Метод крамера решение системы линейных уравнений: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Метод крамера для произвольных систем линейных уравнений. Метод крамера решения систем линейных уравнений


2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :



Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:


Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим

формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.


Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод,

обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:


Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
  3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
  4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

  • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
  • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 3 = – 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = – 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 – (-2) \cdot 3 \cdot 10 – (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = – 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

б) метод Крамера для решения системы линейных уравнений.

Построение графика временной функции

Похожие главы из других работ:

Алгоритмы решения задач

3. МЕТОДЫ решения системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений — это система уравнений вида (1) Здесь m — количество уравнений, а — количество неизвестных; x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить, a11, a12,…, amn — коэффициенты системы, b1, b2…

Особенности вычисления определителя матрицы

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Пусть дана квадратная матрица A размером NxN. Требуется вычислить её определитель. Воспользуемся идеями метода Гаусса решения систем линейных уравнений. Дана система: a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 … an1 x1 + an2 x2 + …..

Построение графика временной функции

2.2.2 Схема алгоритма подпрограммы решения системы двух линейных уравнений

Схема алгоритма подпрограммы ПП2 решения системы двух линейных уравнений приведена на рисунке 2. 4 В состав схемы алгоритма входят 6 блоков. Блок 1 – это начало, блок 6 – это конец. Работа подпрограммы начинается с блока 2…

Программная реализация методов решения системы линейных уравнений

1.1 Системы линейных алгебраических уравнений

Многие задачи экономического характера сводятся к решению систем линейных уравнений. Систему [1] вида принято называть системой n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными. При этом произвольные числа aij (i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,……

Программная реализация методов решения системы линейных уравнений

1.3 Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений: Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных: Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матрицы столбцов: Тогда, используя правило умножение матриц…

Разработка программы решения системы линейных уравнений

1. Описание математических методов решения систем линейных уравнений

. ..

Разработка статических и динамических библиотек на языке программирования С/C++ в операционных системах UNIX

4.2 Создание динамической библиотеки для решения системы линейных уравнений

В качестве примера использования динамических библиотек напишем программу для решения системы линейных уравнений. Пусть система имеет вид: a11*x1+a12*x2=b1; a21*x1+a22*x2=b2; Решение этой системы находим через обратную матрицу A-1…

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса средствами языка программирования Visual Basic

Системы линейных алгебраических уравнений

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система…

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

1.1.1 Системы линейных уравнений

Опр. Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений с n неизвестными, называется система вида , Рис.1 Система линейных уравнений Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных. где числа aij (i=1,2,…,m, j-1,2,……

Решение функциональных и вычислительных задач средствами пакетов прикладных программ MathCAD и электронных таблиц Excel

Решение системы линейных алгебраических уравнений

1. Решение СЛАУ с помощью given(дано) и find(найти). Сделаем проверку: 2. С помощью функции lsolve. Задаем матрицу А, состоящую из коэффициентов при неизвестных, и матрицу В, состоящую из свободных коэффициентов. 3. С помощью обратной матрицы…

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

2. Операции численного решения системы линейных алгебраических уравнений

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

2.1 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

a11?x1+ a12?x2+ a13?x3+ a14?x4=b1 a21?x1+ a22?x2+ a23?x3+ a24?x4=b2 (1) a31?x1+ a32?x2+ a33?x3+ a34?x4=b3 a41?x1+ a42?x2+ a43?x3+ a44?x4=b4 Составим расширенную матрицу системы (1): Преобразуем матрицу А. ..

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

2.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Холесского)

Метод Холесского заключается в представлении матрицы в виде произведения двух треугольных матриц L и U , имеющих следующий вид: диагональные элементы L матрицы равны единице…

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

2.5 Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

Однородной системой линейных алгебраических уравнений называют такую систему, свободные члены которой равны нулю, т.е…

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

2.5.2 Численный метод решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью MATHCAD

Рисунок 3. 2. Графики изменения переменных состояния системы при нулевых начальных условиях и воздействии y=cos(2t) Как видно из графиков решения совпадают…

Решение матрицы по методу крамера. Метод крамера решения систем линейных уравнений

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.


Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы – (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример – на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера – весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Решение систем линейных уравнений с тремя переменными с использованием определителей – видео и стенограмма урока

Правило Крамера

Мы будем использовать правило Крамера. Это правило позволяет нам найти решение, просто используя определители. Основным определяющим фактором является матрица коэффициентов. Мы называем этот определитель D . Затем у нас есть по одному определителю для каждой из наших переменных: D sub x , D sub y и D sub z . Чтобы найти D sub x , мы заменяем первый столбец, столбец x , в матрице коэффициентов постоянными числами и находим определитель этой матрицы.Для D sub y мы заменяем второй столбец в матрице коэффициентов постоянными числами, а затем находим определитель. Для D sub z мы заменяем третий столбец и затем находим определитель. Тогда решение x представляет собой D sub x , разделенное на D . Решение y – это D sub y , разделенное на D . Решение z представляет собой D sub z , разделенное на D .

Поиск детерминантов

Готовы ли вы теперь найти детерминанты? Давай сделаем это.Как только вы найдете свои детерминанты, найти ответ будет проще простого! При нахождении определяющих факторов будьте осторожны со своими знаками и числами, которые вам нужно умножить, а какие – сложить.

Наша матрица коэффициентов такова.

Числа – это просто коэффициенты перед переменными в левой части уравнений. Первый столбец – это все коэффициенты переменной x . Второй столбец – это все коэффициенты переменных и .Третий столбец – это все коэффициенты переменных z .

Определитель для нашей матрицы коэффициентов: 1 (-1 * -2 – -1 * 3) – 1 (2 * -2 – -1 * 0) + 1 (2 * 3 – -1 * 0) = 1 ( 2 + 3) – 1 (-4 + 0) + 1 (6 + 0) = 1 (5) – 1 (-4) + 1 (6) = 5 + 4 + 6 = 15. Наше D равно 15

Теперь нам нужно найти наши D sub x , D sub y и D sub z . Чтобы найти эти детерминанты, нам нужно заменить каждый столбец постоянными числами. Это постоянные числа.

Чтобы найти D sub x , мы заменяем первый столбец в нашей матрице коэффициентов этими постоянными числами, а затем находим определитель этой матрицы.

Определитель этой матрицы равен 6 (-1 * -2 – -1 * 3) – 1 (-3 * -2 – -1 * 0) + 1 (-3 * 3 – -1 * 0) = 6 (2 + 3) – 1 (6 + 0) + 1 (-9 + 0) = 6 (5) – 1 (6) + 1 (-9) = 30 – 6 – 9 = 15. D sub x равно 15.

Вот матрица для D sub y . Мы заменили второй столбец нашими постоянными числами.

Определитель этой матрицы равен 1 (-3 * -2 – -1 * 0) – 6 (2 * -2 – -1 * 0) + 1 (2 * 0 – -3 * 0) = 1 (6 + 0) – 6 (-4 + 0) + 1 (0 + 0) = 1 (6) – 6 (-4) + 1 (0) = 6 + 24 + 0 = 30. D sub y равно 30.

Наша последняя матрица для D sub z . Вот этот.

Определитель для этой матрицы равен 1 (-1 * 0 – -3 * 3) – 1 (2 * 0 – -3 * 0) + 6 (2 * 3 – -1 * 0) = 1 (0 + 9) – 1 (0 + 0) + 6 (6 + 0) = 1 (9) – 1 (0) + 6 (6) = 9-0 + 36 = 45. D sub z равно 45.

Поиск решений

Теперь, когда мы нашли все наши детерминанты, следующий шаг – найти наши решения, разделив наши детерминанты. Чтобы найти решение x , мы берем D sub x и делим его на D . Чтобы найти решение и , мы берем D sub y и делим его на D . Чтобы найти решение z , мы берем D sub z и делим его на D . Вы готовы найти наши решения?

Решение x: x = D sub x / D = 15/15 = 1.Решение y : y = D sub y / D = 30/15 = 2. Решение z : z = D sub z / D = 45/15 = 3. Тогда наше полное решение будет (1, 2, 3), где x = 1, y = 2 и z = 3. Теперь мы закончили.

Краткое содержание урока

Что мы узнали? Мы узнали, что система линейных уравнений с тремя переменными представляет собой набор из трех линейных уравнений с тремя переменными и без показателей.Мы можем использовать правило Крамера, чтобы помочь нам решить такую ​​систему. Правило Крамера позволяет нам найти решение, просто найдя четыре определителя и затем разделив их. Первый определитель, D , является определителем матрицы коэффициентов. Второй, третий и четвертый определители вычисляются из матриц, которые формируются путем подстановки постоянных чисел в каждый столбец. D sub x , определитель матрицы, образованной путем подстановки постоянных чисел в первый столбец матрицы коэффициентов, является вторым определителем, который нам нужен. D sub y – определитель матрицы, образованной заменой второго столбца матрицы коэффициентов постоянными числами. И D sub z является определителем матрицы, образованной заменой третьего столбца матрицы коэффициентов постоянными числами. После нахождения этих детерминант ответ будет затем найден путем деления наших детерминант. Решение x : D sub x / D . Решение и : D sub y / D .И окончательное решение z D sub z / D .

Результаты обучения

Посмотрите урок и укрепите свои знания, чтобы вы могли делать следующее:

  • Распознавать систему линейных уравнений с тремя переменными
  • Найдите решение этой системы, используя правило Крамера
  • Определить детерминанты и решить систему линейных уравнений с тремя переменными

Видеоурок: Правило Крамера | Нагва

Стенограмма видео

В этом видео мы узнаем, как использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений.Итак, что мы собираемся сделать, это использовать определители для решения систем двух линейных уравнений, использовать определители для решения системы трех линейных уравнений, а также понять и использовать правило Крамера.

Итак, правило Крамера – полезный способ помогая нам решать одновременные уравнения. И одна удобная вещь об этом: что он позволяет нам решать для одной переменной, а не для всей системы уравнений. Так как же это произошло? Правило Крамера названо в честь Габриэль Крамер.Он был женевским математиком. И то, что он придумал, было способом решение одновременного уравнения с использованием матриц или матричных уравнений и фактически определители этих матриц. Теперь, прежде чем мы взглянем на некоторые примеры того, как использовать правило Крамера, мы просто немного рассмотрим само правило, как оно работает и что это значит.

Так что на этом также стоит отметить указывают на то, что часто можно увидеть и использовать разные обозначения.Итак, на этой странице вы даже можете увидеть что мы получили в действительном правиле Крамера в пузыре, у нас есть обозначение, которое использует Δ для нашей матрицы, поэтому он говорит определитель матрицы Δ sub 𝑥, тогда как также вы можете написать это как D sub 𝑥. Это означает, что определитель матрица.

Итак, если мы посмотрим на правило, то правило Крамера говорит нам, что если у нас есть система уравнений ⁠ – значит, в В этом случае у нас есть три переменных, 𝑥, 𝑦 и 𝑧, но мы рассмотрим две и три переменные в этом уроке ⁠ – тогда мы сможем найти решения уравнений использование равно определителю матрицы Δ sub 𝑥 по определителю матрица Δ.𝑦 равно определителю матрица Δ sub 𝑦 над определителем матрицы Δ. А 𝑧 равен определителю матрицы Δ sub 𝑧 над определителем матрицы Δ. Так что все отлично. Но что это на самом деле значит? Что ж, давайте посмотрим ».

Ну, давайте представим, что у нас есть система двух уравнений и переменных и 𝑦. Итак, у нас есть три 𝑥 плюс два 𝑦 равно 23 и два 𝑥 минус четыре 𝑦 равно отрицательным 22.Что ж, тогда мы могли бы Фактически, представьте это как матричное уравнение. Итак, у нас будет матрица три, два, два и четыре отрицательных. А это матрица наших коэффициентов, причем наши 𝑥-коэффициенты являются первым столбцом, а наши 𝑦-коэффициенты – второй столбец. Они умножаются на матрицу 𝑥, 𝑦 – наши переменные. И тогда это будет равно матрица ответов 23, отрицательный 22.И мы получаем их, потому что это наши постоянные ценности или наши ответы на наши уравнения. Хорошо, отлично. Итак, мы сейчас на этом этапе, все еще не совсем по нашему правилу. Итак, что нам нужно для вас сейчас?

Что ж, мы могли представить, что матрица – это матрица Δ. Итак, у нас есть матрица коэффициентов здесь. Итак, мы будем называть знаменатель, если бы мы хотели найти нашу 𝑥-переменную, у нас был бы определитель матрица три, два, два, четыре отрицательных числа.Хорошо, в этом есть смысл. Но что будет делать наш числитель быть? Что это за матрица Δ sub 𝑥? Что ж, матрица Δ sub 𝑥 – это то, что мы получим, если подставим наши ответы, поэтому значения из нашей матрицы ответов, вместо столбца, который содержит наши 𝑥-коэффициенты, которые дали бы нам матрица 23, два, отрицательные 22, отрицательные четыре, потому что мы видим, что 𝑦-коэффициенты останется прежним. Итак, мы могли бы сказать, что что наше 𝑥-решение будет равно определителю матрицы 23, два, отрицательные 22, отрицательные четыре по определителю матрицы три, два, два, отрицательные четыре.

И тогда мы могли бы применить Правило Крамера для поиска 𝑦-решения. И мы сделаем это в некоторых примеры, которые мы собираемся найти. Это просто чтобы показать, как все это работает. Теперь, прежде чем мы перейдем прямо к несколько примеров, очевидно, здесь мы много говорим о детерминантах. Я хочу быстро бежать через то, как найти определитель матриц два на два и три на три. Это то, что вам следует уже знаю, так что это будет очень краткое резюме.

Ну во-первых, если подумать о матрице два на два, если у нас есть матрица два на два 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, то определитель этого будет равен 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐. Итак, что мы делаем, это перекрестное умножение и вычесть. А потом на три на три матрица, если мы хотим найти определитель, например, матрицы 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, это равно 𝑎, умноженному на определитель подматрица 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 минус 𝑏, умноженная на определитель подматрицы, 𝑓, 𝑔, 𝑖 плюс 𝑐, умноженное на определитель подматрицы 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ.

Итак, важный ключевой момент, помните, что у нас есть положительное, отрицательное, положительное, когда мы смотрим на коэффициенты перед умножением определителей наших подматриц. А еще мы быстро напомним сами как мы находим подматрицу два на два. Итак, если мы возьмем элемент, то мы удаляем столбец и строку, в которой он находится. Тогда у нас остается подматрица два на два 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖.Итак, мы вспомнили эти и мы также рассмотрели, как использовать правило Крамера. Теперь мы посмотрим на некоторые Примеры. И в нашем первом примере, что мы собираемся взглянуть на одно из условий правления Крамера.

Полезно ли правило Крамера для поиска решения систем линейных уравнений, в которых имеется бесконечное множество решения?

Ну, мы могли бы ответить на этот вопрос очень быстро, потому что мы могли бы просто сказать нет, потому что правило Крамера бесполезно для когда существует система линейных уравнений, в которой существует бесконечное множество решения.И это потому, что если мы делаем матричное уравнение, то оно нежизнеспособно, когда матрица сингулярна. И матрица сингулярна, когда есть бесконечное множество решений. Но это немного короче отвечать. Давайте посмотрим, почему это дело. Итак, как мы уже говорили, если система уравнений имеет сингулярную матрицу, то существует множество решений с бесконечное множество решений. Но как мы узнаем или какие свойства особой матрицы?

Ну, что мы знаем о единственном числе матрица состоит в том, что у нее есть определитель, равный нулю. Итак, если мы посмотрим на Правило Крамера, и мы хотим определить одну из трех переменных 𝑥, 𝑦 или 𝑧, тогда что мы видим, так это то, что в правиле у нас есть определитель матрицы как знаменатель. Ну, если бы это была сингулярная матрица, это будет ноль. И если у нас есть что-нибудь, разделенное на ноль, то это означает, что наши ответы не могут быть определены. Вот почему мы можем сказать, что нет, Правило Крамера бесполезно для поиска решений систем линейных уравнения, в которых существует бесконечное множество решений.

Хорошо, отлично. Мы изучили условия для какое правило Крамера можно применить. Итак, теперь давайте взглянем на некоторые примеры того, как мы используем правило Крамера.

Используйте определители для решения система минус восемь 𝑥 минус четыре 𝑦 равно восемь минус девять 𝑥 минус шесть 𝑦 равно минус девять.

Итак, первое, что мы хотим сделать с этой задачей фактически составлено матричное уравнение нашей системы уравнения.И когда мы это делаем, мы будет матрица отрицательные восемь, отрицательные четыре, девять, отрицательные шесть умноженное на матрицу 𝑥, 𝑦 равно матрице ответа, и это отрицательно восемь, минус девять. Итак, что мы будем делать, потому что мы хотим использовать детерминанты для решения системы, тогда мы будем использовать Правило Крамера. И правило Крамера говорит нам, что 𝑥 равна определителю матрицы Δ sub 𝑥 по определителю матрицы матрица Δ.А затем, чтобы найти 𝑦, оно равно определитель матрицы Δ sub 𝑦 по определителю матрицы Δ.

Но мы могли бы посмотреть на это и подумайте: «А что такое матрица Δ sub 𝑥?» Ну собственно то, что это матрица, которая образуется, когда мы подставляем матрицу ответов вместо столбца 𝑥-коэффициенты в нашей исходной матрице. Так, например, в нашей задаче мы замените первый столбец в нашей матрице матрицей ответов.Так что вместо того, чтобы читать негатив восемь, а затем девять, он прочитал отрицательное восемь, а затем отрицательное девять. Итак, давайте продолжим и найти наши детерминанты. Итак, прежде всего, мы хотим Определитель матрицы отрицательный восемь, отрицательный четыре, девять, отрицательный шесть. Итак, когда мы с этим справимся, мы собираюсь получить отрицательные восемь, умноженные на отрицательные шесть, минус отрицательные четыре, умноженные на девять, что даст нам 48 плюс 36.И это равно 84.

И хорошо в этом то, что это также помогает нам проверить, можем ли мы решить нашу систему уравнений, потому что если наша матрица была сингулярной, то определитель будет равен нулю. Итак, мы видим, что это не случай в этой проблеме здесь. Итак, что у нас будет посмотрите на это определитель матрицы Δ sub 𝑥. Что ж, мы уже сказали здесь что такое Δ sub 𝑥, это матрица, которую мы получаем, когда подставляем отрицательную восьмерку и отрицательная девятка, наша матрица ответов, вместо наших-коэффициентов.Итак, мы получим матрицу отрицательные восемь, отрицательные четыре, отрицательные девять, отрицательные шесть. Итак, для этого определяющего фактора мы собираюсь получить отрицательные восемь, умноженные на отрицательные шесть минус отрицательные четыре умножить на минус девять, что будет равно 12. Хорошо, отлично. Итак, еще один определяющий фактор для работы вне.

Итак, теперь мы ищем определитель матрицы Δ sub 𝑦. Что это будет равно определитель матрицы отрицательная восьмерка, отрицательная восьмерка, девять, отрицательная девять.И, как и раньше, у нас есть это подставляет в нашу матрицу ответов коэффициенты 𝑦. Так что это будет равно отрицательные восемь, умноженные на отрицательные девять, минус отрицательные восемь, умноженные на девять, что будет равно 144. Хорошо, отлично. Итак, теперь у нас есть все, что нам нужно использовать правило Крамера для решения нашей системы уравнений. Итак, используя правило Крамера, мы Собираюсь получить это 𝑥 равно 12 на 84.Но тогда мы можем разделить числитель и знаменатель умножить на 12. И когда мы это сделаем, мы получим, что равно равно одному больше семи.

Хорошо, отлично. Мы нашли решение для 𝑥. А теперь перейдем к 𝑦. Итак, еще раз, используя правило Крамера, мы получим, что 𝑦 равно, и у нас есть определитель матрицы Δ sub 𝑦 над определителем матрицы Δ, так что это даст нам 144 вместо 84. Итак, еще раз, что мы можем сделать, это упростить нашу дробь.Мы могли бы сделать это, разделив числитель и знаменатель умножить на 12. И когда мы это сделаем, мы получим, что равно равно 12 за семь или двенадцать седьмых. Таким образом, мы можем сказать решения нашего уравнения: 𝑥 равно седьмой части, а 𝑦 равно двенадцати седьмым.

Хорошо, отлично. Мы рассмотрели пример того, как решить систему двух уравнений. Итак, что мы собираемся сделать, это взять посмотрите на систему трех уравнений с тремя переменными 𝑥, 𝑦 и 𝑧.

Используйте определители для решения система пять 𝑥 равно минус два 𝑦 минус пять плюс три 𝑧, минус три 𝑥 минус 𝑦 плюс один равняется двум 𝑧, а два 𝑦 минус 𝑧 равняется отрицательным пяти 𝑥 плюс три.

Итак, в такой задаче Первое, что мы хотим сделать, это перестроить наши уравнения так, чтобы у нас были переменные в левой части. И тогда у нас есть ответы на в правой части – числовые значения или константы.Итак, наше первое преобразованное уравнение выглядит так: будет пять 𝑥 плюс два 𝑦 минус три 𝑧 равно минус пять. Тогда для второго уравнения у нас будет три отрицательных 𝑥 минус 𝑦 минус два 𝑧 равно отрицательной единице. И наконец, пять 𝑥 плюс два 𝑦 минус 𝑧 равно трем.

Хорошо, отлично. У нас это так, но зачем мы хотим это в таком виде? Мы хотим, чтобы это было в такой форме, чтобы мы могли составить матричное уравнение. И когда мы это делаем, мы получаем матрица пять, два, отрицательные три, отрицательные три, отрицательные один, отрицательные два, пять, два, отрицательная единица, умноженная на матрицу для наших переменных, которая равна 𝑥, 𝑦, 𝑧.Тогда это равно нашему ответу матрица отрицательные пять, отрицательные единицы, три. Хорошо, отлично. Но как это помогает нам удовлетворить наши цель, заключающаяся в решении системы уравнений с использованием определителей? Что ж, мы будем использовать Правило Крамера. И что говорит нам правило Крамера, что мы можем найти переменные или решения нашей системы уравнений, используя для Например, 𝑥 равно, то мы получили определитель матрицы Δ sub 𝑥 над определитель матрицы Δ. И затем этот образец продолжается для 𝑦 и 𝑧.

Хорошо, чтобы использовать это, то, что мы необходимо определить наши детерминанты. Первый детерминант, который мы собираемся workout – это определитель Δ, который будет нашей матрицей коэффициентов. Итак, что мы собираемся сделать, это выяснить определитель матрицы пять, два, три отрицательные, три отрицательные, отрицательные один, отрицательный, два, пять, два, отрицательный. Так что это будет равно пяти умноженный на определитель подматрицы отрицательный один, отрицательный два, два, отрицательный один минус два, умноженный на подматрицу отрицательные три, отрицательные два, пять, отрицательный один минус три, умноженный на подматрицу отрицательные три, отрицательный один, пять, два, помня, что, когда мы находим детерминанты, коэффициенты идут положительный, отрицательный, положительный. И чтобы найти наши подматрицы, мы удалите столбец и строку, в которой находится наш коэффициент.

Хорошо, отлично. Итак, теперь мы рассчитываем это. А потом вспомнив, что когда мы вычисляем детерминанты матриц два на два, мы делаем перекрестное умножение, а затем вычесть, мы получим пять, умноженные на один, плюс четыре минус два, умноженные на три плюс 10 минус три, умноженные на минус шесть плюс пять, что равно два.Так что это прекрасная причина, говорит нам, что матрица невырожденная. Итак, мы знаем, что есть не будет бесконечного количества решений. И это потому, что если бы там было, тогда определитель был бы равен нулю. Итак, что мы собираемся сделать, это освободите место и определите другие определяющие факторы, которые нам нужно найти.

Итак, теперь мы хотим найти определитель Δ sub. И то, как мы это делаем, подставляя в матрицу ответов значения коэффициента при-значении, так что первый столбец в нашей матрице. Итак, что мы собираемся делать найти определитель этой матрицы. И чтобы сделать это, что мы будем делать заключается в использовании тех же методов, которые мы использовали для предыдущего определителя, который дайте нам определяющее значение отрицательное 42. И вы можете увидеть рабочий там. Хорошо, отлично. Итак, еще раз, мы собираемся очистить немного места и посмотрим на наш следующий определитель.

Итак, теперь мы собираемся найти определитель матрицы Δ sub 𝑦.И это будет то место, где мы подставим в нашу матрицу ответов 𝑦-коэффициенты в матрице. Итак, еще раз, используя тот же чтобы найти определитель, у нас будет определитель 112. И снова показано, как работает здесь. Итак, еще раз, что мы будем делать освобождает место для окончательного определителя. Так что для последнего, это будет определитель матрицы Δ sub 𝑧. Итак, мы снова проходим тот же метод, чтобы найти определитель нашей матрицы три на три.И это дает нам ценность 8.

Итак, теперь у нас есть все детерминанты, нам нужно использовать правило Крамера, чтобы узнать наши переменные 𝑥, 𝑦 и 𝑧. Итак, во-первых, мы начнем с 𝑥, который будет равен отрицательному 42 над двумя. И мы это понимаем, потому что это определитель Δ sub 𝑥 над определителем Δ. Так что это даст нам значение 𝑥 равно отрицательному 21.А затем для 𝑦 у нас будет 112 больше двух, что даст нам-значение 56. И наконец, мы получим равно восьми против двух, и это даст нам 𝑧 равно четырем. Таким образом, мы можем сказать решения нашей системы уравнений: 𝑥 равно отрицательному 21, 𝑦 равно 56 и равно четырем.

Итак, мы рассмотрели три различные примеры, один из которых помог нам определить одно из свойств крамера правило. Затем мы рассмотрели решение системы уравнений с двумя уравнениями. А теперь мы только что посмотрели решение системы трех уравнений. Итак, давайте подведем итоги ключевые моменты урока.

И первый ключевой момент, если мы иметь систему уравнений, тогда мы хотим, чтобы она была ответы сами по себе с правой стороны. И это для того, чтобы мы могли это написать как матричное уравнение с матрицей ответов в правой части равенства подписать.Затем мы также увидели, что для того, чтобы иметь возможность используйте правило Крамера, матрица не должна быть сингулярной. Итак, это коэффициент матрица. Значит, определитель не равно нулю.

И тогда у нас есть правило Крамера и это говорит нам, как мы можем найти наши неизвестные с помощью определителей. Так, например, если мы хотим найти 𝑥, это будет равно определителю Δ sub 𝑥 по определителю Δ, также помня, что мы можем увидеть здесь другие обозначения, потому что вместо определитель Δ sub 𝑥, мы могли бы просто увидеть D sub. Точно так же у нас будет D sub и D. Итак, наконец, мы получили определитель Δ sub. И мы бы нашли это, заменив в матрице ответов вместо 𝑥-коэффициентов, так что у нас будет определитель отрицательных восьми, отрицательных восьми, семи и шести для нашего примера.

Решение уравнений Крамера. Правило Крамера

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы.Рекомендую всем, кто зашел на сайт через эту страницу, прочитать первую часть. Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в процессе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А теперь разберем правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы представлены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут узнать, как решать системы указанными выше способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом поэтического сложения!

Дело в том, что даже иногда, но встречается такая задача – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом этапе вычисляем определитель, он называется главным определителем системы .

Метод Гаусса.

Если, то система имеет единственное решение, и чтобы найти корни, мы должны вычислить еще два определителя:
и

.

На практике вышеуказанные квалификаторы также могут обозначаться латинскими буквами.

Находим корни уравнения по формулам:
,

Пример 7

Решите систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно большие, есть десятичные дроби с запятой справа. Запятая – довольно редкий гость в практических занятиях по математике; Я взял эту систему из эконометрической задачи.

Как решить такую ​​систему? Вы можете попробовать выразить одну переменную через другую, но в этом случае вы, вероятно, получите ужасные причудливые дроби, с которыми крайне неудобно работать, и дизайн решения будет выглядеть просто ужасно.Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь будут отображаться те же дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

;

Ответ :,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приблизительно, что вполне приемлемо (и даже часто) для эконометрических задач.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс.При использовании этого метода обязательный фрагментом задания является следующий фрагмент: «Что означает, что в системе есть только одно решение» … В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Не лишним будет проверить, что удобно проводить на калькуляторе: в левую часть каждого уравнения системы подставляем приблизительные значения. В результате с небольшой ошибкой вы должны получить числа, которые находятся в нужных частях.

Пример 8

Ответ представлен обычными неправильными дробями. Сделайте чек.

Это пример самостоятельного решения (пример окончания и ответ в конце урока).

Теперь перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Найдите главный определитель системы:

Если, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет; вам нужно использовать метод Гаусса.

Если, то система имеет единственное решение, и чтобы найти корни, мы должны вычислить еще три определителя:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «ходит» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решите систему, используя формулы Крамера.

Решение : Давайте решим систему, используя формулы Крамера.

, а значит, у системы есть уникальное решение.

Ответ :.

Собственно, и здесь комментировать особо нечего, учитывая, что решение принимается по готовым формулам.Но следует отметить несколько моментов.

Бывает, что в результате вычислений получаются “плохие” несократимые дроби, например :.
Рекомендую следующий алгоритм “лечения”. Если под рукой нет компьютера, сделаем так:

1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохой» дробью, вы должны немедленно проверить , правильно ли переписано условие … Если условие переписано без ошибок, то необходимо пересчитать детерминанты, используя разложение по другой строке ( столбец).

2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задачи была опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решаем задачу до конца, а потом обязательно проверяем и оформляем на чистую копию после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но это будет обезоруживающий аргумент для учителя, который, ну, очень любит ставить минус любому подобному бяке. Как работать с дробями, подробно описано в ответе к примеру 8.

Если под рукой есть компьютер, то для его проверки воспользуйтесь автоматизированной программой, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная, а во втором – переменная.В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, открывать определители с нулями рационально по той строке (столбцу), в которой стоит ноль, так как вычислений гораздо меньше.

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример самостоятельного решения (образец отделки и ответ в конце урока).

Для случая системы из 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно найти в уроке «Определяющие свойства». Уменьшение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже довольно напоминает сапог профессора на груди удачливого ученика.

Решение системы с использованием обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по сути, частный случай матричного уравнения (см. Пример № 3 указанного урока).

Для изучения этого раздела вам необходимо уметь расширять определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут предоставлены по пути.

Пример 11

Решите систему матричным методом

Решение : Запишем систему в матричном виде:
, где

Обратите внимание на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю, все понимают.Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в соответствующие места в матрице пришлось бы поставить нули.

Найдите обратную матрицу по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы.

Сначала разберемся с определителем:

Здесь квалификатор раскрывается на первой строке.

Внимание! Если, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно.В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нам нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Артикул: Полезно знать значение двойных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой расположен этот элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором расположен этот элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, и, например, элемент находится в строке 3, столбце 2

Для того, чтобы освоить этот абзац, вы должны уметь открывать квалификаторы «два на два» и «три на три». Если плохо с классификаторами, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом поэтического сложения!

Дело в том, что даже иногда, но встречается такая задача – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера.Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом этапе вычисляем определитель, он называется главным определителем системы .

Метод Гаусса.

Если, то система имеет уникальное решение, и чтобы найти корни, мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные квалификаторы также можно обозначать латинскими буквами.

Находим корни уравнения по формулам:
,

Пример 7

Решаем систему линейных уравнений

Решение : Видим, что коэффициенты уравнения достаточно большие, есть десятичные дроби с запятой справа.Запятая – довольно редкий гость в практических занятиях по математике; Я взял эту систему из эконометрической задачи.

Как решить такую ​​систему? Вы можете попробовать выразить одну переменную через другую, но в этом случае вы, вероятно, получите ужасные причудливые дроби, с которыми крайне неудобно работать, и дизайн решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь будут отображаться те же дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

;

Ответ :,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приблизительно, что вполне приемлемо (и даже часто) для эконометрических задач.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательный фрагментом присвоения является следующий фрагмент: «Что означает, что в системе есть только одно решение» … В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Не лишним будет проверить, что удобно проводить на калькуляторе: в левую часть каждого уравнения системы подставляем приблизительные значения. В результате с небольшой ошибкой вы должны получить числа, которые находятся в нужных частях.

Пример 8

Ответ представлен в обычных неправильных дробях. Сделайте чек.

Это пример самостоятельного решения (пример окончания и ответ в конце урока).

Теперь перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Найдите главный определитель системы:

Если, то система имеет бесконечно много решений или несовместима (не имеет решения). В этом случае правило Крамера не поможет; вам нужно использовать метод Гаусса.

Если, то система имеет уникальное решение, и для нахождения корней необходимо вычислить еще три определителя:

И, наконец, ответ вычисляется по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «ходит» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решите систему, используя формулы Крамера.

Решение : Решим систему, используя формулы Крамера.

, а значит, у системы есть уникальное решение.

Ответ :.

Собственно, здесь опять особо комментировать нечего, ввиду того, что решение принимается по готовым формулам.Но следует отметить несколько моментов.

Бывает, что в результате вычислений получаются “плохие” несократимые дроби, например :.
Рекомендую следующий алгоритм “лечения”. Если у вас под рукой нет компьютера, делаем так:

1) Возможна ошибка расчета. Как только вы столкнулись с «плохой» дробью, вы должны немедленно проверить , правильно ли переписано условие … Если условие переписано без ошибок, то необходимо пересчитать детерминанты, используя разложение по другой строке ( столбец).

2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задачи произошла опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решаем задачу до конца, а потом обязательно проверяем и оформляем на чистую копию после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но это будет обезоруживающий аргумент для учителя, который, ну, очень любит ставить минус любому подобному бяке. Как работать с дробями, подробно описано в ответе к примеру 8.

Если под рукой есть компьютер, то для его проверки воспользуйтесь автоматизированной программой, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной.В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, детерминанты с нулями рационально открывать по той строке (столбцу), в которой стоит ноль, так как вычислений намного меньше.

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример самостоятельного решения (образец отделки и ответ в конце урока).

Для случая системы из 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно найти в уроке «Определяющие свойства». Уменьшение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже довольно напоминает сапог профессора на груди удачливого ученика.


Решение системы с использованием обратной матрицы

Метод обратной матрицы по существу является частным случаем матричного уравнения (см. Пример № 3 указанного урока).

Для изучения этого раздела вам необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут предоставлены по пути.

Пример 11

Решите систему с помощью матричного метода

Решение : Давайте запишем систему в матричной форме:
, где

Обратите внимание на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю, все понимают.Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в соответствующие места в матрице пришлось бы поставить нули.

Найдите обратную матрицу по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы.

Сначала мы имеем дело с определителем:

Здесь квалификатор раскрывается на первой строке.

Внимание! Если, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нам нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Ссылка: Полезно знать значение двойных нижних индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой расположен этот элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором расположен этот элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, и, например, элемент находится в строке 3, столбце 2

По ходу решения лучше подробно описать подсчет несовершеннолетних, хотя, имея некоторый опыт, их можно приучить считать с ошибками устно.

Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера можно использовать для решения системы такого количества линейных уравнений, сколько неизвестных есть в каждом уравнении. Если определитель системы не равен нулю, то в решении можно использовать метод Крамера, если он равен нулю, то нельзя. Кроме того, метод Крамера можно использовать для решения систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение … Определитель, составленный из коэффициентов неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Детерминанты

получаются заменой коэффициентов соответствующими неизвестными свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, а неизвестное равно отношению определителей.Знаменатель – это определитель системы, а числитель – это определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов в этом неизвестном на свободные члены. Эта теорема верна для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решите систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятор, метод решателя Крамера.

Три случая решения систем линейных уравнений

Как видно из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут возникнуть три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система последовательная и определенная)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесконечное число решений

(система непротиворечивая и неопределенная)

**,

тех.коэффициенты при неизвестных и свободных членах пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений не имеет решений

(система несовместима)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместимой , если она не имеет решений, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определенным , а более одного – неопределенным .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основе теоремы Крамера

………….
,

где

системный определитель. Остальные определители получаем заменой столбца с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестной) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система определенная. Чтобы найти ее решение, вычислим определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Чтобы проверить решения систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4, вы можете использовать онлайн-калькулятор, который решает метод Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях нет переменных, то в определителе соответствующие элементы равны нулю! Это следующий пример.

Пример 3. Решите систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Внимательно посмотрите на систему уравнений и определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система определена. Чтобы найти ее решение, вычислим определители для неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы (2; -1; 1).

Чтобы проверить решения систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4, вы можете использовать онлайн-калькулятор, который решает метод Крамера.

Вернуться к началу страницы

Продолжаем решать системы по методу Крамера вместе

Как уже упоминалось, если определитель системы равен нулю, а определители для неизвестных не равны нулю, система несовместима, то есть не имеет решений. Проиллюстрируем это следующим примером.

Пример 6. Решите систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определена, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для большей точности вычислим определители для неизвестных

Определители для неизвестных не равны нулю, следовательно, система непоследовательна, то есть не имеет решений.

Чтобы проверить решения систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4, вы можете использовать онлайн-калькулятор, который решает метод Крамера.

В задачах о системах линейных уравнений встречаются и такие, в которых помимо букв, обозначающих переменные, есть еще и другие буквы. Эти буквы представляют собой определенное число, чаще всего действительное число. На практике такие уравнения и системы уравнений связаны с задачами поиска общих свойств некоторых явлений и объектов.То есть вы изобрели какой-то новый материал или устройство, и для описания его свойств, которые являются общими независимо от размера или количества образца, вам нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов переменных есть буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример предназначен для аналогичной задачи, только количество уравнений, переменных и букв, обозначающих какое-то действительное число, увеличивается.

Пример 8. Решите систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение.Находим определитель системы:

Найдите определители неизвестных


1. УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ

Мы рассматриваем систему m линейных уравнений с n неизвестными:

с коэффициентами a ik и константами b i , которые могут быть действительными или комплексными.

Напомним, что матрицей коэффициентов системы является матрица A порядка mxn вида:

Расширенная матрица системы – это матрица C порядка mx (n + 1) , , обозначаемая также как A⎥ B, , образованный добавлением констант к A в качестве последнего столбца:

Решением указанной системы является последовательность из n чисел:

, который подставляется в систему вместо неизвестных, делает его идентичностью.

Теорема Кронекера – Капелли

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет решение (оно называется непротиворечивым) тогда и только тогда, когда матрица коэффициентов и расширенная матрица имеют одинаковый ранг.

рН A = рН C = г

(i) Если ранг обеих матриц r равен количеству неизвестных, rn A = rn C = n , то решение является уникальным.

(ii) Если ранг обеих матриц r меньше количества неизвестных n , rn A = rn C < n ,

, тогда (n – r) неизвестных могут быть присвоены любые значения, остальные r неизвестных однозначно определяются системой. Эта система имеет бесконечно много решений, потому что ее решения зависят от (n – r) параметров.

(iii) Если ранг r матрицы коэффициентов меньше ранга расширенной матрицы,

rn A < rn C, то система не имеет решения, оно считается несовместимым.

Алгоритм решения систем линейных уравнений

Вход: система уравнений: A ⋅ X = B, , где A, B, X – матрицы.

Шаг 1. Найдите ранг A.

Шаг 2. Найдите ранг A Б .

Если рН А ≠ рН А B , затем конец, система несовместима. Если рН А = рН А B , затем Шаг 3.

Шаг 3. Решить систему.

Если рН А = рН А B = количество неизвестных, значит система согласована;

решение системы:

  • Правило Крамера,
  • Исключение Гаусса.

Если r = рН A = рН A Б ≠ количество неизвестных, мы выбираем r неизвестных так, чтобы их матрица коэффициентов имела ранг, равный r. .Решаем систему. Остальные неизвестных рассматриваются как параметры.

Пример

Решите систему:

  • Вычисляем определитель матрицы коэффициентов:

Обратите внимание, что третья строка представляет собой линейную комбинацию первых двух строк (результат вычитания первой строки из второй), поэтому det A = 0.

Таким образом, rn A = 2, потому что например:

.

  • Вычисляем ранг расширенной матрицы A ⎢ А:

Ранг A B равно 2, потому что третья строка по-прежнему является линейной комбинацией первых двух и существуют ненулевые миноры A Б заказа 2.

рН А = рН А Б = 2 ≠ количество уравнений ( n = 3), система непротиворечива и зависит от одного параметра.

  • Из матрицы коэффициентов мы удаляем строку, чтобы сформировать подматрицу, состоящую из линейно независимых векторов. Это соответствует системе, состоящей из первых двух уравнений:

Это неособая система относительно неизвестных x и y .

Мы рассматриваем неизвестный z как параметр и обозначаем его:

г = т.

Решение системы:

x = t + 1, y = – t + 2, z = t .

Пример

Решите следующую систему:

Вычисляем определитель:

Это неособая система, и мы решаем ее, используя правило Крамера:

,

,

У системы есть одно решение.

Пример

Решите следующую систему уравнений:

Определитель:

Находим ранг A и ранг A│ Б.

Таким образом:

Вт

Расширенная матрица имеет вид:

Его младшие 3-го порядка равны:

= = =

т.н. А B <3, но rn A = 2 ⇒ рН А B = 2, значит, существует решение, зависящее от одного параметра.

Мы рассматриваем первые два уравнения с неизвестными x и y , неизвестное z становится параметром

( z = t ):

Решение системы:

,

Таким образом, мы имеем бесконечное количество решений, задаваемых формулами:

,

, где t – любое действительное число.Система последовательна.

Пример

Решите следующую систему уравнений:

Оцениваем определитель:

дет А =

Определитель равен 0, поэтому мы должны найти невырожденную подматрицу, например:

Вт

Рассчитываем ранг расширенной матрицы:

, например

Так р-н А В = 3 .

Т.к. рН А рн А B, в системе нет решений.

Система несовместима.

Упражнение 1: Определите, является ли система с приведенной ниже расширенной матрицей непротиворечивой или непоследовательной, и сколько решений у нее есть.

Посмотреть решение


Линейные уравнения – Решить CREMER RULE | автор J3 | Jungletronics

Как использовать Python для решения линейной системы # PySeries # Episode 33

Для решения системы линейных уравнений мы собираемся использовать следующие методы:

 ПРАВИЛО КРЕМЕРА 

Правило Крамера является явной формулой для решение системы линейных уравнений с таким же количеством уравнений, сколько и неизвестных, действительно, когда система имеет единственное решение.Он выражает решение в терминах определителей (квадратной) матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее путем замены одного столбца вектор-столбцом правых частей уравнений. (из https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule)

Вот проблема, которую необходимо решить:

 Инженер-технолог из электронной промышленности анализирует производственный процесс, в котором он учитывает время сборки (t) , количество сотрудников (x) и количество компонентов (n), используемых в конечном продукте, и достигли этой системы уравнений.
Рис. 1. Системное уравнение для решения здесь с помощью Cremer

Системное уравнение, которое необходимо решить с помощью этих методов: CREMER RULE

 Инженер хочет достичь идеального состояния для всех целей, которые должны быть достигнуты, с расчетной точностью 0,01 (одна сотая каждой переменной). 

ДАВАЙТЕ !!!

Щелкните, чтобы перейти к решению для ноутбука colab НИЖЕ 🙂

01 # Step – # инициализация метода правила Cremer (библиотеки):

 из матрицы импорта numpy, linalg 
import numpy as np

02 # Шаг – создание матриц (печать используемой логики):

matrix_A

 matrix_A = np. array ([[2.0, 1.0, 1.0], [0.30, 2.0, 0.25], [1.0, 1.0, 2.0]]) 
print (matrix_A) [[2. 1. 1.]
[0,3 2. 0,25]
[1. 1. 2.]]

matrix_B

 matrix_B = np.array ([[39.0], [13.0], [45.0]]) 
print (matrix_B) [[39.]
[13.]
[ 45.]]

03 # Шаг – Вычисление определителя матрицы_A:

 det_A = linalg.det (matrix_A) 

Можно ли ИСПОЛЬЗОВАТЬ правило Кремера?

 if (det_A == 0): 
print ('Это уравнение НЕ МОЖЕТ РЕШИТЬ ПРАВИЛО CREMER: /')
else:
print ('det_A =', det_A) det_A = 5.45

04 # Шаг – выборка элементов matrix_B:

 b1 = matrix_B [0,0] 
b2 = matrix_B [1,0]
b3 = matrix_B [2,0]

05 # Шаг – выборка каждого элемента в matrix_A:

 a11 = matrix_A [0,0] 
a21 = matrix_A [1,0]
a31 = matrix_A [2,0]
a12 = matrix_A [0,1]
a22 = matrix_A [1,1]
a32 = matrix_A [2,1]
a13 = matrix_A [0,2]
a23 = matrix_A [1,2]
a33 = matrix_A [2,2]

06 # Шаг —Переопределение каждой матрицы A1, A2 и A3:

 print ("Подставив столбец 'i' в матрицу 'Ai', мы получили:") matrix_A1 = np. массив ([[b1, a12, a13], 
[b2, a22, a23],
[b3, a32, a33]]) print (matrix_A1) [[39. 1. 1.]
[13. 2. 0,25]
[45. 1. 2.]]
matrix_A2 = np.array ([[a11, b1, a13],
[a21, b2, a23],
[a31, b3, a33]]) print (matrix_A2) [[2. 39. 1.]
[0.3 13. 0.25]
[1. 45. 2.]]
matrix_A3 = np.array ([[a11, a12, b1],
[a21, a22, b2],
[a31 , a32, b3]]) print (matrix_A2) [[2. 1. 39.]
[0.3 2. 13.]
[1.1. 45.]]

07 # Шаг – Расчет определителей:

 det_A1 = linalg.det (matrix_A1) 
det_A2 = linalg.det (matrix_A2)
det_A3 = linalg.det (matrix_A3)

08 # Step – Решение:

 t = det_A1 / det_A 
x = det_A2 / det_A
n = det_A3 / det_Aprint ('t =', t)
print ('x =', x)
print ('n =', n ) t = 10.000000000000005
x = 2.9999999999999987
n = 16.00000000000001

Вот и все:

 print («Вот и все! Спасибо, что прочитали пост!»)  Вот и все! Спасибо, что прочитали пост!  

👉 Colab notebook : link

Основано на: Uninter Course Computer Engeneer Graduation – Date Aug / 2021

Благодарность:

Fernanda Fonseca – докторант педагогических наук, магистр естественных наук и математического образования и степень по физике и философия – UNINTER – Бразилия – PR

32 # PySeries # Episode – Linear Equations – GAUSS JORDAN – How To Use Python to Solve Linear System

33 # PySeries # Episode – Linear Equations – CREMER RULE – How to Use Python to Solve Линейная система (эта 🙂

34 # PySeries # Эпизод – Линейные уравнения – Линейные уравнения – GAUSS SEIDEL – Как использовать Python для решения линейной системы

01 # Эпизод – # ElectricSeries – Электричество – Примечания в классе – Электричество – Тренировка Решение! – Как эффективно рассчитывать схемы в режиме онлайн. (см. https://matrixcalc.org/en/)

Рис. 1. Секрет метода Гаусса-Джордана: обратная матрица! (изображение отсюда)

J of Jungle + 3 платы Arduino / RPi / Pic = J3

Следуя

Системам конгруэнций

Системам сравнений

Системы линейных сравнений разрешимы методами линейной алгебры: обращение матриц, правило Крамера, или сокращение ряда. В случае, если модуль простой, все, что вы знаете от линейной алгебры переходит к системам линейных сравнений.(В Причина в том, что это поле , для простого p, и линейная алгебра отлично работает над любым полем — не только и.)

Также возможно преобразовать систему в линейную диофантову уравнение.

Для простоты я буду придерживаться простых модулей. Я предполагаю, что ты знать немного линейной алгебры, даже если вы не видели, чтобы это было сделано с модульная арифметика.

В первом примере я воспользуюсь хорошо известным фактом, что матрица обратима тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля.


Пример. Решить

Запишите систему в матричной форме:

Определитель матрицы коэффициентов равен. В частности, это ненулевой mod 7, значит, у системы есть решение. Для системы проще всего использовать формулу для инвертирование матрицы:

Если я применяю эту формулу к матрице коэффициентов для системы, я получить

Обратное к 3 по модулю 7 равно 5, так как.

Все, что мне нужно сделать, это умножить обе части уравнения на оставил по обратной матрице коэффициентов:

Решение

Вы также можете решить это уравнение с помощью правила Крамера или по строкам снижение. Вы даже можете использовать базовую алгебру, хотя это немного скучный. Решите первое уравнение относительно одной из переменных:

Подставьте это во второе уравнение:

Подключаем это обратно к x-уравнению дает.


В некоторых случаях можно преобразовать систему в линейную диофантову. уравнение, которое мы уже умеем решать.

Пример. Решите следующую систему:

Однако обратите внимание, что первое уравнение в 4 раза больше второго:

Так что достаточно решить

Это эквивалентно диофантовому уравнению

Позволять . Это дает

Общее решение

z – это просто вспомогательная переменная, поэтому игнорируйте ее.Используя w-уравнение, I имеют

Общее решение

Напомним, что исходной системой был мод 7:

Обратите внимание, что это параметризованное решение. Вы также можете сделать это проблема за сокращением строк.


Пример. Решить

Как и раньше, умножение второго уравнения на 4 дает

Но теперь из двух уравнений следует “”, и это противоречие означает, что в системе нет решений.


Пример. Решить

В такой большой системе лучше использовать сокращение рядов.

Решение


Пример. Решить

Я сделаю это сокращением строк:

Уравнения

Есть несколько решений — фактически, поскольку есть один бесплатный переменной (z), будет 5 различных решений по модулю 5.Как есть обычно, когда в системе есть несколько решений, я напишу решение в параметрической форме.

Набор . Потом так (прибавив с двух сторон). Точно так же, так. Решение


Как отмечалось выше, можно выполнять множество операций по линейной алгебре по модулю n. Вот пример.

Пример. Вычислить обратную mod 3 матрица

Таким образом,


Пример. Обратима ли следующая матрица мод 6?

Когда модуль не является простым, результаты линейной алгебры должны быть использовать с осторожностью. В этом случае я хотел бы использовать определитель, чтобы сказать обратима ли матрица.

Обычно ненулевой определитель означает, что матрица обратима. Однако по модулю критерий состоит в том, что определитель должен быть относительно простое число до n. Поскольку матрица необратима.Таким образом, для например, если вы попытаетесь применить стандартный алгоритм инверсии матрицы к найдите обратное, вы обнаружите, что это не сработает.


Контактная информация

Домашняя страница Брюса Икенаги

Авторские права 2019 Брюс Икенага

.

Оставить комментарий