с целыми коэффициентами.
8. Краткие исторические сведения.
Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Общая теория уравнений
2. Область допустимых значений.
3. Уравнения.
4. Совокупности уравнений.
5. Преобразования уравнений.
6. Теоремы о равносильности уравнений.
§ 2. Уравнения с одним неизвестным
2. Метод разложения на множители.
3. Метод введения нового неизвестного.
4. Биквадратные уравнения.
5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней.
§ 3. Функциональные неравенства
2. Равносильные неравенства.
3. Доказательство неравенств.
4. Линейные неравенства.
5. Решение неравенств второй степени.
6. Решение алгебраических неравенств высших степеней.
7. Краткие исторические сведения.
Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. Степени с целым показателем
2. Степень с нулевым показателем.
3. Степень с целым отрицательным показателем.
§ 2. Корни. Степени с рациональными показателями
2. Степени с рациональными показателями.
3. Свойства степеней с рациональными показателями.
§ 3. Иррациональные алгебраические выражения
2. Одночленные иррациональные выражения.
3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю.
4. Извлечение корня из произведения и степени.
5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень.
6. Возведение корня в степень.
7. Извлечение корня из корня.
8. Подобные корни.
9. Сложение и вычитание корней.
10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби.
11. Преобразование выражений вида …
12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений.
§ 4. Иррациональные уравнения и неравенства
2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным.
3. Уединение радикала.
4. Введение нового неизвестного.
5. Особые случаи решения иррациональных уравнений.
6. Иррациональные неравенства.
7. Краткие историчесие сведения.
Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 1. Системы алгебраических уравнений
2. Системы уравнений.
3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными.
4. Совокупность уравнений.
5. Равносильные системы уравнений.
6. Метод подстановки.
7. Метод алгебраического сложения уравнений.
8. Метод введения новых неизвестных.
9. Системы однородных уравнений.
10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными.
§ 2. Системы линейных уравнений
2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений.
3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса.
4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду).
5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений.
6. Системы однородных линейных уравнений.
§ 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений
2. Выражение степенных сумм
3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.
4. Системы симметрических алгебраических уравнений.
5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений.
§ 4. Неравенства с многими переменными
2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел.
3. Неравенство Коши (двумерный вариант).
4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.
§ 5. Решение неравенств
2. Неравенства с двумя переменными.
3. Задание областей неравенствами и системами неравенств.
4. Понятие о линейном программировании.
5. Краткие исторические сведения.
Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа в алгебраической форме
2. Комплексные числа.
3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа.
4. Умножение комплексных чисел.
5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами.
6. Деление комплексных чисел.
7. Сопряженные комплексные числа.
8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел.
§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел
2. Полярная система координат.
3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра.
6. Извлечение корня из комплексного числа.
7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.
§ 3. Некоторые виды алгебраических уравнений
2. Двучленные уравнения.
3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников.
4. Трехчленные уравнения.
§ 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия
2. Многочлены с действительными коэффициентами.
3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами.
4. Краткие исторические сведения.
Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
§ 1. Конечные цепные дроби
2. Пример цепной дроби.
3. Определение цепной дроби.
4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби.
5. Подходящие дроби.
6. Свойства подходящих дробей.
8. Подходящие дроби и календарь.
9. Приближение цепной дроби подходящими дробями.
§ 2. Бесконечные цепные дроби
2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными.
3. Цепные дроби как вычислительный инструмент.
4. Краткие исторические сведения.
Глава VII. КОМБИНАТОРИКА
§ 1. Комбинаторные задачи
§ 2. Комбинаторные задачи. Продолжение
§ 3. Определения и формулы
§ 4. Соединения с повторениями
§ 5. Комбинаторные задачи. Окончание
§ 6. Бином Ньютона и его обобщения
§ 7. Краткие исторические сведения
Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности
§ 3. Примеры вычисления вероятностей
§ 4. Полная вероятность. Формула Байеса
§ 5. Повторение испытаний
§ 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание
§ 7. Краткие исторические сведения

MathOnWeb — исключение Гаусса

Что такое система линейных уравнений?
Некоторые уроки, которые можно извлечь из построения графика двух уравнений с двумя неизвестными
Расширенная матрица
Элементарные операции со строками
Исключение Гаусса
Резервный корпус
Противоречивый случай

Что такое система линейных уравнений?
Линейное уравнение на n неизвестных x ₁ , x ₂ , …, x _N – это уравнение формы:
A ₁ x ₁ + A ₂ x _{2 _{. … + a _n x _n = b}}
где a ₁ , a _{6 ₆₂ ,
… , a _n и b — константы.}
Название линейный происходит от того факта, что такое уравнение с двумя неизвестными или переменными представляет собой прямую линию. Набор таких уравнений называется системой . Пример системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными х , у и z это:

Некоторые уроки, которые можно извлечь из построения графика 2 уравнений с 2 неизвестными
Графический метод не очень полезен в качестве вычислительного инструмента, но полезен для визуализации такие понятия, как уникальность решения или значение противоречивых или избыточных систем. Рассмотрим следующую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
В этом методе мы просто рисуем графики уравнений, как мы делали справа. Обратите внимание, что график каждого уравнения представляет собой прямую линию. (Это отличительная черта линейной системы. Здесь нет кривых, только прямые линии.)
Любая точка на одной прямой является решением одного уравнения, а любая точка на другой прямой является решением другого уравнения. Точка пересечения линий { x =3,6, y =0,4} является решением которая удовлетворяет обоим уравнениям одновременно. Заметим, что решение единственное. Это потому что линии прямые и есть только одна точка, где они могут пересекаться.

Система линейных уравнений с единственным решением является «нормальной» ситуацией. Однако это можно иметь систему уравнений без решения. Такая система уравнений называется противоречивый . Часто это результат неточного или неправильного анализа физического состояния. система описывается системой уравнений.
Рассмотрим следующую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Эта система уравнений несовместима, так как x + y никак не могут равняться 2 и 4 одновременно. На рисунке справа показано, что граф этой системы состоит двух параллельных прямых, которые никогда не пересекаются. Таким образом, решения нет.

Также возможна система уравнений с бесконечным числом решений. Такая система уравнений называется избыточной . Часто это результат неполного анализ физической системы.
Рассмотрим следующую систему уравнений:
Эта система является избыточной, поскольку второе уравнение эквивалентно первому. График состоит из двух линий, лежащих одна над другой. Они «пересекаются» в бесконечном числе точек, поэтому существует бесконечное количество решений.

Подводя итог, линейная система с двумя неизвестными должна иметь как минимум два уравнения, чтобы получить единственное решение. Иметь 1 уравнение недостаточно, потому что 1 уравнение с 2 неизвестными представлено целой строкой. Достаточно двух уравнений, если они не избыточны и не противоречат друг другу. Наличие 3 (или более) уравнений — это слишком много. Третье уравнение должно быть либо избыточным, либо противоречивым.
Эти идеи можно обобщить на линейные системы уравнений с большим количеством неизвестных:
Линейное уравнение в n переменных представляет собой «гиперплоскость» в пространстве n измерений. Линейная система уравнений с n неизвестными должна иметь по крайней мере n уравнений, чтобы получить уникальное решение. Иметь меньшее количество недостаточно; решение не будет единственным. Достаточно иметь n уравнений, если они не являются избыточными или противоречивыми. Имея более n уравнений слишком много; система будет либо избыточной, либо непоследовательной.

Расширенная матрица
Мы представим систему уравнений прямоугольным массивом чисел, называемым дополненная матрица . Вот расширенная матрица для приведенного выше примера:

Немного терминологии:
Элементы расширенной матрицы называются элементами .
Строки проходят через всю матрицу.
Столбцы идут вниз по матрице.
Диагональ матрицы представляет собой набор элементов, который начинается в верхнем, левом углу и идет по диагонали вниз и вправо. Диагональ вышеуказанной матрицы состоит из чисел 4, 1 и 2.
Любые элементы в позиции a считаются лежащими на выше диагонали , а любой в позиции B на ниже диагонального :
Имейте в виду следующее:
I -ряд дополненных матриц.
j -й столбец (слева от вертикальной черты) представляет собой (коэффициенты) j -я переменная или неизвестная
вертикальная линия представляет знаки равенства

Элементарные операции с строками
Напомним, что такое уравнение, как:
7( x −4)=14,
можно решить для разрешения x , применив следующие операции:
Разделив обе части уравнения на одно и то же значение, а именно на 7, получим x -4=2,
, затем прибавив одинаковое количество к обеим сторонам, а именно 4, чтобы получить х = 6.
Решение x = 6, в чем можно убедиться, подставив его обратно в исходное значение. уравнение и нахождение тождества 14=14.
Аналогично, решением системы уравнений является любой набор значений всех переменных, удовлетворяющих всем уравнениям одновременно. Например, система:
имеет решение:
{ x = 7, y = 5, z = 3}.
Это можно проверить, подставив эти значения во все три уравнения и создание трех тождеств.
Система уравнений может быть решена путем обобщения двух операций, описанных выше, и заметив, что решение системы уравнений не меняется при:
делении обеих частей уравнения на константу, или
вычитание кратного одного уравнения из другого уравнения.
Эти же операции можно применить к строкам расширенной матрицы, поскольку каждая строка просто представляет уравнение. Затем они называются Elementary Row Operations .

Элементарные операции со строками (E.R.O.):
E.R.O.#1: Выберите строку расширенной матрицы и разделите (каждый элемент) строку константой.
Пример:
Обозначение означает разделить первую строку расширенной матрицы на 2, чтобы получить новую расширенную матрицу.
E.R.O.#2: Выберите любую строку расширенной матрицы и вычтите кратное любой другую строку из него (поэлементно).
Пример:
Обозначение означает взять строку 2 и вычесть из нее 3 раза строку 1, чтобы получить новую расширенную матрицу.

Мы будем применять E.R.O. в определенной последовательности (метод исключения Гаусса, описанный ниже) преобразовать расширенную матрицу в треугольную эшелонированную форму . В этой форме расширенная матрица имеет 1 по диагонали, 0 по диагонали и любые числа по диагонали. Например, расширенная матрица:
в виде треугольного эшелона:
Эта новая расширенная матрица представляет собой систему уравнений:
Она решается обратной подстановкой. Подставляя z = 3 из третьего уравнения в второе уравнение дает y = 5, а подстановка z = 3 и y = 5 в первое уравнение дает x = 7 . Таким образом, полное решение:
{ x = 7, y = 5, z = 3}.

Исключение по Гауссу
В методе исключения по Гауссу элементарные операции со строками (E.R.O.) применяются в определенном чтобы максимально эффективно преобразовать расширенную матрицу в треугольную эшелонированную форму.
В этом суть метода: Дана система m уравнений в n переменных или неизвестных, выберите первое уравнение и вычтите подходящие множители его из оставшиеся м -1 уравнения. В каждом случае выберите кратное так, чтобы вычитание отменяет или исключает ту же самую переменную, скажем, x ₁ . В результате оставшиеся m -1 уравнения содержат только n -1 неизвестных ( x ₁ больше не появляется).
Теперь отложите первое уравнение и повторите вышеуказанный процесс с оставшимися м -1 уравнения в n -1 неизвестных.
Продолжайте повторять процесс. Каждый цикл уменьшает количество переменных и количество уравнений. Процесс останавливается, когда:
Остается одно уравнение с одной переменной. В этом случае существует единственное решение а обратная замена используется для поиска значений других переменных.
Остались переменные, но нет уравнений. В этом случае нет единственного решения.
Остались уравнения, но нет переменных (т. е. самые нижние строки расширенной матрицы содержат только нули слева от вертикальной линии). Это свидетельствует о том, что либо система уравнения противоречивы или избыточны. В случае несоответствия информации, содержащейся в уравнениях противоречиво. В случае избыточности все еще может быть уникальное решение и обратная замена может использоваться для поиска значений других переменных.
Примеры всех этих возможностей приведены ниже.

Алгоритм исключения Гаусса:
Преобразование столбцов расширенной матрицы по одному в треугольную ступенчатую форму. Столбец, который в настоящее время преобразуется, называется сводным столбцом . Продолжайте слева направо, пусть основной столбец будет первым столбцом, затем вторым столбцом, и т. д. и, наконец, последний столбец перед вертикальной чертой. Для каждого сводного столбца выполните следующие два шага, прежде чем перейти к следующему сводному столбцу:
Найдите диагональный элемент в опорном столбце. Этот элемент называется стержнем . Строка, содержащая сводную строку, называется сводной строкой . Разделите каждый элемент в своде ряд по оси (т. е. используйте E.R.O. #1), чтобы получить новую строку оси с 1 в позиции оси.
Получите 0 в каждой позиции ниже точки поворота, вычитая подходящее кратное значение точки поворота. строку из каждой из строк под ней (т. е. с помощью E.R.O. #2).
По завершении этой процедуры расширенная матрица будет иметь форму треугольного эшелона и можно решить обратной заменой.

Пример: Используйте исключение Гаусса для решения системы уравнений:
Решение: Выполните эту последовательность E. R.O. на расширенной матрице. Установите сводной столбец в столбец 1. Получите 1 в диагональной позиции (подчеркнуто):
Затем установите 0 под опорной точкой (подчеркнуто):
Теперь пусть опорная колонка = вторая колонка. Сначала получите 1 в диагональной позиции:
Затем получите 0 в позиции ниже опорной:
Теперь пусть опорная колонка = третья колонка. Получите 1 в диагональной позиции:
Эта матрица, которая теперь имеет форму треугольного эшелона, представляет:
Она решается обратной подстановкой. Замена z = 3 из третьего уравнения в второе уравнение дает y = 5, а подстановка z = 3 и y = 5 в первое уравнение дает x = 7 . Таким образом, полное решение:
{ x = 7, y = 5, z = 3}.

Пример применения исключения Гаусса к избыточной системе линейных уравнений решите, если возможно:
Решение: Выполните эту последовательность E.R.O. на расширенной матрице. Установить сводную колонку в столбец 1. 1 уже находится в опорной позиции, поэтому продолжайте получать 0 под опорной точкой:
Теперь установите опорную колонку на вторую колонку. Сначала получите 1 в диагональной позиции:
Затем получите 0 в позиции ниже опорной:
Теперь установите опорную колонку на третью колонку. Первое, что нужно сделать, это получить 1 в диагональное положение, но нет возможности сделать это. На самом деле эта матрица уже в виде треугольного эшелона и представляет собой:
Эта система уравнений не может быть решена обратной подстановкой, потому что у нас нет значения для z . Последнее уравнение просто утверждает, что 0=0. Единого решения не существует, потому что z могут принимать на любом значении.
Обычно одна или несколько строк нулей внизу расширенной матрицы, которая была помещена в треугольную эшелонированную форму указывает на избыточную систему уравнений.

Пример применения исключения Гаусса к противоречивой системе линейных уравнений
Используйте исключение Гаусса, чтобы привести эту систему уравнений к решите, если возможно:
Решение: Выполните эту последовательность E.R.O. на расширенной матрице. Установить точку опоры от столбца к столбцу 1. В опорной позиции уже есть 1, поэтому продолжайте получать 0 ниже опорной точки:
Теперь установите опорный столбец на второй столбец. В позиции поворота уже есть 1, поэтому продолжайте, чтобы получить 0 ниже опорной:
Теперь установите опорную колонку на третью колонку. Первое, что нужно сделать, это получить 1 в диагональное положение, но нет возможности сделать это. На самом деле эта матрица уже находится в имеет форму треугольного эшелона и представляет собой:
Эта система уравнений противоречива и не имеет решения. Последнее уравнение утверждает противоречие, а именно 0 = −50.
В общем, расширенная матрица, которая представлена в виде треугольного эшелона и которая содержит одну или несколько нижних строк, состоящих из всех нулей слева от вертикальной линии и ненулевое число справа указывает на противоречивую систему уравнений, не имеющую решения.
[Решено] Решение методом Гаусса-Жордана для следующих уравнений
Решение методом Гаусса-Жордана для следующих уравнений равно
X + y + z = 9
2x – 3y + 4z = 13
3x + 4y + 5z = 40
Этот вопрос ранее задавался в
MPSC AE Civil Mains 2017 Official (Paper 39) 900 все документы MPSC AE >
x = 1, y = 2, z = 5
x = 1, y = 3, z = 5
x = 2, y = 1, z = 3
x = 1 , y = 3, z = 2
Вариант 2 : x = 1, y = 3, z = 5
Бесплатно
MPSC AE CE Mains 2019 Official (Документ 1)
3,2 тыс. пользователей
100 вопросов
200 марок
120 минут
Понятие:
Метод исключения Гаусса-Жордана:
Это алгоритм, который можно использовать для решения системы линейных уравнений и для нахождения обратной матрицы обратимой.
Он основан на трех элементарных операциях со строками, которые можно использовать с матрицей и преобразовать расширенную матрицу в диагональная матрица.

Расчет:
Дано:
{bmatrix}\) B = \(\begin{bmatrix} 9\\ 13\\ 40 \end{bmatrix}\)
AX = B
\(\begin{bmatrix} 1 &1 & 1\\ 2 & -3 &4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix} X\\ Y\\ Z \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 9\\ 13\\ 40 \end{bmatrix}\)
Теперь преобразуем данную форму уравнений в расширенную форму
\(\left [ A : B \right ]\) = \(\ begin{bmatrix} 1 &1 &1 &: &9 \\ 2&-3 &4 &: &13 \\ 3&4 &5 &: &40 \end{bmatrix}\) R ₂ —–> R ₂ – 2R ₁ и R ₃ —–> R ₃ – 3R ₁
= \(\begin{bmatrix} 1 &1 &1 &: &9 \\ 0&-5 &2 &: &-5 \ \ 0&1 &2 &: &13 \end{bmatrix}\)R ₁ —–> 5R ₁ + R ₂ и R ₃ —–> 5R ₃ + R ₂
90 &7 &: &40 \\ 0&-5 &2 &: &-5 \\ 0&0 &12 &: &60 \end{bmatrix}\) R ₂ —–> 6R ₂ – R ₃ и R ₁ —–> 12R ₁ – 7R ₃
= \(\begin{bmatrix} 60 &0 &0 &: &60 \\ 0&-5 &0 &: &-90 \\ 0&0 &12 &: &60 \end{bmatrix}\)
= \(\begin{bmatrix} 60 &0 &0 \\ 0&-30 &0 \\ 0&0 &12 \end{bmatrix}\)\(\begin{ bmatrix} X\\ Y\\ Z \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 60\\ -90\\ 60 \end{bmatrix}\)
Теперь умножим A и X и сравним их with B, we get
60X = 60 ⇒ X = 1
– 30Y = – 90 ⇒ Y = 3
12Z = 60 ⇒ Z = 5

Solving these types of questions с обычный метод как обсуждалось выше требует много времени и усилий.
Чтобы сэкономить время на экзамене, мы можем решить эти вопросы методом исключения .

Например:
Подставляем вариант 1 в первое уравнение, получаем
1 + 3 + 5 = 8 ≠ 9 Итак, исключаем этот вариант.
Теперь попробуйте вариант 2 во всех уравнениях
1 + 3 + 5 = 9 = 9
2 × 1 – 3 × 3 + 4 × 5 = 13
3 × 1 + 4 × 3 + 5 × 5 = 40
Значит, вариант 2 правильный.
Скачать решение PDF
Поделиться в WhatsApp
Последние обновления MPSC AE
Последнее обновление: 6 февраля 2023 г.
Список квалифицированных кандидатов в области гражданского строительства MPSC AE опубликован 3 февраля 2023 г.! Список для электриков был объявлен 20 января 2023 года. Комиссия по государственной службе штата Махараштра (MPSC) выпустила новое уведомление для MPSC AE Recruitment.