Метод исключения гаусса: 1.1.3. Метод исключения неизвестных (метод Гаусса)

§3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений

1. Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции:

1. умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

2. прибавление к одному уравнению другого уравнения;

3. перемена местами уравнений в системе.

Комбинируя элементарные преобразования первого и второго типов, мы можем к любому уравнению прибавить другое уравнение, умноженное на произвольное число.

Производя элементарные преобразования в системе, мы получаем новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствуют аналогичные преобразования над строками расширенной матрицы этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию строк расширенной матрицы соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строками ее расширенной матрицы.

Две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Заметим, что число уравнений в равносильных системах может быть различным.

ТЕОРЕМА. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную систему.

Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной. Для упрощения изложения мы будем иметь дело не с самой системой, а с расширенной матрицей этой системы (производя при этом элементарные преобразования только над строками матрицы).

Рассмотрим алгоритм применения метода Гаусса на простых Типовой примерах.

Типовые примеры

Решить систему уравнений

1.

►Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1 соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:

.

Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвёртой строк:

Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:

Полученная упрощённая система представляет собой систему из двух уравнений для четырёх неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за главные, а два – за свободные, через которые будут выражены главные. Число свободных неизвестных определяется по формуле , где– число неизвестных в исходной системе,– ранг матрицы системы (совпадающий с рангом расширенной матрицы в силу совместности системы).

В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать . Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:

.

Теперь из второго уравнения выразим через. Затем подставим его в первое уравнение и найдёмчерез. В итоге получим

Переменные принимают произвольные значения. Положив, общее решение системы можно записать в виде

.◄

2.

►Преобразуем расширенную матрицу системы:

~ .

Отсюда следует, что ,, т.е. исходная система несовместна. Заметим, что, применяя метод Гаусса (т.е. исключая неизвестные), мы одновременно проводим исследование системы на совместность (т.е. отыскиваем ранги матрицы системы и расширенной матрицы).◄

3.

►Исследуем систему на совместность:

~ .

Отсюда следует, что – система совместна.

Итак, полученная система, равносильная исходной, содержит одно уравнение с двумя неизвестными. Решение этой системы может быть найдено только в том случае, если мы придадим произвольное действительное значение одному из неизвестных. Тогда другое неизвестное можно выразить через первое.

Положим ; тогда. В итоге получаемобщее решение системы:

, где – произвольная постоянная.

Придавая постоянной различные действительные значения, получаем бесконечное множество решений исходной системы.

При желании можно произвести проверку:

. ◄

4.

►Во всех трех системах воспользуемся методом Гаусса.

~

~

Расширенная матрица приведена к трапецеидальному виду. Объявляем «лишние неизвестные» исвободными; запишем систему, соответствующую этой трапецеидальной матрице, перенеся свободные неизвестныеив правую часть:

Степень свободы системы равна двум, значит, решение системы выразится через два параметра. Положив и решив систему из трех уравнений с неизвестныминайдем

где произвольные числа. ◄

5.

►

в результате преобразований появилась строка следовательно, система несовместна. ◄

6.

►

Ранг трапецеидальной матрицы равен 2, значит, степень свободы равна Объявляем неизвестныесвободными. Положивполучим

Таким образом, решением системы является

где произвольные числа (параметры).

◄

Метод исключения переменных Гаусса

Скачать 12,26 Mb. Дата 20.04.2022 Размер 12,26 Mb. #182580 Связанные: Voprosy-Algebra-studentam Навигация по данной странице: Определение 1. Полем Метод исключения переменных Гаусса. Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов. Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов): Эквивалентность СЛАУ, элементарные преобразования систем. Линейные системы называются эквивалентными, если они либо обе несовместны, либо совместны и обладают одним и тем же множеством решений. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования: 1) перестановка любых двух уравнений местами; 2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число ; 3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k. Теорема 1. Две линейные системы эквивалентны, если одна получается из другой путем применения конечной последовательности элементарных преобразований. Понятие определителя. Теорема Лапласа. Понятие поля, основные свойства. Определение 1. Полем называется коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый отличный от нуля элемент a имеет обратный a-1 (aa−1=a−1a=1). Иными словами полем называется множество математических объектов, в котором определены два действия − “сложение” и “умножение”, удовлетворяющие следующим требованиям: 1. a+b=b+a (коммутативность сложения). 2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения). 3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a+0=a, при любом a. 4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a+(−a)=0. 5. (a+b)c=ac+bc  (левая дистрибутивность). 5′. c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность). 6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения). 7. ab=ba (коммутативность умножения). 8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a·1=1·a=a, для любого элемента a. 9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a−1 такой, что aa−1=a−1a=1. Примеры полей: комплексные числа ℂ, вещественные числа ℝ, рациональные числа ℚ, поле вычетов по модулю p, где p − простое число. Собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей. Комплексные числа: алгебраическая и геометрическая интерпретации. Теорема о существовании обратной матрицы. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Скачать 12,26 Mb. Поделитесь с Вашими друзьями: База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2023 обратиться к администрации

Главная страница Автореферат Анализ Анкета Бағдарламасы Бизнес-план Биография Бюллетень Викторина Выпускная работа Глава Диплом

[PDF] Метод исключения Гаусса — исследование приложений

• Идентификатор корпуса: 2728701

  title={Метод исключения Гаусса – исследование приложений},
  автор = {Мариам Саид и Шеза Нисар и С. Раззак и Рабеа Масуд и Рабия Имран},
  год = {2015}
} 

• Мариам Саид, С. Нисар, Рабия Имран
• Опубликовано в 2015 г.
• Информатика

Метод исключения Гаусса в линейной алгебре является самым древним и широко используемым методом. В этой статье мы обсуждаем применение метода исключения Гаусса, так как его можно применять к любому полю. Этот метод используется в алгоритме декодирования канала, поскольку он очень находчив, кроме того, мы представили метод последовательного исключения Гаусса, который используется для решения параллельных линейных уравнений. Метод последовательного исключения Гаусса считается более быстрым, эффективным и точным… 

Globaljournals.org

с показателем 1-4 из 4 ссылок

Новый алгоритм на основе ликвидации гауссов для параллельного решения линейных уравнений

• K. Murthy, C. Murthy

• Компьютерная наука

• 9000
• 9959
• 9995999959995999599959995999000
• 9000
• 9000
• 9000
• 9000
• 9000
• 9000
• 9000
• 9000

• .

  Приведена эффективная схема распределения вычислительных задач в алгоритме SGE на процессоры в многопроцессорной системе.

  Сравнение эффективности исключения Гаусса и исключения Гаусса-Джордана

  • Yadanar Mon, L. Kyi

  • Информатика

  • 2014

  Сравнение времени выполнения методов исключения Гаусса и метода исключения Гаусса Жордана для решения системы линейных уравнений. применяются к различным системам линейных уравнений, возникающим в таких областях науки, как физика, бизнес, экономика, химия и т. д.

  Аппаратные реализации исключения Гаусса по GF(2) для алгоритмов декодирования канала

  • S. Scholl, Christopher Stumm, N. Wehn ​​

  • Информатика

    2013 Africon

  • 2013

  Представлена ​​новая архитектура с более высоким уровнем использования аппаратных ресурсов и значительно меньшим уровнем использования ресурсов -современные решения для бинарного исключения бинарных матриц по методу Гаусса.

  Надежное улучшение изображения отпечатков пальцев: усовершенствование направленного анализа изображения отпечатков пальцев с использованием направленной гауссовой фильтрации и контурного преобразования без субдискретизации

  • М. Т. Ибрагим, Тарик Башир, Л. Гуан

  • Информатика, инженерия

    2008 Десятый международный симпозиум IEEE по мультимедиа Было предложено контурлетное преобразование без субдискретизации (NSCT) и использован полосовой фильтр для устранения неравномерного освещения и для создания изображения частотного гребня.

    Исключение Гаусса в Python — Javatpoint

    следующий → ← предыдущая Практически во всех областях численного моделирования используются линейные и полиномиальные уравнения. Но область анализа линейных систем уравнений — это то место, где они наиболее естественно используются в технике. Конструкции, упругие вещества, тепловые потоки, электромагнетизм, электрические цепи и многое другое подпадают под общую категорию линейных систем. При моделировании линейных систем генерируются математические уравнения вида Ax = b, где x — входная матрица, а b — вектор отклика системы. Внутренние свойства системы отражаются в A, называемой матрицей коэффициентов, независимой от входного вектора. Если ввод изменен, система линейных уравнений, которую мы хотим оценить, по-прежнему будет содержать точную матрицу коэффициентов A, но отдельный вектор отклика b. Методы решения систем линейных уравнений Наряду с итерационными процедурами существуют так называемые прямые подходы, которые мы здесь обсуждать не будем. Объединяет их стремление преобразовать исходные уравнения в систему, эквивалентную по свойствам исходной системе, но более простую для решения. Мы можем использовать три основные операции для достижения этого преобразования: Числовое значение определителя A меняет знак, когда две строки матрицы A меняются местами; Числовое значение определителя A умножается на тот же скаляр, на который умножается строка матрицы A; Определитель A останется неизменным, если мы заменим строку A на строку, полученную путем добавления этой строки к какой-либо другой строке, масштабируемой скаляром; Эти процедуры, конечно, не влияют на решения системы, которые остаются неизменными, но могут влиять на матрицу коэффициентов A и ее определитель. Три основных прямых способа решения собраны в следующей таблице: Метод Исходная форма Окончательная форма Исключение Гаусса Ах = б Uх = с LU разложение Ах = б люкс = b Исключение Гаусса-Жордана Ах = б Iх = с Метод исключения Гаусса Сокращение строк — это еще одно название исключения Гаусса. Это линейный алгебраический метод решения линейной системы уравнений. По сути, матрица коэффициентов подвергается ряду процессов. Это действия, которые задействованы: Мы можем поменять местами две строки Масштабирование строки путем ее умножения с помощью масштабатора Добавление строки к другой строке матрицы Эти процедуры выполняются до тех пор, пока необходимо заполнить нижнюю левую часть матрицы коэффициентов нулями. Алгоритм исключения Гаусса в Python Что касается ручного процесса, есть два возможных подхода: первый заключается в том, что строки преобразуются путем вычитания, а не суммирования, а другой заключается в том, что преобразованные строки не заменяются исходными строками матрицы A, а только компоненты характерны для верхней треугольной матрицы. В действительности на вычисление решений не влияют элементы, не принадлежащие U (модифицированная матрица). Код # Программа на Python для поиска решения системы линейных уравнений с использованием метода исключения Гаусса. # Создание функции для печати расширенной матрицы с заданным набором линейных уравнений защита print_aug (мат): нет = лен (мат) для i в диапазоне (0, нет): л = “” для k в диапазоне (0, n + 1): l += str(mat[i][k]) + “\t” если j == нет – 1: л += “| ” печать (л) Распечатать(“”) # Создание функции для выполнения исключения Гаусса на заданной матричной матрице защита gauss_elem (мат): число = длина (мат) для я в диапазоне (0, число): # Поиск максимального значения определенного столбца max_el = абс (мат [я] [я]) # Строка с элементом максимального значения максимальная_строка = я для k в диапазоне (i + 1, число): если abs(mat[k][i]) > max_el: max_el = абс (мат [k] [i]) максимальная_строка = к # Замена максимальной строки на текущую строку для k в диапазоне (i, n + 1): темп = мат[max_row][k] мат[max_row][k] = мат[i][k] мат[i][k] = температура # Изменение значения строк ниже текущей строки на 0 для k в диапазоне (i + 1, n): текущий = -мат [к] [я] / мат [я] [я] для j в диапазоне (i, n + 1): если я == j: мат [к] [j] = 0 еще: мат[k][j] += текущий * мат[i][j] # Решение уравнения Ax = b для созданной верхней треугольной матрицы mat l = [0 для i в диапазоне (n)] для j в диапазоне (n – 1, -1, -1): l[j] = мат[j][n] / мат[j][j] для k в диапазоне (j – 1, -1, -1): мат[k][n] -= мат[k][j] * l[j] вернуть л если __name__ == “__main__”: из дробей импорт дроби п = интервал (ввод ()) A_mat = [[0 для j в диапазоне (n + 1)] для i в диапазоне (n)] # Чтение входных коэффициентов линейных уравнений для j в диапазоне (0, n): l = карта (Дробь, ввод (). Разделить («»)) для i элемент в enumerate(l): A_mat[j][i] = элемент л = ввод().разделить(” “) печать (л) последний = список (карта (дробь, л)) для j в диапазоне (0, n): A_mat[j][n] = последний[j] # Печать расширенной матрицы из входных данных print_aug(A_mat) # Вычисление решения матрицы x = gauss_elem (A_mat) # Печать результата л = “Результат:\t” для j в диапазоне (0, n): л += ул(х[j]) + “\т” печать (л) Вывод: 3 3 4 -1 5 -2 1 2 -2 1 8 4 1 ['8', '4', '1'] 3 | 4 | -1 | 8 | 5 | -2 | 1 | 4 | 2 | -2 | 1 | 1 | Результат: 1 2 3 Если мы дадим набор уравнений, не имеющих решения, вывод будет следующим: Выход 3 1 1 1 0 1 -3 2 1 5 2 1 0 ['2', '1', '0'] 1 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | -3 | 1 | 2 | 1 | 5 | 0 | -------------------------------------------------- ------------------------- ZeroDivisionError Traceback (последний последний вызов) в 75 76 # Вычисление решения матрицы ---> 77 x = gauss_elem(A_mat) 78 79# Печать результата ________________________________________ 3 кадра ________________________________________ /usr/lib/Python3. Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: