Правило Крамера | Thinkster Math Help
- Образцы математических задач
- Загружаемые файлы PDF
- Практические математические задачи
Что такое правило Крамера?
Правило Крамера — это простой и понятный метод решения системы уравнений. Разработанный Габриэлем Крамером в 18 веке, это метод, который использует только определители для нахождения решения системы линейных уравнений и действителен для любой системы линейных уравнений с n числами, если они имеют единственное решение.
Как использовать эту концепцию?
Чтобы использовать правило Крамера, необходимо выполнить несколько шагов. Начнем с того, что существует условие, при котором правило Крамера нарушается, поэтому первый шаг — найти определитель вашей матрицы коэффициентов (из вашей системы уравнений) и проверить, равен ли определитель 0. (Вы можете использовать любой метод чтобы найти определитель, простая формула для 2×2 или даже Cofactor Expansion).
система уравнений: {a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 → D = |[ a1 b1 a2 b2 ]|
, если D=0, не используйте правило Крамера
, если D≠0, используйте правило Крамера
Если определитель равен 0, то правило Крамера не работает, и вам нужно попробовать другой метод. Это потому, что если он равен 0, то решений либо нет, либо решений бесконечно много. Если оно не равно нулю, то вы можете перейти к следующему шагу, так как это будет означать, что существует единственное решение.
Чтобы найти решение произвольной системы двух линейных уравнений, мы можем просто сказать, что x и y, как показано ниже. D — определитель матрицы коэффициентов, Dx — определитель числителя в решении для x, а Dy — определитель числителя в решении для y.
{a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2
Решения по правилу Крамера (для матрицы 2 на 2):
x=DxDx = \frac{Dx}{D}x=D
Dx
,
y=DyDy = \frac{Dy}{D}y=D
Dy
где:
D = |[ a1 b1 a2 b2]|
Dx = |[c1 b1 c2 b2 ]|
Dy= |[ a1 c1 a2 c2 ]|
Вышеприведенное относится только к системе двух линейных уравнений, однако то же самое можно экстраполировать на систему трех линейных уравнений, как показано ниже:
{a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3
x=DxDx = \frac{Dx}{D}x=D
Dx
, y
=DyDy = \frac{Dy}{D}y=DDy
,
z=DzDz = \frac{Dz}{D}z=D
Dz
D= |[ a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 ]|
Dx = |[ d1 b1 c1 d2 b2 c2 d3 b3 c3]|
Dy= |[ a1 d1 c1 a2 d2 c2 a3 d3 c3 ]|
Примеры математических задач
Вопрос
Попытайтесь решить следующую систему линейных уравнений, используя правило Крамера.
{x + 2y = 8 – x – 2y = -8
Ответ
Просто изучив, вы можете заметить, что приведенные выше два уравнения по сути одинаковы. Чтобы показать это, мы можем найти определитель матрицы коэффициентов и сравнить его с 0:
D = |[ 1 2 – 1 -2 = ad – bc = -2 – (2( -1 )=0
Вопрос
Решите следующую систему линейных уравнений с помощью правила Крамера Если это невозможно, объясните почему
{ 5x + y = 6 – 4x + 12y = 8
Ответ
Сначала мы пытаемся найти D:
D= |[ 5 1 – 4 12 ]| = ad – bc = 5∙12 – ( 1 ∙ -4) = 64≠0
Продолжая, мы попытаемся найти x и y, сначала найдя Dx и Dy:
Dx = |[ c1 b1 c2 b2 ] | = |[ 6 1 8 12]| = ad-bc = 6∙12 – 8∙1 = 64
Dy = |[ a1 c1 a2 c2 ]| = |[ 5 6 -4 8]| = ad – bc = 5∙8 – 6∙ (-4) = 64
Итак:
x=DxD=6464=1x = \frac{Dx}{D} = \frac{64}{64} = 1x =Д
Dx=64
64=1
y=DyD=6464=1y = \frac{Dy}{D} = \frac{64}{64} = 1y=D
Dy=64
64=1
Таким образом, решение (1,1).
Вопрос
Используя правило Крамера, попробуйте решить следующую систему линейных уравнений.
{ -4x + 10y = 18 3x + 4y = -2
Ответ
Сначала попробуем найти определитель D:
D= |[ -4 10 3 4 ]| = ad – bc = -4 ∙ 4 – (3 ∙ 10) = -46 ≠ 0
Продолжая, мы попытаемся найти x и y, сначала найдя Dx и Dy:
Dx= |[ c1 b1 c2 b2]| = |[ 18 10 -2 4 ]| = ad – bc = 18 ∙ 4 – 10 ∙ -2 = 92
Dy = |[ a1 c1 a2 c2]| = |[-4 18 3 -2]| = ad – bc = -4 ∙ -2 -3 ∙ 18 = -46
Итак:
x=DxD=92−46=-2x = \frac{Dx}{D} = \frac{92}{- 46} = -2x=D
Dx=−46
92=−2
y=DyD=−46−46=1y = \frac{Dy}{D} = \frac{-46}{ -46} = 1y=D
Dy=−46
−46=1
Таким образом, решение равно (-2,1).
Вопрос
Попытайтесь решить следующую систему линейных уравнений, используя правило Крамера.
{ 15x – 9y = -3 6x – 8y = 12
Ответ
Сначала мы пытаемся найти D:
D = |[ 15 – 9 6 -8]| = ad – bc = -8 ∙ 15 -( 6∙ -9) = -66 ≠ 0
Продолжая, попытаемся найти x и y, сначала найдя Dx и Dy:
Dx= |[ c1 b1 c2 b2 ]| = |[-3 -9 12 -8 ]| = ad – bc = -3∙ -8 -12 ∙ -9=132
Dy= |[ a1 c1 a2 c2 ]| = |[ 15 -3 6 12 ]| = ad – bc = 15 ∙ 12 -6∙(-3)=198
Итак:
x=DxD=132−66=−2x = \frac{Dx}{D} = \frac{132}{- 66} = -2x=D
Dx=−66
132=−2
y=DyD=198−66=−3y = \frac{Dy}{D} = \frac{198}{- 66} = -3y=D
Dy=−66
198=−3
Таким образом, решение равно (-2,-3).
Загрузите БЕСПЛАТНЫЕ ресурсы по математике
Воспользуйтесь нашими бесплатными загружаемыми ресурсами и учебными материалами для обучения дома.
8 математических хитростей и хитростей, которые превратят вашего «хорошего» студента-математика в чемпиона по математике!
Одна вещь, которой мы учим наших студентов в Thinkster, состоит в том, что есть несколько способов решить математическую задачу. Это помогает нашим ученикам научиться мыслить гибко и нелинейно.
Получить PDFКак сделать так, чтобы ваш ребенок добился больших успехов и стал миллионером
Как родитель, вы надеетесь, что ваш ребенок станет очень успешным и, вероятно, станет следующим Гейтсом, Цукербергом или Мэг Уитман. Чтобы направить ребенка на правильный путь, существует множество навыков и качеств, которые вы можете начать формировать и развивать прямо сейчас. Это закладывает семена будущего успеха. 93
