Метод исключения неизвестных онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

§2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений

1. Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции:

умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;
прибавление к одному уравнению другого уравнения;
перемена местами уравнений в системе.

Комбинируя элементарные преобразования первого и второго типов, мы можем к любому уравнению прибавить другое уравнение, умноженное на произвольное число.

Производя элементарные преобразования в системе, мы получаем новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствуют аналогичные преобразования над строками расширенной матрицы этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию строк расширенной матрицы соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строками ее расширенной матрицы.

Две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Заметим, что число уравнений в равносильных системах может быть различным.

ТЕОРЕМА. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную систему.

Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной. Для упрощения изложения мы будем иметь дело не с самой системой, а с расширенной матрицей этой системы (производя при этом элементарные преобразования только над строками матрицы).

Рассмотрим алгоритм применения метода Гаусса на простых Типовой примерах.

Типовые примеры.Решить систему уравнений

►Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1 соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:

Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвёртой строк:

Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:

Полученная упрощённая система представляет собой систему из двух уравнений для четырёх неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за главные, а два – за свободные, через которые будут выражены главные. Число свободных неизвестных определяется по формуле , где– число неизвестных в исходной системе,– ранг матрицы системы (совпадающий с рангом расширенной матрицы в силу совместности системы).

В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать . Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:

Теперь из второго уравнения выразим через. Затем подставим его в первое уравнение и найдёмчерез. В итоге получим

Переменные принимают произвольные значения. Положив, общее решение системы можно записать в виде

.◄

►Преобразуем расширенную матрицу системы:

~ .

Отсюда следует, что ,, т.е. исходная система несовместна. Заметим, что, применяя метод Гаусса (т.е. исключая неизвестные), мы одновременно проводим исследование системы на совместность (т. е. отыскиваем ранги матрицы системы и расширенной матрицы).◄

►Исследуем систему на совместность:

~ .

Отсюда следует, что – система совместна.

Итак, полученная система, равносильная исходной, содержит одно уравнение с двумя неизвестными. Решение этой системы может быть найдено только в том случае, если мы придадим произвольное действительное значение одному из неизвестных. Тогда другое неизвестное можно выразить через первое.

Положим ; тогда. В итоге получаемобщее решение системы:

, где – произвольная постоянная.

Придавая постоянной различные действительные значения, получаем бесконечное множество решений исходной системы.

При желании можно произвести проверку:

.◄

►Во всех трех системах воспользуемся методом Гаусса.

Расширенная матрица приведена к трапецеидальному виду. Объявляем «лишние неизвестные» исвободными; запишем систему, соответствующую этой трапецеидальной матрице, перенеся свободные неизвестныеив правую часть:

Степень свободы системы равна двум, значит, решение системы выразится через два параметра. Положив и решив систему из трех уравнений с неизвестныминайдем

где произвольные числа. ◄

►

в результате преобразований появилась строка следовательно, система несовместна. ◄

►

Ранг трапецеидальной матрицы равен 2, значит, степень свободы равна Объявляем неизвестныесвободными. Положивполучим

Таким образом, решением системы является

где произвольные числа (параметры).

◄

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике – Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Системы уравнений

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

Определение 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными x и y называют уравнение, имеющее вид

ax +by = c ,

(1)

где a , b , c – заданные числа.

Определение 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (1) является верным равенством.

Пример 1. Найти решение уравнения

2x +3y = 10

(2)

Решение. Выразим из равенства (2) переменную y через переменную x :

(3)

Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

где x – любое число.

Замечание. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел (x ; y) является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число x можно взять любым, а число y после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Определение 3. Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y называют систему уравнений, имеющую вид

(4)

где a₁ , b₁ , c₁ , a₂ , b₂, c₂ – заданные числа.

Определение 4. В системе уравнений (4) числа a₁ , b₁ , a₂ , b₂ называют коэффициентами при неизвестных, а числа c₁ , c₂ – свободными членами.

Определение 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел (x ; y) , являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

Определение 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»

Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.

Пример 2 . Решить систему уравнений

(5)

Решение. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное х.

С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном x в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при x во втором уравнении (число 7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при x в первом уравнении (число 2 ), то система (5) примет вид

(6)

Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

первое уравнение системы оставим без изменений;
из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

Из второго уравнения находим y = 3 , и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

Ответ. (–2 ; 3) .

Пример 3. Найти все значения параметра p , при которых система уравнений

(7)

а) имеет единственное решение;

б) имеет бесконечно много решений;

в) не имеет решений.

Решение. Выражая x через y из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (7), получим

Следовательно, система (7) равносильна системе

(8)

Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра p . Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

y (2 – p) (2 + p) = 2 + p

(9)

Если , то уравнение (9) имеет единственное решение

Следовательно, система (8) равносильна системе

Таким образом, в случае, когда , система (7) имеет единственное решение

Если p = – 2 , то уравнение (9) принимает вид

и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

где y – любое число.

Если p = 2 , то уравнение (9) принимает вид

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Определение 7. Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными x , y и z называют систему уравнений, имеющую вид

(10)

где a₁ , b₁ , c₁ , d₁ , a₂ , b₂, c₂ , d₂ , a₃ , b₃, c₃ , d₃ – заданные числа.

Определение 8. В системе уравнений (10) числа a₁ , b₁ , c₁ , a₂ , b₂, c₂ , a₃ , b₃, c₃ называют коэффициентами при неизвестных, а числа d₁ , d₂ , d₃ – свободными членами.

Определение 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

Пример 4 . Решить систему уравнений

(11)

Решение. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.

Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное y , совершив над системой (11) следующие преобразования:

первое уравнение системы оставим без изменений;
ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

(12)

Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное x , совершив над системой (12) следующие преобразования:

первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

(13)

Из системы (13) последовательно находим

z = – 2 ; x = 1 ; y = 2 .

Ответ. (1 ; 2 ; –2) .

Пример 5. Решить систему уравнений

(14)

Решение. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

Если числа (x ; y ; z) являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа (x ; y ; z) должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел (3 ; 0 ; –1) в исходную систему (14), убеждаемся, что числа (3 ; 0 ; –1) действительно являются ее решением.

Ответ: (3 ; 0 ; –1) .

Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Калькулятор исключения

Чтобы использовать калькулятор исключения, введите уравнения, разделенные точкой с запятой, и нажмите кнопку расчета.

Содержание:

Калькулятор исключения с шагами
Что такое метод исключения?
Как использовать метод исключения?
Каталожные номера

Дайте нам отзыв

✎

✉

Калькулятор исключений с шагами

Калькулятор исключений используется для нахождения неизвестных значений системы линейных уравнений с шагами. Этот калькулятор метода исключения берет линейные уравнения и дает пошаговое решение за пару секунд.

Каков метод устранения?

Метод исключения — это метод, используемый для решения системы линейных уравнений. Он широко используется для нахождения значений неизвестных переменных линейных уравнений. Одно уравнение можно получить, добавляя или вычитая уравнения методом исключения.

Чтобы исключить переменную, вы складываете уравнения, когда знаки ее коэффициентов противоположны, и вычитаете уравнения, когда знаки ее коэффициентов равны.

Как использовать метод исключения?

Приведенный выше калькулятор метода исключения можно использовать для применения метода исключения к системе линейных уравнений. Если вы хотите научиться применять метод исключения вручную, следуйте приведенному ниже примеру.

Пример 1

Найдите неизвестные значения x и y методом исключения.

5x + 4y = 12

4x + 4y = 6

решение

Шаг 1: Так как коэффициенты при y имеют одинаковые значения и одинаковые знаки, то вычтем данные линейные уравнения.

5x + 4y = 12

-(4x + 4y = 6)

x + 0 = 6

x = 6

92:0370 в любом заданном шаге линейного 3 92:0970 уравнение, чтобы получить результат y.

5x + 4y = 12

5(6) + 4y = 12

30 + 4y = 12

4y = 12 – 30/2

y = -4,5

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом исключения.

3x + 2y = 6

4x – 3y = 4

решение

Шаг 1: Умножьте оба линейных уравнения на подходящее целое число, чтобы сделать одну переменную одинаковой.

Умножить “3x + 2y = 6” на 3

3(3x + 2y) = 3 * 6

9x + 6y = 180038

2(4x – 3y) = 2 * 4

8x – 6y = 8

Шаг 2: Теперь исключите “y”, добавив линейные уравнения.

9x + 6y = 18

8x – 6y = 8

17x + 0 = 26

x = 26/17

Шаг 2: Теперь поместите значение «x = 26/17

” найти значение “y”

3x + 2y = 6

3(26/17) + 2y = 6

78/17 + 2y = 6

2y = 6 – 78/17

2г = (106 – 78)/17

2г = 24/17

г = 12/17

Ссылки

Каков метод исключения? Матпланета. (н.д.).
Как использовать метод исключения? (н.д.).

Калькулятор метода исключения с шагами

Создано Анной Щепанек, доктором философии

Рецензировано Домиником Черниа, доктором философии и Джеком Боутером

Последнее обновление: 28 октября 2022 г.

Содержание:
Системы линейных уравнений?
Что такое метод исключения в математике?
Шаги системы уравнений метода исключения
Как использовать этот калькулятор метода исключения?
Как решить методом исключения?
Как использовать метод исключения в особых ситуациях?
Примеры системы уравнений метода исключения
Добро пожаловать в Калькулятор метода исключения Omni ! Он здесь, чтобы помочь, когда вам нужно использовать метод исключения для решения системы уравнений . Другое название этого метода – метод линейной комбинации . Итак, каков метод устранения? Как решить систему методом исключения? Прокрутить вниз!
В приведенной ниже статье мы даем определение метода исключения, объясняем немного математики, лежащей в его основе, и шаг за шагом рассмотрим несколько примеров систем, решенных методом исключения, чтобы вы могли понять все детали. Мы также научим вас использовать метод исключения, когда система имеет бесконечно много решений или вообще не имеет решений.
Что такое системы линейных уравнений?
Мы говорим, что уравнение является линейным , если все переменные, входящие в это уравнение, находятся в первой степени.
В частности, переменные нельзя возводить в квадрат или куб, а также ставить под корень или в знаменатель дроби. Единственное, что вы можете сделать с переменными, это
умножить их на числа и сложить такие выражения вместе . Если у нас есть несколько линейных уравнений и мы хотим найти числа, которые решают все эти уравнения одновременно, то мы говорим, что хотим решить система линейных уравнений .
Наш калькулятор метода исключения работает для систем двух линейных уравнений с двумя переменными . В целом, такая система принимает форму:
A ₁ x + B ₁ Y = C ₁
A ₂ x + B ₂ y = C ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 x + b _{2
7 2} 2 x + b _{2 2} 2 x + b _{2 2} 2 x + b _{2 a ₂.
где:
x и y – переменные;
а ₁ , б ₁ , c ₁ — коэффициенты первого уравнения; и
a ₂ , b ₂ , c ₂ — коэффициенты второго уравнения.
Что такое метод исключения в математике?
Метод исключения один из методов, используемых для решения систем линейных уравнений
. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, чтобы мы могли сосредоточиться на более простом уравнении 9.0038 . В частности, когда мы имеем систему двух линейных уравнений с двумя переменными и исключаем одну переменную, у нас остается одно уравнение всего с одной переменной!
Как исключить переменные? Мы умножаем одно или оба уравнения на числа, которые превращают коэффициенты переменной в противоположные числа в каждом уравнении (например, мы получаем 2x и -2x ).
Затем мы складываем уравнения вместе, создавая результирующее уравнение, которое не содержит этой переменной! Теперь мы можем легко решить это уравнение, используя стандартные методы решения уравнений с одной переменной.
Как только мы нашли значение этой переменной, мы подставляем ее в одно из исходных уравнений. Таким образом, мы получаем еще одно уравнение с одной переменной . Решаем и все! Вот как мы используем метод исключения для решения системы уравнений. Перейдите к следующему разделу, чтобы узнать больше об этапах метода исключения.
Не забудем о других методах решения систем линейных уравнений ! После того, как вы узнали, как использовать метод исключения, обязательно посетите следующие инструменты Omni:
Калькулятор метода замены;
Калькулятор эшелонированной формы сокращенного ряда; и
Калькулятор правила Крамера.
Шаги метода исключения системы уравнений
Вы уже знаете, что такое метод исключения, поэтому давайте более подробно обсудим, как использовать метод исключения, когда задана конкретная система линейных уравнений.
При необходимости переставьте уравнения так, чтобы переменные располагались в том же порядке.
Если необходимо, умножьте уравнения так, чтобы одну переменную можно было исключить путем сложения.
Сложите уравнения, чтобы исключить эту переменную. Это суть решения методом исключения!
Вы получили уравнение с одной переменной – решите эту переменную.
Подставьте значение этой переменной в одно из исходных уравнений.
Найдите другую переменную.
Чтобы быть уверенным, вы можете протестировать свое решение . Подставляем его в систему и смотрим, все ли в порядке.
Наиболее важным шагом (и единственным, который может вызвать проблемы) является преобразование системы таким образом, чтобы исключить переменные , т. е. Шаг 2. В следующем разделе мы объясним его в более подробно и покажу вам немного математики, лежащей в основе метода исключения. После этого мы перейдем к обсуждению нескольких примеров метода исключения.
Как использовать этот калькулятор метода исключения?
Использовать калькулятор метода исключения очень просто:
Введите коэффициенты в соответствующие поля.
Полное решение отображается под калькулятором метода исключения.
Если вам просто нужна пара чисел, удовлетворяющая системе, они находятся ближе к концу вывода калькулятора.
Все шаги метода исключения , вместе с пояснениями, тоже здесь на случай, если они вам понадобятся.
Если вам нужно, чтобы решение было рассчитано с более высокой точностью (количество знаков цифры), перейдите в расширенный режим калькулятора метода исключения, чтобы установить желаемую точность. По умолчанию мы отображаем шесть знаков figs.
Как решить методом исключения?
Лучшая ситуация, с которой вы можете столкнуться, это когда коэффициенты одной переменной равны противоположным числам . когда тебе сложите уравнения, эта переменная исчезнет!
Однако чаще встречных коэффициентов нет. Ваша задача состоит в том, чтобы создать их путем умножения обеих частей одного или обоих уравнений на подходящие множители . Только тогда вы сможете использовать метод исключения для решения системы уравнений. Основная задача – угадать множители. Простой пример, когда коэффициенты переменной равны – в таком случае достаточно умножить одно из уравнений на -1 . Это создает противоположные коэффициенты. Затем вам нужно только добавить уравнения, чтобы исключить эту переменную.
In general, for the system of equations:
a ₁ x + b ₁ y = c ₁
a ₂ x + b ₂ y = c ₂
мы прибегаем к понятию наименьшего общего кратного двух чисел. А именно, определим множители m ₁ и M ₂ следующим образом:
M ₁: = LCM (A ₁, A ₂) / A ₁
77 M 2_{7 _{7 _{17 _{17 (A _{(A _{(A _{(A _{(A _{(A _{(A _{(A _{(A _{(A ₁}}}}}}}}}}}}} 9000. 7777777777 _{1 _{1 _{1 _{(A _{(A ₁ ) /} , a ₂ ) / a ₂}}}}}
и умножьте первое уравнение на m ₁ , а второе уравнение на -m ₂ . В результате получаем следующую систему:
НОК(a ₁ , a ₂ )x + [НОК(a ₁ , a ₂ )b ₁ /a ₁ ]y = LCM(a ₁ ,a ₂ )c ₁ /a ₁
-LCM(a ₁ , а ₂ )х – [НЦМ(а ₁ , а ₂ )б ₂ /а ₂ ]у = – НЦМ(а 2 ₁ ) ₂ /a ₂
Как видите, мы создали противоположные коэффициенты для переменной x (они равны LCM(a ₁, а ₂) и -LCM(а ₁, а ₂) ). Сложив эти уравнения вместе, мы исключим x и получим уравнение, содержащее только одну переменную: y . Решить такие уравнения с одной переменной очень просто, как вы увидите в приведенных ниже примерах.
Как использовать метод исключения в особых ситуациях?
При попытке исключить переменную иногда можно исключить обе переменные ! Что делать в такой ситуации? Если вы исключили обе переменные, вы получите утверждение, касающееся чисел. Это утверждение либо истинно, либо ложно. Примеры верных утверждений:
4 = 4 или 0 = 0 ,
и примеры ложных утверждений:
4 = 5 или 0 = 1 .
Это не сложно, правда?
В зависимости от того, истинно или ложно полученное вами утверждение, вы можете делать выводы о системе :
Если вы удалили обе переменные и окончательное утверждение ложно , то ваша система уравнений не имеет решения .
Если вы удалили обе переменные и последнее утверждение верно , то ваша система имеет бесконечно много решений .
Примеры системы уравнений методом исключения
В этом разделе мы рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять, как использовать метод исключения в математике для решения систем уравнений.
Используйте метод исключения для решения системы уравнений:
3x - 4y = 6
-х + 4у = 2
Исключить и , сложив два уравнения вместе:
2x = 8
Решить для x :
х = 4
Подставляем x = 4 во второе уравнение:
-4 + 4у = 2
Решить для y :
4 года = 6
у = 1,5
Решение: х = 4, у = 1,5
Тестируем решение:
3 ⋅ 4 - 4 ⋅ 1,5 = 12 - 6 = 6
Итак, первое уравнение в порядке.
-4 + 4 ⋅ 1,5 = -4 + 6 = 2
Со вторым уравнением тоже все в порядке.
Решить методом исключения :
2x + 3y = 5
2x + 7y = -3
На этот раз мы хотим исключить x . Для этого сначала умножим первое уравнение на -1 :
.
-2x - 3y = -5
2x + 7y = -3
Добавьте уравнения, в результате чего будет исключено x :
4 года = -8
Решить для y :
г = -2
Подставляем y = -2 в первое уравнение:
2x + 3 ⋅ (-2) = 5
Решить для x :
2x = 11
х = 5,5
Решение: х = 5,5, у = -2
Теперь посмотрим, как методом исключения решить следующую систему линейных уравнений :
3x - 3y = 0
2x + у = 3
Мы видим, что ни одна переменная не имеет равных или противоположных коэффициентов. Нам нужно будет создать их с помощью множителей, как мы объяснили выше. Давайте удалим x . Сначала вычислите наименьшую общую кратность 2 и 3 :
.
НОК(2, 3) = 6 .
Множители:
м ₁ := 6 / 3 = 2 и м ₂ := -6 / 2 = -3 .
Следовательно, мы умножаем первое уравнение на 2 и второе уравнение на -3 :
6х - 6у = 0
-6х - 3у = -9
Добавьте уравнения:
-9г = -9
Решить для y :
г = 1
Подставляем y = 1 в первое уравнение:
3x - 3 ⋅ 1 = 0
Решить для x :
3x = 3
х = 1
Решение: х = 1, у = 1
Далее посмотрим, как использовать метод исключения в случае системы :
6x - 3y = 12
2х - у = 4
Чтобы исключить y , умножьте второе уравнение на -3 так, чтобы коэффициенты y были противоположными числами:
6x - 3y = 12
-6х + 3у = -12
Добавьте уравнения:
0 = 0
Мы исключили обе переменные и пришли к верному утверждению.