§3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений
1. Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции:
умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;
прибавление к одному уравнению другого уравнения;
перемена местами уравнений в системе.
Комбинируя элементарные преобразования первого и второго типов, мы можем к любому уравнению прибавить другое уравнение, умноженное на произвольное число.
Производя
элементарные преобразования в системе,
мы получаем новую систему. Очевидно,
что каждому элементарному преобразованию
системы соответствуют аналогичные
преобразования над строками расширенной
матрицы этой системы, и наоборот, каждому
элементарному преобразованию строк
расширенной матрицы соответствует
некоторое элементарное преобразование
в системе. Таким образом, элементарные
преобразования в системе сводятся к
соответствующим преобразованиям над
строками ее расширенной матрицы.
Две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).
Заметим, что число уравнений в равносильных системах может быть различным.
ТЕОРЕМА. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную систему.
Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной. Для упрощения изложения мы будем иметь дело не с самой системой, а с расширенной матрицей этой системы (производя при этом элементарные преобразования только над строками матрицы).
Рассмотрим
алгоритм применения метода Гаусса на
простых Типовой примерах.
Типовые примеры
Решить систему уравнений
1.
►Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1 соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:
.
Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвёртой строк:
Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:
Полученная
упрощённая система представляет собой
систему из двух уравнений для четырёх
неизвестных. Следовательно, два из
неизвестных можно выбрать за главные,
а два – за свободные,
через которые будут выражены главные.
Число свободных неизвестных определяется
по формуле
,
где– число неизвестных в исходной системе,– ранг матрицы системы (совпадающий с
рангом расширенной матрицы в силу
совместности системы).
.
Теперь из второго уравнения выразим через. Затем подставим его в первое уравнение и найдёмчерез. В итоге получим
Переменные принимают произвольные значения. Положив, общее решение системы можно записать в виде
.◄
2.
►Преобразуем расширенную матрицу системы:
~ .
Отсюда
следует, что
,,
т.е. исходная система несовместна.
Заметим, что, применяя метод Гаусса
(т.е. исключая неизвестные), мы одновременно
проводим исследование системы на
совместность (т.е. отыскиваем ранги
матрицы системы и расширенной матрицы).◄
3.
►Исследуем систему на совместность:
~ .
Отсюда следует, что – система совместна.
Итак, полученная система, равносильная исходной, содержит одно уравнение с двумя неизвестными. Решение этой системы может быть найдено только в том случае, если мы придадим произвольное действительное значение одному из неизвестных. Тогда другое неизвестное можно выразить через первое.
Положим ; тогда. В итоге получаемобщее решение системы:
, где – произвольная постоянная.
Придавая постоянной различные действительные значения, получаем бесконечное множество решений исходной системы.
При желании можно произвести проверку:
. ◄
4.
►Во всех трех системах воспользуемся методом Гаусса.
~
~
Расширенная матрица приведена к трапецеидальному виду. Объявляем «лишние неизвестные» исвободными; запишем систему, соответствующую этой трапецеидальной матрице, перенеся свободные неизвестныеив правую часть:
Степень свободы системы равна двум, значит, решение системы выразится через два параметра. Положив и решив систему из трех уравнений с неизвестныминайдем
где произвольные числа. ◄
5.
►
в результате преобразований появилась строка следовательно, система несовместна. ◄
6.
►
Ранг трапецеидальной матрицы равен 2, значит, степень свободы равна Объявляем неизвестныесвободными. Положивполучим
Таким образом, решением системы является
где
произвольные
числа (параметры).
Связанные:
База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2023 | Главная страница Автореферат Анализ Анкета Бағдарламасы Бизнес-план Биография Бюллетень Викторина Выпускная работа Глава Диплом |
[PDF] Метод исключения Гаусса — исследование приложений
- Идентификатор корпуса: 2728701
title={Метод исключения Гаусса – исследование приложений}, автор = {Мариам Саид и Шеза Нисар и С. Раззак и Рабеа Масуд и Рабия Имран}, год = {2015} }
- Мариам Саид, С.
Нисар, Рабия Имран
- Опубликовано в 2015 г.
- Информатика
Метод исключения Гаусса в линейной алгебре является самым древним и широко используемым методом. В этой статье мы обсуждаем применение метода исключения Гаусса, так как его можно применять к любому полю. Этот метод используется в алгоритме декодирования канала, поскольку он очень находчив, кроме того, мы представили метод последовательного исключения Гаусса, который используется для решения параллельных линейных уравнений. Метод последовательного исключения Гаусса считается более быстрым, эффективным и точным…
Globaljournals.org
с показателем 1-4 из 4 ссылок
Новый алгоритм на основе ликвидации гауссов для параллельного решения линейных уравнений
- K. Murthy, C. Murthy
Компьютерная наука
- 9000
- 9959
- 9995999959995999599959995999000
- 9000
- 9000
- 9000
- 9000
- 9000
- 9000
- 9000
- 9000
.
Приведена эффективная схема распределения вычислительных задач в алгоритме SGE на процессоры в многопроцессорной системе.
Сравнение эффективности исключения Гаусса и исключения Гаусса-Джордана
- Yadanar Mon, L. Kyi
Информатика
- 2014
Сравнение времени выполнения методов исключения Гаусса и метода исключения Гаусса Жордана для решения системы линейных уравнений. применяются к различным системам линейных уравнений, возникающим в таких областях науки, как физика, бизнес, экономика, химия и т. д.
Аппаратные реализации исключения Гаусса по GF(2) для алгоритмов декодирования канала
- S. Scholl, Christopher Stumm, N. Wehn
Информатика
2013 Africon
- 2013
Представлена новая архитектура с более высоким уровнем использования аппаратных ресурсов и значительно меньшим уровнем использования ресурсов -современные решения для бинарного исключения бинарных матриц по методу Гаусса.
Надежное улучшение изображения отпечатков пальцев: усовершенствование направленного анализа изображения отпечатков пальцев с использованием направленной гауссовой фильтрации и контурного преобразования без субдискретизации
- М. Т. Ибрагим, Тарик Башир, Л. Гуан
Информатика, инженерия
2008 Десятый международный симпозиум IEEE по мультимедиа Было предложено контурлетное преобразование без субдискретизации (NSCT) и использован полосовой фильтр для устранения неравномерного освещения и для создания изображения частотного гребня.
Исключение Гаусса в Python — Javatpoint
следующий → ← предыдущая
Практически во всех областях численного моделирования используются линейные и полиномиальные уравнения. Но область анализа линейных систем уравнений — это то место, где они наиболее естественно используются в технике. Конструкции, упругие вещества, тепловые потоки, электромагнетизм, электрические цепи и многое другое подпадают под общую категорию линейных систем.
При моделировании линейных систем генерируются математические уравнения вида Ax = b, где x — входная матрица, а b — вектор отклика системы. Внутренние свойства системы отражаются в A, называемой матрицей коэффициентов, независимой от входного вектора. Если ввод изменен, система линейных уравнений, которую мы хотим оценить, по-прежнему будет содержать точную матрицу коэффициентов A, но отдельный вектор отклика b.
Методы решения систем линейных уравнений
Наряду с итерационными процедурами существуют так называемые прямые подходы, которые мы здесь обсуждать не будем. Объединяет их стремление преобразовать исходные уравнения в систему, эквивалентную по свойствам исходной системе, но более простую для решения.
Мы можем использовать три основные операции для достижения этого преобразования:
- Числовое значение определителя A меняет знак, когда две строки матрицы A меняются местами;
- Числовое значение определителя A умножается на тот же скаляр, на который умножается строка матрицы A;
- Определитель A останется неизменным, если мы заменим строку A на строку, полученную путем добавления этой строки к какой-либо другой строке, масштабируемой скаляром;
Эти процедуры, конечно, не влияют на решения системы, которые остаются неизменными, но могут влиять на матрицу коэффициентов A и ее определитель.
Три основных прямых способа решения собраны в следующей таблице:
Метод Исходная форма Окончательная форма Исключение Гаусса Ах = б Uх = с LU разложение Ах = б люкс = b Исключение Гаусса-Жордана Ах = б Iх = с Метод исключения Гаусса
Сокращение строк — это еще одно название исключения Гаусса. Это линейный алгебраический метод решения линейной системы уравнений. По сути, матрица коэффициентов подвергается ряду процессов. Это действия, которые задействованы:
- Мы можем поменять местами две строки
- Масштабирование строки путем ее умножения с помощью масштабатора
- Добавление строки к другой строке матрицы
Эти процедуры выполняются до тех пор, пока необходимо заполнить нижнюю левую часть матрицы коэффициентов нулями.
Алгоритм исключения Гаусса в Python
Что касается ручного процесса, есть два возможных подхода: первый заключается в том, что строки преобразуются путем вычитания, а не суммирования, а другой заключается в том, что преобразованные строки не заменяются исходными строками матрицы A, а только компоненты характерны для верхней треугольной матрицы. В действительности на вычисление решений не влияют элементы, не принадлежащие U (модифицированная матрица).
Код
# Программа на Python для поиска решения системы линейных уравнений с использованием метода исключения Гаусса. # Создание функции для печати расширенной матрицы с заданным набором линейных уравнений защита print_aug (мат): нет = лен (мат) для i в диапазоне (0, нет): л = “” для k в диапазоне (0, n + 1): l += str(mat[i][k]) + “\t” если j == нет – 1: л += “| ” печать (л) Распечатать(“”) # Создание функции для выполнения исключения Гаусса на заданной матричной матрице защита gauss_elem (мат): число = длина (мат) для я в диапазоне (0, число): # Поиск максимального значения определенного столбца max_el = абс (мат [я] [я]) # Строка с элементом максимального значения максимальная_строка = я для k в диапазоне (i + 1, число): если abs(mat[k][i]) > max_el: max_el = абс (мат [k] [i]) максимальная_строка = к # Замена максимальной строки на текущую строку для k в диапазоне (i, n + 1): темп = мат[max_row][k] мат[max_row][k] = мат[i][k] мат[i][k] = температура # Изменение значения строк ниже текущей строки на 0 для k в диапазоне (i + 1, n): текущий = -мат [к] [я] / мат [я] [я] для j в диапазоне (i, n + 1): если я == j: мат [к] [j] = 0 еще: мат[k][j] += текущий * мат[i][j] # Решение уравнения Ax = b для созданной верхней треугольной матрицы mat l = [0 для i в диапазоне (n)] для j в диапазоне (n – 1, -1, -1): l[j] = мат[j][n] / мат[j][j] для k в диапазоне (j – 1, -1, -1): мат[k][n] -= мат[k][j] * l[j] вернуть л если __name__ == “__main__”: из дробей импорт дроби п = интервал (ввод ()) A_mat = [[0 для j в диапазоне (n + 1)] для i в диапазоне (n)] # Чтение входных коэффициентов линейных уравнений для j в диапазоне (0, n): l = карта (Дробь, ввод ().
Разделить («»)) для i элемент в enumerate(l): A_mat[j][i] = элемент л = ввод().разделить(” “) печать (л) последний = список (карта (дробь, л)) для j в диапазоне (0, n): A_mat[j][n] = последний[j] # Печать расширенной матрицы из входных данных print_aug(A_mat) # Вычисление решения матрицы x = gauss_elem (A_mat) # Печать результата л = “Результат:\t” для j в диапазоне (0, n): л += ул(х[j]) + “\т” печать (л)
Вывод:
3 3 4 -1 5 -2 1 2 -2 1 8 4 1 ['8', '4', '1'] 3 | 4 | -1 | 8 | 5 | -2 | 1 | 4 | 2 | -2 | 1 | 1 | Результат: 1 2 3
Если мы дадим набор уравнений, не имеющих решения, вывод будет следующим:
Выход
3 1 1 1 0 1 -3 2 1 5 2 1 0 ['2', '1', '0'] 1 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | -3 | 1 | 2 | 1 | 5 | 0 | -------------------------------------------------- ------------------------- ZeroDivisionError Traceback (последний последний вызов) в 75 76 # Вычисление решения матрицы ---> 77 x = gauss_elem(A_mat) 78 79# Печать результата ________________________________________ 3 кадра ________________________________________ /usr/lib/Python3.