Методом крамера матрица: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

36Risolvere per ?cos(x)=1/27Risolvere per xsin(x)=-1/28Преобразовать из градусов в радианы2259Risolvere per ?cos(x)=( квадратный корень из 2)/210Risolvere per xcos(x)=( квадратный корень из 3)/211Risolvere per xsin(x)=( квадратный корень из 3)/212Графикg(x)=3/4* корень пятой степени из x 13Найти центр и радиусx^2+y^2=914Преобразовать из градусов в радианы120 град. 2+n-72)=1/(n+9)

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Выполнил:

ученик 7 «Г» класса лицея № 86 г. Ярославля

Кукушкин Евгений

Учитель:

Кукушкина А. В.

Цель проекта:

• Выяснить практическую значимость метода Крамера при решении систем линейных уравнений

Задачи проекта:

• Познакомиться с методом Крамера для решения систем линейных уравнений
• Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера
• Определить , может ли облегчить этот метод решение систем линейных уравнений
• Исследовать систему линейных уравнений на количество решений , используя метод Крамера
• Рассмотреть задачи на практическое применение метода Крамера

Габриэль Крамер

• Швейцарский математик
• Родился 31. 07.1704 в Женеве
• Ученик и друг Иоганна Бернулли
• Один из создателей линейной алгебры

Габриэль Крамер

Самая известная из работ Крамера — трактат «Введение в анализ алгебраических кривых» , опубликованная в 1750 году.

Для доказательства одной из теорем он строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера .

G A B R I E L C R A M E R

Метод Крамера

Крамер рассматривал систему из линейных уравнений c

 

неизвестными

 

коэффициенты при переменной

 

коэффициенты при переменной

 

коэффициенты при переменной

 

свободные члены

 

Метод Крамера

Рассмотрим систему из 2-ух линейных уравнений с 2-мя неизвестными

 

коэффициенты при переменной

 

коэффициенты при переменной

 

свободные члены

 

Метод Крамера

При решении системы из линейных уравнений c

 

неизвестными , Крамер использовал понятие

матрицы размером

 

Метод Крамера

Что такое матрица?

Матрицей размером называется прямоугольная таблица чисел

 

 

, состоящая из строк и столбцов

 

Метод Крамера

Что такое квадратная матрица?

Квадратная матрица – матрица размером

 

 

, состоящая из строк и столбцов

 

Метод Крамера

Составим квадратную матрицу

из коэффициентов при неизвестных

 

 

Метод Крамера

 

Что делать дальше?

Крамер:

« Найдите определитель

полученной матрицы»

 

Ученик:

«Что такое определитель? »

 

Крамер:

« Определитель – число . Для матрицы размером оно

находится по правилу: »

Метод Крамера

Ученик:

«Что-то я не очень понял…»

Крамер:

«Тогда смотри!»

 

Крамер:

«Умножаем элементы главной диагонали »

«Вычитаем произведение элементов побочной диагонали »

Метод Крамера

Крамер:

 

«Потренируйтесь: Найдите определитель матрицы »

Ученик:

«»

 

Крамер:

«Молодцы! Можем продолжить обучение!»

Метод Крамера

Крамер:

 

«Если определитель матрицы , то система имеет

единственное решение »

Ученик:

«Как же его найти?»

Крамер:

 

«,

где – определитель, полученный из определителя

заменой 1-го столбца на столбец свободных членов

Метод Крамера

Ученик:

«Я кажется понял!»

«,

 

где – определитель, полученный из определителя

заменой 2-го столбца на столбец свободных членов»

Крамер:

«Молодец!»

Метод Крамера

Крамер:

«Решите систему уравнений: »

 

Ученик:

«Составляем матрицу и находим ее определитель»

 

Метод Крамера

Крамер:

«Решите систему уравнений: »

 

Ученик:

«Составляем матрицу и находим ее определитель»

 

 

 

система имеет

 

единственное решение

Метод Крамера

Крамер:

«Решите систему уравнений: »

 

Ученик:

 

«Составляем матрицу и находим ее определитель»

 

 

 

Метод Крамера

Крамер:

«Решите систему уравнений: »

 

Ученик:

 

«Составляем матрицу и находим ее определитель»

 

 

 

Метод Крамера

Крамер:

«Решите систему уравнений: »

 

Ученик:

«Ответ: »

 

Крамер:

«Замечательно!»

Замеряем время решения

Для проведения опыта были выбраны три системы приведенные к виду:

 

Все системы я решал тремя способами :

• методом подстановки
• методом алгебраического сложения
• методом Крамера

Время решения каждого способа фиксировал

Замеряем время решения

Исследование системы линейных уравнений на количество решений

Количество решений системы

Система из 2-ух линейных уравнений с 2-мя неизвестными , может

• иметь единственное решение
• иметь бесконечное множество решений
• не иметь решений

 

Количество решений системы

Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:

 

 

 

любое, любое

 

Система имеет бесконечное множество решений

Количество решений системы

Решим систему уравнений методом Крамера:

 

1) Находим определитель матрицы при неизвестных

 

Количество решений системы

Решим систему уравнений методом Крамера:

 

2) Находим определитель матрицы

 

 

Количество решений системы

Решим систему уравнений методом Крамера:

 

3) Находим определитель матрицы

 

 

Количество решений системы

Решения системы уравнений:

 

Метод

Метод

Сложение

Сложение

Крамер

Кол-во решений

Кол-во решений

Крамер

Гипотеза!

Количество решений системы

Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:

 

 

 

,

 

Система не имеет решений

Количество решений системы

Решим систему уравнений методом Крамера:

 

1) Находим определитель матрицы при неизвестных

 

Количество решений системы

Решим систему уравнений методом Крамера:

 

2) Находим определитель матрицы

 

 

Количество решений системы

Решим систему уравнений методом Крамера:

 

3) Находим определитель матрицы

 

 

Количество решений системы

Решения системы уравнений:

 

Метод

Метод

Сложение

Сложение

Крамер

Кол-во решений

Кол-во решений

Крамер

Гипотеза!

Количество решений системы

Решения системы уравнений:

 

Значения определителей

Значения определителей

Количество решений

Количество решений

Единственное решение

Единственное решение

Бесконечно много решений

Бесконечно много решений

Решений нет

Решений нет

Применение метода Крамера к решению систем линейных уравнений с параметром

Системы с параметром

Найдите все значения параметра при которых система:

 

а) имеет единственное решение

б) не имеет решений

в) имеет бесконечно много решений

 

Системы с параметром

Найдите все значения параметра при которых система:

 

а) имеет единственное решение

 

Система имеет единственное решение, если

 

 

 

 

Системы с параметром

 

Найдите все значения параметра при которых система:

б) система не имеет решений

 

Система не имеет решений, если

 

Системы с параметром

 

Найдите все значения параметра при которых система:

б) система не имеет решений

 

 

 

 

Системы с параметром

 

Найдите все значения параметра при которых система:

б) система не имеет решений

 

 

Системы с параметром

Найдите все значения параметра при которых система:

 

в) имеет бесконечно много решений

 

Система имеет бесконечно много решений, если

 

Системы с параметром

Найдите все значения параметра при которых система:

 

в) имеет бесконечно много решений

 

 

Выводы:

В результате работы я

• научился решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера
• выяснил , что решение систем методом Крамера значительно упрощает решение и сокращает время решения системы
• исследовал систему двух линейных уравнений на количество решений
• рассмотрел решение систем линейных уравнений с параметром , используя метод Крамера

Перспективы работы:

В дальнейшем я планирую

• научиться решать системы трех (четырех) систем линейных уравнений с тремя (четырьмя) переменными
• продолжить работу по решению систем уравнений с параметром, используя метод Крамера

Спасибо за внимание!

Источники информации

• http://www. peoples.ru/science/mathematics/gabriel_cramer /

Метод Крамера

Крамер рассмотрел систему произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей. Решение системы он представил в виде столбца дробей с общим знаменателем — определителем матрицы. Термина «определитель» (детерминант) тогда ещё не существовало (его ввёл Гаусс в 1801 году), но Крамер дал точный алгоритм его вычисления: алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, по одному из каждой строки и каждого столбца. Знак слагаемого в этой сумме, по Крамеру, зависит от числа инверсий соответствующей подстановки индексов: плюс, если чётное

 

определителей и правило Крамера | безграничная алгебра |

Определители квадратных матриц 2 на 2

Определитель квадратной матрицы

2×22\times 22×2

 – это математическая конструкция, используемая при решении задач, которая находится по специальной формуле.

Цели обучения

Потренируйтесь находить определитель матрицы

2×22\times 22×2

Основные выводы

Ключевые моменты

Ключевые термины

• определитель : Уникальная скалярная функция над квадратными матрицами, которая является дистрибутивной при умножении матриц, полилинейна в строках и столбцах и принимает значение 1 для единичной матрицы. Его аббревиатура «

  det⁡\detdet

  ».

Что такое определитель?

Матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений, и определитель может использоваться для решения этих уравнений. Использование определителей в исчислении включает определитель Якоби в правиле замены переменных для интегралов функций многих переменных. Детерминанты также используются для определения характеристического многочлена матрицы, что важно для задач на собственные значения в линейной алгебре. В аналитической геометрии определители выражают знаковые

nnn

-мерные объемы

nnn

-мерные параллелепипеды. Иногда определители используются просто как компактная запись для выражений, которые в противном случае было бы громоздко записывать.

Можно доказать, что любая матрица имеет единственную обратную, если ее определитель отличен от нуля. Также можно доказать различные другие теоремы, в том числе то, что определитель произведения матриц всегда равен произведению определителей; и определитель эрмитовой матрицы всегда действителен.

Определитель матрицы

[A][A][A]

обозначается как

det⁡(A)\det(A)det(A)

,

det⁡ A\det\ Adet A

, или

∣A∣\left | А \право |∣А∣

. В случае, когда элементы матрицы выписаны полностью, определитель обозначается путем окружения элементов матрицы вертикальными чертами вместо скобок или круглых скобок матрицы.

Например, определитель матрицы

[abde]\begin{bmatrix} a & b \\ d & e \end{bmatrix}[ad​be​]

пишется

∣abde∣\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}∣

∣​ad​be​∣

∣​

.

Определитель матрицы 2 на 2

В линейной алгебре определитель — это значение, связанное с квадратной матрицей. Его можно вычислить из элементов матрицы с помощью определенного арифметического выражения, показанного ниже:

Для

2×22 \times 22×2

матрица,

[abcd]\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}[ac​bd​]

,

определитель

∣abcd∣\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}∣

∣​ac​bd​∣

∣​

 определяется как

ad-bcad-bcad-bc

.

Пример 1. Найдите определитель следующей матрицы:

[4−275]\displaystyle \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 7 & 5 \end{bmatrix}[47​−25​]

Определитель

∣4−275∣\begin{vmatrix} 4 & -2\\ 7 & 5 \end{vmatrix}∣

∣​47​−25​∣

∣​

равен: 4⋅5)−(−2⋅7)=20−(−14)=34\displaystyle \начать{выравнивать} (4 \cdot 5) – (-2 \cdot 7)&= 20 – (-14)\\ &=34 \end{align}(4⋅5)−(−2⋅7)​=20−(−14)=34​​

Кофакторы, миноры и дополнительные детерминанты

Кофактор записи

(i,j)(i,j)(i,j)

матрицы

AAA

— минор со знаком этой матрицы.

Цели обучения

Объясните, как использовать минорные матрицы и матрицы кофакторов для вычисления определителей

Ключевые выводы

Ключевые точки

Ключевые термины

• кофактор : Знаковый минор записи матрицы.
• младший : Определитель некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из матрицы

  AAA

  путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов.

Кофактор и минор: определения

Кофактор

В линейной алгебре кофактор (иногда называемый дополнением) описывает конкретную конструкцию, которая полезна для вычисления как определителя, так и обратной квадратной матрицы. В частности, кофактор записи

(i,j)(i,j)(i,j)

матрицы, также известной как

(i,j)(i,j)(i,j) Кофактор

этой матрицы является минорным знаком этой записи.

Кофактор 9{i+j}M_{ij}Cij​=(−1)i+jMij​

Незначительный

Чтобы узнать, что такое знаковый минор, нам нужно знать, что такое минор матрицы. В линейной алгебре минор матрицы

AAA

является определителем некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из

AAA

путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов. Миноры, полученные удалением всего одной строки и одного столбца из квадратных матриц (первые миноры), необходимы для вычисления матрицы 9Кофакторы 0035.

let

AAA

BE

M × NM \ Times NM × N

и

KKK

Интеллект с

0 5 0 66 0

и

k≤nk \leq nk≤n

.

K × KK \ Times KK × K

MINAL

AAA

– это детерминант

K × KK \ Times KK × K

Матрица, полученная из

AAA

с помощью DELEDTING

.0005

m-km-km-k

строк и

n-kn-kn-k

столбцов.

Вычисление определителя

Определитель любой матрицы можно найти, используя ее знаковые миноры. Определитель — это сумма миноров со знаком любой строки или столбца матрицы, масштабированных по элементам в этой строке или столбце.

Расчет миноров

Для нахождения определителя заданного минора матрицы A используются следующие шаги:

1. Выберите запись

   aija_{ij}aij​

   из матрицы.
2. Вычеркнуть записи, лежащие в соответствующей строке

   iii

   и столбце

   jjj

   .
3. Переписать матрицу без отмеченных элементов.
4. Получите определитель этой новой матрицы.

MijM_{ij}Mij​

называется второстепенным для записи

aija_{ij}aij​

.

Примечание: Если

i+ji+ji+j

четное число, то кофактор совпадает с его минором:

Cij=MijC_{ij}=M_{ij}Cij​=Mij​

. В противном случае он равен аддитивной величине, обратной своему минору: 

Cij=-MijC_{ij}=-M_{ij}Cij​=-Mij​

Вычисление определителя

Мы найдем определитель следующей матрицы A, вычислив определители ее сомножителей для третьего, самого правого столбца, а затем умножив их на элементы этого столбца.

[147305−1911]\displaystyle \begin{bmatrix} 1 и 4 и 7\\ 3 & 0 & 5\\ -1& 9&11\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​13−1​409​7511​⎦

⎤​

В качестве примера вычислим определитель минора

M23M_{23}M23​

5 , которая является определителем матрицы

2×22 \times 22×2

, образованной удалением

222

-й строки и

333

-го столбца. Черная точка представляет элемент, который мы удаляем.

∣14∙∙∙∙−19∙∣=∣14−19∣=(9−(−4))=13\displaystyle \начать{выравнивать} \begin{vmatrix} 1 & 4 & \bullet\\ \bullet& \bullet& \bullet\\ -1& 9&\bullet \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & 4\\ -1&9 \end{vmatrix}\\ &=(9-(-4))\\&=13 \end{align}∣

∣​1∙−1​4∙9​∙∙∙​∣

∣​​=∣

∣​1−1​49​∣

∣​=(9− (−4))=13​

Поскольку

i+j=5i+j=5 i+j=5

 является нечетным числом, кофактор является аддитивным, обратным его минору: 

−(13 )=−13-(13)=-13−(13)=−13

Умножаем это число на

a23=5a_{23}=5a23​=5

, что дает

−65-65−65

.

Тот же процесс проводится, чтобы найти детерминанты

C13C_ {13} C13

и

C33C_ {33} C33

, которые затем умножаются на

A13A_ {13} A13

44444 и

a33a_{33}a33​

соответственно. Затем определитель находится путем суммирования всех этих значений:

det⁡A=a_13det⁡C_13+a_23det⁡C_23+a_33det⁡C_33=7⋅27−5⋅13+11⋅−12=−8\begin {align} \ det{A} &= a\text{\textunderscore}{13}\det{C\text{\textunderscore}{13}}+a\text{\textunderscore}{23}\det{C\text{\textunderscore {23}}+a\text{\textunderscore}{33}\det{C\text{\textunderscore}{33}} \\ &= 7\cdot27-5\cdot13+11\cdot-12 \\& =-8 \end{align}detA​=a_13detC_13+a_23detC_23+a_33detC_33=7⋅27−5⋅13+11⋅−12=−8​​

Правило Крамера

Правило Крамера использует определители для решения уравнения

Ax=bAx=bAx=b

, когда

AAA

является квадратной матрицей.

Цели обучения

Используйте правило Крамера для решения одной переменной в системе линейных уравнений

Основные выводы

Ключевые моменты

• Правило Крамера работает только с квадратными матрицами, которые имеют ненулевой определитель и единственное решение.
• Рассмотрим линейную систему

  {ax+by=ecx+dy=f\left\{\begin{matrix} ax+by & ={\color{Red}e}\\ cx+dy & ={\color{Red }f} \end{matrix}\right.{ax+bycx+dy​=e=f​

  , что в матричном формате равно

  [abcd][xy]=[ef]\begin{bmatrix}a&b\\c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{Red}e}\\{\color{Red}f}\end{bmatrix}[ac ​bd​][xy​]=[ef​]

  . Предположим, что определитель отличен от нуля. Затем

  xxx

   и

  yyy

   и находятся по правилу Крамера:

  x = ∣ebfd∣∣abcd∣=ed-bfad-bcx=\frac{\begin{vmatrix}{\color{Red}e}&b\\{\color{Red}f}&d\end{vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} x = ∣

  ∣​ ac​bd​∣

  ∣​∣

  ∣​ef​bd​∣

  ∣​=ad-bced-bf​

    и

  y=∣aecf∣∣abcd∣=af-ecad-bcy= frac{\begin{vmatrix}a&{\color{Red}e}\\c&{\color{Red}f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}= \ frac {a {\ color {Red} f} – {\ color {Red} e} c} {ad-bc} y = ∣

  ∣​ac​bd​∣

  ∣​∣

  ∣​ac​ef​∣

  ∣​=ad-bcaf-ec​

  .
• Правило Крамера эффективно для решения небольших систем и может быть вычислено довольно быстро; однако по мере роста системы вычисление новых определителей может быть утомительным.

Ключевые термины

• определитель : Уникальная скалярная функция над квадратными матрицами, дистрибутивная при умножении матриц, полилинейная в строках и столбцах и принимающая значение

  111

  для единичной матрицы. Его аббревиатура «

  det⁡\detdet

  ».
• квадратная матрица : Матрица, имеющая такое же количество строк, как и столбцов.

«Правило Крамера» — это еще один способ решения системы линейных уравнений с матрицами. Он использует формулу для расчета решения системы с использованием определения определителей.

Правило Крамера:  Определение

Правило Крамера  – это явная формула для решения системы линейных уравнений, в которой столько уравнений, сколько неизвестных, т.  е. квадратная матрица, действительная, если система имеет единственное решение. Он выражает решение через определители (квадратной) матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее путем замены одного столбца вектором правых частей уравнений.

Правило Крамера:  Формула

Правила для

2×22\times 22×2

 Матрица

Рассмотрим линейную систему:

[abcd][xy]=[ef]\displaystyle \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{Red}e}\\{\color{Red} f}\end{bmatrix}[ac​bd​][xy​]=[ef​]

Предположим, что определитель не равен нулю. Тогда

xxx

и

yyy

можно найти по правилу Крамера:

x=∣ebfd∣∣abcd∣=ed-bfad-bc\displaystyle x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix }} = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} x = ∣

∣​ac​bd​∣

∣​∣

∣​ef​bd​∣

∣​=ad-bced-bf​

И:

∣daf=∣cab=∣∣ec af-ecad-bc\displaystyle y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix }} = \ frac {a {\ color {Red} f} – {\ color {Red} e} c} {ad-bc} y = ∣

∣​ac​bd​∣

∣​∣

∣​ac​ef​∣

∣​=ad-bcaf-ec​

Правила для

3×33 \times 33×3

 Matrix

Дано:

[abcdefghi][xyz]=[jkl]\displaystyle \begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{Red}j}\\ {\color{Red}k}\\{\color{Red}l}\end{bmatrix}⎣

⎡​adg​beh​cfi​⎦

⎤​⎣

⎡​xyz​⎦

⎤ = ⎣

⎡ JKL ⎦

⎤

, затем значения

XXX

,

YYY

и

ZZZ

можно найти следующим образом:

и

можно найти следующим образом:

и

. 0005

x=∣jbckeflhi∣∣abcdefghi∣y=∣ajcdkfgli∣∣abcdefghi∣z=∣abjdekghl∣∣abcdefghi∣\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}{\color{Red}j}&b&c\\{\color{Red}k}&e&f\\{\color{Red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin {vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}} \четверка y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} j} & c \\ d & {\ color {Red} k} & f \\ g & {\ color {Red} l} & i \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} \четверка z = \ frac {\ begin {vmatrix} a & b & {\ color {Red} j} \\ d & e & {\ color {Red} k} \\ g & h & {\ color {Red} l} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}x=∣

∣​adg​beh​cfi​∣

∣​∣

∣​jkl​beh​cfi​∣

∣​​y=∣

∣​​​​y=∣

∣​9adg​0 0 90 ​cfi ∣

∣ adg jkl cfi ∣

∣ z = ∣

∣ adg beh cfi ∣

∣

∣ adg Beh jkl ∣

∣

Использование правила Крамера

Пример 1.

Решите систему с помощью правила Крамера:

{3x+2y=10−6x+4y=4\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y & = 10\\ -6x+4y & = 4 \end{matrix}\right.{3x+2y−6x+4y​=10=4​

В матричном формате:

[32−64][xy]=[104]\displaystyle \begin{bmatrix}3&2\\-6&4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10\\4\end{bmatrix}[3−6​24 ​][xy​]=[104​]

x=∣ebfd∣∣abcd∣=ed-bfad-bc\displaystyle \начать{выравнивать} x&=\frac{\begin{vmatrix}{\color{Red}e}&b\\{\color{Red}f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix }}\\&=\frac{{\color{Red}e}db{\color{Red}f}}{ad-bc}\end{align}x​=∣

∣​ac​bd​∣

∣​∣

∣​ef​bd​∣

∣​=ad-bced-bf​​

x=∣10244∣∣32−64∣=10⋅4−2⋅4(3⋅ 4)−[2⋅(−6)]=3224=43\displaystyle \начать{выравнивать} x&=\frac{\begin{vmatrix}10&2\\4&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2\\-6&4\end{vmatrix}}\\&=\frac{10\cdot 4-2 \cdot 4}{(3 \cdot 4) -[2 \cdot (-6)]}\\&=\frac{32}{24}=\frac{4}{3}\end{align}x​ =∣

∣​3−6​24​∣

∣​∣

∣​104​24​∣

∣​​=(3⋅4)−[2⋅(−6)]10⋅4 −2⋅4​=2432​=34​​

y=∣aecf∣∣abcd∣=af-ecad-bc\displaystyle \начать{выравнивать} y&=\frac{\begin{vmatrix}a&{\color{Red}e}\\c&{\color{Red}f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix }}\\ & = \ frac {a {\ color {Red} f} – {\ color {Red} e} c} {ad-bc} \end{выравнивание}y​=∣

∣​ac​bd​∣

∣​∣

∣​ac​ef​∣

∣​=ad-bcaf-ec​​

y=∣310-63∣4∣ ∣=(3⋅4)−[10⋅(−6)](3⋅4)−[2⋅(−6)]=7224=3\displaystyle \начать{выравнивать} y&=\frac{\begin{vmatrix}3&10\\-6&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2\\-6&4\end{vmatrix}}\\ &=\frac{(3 \cdot 4)-[10 \cdot(-6)]}{(3 \cdot 4)-[2 \cdot (-6)]}\\ &=\фракция{72}{24}=3 \end{align}y​=∣

∣​3−6​24​∣

∣​∣

∣​3−6​104​∣

∣​​=(3⋅4)−[2 ⋅(−6)](3⋅4)−[10⋅(−6)]​=2472​=3​

Решение системы:

(43,3)(\frac{4}{3}, 3)(34​,3)

.

Лицензии и атрибуты

Контент под лицензией CC, совместно используемый ранее

• Курирование и пересмотр. Автор : Boundless.com. Лицензия : Общественное достояние: Неизвестно Авторские права

Лицензионный контент CC, Конкретное указание авторства

• Определяющее. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: определитель Attribution-ShareAlike
• . Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Незначительная (линейная алгебра). Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Кофактор (линейная алгебра). Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• минор. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• кофактор. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Определяющее. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Правило Крамера. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• определитель. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• квадратная матрица. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike

Урок Видео: Правило Крамера | Нагва

Расшифровка видео

В этом видео мы узнаем, как использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений. Итак, что мы собираемся сделать, это использовать определители для решения систем двух линейных уравнений, использовать определители для решения системы трех линейных уравнений, а также понимать и использовать правило Крамера.

Итак, правило Крамера — полезный способ помогает нам решать одновременные уравнения. И одна удобная вещь об этом что это позволяет нам решать одну переменную, а не целую систему уравнений. Так как же это произошло? Ну, правило Крамера названо в честь Габриэль Кремер. Он был женевским математиком. И то, что он изобрел, было способом решение уравнения с использованием матриц или матричных уравнений и фактически определители этих матриц. Теперь, прежде чем мы рассмотрим некоторые примеры того, как использовать правило Крамера, мы просто немного взглянем на само правило, как оно работает и что означает.

Так что на это тоже стоит обратить внимание отметить, что часто можно увидеть и использовать разные обозначения. Так что на этой странице вы даже можете увидеть что мы имеем в фактическом правиле Крамера в пузыре, у нас есть обозначение, которое использует Δ для нашей матрицы, поэтому он говорит определитель матрицы Δ sub 𝑥, тогда как также вы можете написать это как D sub 𝑥. Это означает, что определитель матрица.

Итак, если мы посмотрим на правило, то правило Крамера говорит нам, что если у нас есть система уравнений ⁠— то в В этом случае у нас есть три переменные, 𝑥, 𝑦 и 𝑧, но мы рассмотрим две и трех переменных в этом уроке ⁠— тогда мы сможем найти решения уравнений с использованием 𝑥 равно определителю матрицы Δ sub 𝑥 над определителем матрица Δ. 𝑦 равно определителю матрица ∆ sub 𝑦 над определителем матрицы ∆. А 𝑧 равно определителю матрицы ∆ sub 𝑧 над определителем матрицы ∆. Так что все отлично. Но что это на самом деле иметь в виду? Что ж, давайте посмотрим. ⁠

Ну, давайте представим, что у нас есть система двух уравнений и переменных были 𝑥 и 𝑦. Итак, у нас есть три 𝑥 плюс два 𝑦 равно 23, а два 𝑥 минус четыре 𝑦 равно минус 22. Что ж, тогда мы могли бы сделать следующее: фактически, установите это как матричное уравнение. Таким образом, у нас будет матрица три, два, два и минус четыре. А это матрица нашего коэффициенты, где наши 𝑥-коэффициенты являются первым столбцом, а наши 𝑦-коэффициенты — второй столбец. Они умножаются на матрицу 𝑥, 𝑦 — наши переменные. И тогда это будет равно матрица ответов 23, отрицательное 22. И мы получаем это, потому что это наши постоянные значения или наши ответы на наши уравнения. Хорошо, отлично. Итак, мы сейчас на этом этапе, все еще не совсем по нашим правилам. Итак, что нам нужно от вас сейчас?

Что ж, мы могли представить, что матрица есть матрица ∆. Итак, у нас есть матрица коэффициентов здесь. Таким образом, мы будем знать, как знаменателя, если бы мы хотели найти нашу 𝑥-переменную, у нас был бы определитель матрица три, два, два, отрицательное четыре. Итак, это имеет смысл. Но что будет с нашим числителем быть? Что это за матрица ∆ sub 𝑥? Ну, матрица Δ sub 𝑥 — это то, что мы получим, если подставим наши ответы, поэтому значения из нашей матрицы ответов, вместо столбца, содержащего наши 𝑥-коэффициенты, что дало бы нам матрица 23, два, минус 22, минус четыре, потому что мы видим, что 𝑦-коэффициенты останется прежним. Поэтому, что мы могли бы сказать, это что наше 𝑥-решение будет равно определителю матрицы 23, два, минус 22, минус четыре над определителем матрицы три, два, два, минус четыре.

Что мы можем сделать, так это применить Правило Крамера для нахождения 𝑦-решения. И мы сделаем это в некоторых примеры, к которым мы придем. Это просто, чтобы показать, как все это работает. Теперь, прежде чем мы перейдем непосредственно к несколько примеров, очевидно, здесь мы много говорим о детерминантах. Что я хочу сделать, это быстро бежать через, как найти определитель матриц два на два и три на три. Это то, что вы должны уже знаю, так что это будет просто очень краткий обзор.

Ну, во-первых, если подумать о матрице два на два, если у нас есть матрица два на два 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, то определитель этого будет равен 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐. Итак, что мы делаем, это перекрестное умножение и вычесть. А потом для три на три матрица, если мы хотим найти определитель, например, матрицы 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, это равно 𝑎, умноженному на определитель подматрица 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 минус 𝑏, умноженная на определитель подматрицы 𝑑, 𝑓, 𝑔, 𝑖 плюс 𝑐, умноженное на определитель подматрицы 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ.

Итак, важный ключевой момент, Помните, что у нас есть положительное, отрицательное, положительное, когда мы смотрим на коэффициенты, прежде чем мы умножим определители наших подматриц. А также мы собираемся быстро напомнить сами, как мы находим подматрицу два на два. Итак, если мы возьмем элемент 𝑎, то мы удаляем столбец и строку, в которой он находится. Тогда у нас остается подматрица два на два 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖. Итак, теперь мы резюмировали те и мы также рассмотрели, как использовать правило Крамера. Сейчас мы рассмотрим некоторые Примеры. А что в нашем первом примере мы рассмотрим одно из условий правила Крамера.

Полезно ли правило Крамера для нахождения решения систем линейных уравнений, в которых существует бесконечное множество решения?

Что ж, мы могли бы ответить на этот вопрос очень быстро, потому что мы могли бы просто сказать нет, потому что правило Крамера бесполезно для когда есть система линейных уравнений, где существует бесконечное множество решения. И это потому, что если мы делаем матричное уравнение, то оно нежизнеспособно, когда матрица сингулярна. Матрица сингулярна, когда представляет собой бесконечное множество решений. Но это немного коротко отвечать. Давайте посмотрим, почему это дело. Итак, как мы уже говорили, если система уравнений имеет сингулярную матрицу, то существует множество решений с бесконечное множество решений. Но откуда мы знаем или каковы свойства сингулярной матрицы?

Ну что мы знаем о единственном числе матрица состоит в том, что ее определитель равен нулю. Итак, если мы посмотрим на Правило Крамера, и мы хотим определить одну из трех переменных 𝑥, 𝑦 или 𝑧, тогда что мы можем видеть, так это то, что в правиле у нас есть определитель матрицы как знаменатель. Ну, если бы это была сингулярная матрица, это будет ноль. И если у нас есть что разделить на ноль, то это означает, что наши ответы не могут быть определены. Вот почему мы можем сказать, что нет, Правило Крамера не годится для поиска решений систем линейных уравнений. уравнения, у которых существует бесконечное множество решений.

Хорошо, отлично. Мы ознакомились с условиями к которому применимо правило Крамера. Итак, теперь давайте посмотрим на некоторые примеры того, как мы используем правило Крамера.

Используйте определители для решения система минус восемь 𝑥 минус четыре 𝑦 равно минус восемь и девять 𝑥 минус шесть 𝑦 равно минус девять.

Итак, первое, что мы хотим сделать с этой задачей фактически устанавливается матричное уравнение нашей системы уравнения. И когда мы это делаем, что мы будет матрица минус восемь, минус четыре, девять, минус шесть умноженное на матрицу 𝑥, 𝑦 равно матрице ответов, а это отрицательно восемь, минус девять. Итак, что мы будем делать, потому что мы хотим использовать определители для решения системы, тогда мы собираемся использовать Правило Крамера. А правило Крамера говорит нам, что 𝑥 равен определителю матрицы ∆ sub 𝑥 над определителем матрица Δ. А затем, чтобы найти 𝑦, он равен определитель матрицы ∆ sub 𝑦 над определителем матрицы ∆.

Но мы могли бы посмотреть на это и подумайте: «Ну, что такое матрица Δ sub 𝑥?» Ну, на самом деле, что это такое матрица, которая формируется, когда мы подставляем матрицу ответов для столбца 𝑥-коэффициенты в нашей исходной матрице. Так, например, в нашей задаче мы замените первый столбец в нашей матрице на матрицу ответов. Поэтому вместо чтения негатива восемь, а затем девять, он читал отрицательную восьмерку, а затем отрицательную девятку. Итак, теперь давайте двигаться прямо и найти наши определители. Итак, прежде всего, мы хотим определитель матрицы минус восемь, минус четыре, девять, минус шесть. Поэтому, когда мы разберемся с этим, мы собираюсь получить отрицательные восемь, умноженные на отрицательные шесть минус отрицательные четыре, умноженные на девять, что даст нам 48 плюс 36. И это равно 84.

И хорошо в этом то, что это также помогает нам проверить, можем ли мы решить нашу систему уравнений, потому что если наша матрица была вырожденной, то определитель будет равен нулю. Итак, мы видим, что это не дело в этой проблеме здесь. Итак, что у нас будет дальше посмотрите на определитель матрицы Δ sub 𝑥. Ну, то, что мы уже сказали здесь, что такое Δ sub 𝑥, это матрица, которую мы получаем, когда мы подставляем отрицательные восемь и отрицательные девять, наша матрица ответов, вместо наших 𝑥-коэффициентов. Итак, мы собираемся получить матрицу минус восемь, минус четыре, минус девять, минус шесть. Итак, для этого определителя, что мы получится минус восемь умножить на минус шесть минус минус четыре умножить на минус девять, что будет равно 12. Ладно, отлично. Итак, еще один определитель для работы вне.

Теперь мы ищем определитель матрицы ∆ sub 𝑦. Чему это будет равно определитель матрицы минус восемь, минус восемь, девять, минус девять. И как прежде, что у нас есть это заменяет в нашей матрице ответов коэффициенты 𝑦. Так что это будет равно минус восемь умножить на минус девять минус минус восемь умножить на девять, что будет равно 144. Хорошо, отлично. Итак, теперь у нас есть все, что нам нужно использовать правило Крамера для решения нашей системы уравнений. Итак, используя правило Крамера, что мы получится 𝑥 равно 12 на 84. Но тогда мы можем разделить числитель и знаменатель на 12. И когда мы это делаем, мы получаем 𝑥 is равно единице больше семи.

Хорошо, отлично. Мы нашли решение для 𝑥. Теперь переходим к 𝑦. Итак, еще раз, используя правило Крамера, мы собираемся получить 𝑦 равно и у нас есть определитель матрицы Δ sub 𝑦 над определителем матрицы Δ, так что это даст нам 144 на 84. Итак, еще раз, что мы можем сделать, это упростить нашу дробь. Мы могли бы сделать это, разделив числитель и знаменатель на 12. И когда мы это делаем, мы получаем 𝑦 is равно 12 на семь или двенадцать седьмых. Таким образом, мы можем сказать, что решения нашего уравнения таковы: 𝑥 равно седьмой и 𝑦 равно двенадцати седьмым.

Хорошо, отлично. Мы рассмотрели пример того, как решить систему двух уравнений. Так что теперь, что мы собираемся сделать, это взять рассмотрим систему трех уравнений с тремя переменными 𝑥, 𝑦 и 𝑧.

Используйте определители для решения система пять 𝑥 равно минус два 𝑦 минус пять плюс три 𝑧, минус три 𝑥 минус 𝑦 плюс один равно двум 𝑧, а два 𝑦 минус 𝑧 равно минус пять 𝑥 плюс три.

Итак, в такой задаче первое, что мы хотим сделать, это переставить наши уравнения так, чтобы переменные в левой части. И тогда у нас есть ответы на правая часть, которые являются числовыми значениями или константами. Таким образом, наше первое преобразованное уравнение имеет вид будет пять 𝑥 плюс два 𝑦 минус три 𝑧 равно минус пять. Тогда для второго уравнения у нас будет минус три 𝑥 минус 𝑦 минус два 𝑧 равно минус единица. И наконец, пять 𝑥 плюс два 𝑦 минус 𝑧 равно трем.

Хорошо, отлично. У нас так, но зачем мы хотим это в этой форме? Мы хотим его в этой форме, чтобы мы могли составить матричное уравнение. И когда мы это делаем, мы получаем матрица пять, два, минус три, минус три, минус один, минус два, пять, два, отрицательный, умноженный на матрицу для наших переменных, которая равна 𝑥, 𝑦, 𝑧. Тогда это равно нашему ответу матрица минус пять, минус один, три. Хорошо, отлично. Но как это поможет нам удовлетворить наши цель, которая состоит в том, чтобы решить систему уравнений с помощью определителей? Что ж, мы собираемся использовать Правило Крамера. И то, что говорит нам правило Крамера, что мы можем найти переменные или решения нашей системы уравнений, используя, для Например, 𝑥 равно, то у нас есть определитель матрицы Δ sub 𝑥 над определитель матрицы ∆. И затем этот шаблон продолжается для 𝑦 и 𝑧.

Хорошо, тогда использовать это то, что мы нужно сделать, это разработать наши определители. Первый определитель, который мы собираемся work является определителем Δ, который будет нашей матрицей коэффициентов. Итак, что мы собираемся сделать, это выяснить определитель матрицы пять, два, минус три, минус три, минус один, минус два, пять, два, минус один. Так что это будет равно пяти умножить на определитель подматрицы минус один, минус два, два, минус один минус два, умноженный на подматрицу минус три, минус два, пять, минус один минус три, умноженное на подматрицу минус три, минус один, пять, два, помня, что когда мы находим определители, коэффициенты идут положительный, отрицательный, положительный. И чтобы найти наши подматрицы, мы удалить столбец и строку, в которой находится наш коэффициент.

Хорошо, отлично. Итак, теперь мы вычисляем это. А потом вспоминая, что когда мы выработать определители матриц два на два, мы делаем перекрестное умножение, а затем вычтем, получим пять умножить на один плюс четыре минус два умножить на три плюс 10 минус три умножить на минус шесть плюс пять, что равно два. Так что это здорово, потому что это также говорит нам, что матрица невырожденная. Итак, мы знаем, что существует не будет бесконечного количества решений. И это потому, что если бы было, тогда определитель будет равен нулю. Итак, теперь, что мы собираемся сделать, это расчистите пространство и определите другие определители, которые нам нужно найти.

Итак, теперь нам нужно найти определитель Δ sub 𝑥. И то, как мы это делаем, подставив в значения матрицы ответов коэффициент при 𝑥-значении, так что первый столбец нашей матрицы. Итак, что мы собираемся делать найти определитель этой матрицы. И для этого, что мы будем делать заключается в использовании тех же методов, что и для предыдущего определителя, который дайте нам определяющее значение отрицательного 42. И вы можете увидеть рабочий там. Хорошо, отлично. Итак, еще раз, мы собираемся очистить немного места и посмотрим на наш следующий определитель.

Итак, теперь мы найдем определитель матрицы ∆ sub 𝑦. И это будет там, где мы подставим в нашу матрицу ответов 𝑦-коэффициенты в матрице. Итак, еще раз, используя тот же метод нахождения определителя, у нас будет определитель 112. И снова показана работа здесь. Итак, еще раз, что мы собираемся делать освобождает место для конечного определителя. Так что для финала это будет определитель матрицы ∆ sub 𝑧. Итак, еще раз, мы проходим через тот же метод, чтобы найти определитель нашей матрицы три на три. И то, что это дает нам, является ценностью восемь.

Итак, теперь у нас есть все определителей, нам нужно использовать правило Крамера, чтобы узнать наши переменные 𝑥, 𝑦 и 𝑧. Итак, прежде всего, мы собираемся начать с 𝑥, что будет равно отрицательному значению 42 на два. И мы получаем это, потому что это определитель Δ sub 𝑥 над определителем Δ. Итак, это даст нам значение 𝑥 равняется минус 21. И тогда для 𝑦 у нас будет 112 на два, что даст нам 𝑦-значение 56. И, наконец, мы получим 𝑧 равно восьми больше двух, и это даст нам 𝑧 равно четырем. Таким образом, мы можем сказать, что решения наших систем уравнений: 𝑥 равно отрицательному 21, 𝑦 равно 56 и 𝑧 равняется четырем.

Итак, мы рассмотрели три различные примеры, один из которых помог нам определить одно из свойств правило. Затем мы рассмотрели решение системы уравнений с двумя уравнениями. А сейчас мы только что рассмотрели решить систему из трех уравнений. Итак, теперь давайте подведем итоги ключевые моменты урока.

И первый ключевой момент, если мы есть система уравнений, то что мы хотим сделать, так это получить ответы самостоятельно в правой части. И это для того, чтобы мы могли написать это в виде матричного уравнения с матрицей ответов в правой части равного знак. Затем мы также увидели, что иметь возможность используйте правило Крамера, матрица не должна быть вырожденной. Так это коэффициент матрица. Значит, определитель не равно нулю.

Затем у нас есть правило Крамера и это говорит нам, как мы будем находить наши неизвестные, используя определители. Так, например, если мы хотим найти 𝑥, это будет равно определителю Δ sub 𝑥 над определителем Δ, также помня, что мы можем увидеть здесь другое обозначение, потому что вместо определитель Δ sub 𝑥, мы могли бы просто увидеть D sub 𝑥.