Теорема Гаусса • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»
Поток напряженности электрического поля, проходящий через замкнутую поверхность, пропорционален суммарному электрическому заряду, содержащемуся внутри этой поверхности.
В науке часто бывает, что один и тот же закон можно сформулировать по-разному. По большому счету, от формулировки закона ничего не меняется с точки зрения его действия, однако новая формулировка помогает теоретикам несколько иначе интерпретировать закон и испытать его применительно к новым природным явлениям. Именно такой случай мы и наблюдаем с теоремой Гаусса, которая, по существу, является обобщением закона Кулона, который, в свою очередь, явился обобщением всего, что ученые знали об электростатических зарядах на момент, когда он был сформулирован.
Вообще говоря, в математике, физике и астрономии найдется немного областей, развитию которых не посодействовал замечательный гений Карла Фридриха Гаусса. В 1831 году он вместе со своим молодым коллегой Вильгельмом Вебером (Wilhelm Weber, 1804–1891) занялся изучением электричества и магнетизма и вскоре сформулировал и доказал теорему, названную его именем.
Связь между законом Кулона и теоремой Гаусса станет очевидной на простом примере. Предположим, что заряд q окружен сферой радиуса r.
На удалении r от заряда напряженность электрического поля, которая определяется силой притяжения или отталкивания единичного заряда, помещенного в соответствующую точку, составит, согласно закону Кулона:
E = kq/r2
И то же самое значение мы получим для любой точки сферы заданного радиуса. Следовательно, суммарный поток напряженности электрического поля будет равен значению напряженности поля на удалении r от заряда, помноженному на площадь сферы (которая, как известно, равняется 4πr2). Иными словами, суммарный поток будет равен:
4πr2 × kq/r2 = 4πkq
Это и есть теорема Гаусса.
Интересное следствие из нее получается, если применить эту теорему к сплошному металлу. Представьте себе цельнометаллический предмет и воображаемую замкнутую поверхность внутри него. Полный электрический заряд внутри такой поверхности будет нулевым, поскольку внутри окажется равное число положительных и отрицательных зарядов — протонов атомных ядер и электронов соответственно.
Это свойство металлов часто используется экспериментаторами и инженерами-связистами для защиты высокочувствительных приборов от наведенных извне электрических помех. Обычно прибор просто окружается защитным медным экраном. Согласно теореме Гаусса, внешние электрические поля просто не в состоянии проникнуть внутрь такой оболочки и создать помехи работе прибора.
Другое интересное следствие теоремы Гаусса заключается в том, что если в дороге вас застала гроза, самое безопасное для вас — не выходить из машины, поскольку там вы окружены цельнометаллическим экраном. Даже если в ваш автомобиль ударит молния, внутри вам ничего не будет угрожать, поскольку весь разряд пройдет по корпусу и уйдет в землю.
Презентация по математике “Методы решения систем линейных уравнений”
Методы решения систем линейных уравнений
Работа педагога дополнительного образования
МБОУ ДОД ДДТ
г.Зверево
ростовской области
Куца Фёдора Ивановича.
1) Метод подстановки.
Идея метода. Выбирается уравнение, в котором одна из переменных наиболее просто выражается через остальные переменные. Полученное выражение этой переменной подставляется в оставшиеся уравнения системы.
Решить систему уравнений
Ответ. (3;1).
2) Метод алгебраического сложения.
Идея метода. В одном из уравнений избавляемся от одной из переменных, для этого уравниваем модули коэффициентов при одной из переменных, затем производим или почленное сложение уравнений, или вычитание.
Решить систему уравнений
Уравняем модули коэффициентов при переменной величине у, для этого первое уравнение умножим на 3, а второе на 2.
Сложив первое уравнение со вторым, получаем:
Ответ. (1;2).
3) Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
Идея метода. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть определено по формулам:
х = , у = , где и – определители, которые получаются
путем замены 1–го и 2-го столбца свободными членами.
Решить систему уравнений
Найдем определитель системы = = 5∙(-3) – 7∙2 = -15 – 14 = -29.
Так как ≠ 0, то система имеет единственное решение.
Определим и .
= = 9∙(-3) – 1∙2 = -27 – 2 = -29.
= = 5∙1 – 7∙9 = 5 – 63 = -58.
Теперь найдем решение системы.
х = = = 1, у = = = 2.
Ответ.
(1;2).
4) Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы .
Идея метода . А Х = В (1) – система записана в матричной форме, где А – матрица из коэффициентов при неизвестных, а В и Х – столбцы, составленные соответственно из свободных членов и из неизвестных. Если матрица А – невырожденная, т.е. определитель системы = |А| ≠ 0, то, умножая обе части уравнения (1) на матрицу А -1 слева, получаем решение системы в матричной форме: А
Решить систему уравнений
Найдем определитель системы = = 1∙(-3) – 1∙3 = -3 – 3 = – 6.
Так как ≠ 0, то система имеет единственное решение.
Определим алгебраические дополнения.
А 11 =(-1) 1+1 ∙(-3) = -3, А 12 = (-1) 1+2 ∙1 = -1, А 21 = (-1) 2+1 ∙3 = -3, А 22 = (-1) 2+2 ∙1 = 1.
Запишем транспонированную матрицу А Т = = .
Найдем обратную матрицу А -1 = ∙ А Т = ∙ = .
Переходим к решению системы.
Х = = ∙ = = .
Ответ. (5;-1).
5) Метод Гаусса.
Идея метода . Последовательно исключаются переменные, а затем система решается с «конца».
Решить систему уравнений
Переставим местам первое и третье уравнения системы
Вычтем из второго уравнения первое, из третьего уравнения удвоенное первое.
Прибавим к третьему уравнению второе
Решаем систему с «конца».
Ответ. (1;2;3).
6) Метод Жордана-Гаусса.
Идея метода . Последовательно полностью исключаются переменные, и нет необходимости решать систему с «конца».
Решить систему уравнений
Переставим местам первое и третье уравнения системы:
Вычтем из второго уравнения первое,
из третьего уравнения – удвоенное первое:
Вычтем из первого уравнения второе,
прибавим к третьему уравнению второе:
Разделим третье уравнение на (-4):
Вычтем из первого уравнения утроенное третье,
прибавим ко второму уравнению третье:
Ответ.
(1;2;3).
7) Метод линейной комбинации уравнений.
Идея метода. Путем линейных комбинаций с уравнениями системы получают простое уравнение-следствие, используя которое можно быстро «раскрутить клубок» уравнений.
Решить систему уравнений
Сложим уравнения системы:
( 2x + y + z) + (x +2y + z ) + (x + y +2z) = 7 + 8+ 9,
(2х + х + х)+ (у + 2у + у) + (z + z + 2z) = 24,
4(x +y +x) = 24, x + y + z =6.
Полученное уравнение вычтем поочередно из 1-го, 2-го и 3-го уравнений исходной системы:
(2x +y + z) – (x + y +z) = 7 – 6, х = 1.
(x + 2y + z) – (x + y + z) = 8 – 6, у = 2.
(x + y + 2z) – (x + y + z) = 9 – 6, z = 3.
Ответ. (1;2;3).
8) Графический способ.
Идея метода . Строят графики функций в одной системе координат и находят координаты точек их пересечения.
На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых – графиков уравнений системы.
8) Графический способ.
1 ) Прямые совпадают. Тогда система уравнений имеет бесконечно много решений.
Решить систему уравнений
Так как уравнение 3х – 6у = 6 получается
из уравнения х – 2у = 2 умножением его
обеих частей на 3, то эти уравнения выражают
одну и ту же зависимость между х и у.
Следовательно, графиками этих уравнений
является одна и та же прямая. Это означает,
что система имеет бесконечно много
решений: координаты любой точки прямой
х – 2у = 2 являются решением данной системы.
Ответ. Система уравнений имеет бесконечно много решений.
8) Графический способ.
2 ) Прямые параллельны, т.е. не имеют общих точек. Тогда система уравнений не имеет решений.
Решить систему уравнений
Так как коэффициенты при х и у
пропорциональны , а свободные нет,
то прямые параллельны, т.
е. не имеют
общих точек.
Ответ. Система уравнений не имеет решений.
8) Графический способ.
3 ) Прямые пересекаются, т.е. имеют одну общую точку. Тогда система уравнений имеет единственное решение.
Решить систему уравнений
Выразим в каждом уравнении переменную у через х:
Постоим графики уравнений.
Прямые у = х +1 и у = 4 – 2х
пересекаются в одной точке (1;2).
Проверка показывает, что пара (1;2)
является решением системы уравнений.
Ответ. (1;2).
ЛИТЕРАТУРА .
1. Алгебра,7 класс : учеб. Для общеобразоват. учреждений /[Ш.А. Алимов, Ю.М. Калягин Ю.В.Сидоров и др.]- 17-е изд.- М. :Просвещение, 2010.
2.Алгебра. ЕГЭ: шаг за шагом / А.А.Черняк, Ж.А.Черняк.
– Волгоград: Учитель,2012.
3.Методы решения задач по математике: Пособие для поступающих в НПИ. Ч1 / Ред. журн. « Изв. вузов. Электромеханика». Новочеркасск,1993.
МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА, МАТЕМАТИКА UNACADEMY
Исключение Гаусса в линейной и полилинейной алгебре — это процесс нахождения решений системы одновременных линейных уравнений путем сначала решения одного из уравнений для одной переменной, а затем подстановки выражения в оставшиеся уравнения. В результате получается новая система, в которой количество уравнений и переменных на единицу меньше, чем в исходной системе. Та же процедура применяется к другой переменной, и процесс редукции продолжается до тех пор, пока не останется только одно уравнение, в котором единственной неизвестной величиной является последняя переменная. Решение уравнения позволяет «обратно заменить» значение в более раннем уравнении, которое содержит эту переменную и еще одну неизвестную, чтобы найти другую переменную.
Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут оценены все исходные переменные. Весь процесс значительно упрощается с помощью матричных операций, которые можно выполнять с помощью компьютеров.
Метод исключения Гаусса-
Метод исключения Гаусса также называется алгоритмом сокращения строк для решения систем линейных уравнений. Он состоит из последовательности операций, выполняемых над соответствующей матрицей коэффициентов. Мы также можем использовать этот метод для оценки любого из следующего, приведенного ниже:
Ранг матрицы
Определитель данной квадратной матрицы
Обратная любая обратимая матрица
Чтобы выполнить сокращение строки на матрице, мы должны выполнить последовательность элементарных операций со строками, чтобы преобразовать любую матрицу , пока мы не получим нули (т. е. нули) в нижнем левом углу этой матрицы, насколько это возможно. Это означает, что полученная матрица будет верхней треугольной матрицей.
Есть три типа операций с элементарными строками; они следующие:
Замена двух строк местами и это может быть выражено с помощью обозначения ↔, например, R2 ↔ R3
Умножение строки на ненулевое число, например, R1 → kR2 где k – ненулевое число
Добавление кратного единице строки на другую строку, например, R2 → R2 + 3R1
Полученная матрица будет иметь вид эшелона строк. Говорят, что матрица имеет редуцированную ступенчатую форму, когда все старшие коэффициенты равны 1, а каждый столбец, содержащий старший коэффициент, имеет нули где-то еще. Эта окончательная форма будет уникальной; другими словами, он не зависит от последовательности операций над строками. Мы можем лучше понять это с помощью примеров, приведенных ниже.
Метод исключения Гаусса с примером-
Давайте посмотрим на пример метода исключения Гаусса с решением.
Вопрос: Решите следующую систему уравнений:
x + y + z = 2
x + 2y + 3z = 5
2x + 3y + 4z = 11
Решение:
Данной системой уравнений являются :
x + y + z = 2
x + 2y + 3z = 5
2x + 3y + 4z = 11
Теперь запишем эти уравнения в матричной форме.
Вычитание R1 из R2, чтобы получить новый элемент R2, то есть R2 → R2 – R1.
Отсюда получаем,
Теперь давайте проделаем еще одну операцию как R3 → R3 – 2R1
Теперь вычтите R2 из R1, чтобы получить новые элементы R1, то есть R1 → R1 – R2.
Вычтите R2 из R3, чтобы получить новые элементы R3, то есть R3 → R3 – R2.
Здесь
x – z = -1
y + 2z = 3
0 = 4
Следовательно, для данной системы уравнений существует 0 решений.
Решение системы уравнений-
Решение системы состоит в нахождении значения любого неизвестного значения, которое проверяет все уравнения, составляющие систему-
Существует единственное решение, тогда говорят, что система последовательная независимая система (СНГ).
Решений много, тогда говорят, что система является согласованной зависимой системой (CDS)
Если решений нет, то в этом случае она называется несогласованной системой (ИС).
Таким образом, решение системы уравнений методом исключения Гаусса состоит из элементарных операций над строками и столбцами расширенной матрицы для получения ее ступенчатого вида.
Заключение:
Исключение Гаусса в линейной и полилинейной алгебре — это процесс нахождения решений системы линейных уравнений для одновременной работы путем решения сначала одного из уравнений для одной переменной, а затем подстановки выражения в остальные уравнения. В результате получается новая система, в которой количество уравнений и переменных на единицу меньше, чем в исходной системе. Та же процедура применяется к другой переменной, и процесс редукции продолжается до тех пор, пока не останется только одно уравнение, в котором единственной неизвестной величиной является последняя переменная.
Решение уравнения позволяет «обратно заменить» значение в более раннем уравнении, которое содержит эту переменную и еще одну неизвестную, чтобы найти другую переменную. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут оценены все исходные переменные. Весь процесс значительно упрощается с помощью матричных операций, которые можно выполнять с помощью компьютеров.
Исключение по Гауссу – Математические тайны
Исключение по Гауссу и Исключение по Гауссу – Иорданское исключение, а также различия между ними – Общество Edu переменную и продолжать этот процесс до тех пор, пока не останется только одна переменная. Как только эта окончательная переменная определена, ее значение подставляется обратно в другие уравнения, чтобы оценить оставшиеся неизвестные. Этот метод представляет собой поэтапное устранение переменных.Кто
Эй, сейчас 2021 год, и эти видео 13-летней давности (Академия Хана) спасают мою университетскую степень по экономике, спасибо
Мой учитель математики полностью запутал класс этим принципом.
Мой профессор делает это таким сложным, но когда вы (преподаватель по органической химии) не [усложняете это], это было так просто.
Этот парень (преподаватель по органической химии) объясняет это так хорошо… мой учебник объясняет это как кирпич.
Что
Исключение Гаусса помогает представить матрицу в форме эшелона строк, в то время как исключение Гаусса-Жордана переводит матрицу в форму сокращенного эшелона строк. Для небольших систем (или вручную) обычно удобнее использовать исключение Гаусса-Жордана и явно решать для каждой переменной, представленной в матричной системе. Однако исключение Гаусса само по себе иногда оказывается более эффективным в вычислительном отношении для компьютеров. Кроме того, исключение Гаусса — это все, что вам нужно для определения ранга матрицы (важное свойство каждой матрицы), в то время как решение проблемы с помещением матрицы в сокращенную ступенчатую форму строк не стоит того, чтобы решать только для ранга матрицы.
РЕДАКТИРОВАТЬ : Вот несколько сокращений, с которых можно начать: REF = «Форма рядного эшелона».
RREF = «Уменьшенная форма эшелона строк».
В своем вопросе вы говорите, что сводите матрицу A к диагональной матрице, где каждое ненулевое значение равно 1. Чтобы это произошло, вы должны выполнить операции со строками , чтобы «развернуть» каждую запись по диагонали. Такие операции со строками обычно включают умножение/деление на ненулевые скалярные кратные строки или добавление/вычитание ненулевых скалярных кратных одной строки из другой строки. Моя интерпретация REF — это просто выполнение операций со строками таким образом, чтобы избежать деления строк по их опорным значениям (чтобы опорная точка стала равной 1). Если вы пройдете по каждой опорной точке (числа по диагонали) и разделите эти строки на их старший коэффициент, то вы окажетесь в RREF. Посмотрите эти видео Khan Academy для работы с примерами.
В системе Ax=B , x можно решить, только если A обратимо. Обратимые матрицы обладают несколькими важными свойствами. Самое полезное свойство для вашего вопроса заключается в том, что их RREF является единичной матрицей (матрица, в которой только 1 по диагонали и 0 везде).
Если вы сокращаете матрицу по строкам и она не становится единичной матрицей в RREF, то эта матрица необратима. Необратимые матрицы (также известные как 90 104 единичные 90 105 матрицы) не так полезны при попытке точного решения системы. 1
Исключение Гаусса-Жордана означает, что вы найдете обратную матрицу A −1 .
Метод исключения Гаусса означает, что вы найдете решение только для Ax=b .
Когда у вас есть обратная матрица, конечно, вы также можете найти решение x=A−1b , но это больше работы. 3
Метод исключения Гаусса
Метод исключения Гаусса является одним из наиболее широко используемых методов. Этот метод представляет собой систематический процесс исключения неизвестных из линейных уравнений. 2
Исключение Гаусса-Жордана
Метод Гаусса-Жордана является небольшой модификацией метода исключения Гаусса. Здесь на этапах исключения коэффициенты исключаются таким образом, что системы уравнений сводятся к диагональной матрице.
Самый первый метод метода Гаусса-Джордана включает исключение первой переменной, т. Е. 90 104 x 90 105, из всех уравнений, кроме первого уравнения. Затем исключается вторая переменная, т. е. x2 из всех уравнений, кроме второго уравнения, и так далее, наконец, мы исключаем последнюю переменную, т. е. in, из всех уравнений, кроме последнего уравнения. 2
| Sr.No | Gauss Elimination Method | Gauss Jordan Method |
| 1 | In this method, the unknowns are eliminated successively and the system is reduced to an верхняя треугольная система, из которой неизвестные находятся обратной подстановкой. | В этом методе исключение неизвестных выполняется по всем уравнениям, а не только из последующих уравнений. Таким образом, система в конечном итоге сводится к диагональной матричной форме, т. Е. Каждое уравнение содержит только одно неизвестное. |
| 2 | Нахождение решения n одновременных линейных уравнений, количество умножений и делений порядка. п3/3. Например: если n=5, количество операций умножения и деления приблизительно равно 42. | Нахождение решения n одновременных линейных уравнений, количество умножений и делений порядка. п3/2. Например: , если n=5, количество операций умножения и деления приблизительно равно 62. |
| 3 | Это не кажется проще, но требует примерно на 50 процентов меньше операций, чем метод Гаусса-Жордана. | Кажется, что это проще, но требует примерно на 50 процентов меньше операций, чем метод исключения Гаусса. |
| 4 | Для больших систем метод исключения Гаусса не является предпочтительным. | Для больших систем метод Гаусса-Жордана предпочтительнее метода исключения Гаусса |
Почему
См.
раздел «Теоретические знания и практическое применение».
Как
Многие из Ссылки и Дополнительное чтение веб-сайты и Видео поможет вам использовать метод исключения Гаусса и метод исключения Гаусса-Джордана.
Как говорят некоторые профессора: «Это интуитивно очевидно даже для самого случайного наблюдателя».
Каталожные номера
1 Xoque55. «Зачем использовать исключение Гаусса Джордана вместо исключения Гаусса, различия». 2014. Математический стек Exchange . https://math.stackexchange.com/questions/879956/why-use-gauss-jordan-elimination-instead-of-gaussian-elimination-differences.
2 «Разница между методом исключения Гаусса и методом Гаусса Жордана | Численный метод — GeeksforGeeks». 2021. Гики для гиков . https://www.geeksforgeeks.org/difference-between-gauss-elimination-method-and-gauss-jordan-method-numerical-method/.
3 Ван Аарсен, Клаас.
«Зачем использовать исключение Гаусса Джордана вместо исключения Гаусса, различия». 2014. Математический стек Exchange . https://math.stackexchange.com/questions/879956/почему-использовать-гаусс-джордан-устранение-вместо-гаусса-устранения-разностей.
4 Ранг матрицы относится к количеству линейно независимых строк или столбцов в матрице. ρ(A) используется для обозначения ранга матрицы A. Говорят, что матрица имеет нулевой ранг, когда все ее элементы обращаются в нуль. Ранг матрицы — это размерность векторного пространства, полученного по ее столбцам. Ранг матрицы не может превышать число ее строк или столбцов. Ранг нулевой матрицы равен нулю.
Дополнительное чтение
Барри, Бретт. «Игра исключения Гаусса: введение в линейную алгебру». 2019. Средний . https://medium.com/i-math/the-game-of-gaussian-elimination-an-introduction-to-linear-алгебра-5bcdac63df56.
«Исключение Гаусса». 2022. CliffsNotes . https://www.
cliffsnotes.com/study-guides/алгебра/линейная-алгебра/линейные-системы/устранение Гаусса.
«Метод исключения Гаусса | Значение и решенный пример». 2021. БАЙЮС . https://byjus.com/maths/gauss-elimination-method/.
«Ранг матрицы – определение | Как найти ранг матрицы?». 2022. CueMath . https://www.cuemath.com/алгебра/rank-of-a-matrix/.
«Ранг матрицы – Формулы. Свойства, примеры». 2022. БАЙЮС . https://byjus.com/jee/rank-of-a-matrix-and-special-matrices/.
Видеоролики
Исключение Гаусса и форма эшелона строк Этот видеоурок по предварительному исчислению представляет собой базовое введение в метод исключения Гаусса — процесс, включающий элементарные операции со строками с матрицами 3×3, который позволяет решать систему линейных уравнений.
с 3 переменными. Вам нужно преобразовать систему уравнений в расширенную матрицу и использовать матричные операции со строками, чтобы записать ее в форме эшелона строк. Затем вы можете преобразовать обратно в систему линейных уравнений и решить с помощью обратной подстановки. Это видео содержит множество примеров и практических задач.
Кажется, это обычное недоразумение с матрицами. Эшелонная форма — это просто окончательная матрица после того, как вы закончили исключение Гаусса. (Матрица на 6:10.) В нижнем левом углу должны быть только 0. Нет необходимости иметь единицы вдоль главной диагонали, потому что они не помогают в решении задачи. Это просто напрасные операции, и они не выполняются на практике. (Если вы не хотите использовать метод исключения Гаусса-Жордана… который также не используется на практике.)
Исключение Гаусса Жордана и сокращенная эшелонированная форма строки Этот видеоучебник по предварительному исчислению представляет собой базовое введение в исключение Гаусса Жордана, которое представляет собой процесс, используемый для решения системы линейных уравнений путем преобразования системы в расширенную матрицу и использования элементарных операций со строками.
чтобы преобразовать матрицу 3 × 3 в ее уменьшенную форму эшелона строк. Вы можете легко определить ответы, как только вы преобразуете его в эту форму.
Использование исключения Гаусса-Жордана для обращения матрицы 3×3.
Исключение Гаусса Мне было любопытно посмотреть, как элементарные операции геометрически изменяют плоскости в каждом уравнении.
И как составленный алгоритм может иметь геометрическую интуицию.
У меня первый семестр инженерного факультета, и мы только что изучили метод исключения Гаусса. Это визуальное представление открыло мне глаза на то, что я действительно делаю, применяя алгоритм. спасибо, много отличного контента!
Исключение Гаусса и Исключение Гаусса – Жордана, а также различия между обоими
Исключение Гаусса помогает поместить матрицу в форму эшелона строк, в то время как Исключение Гаусса-Жордана помещает матрицу в форму сокращенного эшелона строк. Какой бы метод мы ни использовали, он дает один и тот же ответ.
ЭШЕЛОННАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ Матрица Матрица порядка m * n называется ступенчатой, если она удовлетворяет следующим свойствам
1.