Метод решения гаусса: Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уравнений). Правила, примеры

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ метод Гаусса | Презентация к уроку:

Слайд 1

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ метод Гаусса

Слайд 2

Цели и задачи: Цель: Научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Задачи: Изучить решение СЛАУ методом Гаусса Рассмотреть возможные варианты решений системы

Слайд 3

Содержание Правило Крамера Метод Гаусса Матричный способ решения СЛАУ

Слайд 4

Введение Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может: 1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Слайд 5

Метод Гаусса Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу!

Слайд 6

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в последовательном исключении во втором уравнении первой неизвестной, в третьем уравнении первой и второй неизвестных и т. д. Пока не получится система треугольного или трапецеидального вида. Метод удобнее применять на расширенной матрице

Слайд 7

Пример Решить методом Гаусса систему уравнений : Запишем расширенную матрицу системы:

Слайд 8

Сначала смотрим на левое верхнее число: Почти всегда здесь должна находиться единица . Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Слайд 9

Теперь нужно получить нули вот на этих местах: Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2 :

Слайд 10

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3 .

Слайд 11

Не нужно считать всё сразу и одновременно . Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО :

Слайд 12

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»: В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

Слайд 13

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2 : В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Слайд 14

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх. В третьем уравнении у нас уже готовый результат: z=4 Смотрим на второе уравнение: y-z=1 . Y-4=1 Y=5 Значение «зет» уже известно, таким образом: X+2*5-4=9 X=3 Ответ: (3;5;4)

Слайд 15

Выводы: Метод Гаусса универсальный, позволяет решать любую СЛАУ. Слау может иметь единственное решение, если расширенная матрица преобразуется в треугольную, причем имеет уравнение вида а* х=в . Слау может иметь бесконечно много решений, если, если матрица преобразуется в трапецеидальный вид. Слау не имеет решения, если расширенная матрица преобразуется в треугольную, причем имеет уравнение вида 0* х=а

Метод исключения Гаусса и метод Гаусса Джордана Компьютерное эссе

Поделись этим: Фейсбук Логотип Facebook Твиттер Логотип Твиттера Реддит Логотип Reddit LinkedIn Логотип LinkedIn WhatsApp Логотип WhatsApp 

Исключение Гаусса считается рабочей лошадкой вычислительной науки для решения системы линейных уравнений. В линейной алгебре исключение Гаусса – это алгоритм решения систем линейных уравнений, нахождения ранга матрицы и вычисления обратной обратимой квадратной матрицы. Исключение Гаусса названо в честь немецкого математика и ученого Карла Фридриха Гаусса. Этот метод был изобретен в Европе независимо Карлом Фридрихом Гауссом при разработке метода наименьших квадратов в его 1809 году. публикация Теория движения небесных тел.

Исключение Гаусса — это точный метод, который решает заданную систему уравнений с n неизвестными путем преобразования матрицы коэффициентов в верхнюю треугольную матрицу и решения n неизвестных путем обратной подстановки.

Метод решения:

Процесс исключения Гаусса состоит из двух частей. Первая часть (прямое исключение) сводит данную систему к треугольной или ступенчатой ​​форме или приводит к вырожденному уравнению без решения, что указывает на то, что система не имеет решения. Делается это с помощью элементарного. На втором этапе используется обратная замена, чтобы найти решение приведенной выше системы. первая часть сводит матрицу к форме эшелона строк, используя элементарные операции над строками, а вторая сводит ее к форме редуцированного эшелона строк или канонической форме строк.

Получите помощь в написании эссе

Если вам нужна помощь в написании эссе, наша профессиональная служба написания эссе всегда готова помочь!

Служба написания эссе

Первоначально для данной системы запишите строку, сумму коэффициентов в каждой строке, в (n+2)-м столбце. Проделайте ту же операцию и с элементами этого столбца. Теперь при отсутствии вычислительных ошибок на любом этапе элемент суммы строки в (n+2)-й строке будет равен сумме элементов соответствующей преобразованной строки.

Алгоритм исключения Гаусса:-

Преобразование столбцов расширенной матрицы по одному в треугольную эшелонированную форму. Столбец, который в данный момент преобразуется, называется сводным столбцом. Двигайтесь слева направо, пусть опорный столбец будет первым столбцом, затем вторым столбцом и т. д. и, наконец, последним столбцом перед вертикальной линией. Для каждого сводного столбца выполните следующие два шага, прежде чем переходить к следующему сводному столбцу:

Найдите диагональный элемент в опорном столбце. Этот элемент называется опорным. Строка, содержащая сводную строку, называется сводной строкой. Разделите каждый элемент в опорной строке на опорную точку (т. е. используйте E.R.O. #1), чтобы получить новую опорную строку с 1 в опорной позиции.

Получите 0 в каждой позиции ниже опорной позиции, вычитая подходящее кратное значение опорной строки из каждой строки под ней (т. е. используя E.R.O. #2).

По завершении этой процедуры расширенная матрица будет иметь форму треугольного эшелона и может быть решена обратной подстановкой.

Шаги, предпринятые в методе исключения Гаусса:

Напишите расширенную матрицу для системы линейных уравнений.

Используйте элементарные операции со строками над расширенной матрицей [A|b] для преобразования A в верхнюю треугольную форму. Если ноль расположен по диагонали, меняйте местами строки, пока на этом месте не окажется ненулевое значение. Если мы не можем этого сделать, остановитесь; система либо бесконечна, либо не имеет решений.

Используйте обратную замену, чтобы найти решение проблемы.

Системы линейных уравнений: исключение Гаусса:-

Нелинейные системы уравнений довольно сложно решать, а линейные системы довольно легко изучать. Существуют численные методы, которые помогают аппроксимировать нелинейные системы линейными в надежде, что решения линейных систем достаточно близки к решениям нелинейных систем.

 Уравнение

a x + b y + c z + d w = h

Где a, b, c, d и h — известные числа, а x, y, z и w — неизвестные числа, называется линейным уравнением. Если h =0, линейное уравнение называется однородным. Линейная система – это набор линейных уравнений, а однородная линейная система – это набор однородных линейных уравнений.

Пример. Используйте метод исключения Гаусса для решения системы уравнений:

Решение: Выполните эту последовательность E.R.O. на расширенной матрице. Установите опорный столбец на столбец 1. Получите 1 в диагональной позиции (подчеркнуто):

Затем добавьте 0 под точкой опоры (подчеркнуто):

Теперь пусть главный столбец = второй столбец. Во-первых, получите 1 в диагональной позиции:

Далее получаем 0 в позиции ниже разворота:

Теперь пусть сводная колонка = третья колонка. Получите 1 в диагональной позиции:

Эта матрица, которая теперь имеет форму треугольного эшелона, представляет:

Решается обратной заменой. Подстановка z = 3 из третьего уравнения во второе дает y = 5, а подстановка z = 3 и y = 5 в первое уравнение дает x = 7. Таким образом, полное решение:

{х = 7, у = 5, г = 3}.

Метод Гаусса-Жордана

Исключение Гаусса-Джордана является вариантом исключения Гаусса. Опять же, мы преобразуем матрицу коэффициентов в другую матрицу, которую гораздо проще решить, и система, представленная новой расширенной матрицей, имеет тот же набор решений, что и исходная система линейных уравнений. В методе исключения Гаусса-Жордана цель состоит в том, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в диагональную матрицу, а нули вводятся в матрицу по одному столбцу за раз. Мы работаем, чтобы исключить элементы как выше, так и ниже диагонального элемента данного столбца за один проход через матрицу.

Метод решения

Gauss-Jordan Этапы исключения:

Напишите расширенную матрицу для системы линейных уравнений.

Используйте элементарные операции со строками над расширенной матрицей [A|b], чтобы преобразовать A в диагональную форму. Если на диагонали стоит ноль, меняйте местами строки до тех пор, пока на этом месте не окажется не ноль. Если вы не можете этого сделать, остановитесь; система либо бесконечна, либо не имеет решений.

Разделив диагональный элемент и правый элемент в каждой строке на диагональный элемент в этой строке, сделайте каждый диагональный элемент равным единице.

При выполнении расчетов вручную многие люди выбирают метод исключения Гаусса-Жордана, а не метод исключения Гаусса, поскольку это позволяет избежать обратной подстановки. Однако позже мы покажем, что исключение Гаусса-Жордана требует немного больше работы, чем исключение Гаусса, и, таким образом, это не метод выбора для решения систем линейных уравнений на компьютере.

Этот метод можно использовать для решения систем линейных уравнений, содержащих два или

больше переменных. Однако система должна быть изменена на расширенную матрицу.

– Этот метод также можно использовать для нахождения обратной матрицы 2×2 или более крупных матриц, 3×3,

4×4 и т. д.

Примечание. Чтобы найти обратную матрицу, матрица должна быть квадратной.

Расширенная матрица используется для решения системы линейных уравнений.

а1 х + b1 у + c1z = d1

а2 х + b2 у + с2 z = d2

а3х + b3 у + с3z = d3

Система уравнений ƒ

Расширенная матрица ƒ a1 b1 c1 d1

а2 b2 с2 d2

а3 б3 с3 д3

Чтобы записать систему уравнений в расширенной матричной форме, необходимо взять коэффициенты каждой переменной и поместить их в матрицу.

Например, для следующей системы:

3x + 2y – z = 3

х – у + 2z = 4

2x + 3y – z = 3

3 2 -1 3

Расширенная матрица ƒ 1 -1 2 4

2 3 -1 3

Существуют три различные операции, известные как элементарные операции со строками, используемые при решении или сокращении матрицы методом исключения Гаусса-Жордана.

1. Поменять местами два ряда.

2. Добавить одну строку к другой строке или сначала умножить одну строку, а затем добавить ее

к другому.

3. Умножение строки на любую константу больше нуля.

Матрица идентичности — это конечный результат, полученный при сокращении матрицы. Эта матрица

состоит из единиц по диагонали, начиная с первого числа.

-Числа в последней колонке – это ответы системы

уравнений.

1 0 0 3

0 1 0 2 ←⎯⎯Идентификационная матрица для 3×3

0 0 1 5

1 0 0 0 2

0 1 0 0 6

←⎯⎯Идентификационная матрица для 4×4

0 0 1 0 1

0 0 0 1 4

Шаблон продолжается для больших матриц.

Решение системы с помощью Gauss-Jordan

Лучший способ — сначала получить единицы в соответствующем столбце, а затем

с помощью этого, чтобы получить нули в этом столбце.

Очень важно понимать, что не существует точной процедуры, которой нужно следовать при

с использованием метода Гаусса-Жордана для решения системы.

3x + 2y – z = 3

x – y + 2z = 4 Запишите в виде расширенной матрицы.

2x + 3y – z = 3

 

Поделись этим: Фейсбук Логотип Facebook Твиттер Логотип Твиттера Реддит Логотип Reddit LinkedIn Логотип LinkedIn WhatsApp Логотип WhatsApp

Процитировать эту работу

Чтобы экспортировать ссылку на эту статью, выберите стиль ссылки ниже:

• АПА
• ГЛА
• МЛА-7
• Гарвард
• Ванкувер
• Википедия
• ОСКОЛА

UKEssays. (ноябрь 2018 г.). Метод исключения Гаусса и метод Гаусса Джордана. Эссе по компьютерным наукам. Получено с https://www.ukessays.com/essays/computer-science/gaussian-elimination-method-and-gauss-jordan-method-computer-science-essay.php?vref=1 Ссылка скопирована в буфер обмена.

«Метод исключения Гаусса и метод Гаусса Джордана по компьютерным наукам». ukessays.com. 11 2018. UKEssays. 03 2023 php?vref=1>. Ссылка скопирована в буфер обмена.

«Метод исключения Гаусса и метод Гаусса Джордана по компьютерным наукам». UKEssays. ukessays.com, ноябрь 2018 г. Интернет. 21 марта 2023 г. . Ссылка скопирована в буфер обмена.

UKEssays. Ноябрь 2018 г. Метод исключения Гаусса и метод Гаусса Джордана Компьютерное эссе. [В сети]. Доступно по адресу: https://www.ukessays.com/essays/computer-science/gaussian-elimination-method-and-gauss-jordan-method-computer-science-essay.php?vref=1 [По состоянию на 21 марта 2023 г.] . Ссылка скопирована в буфер обмена.

UKEssays. Метод исключения Гаусса и метод Гаусса Джордана. Эссе по компьютерным наукам [Интернет]. ноябрь 2018 г. [По состоянию на 21 марта 2023 г.]; Доступно по адресу: https://www.ukessays.com/essays/computer-science/gaussian-elimination-method-and-gauss-jordan-method-computer-science-essay.