Метод крамера и метод гаусса: Правило Крамера и метод Гаусса. Лекция

Правило Крамера и метод Гаусса. Лекция

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁

:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

Итак, х=1, у=2, z=3.

2. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

. Поэтому .

1. При

2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.

3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yR.

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие

x₁. Для этого второе уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x₂. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x₃, затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;

2. умножение строки на число, отличное от нуля;

3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной

z, а третий – при x.

Вернемся к системе уравнений.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Матричная запись системы. Метод Гаусса. Метод Крамера.

Матричный способ

< Лекция 10 || Лекция 5: 12345

Аннотация: В лекции рассмотрено использование ранее изученных методов для поиска решений системы линейных уравнений

Ключевые слова: определитель, Алгебраическим дополнением, алгебраические, коэффициенты, равенство, свободными членами, определителем системы, переменная, бесконечное множество, вывод, множитель, коэффициентами системы, система линейных уравнений, обратный, матричная форма, матрица, детерминант, совместность, расширенная матрица, выражение

Правило Крамера

Основные задачи изучения системы (3.1), “лекции 3” :

1. Выяснить, является ли система (3.1) совместной или несовместной.
2. Если система (3.1) совместна, то выяснить, является ли она определенной и найти решения.

Далее рассмотрим, в частности, систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.

( 4.2)

Составим из коэффициентов при неизвестных системы (4.2) определитель этой системы

Умножим обе части первого уравнения почленно на алгебраическое дополнение А₁₁ элемента а₁₁, второе уравнение – на алгебраическое дополнение А₂₁ элемента а₂₁, а третье – на алгебраическое дополнение А₃₁ элемента а₃₁.

Сложим все три полученных уравнения, умножив предварительно на соответствующие алгебраические дополнения, получим

( 4. 3)

Коэффициенты при y и z в силу свойства определителя (см. “лекц. 1” , теорема 2) равны нулю, а коэффициент при х на основании тех же свойств (см. “лекц. 1” , теорема 1) равен , т.е. , поэтому равенство (4.3) примет вид:

( 4.4)

( 4.5)

Заметим, что определитель получается из определителя путем замены коэффициентов а₁₁, а₂₁, а₃₁ при неизвестном х свободными членами или замены первого столбца коэффициентов при искомом х столбцом свободных членов. Аналогично получаются другие равенства:

( 4.6)

Определители и получают из определителя системы заменой второго и третьего столбцов коэффициентов при y и z столбцом свободных членов.

Рассмотрим следующие случаи.

1. . Тогда из равенств (4.4) и (4.5) находим решение системы (2) как

   ( 4.7)

   которые называют формулами Крамера.
2. intuit.ru/2010/edi”> . Тогда по крайней мере один из , или отличен от нуля и система (4.2) не имеет решения (система несовместна), что можно показать. Пусть, например, . Тогда равенство из (4.4) получаем или , что невозможно.
3. и . Тогда система (4.2) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.

Пример 1. Решить систему

Решение. Вычислим все определители.

Так как , то данная система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера (4.7):

т.е. (2, 0, -1) – искомое решение системы.

Пример 2. Решить систему

Решение. Вычислим определители

т.е. система решений не имеет (случай 2)

intuit.ru/2010/edi”>Пример 3. Решить систему

Решение. Нетрудно убедиться в том, что и . Данная система не имеет решений, так как первое и третье уравнения противоречивы. Если умножить первое уравнение на 3 и вычесть из полученного уравнение третье, то придем к ложному равенству 0 = 3.

Пример 4. Решить систему

Решение. Нетрудно убедиться в том, что и . Так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то данная система равносильна системе двух уравнений относительно трех неизвестных

Так как

то можно найти решение последней системы

в которой переменная z является свободной, и, следовательно, исходная система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти либо по формулам Крамера, либо методом исключений. В результате получим (-5z/11; (7z+11)/11; z), где z может принимать произвольные значения.

Дальше >>

< Лекция 10 || Лекция 5: 12345

Правило Крамера | Superprof

В мире линейной алгебры правило Крамера играет очень важную роль в нахождении определителей, рангов и типа системы. Проще говоря, правило Крамера используется для нахождения решения системы линейного уравнения. Кроме того, это также помогает нам определить, будет ли система иметь хотя бы одно решение или нет. Это экономит много времени, не говоря уже о том, что этот метод очень точно предсказывает решения системы.

Существует еще один метод поиска решения линейной системы, известный как метод исключения Гаусса. В этот момент вы можете задаться вопросом, почему мы должны использовать правило Крамера вместо метода исключения Гаусса? У нас есть ответ. Правило Крамера очень просто использовать. Вы должны следовать аналогичному шаблону для всей матрицы, с другой стороны, исключение Гаусса требует логических операций со строками. Вам нужно подумать и выбрать рядовые операции. Эти операции со строками могут стать трудными при решении системы линейных уравнений. Кроме того, при рассмотрении исключения Гаусса существуют операции, такие как поворот строк и операции со столбцами. У них есть свои правила, которые иногда могут раздражать.

Найдите репетитора по математике здесь.

Как работает правило Крамера?

Для простоты представьте себе систему с двумя линейными уравнениями:

(1)

(2)

Мы можем исключить одну переменную с помощью операций со строками. Вы можете выбрать любую переменную, но здесь мы решили исключить y, чтобы составить уравнение относительно x. Для этого нам нужно применить операцию строки. Если мы умножим уравнение 2 на и уравнение 1 на , а затем добавим оба уравнения, мы можем легко исключить y из общего уравнения.

Следовательно,

Следовательно,

Добавление оба уравнения:

Взятие x в качестве общего:

Сейчас будет применяться тот же метод, но на этот раз мы устранемся x и сделаем x и сделаем x и сделаем x и сделаем x и сделаем уравнение относительно y.

отсюда

отсюда

Сложим оба уравнения:

Примем y как обычное:

3 Вы что-то заметили? Знаменатель обоих уравнений одинаков. Этот знаменатель является определителем матрицы коэффициентов. Следовательно, мы можем написать что-то вроде этого:

Где, – определитель матрицы коэффициентов,

– определитель числителя в решении x,

– определитель числителя в решении y.

В приведенном выше примере мы рассмотрели систему двух уравнений, но что, если у вас нет системы двух уравнений? Тогда вам не нужно беспокоиться, потому что метод точно такой же. Вот иллюстрация, если у вас есть номер системы:

Определители получаются заменой коэффициентов 2-го члена (независимых членов) в 1-м, 2-м, 3-м и n-м столбцах соответственно. Однако есть некоторые условия для использования правила Крамера, ниже приведены все условия.

• Количество уравнений равно количеству неизвестных.
• Определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Примеры

Example 1

 

 

 

 

Пример 2

3

 

 

 

Пример 3

 

 

 

Find a maths tutor on Superprof .

должен использовать метод Гаусса И правило Крамерса!! ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИ!

Матричный метод

Рэйвен В.

спросил 21.02.16

1) 3x-2y+z =

x+y+4z = 4

2x+3Z = -1

2) x-2y = 5Z+4

6y+18z = 2x-8

-3x+8y+20z = -18

3) -14 = -20y-7x

10y+4 = 2x

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

1 ответ эксперта

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Кеннет С. ответил 21.02.16

Репетитор

4,8 (62)

Экспертная помощь по алгебре/тригонометрии/(пред)исчислению для гарантии успеха в 2018 году

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Вот как решить задачу 2 по правилу Крамера.

Создайте на калькуляторе матрицу B, содержащую 3 столбца (коэффициенты x, y, x) и 3 строки (три уравнения):

1  -2  -5

-2  6  18

-3  8  20

затем det([B]) = -6  < -- это значение определителя системы, D.

 

Теперь отредактируйте [B], чтобы поместить константы правой части только вместо коэффициентов столбца x:

4 -2 -5
-8 6 18
-18 8 20
тогда det([B]) =12. <--это значение определителя Dx

Таким образом, значение x = 12/-6 = -2. [х = D _x / D].

Теперь отредактируйте [b], чтобы он содержал эти данные:

1 – 4-  5
-2 -8  18
-3 -18  20
, затем det([B]) = 48  <-- D _y . Значение y = D _y / D, поэтому y = 48 / -6 = -8.

Наконец, создайте матрицу [B], в которой правые константы заменяются столбцом коэффициентов «z»: [В]) = -12 <--D _z .