Метод Крамера решение систем линейных уравнений
Краткая биография Габриэля Крамера
Габриэль Крамер — (нем. Gabriel Cramer), Швейцария, 31 июля 1704 г. родился в семье врача. Он уже в детстве опередил своих сверстников в развитии интеллектуальной деятельности и проявил завидную способность в математике. В 18 лет успешно защитил дипломную работу. Через два года Крамер выдвинул свою кандидатуру на пост преподавателя в университете в Женеве.
Юноша привлек внимание магистрата, поэтому для него и еще одного кандидата на должность преподавателя был учрежден отдельный факультет математики, где Крамер затем работал в течение последующих нескольких лет.
Gabriel CramerУчёный очень много путешествовал в Европу, принимая опыт известных математиков того времени, как – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и Клеро в Париже и других. Всю жизнь поддерживал с ними тесный контакт.
В 1729 г. Крамер возвращается на должность преподавателя в Женеве.
В этот период времени участвует в Парижском конкурсе и занимает заслуженное второе место. Используя свой исключительный талант пишет много статей по самым разным дисциплинам: геометрии, истории, математике, философии.
В 1730 г. он выпускает труд по астрономии.
В 1740 году Иоганн Бёрнулли поручил Крамеру опубликовать сборник его произведений. В 1742 г. Крамер подготовил и опубликовал сборник в 4 -х томах.
В 1744 г. выходит посмертная книга Якоба Бернули брата Иоанна Бернули и двухтомная переписка Лейбницы с Иоанном Бернули. Эти работы вызывали большой интерес ученых по всему миру.
Крамер — один из тех, кто изобрел линейную алгебру. Одна из его наиболее известных работ «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованная в 1750 г. на французском.
Титульный лист «Введения в анализ алгебраических кривых»В ней Крамер создает систему уравнений по линейным уравнениям и алгоритм, который позже будет носить его имя, — метод Крамера.
Габриэль умер во Франции 4 Января 1752 года.
Метод Крамера – теоремы замещения и аннулирования
Перед решением систем линейных уравнений методом Крамера необходимо изучить две важные закономерности. К ним относятся: теорема аннулирования; теорема замещения.
Теорема замещения. Складывая произведения алгебраического дополнения какого-то столбца, а также произвольные чисел b1, b2, b3, получается новый определитель, в котором значения заменяют соответствующие элементы первоначального определения, соответствующие данному алгебраическому дополнению.
Теорема аннулирования. В сумме произведения компонентов одного столбца или таблицы и алгоритмических дополнений соответствующих элементов другого столбца – будут равняться нулю.
Применение метода Крамера для решения систем линейных уравнений (СЛАУ)
Для поиска ответов по задачам для решения систем линейных уравнений актуальна эта методика. Метод Крамера позволяет находить решение системы с количеством строк равным количеству неизвестного.
Так решаются квадратные уравнения. В процессе нужно вычислить матричные определители, в том числе основные, и дополнительные, полученные с помощью замены одного столбца основного определителя на столбец со свободными членами системы алгоритмов. На рисунке можно найти наглядное представление алгоритма.
Для этого необходимо применить метод Крамера СЛАУ:
Рассмотрим решение системы уравнений методом Крамера:
\[\left\{\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y=s_{1} \\ a_{2} x+b_{2} y=s_{2} \end{array}\right.\]
Первое: вычислим определитель, а именно – определитель системы.
Если \[\Delta=0\] система имеет только 1 решение, чтобы найти корни, следует сделать вычислить еще два определителя:
\[ \Delta_{x}=\left|\begin{array}{ll} s_{1} & b_{1} \\ s_{2} & b_{2} \end{array}\right| \text { и } \Delta_{y}=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & s_{1} \\ a_{2} & s_{2} \end{array}\right| \]
На практике данные определители обычно могут быть обозначены обычной латинской буквой D.
Чтобы найти корни уравнения используем следующую формулу:
\[ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta} y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta} \]
Пример: Решите систему уравнений линейным методом Крамера
\[ \left\{\begin{array}{l} 506 a+66 b=2315,1 \\ 66 a+11 b=392,3 \end{array}\right. \]
Решение: Из уравнения следует, что коэффициенты уравнения велики, в правой части уравнения видим десятичные дроби с запятой. Запятая – крайне редко можно увидеть в практике по математике, эта система взята из эконометрической задачи.
- Есть вариант выразить одну переменную через другую, это не самый удобный способ, так как мы получим дроби, с которыми невозможно будет работать, и будет хромать оформление самого решения.
- В таких случаях применимо правило Крамера.
Оба корня имеют бесконечные хвосты, решение дает лишь приближенное значение, что допустимо, если это задачи по эконометрике. Данное условие решается по готовым формулам, однако, есть одна деталь.
Оба корня имеют бесконечные хвосты, решение дает лишь приближенное значение, что допустимо, если это задачи по эконометрике. Данное условие решается по готовым формулам, однако, есть одна деталь. Если используется данный метод, то обязательным условием, является использование вот этого фрагмента: \[\neq 0\] это значит, что уравнение имеет одно решение». Если этого не сделать, то при проверке вас могут наказать за пренебрежением теоремой Крамера.
Важно сделать проверку, ее удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения \[a \approx-0,35 \quad b \approx 37,77\] в левую часть каждого уравнения системы. По итогу с небольшой погрешностью получаться числа, которые находятся в правых частях.
Определение
Метод Крамера — это простой метод решения линейных алгебраических уравнений.
Поэтому, когда вы изучили все шаги, вы можете продолжать использовать метод Крамера для решения алгоритма уравнения. Записываем их по порядку:
- Найти главный определитель матрицы:
Важно, чтобы определитель не имел значения – 0.
- Ищем определители:
В итоге получаем, определители матриц, которые мы вывели из матрицы A заменяя столбцы на свободные члены.
- Найдем неизвестные переменные значения:
Тут важно помнить тождества Крамера, при помощи которых, можно найти корни или по-другому неизвестные переменные.
\[ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}, y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta}, z=\frac{\Delta_{z}}{\Delta} \]
- Выполняем проверку:
Мы проверяем решение, подставляя x, y и z в исходную СЛАУ. Все уравнения в абсолютной системе необходимо преобразовать в тождества. Вы также можете вычислить произведение матрицы A * X.
Если результатом является матрица, равная B, система решена правильно. Если он не равен B, то одно из уравнений, вероятно, содержит ошибку.
Давайте сначала рассмотрим систему, состоящую из двух линейных уравнений, потому что она проще и поможет вам понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы разбираетесь в простых и коротких уравнениях, вы можете решать более сложные системы из трех уравнений с тремя неизвестными.
Среди прочего, существуют уравнения с двумя переменными, и решение этих уравнений целиком связано с правилом Крамера.
Пример. Таким образом, дана система, состоящая из двух линейных уравнений:
\[ \left\{\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y=S_{1} \\ a_{2} x+b_{2} y=S_{2} \end{array}\right. \]
- Ищем главный определитель системы:
\[ \Delta=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right| \]
• Это означает, что если \[\Delta=0\], то либо у системы много решений, либо у системы нет решений.
Если \[\Delta \neq 0\], система имеет только одно решение, но для этого необходимо вычислить два других определителя и найти корень системы.
\[ \Delta_{x}=\left|\begin{array}{ll} S_{1} & b_{1} \\ S_{2} & b_{2} \end{array}\right| \] \[ \Delta_{y}=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & S_{1} \\ a_{2} & S_{2} \end{array}\right| \]
На практике определитель обычно может быть представлен не только \[\Delta\], но и латинской буквой D, что тоже правильно.
- Найти корни уравнения несложно, ведь главное знать формулу:
\[ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}, y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta} \]
Теперь, когда мы можем решить двух линейные уравнения, мы можем решить трех линейные уравнения без каких-либо проблем. Для этого мы рассмотрим систему:
\[
\left\{\begin{aligned}
a_{11} x+a_{12} y+a_{13} z &=b_{1} \\
a_{21} x+a_{22} y+a_{23} z &=b_{2} \\
a_{31} x+a_{32} y+a_{33} z &=b_{3}
\end{aligned}\right.
Здесь алгебраическим дополнением элементов является первый столбец \[A_{11}, A_{21}, A_{31}\]. При решении не забывайте и о других элементах. Следовательно, в системе линейных уравнений вам нужно найти три неизвестных — x, y, z и другие известные элементы.
Составим определитель системы из коэффициентов неизвестных: мы умножаем каждый член уравнения на \[A_{11}, A_{21}, A_{31}\] — алгебраическое дополнение элементов в первом столбце (коэффициент при x), а затем складываем все три уравнения вместе. У нас есть:
Согласно теореме о разложении коэффициент при x равен \[\Delta\].Коэффициенты при y и z будут равняться нулю по теореме аннулирования. Правая часть равенства по теореме замещения даёт новый определитель, который называется вспомогательным и обозначается:
\[ \Delta_{x}=\left|\begin{array}{lll} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| \]
Далее, можно записать равенство:
\[ x * \Delta+y * 0+z * 0=\Delta_{x} \]
Для нахождения y и z перемножим каждое из уравнений изначальной системы в первом случае соответственно \[A_{12}, A_{22}, A_{32}\] во втором \[A_{13}, A_{23}, A_{33}\] и прибавим значение.
Итог преобразований:
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Алгоритм однородной системы уравнений: правила решения
Среди решений однородной системы могут быть, как нулевые решения (x = y = z = 0), так и решения отличны от нуля.
Линейная система является системой дифференциального уравнения.
(1)Где коэффициенты aij и fi – некоторые функции независимой переменной x. Будем считать их непрерывными; тогда для данной системы заведомо выполняются условия теоремы о существование и единственности решения задачи Коши. Если все fi=0, то система называется однородной, в противном случае она называется
При изучении линейных систем удобно использовать матричные обозначения.
Позволяющие записать систему (1) в виде одного матричного уравнения
\[\mathrm{Y}^{\prime}=\mathrm{AY}+F\]
Так же, как и в случае линейных уравнений, общее решение неоднородной системы представляет собой сумму частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы.
В свою очередь, общее решение однородной системы имеет вид:
\[\mathrm{Y}=C_{1} \mathrm{Y}_{1}+C_{2} \mathrm{Y}_{2}+\ldots+C_{n} \mathrm{Y}_{n}\]
Где С1,…,Сn— произвольные постоянные, а
\[\mathrm{Y}_{1}=\left(\begin{array}{l} y_{11}(x) \\ y_{21}(x) \\ \vdots \\ y_{n 1}(x) \end{array}\right), \ldots, \mathrm{Y}_{n}=\left(\begin{array}{l} y_{1 n}(x) \\ y_{2 n}(x) \\ \vdots \\ y_{n n}(x) \end{array}\right)\]
Произвольные линейно независимые решения, называемые фундаментальным набором решений этой системы. Критерием линейной независимости этих решений является неравенство нулю определителя Вронского.
\[ W\left(\mathrm{Y}_{1}, \ldots, \mathrm{Y}_{n}\right)=\left|\begin{array}{ccc} y_{11} & \ldots & y_{1 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ y_{n 1} & \ldots & y_{n n} \end{array}\right| \]
Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных \[x_{1}=\alpha_{1}, x_{2}=\alpha_{2}, \ldots, x_{n}=\alpha_{n}\] , обращающий все уравнения системы в тождества.
Матричное уравнение \[A \cdot X=B\] при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество \[A \cdot X=B\].
При помощи метода Крамера следует решать системы линейных алгебраических уравнений в том случае, если определитель не имеет значения 0. Использование этого метода поможет найти определители матриц такого порядка, как n на n. В случае, если свободные члены равны 0, тогда и их определители равны нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. Поэтому, если определители имеют нулевое значение, лучше решать систему, используя метод Гаусса, а не Крамера, только в этом случае ответ решения будет правильный.
Метод Крамера
Пусть дана система трех линейных уравнений:
(1)
Для решения системы линейных уравнений методом Крамера из коэффициентов при неизвестных составляется главный определитель системы . Для системы (1) главный определитель имеет вид .
Далее
составляются определители по переменным
,,.
Для этого в главном определителе вместо
столбца коэффициентов при соответствующей
переменной записывается столбец
свободных членов, то есть
, ,.
Тогда решение системы находится по формулам Крамера
, ,
Следует отметить, что система имеет единственное решение , если главный определитель.Если же и = 0,= 0,= 0, то система имеет бесчисленное множество решений, найти которые по формулам Крамера нельзя. Если же и 0, или0,или0, то система уравнений несовместна, то есть решений не имеет.
Пример
Решить систему уравнений методом Крамера:
Решение:
1) Составим и вычислим главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных.
.
Следовательно,
система имеет единственное решение.
2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в столбцом из свободных членов.
По формулам Крамера находим неизвестные:
, ,.
Сделаем проверку, чтобы убедиться в правильности решения
, т.е. .
, т.е.
, т.е.
Ответ: .
Пример
Решить систему уравнений методом Крамера:
Решение:
1) Составим и вычислим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:
.
Следовательно, система не имеет единственного решения.
2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в столбцом из свободных членов:
.
, , следовательно, система несовместна.
Ответ: система несовместна.
Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап заключается в последовательном исключении переменных из уравнений системы при помощи действий, не нарушающих равносильности системы. Например, рассмотрим два первых уравнения системы (1).
(1)
Необходимо путем сложения этих двух уравнений получить уравнение, в котором отсутствует переменная . Умножим первое уравнение на, а второе на () и сложим полученные уравнения
+
Заменим коэффициент перед y, z и свободный член на ,исоответственно, получим новую пару уравнений
Заметим, что во втором уравнении отсутствует переменная x.
Проведя аналогичные действия над первым и третьим уравнениями системы (1), а затем над полученными в результате сложения вторым и третьим уравнениями, преобразуем систему (1) к виду
(2)
Такой
результат возможен, если система имеет
единственное решение.
В этом случае
решение находится при помощи обратного
хода метода Гаусса (второй этап). Из
последнего уравнения системы (2) находим
неизвестную переменную z,
затем из второго уравнения находим y,
а x соответственно из первого, подставляя
в них уже найденные неизвестные.
Иногда в результате сложения двух уравнений суммарное уравнение может принять один из видов:
А) , где. Это означает, что решаемая система несовместна.
Б) , то есть. Такое уравнение исключается из системы, в результате число уравнений в системе становится меньше, чем число переменных, и система имеет бесчисленное множество решений, нахождение которых будет показано на примере.
Пример
Решить систему методом Гаусса:
Решение:
Рассмотрим
следующий способ осуществления первого
этапа решения методом Гаусса. Запишем
три строки коэффициентов при неизвестных
и свободных членов, соответствующих
трем уравнениям системы.
Свободные
члены отделим от коэффициентов
вертикальной линией, а под третьей
строкой проведем горизонтальную прямую.
Первую
строку, которая соответствует первому
уравнению системы, обведем – коэффициенты
в этом уравнении останутся неизменными.
Вместо второй строки (уравнения) надо
получить строку (уравнение), где
коэффициент при
равен нулю. Для этого все числа первой
строки умножим на (–2) и сложим с
соответствующими числами второй строки.
Полученные суммы запишем под горизонтальной
чертой (четвертая строка). Для того чтобы
вместо третьей строки (уравнения) также
получить строку (уравнение), в которой
коэффициент приравен нулю, умножим все числа первой
строки на (–5) и сложим с соответствующими
числами третьей строки. Полученные
суммы запишем пятой строкой и проведем
под ней новую горизонтальную черту.
Четвертую строку (или пятую – по выбору)
обведем. Выбирается строка с меньшими
коэффициентами. В этой строке коэффициенты
останутся неизменными. Вместо пятой
строки надо получить строку, где уже
два коэффициента равны нулю.
Умножим
четвертую строку на 3 и сложим с пятой.
Сумму запишем под горизонтальной чертой
(шестая строка) и обведем ее.
Все описанные действия изображены в таблице 1 при помощи арифметических знаков и стрелок. Обведенные в таблице строки запишем снова в виде уравнений (3) и, применив обратный ход метода Гаусса, найдем значения переменных x, y и z.
Таблица 1
1 | 1 | -2 | 6 | *(-2) | *(-5) |
2 | 3 | -7 | 16 | ||
5 | 2 | 1 | 16 | ||
0 | 1 | -3 | 4 | *( 3) | |
0 | -3 | 11 | -14 | ||
0 | 0 | 2 | -2 |
Восстанавливаем систему уравнений, полученную в результате наших преобразований:
(3)
Обратный ход метода Гаусса
Из
третьего уравнения
находим.
Во второе уравнение системы подставим найденное значение, получимили.
Из первого уравнения , подставляя уже найденные значения переменных, получаем, то есть.
Чтобы убедиться в правильности решения, проверку необходимо сделать во всех трех уравнениях системы.
Проверка:
, получим
, получим
, получим
значит, система решена верно.
Ответ: ,,.
Пример
Решить систему методом Гаусса:
Решение:
Порядок действий в этом примере аналогичен порядку в предыдущем примере, а конкретные действия указаны в таблице 2.
Таблица2
2 | 2 | 1 | 1 | *(-3) | *(-5) |
3 | 5 | -2 | 0 | *2 | |
5 | 3 | 6 | -2 | *2 | |
0 | 4 | -7 | -3 | ||
0 | -4 | 7 | -9 | ||
0 | 0 | 0 | -12 |
В
результате преобразований получим
уравнение вида
,
следовательно, заданная система
несовместна.
Ответ: система несовместна.
Пример
Решить систему методом Гаусса:
Решение:
Таблица 3
1 | 2 | -1 | 0 | *(-2) | *(-4) |
2 | -1 | 3 | 1 | ||
4 | 3 | 1 | 1 | ||
0 | -5 | 5 | 1 | *(-1) | |
0 | -5 | 5 | 1 | ||
0 | 0 | 0 | 0 |
В
результате преобразований получим
уравнение вида
,
которое исключается из рассмотрения.
Таким образом, имеем систему уравнений,
в которой число неизвестных 3, а число
уравнений 2.
Система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы отыскать эти решения, введем одну свободную переменную. (Число свободных переменных всегда равно разности между числом неизвестных и числом уравнений, оставшихся после преобразования системы. В нашем случае 3 – 2 = 1).
Пусть – свободная переменная.
Тогда из второго уравнения найдем , откуда, а затем найдемx из первого уравнения или.
Таким образом, ;;.
Сделаем проверку в уравнениях, которые не участвовали в нахождении и, то есть во втором и в третьем уравнениях первоначальной системы.
Проверка:
или , получаем.
или , получаем.
Система
решена верно. Давая произвольной
постоянной
различные значения, будем получать
различные значенияx, y и z.
Ответ: ;;.
21
Метод Крамера – Сообщество разработчиков
В последнее время я много слышал о методе Сайнфелда. Я не уверен, почему я вижу это чаще, поскольку эта стратегия не совсем нова, и это звучит как прекрасный способ оценить прогресс своей цели с течением времени. Суть в том, что вы берете большой календарь, желательно тот, который отображает все дни года, и повесите его на видное место в своем жилище. Что-то вроде этого:
Затем вы сосредотачиваетесь на цели и на том, что для вас значит продвижение к этой цели, будь то учеба, программирование или, в случае Сайнфелда, писательство. Держите ежедневную цель эффективной, но разумной, чтобы выполнять ее каждый день — подумайте о 10 отжиманиях, 30–60 минутах занятий — все, что соответствует вашему представлению о прогрессе в достижении вашей цели. Затем, когда вы закончите это за день, поставьте большой жирный красный крестик над датой.
Повторите это завтра. Сделайте это привычкой и «не разрывайте цепочку» X в своем календаре.
Звучит как надежный план для достижения прогресса в достижении любой цели. Однако у меня есть одна проблема с этим методом…
У меня нет одновременной работы одной цели. Наоборот, чем старше я становлюсь, тем больше голов забиваю. Сегодня, размышляя об этом, я начал перечислять все, что у меня есть сейчас, как «цели» в моей жизни, включая личные и профессиональные. Я говорю о вещах, которые я активно, ежедневно (или, по крайней мере, из дней) преследую с конечной целью, и на которые я трачу не менее 20 минут в день, практикуясь. Я парю прямо около 9-12 в зависимости от дня.
Некоторые примеры включают упражнения, медитацию, подготовку к сертификации (в настоящее время AWS CCP), изучение новых технологий (сейчас работаю над курсом Udemy Ansible), чтение (на данный момент 3 книги, из которых 78 в моем списке к прочтению)…
Я вдруг подумал, что со мной что-то не так.
Потом я стал больше думать о том парне через холл. Конечно, Космо Крамер — вымышленный персонаж, но в этом контексте он начал резонировать со мной. Казалось, в каждом шоу он делал что-то совершенно новое, от игр с профессионалами в гольф до установки мусоропровода в душе и плавания в Ист-Ривер. Этот буквально отскакивает от стен. На первый взгляд он выглядит в лучшем случае отчужденным, а в худшем — безнадежно рассеянным. Я могу относиться.
Но Крамер принимает свои причуды. Он преследует свои мечты независимо от того, что думают его друзья. Если бы у него был календарь для всех его целей, они бы покрыли стены его квартиры и, вероятно, были бы покрыты множеством оттенков радуги.
И обычно он довольно счастливый парень. Возможно, он немного затянут… но в большей гармонии с собой, чем другие завсегдатаи шоу.
Так что да, я каждый день переключаюсь между личными проектами. В моем бэклоге, наверное, сто часов работы над проектом. У меня есть электронные таблицы журнала прогресса, ежедневные напоминания, задачи Outlook и Todoist, полный вещей, над которыми я активно работаю.
У меня есть 29-недельная серия из не менее 3 лабораторий в неделю в Immersive Labs. Я работаю над Проектом Феникс . Я собираюсь создать свои первые сборники игр Ansible. Мне осталось сдать экзамен CCP за несколько недель.
Я просто не любитель календарей. Иногда я думаю, что это такое. Но, в конце концов, в этом и прелесть DevSecOps: никогда не бывает недостатка в новых вещах, которые нужно изучить, и хотя я намерен закончить то, что начинаю, я просто не могу , а не , хочу узнать гораздо больше.
Так возникают новые вещи, как и должно быть. Новые вещи идут в мой бэклог, как и положено. Я продолжаю усердно работать над всем, что решил положить на свою тарелку, как и должен. И я обращусь к мастеру многозадачности для моих потребностей в наставничестве по управлению проектами =]
| ||||||||||||||
Принстонский университет 
Р. Шмидт и Дж. Бест, “Метод КС со штрафом для подбора наборов данных со степенным распределением на ограниченном подинтервале”, Журнал статистических вычислений и моделирования, 91 (2021): 1524-1563.
Латорре К., Крамер П. Р., Павлиотис Г. А. Численные методы
Вычисление эффективных транспортных свойств мигающих броуновских двигателей», Журнал
Вычислительная физика 257A (2014): 57–82.
