Метод исключения неизвестных метод гаусса: 1.1.3. Метод исключения неизвестных (метод Гаусса)

§3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений

1. Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции:

1. умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

2. прибавление к одному уравнению другого уравнения;

3. перемена местами уравнений в системе.

Комбинируя элементарные преобразования первого и второго типов, мы можем к любому уравнению прибавить другое уравнение, умноженное на произвольное число.

Производя элементарные преобразования в системе, мы получаем новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствуют аналогичные преобразования над строками расширенной матрицы этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию строк расширенной матрицы соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строками ее расширенной матрицы.

Две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Заметим, что число уравнений в равносильных системах может быть различным.

ТЕОРЕМА. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную систему.

Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной. Для упрощения изложения мы будем иметь дело не с самой системой, а с расширенной матрицей этой системы (производя при этом элементарные преобразования только над строками матрицы).

Рассмотрим алгоритм применения метода Гаусса на простых Типовой примерах.

Типовые примеры

Решить систему уравнений

1.

►Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1 соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:

.

Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвёртой строк:

Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:

Полученная упрощённая система представляет собой систему из двух уравнений для четырёх неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за главные, а два – за свободные, через которые будут выражены главные. Число свободных неизвестных определяется по формуле , где– число неизвестных в исходной системе,– ранг матрицы системы (совпадающий с рангом расширенной матрицы в силу совместности системы).

В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать . Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:

.

Теперь из второго уравнения выразим через. Затем подставим его в первое уравнение и найдёмчерез. В итоге получим

Переменные принимают произвольные значения. Положив, общее решение системы можно записать в виде

.◄

2.

►Преобразуем расширенную матрицу системы:

~ .

Отсюда следует, что ,, т.е. исходная система несовместна. Заметим, что, применяя метод Гаусса (т.е. исключая неизвестные), мы одновременно проводим исследование системы на совместность (т.е. отыскиваем ранги матрицы системы и расширенной матрицы).◄

3.

►Исследуем систему на совместность:

~ .

Отсюда следует, что – система совместна.

Итак, полученная система, равносильная исходной, содержит одно уравнение с двумя неизвестными. Решение этой системы может быть найдено только в том случае, если мы придадим произвольное действительное значение одному из неизвестных. Тогда другое неизвестное можно выразить через первое.

Положим ; тогда. В итоге получаемобщее решение системы:

, где – произвольная постоянная.

Придавая постоянной различные действительные значения, получаем бесконечное множество решений исходной системы.

При желании можно произвести проверку:

. ◄

4.

►Во всех трех системах воспользуемся методом Гаусса.

~

~

Расширенная матрица приведена к трапецеидальному виду. Объявляем «лишние неизвестные» исвободными; запишем систему, соответствующую этой трапецеидальной матрице, перенеся свободные неизвестныеив правую часть:

Степень свободы системы равна двум, значит, решение системы выразится через два параметра. Положив и решив систему из трех уравнений с неизвестныминайдем

где произвольные числа. ◄

5.

►

в результате преобразований появилась строка следовательно, система несовместна. ◄

6.

►

Ранг трапецеидальной матрицы равен 2, значит, степень свободы равна Объявляем неизвестныесвободными. Положивполучим

Таким образом, решением системы является

где произвольные числа (параметры).

◄

Страница не найдена — ПриМат

По данному адресу ничего не найдено. Попробуйте воспользоваться поиском.

Искать:

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2),

Алгоритм исключения Гаусса

Подраздел 2.

5.1 Некоторые матрицы, ассоциированная система уравнений которых легко решается

Элементарные операции со строками позволяют нам изменять матрицы и связанные с ними системы линейных уравнений, не изменяя решения этих уравнений. Цель состоит в том, чтобы в конечном итоге получить матрицы, которые сделают эти общие решения очевидными. Вот некоторые примеры.

• Дополненная матрица

  \begin{уравнение*} \left[\begin{массив}{cccc|c} 1\амп 0\амп 0\амп 0\амп 1\\ 0\амп 1\амп 0\амп 0\амп 2\\ 0\амп 0\амп 1\амп 0\амп 5\\ 0\амп 0\амп 0\амп 1\амп -1 \конец{массив}\справа] \end{уравнение*}

  соответствует системе линейных уравнений

  \begin{уравнение*} \begin{массив}{cccccc} x_1\ампер \amp \amp \amp =\amp 1\\ \усилитель x_2\усилитель \усилитель \усилитель =\усилитель 2\\ \усилитель \усилитель x_3\усилитель \усилитель =\усилитель 5\\ \amp \amp \amp x_4\amp =\amp -1 \конец{массив} \end{уравнение*}

  Сами уравнения фактически описывают единственное решение! Обратите внимание на структуру матрицы коэффициентов, которая делает это возможным. В каждой строке есть только одна ненулевая запись, ее значение равно 1, и по мере того, как вы переходите от одной строки к другой, ненулевая запись перемещается на один столбец вправо.

• Дополненная матрица

  \begin{уравнение*} \left[\begin{массив}{cc|c} 1\амп 1\амп 4\\ 0\амп 2\амп 6 \конец{массив}\справа] \end{уравнение*}

  соответствует системе линейных уравнений

  \begin{уравнение*} \begin{массив}{rcc} x_1+x_2\усилитель =\усилитель 4\\ 2x_2\амп =\амп 6 \конец{массив} \end{уравнение*}

  Последнюю строку решить легко: получаем \(x_2=3\text{.}\) Используя это значение, также легко решить \(x_1+x_2=x_1+3=4\text{,}\ ) или \(x_1=1\текст{.}\)

• Дополненная матрица

  \begin{уравнение*} \left[\begin{массив}{ccc|c} 1\amp 1\amp 1\amp 4\\ 0\amp 0\amp 2\amp 6 \end{массив}\right] \end{уравнение*}

  соответствует системе линейных уравнений

  \begin{уравнение*} \begin{array}{rcc} x_1+x_2+x_3\amp =\amp 4\\ 2x_3\amp =\amp 6 \конец{массив} \end{уравнение*}

  Как и раньше, получаем \(x_3=3\text{. }\) Две переменные остаются неопределенными: второй присваиваем параметр: \(x_2=t\text{.}\) Используя это значение, у нас есть \(x_1+x_2+x_3=x_1+t+3=4\text{,}\) или \(x_1=1-t\text{.}\) Теперь мы знаем решения: \(x_1=1 -t\text{,}\) \(x_2=t\text{,}\) \(x_3=3\), где \(t\) может быть любым вещественным числом. На самом деле мы можем проверить этот результат с помощью первого уравнения: \(x_1+x_2+x_3=(1-t) + t + 3=4\text{.}\) Компактный способ записи этого решения: \((x_1 ,x_2,x_3)=(1-t,t,3)\text{.}\)

Из приведенных примеров видно, что наличие большого количества нулей в матрице коэффициентов полезно для вычисления решений. Также ясно, что если первая ненулевая запись в строке равна единице, то вычисление упрощается. Наш план состоит в том, чтобы с помощью элементарных операций над строками преобразовать заданную матрицу коэффициентов в матрицу с этими свойствами, а затем описать все решения. Вот некоторые наблюдения, которые нам помогут:

1. Если в столбце есть какая-то ненулевая запись, мы всегда можем сделать верхнюю запись ненулевой, поменяв строки местами, при необходимости используя \(R_1\leftrightarrow R_i\) для некоторых \(i>1\text{. }\)

2. Если первая ненулевая запись строки \(R_i\) равна \(\lambda\text{,}\), мы можем преобразовать ее в 1, используя \(R_i\leftarrow \tfrac 1\lambda R_i\text{ .}\)

3. Если две строки \(R_i\) и \(R_j\) имеют ненулевые записи в некотором столбце \(k\text{,}\), мы можем превратить запись \(j,k\) в ноль, используя \( R_j \leftarrow R_j – \frac{a_{j,k}}{a_{i,k}} R_i\text{.}\)

Подраздел 2.5.2 Эшелонная форма ряда

Теперь мы хотим определить общий класс матриц, соответствующие системы линейных уравнений которых имеют решения, которые легко найти. Эти матрицы имеют особый набор нулей и единиц, и говорят, что они находятся в рядная эшелонированная форма.

Рисунок 2.5.1. Матрица в форме эшелона строк

Приведенная выше матрица дает представление о том, чего мы хотим. Обратите внимание, что линия лестницы, проведенная через матрицу, имеет все элементы под ней, равные нулю. Записи, отмеченные символом \(*\), могут принимать любое значение.

Первая ненулевая запись в строке (если она есть) называется ведущей записью. Если он равен \(1\text{,}\), то он называется ведущим.

Определение 2.5.2. Эшелонно-рядная форма.

Матрица состоит из строк эшелонированной формы , если

• Каждая ведущая запись является ведущей.

• Каждая запись ниже первой имеет вид \(0\text{.}\)

• По мере продвижения вниз по матрице ведущие перемещаются вправо.

• Любые все нулевые строки находятся внизу.

КПП 2.5.3.

Какие из следующих матриц имеют форму эшелона строк?

• \(\displaystyle \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 0\amp5\amp6\amp7\\ 0\amp0\amp8\amp9\\ 0\amp0\amp0\amp10 \end{bmatrix}\)

• \(\displaystyle \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 0\amp1\amp2\amp3\\ 0\amp0\amp0\amp0\\ 0\amp0\amp0\amp1 \end{bmatrix}\)

• \(\displaystyle \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 0\amp1\amp2\amp3\\ 0\amp0\amp0\amp1\\ 0\amp0\amp0\amp0 \end{bmatrix}\)

• \(\displaystyle \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 0\amp1\amp6\amp7\\ 0\amp0\amp1\amp1\\ 0\amp0\amp1\amp1 \end{bmatrix}\)

• \(\displaystyle \begin{bmatrix} 1\amp0\amp0\amp0\\ 0\amp0\amp0\amp0\\ 0\amp0\amp0\amp0\\ 0\amp0\amp0\amp0 \end{bmatrix}\)

Решение

• Не в форме эшелона строк, потому что не каждая ведущая запись является \(1\text{. }\)

• Не в форме эшелона строк, потому что нулевая строка не находится внизу.

• Рядная эшелонированная форма.

• Не эшелонированная форма строки, потому что ведущая запись имеет ненулевую запись под ней.

• Рядная эшелонированная форма.

Подраздел 2.5.3 Алгоритм исключения Гаусса

Теперь план начинается с расширенной матрицы и с помощью последовательности элементарных операций над строками изменяется на новую матрицу, в которой легко найти решения связанной системы линейных уравнений. Так как любая элементарная операция над строками оставляет решения неизменными, решения конечной системы линейных уравнений будут идентичны решениям исходной.

Работаем со столбцами матрицы слева направо и меняем матрицу следующим образом:

1. Начните с первого столбца. Если все записи равны нулю, перейдите к следующему столбцу справа.

2. Если в столбце есть ненулевые записи, при необходимости поменяйте строки местами, чтобы получить ненулевую запись сверху.

3. При необходимости измените верхнюю запись на \(1\text{.}\)

4. Для любой ненулевой записи ниже верхней используйте элементарную операцию строки, чтобы изменить ее на ноль.

5. Теперь рассмотрим часть матрицы ниже верхней строки и правее рассматриваемого столбца: если таких строк или столбцов нет, остановитесь, так как процедура закончена. В противном случае проделайте ту же процедуру на новой матрице .

Вот первый пример:

\begin{уравнение*} \начать{массив}{г} 3x_1-2x_2-x_3+x_4=1\\ 6x_1-8x_2+x_3+2x_4=4 \конец{массив} \end{уравнение*}

имеет расширенную матрицу

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 3 \амп -2 \ампер -1 \ампер 1 \ампер 1\ 6 амп -8 амп 1 амп 2 амп 4 \end{bматрица}. \end{уравнение*}

Нам не нужно менять местами строки, чтобы сделать верхнюю запись первого столбца отличной от нуля, поэтому мы продолжаем делать верхнюю запись \(1\), используя элементарную операцию строки \(R_1\gets \frac13R_1\text{. } \) Матрица становится

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \amp -\frac23 \amp -\frac13 \amp\frac13 \amp\frac13 \\ 6 амп -8 амп 1 амп 2 амп 4 \end{bматрица}. \end{уравнение*}

Теперь мы должны сделать все записи ниже верхней в столбце равными нулю. Такая запись, конечно, всего одна, поэтому с помощью \(R_2\leftarrow R_2-6R_1\text{,}\) получаем

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \amp -\frac23 \amp -\frac13 \amp\frac13 \amp\frac13 \\ 0 \amp -4 \amp 3 \amp 0 \amp 2 \end{bmatrix}\text{.} \end{уравнение*}

Мы закончили с первым столбцом, поэтому продолжим ту же процедуру с матрицей, полученной удалением первой строки и первого столбца:

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} -4 \амп 3 \ампер 0 \ампер 2 \end{bматрица}. \end{уравнение*}

Поскольку имеется только одна строка, нам нужно только изменить верхнюю запись на \(1\) с помощью деления на \(-4\text{,}\), то есть \(R_1\gets -\frac14R_1\text{. }\) Тогда мы получим

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \amp -\frac34 \amp 0 \amp -\frac12 \end{bматрица}. \end{уравнение*}

и, подставив обратно в исходную матрицу, получим

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \amp -\frac23 \amp -\frac13 \amp\frac13 \amp\frac13 \\ 0 \amp 1 \amp -\frac34 \amp 0 \amp -\frac12 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Матрица имеет форму эшелона строк. Теперь мы можем определить все решения исходной системы линейных уравнений. Первая ненулевая запись в первой строке находится в первом столбце, столбце, связанном с \(x_1\text{.}\). Первая ненулевая запись во второй строке аналогично связана с \(x_2\text{.} \) Мы назначаем параметры другим переменным: \(x_3=s\) и \(x_4=t\text{.}\). Затем вторая строка сообщает нам, что \(x_2-\frac34s =-\frac12 \text{ ,}\) или \(x_2=\frac34s-\frac12\text{.}\) Теперь, когда мы знаем \(x_2\text{,}\), мы можем использовать первую строку, чтобы найти \(x_1\text{: }\) получаем \(x_1-\frac23x_2-\frac13s+\frac13t=\frac13\text{.}\) Подставляем известное значение \(x_2\) в это уравнение и после некоторого упрощения получаем \ (x_1=\tfrac56s-\tfrac13t\text{. }\) Таким образом, мы имеем: Все решения задачи

\begin{уравнение*} \начать{массив}{г} 3x_1-2x_2-x_3+x_4=1\\ 6x_1-8x_2+x_3+2x_4=4 \конец{массив} \end{уравнение*}

имеют форму

\begin{уравнение*} \begin{массив}{rcl} x_1\amp =\amp\tfrac56s-\tfrac13t\\ x_2\amp =\amp -\tfrac12 +\tfrac34 с\\ x_3\амп =\ампер с\\ x_4\amp =\amp т \конец{массив} \end{уравнение*}

, где \(s\) и \(t\) — любые действительные числа. Более компактно мы запишем это как \((x_1,x_2,x_3,x_4)= \tfrac56s-\tfrac13t,-\tfrac12 +\tfrac34 s,s,t)\text{.}\) Другими словами, для любого приписывая \(s\) и \(t\text{,}\) действительные числа, мы получаем решение системы линейных уравнений.

Легко (и полезно) проверить, что подстановка \(x_1,\dots,x_4\) в два уравнения действительно дает решение.

Теперь рассмотрим другой пример с уравнениями

\begin{alignat*}{3} x_1 \amp {}+2x_2 \amp{}-2x_3 \amp{}= \amp{}-1\\ 3x_1 \amp{}- 2x_2 \amp{}-4x_3 \amp{}= \amp{}3\\ 4x_1 \amp \amp{}-2x_3 \amp{}= \amp{}-2\\ -x_1 \amp {}-x_2 \amp{}+2x_3 \amp{}= \amp{}0 \end{выравнивание*}

и соответствующая ему расширенная матрица, измененная методом исключения Гаусса:

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп -2\амп -1\ 3\амп -2\амп -4\амп 3\\ 4\амп 0\амп -2\амп -2\\ -1\ампер -1\ампер 2\ампер 0 \end{bmatrix} \начать{массив}{с} \\R_2 \стрелка влево R_2-3R_1\\ R_3\получает R_3-4R_1\\ R_4\получает R_4+R_1 \конец{массив} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп -2\амп -1\ 0\амп -8\амп 2\амп 6\\ 0\амп -8\амп 6\амп 2\\ 0\амп 1\амп 0\амп -1 \end{bmatrix} \начать{массив}{с} R_2\gets-\frac18 R_2\\ R_3\gets R_3+8R_2\\R_4\gets R_4-R_2 \конец{массив} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп -2\амп -1\ 0\amp 1\amp -\frac14\amp -\frac34\\ 0\амп 0\амп 4\амп -4\\ 0\amp 0\amp\tfrac14 \amp -\tfrac14 \end{bmatrix} \начать{массив}{с} R_3 \gets\frac14 R_3\\R_4\gets R_4-\frac14 R_3 \конец{массив} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп -2\амп -1\ 0\amp 1\amp -\frac14\amp -\frac34\\ 0\амп 0\амп 1\амп -1\\ 0\амп 0\амп 0\амп 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Последняя строка для любого выбора \(x_1, x_2, x_3\text{,}\) сводится к \(0=0,\), поэтому любое решение соответствующих первых трех уравнений также будет решением последнего один. Другими словами, последняя строка матрицы не влияет на набор решений и может быть исключена из матрицы. Третья строка дает \(x_3=-1.\) Вторая строка дает \(x_2=-1\), а первая строка дает \(x_1=-1.\) Следовательно, есть одно решение: \((x_1, х_2,х_3)=(-1,-1,-1).\)

Теперь немного изменим уравнения из последнего примера (правая часть последнего уравнения изменена с \(0\) на \(1\)):

\begin{alignat*}{3} x_1 \amp {}+2x_2 \amp{}-2x_3 \amp{}= \amp{}-1\\ 3x_1 \amp{}- 2x_2 \amp{}-4x_3 \amp{}= \amp{}3\\ 4x_1 \amp \amp{}-2x_3 \amp{}= \amp{}-2\\ -x_1 \amp {}-x_2 \amp{}+2x_3 \amp{}= \amp{}1 \end{выравнивание*}

Исключение Гаусса почти идентично

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп -2\амп -1\ 3\амп -2\амп -4\амп 3\\ 4\амп 0\амп -2\амп -2\\ -1\амп -1\амп 2\амп 1 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

уменьшается до

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп -2\амп -1\ 0\amp 1\amp -\frac14\amp -\frac34\\ 0\амп 0\амп 1\амп -1\\ 0\амп 0\амп 0\амп 1 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Теперь в последней строке указано \(0x_1+0x_2+0x_3=1\text{,}\), что для любого выбора \(x_1\text{,}\) \(x_2\) и \(x_3\text{ ,}\) сводится к \(0=1\) и никогда не бывает истинным. Это означает, что исходная система уравнений не имеет решений, то есть система несовместна.

Здесь мы можем сделать полезное наблюдение: если строка расширенной матрицы имеет вид

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 0 \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \amp * \end{bmatrix} \end{уравнение*}

, где \(*\) равно нулю или отлично от нуля, происходит одно из двух:

1. \(*=0\) в этом случае строка может быть удалена из матрицы

2. \(*\not=0\) в этом случае решения нет.

Пример 2.5.4.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

\begin{уравнение*} \begin{массив}{rcl} х+у+г\амп =\амп 1\\ 2x+y+z \amp =\amp 2\\ 3x+ay+bz\amp =\amp c \конец{массив} \end{уравнение*}

Мы хотим знать значения \(a,\) \(b\) и \(c\), для которых нет решений, одно решение или более одного решения. Чтобы решить эту проблему, мы применяем исключение Гаусса к расширенной матрице:

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 1\амп 1\амп 1\\ 2\усилитель 1\усилитель 1\усилитель 2\\ 3\амп а\амп б\амп с \end{bmatrix} \begin{матрица}R_2\получает R_2-2R_1\\ R_3\получает R_3-3 R_1\конец{матрица} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\amp 1\amp 1\amp 1\\0\amp -1\amp -1\amp 0\\0\amp a-3\amp b-3\amp c-3 \end{ bматрица} \begin{matrix}R_2\gets -R_2\\R_3\gets R_3-(a-3)R_2\end{matrix} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\amp 1\amp 1\amp 1\\0\amp 1\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp b-a\amp c-3 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Анализ последней строки говорит нам обо всем: если \(b-a\not=0,\), то существует ровно одно решение. Если \(b-a=0,\) и \(c-3\not=0,\), то решений нет. В противном случае (когда \(b=a\) и \(c=3\)) существует бесконечное число решений.

Упражнения Упражнения

1.

Найдите все решения системы уравнений

\начать{выровнять*} х+2у-г \amp=2\\ х+у-г\усилитель=0\\ 2x-y+z\amp=3 \конец{выравнивание*}

Решение

Преобразуем расширенную матрицу в эшелонированную форму:

\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 1 \amp 1 \amp -1 \amp 0\\ 2 \amp -1 \amp 1 \amp 3\\ \end{bmatrix} \\ \начать{массив}{л} R_2\получает R_2 – R_1\\ R_3\получает R_3-2R_1 \конец{массив} \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp -1 \amp 0 \amp -2\\ 0 \amp -5 \amp 3 \amp -1\\ \end{bmatrix} \\ \начать{массив}{л} R_2\получает -R_2\\ \конец{массив} \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \amp -5 \amp 3 \amp -1\\ \end{bmatrix} \\ R_3\получает R_3+5R_2 \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 амп 0 амп 3 амп 9\\ \end{bmatrix} \\ R_3\gets\frac13 R_3 \\ \begin{bматрица} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \усилитель 0 \усилитель 1 \усилитель 3\\ \end{bmatrix} \end{equation*}

Последняя строка дает \(z=3\text{. }\) Вторая строка дает \(y=2\text{.}\) Первая строка дает \(x=2- 2y+z=2-4+3=1\text{,}\) и поэтому существует единственное решение \((x,y,z)=(1,2,3)\text{.}\)

15.6 Системы уравнений с большим количеством переменных, чем уравнений

15.6 Системы уравнений с большим количеством переменных, чем уравнений

Главная | 18.022 | Глава 15 Инструменты    Индекс    Вверх    Предыдущий    Далее

Основные вопросы:

Что происходит с методом исключения Гаусса, когда определитель равен 0 и существует нет обратного и нет единственного решения?
Что можно или нужно делать с системами уравнений, для которых существует больше переменные, чем уравнения?

Метод исключения Гаусса работает нормально, даже если определитель равен нулю. Что происходит заключается в том, что когда строка представляет собой линейную комбинацию других, после вычитания кратных из этих строк, чтобы сделать некоторые записи вашей строки нулями, вы найдете вся строка становится нулевой. С точки зрения исключения переменных из уравнений вы найдите, что при замене x и y z также выпадает из уравнения. Все это, конечно, означает, что ваши исходные уравнения были избыточны, и вы действительно было больше переменных, чем уравнений.

Пример

Если переменных больше, чем уравнений, вы не можете найти единственное решение, потому что нет ни одного. Однако вы можете удалить некоторые переменные в условия других. Другими словами, вы можете начать процесс исключения Гаусса. и продолжайте, пока не закончатся ряды. Если у вас есть n + m переменных и только m уравнений, вы можете решить для m переменных через другие. От с матричной точки зрения это означает внесение элементов матрицы в столбцы соответствующие исключаемым переменным во все нули, кроме одного 1.

Пример

Эффект частичного сокращения ряда, который мы можем сформировать, заключается в разделении переменные на две группы: те, которые решаются через другие, и те что нет. Те, что не решены за то образуют то, что называется основа пространства решений вашей системы уравнений .

Общее решение системы уравнений: присвоить произвольные значения к базисным переменным: прочтите остальные из уравнений для них. В Другими словами, базисные переменные образуют параметрическое представление решения космос.

Пример

Применение: линейное программирование

Этот термин, линейный программирование относится к своего рода задаче оптимизации; тот, в котором у вас есть линейные ограничения и стремятся максимизировать линейную целевую функцию.

Пример

Для таких линейных программ существует стандартная форма. Запишем все неравенства ограничение в форме v ₀ , введя резервную переменную, которая компенсирует ослабление любого ограничения неравенства, которое выглядит иначе.

Пример

Обратите внимание, что это именно тот вид недоопределенной системы линейных уравнений. мы обсуждали.

Стандартный подход к решению таких задач, который замечательно работает даже с тысячами переменных и ограничений, это сначала найти набор базисные переменные такие, что все неравенства выполняются, если вы установите все они равны 0; так что происхождение с точки зрения базовых переменных достижимая точка решения, поскольку она подчиняется всем ограничениям. Затем вы пытаетесь переключить одну новую переменную в основу, удалив другую, так что новое начало базиса также допустимо, а целевая функция больше при новом базисном происхождении, чем при старом. Если вы не можете этого сделать, ваше происхождение является оптимизирующим решением, если таковое имеется. Если вы можете переключиться, вы делаете это, и попробуй сделать это снова. Этот метод называется симплексный алгоритм и есть основной инструмент предмета называется операций исследования .