Метод разделения переменных дифференциальные уравнения: HTTP status 402 – payment required, требуется оплата

Содержание

Дифференциальные уравнения. Часть 1. Лекции

Список всех тем лекций

Лекция 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия.
Обыкновенные дифференциальные уравнения Уравнения, разрешённые относительно старшей производной Предмет курса дифференциальных уравнений Уравнения первого порядка Решение дифференциального уравнения первого порядка Геометрический смысл дифференциального уравнения Пример построения интегральных кривых методом изоклин

Лекция 2. Уравнения с разделяющимися переменными.
Метод разделения переменных (формальный) Общее решение уравнения Частное решение уравнения Задача Коши Единственность Строгое определение точки единственности решения Особые решения Теорема существования и единственности (формулировка) Замечания к формулировке теоремы Критерий особого решения

Лекция 3. Особые решения.
Особое решение Несколько полезных примеров Обоснование метода разделения переменных Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка

Лекция 4. Методы интегрирования уравнений первого порядка.
Линейные уравнения первого порядка Свойства решений линейных однородных уравнений Структура общего решения линейного однородного уравнения Общее решение Другой способ интегрирования Ещё одно свойство линейного однородного дифференциального уравнения Структура общего решения линейного неоднородного уравнения Методы интегрирования линейных неоднородных дифференциальных уравнений Метод вариации произвольной постоянной Метод Бернулли Уравнение Бернулли

Лекция 5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Уравнения в полных дифференциалах Восстановление функции по её полному дифференциалу Общий интеграл уравнения Интегрирующий множитель Некоторые частные случаи нахождения интегрирующего множителя

Лекция 6. Уравнения в полных дифференциалах (продолжение).
Метод нахождения интегрирующего множителя (продолжение) Свойства интегрирующего множителя Интегрирующий множитель и особые решения Ещё один способ нахождения интегрирующего множителя

Лекция 7. Теорема Пикара о существовании и единственности решения ОДУ первого порядка.

Теорема Пикара о существовании и единственности решения ОДУ первого порядка Лемма об интегральном уравнении Решение интегрального уравнения Продолжение доказательства

Лекция 8. Теорема Пикара о существовании и единственности решения ОДУ первого порядка (продолжение).
Теорема Пикара о существовании и единственности решения ОДУ первого порядка (продолжение) Доказательство единственности решения Лемма Гронуолла Следствие из леммы Гронуолла про единственность решения Важные замечания про условие Липшица Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной Задача Коши Теорема существования и единственности для уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной

Лекция 9. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной.
Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной Определение продолжения решения Особые решения Дискриминантная кривая Пример 1 Пример 2

Лекция 10. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной (продолжение).
Доказательство теоремы существования и единственности для уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной Интегрирование уравнений, не разрешённых относительно производной Уравнение Лагранжа Уравнение Клеро Теорема о продолжении решения

Лекция 11. Теорема о продолжении решения.
Доказательство теоремы о продолжении решения Важное следствие из теоремы Вторая теорема о продолжении решения (для неограниченной области и ограниченной правой части) Третья теорема о продолжении решения (для неограниченной области) Важное замечание о достаточности теорем Теорема о продолжении решения на заданный интервал

Лекция 12. Теорема о продолжении решения на заданный интервал.
Теорема о продолжении решения на заданный интервал Лемма о дифференциальном неравенстве Пример

Лекция 13. Уравнения высшего порядка.
Уравнения высшего порядка Определения Задача Коши Теорема Пикара (о существовании и единственности решения) Теорема о продолжении решения Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка Свойства решения уравнения Линейно зависимые функции Теорема (определитель Вронского) Теорема

Лекция 14. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка.


Теорема Лиувилля-Остроградского Важное следствие из теоремы

Лекция 15. Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
Общее решения линейного однородного дифференциального уравнения Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения Фундаментальная система решений Линейная зависимость решений Построение решения линейного однородного дифференциального уравнения Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Лекция 16. Метод вариации произвольных постоянных.
Метод вариации произвольных постоянных Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами Функция комплексного переменного

Вопросы ГКЭ по математике

Вопросы ГКЭ по математике

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

1.

Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

2. Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.

3. Определенный интеграл и его свойства. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Критерий Коши. Достаточные признаки сходимости.

5. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, Пеано и интегральной форме. Ряд Тейлора для функций действительного и комплексного переменного.

6. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

7. Криволинейный интеграл. Формула Грина.

8. Поверхностный интеграл. Формула Остроградского. Формула Стокса.

9. Степенные ряды в действительной и комплексной областях. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов: почленное интегрирование и дифференцирование. Разложение элементарных функций.

10. Ряд Фурье по ортогональной системе. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье. Достаточные условия представимости функции тригонометрическим рядом Фурье.

11. Прямая и плоскость, их уравнения. Взаимное расположение прямой и плоскости, основные задачи на прямую и плоскость.

12. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы алгебраических уравнений.

13. Линейное отображение в конечномерных пространствах, его матрица. Самосопряженные преобразования, свойства их собственных векторов и собственных значений.

14. Вероятностное пространство. Условные вероятности. Случайные величины. Их характеристики.

15. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

16. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

17. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальная система решений, определитель Вронского, метод вариации постоянных.

18. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Изопериметрическая задача.

19. Первые интегралы нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема о числе независимых первых интегралов. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Задача Коши.

20. Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Регулярные функции.

21. Элементарные функции комплексного переменного и задаваемые ими конформные отображения. Простейшие многозначные функции.

22. Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интегральная формула Коши. Ряд Лорана. Вычеты.

23. Задача Коши для волнового уравнения.

24. Свойства гармонических функций: интегральное представление, теорема о среднем, принцип максимума. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаре.

25. Смешанная задача для параболического уравнения. Метод разделения переменных для решения этой задачи.

26. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Теоремы Фредгольма (доказательство для случая вырожденных ядер).

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

1. Метод Ньютона численного решения нелинейных уравнений.

2. Метод секущих численного решения нелинейных уравнений.

3. Метод простых итераций численного решения нелинейных уравнений. Формулировка условий его сходимости (принцип сжимающих отображений).

4. Простейшие схемы численного дифференцирования функций. Оценки их погрешности. Некорректность задачи численного дифференцирования.

5. Методы прямоугольников и трапеций численного интегрирования. Оценки их погрешности.

6. Метод Симпсона численного интегрирования. Оценка его погрешности.

7. Метод деления пополам численного решения нелинейных уравнений.

8. Существование и единственность решения задачи алгебраической интерполяции (задачи о приближении функции действительного переменного многочленами).

9. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции.

10. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона. Оценка погрешности интерполяции.

11. Кусочная интерполяция. Оценка погрешности интерполяции.

12. Прямые методы численного решения системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

13. Оценка влияния погрешности исходных данных на погрешность решения систем линейных уравнений. Число обусловленности матрицы системы.

14. Метод простых итераций численного решения системы линейных уравнений. Достаточные условия его сходимости.

15. Метод Ньютона численного решения системы нелинейных уравнений.

16. Метод простых итераций численного решения системы нелинейных уравнений. Формулировка условий его сходимости (принцип сжимающих отображений).

17. Методы Эйлера численного решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Оценки их погрешности.

18. Методы Рунге-Кутта численного решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

19. Численное решение краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка (метод разностной аппроксимации и метод сведения к задаче Коши).

20. Аппроксимация, устойчивость и сходимость для разностных схем решения задач с линейными уравнениями в частных производных.

21. Простейшие разностные схемы численного решения задачи Коши для уравнения в частных производных первого порядка (на примере уравнения переноса).

22. Численное решение краевой задачи для обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения (метод «пристрелки»).

23. Разностные схемы численного решения смешанной задачи для волнового уравнения.

24. Простейшая разностная схема численного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области.

25. Разностные схемы численного решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

26. Устойчивость линейных разностных схем численного решения линейных дифференциальных уравнений. Исследование этих схем на устойчивость по спектральному признаку.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Л. Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа.

2. С. М. Никольский. Курс математического анализа.

3. А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. Курс математического анализа.

4. Г. Н. Яковлев. Лекции по математическому анализу.

5. Д. В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

6. И. Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

7. Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

8. В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений.

9. М. В. Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

10. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного.

11. Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. Лекции по теории функций комплексного переменного.

12. В. П. Михайлов. Дифференциальные уравнения в частных производных.

13. В. С. Владимиров. Уравнения математической физики.

14. В. П. Чистяков. Курс теории вероятностей.

15. В. К. Захаров, Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков. Теория вероятностей.

16. В. С. Рябенький. Введение в вычислительную математику.

17. Р. П. Федоренко. Введение в вычислительную физику.

18. В. И. Косарев. 12 лекций по вычислительной математике.

19. С. К. Годунов, В. С. Рябенький. Разностные схемы.

Научно-учебный комплекс ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ МГТУ им.Н.Э.Баумана

Книга является одним из выпусков (модулей) полного курса математики в техническом университете.
Рассмотрены различные постановки задач математической физики для дифференциальных уравнений в частных производных и основные аналитические методы их решения, проанализированы свойства полученных решений. Изложено большое число линейных и нелинейных задач, к решению которых приводит исследование математических моделей различных процессов в физике, химии, биологии, экологии и др. Учебник прошёл успешную апробацию в МГТУ им. Н.Э.Баумана.
Для студентов и аспирантов высших учебных заведений, а также для инженеров и научных работников, работающих в области прикладной математики и математического моделирования.

Предисловие
Список основных обозначений
Введение
Раздел I. Основные уравнения математической физики
 
1.  Уравнения гиперболического типа
  1.1.  Уравнение колебаний струны
  1.2.  Задача Коши для гиперболического уравнения
  1. 3.  Обобщенные решения
  1.4.  Колебания полуограниченной струны
  1.5.  Краевые задачи для гиперболического уравнения
  1.6.  Краевые задачи для неоднородного уравнения
  Контрольные вопросы и задачи
 
2.  Уравнения параболического типа
  2.1.  Одномерный нестациорнарный процесс распространения теплоты
  2. 2.  Краевые задачи для уравнения теплопроводности
  2.3.  Свойства решений краевых задач для уравнения теплопроводности
  2.4.  Неоднородное уравнение теплопроводности
  2.5.  Задача Коши для уравнения теплопроводности
  Контрольные вопросы и задачи
 
3.  Уравнения эллиптического типа
  3.1.  Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа
  3. 2.  Фундаментальные решения уравнения Лапласа
  3.3.  Интегральная формула Грина
  3.4.  Свойства объемного потенциала
  3.5.  Свойства гармонических функций
  3.6.  Краевые задачи для уравнения Лапласа
  3.7.  Метод функций Грина
  3.8.  Решение краевых задач для уравнения Лапласа методом разделения переменных
  Контрольные вопросы и задачи
 
Раздел II. Линейные модели математической физики
 
4.  Уравнения Пуассона и Лапласа как математические модели
  электростатических полей
  4.1.  Применение конформного отображения
  для решения задач электростатики
  4.2.  Мультипольное разложение потенциала
  4.3.  Расчет поля электростатического подвеса
  4. 4.  Электрическое поле в плазме
  Контрольные вопросы и задачи
 
5.  Математическое моделирование диффузионных процессов переноса
  5.1.  Моделирование диффузионных процессов переноса в движущихся средах
  5.2.  Краевые задачи остывания нагретых тел
  5.3.  Распространение теплоты в неограниченном пространстве
  5.4.  Диффузионный процесс в активной среде с размножением
  5. 5.  Задача экологического прогнозирования
  Контрольные вопросы и задачи
 
6.  Волновое уравнение для акустических и электромагнитных волн
  6.1.  Дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны
  6.2.  Колебания прямоугольной мембраны
  6.3.  Колебания круглой мембраны
  6.4.  Волновое уравнение для электромагнитных волн
  6. 5.  Потенциалы электромагнитного поля
  6.6.  Электромагнитное излучение дипольного осциллятора
  6.7.  Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
  Контрольные вопросы и задачи
 
7.  Уравнение Шредингера для описания квантовых состояний частиц
  7.1.  Волновая функция
  7.2.  Задача о гармоническом осцилляторе в квантовой механике
  7. 3.  Квантовые состояния атома водорода
  7.4.  Операторы физических величин в квантовой механике
  Контрольные вопросы и задачи
 
Раздел III. Нелинейные модели математической физики
 
8.  Нелинейные модели диффузионных процессов переноса
  8.1.  Теория нелинейной теплопроводности
  8.2.  Задача Стефана о фазовом переходе
  8. 3.  Распространение тепловых возмущений в нелинейных средах
  8.4.  Задача нелинейной теплопроводности с объемным поглощением
  8.5.  Уравнения типа “реакция – диффузия”
  Контрольные вопросы и задачи
 
9.  Нелинейные уравнения волновых процессов
  9.1.  Уравнение Колмогорова – Петровского – Пискунова
  9.2.  Уравнение Бюргерса
  9. 3.  Уравнение Кортевега – де Фриза
  9.4.  Многосолитонные решения уравнения Кортевега – де Фриза
  Контрольные вопросы и задачи
 
Приложение 1. Дельта-функция и ее свойства
Приложение 2. Задача Штурма – Лиувилля
Приложение 3. Методы теории размерности и подобия
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель

Дифференциальных уравнений

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Разработка и расчет новых изделий, аппаратов, конструкций или технологических процессов осуществляется на основе законов физики, механики, химии и т. д., которые обычно формулируются в виде дифференциальных уравнений. Математические модели многих, практически важных задач гидроаэромеханики, тепломассопереноса, теплопроводности, диффузии, теории упругости, задач на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций и т.д. включают в свое описание дифференциальные уравнения в частных производных (их называют уравнениями математической физики). Решение большинства задач гидроаэромеханики, тепломассообмена, теории упругости и т.д. сводится к решению некоторых дифференциальных уравнений или системы дифференциальных уравнений. Например, расчет изгиба балки можно свести к решению краевой задачи для системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Таким образом, любая задача проектирования, связанная с расчетом каких-либо конструкций, деталей, движения тел и т.д., в конечном счете, сводится к решению дифференциальных уравнений математических моделей. Для проведения вычислительного эксперимента на математической модели объекта исследования в силу ее сложности приходится использовать методы преобразования математической модели, например, методы линеаризации, дискретизации и т. д. Это существенно упрощает проведение вычислительного эксперимента на основе построенной математической модели.

 

Основные понятия, классификация, методы решения

дифференциальных уравнений

 

Дифференциальные уравнения в частных производных имеют бесконечное множество решений, т.к. их общее решение зависит от произвольных функций. При решении конкретной физической задачи необходимо из множества решений выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Такими дополнительными условиями чаще всего являются граничные условия (условия на границе заданной области) и начальные условия, относящиеся к моменту времени, с которого начинается исследуемый процесс. Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Нахождение решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям (начальным данным), представляет собой задачу Коши. Задача нахождения решения дифференциального уравнения в некоторой области , удовлетворяющего на границе краевым условиям, является краевой задачей.

Для того чтобы решить математическую задачу (краевую задачу или задачу Коши) для каждого допустимого набора входных параметров, она должна быть корректно поставлена. Краевая задача называется корректно поставленной, если ее решение удовлетворяет следующим условиям: 1) решение существует; 2) решение единственно; 3) решение устойчиво, т.е. малым изменениям исходных данных соответствуют малые изменения решения (непрерывно зависит от исходных данных). Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то задача является некорректной. Для решения некорректно поставленных задач созданы специальные численные методы, получившие название методов регуляризации .

Для решения дифференциальных уравнений существуют аналитические и численные методы. Аналитические методы могут быть как точные (метод разделения переменных Фурье, метод функций Грина, и т. д.), так и приближенные (асимптотические, вариационные). Методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции. Аналитические методы полезны не только тем, что дают возможность получать точные решения. Они имеют также огромное значение для построения численных методов. Например, проверка разностных схем на известных решениях простейших уравнений позволяет оценить эти схемы, выяснить их сильные и слабые стороны. Получение точного решения математической задачи – это одна из основных целей исследования.

Для большинства дифференциальных уравнений, встречающихся при решении практических задач, не удается получить точного решения в виде аналитической функции. В таких случаях используют численные методы, которые представляют решение дифференциального уравнения в виде таблицы значений искомой функции в некоторых узловых точках с определенной точностью (конечно-разностные методы, конечных элементов). Интенсивное развитие и внедрение в практику математического моделирования вычислительных машин с большим быстродействием (суперкомпьютеров) повысили роль численных методов при решении различных задач математической физики. Стало возможным проводить многовариантные расчеты математических моделей сложных физических явлений, проектирования сложных конструкций, исследования в различных областях науки и практики.

Выбор соответствующего метода для решения дифференциального уравнения зависит от его вида. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными нужна еще потому, что для каждого класса уравнений существует своя общая теория и общие методы решения. Классификация выполняется на основе следующих основных признаков:

1) порядка дифференциального уравнения;

2) количества независимых переменных;

3) линейности уравнения;

4) однородности уравнения;

5) вида коэффициентов дифференциального уравнения;

6) типа дифференциального уравнения.

Классы уравнений в соответствии с указанными выше признаками представлены в таблице:

Признаки дифференциального уравнения Классы дифференциальных уравнений
Порядок уравнения Первого порядка Старших порядков
Число переменных Одна переменная Обыкновенное дифференциальное уравнение Два и более переменных Уравнения в частных производных
Линейность уравнения Линейные Квазилинейные Нелинейные
Однородность уравнения Однородные Неоднородные
Вид коэффициентов С постоянными коэффициентами С переменными коэффициентами
Тип уравнения Эллиптического типа Гиперболического типа Параболического типа
         

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения, устанавливающего связь между независимой переменной , неизвестной функцией и ее производными , может быть представлен в виде:

. (7.1)

Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения. Решением дифференциального уравнения является некоторая функциональная зависимость , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общее решение дифференциального уравнения, которое формально определяется интегрированием, записывается в виде , где – произвольные постоянные интегрирования.

Решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях , называется частным решением уравнения. Постоянные интегрирования можно определить, если задать условий. Если эти условия задаются как совокупность значений искомой функции и всех ее производных до -го порядка включительно в некоторой точке , то такая задача называется задачей Коши, а заданные условия: , ,…, называются начальными условиями. Если же условия заданы на концах отрезка, где определяется решение, то задача называется краевой.

Дифференциальное уравнение (7.1) является линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом), в противном случае уравнение является нелинейным. Общий вид обыкновенного линейного дифференциального уравнения -го порядка имеет вид:

, (7.2)

где – известные функции независимой переменной , называемые коэффициентами уравнения. Функция в правой части называется свободным членом. Если все коэффициенты уравнения (7.2) являются постоянными, т.е. , то (7.2) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Если уравнение (7.2) не содержит свободного члена, для всех значений независимой переменной, то оно является однородным дифференциальным уравнением. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Простейшими дифференциальными уравнениями первого порядка, являются уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные уравнения первого порядка, которые можно решить интегрированием и получить точное решение. Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных аналитических методов решения, кроме некоторых частных классов. Для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения, без нахождения частного решения используется метод Лагранжа. В тех случаях, когда не удается получить точного решения обыкновенного дифференциального уравнения, применяются численные методы. Для численного решения задачи Коши можно использовать, например, методы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и т.д. Для решения краевых задач часто применяют метод конечных разностей.

К числу важных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые встречаются на практике, можно отнести: уравнение, описывающее второй закон Ньютона (классическая механика), уравнение Ван дер Поля (теория колебания), уравнение математического маятника, уравнения Бернулли, Риккати, Бесселя и т. д.

Дифференциальные уравнения в частных производных. Уравнение, связывающее искомую функцию , независимые переменные и частные производные от искомой функции, называется дифференциальным уравнением в частных производных:

, (7.3)

где – заданная действительная функция точки некоторой области евклидова пространства и действительных аргументов. Порядок старшей частной производной, входящей в уравнение (3.3) называется порядком уравнения. Уравнение (7.3) называется квазилинейным, если функция линейна относительно старших производных, а коэффициенты уравнения при старших производных зависят только от переменной . Уравнение (7.3) называется линейным, если функция линейна относительно функции и ее производных, а коэффициенты уравнения зависят только от переменной .

Многие практические задачи теплопроводности, диффузии, теории упругости и прочности и ряд задач из других областей описываются линейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка, который можно записать в виде:

, (7. 4)

где – коэффициенты дифференциального уравнения, – свободный член. Все коэффициенты и свободный член дифференциального уравнения являются заданными функциями в области . Если для всех , то уравнение (7.4) называется однородным, в противном случае уравнение называется неоднородным. Если все коэффициенты уравнения являются постоянными, то уравнение (7.4) называется дифференциальным уравнением в частных производных с постоянными коэффициентами.

Для классификации дифференциальных уравнений в частных производных используют главную часть этих уравнений

с дифференциальным оператором , который после формальной замены на и на сводится к квадратичной форме следующего вида:

Матрица коэффициентов квадратичной формы является симметричной.

Для простоты рассмотрим уравнение с двумя независимыми переменными, т.е. , ( ). При фиксированном значении получаем уравнение

. (7.5)

Это уравнение на плоскости описывает некоторую кривую второго порядка. Тип кривой определяется знаком определителя

.

Возможны три различных случая при фиксированном значении :

1) Определитель . В этом случае уравнение (7.5) является уравнением эллипса, а дифференциальное уравнение

(7.6)

называется уравнение эллиптического типа (в точке ).

2) Определитель . Тогда уравнение (7.5) описывает гиперболу, а уравнение (7.6) называется уравнением гиперболического типа (в точке ).

3) Определитель . В этом случае уравнение (7.5) будет уравнением параболы, а (7.6) – уравнением параболического типа (в точке ).

Если уравнение (7.6) является эллиптическим, гиперболическим или параболическим в каждой точке области , то оно называется эллиптическим, гиперболическим или параболическим во всей области . Если Определитель меняет знак в области , то уравнение (7.6) – смешанного типа. Для классификации уравнений второго порядка при числе независимых переменных используется теория квадратичных форм. По каноническому виду квадратичной формы определяется тип дифференциального уравнения [44].

Рассмотрим несколько примеров:

1) Уравнение Пуассона (Лапласа) – уравнение эллиптического типа ( ).

2) Уравнение теплопроводности (диффузии) – уравнение параболического типа ( ).

3) Волновое уравнение – уравнение гиперболического типа ( ).

Классические методы решения уравнений математической физики можно найти, например, в работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [6]. Для решения уравнений математической физики обычно применяются методы разделения переменных, мгновенных источников, методы, основанные на применении функций Грина, Дирака и др. Эти классические методы предполагают отыскание, в первую очередь, общего решения и его последующее приспособление к частным условиям конкретной задачи. Также используются операционные методы, которые нашли применение в теплотехнике при решении разнообразных задач нестационарной теплопроводности, в химической технологии при решении задач нестационарной диффузии, при решении задач гидродинамики и др. Эффективными методами решения являются методы интегральных преобразований Лапласа, которые позволяют решать задачи без введения каких-либо новых допущений или преобразований, получать решения в форме, удобной для расчета.

При проведении вычислительного эксперимента математическая модель изучаемого объекта претерпевает ряд преобразований, необходимых для количественного анализа математической модели на вычислительной машине. Преобразования математической модели для количественного анализа непосредственно связаны с математическими методами. Для некоторых типов математических моделей без предварительных преобразований могут быть составлены алгоритмы численного решения, реализуемые на вычислительной машине. Например, математические модели в виде разностных уравнений, имитационные математические модели, являясь алгоритмическими математическими моделями, также не нуждаются в предварительном преобразовании перед реализацией на вычислительной машине. Часто имитационные математические модели используют в сочетании с методом статистических испытаний, методом Монте-Карло. Такой подход можно использовать и для решения дифференциальных уравнений с частными производными, если построить эквивалентную вспомогательную стохастическую математическую модель.

Краевой задаче, содержащей дифференциальные уравнения с частными производными и краевые условия, можно поставить в соответствие интегральную формулировку, т.е. можно представить в интегральной форме. При определенных условиях интегральную форму краевой задачи удается привести к вариационной формулировке минимизации некоторого функционала, который рассматривается на некотором множестве, содержащем искомую функцию. В этом случае говорят о вариационной форме модели. Для приближенного решения таких математических моделей, кроме приближенных аналитических вариационных методов Ритца, Бубнова-Галеркина, используется процедура метода конечных элементов (МКЭ), когда проводится дискретизация области конечными элементами и искомое решение приближенно представляется в виде линейной комбинации базисных функций. Для вычисления коэффициентов этой линейной комбинации необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в узлах конечных элементов.

Математические модели, содержащие в своем описании дифференциальные уравнения, могут быть достаточно сложными, нелинейными, в этом случае особое значение имеют методы линеаризации. Например, нелинейные модели разлагаются в ряд Тейлора и в первом приближении получаются линейные модели, а они достаточно хорошо изучены. Чтобы сделать возможным численное решение дифференциальных уравнений строится дискретная модель математической задачи, дифференциальные уравнения заменяются дискретными алгебраическими аппроксимациями и в результате этого получаются алгебраические системы уравнений. Наиболее удобными математическими моделями с точки зрения реализации на вычислительной машине являются линейные математические модели в виде системы линейных алгебраических уравнений. Поэтому многие математические методы, связанные с преобразованием математических моделей, ориентированы на последовательное сведение исходной математической модели к модели в виде системы линейных алгебраических уравнений.

 



Дата добавления: 2020-05-20; просмотров: 296; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Уравнения с переменными

Содержание статьи

1. Общий метод решения

2. Решение типичных задач

Общий метод решения

Дифференциальное уравнение первого порядка $y’=f\left(x,y\right)$, которое можно представить в стандартном виде $y’=f_{1} \left(x\right)\cdot f_{2} \left(y\right)$, где $f_{1} \left(x\right)$ и $f_{2} \left(x\right)$ — заданные непрерывные функции, називают дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Особенность такого уравнения состоит в том, что его правая часть представляет собой произведение двух сомножителей $f\left(x,\; y\right)=f_{1} \left(x\right)\cdot f_{2} \left(y\right)$, каждый из которых зависит только от “своей” переменной (один только от $x$, другой — тольки от $y$).

Решение дифференциальных уравнением с разделяющимися переменными состоит в конкретном разделении переменных. При этом используем соотношение $y’=\frac{dy}{dx} $. Предположив, что $f_{2} \left(y\right)\ne 0$, обе части уравнения $\frac{dy}{dx} =f_{1} \left(x\right)\cdot f_{2} \left(y\right)$ делим на $f_{2} \left(y\right)$ и умножаем на $dx$.

В результате уравнение принимает вид $\frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =f_{1} \left(x\right)\cdot dx$. В этом уравнении переменная $x$ входит только в правую часть, а переменная $y$ — только в левую. Таким образом, переменные разделены. Получено дифференциальное уравнение с разделёнными переменными.

Интегрируем левую и правую части этого уравнения: $\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx $. После вычисления интегралов остается только выполнить упрощающие тождественные преобразования.

Общий метод решения можно представить в виде следующего алгоритма:

  1. Представить данное дифференциальное уравнение в стандартном виде $y’=f_{1} \left(x\right)\cdot f_{2} \left(y\right)$. Если это оказалось невозможным, то дифференциальное уравнение должно решаться иным методом. {2} -3\cdot y-3} =0$. Из этого уравнения следуют $y=5$ и $y=3$, которые являются его особыми решениями.

    Сообщество экспертов Автор24

    Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25.11.2021

    Выполнение любых типов работ по математике

    Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

    Подбор готовых материалов по теме

    Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

    Методы решения дифференциальных уравнений в картинках

    Приводятся основные сведения об обыкновенных дифференциальных уравнениях в сжатом виде – в картинках. Большинство из них содержат методы решения уравнений.

    Здесь приводятся главные картинки страниц раздела «Дифференциальные уравнения». На этих изображениях, в кратком виде представлены главные содержания страниц раздела. В частности, на многих из них даются методы решения уравнений. Просматривая картинки, можно освежить в памяти методы решений дифференциальных уравнений. Также каждый заголовок снабжен ссылкой на страницу, к которой относится картинка.

    Дифференциальные уравнения первого порядка

    Методы решения дифференциальных уравнений

    Рассмотрены основные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с примерами их решений. Рассмотрены уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель, уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли, уравнения второго и высших порядков. Даны три метода решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

    Основные понятия и определения дифференциальных уравнений

    Рассмотрены основные понятия и определения обыкновенных дифференциальных уравнений и их решений.

    Дифференциальные уравнения первого порядка

    Приведена инструкция, как решать дифференциальные уравнения первого порядка. Перечислены основные типы обыкновенных ДУ первого порядка. Кратко изложены методы их решения. Указаны ссылки на страницы с подробным изложением методов решения и разобранными примерами.

    Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

    Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

    Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

    Рассмотрен способ решения дифференциальных уравнений, приводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения, приводящегося к уравнению с разделяющимися переменными.

    Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

    Показано как определить, что дифференциальное уравнение первого порядка является однородным. Рассмотрен метод решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Дан пример подробного решения однородного дифференциального уравнения.

    Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным

    Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений, приводящихся к однородным дифференциальным уравнениям первого порядка. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению.

    Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

    Показано как распознать обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Рассмотрен способ решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка. Дан пример подробного решения такого уравнения.

    Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

    Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрен метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью интегрирующего множителя. Дан пример подробного решения такого уравнения.

    Метод Бернулли (введение двух функций). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

    Изложен способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли – введением двух функций. Рассмотрен пример подробного решения линейного дифференциального уравнения методом Бернулли.

    Метод Лагранжа (вариации постоянной). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

    Рассмотрен способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом вариации постоянной (Лагранжа). Дан пример подробного решения линейного дифференциального уравнения методом Лагранжа.

    Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к линейным

    Рассмотрены дифференциальные уравнения, приводящиеся к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения, приводящегося к линейному уравнению.

    Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения

    Дано определение дифференциального уравнения Бернулли. Рассмотрены методы его решения: приведением к линейному уравнению и методом Бернулли. Рассмотрены два примера уравнений с подробными решениями методом Бернулли.

    Дифференциальное уравнение Риккати

    Дано определение дифференциального уравнения Риккати. Рассмотрены его свойства, приведение к более простой форме и частные случаи решения.

    Дифференциальное уравнение Якоби

    Дано определение дифференциального уравнения Якоби и рассмотрен метод его решения.

    Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

    Показано как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Даны методы его решения. Приводится пример решения уравнения в полных дифференциалах двумя способами.

    Решение дифференциальных уравнений с помощью интегрирующего множителя

    Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений первого порядка с помощью интегрирующего множителя. Приведены свойства интегрирующих множителей и указаны методы их нахождения. Разобраны примеры решений уравнений с помощью интегрирующего множителя.

    Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка

    Формулировка теоремы Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Доказательство теоремы методом последовательных приближений Пикара.

    Не разрешенные относительно производной

    Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

    Приводятся основные виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенные относительно производной. Разобраны самые простые из них и даны ссылки на страницы, содержащие методы их решения с примерами.

    Дифференциальные уравнения первого порядка, содержащие только производную

    Рассмотрено решение дифференциальных уравнений первого порядка, содержащих только производную. Приводится пример решения такого уравнения.

    Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных

    Дан метод решения дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, не содержащих в явном виде одну из переменных. Рассмотрен частный случай, когда уравнение может быть разрешено относительно переменной. Приводятся примеры решений таких уравнений.

    Дифференциальное уравнение Клеро

    Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения Клеро и нахождение его особого решения. Дан пример решения дифференциального уравнения Клеро.

    Дифференциальное уравнение Лагранжа

    Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения Лагранжа. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения Лагранжа.

    Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной, приводящиеся к уравнению Бернулли

    Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, приводящихся к уравнению Бернулли.

    Дифференциальные уравнения высших порядков

    Дифференциальные уравнения высших порядков

    Перечислены основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) высших порядков, допускающие решение. Кратко изложены методы их решения. Указаны ссылки на страницы, с подробным описанием методов решения и примерами.

    Дифференциальное уравнение y(n) = f(x)

    Рассмотрено дифференциальное уравнение, в котором n-я производная равна функции от независимой переменной x. Такое уравнение решается непосредственным интегрированием n раз. Также его можно решить, выполняя однократное интегрирование с помощью формулы Коши для повторных интегралов. Дан подробный пример решения такого уравнения.

    Формула Коши для повторных интегралов

    Доказана формула Коши, которая сводит повторные интегралы от некоторой функции f к однократному. Показано, что эти интегралы являются частным решением дифференциального уравнения, в котором производная n-ой степени от y равна f(x), с нулевыми начальными условиями. Дано общее решение такого уравнения.

    Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах

    Приводятся типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) высших порядков, решаемых в квадратурах. Подробно изложены методы их решения. Разобраны пять примеров решений подобных задач.

    Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде

    Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения высшего порядка, не содержащего функцию y в явном виде. В таком уравнении порядок понижается с помощью подстановки. Дан подробный пример решения такого уравнения.

    Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде

    Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения высшего порядка, не содержащего переменную x в явном виде. Такое уравнение сводится к уравнению более низкого порядка с помощью подстановки. Дан подробный пример решения такого уравнения.

    Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков

    Показано как распознать дифференциальное уравнение, однородное относительно функции и ее производных. Рассмотрен способ решения таких уравнений. Дан пример подробного решения однородного дифференциального уравнения второго порядка.

    Обобщенно однородные дифференциальные уравнения относительно переменных высших порядков

    Дано определение и указано как распознать обобщенно однородное относительно переменных дифференциальное уравнение высшего порядка. Приводится подстановка, с помощью которой в этом уравнении можно понизить порядок. Подробно рассмотрен пример решения обобщенно однородного ДУ второго порядка.

    Дифференциальные уравнения высших порядков с полной производной

    Показано как понизить порядок дифференциального уравнения с полной (точной) производной. Рассмотрены методы выделения полной производной, и примеры применения этих методов для решения дифференциальных уравнений высших порядков.

    Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения произвольного порядка

    Формулировка и доказательство теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения произвольного порядка. Доказательство производится путем сведения уравнения к системе уравнений первого порядка.

    Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений

    Формулировка и доказательство теоремы существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений методом последовательных приближений Пикара.

    Линейные с постоянными коэффициентами

    Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

    Даны определения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (однородных, неоднородных и общее определение). Рассмотрены свойства их решений.

    Решение дифференциальных уравнений высших порядков методом Бернулли

    Рассмотрен метод Бернулли (двух функций) для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков. Этот метод применим, если известно частное решение однородного уравнения. Приведены примеры решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом Бернулли.

    Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа

    Рассмотрен метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа. Метод Лагранжа также применим для решения любых линейных неоднородных уравнений, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

    Примеры решений дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа

    Рассмотрены примеры решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом Лагранжа (вариации постоянных).

    Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами

    Рассмотрен способ решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом понижения порядка.

    Пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения методом понижения порядка

    Рассмотрен пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого имеет действительные корни, методом понижения порядка.

    Пример комплексной подстановки при решении линейного неоднородного дифференциального уравнения

    Рассмотрен пример применения комплексной подстановки при решении линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то подстановка позволяет понизить порядок уравнения на две единицы.

    Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

    Рассмотрен способ решения линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами. Дан вид общего решения. Примеры решений.

    Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью

    Рассмотрен метод решения линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью, содержащей комбинации из многочленов, экспонент, синусов и косинусов. Установлен вид частного решения.

    Пример решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью

    Рассмотрен пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью в виде суммы экспоненты, умноженной на x, синуса и многочлена второй степени.

    y′′+y=x2cos x. Пример решения линейного дифференциального уравнения со специальной неоднородной частью

    Пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью y′′+y=x∧2cos x. Приводится подробное решение тремя способами: понижением порядка линейной подстановкой; стандартным способом; стандартным способом, используя комплексные функции.

    Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения

    Определение дифференциального уравнения Эйлера. Рассмотрены методы его решения.

    Примеры решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера

    Рассмотрены примеры решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера.

    Пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера второго порядка

    Рассмотрен пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера второго порядка методом вариации постоянных Лагранжа.

    Линейные уравнения в частных производных первого порядка

    Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

    Представлены способы решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка методом характеристик. Даны примеры решения таких задач. В разобранных примерах получено общее решение заданного уравнения. На его основе найдено частное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям.

    Разделение переменных

    Разделение переменных — это специальный метод решения некоторых дифференциальных уравнений

    Дифференциальное уравнение – это уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными:


    Пример: уравнение с функцией y и ее производная dy dx  

    Когда я могу его использовать?

    Разделение переменных может использоваться, когда:

    Все члены y (включая dy) могут быть перемещены в одну часть уравнения, и

    Все x членов (включая dx) на другую сторону.

    Метод

    Три шага:

    • Шаг 1 Переместите все члены y (включая dy) в одну часть уравнения, а все члены x (включая dx) в другую часть уравнения.
    • Шаг 2 Интегрируйте одну сторону относительно y и другую сторону относительно x . Не забудьте “+ C” (константа интегрирования).
    • Шаг 3 Упростить

    Пример: Решите (k — константа):

      dy dx = ky

    Шаг 1 Разделите переменные, переместив все члены y в одну часть уравнения, а все члены x в другая сторона:

    Умножьте обе части на dx: dy = ky dx

    Разделите обе части на y: dy y = k dx

    Шаг 2 Проинтегрируйте обе части уравнения по отдельности:

    Поставьте знак интеграла перед:∫ dy y = ∫ k dx

    Проинтегрируйте левую часть: ln(y) + C = ∫ k dx

    Проинтегрируйте правую часть:  ln(y) + C = kx + D

    C – постоянная интегрирования. И мы используем D для другого, так как это другая константа. Шаг 3 = у , поэтому возьмем показатели с обеих сторон: y = e kx + a

    И e kx + a = e kx e a , поэтому мы получаем: y = e 0 kx

    E A – это только постоянная, поэтому мы заменяем его на C : Y = CE KX

    Мы решили это:

    Y = CE KX

    Это общее. типа дифференциального уравнения первого порядка, которое неожиданно появляется во многих неожиданных местах в реальных примерах.

    Мы использовали y и x , но тот же метод работает и для других имен переменных, например:

    Пример: Кролики!

    Чем больше у вас будет кроликов, тем больше у вас будет крольчат. Потом эти кролики вырастают и тоже рожают малышей! Население будет расти все быстрее и быстрее.

    Важными частями этого являются:

    • население N в любое время t
    • скорость роста р
    • скорость изменения населения dN dt

    Скорость изменения в любое время равна скорости роста, умноженной на население:

    dN dt = rN

    Но эй! Это то же самое, что и уравнение, которое мы только что решили! Просто у него другие буквы:

    • N вместо y
    • т вместо х
    • р вместо к

    Итак, мы можем перейти к решению:

    N = ce rt

     

    А вот пример, график N = 0. 3e 2t :


    Экспоненциальный рост

    Есть и другие уравнения, которые следуют этому шаблону, например, непрерывные сложные проценты.

    Дополнительные примеры

    Хорошо, теперь несколько примеров разделения переменных:

    Пример: Решите это:

    dy dx = 1 y

     

    Шаг 1 Разделите переменные, переместив все члены y в одну часть уравнения, а все члены x в другую:

    Умножьте обе части на dx:dy = (1/y) dx

    Умножьте обе части на y: y dy = dx

    Шаг 2 Проинтегрируйте обе части уравнения отдельно:

    Поставьте знак интеграла перед:∫ y dy = ∫ dx

    Проинтегрируйте каждую часть: (y 2 )/2 = x + C

    Мы интегрировали обе части в одну строку.

    Мы также использовали сокращение только одной константы интегрирования C. Это совершенно нормально, поскольку мы могли бы иметь +D на одном, +E на другом и просто сказать, что C = E−D. Шаг 3

    Примечание. Это не то же самое, что y = √(2x) + C, потому что C была добавлена ​​ до того, как мы взяли квадратный корень. Это часто происходит с дифференциальными уравнениями. Мы не можем просто добавить C в конце процесса. Он добавляется при интеграции.

    Мы решили:

    y = ±√(2(x + C))

    Более сложный пример:

    Пример: решить это:

    DY DX = 2xy 1+x 2

    Шаг 1 Разделите переменные:

    Умножение. y:

    1 y dy = 2x 1+x 2 dx

    Шаг 2 Интегрируем обе части уравнения по отдельности:

    1 y dy = ∫ 2x 1+x 2 dx

    Замена:

    Let U = 1 + x 2 , так что DU = 2x DX : ∫ 1 Y DY = ∫ 1 U DU

    . ln(u) + C

    Тогда мы получаем C = ln(k) :ln(y) = ln(u) + ln(k)

    Итак, мы можем получить это: y = uk

    Теперь снова положим u = 1 + x 2 : y = k(1 + x 2 )

     

    Шаг 3 Упрощение:

    Это уже настолько просто, насколько это возможно. Мы решили ее:

    y = k(1 + x 2 )

    Еще более сложный пример: знаменитое уравнение Ферхюльста

    Пример: Снова кролики!

    Помните о нашем росте Дифференциальное уравнение:

    dN dt = rN

     

    Ну, этот рост не может продолжаться вечно, так как скоро у них закончится доступная еда.

    Парень по имени Верхулст включал K (максимальная популяция, которую поддерживает продукты питания), чтобы получить:

    DN DT = RN (1-N/K)

    Можно ли это решить?

    Да, с помощью одной хитрости…

     

    Шаг 1 Разделите переменные:

    Умножьте обе части на dt: dN = rN(1−N/k) dt

    Разделите обе части на N(1-N/k): 1 N(1 −N/k) dN = r dt

     

    Шаг 2 Интегрируем:

    1 N(1−N/k) dN = 0. ..0 0 левая сторона 0 0 0 r выглядит трудно интегрируемым. На самом деле это можно сделать с помощью небольшой хитрости из частичных дробей… мы переставляем это так:

    Начнем с этого: 1 N(1−N/k)

    Умножить верх и низ на k: k N(k−N)

    Теперь вот в чем хитрость: сложите N и

    9 −N вверх:

    N+k−N N(k−N)

    и разделить его на две дроби: N N(k−N) + k−N N(k− N)

    Упростите каждую дробь: 1 k−N + 1 N

    Теперь решить ее намного проще. Мы можем интегрировать каждый термин отдельно, например:

    Теперь наше полное уравнение выглядит следующим образом: ∫ 1 k−N dN + ∫ 1 N dN = ∫ r dt

    = −ln(k−N) + ln(N) + ln(N) C

    (Почему получилось минус ln(k−N)? Потому что мы интегрируем по N. )

     

    Шаг 3 −N) − ln(N) = −rt − C

    Объединить ln():ln((k−N)/N) = −rt − C

    Теперь возьмем показатели с обеих сторон: (k−N)/ N = е −rt−C

    Разделить степени e:(k−N)/N = e −rt e −C

    e −C — константа, которую можно заменить на A: (k−N)/N = Ae −rt

     

    Мы приближаемся! Еще немного алгебры, чтобы получить N само по себе:

    Разделите члены дроби: (k/N)−1 = Ae −rt

    Добавьте 1 к обеим частям: k/N = 1 + Ae −rt

    Разделите оба на k:1/N = (1 + Ae −rt )/k

    Величина, обратная обеим сторонам: N = k/(1 + Ae −rt )

    И у нас есть решение:

    N = k 1 + Ae 0 −rt

    Вот Пример , график 40 1 + 5E -2T


    он начинает географическим,
    , затем вытянут по мере достижения K = 40

     

     

    Дифференциальные уравнения – Разделение переменных

    Онлайн-заметки Пола
    Дом / Дифференциальные уравнения / Уравнения с частными производными / Разделение переменных

    Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

    Уведомление для мобильных устройств

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 9-4: Разделение переменных 92}и = 0\).

    Чтобы использовать метод разделения переменных, мы должны работать с линейными однородными уравнениями в частных производных с линейными однородными граничными условиями. На данный момент мы не собираемся беспокоиться о начальных условиях, потому что решение, которое мы изначально получаем, редко будет удовлетворять начальным условиям. Однако, как мы увидим, есть способы сгенерировать решение, которое будет удовлетворять начальным условиям, если они удовлетворяют довольно простым требованиям.

    Метод разделения переменных основан на предположении, что функция вида

    \[\begin{equation}u\left( {x,t} \right) = \varphi \left( x \right)G\left( t \right)\label{eq:eq1}\end{equation}\ ]

    будет решением линейного однородного уравнения в частных производных относительно \(x\) и \(t\). Это называется решением продукта , и при условии, что граничные условия также являются линейными и однородными, оно также будет удовлетворять граничным условиям. Однако, как отмечалось выше, это лишь в редких случаях будет удовлетворять начальному условию, но об этом нам следует побеспокоиться в следующем разделе.

    Теперь, прежде чем мы начнем с некоторых примеров, вероятно, мы должны задать вопрос: Почему? Почему мы выбрали это решение и откуда мы знаем, что оно сработает? Это кажется очень странным предположением. В конце концов, на самом деле нет никаких оснований полагать, что решение уравнения в частных производных на самом деле будет произведением функции только \(x\) и функции только \(t\). Это больше похоже на надежду, чем на хорошее предположение/догадку.

    К сожалению, лучший ответ – мы выбрали его, потому что он будет работать. Как мы увидим, это работает, потому что оно сведет наше уравнение в частных производных к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, и если мы сможем их решить, тогда мы в деле, и метод позволит нам получить решение уравнений в частных производных.

    Итак, давайте рассмотрим пару примеров, чтобы увидеть, как этот метод сводит уравнение в частных производных к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. 92}}}\\ & u\left( {x,0} \right) = f\left( x \right)\hspace{0.25in}u\left({0,t} \right) = 0\hspace {0.25in}u\left( {L,t}\right) = 0\end{align*}\]

    Показать решение

    Итак, у нас есть уравнение теплопроводности без источников, фиксированные температурные граничные условия (которые также являются однородными) и начальное условие. Начальное условие находится здесь только потому, что оно принадлежит здесь, но мы будем игнорировать его, пока не перейдем к следующему разделу.

    Метод разделения переменных говорит нам предположить, что решение будет иметь форму произведения, 92}}}\end{выравнивание*}\]

    Как показано выше, мы можем вынести \(\varphi \left( x \right)\) из производной по времени и мы можем вынести \(G\left( t \right)\) из пространственной производной. Также обратите внимание, что после того, как мы их вынесли, у нас больше не осталось частной производной в задаче. В производной по времени мы теперь дифференцируем только \(G\left( t \right)\) по \(t\), и теперь это обычная производная. Точно так же в пространственной производной мы теперь только дифференцируем \(\varphi\left(x\right)\) по \(x\), и поэтому мы снова имеем обычную производную.

    На данный момент может показаться, что мы мало что сделали для упрощения задачи. Тем не менее, сам факт того, что мы свели частные производные к обычным производным, должен быть положительным моментом, даже если все еще кажется, что нам предстоит разобраться с беспорядком.

    Говоря об этом кажущемся беспорядке (да, мы сказали о кажущемся) беспорядке, действительно ли он выглядит таким беспорядком? Идея состоит в том, чтобы в конечном итоге получить все \(t\) с одной стороны уравнения и все \(x\) с другой стороны. Другими словами, мы хотим «разделить переменные» и, следовательно, название метода. В этом случае заметим, что если мы разделим обе части на \(\varphi\left( x \right)G\left( t \right)\) мы получим то, что хотим, и мы должны отметить, что это не всегда будет так же просто, как просто разделить на решение продукта. Итак, деление дает нам 92}}}\]

    Обратите внимание, что мы также разделили обе части на \(k\). Сделано это было только для удобства в дороге. Это не обязательно делать, и достаточно хорошо, если это окажется плохой идеей, мы всегда можем вернуться к этому шагу и вернуть его на правильную сторону. Точно так же, если мы этого не сделаем и окажется, что это не так уж и плохо, мы всегда можем вернуться и разделить это. Однако на данный момент, пожалуйста, примите наше слово, что это было хорошим решением этой проблемы. Мы обсудим причины этого после того, как закончим с этим примером.

    Хоть мы и сказали, что это то, чего мы хотели, все равно кажется, что у нас неразбериха. Обратите внимание, однако, что левая часть является функцией только \(t\), а правая часть является функцией только \(x\), как мы и хотели. Также обратите внимание, что эти две функции должны быть равны.

    Давайте задумаемся об этом на минуту. Как возможно, что функция только \(t\) может быть равна функции только \(x\) независимо от выбора \(t\) и/или \(x\), что у нас есть? Это может показаться невозможным, пока вы не поймете, что есть один способ, которым это может быть правдой. Если обе функции ( 92}}} = – \лямбда\]

    где \( – \лямбда \) называется константой разделения и является произвольным.

    Следующий вопрос, который мы должны решить, — почему знак минус? Опять же, как и при разделении \(k\) выше, ответ заключается в том, что в будущем будет удобно выбрать это. Знак минус не обязательно должен быть там, и на самом деле бывают случаи, когда мы не хотим, чтобы он там был.

    Так откуда мы знаем, должен он быть там или нет? Ответ на этот вопрос заключается в том, чтобы перейти к следующему шагу в процессе (который мы увидим в следующем разделе), и в этот момент мы узнаем, удобно ли это иметь или нет, и мы можем вернуться к этому шагу. и добавьте его или уберите в зависимости от того, что мы решили сделать здесь. 92}}} = – \lambda\varphi\]

    Оба эти дифференциальных уравнения очень простые, однако, поскольку мы не знаем, что такое \(\lambda \), мы пока не можем решить пространственное уравнение. Уравнение времени, однако, может быть решено в этот момент, если мы захотим, хотя это не всегда так. Однако на данный момент мы пока не хотим думать о решении любого из них.

    Последний шаг в процессе, который мы будем делать в этом разделе, — убедиться, что наше решение продукта, \(u\left( {x,t} \right) = \varphi \left( x \right )G\left( t \right)\), удовлетворяет граничным условиям, поэтому давайте подставим его в оба условия.

    \[u\left( {0,t} \right) = \varphi \left( 0 \right)G\left( t \right) = 0\hspace{0.25in}u\left( {L,t} \ вправо) = \varphi\влево(L\вправо)G\влево(t\вправо) = 0\]

    Давайте на секунду рассмотрим первый. Здесь у нас есть два варианта. Либо \(\varphi \left( 0 \right) = 0\), либо \(G\left( t \right) = 0\) для каждого \(t\). Однако, если у нас есть \(G\left( t \right) = 0\) для каждого \(t\), то мы также будем иметь \(u\left({x,t} \right) = 0\) , , т. е. , тривиальное решение, и, как мы обсуждали в предыдущем разделе, это определенно решение любого линейного однородного уравнения, нам бы очень хотелось нетривиальное решение.

    Поэтому будем считать, что на самом деле должно быть \(\varphi \left( 0 \right) = 0\). Точно так же из второго граничного условия мы получим \(\varphi \left( L \right) = 0\), чтобы избежать тривиального решения. Обратите также внимание, что мы смогли уменьшить граничные условия таким образом только потому, что они были однородными. Если бы они не были однородными, мы не смогли бы этого сделать.

    Итак, после применения разделения переменных к данному уравнению в частных производных мы приходим к дифференциальному уравнению 1 порядка , которое нам нужно решить для \(G\left( t \right)\) и 2 nd задача с граничным значением порядка, которую нам нужно решить для \(\varphi \left( x \right)\). Однако цель этого раздела — просто добраться до этого момента, и мы отложим их решение до следующего раздела.

    Подытожим все, что мы здесь определили. 92}}} + \lambda \varphi = 0\\ & \varphi \left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\varphi \left( L \right) = 0\end{align*}\]

    и обратите внимание, что у нас нет условия для дифференциального уравнения времени и не является проблемой. Также обратите внимание, что мы немного переписали второй.

    Итак, что мы здесь узнали? Используя разделение переменных, мы смогли свести наше линейное однородное уравнение в частных производных с линейными однородными граничными условиями к обыкновенному дифференциальному уравнению для одной из функций в нашем решении продукта \(\eqref{eq:eq1}\), \( G\left( t \right)\) в этом случае и краевая задача, которую мы можем решить для другой функции, \(\varphi \left( x \right)\) в этом случае.

    Обратите внимание, что краевая задача на самом деле является проблемой собственных значений/собственных функций. Когда мы решим краевую задачу, мы будем идентифицировать собственные значения \(\lambda \), которые будут генерировать нетривиальные решения соответствующих им собственных функций. Опять же, мы рассмотрим это подробнее в следующем разделе. На данный момент все, что мы хотим сделать, это определить два обыкновенных дифференциальных уравнения, которые нам нужно решить, чтобы получить решение.

    Прежде чем мы рассмотрим пару других примеров, мы должны остановиться на том факте, что в приведенной выше работе мы приняли два очень произвольных решения. Мы разделили обе части уравнения на \(k\) в одной точке и решили использовать \(-\lambda\) вместо \(\lambda\) в качестве константы разделения.

    Оба эти решения были приняты для упрощения решения краевой задачи, которую мы получили в результате нашей работы. Добавление \(k\) в краевую задачу просто усложнило бы процесс решения еще одной буквой, которую нам нужно было бы отслеживать, поэтому мы переместили ее во временную задачу, где она не вызовет столько проблем в процесс решения. Точно так же мы выбрали \( – \lambda \), потому что мы уже решили эту конкретную краевую задачу (хотя и с определенным \(L\), но работа будет почти идентичной), когда мы впервые рассмотрели поиск собственных значений и собственных функций . Это, кстати, было причиной, по которой мы переписали краевую задачу, чтобы было немного понятнее, что на самом деле мы уже решили эту задачу.

    Теперь мы можем хотя бы частично ответить на вопрос, откуда мы знаем, как принимать эти решения. Мы ждем, пока не получим обыкновенные дифференциальные уравнения, а затем смотрим на них и решаем, какие движущиеся вещи, такие как \(k\), или какую постоянную разделения использовать, исходя из того, как это повлияет на решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Конечно же, на этом этапе также необходим достаточный опыт. Чем больше у вас опыта в решении этих проблем, тем легче вам будет принимать эти решения.

    Опять же, мы должны пояснить, что в этом разделе мы не собираемся идти дальше, чем свести все к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Конечно, нам нужно будет решить их, чтобы получить решение уравнения в частных производных, но это тема остальных разделов этой главы. Все, что мы скажем об этом здесь, это то, что нам нужно сначала решить краевую задачу, которая скажет нам, какой должна быть \(\lambda \), а затем мы сможем решить другое дифференциальное уравнение. Как только это будет сделано, мы можем обратить внимание на исходное состояние.

    Хорошо, нам нужно поработать еще с парой примеров, и они будут работать намного быстрее, потому что нам не нужно будет вводить все объяснения. После первого примера этот процесс всегда кажется очень долгим, но на самом деле это не так. Это выглядело именно так из-за всех объяснений, которые мы должны были в него вложить.

    Итак, давайте начнем еще с пары примеров с уравнением теплопроводности, использующим другие граничные условия.

    Пример 2. Используйте разделение переменных в следующем уравнении в частных производных. \[\begin{align*}&\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = k\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}} }\\ & u\left( {x,0} \right) = f\left(x \right)\hspace{0. 25in}\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {0,t} \right) = 0\hspace{0,25 дюйма}\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {L,t} \right) = 0\end{align* }\]

    Показать решение

    В данном случае мы рассматриваем уравнение теплопроводности без источников и с идеально изолированными границами.

    Итак, мы начнем с того, что снова предположим, что наше решение продукта будет иметь форму

    . \[u\left( {x,t} \right) = \varphi \left( x \right)G\left( t \right)\]

    , и поскольку само дифференциальное уравнение здесь не изменилось, мы получим тот же результат от его подстановки, что и в предыдущем примере, поэтому нам нужно решить два обыкновенных дифференциальных уравнения: 92}}} = – \lambda\varphi\]

    Теперь смысл этого примера состоял в том, чтобы иметь дело с граничными условиями, поэтому давайте подключим к ним решение продукта, чтобы получить

    \[\ begin{align*}\frac{{\partial \left({G\left( t \right)\varphi \left( x \right)} \right)}}{{\ partial x}}\left ( {0, t} \ right) & = 0 & \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {{\ partial \ left ( {G \ left ( t \ right) \ varphi \ left ( x \ right)} \ right) }}{{\partial x}}\left( {L,t} \right) & = 0\\ G\left( t \right)\frac{{d\varphi}}{{dx}}\left( 0 \right) & = 0 & \hspace{0. 2}}} + \lambda \varphi = 0\\ &\frac{{d\varphi}}{{dx}}\left( 0 \right) = 0\hspace{0,25 дюйма}\frac{{d \varphi}}{{dx}}\left( L \right) = 0\end{align*}\] 92}}}\\ & u\left( {x,0} \right) = f\left( x \right)\hspace{0.25in}u\left( { – L,t} \right) = u\ влево ({L, t} \right) \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {{\ partial u}} {{\ partial x}} \ left ( { – L, t} \ right) = \ frac {{\ частичное u}}{{\ partial x}}\left( {L,t} \right)\end{align*}\]

    Показать решение

    Во-первых, обратите внимание, что эти граничные условия на самом деле являются однородными граничными условиями. Если мы перепишем их как

    \[u\left( { – L,t} \right) – u\left( {L,t} \right) = 0\hspace{0.25in}\frac{{\partial u}}{{\partial x }}\left( { – L,t} \right) – \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {L,t} \right) = 0\] 92}}} = – \lambda\varphi\]

    Включение решения продукта в переписанные граничные условия дает,

    \[\begin{align*} & G\left( t \right)\varphi \left( { – L} \right) – G\left( t \right)\varphi \left( L \right) = G\ влево ( т \ вправо) \ влево [ {\ varphi \ влево ( { – L} \ вправо) – \ varphi \ влево ( L \ вправо)} \ вправо] = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \\ & G \ влево ( t \right)\frac{{d\varphi}}{{dx}}\left( { – L} \right) – G\left( t \right)\frac{{d\varphi}}{{dx }} \ влево ( L \ вправо) = G \ влево ( т \ вправо) \ влево [ {\ гидроразрыва {{d \ varphi}} {{dx}} \ влево ( { – L} \ вправо) – \ гидроразрыва { {d\varphi}}{{dx}}\left( L \right)} \right] = 0\end{align*}\]

    и мы можем видеть, что мы получим нетривиальное решение, только если

    \[\begin{align*}\varphi \left( { – L} \right) – \varphi \left( L \right) & = 0 & \hspace{0. 2}}} \\ & u \ left ({x, 0} \ right) = f \ left ( x \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {{\ partial u }}{{\partial t}}\left({x,0}\right) = g\left(x\right)\\ & u\left({0,t}\right) = 0\hspace{0,25 in}u\left( {L,t} \right) = 0\end{align*}\]

    Показать решение

    Теперь, как и в уравнении теплопроводности, два начальных условия здесь только потому, что они должны быть здесь для решения задачи. На самом деле мы ничего с ними здесь делать не будем, и, как упоминалось ранее, продукт редко их удовлетворит. Мы будем иметь дело с ними в более позднем разделе, когда мы действительно пройдем этот первый шаг. Опять же, смысл этого примера состоит только в том, чтобы перейти к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые дает разделение переменных. 92}\) вправо по той же причине, по которой мы переместили \(k\) в уравнении теплопроводности. Это немного облегчит решение краевой задачи.

    Теперь, когда мы разделили уравнение на функцию только от \(t\) слева и функцию только от \(x\) справа, мы можем ввести константу разделения и снова будем использовать \ ( – \lambda \), поэтому мы можем прийти к знакомой нам краевой задаче. Итак, после введения константы разделения получаем

    92}}} = 0\hspace{0.25in}0 \le x \le L\hspace{0.25in}0 \le y \le H\\ & u\left( {0,y} \right) = g\ слева (у \ справа) \ hпробел {0,25 дюйма} и \ слева ( {L, у} \ справа) = 0 \\ & и \ слева ( {х, 0} \ справа) = 0 \ hпробел {0,25 дюйма} и \left( {x,H} \right) = 0\end{align*}\]

    Показать решение

    Эта задача немного (ну, в некотором смысле, совсем немного) отличается от тепловых и волновых уравнений. Во-первых, у нас больше нет временной переменной в уравнении, но вместо этого мы обычно рассматриваем обе переменные как пространственные переменные, и мы будем предполагать, что две переменные находятся в диапазонах, показанных выше в постановке задачи. Обратите внимание, что это также означает, что у нас больше нет начальных условий, но вместо этого у нас теперь есть два набора граничных условий, один для \(x\) и один для \(y\).

    Также следует отметить, что у нас есть три граничных условия однородные и одно неоднородное по какой-то причине. Когда мы приступим к решению этого уравнения Лапласа, мы увидим, что это действительно необходимо для того, чтобы найти решение.

    Для этой задачи мы будем использовать решение продукта,

    \[u\left( {x,y} \right) = h\left( x \right)\varphi \left( y \right)\]

    Часто бывает удобно иметь под рукой граничные условия, которые дает это решение произведения, прежде чем мы позаботимся о дифференциальном уравнении. В этом случае у нас есть три однородных граничных условия, поэтому нам нужно преобразовать их все. Поскольку мы уже преобразовали такие граничные условия, мы оставляем вам возможность убедиться, что они станут, 92}}} + \лямбда \varphi = 0\]

    появится. Конечно, буквы могут быть разными в зависимости от того, как мы определили наше продуктовое решение (поскольку они должны быть здесь). Мы знаем, как решить эту проблему собственного значения/собственной функции, как мы указали в обсуждении после первого примера. Однако для ее решения нам понадобятся два граничных условия.

    Итак, для нашей задачи мы видим, что у нас есть два граничных условия для \(\varphi \left( y \right)\), но только одно для \(h\left( x \right)\) и так что мы можем видеть, что краевая задача, которую нам нужно решить, будет включать \(\varphi \left( y \right)\), и поэтому нам нужно выбрать константу разделения, которая даст возможность использовать краевую задачу, которую мы’ уже решил. В данном случае это означает, что нам нужно выбрать \(\lambda \) в качестве константы разделения. Если вы не уверены, что верите в это, подождите секунду, и вскоре вы увидите, что на самом деле это был правильный выбор. 92}}} + \lambda \varphi & = 0\\ h\left( L \right) & = 0 & \hspace{0.25in}\varphi \left( 0 \right) & = 0\hspace{0.25in} \varphi\left( H \right) = 0\end{align*}\]

    Итак, мы наконец-то увидели пример, в котором константа разделения не имеет знака минус, и еще раз отметим, что мы выбрали ее так, чтобы краевая задача, которую нам нужно решить, совпадала с той, которую мы уже видели, как решить решить, так что там не будет много работы.

    Все примеры, рассмотренные в этом разделе до этого момента, представляют собой проблемы, которые мы продолжим в следующих разделах, чтобы получить полные решения. Однако давайте поработаем еще над одним, чтобы проиллюстрировать пару других идей. Тем не менее, мы не будем делать с этим какую-либо работу в последующих разделах, здесь мы только проиллюстрируем пару моментов. 92}}} – u\\ & u\left( {x,0} \right) = f\left( x \right)\hspace{0.25in}u\left( {0,t} \right) = 0 \hspace{0,25 дюйма} – \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {L,t} \right) = u\left({L,t} \right)\end{ выровнять*}\]

    Показать решение

    Обратите внимание, что это уравнение теплопроводности с исходным членом \(Q\left( {x,t} \right) = – c\rho \,u\) и является линейным и однородным. Также обратите внимание, что мы впервые смешали типы граничных условий. При \(x = 0\) у нас есть заданная температура, а при \(x = L\) у нас есть граничное условие типа закона Ньютона охлаждения. Мы не должны исходить из нескольких первых примеров с мыслью, что граничные условия на обеих границах всегда однотипны. Если они одного типа, во многих случаях решение проблемы с граничными значениями становится немного проще. 92}}} – \varphi\left( x \right)G\left( t \right)\end{align*}\]

    Теперь следующим шагом будет деление на \(\varphi \left( x \right)G\left( t \right)\) и обратите внимание, что после этого второй член справа станет единицей, и поэтому можно пойти с любой стороны. Теоретически нет причин, по которым один не может быть ни с одной из сторон, однако с практической точки зрения мы снова хотим, чтобы все было как можно проще, поэтому мы переместим его на сторону \(t\), так как это гарантирует, что мы получим дифференциальное уравнение для краевой задачи, которую мы видели раньше. 92}}} = – \lambda\varphi\]

    Теперь займемся граничными условиями.

    \[\begin{align*} & G\left( t \right)\varphi \left( 0 \right) = 0\hspace{0. 25in}\\ & G\left( t \right)\frac{{d \varphi}}{{dx}}\left(L \right) + G\left(t\right)\varphi\left(L\right) = G\left(t\right)\left[ {\frac{ {d\varphi}}{{dx}}\left( L \right) + \varphi \left( L \right)} \right] = 0\end{align*}\]

    и мы видим, что мы получим нетривиальное решение, только если 92}}} + \lambda \varphi = 0\\ & \varphi \left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\frac{{d\varphi}}{{dx}}\left( L \ вправо) + \varphi\влево(L\вправо) = 0\end{align*}\]

    Вкратце: мы решили краевую задачу в этом примере в примере 5 раздела «Собственные значения и собственные функции», и этот пример показывает, почему разделение переменных не всегда так просто использовать. Как мы увидим в следующем разделе, чтобы получить решение, удовлетворяющее любому достаточно хорошему начальному условию, нам действительно нужно получить в свои руки все собственные значения краевой задачи. Однако, как показывает решение этой краевой задачи, это не всегда возможно сделать. Есть способы (которые мы не будем здесь рассматривать) использовать информацию здесь, чтобы хотя бы приблизиться к решению, но мы никогда не сможем получить полное решение этой проблемы.

    Хорошо, с этим разделом покончено. Здесь важно помнить, что то, что мы здесь сделали, на самом деле является лишь первым шагом в методе разделения переменных для решения уравнений в частных производных. В следующих разделах мы рассмотрим, что нам нужно сделать, чтобы завершить процесс решения, и в этих разделах мы закончим решение дифференциальных уравнений в частных производных, которые мы начали в Примере 1 — Примере 5 выше.

    Кроме того, в разделе «Уравнение Лапласа» последние два примера показывают в значительной степени полное разделение переменного процесса от определения решения продукта до получения фактического решения. Единственный шаг, отсутствующий в этих двух примерах, — это решение краевой задачи, которая уже была решена на тот момент и поэтому не была включена в решение, учитывая, что их решение, как правило, занимает довольно много времени.

    Мы также увидим рабочий пример (снова без решения задачи с граничными значениями) в разделе «Вибрирующая струна».

    2.2: Метод разделения переменных

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  2. Идентификатор страницы 92} \метка{2.1.1} \]

    Это волновое уравнение является разновидностью уравнения в частных производных второго порядка (УЧП) с двумя переменными – \(x\) и \(t\). УЧП отличаются от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) тем, что включают функции только одной переменной. Однако это различие значительно усложняет решение PDE. Фактически, подавляющее большинство УЧП не могут быть решены аналитически, а те классы специальных УЧП, которые могут быть решены аналитически, неизменно включают преобразование УЧП в одно или несколько ОДУ с последующим независимым решением. Одним из таких подходов является метод разделение переменных .

    Метод разделения переменных

    Общее применение метода разделения переменных для волнового уравнения включает три этапа:

    1. Найдены все решения волнового уравнения общего вида \[u(x,t)= X(x)T(t) \nonumber \]для некоторой функции \(X(x)\), зависящей от \ (x\), но не \(t\) и некоторую функцию \(T(t)\), которая зависит только от \(t\), но не от \(x\). Конечно, слишком много ожидать, что все решения уравнения \(\ref{2.1.1}\) имеют такую ​​форму, однако, если мы найдем множество решений \(\{X_i(x)T_i(t) \}\), так как волновое уравнение представляет собой линейное уравнение , \[u(x,t)=\sum_i c_ iX_i(x)T_i(t) \label{gen1} \]также является решением для любого выбора констант \(c_i\).
    2. Наложите ограничения на решения, основанные на знании системы. Они называются граничными условиями , которые определяют значения \(u(x,t)\) в экстремумах («границах»). Это такое же ограничение на решение, как и в задачах с начальными значениями, в которых условия \(x(t_i)\) указаны в определенное время \(t_i\). Затем цель состоит в том, чтобы выбрать константы \(c_i\) в уравнении \ref{gen1} так, чтобы граничные условия также удовлетворялись.

    Метод разделения переменных является одним из наиболее широко используемых методов решения уравнений в частных производных и основан на предположении о том, что решение уравнения отделимо, т. е. окончательное решение может быть представлено в виде произведения несколько функций, каждая из которых зависит только от одной независимой переменной. Если это предположение неверно, то из анализа будут очевидны явные нарушения математических принципов.

      Вибрирующая пружина, закрепленная между двумя точками

      Как обсуждалось в разделе 2.1, решения примера струны \(u(x,t)\) для всех \(x\) и \(t\) предполагаются быть произведением двух функций: \(X(x)\) и \(T(t)\), где \(X(x)\) является функцией только \(x\), а не \(t \) и \(T(t)\) является функцией \(t\), но не \(x\).

      \[u(x,t)= X(x)T(t) \label{2.2.1} \]

      Подставить уравнение \(\ref{2. 2.1}\) в одномерное волновое уравнение (Уравнение \(\ref{2.1.1}\)) дает 92} – K X(x) = 0 \label{2.2.4b} \]

      Следовательно, путем подстановки новой формы решения произведения (уравнение \ref{2.2.1}) в исходное волновое уравнение (уравнение \(\ref {2.1.1}\)) мы преобразовали уравнение в частных производных двух переменных (\(х\) и \(t\)) в два обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальное уравнение, содержащее функцию или функции одной независимой переменной и его производные). Каждое дифференциальное уравнение включает только одну из независимых переменных (\(x\) или \(t\)). 9{-\sqrt{K}x} \label{2.2.5} \]

      На данном этапе уравнение \(\ref{2.2.5}\) подразумевает, что решение двух обыкновенных дифференциальных волновых уравнений будет бесконечным числом волн без квантования, чтобы ограничить те, которые разрешены (т. е. любые значения из \(A\) и \(B\) возможны). Сведение общего решения к частному происходит при учете граничных условий.

      Граничные условия для этой задачи состоят в том, что амплитуда волны равна нулю на концах струны 9{-2t} \nonumber \]

      Когда \(K > 0\), общие решения уравнений \(\ref{2. 2.4a}\) и \(\ref{2.2.4b}\) являются колебательными в время и пространство соответственно, как обсуждается в следующем разделе.

      Авторы и ссылки

      • Делмар Ларсен (Калифорнийский университет в Дэвисе)

      1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или страница
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Показать страницу Содержание
        нет на странице
      2. Теги
        1. граничные условия
        2. Разделение переменных

      Дифференциальные уравнения с разделителями — определение, примеры, решение, IVP

      Дифференциальные уравнения с разделителями — это особый тип дифференциальных уравнений, в которых участвующие переменные можно разделить, чтобы найти решение уравнения. Разделимые дифференциальные уравнения можно записать в виде dy/dx = f(x)g(y), где x и y — переменные, явно отделенные друг от друга. После разделения переменных решение дифференциального уравнения можно легко определить, проинтегрировав обе части уравнения. Разделимое дифференциальное уравнение dy/dx = f(x) g(y) после разделения переменных записывается как dy/g(y) = f(x) dx.

      В этой статье мы поймем, как решать разделимые дифференциальные уравнения, начальные задачи разделимых дифференциальных уравнений и неразделимых дифференциальных уравнений с помощью решенных примеров для лучшего понимания.

      1. Что такое разделимые дифференциальные уравнения?
      2. Определение разделимых дифференциальных уравнений
      3. Решение разделимых дифференциальных уравнений
      4. Задача с начальными значениями Разделимые дифференциальные уравнения
      5. Часто задаваемые вопросы о разделимых дифференциальных уравнениях

      Что такое разделимые дифференциальные уравнения?

      Дифференциальные уравнения, в которых переменные могут быть отделены друг от друга, называются разделимыми дифференциальными уравнениями. Общая форма записи разделимых дифференциальных уравнений: dy/dx = f(x)g(y), где переменные x и y можно отделить друг от друга. Ниже приведены некоторые другие формы разделимых дифференциальных уравнений, которые помогут определить их при решении задач:

      • f(x) dx = g(y) dy
      • dy/dx = f(x)/g(y)
      • dy/dx = f(x) g(y)
      • г(у) dy/dx = f(x)

      Обратите внимание, что все приведенные выше формы разделимых дифференциальных уравнений эквивалентны. Дифференциальное уравнение в приведенном выше виде может быть решено с помощью метода разделения переменных.

      Определение разделимых дифференциальных уравнений

      Разделимое дифференциальное уравнение определяется как дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде dy/dx = f(x) g(y). Это означает, что f(x) и g(y) могут быть явно записаны как функции переменных x и y. Как следует из названия, в разделимых дифференциальных уравнениях производная может быть записана как произведение функции x и функции y по отдельности. Мы можем проверить, отделимо ли дифференциальное уравнение, проверив, может ли производная dy/dx быть выражена как функция x, умноженная на функцию y.

      Некоторые примеры разделимых дифференциальных уравнений приведены ниже:

      • dy/dx = (x 2 + 6)(y – 7)
      • у’ = cos x сек у
      • dy/dx = ye x
      • у’ = ху – 3х + 4у – 12
      • dy/dx = sin y

      Решение разделимых дифференциальных уравнений

      Теперь, когда мы знаем, как идентифицировать разделимые дифференциальные уравнения, мы научимся их решать. Мы решим разделимое дифференциальное уравнение, чтобы понять процесс их решения. Чтобы решить такие дифференциальные уравнения, выполните следующие основные шаги:

      • Шаг 1: Запишите производную как произведение функций отдельных переменных, т. е. dy/dx = f(x) g(y)
      • Шаг 2: Разделите переменные, записав их с каждой стороны равенства, т. е. dy/g(y) = f(x) dx
      • Шаг 3: Интегрируем обе части и находим значение y и, следовательно, общее решение разделимого дифференциального уравнения, т. е. ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx

      Пример: Рассмотрим разделимое дифференциальное уравнение dy/dx = xy + 2 – 2x – y

      Сначала мы напишем xy + 2 – 2x – y как произведение функции x и функции y.

      dy/dx = xy + 2 – 2x – y

      ⇒ dy/dx = (x – 1)(y – 2)

      ⇒ dy/(y – 2) = (x – 1) dx [Разделение переменные]

      ⇒ ∫dy/(y – 2) = ∫(x – 1) dx [интегрирование обеих частей]

      ⇒ ln |y – 2| = x 2 /2 – x + C 1 , где C 1 – постоянная интегрирования

      ⇒ y – 2 = e x 2 /2 – x + C 1

      ⇒ y = 2 + CE x 2 /2 – x , где E C 1 = C

      Следовательно, Y = 2 + CE x 2 /2 – x является общим решением разделимого дифференциального уравнения dy/dx = xy + 2 – 2x – y

      Задача с начальными значениями Разделимые дифференциальные уравнения

      Мы научились находить общее решение разделимых дифференциальных уравнений. Далее мы будем решать задачи с начальными значениями, включающие разделимые дифференциальные уравнения, которые задаются как dy/dx = f(x) g(y), y(x o ) = y o , где y o является фиксированным значением y при x = x o . Давайте решим пример, чтобы понять его применение и найти конкретное решение.

      Пример: Решить дифференциальное уравнение с разделителями dy/dx = (x – 2)(y 2 – 9), y(0) = -1

      Решение: dy/dx = (x – 2) )(y 2 – 9)

      ⇒ dy/(y 2 – 9) = (x – 2)dx

      ⇒ ∫ (1/(y 2 – 9)) dy = ∫(x – 2)дх

      ⇒ (1/6) ∫ [1/(y – 3)] – [1/(y + 3)] dy = x 2 /2 – 2x + C 1 [С помощью метода интегрирования частичных дробей ]

      ⇒ (1/6) [пер |у – 3| – ln |y + 3|] = x 2 /2 – 2x + C 1

      ⇒ ln |y – 3| – пер |у + 3| = 3x 2 – 12x + C 2 , [6C 1 = C 2 ]

      ⇒ ln|(y – 3)/(y + 3)| = 3x 2 – 12x + C 2

      ⇒ |(y – 3)/(y + 3)| = е 3x 2 – 12x + С 2

      ⇒ (Y – 3)/(Y + 3) = C 3 E 3x 2 – 12x [C 3 = ± E C 2

      8 = E. абсолютный знак] — (1)

      ⇒ y – 3 = C 3 (y + 3) (e 3x 2 – 12x )

      ⇒ y – 3 = y (C

      8 3 E 3x 2 – 12x ) + 3 (C 3 E 3x 2 – 12x )

      ⇒ Y (1 – C 3 E 3X 2 – 12x ) = 3 (1 + C 3 E 3X 2 – 12x )

      ⇒ Y = 3 (1 + C 3 E 3x 2 – 12x )/(10099 3x 2 – 12x )/(10099 3x 2 – 12x )/(10099 3x 2 – 12x )/(10099 3x 2 – 12x

      8. – C 3 e 3x 2 – 12x )

      Теперь, чтобы определить значение C 3 , подставим начальное значение в общее решение разделимого дифференциального уравнения. Мы можем поместить начальное значение в другое эквивалентное уравнение общего уравнения, которым является уравнение (1). Следовательно, у нас есть

      (y – 3)/(y + 3) = C 3 e 3x 2 – 12x

      ⇒ (-1 – 3)/(-1 + 3) = C 3 e

      0 3(0)

      2 – 12(0)

      ⇒ -2 = C 3

      Следовательно, решение задачи с начальным значением есть y = 3(1 – 2 e 3x 2 – 0 12x )/(1 + 2 e 3x 2 – 12x )

      Важные замечания по разделимым дифференциальным уравнениям

      • и т. д.
      • Общая форма разделимого дифференциального уравнения: y’ = f(x) g(y)
      • Метод, используемый для решения разделимых дифференциальных уравнений, называется методом разделения переменных.

      Связанные темы по разделимым дифференциальным уравнениям

      • Правила дифференцирования
      • Формула дифференцирования и интегрирования
      • Формула правила продукта
      • Формула цепного правила

      Часто задаваемые вопросы о разделимых дифференциальных уравнениях

      Что такое разделимые дифференциальные уравнения в математическом анализе?

      Дифференциальные уравнения, в которых переменные могут быть отделены друг от друга, называются разделимыми дифференциальными уравнениями . Общая форма записи разделимых дифференциальных уравнений: dy/dx = f(x)g(y), где переменные x и y можно отделить друг от друга.

      Как идентифицировать разделимые дифференциальные уравнения?

      Любое дифференциальное уравнение, которое может быть записано в любой из следующих форм, является разделимым дифференциальным уравнением:

      • f(x) dx = g(y) dy
      • dy/dx = f(x)/g(y)
      • dy/dx = f(x) g(y)
      • г(у) dy/dx = f(x)

      Как решать дифференциальные уравнения с разделителями?

      Чтобы решить разделимые дифференциальные уравнения, мы можем выполнить следующие основные шаги, указанные ниже:

      • Шаг 1: Запишите производную как произведение функций отдельных переменных, т. е. dy/dx = f(x) g(y)
      • Шаг 2: Разделите переменные, записав их с каждой стороны равенства, т. е. dy/g(y) = f(x) dx
      • Шаг 3: Интегрируем обе части и находим значение y и, следовательно, общее решение разделимого дифференциального уравнения, т. е. ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx

      Как узнать, является ли дифференциальное уравнение разделимым?

      Дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде dy/dx = f(x) g(y), является разделимым дифференциальным уравнением. Следовательно, мы можем проверить, можно ли записать дифференциальное уравнение в заданной форме.

      В чем разница между линейными и раздельными дифференциальными уравнениями?

      Линейные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, в которых степень производной dy/dx равна 1 и в дифференциальном уравнении не фигурируют никакие другие производные большей степени. С другой стороны, разделимое дифференциальное уравнение определяется как дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде dy/dx = f(x)g(y).

      Что такое неразделимые дифференциальные уравнения?

      Дифференциальные уравнения, которые нельзя записать в виде dy/dx = f(x) g(y), являются неразделимыми дифференциальными уравнениями. Другими словами, мы можем сказать, что те дифференциальные уравнения, которые не являются сепарабельными, называются несепарабельными дифференциальными уравнениями.

      Разделение переменных ‹ OpenCurriculum

      Цели статьи

    1. В этой статье показано, как решать дифференциальные уравнения первого порядка с помощью метода разделения переменных.
    2. Введение

      Разделение переменных — один из многих методов, используемых для решения дифференциальных уравнений. Из всех алгебраических методов решения дифференциальных уравнений этому обычно учат в первую очередь.

      Как правило, при использовании метода разделения переменных всегда следует использовать нотацию Лейбница. Это означает, что вы всегда должны переписывать \(y’\) как \(\frac{dy}{dx}\). 9x + C}$$

      Пример 2: Решите уравнение \((x – 4)y’ = 1\).

      Решение: Обратите внимание, что нет термина \(y\). Однако это не означает, что разделение переменных является недопустимым методом. Начните с записи \(y’\) в нотации Лейбница:

      $$(x – 4)\frac{dy}{dx} = 1$$

      Разделите переменные. Разделите обе части уравнения на \(x – 4\):

      $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x – 4}$$

      Теперь умножьте обе части уравнения на \(дх\):

      $$dy = \frac{1}{x – 4}dx$$

      Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения:

      $$\int{1 dy} = \int{\frac{1} {x – 4}dx}$$

      Правую часть нужно проинтегрировать с U-подстановкой: пусть \(u = x – 4\), что означает \(\frac{du}{dx} = 1 \Rightarrow du = dx\):

      $$y + C_1 = \int{\frac{1}{u}du}$$

      Теперь завершите интегрирование правой части, не забывая произвести обратную замену:

      $$y + C_1 = \ln u + C_2 \Rightarrow$$ $$y + C_1 = \ln(x – 4) + C_2$$

      Наконец, объедините константы (снова пусть \(C = C_2 – C_1\)):

      $$y = \ln(x – 4) + C$$

      Вот пример, который находится в начальных задача значений , где начальное значение, координата x-y, задается для получения конкретного решения дифференциального уравнения. Эти начальные значения подставляются в общее решение дифференциального уравнения.

      Пример 3: Решите дифференциальное уравнение \(\frac{xy’}{y} = 3\) при начальном значении \((e, 2e)\).

      Решение: Перепишите \(y’\) с помощью нотации Лейбница:

      $$\frac{x}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 3$$

      Переменные должны разделены. Не забудьте сохранить \(dy\) в качестве числителя дроби. Умножьте обе части уравнения на \(dx\):

      $$\frac{x}{y}dy = 3dx$$

      Теперь разделите обе части уравнения на \(x\):

      $$ \frac{1}{y}dy = \frac{3}{x}dx$$

      Интегрируем обе части уравнения:

      $$\int{\frac{1}{y}dy} = \int {\ гидроразрыва {3} {x} dx} \ Rightarrow $ $ $$\ln|у| + C_1 = 3\ln|x| + C_2$$9{\ln 2} \Rightarrow$$ $$|у| = 2|x|$$

      Мы могли бы убрать знаки модуля, но это потребовало бы введения символов \(\pm\), поэтому мы оставим решение дифференциального уравнения в таком виде.

      Следующий пример содержит тригонометрические функции и является хорошим обзором интегрирования тригонометрических функций.

      Пример 4: Решите дифференциальное уравнение \(y’ = \cos x – \sin x\).

      Решение: Перепишем \(y’\) в нотации Лейбница:

      $$\frac{dy}{dx} = \cos x – \sin x$$

      Теперь разделим переменные. Умножьте обе части уравнения на \(dx\):

      $$dy = (\cos x – \sin x)dx$$

      Проинтегрируйте обе части уравнения, вспомнив, что \(\int{\cos x dx} = \sin x + C\) и \(\int{\sin x dx} = -cos x + C\):

      $$\int{dy} = \int{\cos x – sin x dx } \Rightarrow$$ $$y + C_1 = \sin x + \cos x + C_2$$

      Объедините константы:

      $$y = \sin x + \cos x + C$$

      Этот пример также содержит тригонометрические функции, но требует дополнительных алгебраических операций.

      Пример 5: Решите дифференциальное уравнение

      $$\sqrt{y’ + \sin 2x} = \sin x + \cos x$$

      Решение: Это уравнение потребует некоторой работы, так как мы должны избавиться от квадратного корня. Начните с перезаписи \(y’\):

      $$\sqrt{\frac{dy}{dx} + \sin 2x} = \sin x + \cos x$$

      Теперь мы можем возвести в квадрат обе стороны уравнение: 92 x = 1\), поэтому

      $$\frac{dy}{dx} + \sin 2x = 1 + 2\sin x\cos x$$

      Кроме того, другое тригонометрическое тождество утверждает, что \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), что означает, что

      $$\frac{dy}{dx} + \sin 2x = 1 + \sin 2x \Rightarrow$$ $$\frac{dy}{dx} = 1$$

      С этим действительно легко справиться. 2}{D}$$ 92 + 9} $$

      Разделение переменных и как решить частичные уравнения дифференциальных дифференциальных Разблокировать все видео по физике

    3. ✅ Разблокировать все решения упражнений
    4. ✅ Разблокировать «Переставить уравнения»
    5. ✅ Разблокировать все загрузки
    6. ✅ Скрыть рекламу
    7. Хотите разблокировать весь контент и функции ?

      Да, хочу!

      Уровень 3 (с высшей математикой)

      Уровень 3 требует основ векторного исчисления, дифференциального и интегрального исчисления. Подходит для студентов и старшеклассников.

      Обновлено Александром Фуфаевым в

      Видео – Как решать уравнения в частных производных с разделением переменных

      Воспроизвести видео: Keynote (Google I/O ’18)

      Скачать видео Разблокировать метод разделения для преобразования частичных DEQ произвольного порядка в обычные DEQ.

      Давайте посмотрим на последний метод решения, метод разделения переменных (также называемый анзацем разделения ). Этот метод иногда называют продуктом анзаца по причинам, которые вы скоро поймете. подходит разделение переменных:

      • для уравнений в частных производных

      • произвольного порядка.

      Этот метод решения в основном используется только для преобразования УЧП в 92} \end{align} $$

      Электромагнитная волна, компоненты E-поля и B-поля которой колеблются.

      Функция, которую мы ищем, это электрическое поле \(E(t,x)\). Это зависит от \(x\) и от \(t\). Поскольку функция зависит от двух переменных и их производные входят в уравнение, это уравнение в частных производных.

      Здесь мы делаем анзац продукта для искомого решения \(E\):

      Анзац продукта для искомой функции

      Якорь формулы $$ \begin{align} E(x,t) ~=~ R(x) \, U(t) \end{align} $$

      Предположим, что решение \(E\) может быть разбить на произведение двух функций, которые мы называем \(R(x)\) и \(U(t)\). 2} \), поскольку \ (U \) является не зависит от \(х\) и поэтому действует как константа. Напротив, в производной произведения по времени \(t\) функция \(R\) действует как константа, поскольку она не зависит от \(t\): 92} \end{align} $$

      Таким образом, мы добились того, что все, что зависит от \(x\), находится в левой части, а все, что зависит от \(t\), — в правой. Если вам удастся таким образом разделить уравнение в частных производных, значит, анзац произведения выполнен успешно.

      Теперь мы можем изменять \(x\) в левой части, не меняя правой части, потому что в правой части нет \(x\). То же верно и для времени \(t\). Если мы изменим время в правой части, левая часть останется неизменной, потому что времени \(t\) нет. Таким образом, обе стороны должны быть постоянными. Итак, давайте установим левую и правую части равными константе \(K\): 92} &~=~ K \end{align} $$

      Таким образом, мы преобразовали дифференциальных уравнений в частных производных в двух обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оставить комментарий