3 метода решения систем уравнений
••• ChristianChan/iStock/GettyImages
Обновлено 14 марта 2018 г.
Автор: Karl Wallulis
Для решения систем уравнений чаще всего используются три метода: замена, удаление и расширенные матрицы . Подстановка и исключение — это простые методы, с помощью которых можно эффективно решить большинство систем из двух уравнений за несколько простых шагов. Метод дополненных матриц требует больше шагов, но его применение распространяется на большее разнообразие систем.
Подстановка
Подстановка — это метод решения систем уравнений путем удаления всех переменных, кроме одной, в одном из уравнений и последующего решения этого уравнения. Это достигается путем выделения другой переменной в уравнении, а затем подстановки значений этих переменных в другое уравнение. Например, чтобы решить систему уравнений x + y = 4, 2x – 3y = 3, выделите переменную x в первом уравнении, чтобы получить x = 4 – y, затем подставьте это значение y во второе уравнение, чтобы получить 2 (4 – y) – 3y = 3.
Это уравнение упрощается до -5y = -5 или y = 1. Подставьте это значение во второе уравнение, чтобы найти значение x: x + 1 = 4 или x = 3,
Исключение
Исключение — это еще один способ решения систем уравнений путем перезаписи одного из уравнений только с одной переменной. Метод исключения достигает этого путем добавления или вычитания уравнений друг из друга, чтобы отменить одну из переменных. Например, добавление уравнений x + 2y = 3 и 2x – 2y = 3 дает новое уравнение 3x = 6 (обратите внимание, что члены y сокращаются). Затем система решается теми же методами, что и для подстановки. Если невозможно сократить переменные в уравнениях, необходимо будет умножить все уравнение на коэффициент, чтобы коэффициенты совпали.
Расширенная матрица
Расширенные матрицы также могут использоваться для решения систем уравнений. Расширенная матрица состоит из строк для каждого уравнения, столбцов для каждой переменной и расширенного столбца, содержащего постоянный член на другой стороне уравнения.
Например, расширенная матрица для системы уравнений 2x + y = 4, 2x – y = 0 равна [[2 1], [2 -1]…[4, 0]].
Определение решения
Следующий шаг включает использование элементарных операций со строками, таких как умножение или деление строки на константу, отличную от нуля, а также сложение или вычитание строк. Целью этих операций является преобразование матрицы в ступенчато-строковую форму, в которой первый ненулевой элемент в каждой строке равен 1, все элементы выше и ниже этого элемента являются нулями, а первый ненулевой элемент для каждого строка всегда находится справа от всех таких записей в строках над ней. Строково-эшелонная форма для приведенной выше матрицы имеет вид [[1 0], [0 1]…[1, 2]]. Значение первой переменной задается первой строкой (1x + 0y = 1 или x = 1). Значение второй переменной задается второй строкой (0x + 1y = 2 или y = 2).
Приложения
Подстановка и исключение являются более простыми методами решения уравнений и используются гораздо чаще, чем расширенные матрицы в базовой алгебре.