Методы быстрого счета: A potentially dangerous Request.Path value was detected from the client (?). - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Способы быстрого счета по методу Якова Трахтенберга

Авторы
Руководители
Файлы работы
Наградные документы

Малышева Е.М. 1

1МБОУ Барвихинская СОШ

Толстов Д.А. 1

1МБОУ Барвихинская СОШ

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF

«Не знающие пусть научатся,

а знающие вспомнят еще раз»

Я.Трахтенберг

Введение

Математика всегда была и останется одним из основных школьных предметов, потому что математические знания необходимы всем людям. С ней связана вся наша жизнь: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.

д. Какую бы профессию в дальнейшем не выбрал человек – она так или иначе будет связана с математическими понятиями и задачами. Кроме того, всем обучающимся необходимо сдавать экзамены в 9-м и в 11-м классе, а также успешно переходить из класса в класс, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать, причем быстро и правильно.

Конечно же, в наш век, век новых технологий и развития компьютерной техники как бы неуместно говорить об устном счете, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.

Мы постоянно что-то считаем: минуты до прихода и отхода поезда, недели и дни до наступления каникул или дня рождения, деньги, потраченные на покупки… К вычислениям прибегает человек любой профессии. Повар считает, сколько нужно взять муки, масла и сахара, чтобы испечь вкусные булочки. Учёный с помощью чисел точно описывает научный эксперимент.

Быстрый счет – настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.
Наверняка каждый сталкивался с ситуацией на контрольной, когда до звонка остаются считанные минуты, найдено решение задачи, а времени на вычисления не осталось. [1]

Устным счетом, помогающим развивать память и тренировать навыки, должен владеть каждый. Обучение такому виду умственной деятельности будет успешным, если присутствуют способности, которые совместно с умственной концентрацией помогают сосредоточить внимание на поставленной задаче и удержать в памяти сложные числа; а знание формул, обуславливающих легкость производимых вычислительных действий – практика, которая наряду с постоянными тренировками, позволяет развивать и совершенствовать навыки. [2]

. Тема моей проектной работы – «Способы быстрого счета по методу Якова Трахтенберга». Я выбрала ее, так как считаю, что умение быстро устно считать повысит не только интерес к урокам математики, но и пригодится в жизни.

Цель проекта: изучить методы быстрого счета – метод Якова Трахтенберга, доказать эффективность использования этого метода для упрощения вычислений, а значит и для уменьшения времени на выполнения заданий, создать буклет, в котором собрать основные методы быстрого счета.

Актуальность темы моего проекта состоит в том, что в наше время все чаще на помощь людям приходят калькуляторы, и все большее количество не может быстро считать устно, что влияет на скорость и рациональность решения задач. Всем хорошо известно, что изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное. Здесь уместно вспомнить высказывание М.В. Ломоносова «Математику уж затем учить следует, что она ум в порядок приводит».

Задачи проекта:

Ознакомиться с биографией Якова Трахтенберга.

Рассмотреть приемы быстрого счета по методу Якова Трахтенберга.

Подробно изучить способы умножения любых чисел на множители от нуля до 12 и научиться использовать их для устных вычислений;

Создать памятку с кратким описанием алгоритма вычислений;

Разработать буклет с основными методами устного умножения для применения учениками школ.

Методы.

При работе над проектом я пользовалась следующими методами:

поисковый метод с использованием научной и учебной литературы в библиотеке, поиск необходимой информации в сети Интернет;

практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

анализ и систематизация полученных в ходе исследования данных.

Основная часть

Биография Якова Трахтенберга

К настоящему времени сохранилось мало достоверных фактов из биографии этого великого человека. Точно известно, что родился он в 1888 году в еврейской семье, проживавшей в Одессе, на территории Российской империи. Здесь же он получил среднее образование, после чего юноша отправился продолжать учебу в Петербург, где стал студентом Горного института. Обучение Якова происходило успешно, о чем говорит полученный им диплом с отличием и направление на работу на Обуховский завод. Поступив туда поначалу на рядовую инженерную должность, он, благодаря своему уму и старательности, очень быстро дорос до должности главного инженера завода, где под его руководством стало находиться свыше 11 тысяч рабочих.

Дальнейшую карьеру Трахтенберга сорвали сначала Первая мировая война, а потом разразившаяся в России череда революций. Сам Яков был убежденным пацифистом, однако во время смуты подобные взгляды оказались не в чести. Поэтому молодой перспективный инженер принял решение выехать из страны. Как и множество других вынужденных переселенцев первой волны, он перебрался в Германию, и поселился в Берлине.

Там он нашел работу в издательстве, занимавшемся выпуском пацифистской литературы. Как человек с образованием, он входил в группу экспертов по вопросам России и даже выпустил книгу, рассказывавшую о российской промышленности. Учитывая, что ему самому пришлось привыкать к новому для себя языку, он разработал собственную оригинальную методику изучения различных иностранных языков. Интересно, что данная методика успешно используется и в настоящее время. В Германии Трахтенберг создал семью, взяв в жены девушку Алис, происходящую из аристократической семьи [3].

Однако вскоре и на новом месте жизнь круто изменилась. К власти в Германии пришло нацистское правительство, управляемое Адольфом Гитлером. Чете Трахтенбергов, открыто выступавшей против нацизма, пришлось срочно выехать из Германии в Австрию. Здесь грамотного специалиста приняли в Вене, предложив должность в редакции научного журнала. Но вскоре расширявшая границы гитлеровская Германия дотянулась и до Австрии, и беженцам из Германии пришлось срочно искать новое безопасное место для жизни.

Трахтенберги выбрали Югославию, но и туда в 1941 году дотянулись щупальца нацизма.

Яков и его супруга были арестованы, после чего эшелоном доставлены в Польшу, где в тот момент строился концентрационный лагерь Аушвиц, ныне более известный как Освенцим. Яков Трахтенберг со своей женой в составе рабочих команд прошли через ужасы подлинного ада, устроенного для заключенных руководством лагеря. Из-за того, что кормежка покрывала затраты энергии лишь в малой степени, люди быстро теряли силы. Самые слабые из них ежедневно уничтожались, отправляясь под расстрел и в печи крематориев.

Его тело истощалось с каждым днем, но разум отказывался принять окончательное поражение и устремлялся в мир беспристрастных, жизнеутверждающих чисел, которые по его воле складывались в удивительные по своей красоте математические построения. В заключении он разработал метод Трахтенберга. Сначала он просто занимался сложением многозначных величин. Но потом встала задача о способе быстрого счёта.

Задача оказалась нелегкой, и Трахтенберг придумал элементарный в обращении способ, который позволяет любому, даже ребенку, безошибочно производить простое арифметическое действие, оперируя цифрами.

Когда в 1944 г. стало известно о его предстоящей казни, его верный друг — жена сумела спасти его. Она добилась перевода мужа в Лейпциг и там организовала побег. И хотя вскоре он был снова арестован и отправлен на каменоломню в Триест, самое тяжелое осталось позади. Последний побег — и супруги Трахтенберг в Швейцарии. В конце 40-х годов Трахтенберг организовал в Цюрихе свой Математический институт — единственное в своем роде учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу, и по единодушному признанию успехи были поразительны.

Суть приемов, разработанных профессором Трахтенбергом, очень проста. Но конечно, как на всякое новое дело, на усвоение их (особенно когда речь идет о взрослых людях, которым приходится отказываться от прежних привычек), требуется и время, и известное напряжение.

С помощью своего метода Трахтенбергу удалось научить многих детей, ранее считавшихся умственно отсталыми (во всяком случае, по части математики), превосходно, быстро и надежно вычислять. Более того, обнаружилось, что у этих детей (как, впрочем, и у всех учеников Трахтенберга) увлечение легкостью и простотой его «волшебных» приемов неизменно перерастало в интерес к математике и к учению вообще.
Система Трахтенберга уже оказала свое влияние не только на школьное преподавание, но и на практику банковских расчетов, причем не только в Швейцарии.

На основе изысканий Трахтенберга профессор Рудольф Мак-Шэйн и журналист Анна Кутлер совместно с Яковом составили учебник, предназначенный для учителей и учеников старших классов, а также студентов колледжей. Эта книга вышла в свет под названием «Быстрая система элементарной математики Трахтенберга» [4].

Правила умножения чисел.

А теперь рассмотрим некоторые виды умножения, не пользуясь таблицей умножения и классическим способом умножения «в столбик».

В своей работе я буду излагать материал по принципу «от простого – к сложному». То есть не по мере возрастания цифр (от нуля до 12), а по мере увеличения сложности вычислений.

Начнем с самого простого. [5]

2.1. Умножение на 11

Основные правила умножения на 11 заключаются в следующем:

1. Последняя цифра множимого записывается как самая правая цифра результата.

2. Каждая следующая цифра множимого складывается со своим правым соседом и записывается в результат.

3. Первая цифра множимого становится самой левой цифрой результата. Это последний шаг.

Рассмотрим пример: 633 * 11

Ответ пишется под 633, по одной цифре справа налево, как указано в правилах.

Первое правило.

Напишите последнюю цифру числа в качестве правой цифры результата: 3

Второе правило.

Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат. Перед 3 записываем в результате 6:

633*11

Применим второе правило еще раз:

6+3 будет 9. Записываем и эту цифру слева в результат:

633*11

963

Третье правило.

Первая цифра числа 633 это 6, становится левой цифрой результата:

633*11

6963

Ответ: 6963.

Большие числа обрабатываются таким же способом. Второе правило (“каждая последующая цифра множимого складывается со своим правым соседом”) в нашем примере применено дважды; при больших числах это правило может быть применено многократно.

В начале числа следует ставить ноль. Он должен нам напоминать о том, что действие еще не закончено. Без нуля в начале числа мы могли бы забыть написать последнюю цифру. Ответ длиннее данного числа на одну цифру, и ноль в начале указывает на это.

Иногда при сложении числа с его “соседом” в ответе получается число, состоящее из двух цифр: так, 5 и 8 дают 13. В этом случае мы пишем 3 и, как обычно, «переносим» 1. При переносе единицы достаточно поставить точку, в тех случаях, когда переносится двойка – две точки.

2.2. Умножение на 12

Правило умножения на 12 заключается в следующем:

Нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней ее “соседа”.

В отличие от умножения на 11, теперь каждую цифру удваивают, прежде чем прибавлять к ней “соседа”. Рассмотрим это на примере. Умножим 413 на 12.

Первый шаг.

0413*12,Удваиваем самую правую цифру и под ней пишем ответ.

Второй шаг.

0413*12 Удваиваем 1 и прибавляем «соседа» 3.

Третий шаг.

0413*12 Удваиваем 4 и прибавляем 1.

956

Последний шаг.

0413*12 Удвоенный нуль есть нуль, прибавляем 4.

4956

Ответ: 4 956.

Проделав это самостоятельно, мы убедимся, что действие производится очень быстро и легко.

При умножении на 5, 6 и 7 используется идея деления цифры “пополам”.

Отличительная особенность нечетных цифр (1,3,5,7 и 9) состоит в том, что при делении их “пополам” мы отбрасываем дроби. Четные цифры (0, 2, 4, 6 и 8) дают обычный результат.

2.3. Умножение на 6

Приведем правило умножения на 6:

Прибавьте к каждой цифре “половину” “соседа” и еще 5 в том случае, если цифра нечетная.

Является ли “сосед” четным или нечетным – никакой роли не играет. Мы смотрим только на “цифру”: если она четная, прибавляем к ней “половину” “соседа”, если нечетная, то, кроме “половины соседа”, прибавляем еще 5.

Например: 04352*6.

Первый шаг.

04352*6, 2 – четная и не имеет “соседа”; напишем ее снизу.

Второй шаг.

04352*6, 5нечетная; 5 плюс 5 плюс половина от 2, будет 11.

Третий шаг.

04352*6, 3 нечетная; 3 плюс 5 будет 8, плюс половина от 5, плюс перенос.

112

Четвертый шаг.

04352*6, 4 плюс “половина” от 3, плюс перенос.

6112

Последний шаг.

04352 х 6 Ноль плюс “половина” от 4.

26112

Ответ: 26112.

Число, которое мы умножали на 6, было длинным. А будет ли работать метод, если мы попытаемся умножить на 6 однозначные числа, например 8 на 6?

Да, и даже не потребуется никаких изменений. Попробуем умножить 8 на 6, применив тот же способ:

08*6 “соседа” нет; пишем просто 8

08*6 ноль плюс “половина” от 8, будет 4.

Когда множимое нечетное, например 7, то при первом шаге мы должны прибавить 5. Разумеется, мы ее не прибавляем при втором шаге, так как ноль мы рассматриваем как четное число:

07*6, 7 плюс 5, будет 12.

07*6 ноль плюс “половина” от 7 плюс перенесенная 1.

2.4. Умножение на 7

Правило умножения на 7 очень похоже на правило умножения на 6.

Удвойте цифру и прибавьте половину соседа. Если цифра нечетная, прибавьте еще 5.

Предположим, что мы хотим умножить 4242 на 7.

В этом примере мы действуем так же, как и при умножении на 6, если не считать того, что теперь мы удваиваем цифру:

Первый шаг.

04242*7, дважды 2.

Второй шаг.

04242*7, дважды 4 плюс половина соседа.

Третий шаг.

04242*7, дважды 2 плюс половина соседа.

694

Четвертый шаг.

04242*7 дважды 4 плюс 1.

9694

Последний шаг.

04242*7, дважды ноль, но еще прибавляется половина соседа.

29694

2.5. Умножение на 5

Правило умножения на 5 подобно правилу умножения на 6 и 7, только оно проще. Вместо того чтобы прибавлять цифру, как мы это делали при умножении на 6, или удваивать ее, как при умножении на 7, мы используем цифру только для того, чтобы определить ее четность или нечетность,

Если цифра нечетная, берем половину соседа и прибавляем 5. Если цифра четная, пишем половину соседа.

Предположим, мы хотим 426 умножить на 5:

0426*5 смотрим на цифру 6, она четная: 5 не прибавляем (соседа нет).

0426*5 смотрим на цифру 2, она четная; пишем половину от 6.

0426*5 смотрим на цифру 4, она четная; пишем половину от 2.

130

0426*5 смотрим на 0 – четная; возьмем половину от 4.

2130

Если бы мы имели во множимом нечетную цифру, мы бы прибавили 5:

0436*5 как выше.

0436*5, 3 – нечетная; 5 плюс половина соседа (3), т.е. 8.

0436*5

2180

Все это легко выполнимо. Вычислений тут очень мало.

2.6. Умножение на 9

При умножении на 8 и 9 мы мысленно делаем еще один полный шаг, который требует дальнейших упражнений. Раньше мы только складывали цифры, теперь нам нужно будет вычитать цифру из 9 или 10. Предположим, мы хотим 4567 умножить на 8 или 9. В обоих этих случаях первый шаг состоит в том, чтобы последнюю цифру большего числа (7) вычесть из 10, Мы начинаем с того, что смотрим на правый край числа 4567 и говорим “3”. Не надо предварительно говорить: “10 минус 7, будет 3”, реакция должна быть немедленная. Мы смотрим на 7 и говорим “3”.

Иногда нам придется вычитать цифру не из 10, а из 9. Мы смотрим, например, на цифру 7 и тут же говорим “2”.

Правило умножения на 9 гласит:

1. Вычтите правую цифру большего числа из 10. Это дает правую цифру результата.

2. Возьмите поочередно каждую из следующих цифр до самой последней, вычтите ее из 9 и прибавьте соседа.

3. В последнем шаге, когда вы будете рассматривать цифру нуль, стоящую перед данным числом, вычтите 1 из соседа, и полученное число будет самой левой цифрой результата.

Если имеется точка (перенесенная 1), то, разумеется, при всех этих шагах вы, как обычно, должны ее прибавить.

Рассмотрим пример: 8769 умножить на 9:

08769*9

78921

Во-первых, вычитаем 9 из 10, получаем 1.

Во-вторых, вычитаем 6 из 9 (получим 3) и прибавляем соседа (9). Результат -12, поэтому пишем точку и 2.

В-третьих, 7 вычитаем из 9 (получаем 2), плюс сосед (6), будет 8 и плюс “точка”, будет 9.

В-четвертых, 8 вычитаем из 9, будет 1, плюс сосед, будет 8.

В-пятых, это последний шаг, поэтому уменьшаем самую левую цифру от числа 8769 на 1, и 7 становится самой левой цифрой результата.

2.7.Умножение на 8

Правила умножения на 8 таковы:

1. Первая цифра: вычтите из 10 и удвойте.

2.Средние цифры: вычтите из 9 и удвойте полученное, затем прибавьте соседа.

3. Левая цифpa: вычтите 2 из самой левой цифры большого числа.

Умножение на 8 аналогично умножению на 9, с той лишь разницей, что происходит удвоение разностей и в последнем шаге из левой цифры большого числа вычитается не 1, а 2.

Рассмотрим пример: 789*8:

0789*8, 10 минус 9 получаем 1 и удваиваем результат.

0789*8, 9 минус 8 равно 1, удваиваем и прибавляем соседа 9, равно 11.

0789*8 9 минус 7, умножить на 2, плюс 8, плюс перенос, получаем 13.

312

0789*8, 7 минус 2, плюс перенос, равно 6.

6312

2.8. Умножение на 4

Правила умножения на 4 таковы:

1. Вычтите самую правую цифру данного числа из 10 и прибавьте 5, если цифра нечетная.

2. Вычтите поочередно каждую цифру данного числа из 9, прибавьте 5, если цифра нечетная, и прибавьте половину соседа.

3. Напишите под нулем перед заданным числом половину соседа этого нуля минус 1.

Пример: Умножить 5 187 на 4:

Первый шаг.

05187*4, от 10 отнять 7, будет 3, прибавить затем 5, так как 7 нечетно.

Второй шаг.

05187*4, от 9 отнять 8 плюс половина от 7.

Третий шаг.

05187 х 4, 9 минус 1 плюс 5, плюс половина от 8.

748

05187х 4, 9 минус 5, плюс 5 плюс перенос 1

0748

Последний шаг.

05187 х 4 “половина” от 5 минус 1 плюс 1 перенос.

20748

2. 9. Умножение на 3

Правила умножения на 3 выглядят следующим образом:

1. Первая цифра: вычтите ее из 10 и удвойте. Если цифра нечетная, прибавьте 5.

2. Средние цифры: вычтите цифру из 9 и полученное удвойте, затем прибавьте половину соседа и 5, если цифра нечетная.

3. Самая левая цифра: разделите на 2 самую левую цифру большого числа и вычтите 2.

Умножим 2588 на 3

Первый шаг.

02588*3, 10 минус 8, удваиваем, равно 4

Второй шаг.

02588*3, это 9 минус 8, удваиваем, плюс половина от 8.

Третий шаг.

02588*3 9, (9-5)*2+5+8/2=17, последняя цифра 7, 1 переносим.

764

Четвертый шаг.

02588х3 7 – (9-2)*2+5/2+1=17, 7 пишем, 1 переносим.

7764

Последний шаг.

02588 х 3 ноль – это половина от 2 “плюс точка” минус 2. 2/2+1-2 = 0

07764

2.10. Умножение на 2

Умножение на 2, разумеется, очень просто. По методу Трахтенберга мы поочередно удваиваем каждую цифру данного числа, не пользуясь соседом. Мы можем удвоить число, просто прибавив его к самому себе, тогда даже не потребуется выучивать наизусть столбец таблицы умножения на 2.

2.11. Умножение на 1

Умножение на 1 числа не изменяет. Любые числа любой величины при умножении их на 1 остаются неизменными. Поэтому правило звучит так:

Перепишите поочередно все цифры данного числа.

Последние несколько правил для умножения на малые цифры включены главным образом ради полноты описания метода.

Все же важно заметить, что во всех случаях умножения на любые цифры число действительно необходимых операций невелико и все они очень просты. Вычитание из 9, удваивание, образование “половины” и прибавление “соседа” – вот единственные операции, с которыми приходится иметь дело. Если поупражняться, то все они будут казаться естественными, простыми и будут выполняться автоматически.

2.12. Умножение двузначных чисел на двузначные.

Правило умножения двузначных чисел на двузначные звучит следующим образом:

Правая цифра: умножьте единицы.

Средние цифры: уберите между числами знак “умножить” (46 * 35 станет 4635) и сложите произведения внутренних и внешних цифр числа.

Левая цифра: умножьте десятки.

Умножим 87 на 32:

Первый шаг.

87 * 32 | 47 * 2 = 14, 4 пишем,1 переносим.

Второй шаг.

87 * 32 |847 * 3 + 8 * 2 = 37 и 1- из прошлого действия. 8 пишем, 3 переносим.

Третий шаг.

87 * 32 |2784 8 * 3 = 24 и 3 из прошлого действия, 27.

Ответ: 2784

2.13. Умножение трехзначных чисел на двузначные.

Правило умножения трехзначных чисел на двузначные схоже с правилом умножения двузначных чисел на двузначные.

Правая цифра: умножаем крайние правые цифры первого и второго множителя.

Средние цифры: Перемножаем и складываем внутренние и внешние пары.

Последняя цифра: умножаем крайние левые цифры множителей между собой.

Пример: 476 * 46

Первый шаг.

476 * 46| 6 6 * 6 = 36, 6 пишем, 3 переносим.

Второй шаг.

476 * 46|96 первыми парами будут 6 * 4 + 7 * 6 и еще 3 из прошлого действия, получается 69 – 9 пишем, 6 переносим.

Третий шаг.

476 * 46 | 896 вторые пары 7 * 4 + 4 * 6 и еще 6 из прошлого действия. Получается 58, 8 пишем 5 переносим.

Четвертый шаг.

476 * 46 |21896 4 * 4 + 5 = 21. Ответ: 21896

Практическая часть

Практическим результатом моей проектной работы стала брошюра “Способы быстрого умножения чисел по методу Якова Трахтенберга”.

Цель создания брошюры: собрать и систематизировать изученный материал для его функционального применения в практических целях школьниками средних и старших классов, студентами и преподавателями математики.

Этапы практической работы.

Поиск материалов по теме проекта.

Определение конечного продукта, соответствующего теме проекта и поставленным целям.

Разработка эффективного и практичного способа представления материала.

Выбор способов быстрого умножения для брошюры, их классификация и оформление в табличной форме.

Выбор стиля и дизайна брошюры.

Практическая работа по созданию макета брошюры.

Печать брошюры в типографии.

В начале брошюры представлена краткая биография создателя способов быстрого счета Якова Трахтенберга. Также представлены несколько фотографий, иллюстрирующих материал.

Далее собраны способы умножения чисел от 0 до 12, умножение двузначных чисел на двузначные и на трехзначные числа.

Материал собран и представлен по принципу «от простого к сложному». Это сделано не случайно. Авторская методика быстрого счета Якова Трахтенберга предполагает запоминание последовательности простых арифметических действий, которые повторяются в разных вариантах при умножении чисел. Методика запоминания «от простого к сложному» позволяет наиболее эффективно, быстро и легко усваивать материал.

В конце брошюры представлена таблица (памятка), в которой изложены только алгоритмы вычислений. Это краткий сводный материал по всем представленным в брошюре способам вычислений. Памятка необходима для того, чтобы не ошибиться в последовательности арифметических действий при быстром устном счете.

Я постаралась изложить доступным языком материал, представленный в брошюре, чтобы каждый человек, которому это интересно, мог самостоятельно получить дополнительные знания по способам умножения в уме, увидеть математические закономерности, понять всю красоту и разнообразие приемов устного счета.

Заключение

С большим интересом я познакомилась с системой быстро счета Якова Трахтенберга. Изучая материал, я поняла, что эта система основана на закономерностях умножения чисел. Чтобы умножить любое число на 11, 12, 6 и другие числа, надо знать алгоритм выполнения. В этой системе приходится в памяти держать много правил быстрого счета, но система Трахтенберга показывает, как красива математика, если человек открывает тайны ее закономерностей, изучает их и учится применять на практике.

Раньше я и не предполагала, что существуют другие способы умножения, кроме общеизвестной таблицы умножения и вычисления «в столбик». Большинство моих знакомых и даже мои родители не были знакомы с методом Якова Трахтенберга. Я изучила новые для меня способы умножения, рассказала о них родителям и одноклассникам. Все с большим интересом отнеслись к теме моего проекта. Это доказывает, как многогранна математика, сколько ее возможностей скрыто еще от нас. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы умножения. Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы вычисления.

Использование этих и других методов устного счета помогает развивать скорость вычисления на уроках и дома, тренирует память, помогает добиваться успехов в изучении всех школьных предметов. [6] Устный счет – гимнастика для ума! Изучайте математику, это очень интересно!

Список литературы

Хэндли Б. Считай в уме как компьютер.- пер. с англ. Е.А. Самсонов. – Мн.: «Попурри»,2006. – 352 с.

Глейзер Г.И. История математики в школе. – М. ,1981.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Трахтенберг,_Яков

Яков Трахтенберг и его система, придуманная в концлагере

Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Просвещение,- 1967

Нагибин Ф.Ф, Канин Е.С. «Математическая шкатулка».- Москва, 2006.

Приложение 1

Алгоритм вычислений (памятка)

Умножение на	Характер действий
11	К каждой цифре результата прибавляем соседа справа*.
12	Удваиваем цифру и прибавляем соседа справа.
6	Прибавляем к цифре половину** соседа справа. Если цифра нечетная, то прибавляем 5, если четная – то ничего не прибавляем.
7	Удваиваем цифру, прибавляем 5, если она нечетная, и половину соседа справа.
5	Берем половину соседа справа, если цифра нечетная – то прибавляем 5.
9	Первая цифра справа: вычитаем из 10 последнюю цифру множимого. Средние цифры: вычитаем цифру из 9 и прибавляем соседа справа. Последний шаг: уменьшаем самую левую цифру на 1.
8	Первая цифра справа: вычитаем из 10 последнюю цифру множимого и удваиваем. Средние цифры: вычитаем цифру из 9, удваиваем и прибавляем соседа справа. Последний шаг: уменьшаем самую левую цифру на 2.
4	Первая цифра справа: вычитаем из 10 и прибавляем 5, если цифра нечетная. Средние цифры: вычитаем цифру из 9, прибавляем половину соседа справа и 5, если цифра нечетная. Последний шаг: берем половину самой левой цифры множимого и уменьшаем ее на 1.
3	Первая цифра справа: вычитаем из 10, удваиваем и прибавляем 5, если цифра нечетная. Средние цифры: вычитаем цифру из 9, удваиваем и прибавляем половину соседа справа. Последний шаг: берем половину самой левой цифры множимого и уменьшаем ее на 2.
2	Удваиваем каждую цифру множимого.
1	Переписываем множимое без изменений.
0	Ноль, умноженный на любое число дает ноль.

*- первое правило: все вычисления производятся и записываются справа налево.

**- второе правило: при делении на 2 нечетного числа, дробная часть отбрасывается (1/2=0, 3/2=1, 5/2=2, 7/2=3, 9/2=4).

Просмотров работы: 4042

Устный счет: Методы, советы и примеры для детей

Содержание

Каждый день мы встречаемся с математическими вычислениями в жизни: считаем сдачу, доходы и расходы, количество товара. Современные люди привыкли делегировать этот процесс калькулятору, даже не догадываясь о пользе самостоятельных расчетов.

Научиться устному счету можно в любом возрасте, но лучше начинать с детства, ведь в молодые годы мозг активнее впитывает и обрабатывает информацию. В статье мы расскажем о самых эффективных способах быстрых устных вычислений. При использовании наших советов и при регулярной практике результат не заставит себя долго ждать.

Методы быстрого устного счета

При обучении детей родители должны постепенно переходить от простых примеров к сложным. Начать лучше со сложения и умножения однозначных чисел, чтобы при подсчете больших значений ребенок не допускал арифметических ошибок.

Ищем сумму однозначных чисел

Пример: прибавить число 9 к числу 7.

Алгоритм действий:

1. Округляем 9 до 10. Для округления нам понадобилась единица.

2. Из числа 7 вычитаем 1 и получаем 6.

3. 10+6=16.

Готово, результат получен. Данный подход можно использовать при работе не только с десятками, но и с сотнями, тысячами, миллионами. Достаточно округлить число и провести дальнейшие арифметические действия.

Находим сумму многозначных чисел

Пример: 2465 + 289 = ?

Алгоритм действий:

1. Раскладываем все числа на разряды: единицы складываем с единицами, десятки с десятками, тысячи с тысячами.
2. 2000+0 (в 289 отсутствуют тысячи)=2000
3. 400+200=600
4. 60+80=140
5. 5+9=14
6. Складываем все получившиеся числа 2000+600+140+14=2754

Ответ готов, вычисления проведены быстрым и простым способом.

Ищем разность однозначных и многозначных чисел

Снова прибегаем к округлению, но уже в меньшую сторону. Пример: 567-341=?

Алгоритм действий:

1. Разделяем число на кусочки (разряды)
2. 500-300=200
3. 60-40=20
4. 7-1=6
5. Находим сумму 200+20+6=226

Результат найден.
.

Умножение многозначного числа на однозначное.

Пример: 189х6=?

Для проведения расчетов необходимо выучить таблицу умножения. Как это сделать? Ответ вы найдете в нашей статье.

Алгоритм действий:

Обратимся к ранее изученному методу.

1. 189=100+80+9
2. Перемножаем каждое составляющее число на 6
3. 100х6=600
4. 80х6=480
5. 9х6=54
6. Складываем 600, 480 и 54.

Ответ: 1134

Умножение многозначного числа на многозначное

Пример: 37х56

Алгоритм действий:

1. 37 умножаем на 50, затем с 37-ю проводим умножение на 6.
2. 37х5= 30х5+7х5=150+35=185. Добавляем к ответу 0, так как умножение происходило на десятки, а не единицы. Получаем, что 37х50=1850
3. Второй шаг: 37х6=30х6+7х6=180+42=222.
4. Заключительный этап: к 1850 прибавляем 200, 20 и 2. 4.

Результат: 2072

Секреты умножения

Умножение на 11

Для нахождения результата сначала умножьте число на 10, а затем прибавьте исходное.

Пример: 72х11=72х10+72=720+72=792

Умножение на 9

Умножьте число на 10, а затем вычтите начальное значение.

Умножение на 5

Снова умножьте на 10, потом разделите результат на 2.

Умножьте число на 10, а затем вычтите начальное значение. Пример: 194х5=194х10:2=1940:2=970. Получили: 194х5=970

Умножение на 4

Дважды проведите умножение исходного числа на 2.

Пример: 678х4=?

678х2=600х2+70х2+8х2=1200+140+16=1356

1356х2=1000х2+300х2+50х2+6х2=2000+600+100+12=2712

Результат: 2712

Устный счет. Деление в уме

Дети снова должны отталкиваться от знания основы основ – таблицы умножения. Деление проще всего производить методом подбора, постепенно прикидывая количество вхождения раз меньшего числа в большее.

Алгоритм действий:

1. Ищем вхождение цифры 3 в число 1584 без остатка

2. Ближайшее круглое число, которое делится на 3 – это 1500

3. Раскладываем 1584 на 1500 и 84
1500:3=500
84:3=60:3+24:3=28

4. 500+28=528, что является ответом.

Советы по освоению навыка быстрого счета

Регулярная практика – фундамент любого дела

Если вы хотите научить своего ребенка устному счету, то должны вместе с ним как можно чаще работать на результат. Занятия нельзя забрасывать, иначе прогресса можно не ждать. Мозг следует постоянно поддерживать в тонусе, давая ему новые задачи и примеры.

Объясните ребенку смысл навыка

Для осуществления деятельности важна мотивация, для непоседливых детей – особенно. Расскажите ребенку о перспективах устного счета – тренировка мышления, повышение успеваемости в школе, планирование бюджета, накопление вкладов в банке в будущем. Задания на вычисления делают мозг более работоспособным и активным.

Не заставляйте сидеть часами за расчетами

Дети начнут относиться к математике как к каторге, если взрослые будут требовать от них ежедневного непреклонного выполнения примеров. Поощряйте ребенка за успехи и давайте ему время отдыхать.

Учитесь устно считать с помощью приложений

Ребенок любит играть в гаджетах? Совместите приятное с полезным. Предоставляем список приложений, которые можно использовать для практики быстрого счета.

1-3 октября

10-11 классы

Онлайн-пробник ЕГЭ

Меняем знания на призы

Записаться

Google Play:

«Математика: Устный счет»
«1001 задача для счета в уме»
«Математика в уме»
«Веселые примеры»
«Математика: арифметика, устный счет»

App Store:

«Тренажер устного счета»
«В уме»
«Математические хитрости (100+)»
«Отличник: сложение и вычитание»
«Счет в уме: таблица умножения»

Устный счет для 1-4 классов

1 класс

Начните счет с использования кубиков.

То прибавляйте, то отнимайте некоторое количество. Ребенок должен считать результаты всех изменений. Ему будет проще ориентироваться на наглядном примере.

Постепенно сокращайте применение дополнительных материалов.

Ребенок начнет устно представлять предполагаемое число «кубиков».

Используйте раскраски по номерам

2 класс

Изучайте количество предметов во время прогулок

Попросите ребенка посчитать и получить результат в виде количества крыльев у нескольких голубей с помощью умножения.

Учите ребенка хорошо ориентироваться в таблице Пифагора

Поступательно проводите устные вычисления без опоры на таблицу.

Устраивайте математические диктанты и фиксируйте время выполнения

3 класс

Играйте в игру «Продавец и покупатель»

Пусть ребенок будет в роли первого. Выложите на стол товары, на бумажках напишите ценники с использованием двузначных чисел. Нарисуйте на листках деньги. Вы, покупатель, должны собрать продуктовую корзину и подойти к «кассиру» для оплаты, а от «кассира» потребуется рассчитать сумму покупки, полученные деньги и выдать сдачу. Играйте на скорость: у продавца целая очередь клиентов, поэтому нужно действовать как можно быстрее.

Усложните математические диктанты

Начните использовать трехзначные числа.

4 класс

Проводите соревнования на время вычислений

Применяйте трехзначные примеры для устного счета. Позвольте ребенку заполучить первенство и обойти взрослого человека, что увеличит стремление дальше осваивать математику.

Просите ребенка помочь по хозяйству

Сколько денег ваша семья потратит на покупку продуктов за неделю? А за месяц? Сколько финансов нужно отложить, чтобы отправиться в отпуск во время летних каникул? Называйте цену и количество товара для расчетов.

Предложите принять участие в математических олимпиадах и конкурсах для расширения мышления и выработки конкурентоспособности

Примеры заданий для устного счета

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Все знают, что для построения крепких мышц тела необходимы силовые тренировки. Но не каждый догадывается, что для мозга не менее важны регулярные практики для поддержания тонуса клеток органа. Навык быстрого устного счета не только поможет проводить вычисления за несколько секунд и решать бытовые вопросы, но и улучшит память, психологическое здоровье человека. Прививайте детям любовь к математике с ранних лет!

Поделиться в социальных сетях

Поделиться в facebook

Facebook

Поделиться в twitter

Twitter

Поделиться в vk

Поделиться в odnoklassniki

Способы быстрого счёта

Авторы
Руководители
Файлы работы
Презентация
Наградные документы

Ананьева А.П. 1

1МБОУ «Лицей №9 имени К.Э. Циолковского» г. Калуги

Рылова И.Г. 1

1МБОУ «Лицей №9 им. К.Э. Циолковского» г. Калуги

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителяДиплом участника II этапаДиплом за подготовку участника II этапаДиплом лауреата II этапаДиплом за подготовку лауреата II этапа

Введение

Актуальность изучения способов быстрого счёта заключается в том, что их применение даёт реальный практический эффект и способствует тренировке нашего мозга, что особенно важно в настоящее время, когда различные электронные устройства заменяют нам некоторые функции, ранее выполнявшиеся нашей памятью и умом.

Большинство психологов признают существование трех уровней памяти, различающихся по тому, как долго на каждом из них может сохраняться информация. В соответствии с этим различают непосредственную, или сенсорную, память, кратковременную память и долговременную память [1].

При проведении математических вычислений мы используем кратковременную память, поэтому должны ясно представлять себе её возможности и ограничения.

Кратковременная память характеризуется не только определенной длительностью удержания информации, но также емкостью, т. е. способностью одновременно сохранять определенное число разнородных элементов информации.

В 1959 году американским психологом Ллойдом Петерсоном было установлено, что кратковременная память действует в течение примерно 20 секунд; за это время сохраняется очень немного информации – например, какое-то число или несколько слогов из трех-четырех букв. В случае, если информация не вводится повторно или не «прокручивается» в памяти, она по истечении этого промежутка исчезает, не оставляя заметных следов.

С 1885 года немецкий психолог Герман Эббингауз ставил опыты с целью выяснить, сколько информации он может одновременно запомнить без каких-либо специальных мнемонических приемов. Оказалось, что емкость памяти ограничена семью цифрами, семью буквами или же названиями семи предметов. В 1957 г. гарвардский психолог Джордж Миллер опубликовал статью, ставшую самой цитируемой публикацией в истории психологических исследований. Статья называлась «Магическая цифра семь плюс-минус два: о некоторых пределах нашей способности обрабатывать информацию». В своих первоначальных экспериментах он показывал студентам буквы, слова или числа, а затем спрашивал, что из показанного они могут вспомнить. Большинство из них без ошибки вспоминали пять цифр. Попытки вспомнить большее количество цифр часто оказывались неудачным. Он показал, что память действительно в среднем не может хранить одновременно более семи элементов; в зависимости от сложности элементов это число может колебаться в пределах от 5 до 9 (рис 1).

Рисунок 1 – Диаграмма Миллера о запоминании цифр [2].

Если необходимо в течение короткого времени сохранить информацию, включающую больше семи элементов, мозг почти бессознательно группирует эту информацию таким образом, чтобы число запоминаемых элементов не превышало предельно допустимого. Так, номер банковского счета 30637402710, состоящий из одиннадцати элементов, будет, скорее всего, запоминаться как 30 63 740 27 10, т.е. как пять числовых элементов, или 8 слов (тридцать, шестьдесят, три, семьсот, сорок, двадцать, семь, десять).

Хорошим примером того, как емкость кратковременной памяти может ограничивать познавательную деятельность, служит счет в уме. Так, умножить 32 на 64 сравнительно легко, однако многие не могут сделать этого без карандаша и бумаги. Чаще всего такие люди говорят при этом, что они «не сильны в арифметике». На самом же деле им, вероятно, мешает накопление промежуточных операций и данных, быстро перегружающее кратковременную память.

Способы быстрого счёта разработаны с целью уменьшения производимых действий и служат для ускорения вычислений. Поэтому каждый ученик должен овладеть способами быстрого счёта и научиться их применять в повседневной учёбе и работе.

Гипотеза исследования: применение приемов быстрого счета облегчает вычисления, повышает вычислительную культуру учеников, быстроту решения практических задач.

Цель исследований: изучить существующие способы быстрого счёта.

Задачи исследования:

1. Изучить найденную литературу по данному вопросу.

2. Определить наиболее эффективные в плане формирования вычислительных навыков способы быстрого счёта.

3. Распространить опыт использования способов быстрого счёта среди учащихся 5 классов.

Методы исследования:

изучение теории по выбранной теме;

анализ литературы;

практическое применение знаний умений и навыков.

Обзор литературы

Одной из первых книг, которую встречает изучающий проблему быстрого счёта, является книга Я.И. Перельмана, предлагающая читателям тридцать приёмов быстрого счёта [3]. В книге собраны различные приемы умножения и деления на однозначные и двузначные числа. Автор пишет, что «усвоив рекомендуемые приёмы, можно выполнять быстрые расчёты в уме с безошибочностью письменных вычислений»..

Гольдштейн Д.Н. – эстрадный счетчик-моменталист, разработчик и популяризатор методов устного счета, в своей статье [4] описывает несколько способов быстрого умножения. В 1948 выходит его книга «Техника быстрых вычислений» [5], где было собрано и систематизировано множество приемов и способов применительно ко всем арифметическим действиям.

В статье [6] предлагаются простые методы, позволяющие быстро в уме выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление чисел, извлечение квадратных корней, возведение в квадрат и отмечает, что одной из основных задач преподавания курса математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.

Авторы статьи [7] кроме различных приёмов быстрого выполнения арифметических действий приводят результаты исследования в своём учебном заведении, показывающие, что большинство учеников не применяют способы быстрого счёта, но хотели бы этому научиться.

В статьях, собранных в брошюре [8], рассказывается о некоторых приемах организации устного счета, приводится много приемов, позволяющих ускорить и рационализировать вычисления. Показывается, как на уроках алгебры можно обосновать алгоритмы устных вычислений.

Автор статьи [9] делится с читателями собранными им различными способами счёта. Среди них можно отметить интересные способы сложения нескольких многозначных чисел, старинные способы умножения у разных народов и возведение в квадрат многозначных чисел.

Результаты и обсуждение

Рассмотрим различные способы быстрого счёта, описанные в изученных публикациях, на примерах.

Сложение

1) Если слагаемое увеличить на некоторое число, то это же число следует вычесть из полученной суммы. Например:

650 + 346 = (650 + 346 + 4) – 4 = (650 + 350) – 4 = 1000 – 4 = 996

2) Если одно слагаемое уменьшить на некоторое число, а ко второму слагаемому это же число добавить, то сумма не изменится. Например:

335 + 765 = (335 + 5) + (765 – 5) = 340 + 760 = 1100

Вычитание

1) Вычитаем из 1000. Для того, чтобы вычесть число из 1000, отнимаем каждую цифру числа от «9», а последнюю цифру отнимаем от 10. Например:

1000 – 248 = (9-2) _ (9-4) _ (10-8) = 752

2) Если к уменьшаемому и вычитаемому добавить одно и то же число, результат не изменится. Например:

365 – 223 = (365 + 5) – (223 + 5) = 370 – 228 = 142

Умножение

1) Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

29 ∙ 12 = 29 ∙ 10 + 29 ∙ 2 = 290 + 58 = 348.

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

2) Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (например: 14 = 2 ∙ 7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз, чтобы получить круглое число. Например:

45 ∙ 14 = 45 ∙ 2 ∙ 7 = 90 ∙ 7 = 630.

3) Умножение чисел от 10 до 20. Можно очень просто умножать такие числа.
К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел. Например:

16 ∙ 18 = (16 + 8) ∙ 10 + 6 ∙ 8 = 288.

Другой вид этого способа заключается в наглядной записи операции. Например, нужно узнать, сколько будет 12 ∙ 14. В нижней строке записываем пример 12 ∙ 14. В верхней строке пишем, насколько эти числа больше 10. Получаем 2 и 4. Складываем числа по диагонали. Получаем 12 + 4 = 16, 14 + 2 = 16. Мы получили 16 десятков, ведь наши исходные цифры больше десяти. Поэтому 16 умножаем на 10. 16 ∙ 10 = 160. Осталось только умножить верхние числа 2 ∙ 4 = 8 и прибавить полученную цифру к ответу.

2 4

12 ∙ 14 = (12 + 4) ∙ 10 + 2 ∙ 4 = 160 + 8 = 168.

4) Умножение на 11. Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Например:

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792.

5) Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения. Например:

94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

6) Умножение на 22, 33,…, 99. Чтобы двузначное число умножить на 22, 33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ∙ 11 и т. д. Затем произведение первых чисел умножить на 11. Например:

24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528.

7) Умножение на 5, на 50, на 25, на 125. При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:

a ∙ 5 = a ∙ 10 : 2

a ∙ 50 = a ∙ 100 : 2

a ∙ 25 = a ∙ 100 : 4

а ∙ 125 = а ∙ 1000 : 8

Например:

17 ∙ 5 = 17 ∙ 10 : 2 = 170 : 2 = 85;

43 ∙ 50 = 43 ∙ 100 : 2 = 4300 : 2 = 2150;

27 ∙ 25 = 27 ∙ 100 : 4 = 2700 : 4 = 675;

96 ∙ 125 = 96 : 8 ∙ 1000 = 12 ∙ 1000 = 12000.

8) Умножение чисел близко отстоящих от 100.

Например, найдём произведение

87 ∙ 96 = ?

Находим дополнения до 100 обоих чисел

100 – 87 = 13, 100 – 96 = 4.

Отнимаем от одного из данных чисел дополнение другого числа и получаем первые два знака результата

87 – 4 = 83.

Произведение обеих дополнений дает последние два знака результата

13 ∙ 4 = 52.

Таким образом, результат:

87 ∙ 96 = 8352.

9) Умножение чисел с одинаковой цифрой десятков и суммой цифр единиц равной 10. Например, найдёт произведение

68 ∙ 62 = ?

Первые два знака результата получаем, умножая число десятков на себя, увеличенное на единицу

6 ∙ (6+1) = 42.

Вторые два знака равны произведению единиц

8 ∙ 2 = 16.

Таким образом, результат равен

68 ∙ 62 = 4216.

10) Умножение чисел цифры десятков у которых разнятся на единицу и сумма цифр единиц равна 10. Например, найдёт произведение

73 ∙ 67 = ?

Пользуемся только большим числом, а именно: от квадрата числа его десятков отнимаем единицу, получаем первые два знака результата

7² = 49; 49 – 1 = 48.

Берем дополнение до 100 квадрата цифры единиц и получаем последние два знака результата

3² = 9; 100 – 9 = 91.

Таким образом, результат равен

73 ∙ 67 = 4891.

Деление

1) Деление на 5, на 50, на 25.

При делении на 5, на 50, на 25 можно воспользоваться следующими выражениями:

a :5 = a ∙ 2 : 10

a : 50 = a ∙ 2 : 100

a : 25 = a ∙ 4 : 100

Например:

35 : 5 = 35 ∙ 2 : 10 = 70 : 10 = 7

3750 : 50 = 3750 ∙ 2 : 100 = 7500 : 100 = 75

6400 : 25 = 6400 ∙ 4 : 100 = 25600 : 100 = 256

Выводы

Изучив литературу по выбранной теме и рассмотрев разные способы быстрого счёта можно сделать вывод, что наибольшее внимание уделяется умножению, т.к. ему в литературе уделено больше всего внимания и разработано больше всего различных способов быстрого счёта. Можно отметить, что эти способы, как правило, отработаны для определённых видов чисел и направлены именно на устный счёт. Большая часть из них выигрывает в скорости счёта перед обычными способами, например действиями «в столбик», за счёт большей наглядности и упрощения вычислений.

Для того, чтобы подвести итоги своей работы, сравним решение примеров способом умножения в столбик с несколькими способами быстрого счёта и заполним таблицу 1. Этими способами будут:

Умножение двузначного числа на 11;

Умножение чисел близко отстоящих от 100;

Умножение чисел с одинаковой цифрой десятков и суммой цифр единиц равной 10;

Умножение чисел цифры десятков у которых разнятся на единицу и сумма цифр единиц равна 10.

Умножение двузначного числа на 11

Пример: 47 · 11 = ?

Решение способом в столбик:

×		4	7
		1	1
+		4	7
	4	7
	5	1	7

Решение способом быстрого счёта:

47 ∙ 11 = 4 (4 + 7) 7 = 4 (11) 7 = (4 + 1) 17 = 517.

Умножение чисел близко отстоящих от 100

Пример: 94 · 87 = ?

Решение способом в столбик:

	×		9	4
			8	7
+		6	5	8
	7	5	2
	8	1	7	8 

Решение способом быстрого счёта, порядок действий ,,,:





94 · 87 = ?



100 – 94 = 6, 100 – 87 = 13,

8 7 – 6 = 81, 6 ∙ 13 = 78.

Ответ: 8178.

Умножение чисел с одинаковой цифрой десятков и суммой цифр единиц равной 10

Пример: 76 · 74 = ?

Решение способом в столбик:

	×		7	6
			7	4
+		3	0	4
	5	3	2
	5	6	2	4

Решение способом быстрого счёта:

76 · 74 = ?

7 · (7 + 1) = 56, 6 · 4 = 24,

Ответ: 5624.

Умножение чисел цифры десятков у которых разнятся на единицу и сумма цифр единиц равна 10

Пример: 87 · 73 = ?

Решение способом в столбик:

	×		8	7
			7	3
+		2	6	1
	6	0	9
	6	3	5	1

Решение способом быстрого счёта:

87 · 73 = ?

8² = 64; 64 – 1 = 63, 7² = 49; 100 – 49 =51,

Ответ: 6351.

Таблица 1 Преимущества и недостатки способов быстрого счёта.

Название способа	+	–
Умножение в столбик	Не нужно держать в памяти множители и промежуточные результаты	Нужно всё записывать в тетради
Умножение двузначного числа на 11	1) Действие проводим только с первым множителем; 2) Сразу можем начать записывать ответ;	Только для числа 11
Умножение чисел близко отстоящих от 100	1) Нужно провести всего одно умножение; 2) После двух вычитаний можно уже начать записывать результат;	1) Наиболее подходит для чисел, у которых произведение дополнений не превышает 100; 2) Требует развития навыка, т. к. не является наглядным.
Умножение чисел с одинаковой цифрой десятков и суммой цифр единиц равной 10	1) Всего два умножения вместо четырёх, не нужно складывать многозначные числа; 2) Сразу можем начать записывать ответ;	Только для чисел, указанных в названии способа
Умножение чисел цифры десятков у которых разнятся на единицу и сумма цифр единиц равна 10	1) Вместо четырёх умножений и сложения многозначных чисел только два квадрата и дополнение; 2) Сразу можем начать записывать ответ;	Только для чисел, указанных в названии способа

В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме (Таблица 1), изучить различные способы быстрого счёта, научиться быстро решать примеры с умножением и делением двухзначных чисел. Все рассмотренные способы требуют применения для решения конкретной задачи и каждый из них по-своему интересен. С моей точки зрения, наиболее интересен способ умножения чисел близко отстоящих от 100.

Счет является простым и легким делом только, когда владеешь особыми приемами и навыками. Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с использованием приемов быстрого счета. Знание приемов быстрого счета развивает мышление, логику, внимательность, наблюдательность, гибкость ума.

Подводя итоги, можно сделать вывод: способы быстрого счёта играют огромную роль в математике, найденные и освоенные новые знания могут пригодиться не только в школе и в ВУЗе, но и на протяжении всей жизни.

Список литературы

Готфруа Ж. Что такое психология? // – М. – 1992. – Т. 1.

Сабиров И. Какой объем информации мы можем запомнить за раз? Магическое число 7 [Электронный ресурс] // Блог об эффективном образовании и обучении. URL: http://ilgiz-sabirov.ru/kakojj-obem-informacii-my-mozhem-zapomnit-za-raz-magicheskoe-chislo-7/ (дата обращения 22.03.2020).

Перельман Я.И. Быстрый счёт // – Л.: 4-я тип. Лениздата им. Григорьева. – 1941.

Гольдштейн Д.Н. Счет и искусство // Цирк и эстрада. – 1929. – № 22–23. стр. 8–9.

Гольдштейн Д.Н. Техника быстрых вычислений. – М.: Учпедгиз, – 1948.

Седакова В.И. Приемы устного счета на уроках математики. Вестник Челябинского государственного педагогического университета. 2015. № 5. С. 52-56.

Владимиров А. И., Михайлова В. В., Шмелева С. П. Интересные способы быстрого счета [Электронный ресурс] // Юный ученый. 2016. №6.1. С. 15-17. URL: https://moluch.ru/young/archive/9/633/ (дата обращения: 09.12.2019).

Устный счет / Сост. П. М. Камаев. — М.: Чистые пруды, Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». 2007. Вып. 3 (15).

Татарченко Т. Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, № 7, стр. 68-71.

Просмотров работы: 155

Методика для быстрого счета в уме

Каждый из нас ежедневно испытывает потребность в счете – ученики в школе, взрослые на работе, да и любой человек в повседневной жизни. Дети, кроме занятий математикой, где может понадобиться счет, получают карманные деньги, покупают сладости и игрушки, могут сходить в магазин – везде необходимо умение считать. Взрослые постоянно совершают покупки, получают зарплату, оплачивают счета за коммунальные услуги, а также платят в ресторане и на автозаправке. Каждому человеку постоянно приходится что-то считать.

Несомненно, технический прогресс и наличие не только карманных калькуляторов, но и встроенных программ в смартфоне или компьютере, дает нам возможность делать это за считанные секунды. Это облегчает жизнь в целом. Но что делать, если под рукой не оказалось калькулятора, как часто это и бывает, а смартфон разрядился именно в тот момент, когда нужно срочно произвести вычисления? Бесспорно, любой образованный человек должен уметь считать в уме. Чтобы не задумываться над элементарными примерами и не ломать голову над сложными, можно овладеть системой быстрого счета.

Может ли человек считать быстрее калькулятора

Как неловко бывает гостю в ресторане доставать калькулятор, чтобы посчитать, правильно ли ему выставили счет за еду и напитки. Неудобно и демонстративно перепроверять чек в магазине, если есть сомнения насчет него. А получив сдачу от водителя такси, продолжать сидеть в автомобиле, чтобы понять, достаточное ли количество денег было получено. Существует множество случаев, в которых довольно неприлично или неуместно пользоваться калькулятором. При этом, произвести расчеты может быть нужно прямо сейчас, не откладывая. Такие ситуации особенно ярко демонстрируют, как полезно было бы владеть техникой быстрого счета в уме.

Кроме ежедневных задач, требующих умения быстро считать в уме, этот навык помогает человеку развить и другие способности. Например, у взрослых, которые регулярно ведут расчеты в уме, повышается способность быстро принимать взвешенные решения. Если же речь идет о школьниках, то для них умение считать устно еще важнее. Постоянно считая в уме, ребенок тренирует сосредоточенность, внимание, память, скорость реакции. Также развиваются и другие способности, облегчающие обучение в школе.

Математические хитрости счета в уме

Прежде чем приступить к изучению приемов быстрого счета, необходимо овладеть базовыми знаниями, например, выучить таблицу умножения. Многие люди еще в школе упустили этот момент и теперь, даже во взрослом возрасте, испытывают трудности. Владея базовыми навыками счета, удастся освоить и математические хитрости, позволяющие считать без особого труда.

Одним из самых популярных таких приемов является сложение многозначных чисел с разложением их на разряды. Чтобы воспользоваться этим методом, нужно каждое из слагаемых разбить на сотни, десятки и единицы. После этого каждый разряд первого слагаемого нужно сложить с соответствующим разрядом второго слагаемого. Полученные результаты мы снова складываем между собой и получаем ответ. Например, нахождение суммы чисел 392 и 549 будет выглядеть как: (300+90+2) + (500+40+9) = (300+500) + (90+40) + (2+9) = 800+130+11 = 941.

Научится умножению в уме больших чисел также просто. Выучив таблицу умножения, можно найти ей применение в любой задаче. Например, при умножении многозначного числа на однозначное, нужно разбить первое на разряды и умножить каждый из них на второй множитель, а затем сложить полученные результаты.

Также есть несколько хитростей с умножением на определенный множитель, к примеру, на 11. Чтобы найти произведение 63 и 11, нужно сложить первые две цифры, то есть 6+3=9 и вписать эту цифру между двух цифр данного числа – 63х11=693.

Таких хитростей существует много – стоит лишь запомнить их и пользоваться ими в повседневной жизни.

Самый быстрый способ научиться считать в уме

Чтобы научиться складывать и умножать любые большие числа, а не только «удобные», необходимо познакомиться с другими способами быстро счета. Одним из лучших считается методика вычислений на абакусе – специальных счетах. Это проверенный временем, работающий способ научиться производить вычисления в уме быстро.

Изначально ребенок тренируется считать на счетах абакус, а затем переходит на новый уровень – уже в своей голове он представляет воображаемые счеты. Таким образом, путем тренировок ученик постепенно осваивает быстрый счет в уме. Методика позволяет научиться проводить арифметические вычисления любого типа и сложности быстрее, чем это может сделать на калькуляторе.

Методика обучения включает в себя разные виды деятельности: игровую, двигательную и вычислительную. Так удается развивать способности ребенка разносторонне.

Ментальная арифметика – польза методики

Ментальная арифметика – это методика для освоения устного счета, которая также позволяет развивать и другие стороны интеллекта. Изучая ее, ребенок не только будет учиться быстро и эффективно считать в уме, но и сможет развивать оба полушария мозга одновременно. А это означает, что он сможет научиться подходить к решению любых задач с двух сторон – аналитической и творческой. Человеку с гармонично развитым интеллектом легче принимать правильные решения, ставить цели и достигать их, находить неординарный выход даже из сложных ситуаций.

Кроме необходимых для повседневной жизни математических способностей, ученик, освоивший ментальную арифметику, сможет развить свои творческие способности, память, мышление и логику. Все это благоприятно повлияет на успеваемость в школе и на скорость восприятия информации во время уроков.

Изучать ментальную арифметику можно на курсах от академии SMARTUM. На занятиях ребята смогут последовательно изучить основы этой методики, закрепить полученные знания и перейти к устному счету. Умение считать ментально, полученное в результате тренировок, сохранится навсегда и не раз пригодится в учебе, в работе и в повседневной жизни.

Презентация – Приемы быстрого счета

Слайд №1
	Приемы быстрого счета Выполнили Стрельникова Юля, Тюкина Стелла 7 класс МОУ СОШ с. Киселевка 2010 г. «Устный счет — гимнастика для ума»

Слайд №2
	Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла. Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора. Мы хотим остановиться на способах сложения, вычитания, умножения, деления, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги. Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий. Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако, владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе. Актуальность темы «Счет и вычисления – основы порядка в голове» Иоганн Генрих Песталоцци (1746 — 1827)
Слайд №3
	На уроках математики приходится, много делать устных вычислений и когда учитель показал нам приём быстрого умножения на числа 11 , у нас возникла идея, а существуют ли ещё приёмы быстрого вычисления. Мы поставили перед собой задачу, найти и опробовать другие приёмы быстрого вычисления. Немногие умеют считать быстро и правильно. Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке в решении задач. А ведь приёмы быстрого устного счёта известны давно. Великолепные способности к устному счёту таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом много написано. Мы хотим рассказать и показать некоторые известные вычислительные секреты. И тогда перед вами откроется совсем другая математика. Живая, полезная и понятная. Актуальность темы «Счет и вычисления – основы порядка в голове» Иоганн Генрих Песталоцци (1746 — 1827)
Слайд №4
	Цель проекта Изучить и научиться применять некоторые способы быстрого счета, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.
Слайд №5
	Задачи проекта
Слайд №6
	Счёт на пальцах Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9. Допустим, нам нужно умножить 7 на 9. Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева). Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа — единицам искомого произведения.
Слайд №7
	Можно очень просто умножать такие числа. К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел. Пример 1. 16?18=(16+8) ? 10+6 ? 8=288, или Пример 2. 17 ? 17=(17+7) ? 10+7 ? 7=289. Умножение чисел от 10 до 20 Задание: Умножьте быстро 19 ? 13 Проверь себя! 19 ?13=(19+3) ?10 +9 ?3=247
Слайд №8
	Умножение на 11 Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Примеры: 72 ? 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792; 35 ? 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385. Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения. Пример. 94 ? 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.
Слайд №9
	Умножение на 11 Задание: Умножьте быстро 54 ? 11 Проверь себя! 54 ?11=5(5+4)4=594 Проверь себя! 67 ?11=6(6+7)7=737 Задание: Умножьте быстро 67? 11
Слайд №10
	Умножение на 22, 33, …, 99 Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ? 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11. Пример 1. 24 ? 22 = 24 ? 2 ? 11 = 48 ? 11 = 528 Пример 2. 23 ? 33 = 23 ? 3 ? 11= 69 ? 11 = 759 Задание: Умножьте 18? 44 Проверь себя! 18 ? 44 = 18 ? 4 ? 11= 72 ? 11 = 792
Слайд №11
	Умножение на 25 Чтобы умножить какое-нибудь число, нужно данное число разделить 4. Ответ — полные сотни, остаток – неполные (1, 2, 3 или 25, 50, 75). Пример. 135 ? 25=(135:4=100:4+35:4)=33 сотни, остаток 3 (или неполная сотня – 75)=3375. Задание: Умножьте быстро 126 ? 25 Проверь себя! 126:4=100:4+26:4= 31 сотня, остаток 2(или неполная сотня – 50)=3150
Слайд №12
	Умножение на 5, на 50, на 25, на 125 При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями: a ? 5=a ? 10:2 a ? 50=a ? 100:2 a ? 25=a ? 100:4 а ? 125=а ? 1000:8 Пример1. 17 ? 5=17 ? 10:2=170:2=85 Пример 2. 43 ? 50=43 ? 100:2=4300:2=2150 Пример 3. 27 ? 25=27 ? 100:4=2700:4=675 Пример 4. 96 ? 125=96:8 ? 1000=12 ? 1000=12000 a ? 5=a ? 10:2 a ? 50=a ? 100:2 a ? 25=a ? 100:4 а ? 125=а ? 1000:8
Слайд №13
	Задание: умножьте 824?25 Проверь себя! 824 ? 25=824:4 ? 100=20600 Проверь себя! 348 ? 50=348:2 ? 100=17400 Задание: умножьте 348?50
Слайд №14
	Возведение в квадрат чисел , оканчивающихся цифрой 5 Для того чтобы возвести в квадрат число оканчивающееся на 5, надо найти значение выражения: 100?количество десятков числа ? (количество десятков+1)+25. Пример. =100 ? 18 ? (18+1)+25=34225. Проверь себя! =100 ?10?(10 +1) +25=11025 Задание: возведите в квадрат число 105
Слайд №15
	Увеличение и уменьшение суммы в выражении Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, то есть (a+b)-(a-b)=2b Пример. (3+2)-(3-2)=2?2=4 Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное большее число, то есть (a+b)+(a-b)=2a Пример. (3+2)+(3-2)=3 ? 2=6
Слайд №16
	Умножение на число, оканчивающиеся на 5 Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило. Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится. Примеры: 44 ? 5 = (44 : 2) ? 5 ? 2 = 22 ? 10 = 220; 28 ? 15 = (28 : 2) ? 15 ? 2 = 14 ? 30 = 420; 32 ? 25 = (32 : 2) ? 25 ? 2 = 16 ? 50 = 800.
Слайд №17
	Умножение на число, оканчивающиеся на 5 При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределе второго десятка. Если возьмем произвольное число (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузначные числа: Примеры: 48 ? 65 = (48 : 2) ? 65 ? 2 = 24 ? 130 = (24 ? 10 + 24 ? 3) ? 10 = (240 + 72) ? 10 = 312 ? 10 = 3120; 36 ? 85 = (36 : 2) ? 85 ? 2 = 18 ? 170 = (18 ? 10 + 18 ? 7) ? 10 = (180 + 126) ? 10 = 306 ? 10 = 3060.
Слайд №18
	Умножение на число, оканчивающиеся на 5 Чтобы научиться быстро умножать на 65, 75, 85 и 95, надо хорошо знать, как умножать устно двузначные числа такого вида: 14 ? 18 = 14 ? (10 + 8) = 14 ? 10 + 14 ? 8 = 140 + 112 = 252; 13 ? 19 = 13 ? (20 — 1) = 13 ? 20 — 13 = 260 — 13 = 247.
Слайд №19
	Деление на 5, на 50, на 25 При делении на 5, на 50, на 25 можно вос-пользоваться следующими выражениями: a:5=a ? 2:10 a:50=a ? 2:100 a:25=a ? 4:100 Примеры: 35:5=35 ? 2:10=70:10=7 3750:50=3750 ? 2:100=7500:100=75 6400:25=6400 ? 4:100=25600:100=256
Слайд №20
	Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц. Пример. 785+963=785+(963+7)-7=785+970-7= 1748
Слайд №21
	Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится. Пример. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401
Слайд №22
	Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится. Пример. 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84
Слайд №23
	Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Пример. 62?58=3596 а) 8 ? 2=16, пишем 6 помним 1. б) 8 ? 6+5 ? 2+1=59, пишем 9, помним 5. в) 5 ? 6+5=35.
Слайд №24
	Умножение чисел, у которых число десят-ков одинаково, а сумма единиц равна 10 Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй. Пример. 204 ? 206=42024 а) 20 ? (20+1)=420, пишем 420 б) 6 ? 4=24, пишем 24 Задание: умножьте 38? 32 Проверь себя! 38 ? 32=[3 ? 4=12, 8?2=16]=1216
Слайд №25
	Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами Древние греки и индусы в старину называли его «способом молнии» или «умножение крестиком» Пример: 24 ? 32 = 768 Последовательно производим следующие действия: 1. 4 ? 2 = 8 – это последняя цифра результата. 2. 2 ? 2 = 4; 4 ? 3 = 12; 4 + 12 = 16. 6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем. 3. 2 ? 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе. Ответ: 768.
Слайд №26
	Умножение однозначного или двухзначного числа на 37 2 ? 37 = 74 и 3 ? 37 = 111 37 ? 6 = 37 ? 3 ? 2 = 111 ? 2 =222 37 ? 8 = 37 ? (6+2) = 222 + 74 = 296 37 ? 18 = 37 ? 3 ? 6 = 111 ? 6 = 666 37 ? 3=111 37 ? 6=222 37 ? 9=333 37 ? 12=444 37 ? 15=555 и т.д 7 ? 11 ? 13=1001 77 ? 13=1001 77 ? 26=2002 77 ? 39=3003 и т.д Легко запомнить!!! Запомни!
Слайд №27
	Легко запомнить!!! 11 ? 11 =121 111 ? 111 = 12321 1111 ? 1111 = 1234321 11111 ? 11111 =123454321 …………………….. 111111111 ? 111111111 = 12345678987654321
Слайд №28
	Ну-ка в сторону карандаши! Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела. Устный счёт! Мы творим это дело Только силой ума и души. Числа сходятся где-то во тьме, И глаза начинают светиться, И кругом только умные лица, Потому что считаем в уме. Валентин Берестов (1928-1998)
Слайд №29
	Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт» Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт» была написана в 1895 г., то есть более 110 лет назад. Посмотрите, как сосредоточенно думает мальчик, изображенный на переднем плане. Видно, нелегкую задачу дал учитель. Но этот ученик, наверно, скоро закончит работу, ошибки не должно быть: уж очень серьезно относится он к устному счету. А тот, который что–то шепчет на ухо учителю, кажется, уже решил задачу, только его ответ не совсем правильный. Смотрите: учитель слушает ученика внимательно, но на лице нет одобрения, значит, ученик сделал что–то не так. А может, учитель терпеливо ожидает, когда и другие сосчитают, и потому не спешит одобрить ответ? А какую же задачу дал им учитель? Не сможем решить ее и мы?
Слайд №30
	Картина Н. П. Богданова-Бельского «Устный счёт» Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя. Учитель – Сергей Александрович Рачинский, известный русский педагог, замечательный представитель русских образованных людей позапрошлого века. Он был доктором естественных наук и профессором ботаники Московского университета. В 1868 г. С. А. Рачинский решает «уйти в народ». Он держит экзамен на звание учителя начальных классов. На свои средства открывает школу для крестьянских детей в селе Татево Смоленской губернии и становится в ней учителем. Его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы. Не случайно, художник изобразил С. А. Рачинского вместе с его учениками именно на уроке устного решения задач. Эта картина — гимн учителю и ученику!
Слайд №31
	Выводы: Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень …Мы рассмотрели лишь немногие способы быстрого счета. Все рассмотренные нами методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления. Вычислительная техника совершенствуется и по сей день, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни. Нам было интересно работать над проектом. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета. Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений. Устный счёт – гимнастика ума. Умеете ли вы считать? Каждый, конечно ответит: «Да!»
Слайд №32
	Авторы: Стрельникова Юлия Тюкина Стелла
Слайд №33
	Использованные ресурсы: Арутюнян Е. , Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ – ПРЕСС, 1999. – 368 с. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., 1978. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981. «Первое сентября» Математика №3(15), 2007. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68 Устный счет/Сост. П.М.Камаев. – М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 3(15). http://portfolio.1september.ru/subject.php
Слайд №34
	СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!

Автор: Виктория

Настоящая работа содержит характеристику отдельных приемов быстрого счета – арифметической методике, позволяющей оригинальными способами находить в кратчайшие сроки правильные решения. Исследуются, в частности, такие приемы как таблица умножения «на пальцах», а также быстрое умножение на различные числа –5,6,7,9, 11,12 и т.д.

Основным источником, который был использован при написании, послужило русское издание книги профессора цюрихского университета Якова Трахтенберга «Системы быстрого счета». Также были использованы статьи, опубликованные в разное время в периодической печати по заданной теме.

Введение

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет – настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях

Актуальность темы работы заключается в том, что быстрый счет помогает людям в повседневной жизни, а ученикам на «отлично» заниматься по математике

Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникало необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: поскольку плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас; сколько нужно сделать ножей и т. п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов – одного птенца и т. д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили: «один», а если их было больше – «много» Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например: «луна”, “солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки), привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья».

Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил «много». Лишь постепенно человек научился считать до трех, затем до пяти и до десяти и т.д. Название каждого числа отдельным словом было великим шагом вперед.

Для счета люди использовали пальцы рук, ног. Ведь и маленькие дети тоже учатся считать по пальцам. Однако этот способ годился только в пределах 20.

Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счета.

По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10.

При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания.

Древние торговцы для удобства счета начали накладывать зерна и раковины на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком.

Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления – особенно последнее. «Умноженье – мое мученье, а с делением – беда», – говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления – приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках». Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был также и очень интересный, точный, легкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. На протяжении своей книги в 640 страниц Леонтий Магницкий («Арифметика» – старинный русский учебник математики, которую Ломоносов называл «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.

Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.

Методика быстрого счета: понятие и общая характеристика

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой. Известными российскими «суперсчетчиками» являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный, зарубежными: Борислав Гаджански, Вильям Клайн, Томас Фулер и другие.

Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях, другие аргументировано доказывали обратное: дело не только и не столько в каких-то исключительных, феноменальных способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления и охотно раскрывали эти законы.

Истина, как обычно, оказалась на некоей золотой середине сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях – и к шизофрении). С другой стороны и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области как устный счёт быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения. Один из примеров удачного сочетания обоих условий (природной одарённости и большой грамотной работы над собой) показал наш соотечественник уроженец Алтайского края Юрий Горный.

Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счета создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Яковом Трахтенбергом. Она известна под названием «Системы быстрого счета». История ее создания необычная. В 1941 году гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счета. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.

Также разработкой приемов быстрого счета занимались другие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман и другие.

Приведем приемы умножения чисел, получившие наибольшее описание в литературе.

2.Приемы быстрого счета

2.1.Таблица умножения «на пальцах»

Таблица умножения – те необходимые в жизни каждого человека знания, которые требуется элементарно заучить, что на первых школьных порах дается совсем не элементарно. Это потом уже с легкостью мага мы «щелкаем» примеры на умножение: 2*3, 3*5, 4*6 и так далее. С возрастом, правда, все чаще забываемся на множителях ближе к 9, особенно если счетной практики давно не ведали, отчего отдаемся во власть калькулятора или надеемся на свежесть знаний друга. Однако, овладев одной незамысловатой техникой «ручного» умножения, мы можем запросто отказаться от услуг калькулятора. Но сразу уточним, что говорим только о школьной таблице умножения, то есть для чисел от 2 до 9, умножаемых на числа от 1 до 10.

Умножение для числа 9 – 9*1, 9*2 … 9*10 легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки.

Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа – количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа – 4 пальца. Таким образом, 9*6=54.

Еще пример: нужно вычислить 9*8=?. По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа – 2 клеточки. Значит 9*8=72.

Умножение для числа 8 – 8*1, 8*2 … 8*10 – действия здесь похожи на умножение для числа 9 за некоторыми изменениями. Во-первых, поскольку числу 8 не хватает уже двойки до круглого числа 10, нам необходимо каждый раз загибать сразу два пальца – с номером x и следующий палец с номером x+1. Во-вторых, тотчас же после загнутых пальцев мы должны загнуть еще столько пальцев, сколько осталось не загнутых пальцев слева. В-третьих, это напрямую работает при умножении на число от 1 до 5, а при умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от числа x пятерку и выполнить расчет как для числа от 1 до 5, а к ответу затем добавить число 40, потому что иначе придется выполнять переход через десяток, что не совсем удобно «на пальцах», хотя в принципе это не так сложно. Вообще надо заметить, что умножение для чисел ниже 9 тем неудобнее выполнять «на пальцах», чем ниже число расположено от 9.

Теперь рассмотрим пример умножения для числа 8. Допустим, хотим умножить 8 на 4. Загибаем палец с номером 4 и за ним палец с номером 5 (4+1). Слева у нас осталось 3 незагнутых пальца, значит нам необходимо загнуть еще 3 пальца после пальца с номером 5 (это будут пальцы с номерами 6, 7 и 8). Осталось 3 пальца не загнуто слева и 2 пальца – справа. Следовательно, 8·4=32.

Еще пример: вычислить 8*7=?. Как было сказано выше, при умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от числа x пятерку, выполнить расчет с новым числом x-5, а затем добавить к ответу число 40. У нас x=7, значит загибаем палец с номером 2 (7-5=2) и следующий палец с номером 3 (2+1). Слева один палец остался не загнут, значит загибаем еще один палец (с номером 4). Получаем: слева 1 палец не загнут и справа – 6 пальцев, что обозначает число 16. Но к этому числу нужно еще добавить 40: 16+40=56. В итоге 8*7=56.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9. Например: 573*999 = 572 427

При умножении на 5, 6 и 7 используется идея деления цифры «пополам». Мы берем слово «пополам» в кавычки, так как дроби, которые могут при этом встретиться, мы отбрасываем. Отличительная способность нечетных цифр(1,3,5,7 и 9) состоит в том, что при делении их «пополам» мы отбрасываем дроби. Чётные цифры (0,2,4,6 и 8) дают обычный результат.

Является ли «сосед» четным или нечетным – никакой роли не играет. Мы смотрим только на «цифру»: если она четная, прибавляем к ней «половину» «соседа», если нечетная, то, кроме «половины» «соседа», прибавляем ещё 5. Например 443052*6

Числа, которые мы умножали на 6, были длинными. А будет ли работать метод, если мы попытаемся умножать 6 на однозначные числа, например 6 на 6? Да и даже не потребуется никаких изменений. Нужно прибавить к каждой цифре половину «соседа».

Правило умножения на 5 подобно правилу умножения на 6 и 7, только оно проще. Вместо того чтобы прибавлять цифру, как мы это делали при умножении на 6, или удваивать её, как её при умножении на 7, мы используем цифру только для того, чтобы определить ее чётность или нечётность.

Все это легко выполнимо. Вычислений тут очень мало. Сначала эти действия вам покажутся вам немного странными, поскольку приходится несколько перестроить ход своих мыслей. Так, вы больше используете соседа, чем цифру. Очень полезно поупражняться в умении удерживать в поле зрения определённое место числа. Позже, когда мы будем умножать одно большое число на другое, мы убедимся, что требуется известное умение сосредоточиваться, чтобы вспомнить, в какой стадии умножения мы находимся.

При умножении на 8 и 9 мы мысленно делаем ещё один новый шаг, который требует дальнейших упражнений. Раньше мы только складывали цифры, теперь нам нужно будет вычитать цифру из девяти или 1о. Предположим, мы хотим 4667 умножить на 8 или 9. В обоих этих случаях первый шаг состоит в том, что последнюю цифру большего числа (7) вычесть из 10. Мы начинаем с того, что смотрим на правый край числа 4 567 и говорим «3». Надо предварительно говорить: «10 минус 7, будет 3», реакция должна быть немедленная. Мы смотрим на 7 и говорим «3». Проверьте быстроту вашей реакции – посмотрите на каждую из следующих цифр и тотчас же скажите получаемый результат после вычета ее из 10:

Теперь вы сможете легко и быстро умножать на 9, не пользуясь таблицей умножения. Лучше всего это пояснит правило, которое нет необходимости выучивать наизусть, ибо после некоторой тренировки оно само закрепиться в вашей памяти. Правило это гласит:

Большинство людей, обладающих даже самыми скромными математическими знаниями, совершенно уверенны в том, что умеют умножать на 4. Но мы все-таки сейчас покажем , как это делается при помощи способа, аналогично тем, которые мы рассматривали выше.

Умножение на 3, за некоторыми исключениями, похоже на умножение на 8. Вместо того чтобы прибавлять соседа, как при умножении на 8, мы теперь прибавляем только половину соседа. Само собой разумеется, когда цифра нечётная, то мы дополнительно прибавляем 5.

Умножение на 2, разумеется, очень просто. По принятой нами терминологии это означает, что мы поочерёдно удваиваем каждую цифру данного числа, не пользуясь соседом. Мы можем удвоить число, просто прибавив его к самому себе, тогда даже не потребуется выучивать наизусть столбец таблицы умножения на 2.

для теоретических вероятностей. До сих пор задачи, которые мы рассматривали, имели довольно небольшое общее количество результатов. Мы могли бы легко подсчитать количество элементов в выборочном пространстве. Если в выборочном пространстве большое количество элементов, мы можем использовать методы подсчета, такие как перестановки или комбинации, для их подсчета.

Предположим, человек заходит в ресторан, чтобы поужинать из трех блюд. Есть четыре разных салата, три разных блюда и два разных десерта на выбор. Если предположить, что человек хочет съесть салат, первое блюдо и десерт, сколько различных блюд возможно?

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Древовидная диаграмма ужина из трех блюд
Глядя на древовидную диаграмму, мы видим, что общее количество приемов пищи равно \(4 \times 3 \times 2 = 24\ , \text{питание}\).
Определение: принцип умножения
Если существует \(n_1\) способов выбора первого элемента, \(n_2\) способов выбора второго элемента после выбора первого элемента, \(n_3\) способов выбора третий элемент после того, как были выбраны первые два, и так далее, пока не будет \(n_k\) способов выбрать последний элемент после предыдущих вариантов, тогда общее количество вариантов равно
\[n_1 \times n_2 \times n_3 \times n_4 \times n_5 … \times n_k. \label{Принцип умножения} \]
Пример \(\PageIndex{2}\): Принцип умножения для выстраивания людей в ряд
Давайте посмотрим, сколькими способами могут выстроиться четыре человека. Мы можем выбрать любого из четырех человек, чтобы быть первым. Затем есть три человека, которые могут быть вторыми, и два человека, которые могут быть третьими. На данный момент остается только один человек, который будет последним. По принципу умножения получается
\[4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\, \text{ways} \nonumber \]
для четырех человек.
Этот тип вычислений часто встречается в задачах на подсчет, поэтому у нас есть некоторые обозначения для упрощения задачи.
Определение: Факториал
Факториал из \(n\), читаемый как «n факториал», равен
\[n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)(1). \nonumber \]
По этому определению \(0! = 1.\)
Пример \(\PageIndex{3}\): факториалы 9{47}. \номер\]
70! больше, чем может обработать большинство калькуляторов.
Принцип умножения может показаться очень простой идеей, но он очень мощный. Многие сложные задачи счета можно решить, используя принцип умножения.
Пример \(\PageIndex{4}\): принцип умножения номерных знаков
Некоторые номерные знаки в Аризоне состоят из трех цифр, за которыми следуют три буквы. Сколько номерных знаков этого типа возможно, если:
10 цифр (0, 1, 2, 3, …, 9) и 26 букв. \[\underbrace{(10 \cdot 10 \cdot 10) \cdot (26 \cdot 26 \cdot 26)}_{\text{цифры}}=17 576 000 \text {номерные знаки} \nonumber \]
буквы могут повторяться, а цифры нет? \[\underbrace{(\underline{10} \cdot \underline{9} \cdot \underline{8}) \cdot(26 \cdot 26 \cdot 26)}_{\text {буквы}}=12 654 720\, \text{номерные знаки} \номер\]
первая цифра не может быть нулем и могут повторяться как цифры, так и буквы? \[\underbrace{(\underline{9} \cdot \underline{10} \cdot \underline{10})}_{\text{цифры}} \cdot \underbrace{(\underline{26} \cdot 26 \cdot 26)}_{\text{буквы }}=15 818 400\, \text{номерные знаки} \номер \]
ни цифры, ни цифры не могут повторяться. \[\underbrace{(\underline{10} \cdot \underline{9} \cdot \underline{8})}_{\text{цифры}} \cdot \underbrace{(\underline{26} \cdot \underline {25} \cdot \underline{24})}_{\text{буквы}}=11 232 000 \, \text{номерные знаки} \номер\]
Перестановки
Рассмотрим следующие задачи на подсчет:
Сколькими способами три бегуна могут закончить забег?
Сколькими способами можно выбрать группу из трех человек для работы над проектом?
В чем разница между этими двумя проблемами? В первой задаче важен порядок, в котором бегуны заканчивают забег. Во второй задаче не важен порядок, в котором выбираются три человека, важно только то, какие три человека выбраны.
Определение: Перестановка
Перестановка представляет собой набор элементов. Количество перестановок n элементов, берущих r за раз, определяется следующим образом:
Примечание. Многие калькуляторы могут напрямую вычислять перестановки. Найдите функцию вида \(_nP_r\) или \(P(n,r)\)
Пример \(\PageIndex{5}\): Permutation for Race Cars
Давайте рассмотрим простой пример для понять формулу числа перестановок множества предметов. Предположим, что в гонке участвует 10 автомобилей. Сколькими способами три автомобиля могут занять первое, второе и третье места? Порядок, в котором машины финишируют, важен. Используйте принцип умножения. Есть 10 автомобилей, которые могут финишировать первыми. После того, как автомобиль финишировал первым, девять автомобилей финишируют вторыми. После финиша второй машины любая из восьми оставшихся машин может финишировать третьей. 10 х 9х 8 = 720. Это перестановка 10 элементов по три за раз.
Используя формулу перестановки (Уравнение \ref{перестановка}):
\[P(10,3)=\frac{10 !}{(10-3) !}=\frac{10 !}{7 ! }= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \nonumber \]
Используя принцип умножения (Уравнение \ref{Принцип умножения}):
\[\underline{10} \cdot \underline{9} \cdot \underline{8} = 720 \nonumber \]
Есть 720 различных способов, которыми автомобили могут занять первые три места.
Пример \(\PageIndex{6}\): Перестановка для оркестровых программ
Школьный оркестр планирует сыграть шесть музыкальных произведений на своем следующем концерте. Сколько различных программ возможно?
Решение
Это перестановка, потому что они аранжируют песни, чтобы сделать программу. Используя формулу перестановки (уравнение \ref{перестановка}):
\[P(6,6)=\frac{6 !}{(6-6) !}=\frac{6 !}{0 !}=\frac{720}{1}=720 \nonumber \ ]
Используя принцип умножения (Уравнение \ref{Принцип умножения}):
\[\underline{6} \cdot \underline{5} \cdot \underline{4} \cdot \underline{3} \cdot \ underline{2} \cdot \underline{1}=720 \nonumber \]
Существует 720 различных способов аранжировки песен для создания программы.
Пример \(\PageIndex{7}\): Перестановка для офицеров клуба
Клуб волонтеров насчитывает 18 членов. Проводятся выборы для выбора президента, вице-президента и секретаря. Сколькими способами можно выбрать трех офицеров?
Решение
Порядок выбора офицеров имеет значение, так что это перестановка.
Используя формулу перестановки (уравнение \ref{перестановка}):
\[P(18,3)=\frac{18 !}{(18-3) !}=\frac{18 !}{15 ! }=18 \cdot 7 \cdot 6=4896 \nonnumber \]
Примечание: все цифры в 18! в числителе от 15 до единицы сократится на 15! в знаменателе.
Использование принципа умножения (Уравнение \ref{Принцип умножения}):
\(\begin{массив} {cccccc} {\underline{18}}&{\cdot}&{\underline{17}}&{\cdot}&{\underline{16}}&{= 4896} \\ {\text{Pres.}}&{}&{\text{В.П.}}&{}&{\text{Разд.}}&{} \end{массив}\)
Существует 4896 различных способов могут быть выбраны три офицера.
Другим обозначением перестановок является \(_nP_r\). Итак, \(P(18,3)\) также можно записать как \(_{18}P_3\). Большинство научных калькуляторов имеют кнопку или функцию \(_nP_r\).
Комбинации
Пример \(\PageIndex{8}\): Формула для комбинаций
Выбрать комитет из двух человек из лиц A, B, C, D и E. По принципу умножения \*5 \cdot 4 = 20 \) способы устроить двух человек.
AB AC AD AE BA BC BD BE CA CB
CD CE DA DB DC DE EA EB EC ED
Комитеты AB и BA являются одним и тем же комитетом. Аналогично для комитетов CD и DC. Каждый комитет считается дважды.
\[\frac{20}{2}=10 \nonumber \]
, поэтому существует 10 возможных различных комитетов.
Теперь выберите комитет из трех человек из лиц A, B, C, D и E. Существует \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\) способов выбрать трех человек по порядку. Подумайте о комитетах с лицами A, B и C. Их \(3! =6\) человек.
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
Каждая из них считается одной из 60 возможностей, но это один и тот же комитет. Каждый комитет считается шесть раз, так что всего
\[\frac{60}{6}=10 \, \text{различных комитетов}. \номер\]
В обоих случаях мы разделили количество перестановок на количество способов перестановки выбранных людей.
Количество перестановок n людей, одновременно принимающих r, равно \(P(n,r)\), а количество способов перестановки выбранных людей равно \(r!\). Сложив их вместе, мы получим
\[\begin{aligned}
\frac{n !}{\# \text { способы упорядочить r элементов }} &=\frac{P(n, r)}{r !} =\frac{(n-r) !}{\frac{r !}{1}} \\
&=\frac{n !}{(n-r) !} \cdot \frac{1}{r !} \\
&=\frac{n !}{(n-r) ! г !}
\end{aligned} \nonumber \]
Определение: Комбинация
Комбинация — это набор объектов, в котором порядок выбора не имеет значения. Количество комбинаций из n элементов, принимающих r за раз, равно:
\[C(n, r)=\frac{n !}{r !(n-r) !} \label{combination} \]
Примечание. : многие калькуляторы могут рассчитывать комбинации напрямую. Найдите функцию, которая выглядит как \(_nC_r\) или (C(n,r)\) .
Пример \(\PageIndex{9}\): Комбинация для выбора книг
У учащегося есть список для чтения на лето из восьми книг. Студент должен прочитать пять книг до конца лета. Сколькими способами ученик может прочитать пять из восьми книг?
Решение
Порядок книг не важен, важно только какие книги читать. Это комбинация из восьми предметов по пять одновременно.
\[C(8,5)=\frac{8 !}{5 !(8-5) !}=\frac{8 !}{5 ! 3 !}= \dfrac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56 \nonumber \]
Есть 56 способов выбрать пять книг для чтения.
Пример \(\PageIndex{10}\): Комбинация конфет на Хэллоуин
Ребенок хочет выбрать три конфеты на Хэллоуин, чтобы положить их в школьную коробку для завтрака. Если есть 13 конфет на выбор, сколькими способами она может выбрать эти три?
Решение
Это комбинация, потому что не имеет значения, в каком порядке выбираются конфеты.
\[\begin{align*} C(13,3) &=\frac{13 !}{3 !(13-3) !}=\frac{13 !}{3 ! 10 !} \\[4pt] &= \dfrac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9\times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(10 \times 9\times 8 \times 7 \times 6 \ умножить на 5 \раз 4 \раз 3 \раз 2 \раз 1} \\[4pt] &=\frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} \\[4pt] =\frac {1716}{6}=286 \end{align*} \nonumber \]
Существует 286 способов выбрать три конфеты, которые она упакует в свой обед
Примечание: разница между комбинацией и перестановкой имеет значение порядок или нет. Если порядок элементов важен, используйте перестановку. Если порядок элементов не важен, используйте комбинацию.
Пример \(\PageIndex{11}\): перестановка или комбинация серийных номеров велосипедов
Серийный номер конкретной модели велосипеда состоит из буквы, за которой следуют четыре цифры, и заканчивается двумя буквами. Ни буквы, ни цифры не могут повторяться. Сколько различных серийных номеров возможно?
Решение
Это перестановка, потому что порядок имеет значение.
Для решения используйте принцип умножения. Возможны 26 букв и 10 цифр.
\[26 \cdot 10 \cdot \underline{9} \cdot \underline{8} \cdot \underline{7} \cdot \underline{25} \cdot \underline{24}=78 624 000 \nonnumber \]
Существует 78 624 000 различных серийных номеров этой формы.
Пример \(\PageIndex{12}\): перестановка или комбинация для выбора мужчин и женщин
Класс состоит из 15 мужчин и 12 женщин. Сколькими способами можно выбрать двух мужчин и двух женщин для участия в занятиях в классе?
Решение
Это комбинация, поскольку порядок выбора людей не важен.
Выберите двух мужчин:
\[C(15,2)=\frac{15 !}{2 !(15-2) !}=\frac{15 !}{2 ! 13 !}=105 \nonumber \]
Выберите двух женщин:
\[C(12,2)=\frac{12 !}{2 !(12-2) !}=\frac{12 !}{ 2 ! 10 !}=66 \nonumber \]
Нам нужны 2 мужчины и 2 женщины, поэтому умножьте эти результаты.
\[105(66)=6930 \номер\]
Существует 6930 способов выбрать двух мужчин и двух женщин для участия.
Вероятности, связанные с перестановками и комбинациями
Теперь, когда мы можем рассчитать количество перестановок или комбинаций, мы можем использовать эту информацию для расчета вероятностей.
Пример \(\PageIndex{13}\): Вероятность с комбинацией для выбора учеников
В классе 20 учеников. Двенадцать студентов – женщины. Фамилии учеников заносятся в шапку и рисуются пять имен. Какова вероятность того, что все выбранные студенты – женщины?
Решение
Это комбинация, потому что порядок выбора учеников не важен.
\[P(\text {все девушки})=\frac{\# \text {способы выбора} 5 \text {женщины}}{\# \text {способы выбора} 5 \text {студенты}} \nonumber \]
Количество способов выбрать 5 женщин равно
\[C(12,5)=792 \nonumber \]
Количество способов выбрать 5 студентов равно
\[C(20, 5)=15 504 \nonumber \]
\[P(\text {все женщины})=\frac{\# \text {способы выбора} 5 \text {женщины}}{\# \text {способы выбора } 5 \text {студентов}}=\frac{792}{15,504}=0,051 \nonnumber \]
Вероятность того, что все выбранные студенты – женщины, составляет 0,051 или 5,1%.
Пример \(\PageIndex{14}\): вероятность с перестановкой для утиных гонок
Местный клуб мальчиков и девочек проводит утиные бега, чтобы собрать деньги. Члены сообщества покупают резиновую утку, отмеченную цифрой от 1 до 30 включительно. Коробку с 30 утками высыпают в ручей и пускают вниз по течению до финиша. Какова вероятность того, что утки с номерами 5, 18 и 21 финишируют первыми, вторыми и третьими соответственно?
Решение
Это перестановка, так как важен порядок отделки.
\[P(5,18 \& 21 \text { финиш } 1 \text { st, } 2 \text { nd } \& \text { 3 } \mathrm{rd})=\dfrac{\# \ text { способы } 5,18 \& 21 \text { финиш } 1 \text { st, } 2 \text { nd } \& 3 \mathrm{rd}}{\# \text { способы финиша любой утки } 1 \text { st, } 2 \text { nd } \& \text { 3rd }} \nonumber \]
Есть только один способ, которым утки могут закончить с #5 в первом, #18 во втором и #21 в в третьих. 9{-5} \end{align*} \nonumber \]
Вероятность того, что утки с номерами 5, 18 и 21 финишируют первыми, вторыми и третьими соответственно, составляет примерно 0,000041 или 0,0041%.
Пример \(\PageIndex{15}\): вероятность с перестановкой для двухкарточных комбинаций в покере
Покерная комбинация состоит из двух карт. Какова вероятность того, что покерная комбинация состоит из двух валетов или двух пятерок?
Решение
Невозможно одновременно получить два валета и две пятерки, поэтому это взаимоисключающие события.
Количество способов получить два валета равно
\[C(4,2)=6. \nonumber \]
Количество способов получить две пятёрки равно
\[C(4,2)=6 \nonumber \]
Количество способов получить два валета или две пятёрки равно
\[6 +6=12 \nonumber \]
Общее количество способов собрать покерную комбинацию из двух карт равно
\[C(52,2)=1326 \nonumber \]
\[P(2 \text { валеты или } 2 \text { пятерки })=\dfrac{\text { количество способов получить } 2 \text { валеты или } 2 \text { пятерки }}{\text { количество способов выбрать } 2 \text {карты}}=\frac{12}{1326} \приблизительно 0,009\nonumber \]
Вероятность выпадения двух валетов или двух пятерок составляет примерно 0,009 или 0,9%.
Пример \(\PageIndex{16}\): вероятность с комбинацией для гнилых яблок
В корзине лежат 10 хороших и два плохих яблока. Если отвлеченный покупатель залезает в корзину и не глядя выбирает три яблока, какова вероятность того, что он получит одно плохое яблоко?
Решение
Это комбинация, так как порядок, в котором были собраны яблоки, не важен. Всего он выбирает три яблока. Если одно яблоко плохое, то два других должны быть хорошими. Найдите вероятность одного плохого яблока и два хороших яблока.
\[P(\text {одно плохое и два хороших яблока})=\frac{\# \text {способы получить одно плохое и два хороших яблока}}{\# \text {способы получить три яблока}} \nonumber \]
Количество способов получить одно плохое и два хороших яблока равно
\[C(2,1) \cdot C(10,2)=2 \cdot 45=90 \nonumber \]
Количество способов получить три яблока равно
\[C(10,3)=120 \nonumber \]
\[ \begin{align*} P(\text { одно плохое и два хороших яблока }) &= \frac{\# \text { способы получить одно плохое и два хороших яблока }}{\# \text { способы получить три яблока }} \\[4pt] &=\frac{90}{120} \\[4pt] &=0. 75 \end{align*} \nonumber \]
Вероятность получения одного плохого яблока из трех составляет 0,75 или 75%.2
Эта страница под названием 3.5: Методы подсчета предоставляется в соответствии с лицензией CC BY-SA 4.0, автором, ремикшированием и/или курированием занимались Макси Иниго, Дженнифер Джеймсон, Кэтрин Козак, Майя Ланцетта и Ким Соньер посредством исходного контента, который был отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
Иниго и др.
Лицензия
CC BY-SA
Версия лицензии
4,0
Показать страницу TOC
нет
Теги
Комбинации
факториал
дерево умножения
перестановка
source@https://www.coconino.edu/open-source-textbooks#college-mathematics-for-everyday-life-by-inigo-jameson-kozak-lanzetta-and-sonier
Основные методы счета
Основные методы счета

Университет штата Иллинойс, математический факультет
MAT 305: Темы комбинаторики для K-8 Учителя

Основные методы счета
Дополнение Принцип Умножение Принцип Перестановки Комбинации
Циркуляр Перестановки Факториал Обозначение
Здесь мы концептуализируем некоторые стратегии подсчета, которые завершаются широким использованием и применением перестановок и комбинации. Все поднятые вопросы требуют, чтобы мы считали что-то, но каждый включает в себя другой подход.
Принцип сложения
Если я закажу один овощ из меню у Блеза Бистро, сколько вариантов овощей предлагает Блейз?
Здесь мы выбираем один элемент из набора элементов. Потому что там нет общих предметов среди двух наборов, которые Блейз назвал Зелеными. и Картофель, мы можем объединить предметы в один большой набор. Мы используем Кроме того, здесь 4+5, чтобы определить общее количество элементов для выбора из.
Это иллюстрирует важный принцип подсчета.
Принцип добавления
Если выбор из группы I можно сделать n способами и выбор из группы II можно сделать m способами, тогда число возможных вариантов из группы I или группы II равно н+м .
Необходимое условие: в группе I нет одинаковых элементов. как элементы второй группы.
Это можно обобщить до одного выбора из более чем двух группы, опять же при условии, что все группы или наборы не пересекаются с , то есть не имеют ничего общего.
Примеры для иллюстрации принципа сложения:
Вот три набора букв, назовите их наборами I, II и III:
Набор I: {a,m,r}
Набор II: {b,d,i,l,u}
Набор III: {c,e,n,t}
Сколькими способами можно выбрать одну букву из наборов I, II или III? Обратите внимание, что эти три набора не пересекаются, или взаимно исключительный : среди трех наборов нет общих элементов.
Вот два набора положительных целых чисел:
А={2,3,5,7,11,13}
Б={2,4,6,8,10,12}.
Сколькими способами можно выбрать одно целое число из множества А или Б? Обратите внимание, что эти два набора не являются непересекающимися. Какая модификация Можем ли мы применить принцип сложения, чтобы учесть этот случай? Пытаться написать эту модификацию.
Принцип умножения
«Обед» в бистро состоит одного супа, одного мясного блюда, одного зеленого овоща и одного десерт из меню a la carte. Если бы друг Блеза Пьер всегда заказывает такую еду, сколько разных блюд может быть созданный?
Мы можем перечислить возможные приемы пищи, предпочтительно в некоторых организованный способ убедиться, что мы рассмотрели все возможности. Вот набросок одного такого перечисления, где {V,O}, {K,R}, {S,P,B,I} и {L,A,C,F} представляют элементы, которые нужно выбрать из суповое, мясное, овощное и десертное меню соответственно.
ВКСЛ
ВКПЛ
ВКБЛ
ВКИЛ
. ..и так далее до…
ОРИЛ
ВКСА
ВКПА
ВКБА
ВКИА
ОРИА
ВКСЦ
ВКПЦ
ВКБК
ВКИЦ
ОРИК
ВКСФ
ВКПФ
ВКБФ
ВКИФ
ОРИФ
Обратите внимание на процесс перечисления, используемый в таблице. Как мог вы описываете это словами?
Как еще мы могли бы завершить счет без определение всех возможных вариантов? Карта или дерево для иллюстрации процесса перечисления обеспечивает мост к такому методу.
У нас есть два способа выбрать суп, два способа выбрать мясо блюд, четыре зеленых овоща на выбор и четыре десерта Выбери из. Сочетание одного супа с каждым мясом, затем каждого из эти пары с каждым из четырех возможных зеленых овощей, и каждый из эти тройки с каждым из четырех возможных десертов приводят к использованию умножение как быстрый способ подсчитать все возможные приемы пищи, которые мы мог собраться у Блэза.
Это предполагает, что мы используем другой принцип подсчета для описания этого техника.
Принцип умножения
Если задача состоит из двух шагов и первый шаг можно пройдено n путей и второй ступени м способов, то имеется н*м способов завершить задача.
Необходимое условие: Способы выполнения каждого шага независимы друг от друга.
Это можно обобщить для выполнения задачи более чем за два шагов, пока выполняется условие.
Пример для иллюстрации принципа умножения:
Вспомним наши три множества I, II и III: {a,m,r}, {b,d,i,l,u} и {с, д, н, т}. Определить количество трехбуквенных наборов, которые могут быть создан таким образом, что одна буква из набора I, одна буква из набора II, и одна буква из набора III. Обратите внимание, что наш выбор в каждом наборе не зависит от нашего выбора в других множествах. При необходимости мы мог бы перечислить возможные трехбуквенные или трехэлементные, наборы.
Перестановки
Сколькими способами могут буквы только одного набора из I, II и III заказать? В наборе I у нас есть следующие возможности:
амр рычаг март мРА баран RMA
Мы используем принцип умножения, чтобы описать наш выбор. Мы иметь три буквы на выбор при заполнении первой позиции, две буквы остаются, чтобы заполнить вторую позицию, и осталась только одна буква для последней позиции: 3x2x1=6 возможны различные порядки. Точно так же для набора II есть 120 различных способов упорядочить пять буквы и есть 24 различных способа заказать буквы в наборе III.
Это вышеприведенное обсуждение иллюстрирует концепцию другого базового стратегия счета.
Перестановка
Линейное расположение элементов, для которых порядок необходимо учитывать элементы.
Также отмечаем наличие факториальная нотация для компактного представления конкретного умножение, которое мы только что выполнили: 3x2x1=3!, 5x4x3x2x1=5!, и так далее. на. Итак, n(n-1)(n-2)…(2)(1)=n!.
Обозначение факториала
Компактное представление умножения последовательные целые числа. Мы используем н! возмущаться произведение n(n-1)(n-2)…(2)(1) , где n — некоторое положительное число.
Пример, иллюстрирующий использование перестановок:
Почти каждое утро или вечер в новостях я слышу о государстве DCFS штата Иллинойс, Департамент по делам детей и семьи. я запутаться, потому что на нашем факультете математики есть комитет называется Комитетом по статусу факультета факультета, или DFSC. Видишь почему я в замешательстве? Сколько различных четырехбуквенных порядков, или перестановки существуют для набора букв {D, F, S, C}?
Думая о четырех должностях для заполнения, __ __ __ __ , у нас есть 4 буквы на выбор для первой позиции, 3 для следующей, 2 буквы для следующей позиции и 1 выбор для последней позиции. По принципу умножения получается 4x3x2x1=24 различных 4-буквенные упорядоченные расположения для набора букв {D, F, S, С}.
Мы можем расширить это приложение, чтобы рассматривать упорядоченные расположения только некоторые элементы множества. Например, возвращение в меню напитков Blaise’s Бистро. Если Блейз опубликует только четыре возможных варианта газировки, как много разных упорядоченных композиций четырех газированных напитков?
Думаем о четырех позициях, которые нужно заполнить, __ __ __ __, у нас есть 6 газированных напитков на выбор для первой позиции, 5 для следующей, 4 газировки для следующий и 3 соды для последней позиции. Использование умножения принципе, существует 6x5x4x3=360 различных способов выбора и заказа четыре из шести газированных напитков в меню.
В общем, мы используем обозначение P(n,r) для представления число способов упорядочить r предметов из набора n предметов. в В первой задаче выше мы определили, что P(4,4)=24, а во второй мы рассчитали P(6,4)=360. Общее значение P(n,r) равно n(n-1)(n-2)…([n-(r-1)] или P(n,r)=n(n-1)(n-2)…(n-r +1). Обратите внимание, что n может быть любым неотрицательным целым числом. Есть ли какие-либо ограничения на значение r?
Есть шаг арифметики, который мы можем применить к общему шаблону для P(n,r), чтобы упростить вычисления перестановок. Во-вторых строку ниже, мы умножили на, это просто значение 1, потому что числитель и знаменатель равный. В четвертой строке ниже мы видим, как выражение может быть упрощено с использованием факториальной записи.
Таким образом, мы имеем P(6,2)=6!/4! И P(40,8)=40!/32!.
А как насчет P(4,4)? Приведенный выше результат предполагает P(4,4)=4!/0!. Мы уже знаем, что P(4,4)=4x3x2x1=4!, поэтому имеем 4!=4!/0!. Для этого быть правдой, должно быть так, что 0!=1. Как бы странно это ни было появляются, нам нужно 0!=1, чтобы поддерживать согласованность в пределах расчеты, которые мы хотим провести.
Комбинации
В чем разница между этими двумя вопросами?
(i) Сколькими способами можно раздать покерную комбинацию из 5 карт?
(ii) Сколько существует различных комбинаций из 5 карт в покере?
Первый вопрос касается порядка или расположения карт как они раздаются. Во втором вопросе конечный результат при сдаче 2H, 4D, JC, 3S, 10D в этом порядке такие же, как и при розыгрыше. 4D,3S,JC,10D,2H именно в таком порядке. В каждом случае тот же 5-карточный покер рука существует. Вопросы помогают проиллюстрировать разницу между перестановка и комбинация.
Комбинация
Набор элементов, порядок которых не имеет значения.
Мы нашли P(52,5) как решение первой задачи. То есть мы расставил 5 объектов, выбранных из 52 карт. Для второго вопрос, есть много аранжировок, которые дают одну и ту же 5-карточную рука. Мы должны учитывать это. Рассмотрим более простой проблема.
Сколько существует упорядоченных расположений букв набора {А,Б,С,Г,Е}?
Используя перестановки, мы получаем P(5,5) = 5! = 120 способов расставить пять букв.
Сколько заказанных композиций из 3 предметов из 5-элементный набор?
Имеем P(5,3) = 543 = 5!/2! = 60 аранжировок. Например, для три буквы {A,B,C} имеют такое расположение: ABC, ACB, BAC, БКА, КАБ, КБА. Это представляет 6 из 60 аранжировок, но каждая включает в себя тот же выбор трех букв. Так же и для трех буквы {A,C,E}: у нас есть ACE, AEC, CAE, CEA, EAC, ECA.
Кажется, что для каждого 3-буквенного подмножества {A,B,C,D,E} есть 6 аранжировки из тех же трех букв. Это полезное наблюдение при изучении следующего вопроса:
Сколькими способами можно выбрать три предмета из 5-элементный набор {A,B,C,D,E}, когда порядок трех элементов игнорируется?
Одним из способов является перечисление уникальных 3-элементных подмножеств {A,B,C,D,E}: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE. таких 10 3-элементные подмножества.
Еще один способ подсчета — использовать тот факт, что:
(i) имеется P(5,3) = 60 упорядоченных расположений 5-элементный набор в 3-элементных подмножествах и 90 212 (ii) среди 60 упорядоченных композиций есть 10 групп по 6 аранжировки, в которых используется одно и то же трехбуквенное подмножество. То есть 60 ÷ 6 = 10 уникальных 3-элементных подмножеств. Используя комбинаторику, мы есть
В общем, у нас есть способ определить количество комбинаций из n элементов, выбранных r за раз, где порядок выбора или расположение r предметов не учитывается:
и заметим, что
Связь между перестановками и Комбинации
Если элементы r должны быть собраны или размещены из набор из n элементов, то количество комбинаций из n элементов, взятых по r за один раз, С(н,р) , связанные с количеством перестановок n элементов, взятых по r за один раз, P(n,r) , по уравнению
.
Круговые перестановки
Сколькими способами можно расставить 5 детей по кругу? стол?
Если рассматривать случай линейно,
___, ___, ___, ___, ___,
имеем P(5,5) = 5! договоренности. Теперь расширьте это до круга:
Обратите внимание, что в каждом из этих случаев сидят одни и те же люди. рядом друг с другом. Хотя произошли изменения – вращение вокруг стола, пятеро детей все в том же положения относительно друг друга. Сколько существует способов поворота уникальная линейная зависимость ABCDE ? Таких способов пять, все изображен на чертеже.
Итак, у нас 5! уникальные линейные расположения детей, но мы можно сгруппировать так, чтобы в каждой группе было 5 аранжировок, которые показывают дети в одинаковом положении друг относительно друга. Поэтому мы есть 5!/5 = 4! круговых перестановок из пяти детей.
Что, если мы расположим по кругу подмножество r-элементов из n-элементный набор? Предположим, мы устраиваем 3 из 5 детей. В линейном случае имеется P(5,3) = 60 аранжировок, но мы можем сгруппировать их так у каждой группы есть 3 аранжировки, которые показывают детей в одном и том же положение относительно друг друга. Следовательно, имеем P(5,3)/3 = 5!/(2!*3) круговые перестановки пяти детей в 3-детей подмножества.
Вообще,
Круговая перестановка
Круговая перестановка – это круговое расположение элементы, для которых порядок элементов должен быть взят в учетную запись.
В целом:
На n элементов приходится (n-1)! круговые перестановки.
Количество круговых перестановок r – элементы из набора n – набор элементов P(n,r)/r.
Учебный план Оценки и Оценка Контент Примечания Сессия Очертания Задания и Наборы задач Тесты и викторины
14 способов научить считать от заданного числа – Раннее обучение
Дети учатся считать, как роботы. Это, конечно, не плохо — так оно и есть. Вы считаете ими, когда поднимаетесь по лестнице, или считаете облака в небе, или проезжающие машины, и всегда начинаете с единицы.
Все это прекрасно, и в жизни функция счета обычно начинается с единицы.
Однако это означает, что они учатся считать наизусть. Вы программируете попугая на произнесение 1,2,3. Они не всегда визуализируют последовательность чисел. И если вы попросите их начать считать с любого другого числа, они найдут это совершенно невозможным.
Научите считать от заданного числа путем повторения в забавных контекстах. Игры и занятия используются, чтобы заставить детей сосредоточиться. Используйте куклы, реквизит и захватывающие ресурсы, чтобы заставить их петь с разных номеров. Требуется много моделирования от взрослого.
Читайте дальше, чтобы узнать о лучших играх для эффективного обучения счету от заданного числа…
Так почему бы просто не начать с одной?
В жизни бывает много ситуаций, когда нет необходимости начинать считать с единицы.
Например, у вас есть четыре конфеты, и вы получаете еще одну. Если вы можете начать считать с четырех, это легко – четыре, пять. Однако если вы запрограммированы всегда начинать с одного, это займет немного больше времени — один, два, три, четыре, пять.
Этот процесс значительно удлиняется, если у вас есть тридцать конфет для начала. Или тысяча!
Чтобы начать решать задачи в реальной жизни и использовать простое сложение в практическом контексте (например, в примере со сладостями), полезно иметь возможность начинать с разных чисел.
Важно для следующих вещей:
Найти еще
Добавление
Оценка
Когда начинать считать с разных номеров?
Я думаю, что вы должны начать делать это, когда дети будут уверенно считать от 1 до подросткового возраста и, возможно, до двадцати.
Есть много способов поддержать и научить детей развивать этот простой механический счет от 1. (Если вы не знаете, что такое механический счет и какие игры лучше всего его обучают, ознакомьтесь с этим).
Делать это раньше, может быть, слишком рано, и это только внесет путаницу в смесь. Им достаточно трудно запомнить эту длинную последовательность необычных слов и понятий, и лучше подождать, пока они не освоят ее.
Сейчас самое время для стратегий…
1.Счет по кругу
Это отличный способ сдвинуться с мертвой точки. Хотя не обязательно начинать с заданного числа, это хорошо для того, чтобы дети думали, что будет дальше.
Просто сядьте в круг и попросите их считать, начиная с одного и каждого ребенка, называя по одному числу за раз. Чтобы помочь им сосредоточиться, вы можете попросить их передать игрушку и назвать число только тогда, когда вы держите игрушку.
Как я уже сказал, вы начинаете с единицы, так что на самом деле это не расчет с заданного числа. Тем не менее, это закладывает основу для этого и размышлений о том, «что будет дальше».
2. Подсчет парами или группами
Это следующий шаг. Самый простой способ — объединиться в две команды. Они сидят или стоят лицом друг к другу. Тогда это похоже на теннисный матч. Одна команда говорит «один», другая команда говорит «два»… и вы продолжаете в том же духе.
Опять же, не рассчитывая от заданного числа, а закладывая решающую основу.
Немного сложнее сделать это, попробовав это в парах.
Объединитесь и один ребенок скажет «раз», другой говорит «два» и продолжите…
3. Счетные палочки
Счетные палочки — один из лучших способов представить ряд математических понятий. Это отличное первое знакомство с числовой линией. Чтобы узнать 17 моих любимых игр со счетной палочкой, взгляните на это.
Простая игра на счет – следовать за игрушкой. Игрушка стартует с одного конца счетной палочки и прыгает по секциям палочки. Дети произносят число каждый раз, когда оно попадает на секцию.
Вы можете сказать им, например, что один конец палки равен 3. Затем попробуйте сосчитать от 3 до 4, 5, 6 и т. д. Следуйте за игрушкой и старайтесь идти дальше. Повторяй, повторяй, повторяй! В первый раз они не будут знать, что вы делаете, поэтому попробуйте несколько раз.
4. Используйте числовой ряд
Эта стратегия работает, если дети могут распознавать числа. Если они не могут, это не так полезно.
Возьмите пальчиковую марионетку и начните с числа в строке. Затем просто прыгайте с марионеткой и заставляйте их говорить, на какое число она приземляется каждый раз.
Это также можно сделать с помощью счетной палочки с наклеенными на нее числами.
5. Считать разными голосами
Это отличное развлечение! Скажем, сегодня мы будем использовать разные голоса и все вместе будем петь числа. Некоторые классические голоса — это призраки, инопланетяне, ведьмы, львы и принцессы — но пусть дети творят. Они придумают какую-нибудь классику.
Возьмите пакет с числами от 1 до 5 и выберите один, например. 4. Попробуйте сосчитать, как призраки из 4. Затем повторите. Повторение действительно помогает.
6.
Используйте кубики
У меня разные голоса в кубиках. Бросьте кости и посмотрите, какая картинка выпадет. Затем посчитайте этим голосом.
Можно заставить марионетку прошептать, каким голосом начать, а затем использовать голос из кубиков, чтобы начать с этого числа.
Это одна из моих любимых игр с механическим подсчетом (узнайте 17 моих лучших игр здесь).
7. Используйте два кубика
Я также использую два кубика для веселой игры. На одном кубике изображены символы, а на другом — цифры. Цифры могут подсказать вам, с какого числа начать отсчет.
Бросьте оба кубика и готово! Вы можете, например, получить четыре и призрак. С вашими лучшими призрачными голосами начните считать с четырех и убедитесь, что вы прошли десять. Всегда идти после десяти!
8. Используйте марионетку
Куклы — один из лучших способов обучения математике счету в целом. Вы наверняка замечали, что дети часто слушают кукол гораздо внимательнее, чем взрослые. Куклы – это палочка-выручалочка, которую действительно нельзя игнорировать!
Забавная игра: заставить марионетку вытащить число из мешочка. Затем все дети помогают марионетке считать от этого числа.
Если вы хотите узнать о моих лучших 22 играх по использованию кукол в обучении, взгляните на это.
9. Счет при ударе по инструменту
Инструмент просто вызывает у них интерес. Чтобы по-настоящему заинтересовать их, дайте каждому по инструменту. Попробуйте синхронно ударить по своим инструментам, начав считать с разных чисел.
10. Прыжки/хлопки/подпрыгивания и т. д.
Физические действия хорошо сочетаются со счетом. Это хороший процесс, чтобы объединить одно действие с одним номером. Это действительно закрепляет счет 1:1 в уме ребенка.
В этой игре выберите действие. Я также использую для этого кубик действия. У меня есть кубик с шестью действиями — прыжки со звездой, прыжки, хлопки в ладоши, прыжки и т. д.
Выберите действие, а затем выберите число, с которого нужно начать. Рассчитывайте на это число, когда прыгаете или прыгаете!
11. Прыжки по цифре на полу
Это отличное занятие на свежем воздухе. Также хорошо, если у вас есть какая-то гигантская числовая линия на полу внутри. Снаружи его можно было нарисовать на земле мелом или заклеить скотчем.
Простая игра в кости. Бросьте кости, и любое число, которое вы выбросите, будет числом, с которого вы начнете, например. 4. Начните с 4 и прыгайте по числовой строке, произнося каждую цифру, пока не дойдете до конца.
Это одно из 50 заданий, которые вы найдете в моем подробном посте о лучших математических играх на свежем воздухе.
12. Простые настольные игры до десяти
Вы можете создать свою собственную настольную игру “Ипподром”. Имейте сетку с числами и несколько фишек для игроков.
Игроки бросают кости один за другим и перепрыгивают выпавшее число вперед.
13. Бросание предметов в коробку
Это хорошая игра на слух, смешанная с математикой. Имейте поднос и несколько блоков, а также простыню, чтобы скрыть то, что вы делаете.
Несколько блоков уже в лотке. Покажите детям и попросите их сосчитать их.
Затем скажите, что вы собираетесь бросить еще несколько блоков в лоток, и мы будем рассчитывать, сколько их там. Если вы начинаете с трех, вы говорите: «Три, (бросьте кубик)… четыре… (бросьте кубик)….пять…» Продолжайте считать, пока не перестанете их бросать. Сколько у нас есть?
Пересчитайте их еще раз, чтобы убедиться, что вы правы.
14. Старт после десяти
Это хороший навык, если вы всегда рассчитываете выйти за пределы десяти. Детям нужно «соединить» десять, и они знают, что это еще не конец.
Иногда полезно начать считать больше десяти. Это определенно сложнее, чем начинать с отдельных фигурок, но это полезный навык, и с ним стоит упорствовать. Любая из вышеперечисленных игр может быть адаптирована с отправной точкой больше десяти.
Заключение
Дети часто учатся считать, как роботы, но важно смешивать их опыт счета и числа как можно раньше, когда они к этому готовы. Чем больше гибкости математического мышления вы сможете привнести раньше, тем лучше.
Важно отметить, что считать с заданного числа может быть очень весело. Используйте марионеток, реквизит, дурацкие голоса и любые другие трюки, которые вы можете придумать, чтобы заставить их считать, и подготовьте их к вычислениям различными способами.
Если эта статья показалась вам полезной, почему бы не взглянуть на одну из следующих:
Что такое десятый фрейм? И как их лучше всего использовать
Время математических кружков – основное руководство (20 идей)
Recent Posts
ссылка на 17 блестящих игр с парашютом для физкультуры (для всех возрастов)
17 блестящих игр с парашютом для физкультуры (для всех возрастов)
За более чем 12 лет работы в сфере образования я перепробовал сотни упражнений по физкультуре, и одними из моих любимых игр, к которым я снова и снова возвращаюсь, являются игры с парашютом! Всего один парашют и…
Продолжить чтение
ссылка на 17 фантастических игр с парашютом для средней школы
17 фантастических игр с парашютом для средней школы
Игры с парашютом прекрасно подходят для детей среднего школьного возраста. Они обеспечивают фантастический Я работаю учителем более десяти лет, и за это время испробовала сотни парашютов…
Продолжить чтение
Счет… Так же просто, как 1, 2, 3?
Поделиться:
«Это так же просто, как 1, 2, 3» — неправильное название при работе с маленькими детьми. Взрослым может быть сложно понять, как то, что мы считаем простым, например счет, может быть сложным для детей. Так почему это сложно для детей? Что ж, будучи взрослыми, мы регулярно используем счет в различных контекстах, таких как определение количества (например, полдюжины рогаликов), измерение (удвоение рецепта), классификация (например, номера на футболках) и идентификация (например, когда мы различаем адреса). . Признание этого и инициирование множества дискуссий и возможностей для изучения учащимися различных способов использования чисел в счете будет очень полезным.
Счет: больше, чем знание чисел
Счет выходит за рамки простого механического повторения, которое часто оценивается в школах. Счет развивает части мозга, которые будут играть важную роль в математике будущего. Да, важно знать названия чисел, но простое знание чисел не делает учащихся способными считать. Давайте сравним. Признаем ли мы детей бегло читающими только потому, что они могут спеть песенку с алфавитом? Конечно нет! Итак, давайте рассмотрим, что еще нужно учащимся принести с собой, чтобы научиться считать.
Помощь детям в овладении счетом
Индивидуальная переписка
Индивидуальная переписка является важным этапом в обучении счету. Это сильно отличается от механического счета. Механический счет — это, по сути, повторение чисел по порядку, в то время как индивидуальная переписка включает в себя сопоставление предмета с названием числа, что является гораздо более сложным навыком для детей. Обычно это включает в себя прикосновение к объекту в наборе, когда число произносится вслух. Например, ребенок продемонстрирует этот навык, касаясь каждого блока в наборе один раз, громко называя соответствующий номер. Мы знаем, что не можем уговорить детей учиться; это процесс, который наиболее успешен, когда мы помогаем учащимся развить это желание учиться для себя, когда они выполняют стимулирующий практический опыт. Когда учащиеся участвуют в этих индивидуальных заочных занятиях, поговорите с ними об их выводах и, если они расскажут, почему количество осталось прежним или изменилось в зависимости от их организации предметов.
Простая оценка состоит в том, чтобы разложить несколько предметов, чтобы дети могли сосчитать. Что вы наблюдаете? Пропускают ли учащиеся определенные числа? Они пересчитывают одни и те же предметы? Что происходит, когда вы удаляете некоторые элементы и заставляете их пересчитывать? Убедитесь, что у учащихся есть центры или возможности для изучения многих типов предметов. Для самых начальных счетчиков подумайте о том, чтобы они считали вместе с литературой и/или разыгрывали историю. Например, Five Little Monkeys дает прекрасную возможность добавить физический элемент. Разыгрывают ли они историю, используя фишки, соответствующие количеству обезьян в рассказанной истории, или используя рамку из десяти, чтобы показать количество обезьян, учащиеся не смогут устоять перед весельем, поскольку они развивают этот важный навык. .
Количество элементов
Количество элементов также является важной концепцией для изучения молодыми счетчиками. В основном это означает, что количество подсчитанных объектов остается постоянным независимо от расположения объектов или порядка. Учащиеся должны развивать понимание того, что каждое последующее число относится к количеству, которое на единицу больше, например, зная, что четыре является частью пяти. Обычно ожидается, что в возрасте около 4 лет дети могут сосчитать группу из 1–5 объектов и правильно ответить на вопрос, сколько с точностью. Группы из 6–10 человек обычно формируются примерно в возрасте 5 лет9.0032
Сохранение чисел
Вы видели, как дети считают свои пять пальцев? На вопрос, сколько у них пальцев, многим придется пересчитать. Это упрощенный пример сохранения чисел, что является еще одним важным аспектом счета, который необходимо развивать у младших школьников. Проще говоря, это означает, что ребенок понимает, что после пересчета набора предметов количество предметов остается прежним. Учащиеся должны освоить эту концепцию, чтобы добиться успеха с размещением стоимости и будущими операциями. Поскольку эта концепция очень важна, я предостерегаю от использования десятичных блоков до тех пор, пока ребенок не освоит сохранение десяти. В противном случае инструмент становится абстрактным источником путаницы, когда дети будут насчитывать три длины, но не будут понимать, как это на самом деле означает тридцать.
Подсчет на
«Расчет на» также является важным шагом в счете, который дети должны развивать. Могут ли они начать считать с числа, которое уже определено, или им нужно начать сначала, чтобы получить новую сумму? Этот навык способствует развитию кардинальности и сохранению чисел и требует практики. Предоставление им возможности исследовать поможет. Понимание чисел учащимися часто бывает хрупким. Если они овладели четырьмя, например, легко научились разлагать, субитировать или представлять, они, возможно, не смогут сразу перенести эти знания на пять. Литература, такая как Mouse Count предлагает отличные примеры того, на что можно рассчитывать.
Опыт подсчета
Так почему же так важно, чтобы учащиеся начальных классов имели МНОГО опыта в счете и частых оценках, проверяющих сохранение чисел? Позвольте мне привести пример. Учительница 6-го класса, которую я тренировала, жаловалась, что учителя в младших классах никогда не выполняли свою работу, и она тратила собственные деньги на покупку карточек, чтобы помочь своим ученикам, наконец, узнать факты. Понаблюдав за классом, я заявила, что проблема в том, что ученики не умели считать, после чего она взорвалась недоверием. В конце концов она согласилась позволить мне смоделировать урок построения графиков, над которым они работали, но попросила меня не делать никаких «детских штучек».
На следующий день мы начали копаться. Мы начали с определения того, сколько букв было в именах учеников. Мы изобразили данные класса несколькими способами, нашли среднее значение, медиану, диапазон и т. д. Затем я попросил учеников посмотреть на «последовательности имен», которые мы создали с помощью кубиков, и сказать мне, сколько всего букв было во всех именах. комбинированный. Их догадки варьировались от 50 до 1000, что определенно свидетельствовало о некоторых слабостях в восприятии смысла у этих конкретных шестиклассников. Класс решил, что мы можем считать десятками, чтобы найти общее количество, и мы быстро объединили названия поездов за столами в группы по десять человек. Мы обнаружили, что всего было 238 букв.
Ключевой вопрос, который так много открыл учителю, был таким; если мы решим повторить это задание завтра, и все здесь вернутся с теми же именами, но на этот раз мы должны посчитать общее количество букв в наших именах единицами, будет ли у нас по-прежнему такое же количество букв, больше букв или меньше букв? За исключением одного студента, все студенты настаивали на том, что у нас будет меньше букв, потому что 1 меньше 10. Эти студенты боролись с сохранением чисел, и это предполагает, что они также могут столкнуться с порядковым значением, которое может сильно повлиять на их способность вычислять операции. или получить доступ к математике более высокого уровня. К счастью, этот шестиклассник начал считать, куда бы они ни пошли — двери, которые они проходили, идя на обед, количество шагов до физкультуры, доски объявлений в школе и т. д. Их баллы быстро росли по мере того, как они укрепляли свои навыки счета и количества элементов.
Понятно, что считать может быть не так просто, как 1, 2, 3, но предоставление учащимся реального опыта и возможности осмысленно обсудить свои выводы, несомненно, направит их на правильный путь.
Хотите узнать больше о счете и других важных основах обучения математике? Вы можете изучить презентацию Лизы с недавней конференции NCTM 2019, Tool Time: It’s All About the Connections! , посетив https://mathsolutions.com/contact-us/speaker-presentations/
Простые методы обучения детей числам и счету
Основная причина – боязнь математики…
Почему они боятся математики?
Потому что не понимают 🙁
Почему не понимают?
Потому что они думают, что это сложно и не доставляет удовольствия
Но поверьте мне… Математика — самый простой предмет, и работать с числами очень весело, если вы заложите своим детям прочную основу чисел
Распознавание чисел и понимание процесса подсчета повысит уверенность вашего ребенка и поможет ему построить отличное восприятие математики.
Итак, вот несколько упражнений, чтобы познакомить вашего ребенка с числами и счетом
Нажмите на ссылки ниже, чтобы загрузить листы с заданиями
Лист с заданием — Поезд — Числа и последовательность
Лист с заданием — Черепаха — Счет и маска
Задание Лист – Тедди – Распознавание случайных чисел
Лист с заданием – Распознавание чисел и сопоставление
Лист с заданием – Сбор яблок
Яйцо и птица – Знакомство с числами
Возьмите белый лист формата А4 и желтую плотную бумагу. Вырежьте белый лист в форме яичной скорлупы и желтый, как желток, как показано на изображении ниже.
Разрежьте яичную скорлупу пополам, как будто яйцо вылупилось. Держите это в стороне.
Наклейте вырезанный желтый желток на верхнюю часть палочки для поп-музыки и нарисуйте на нем птицу и количество птиц.
Также напишите число на яичной скорлупе и приклейте верхнюю часть яичной скорлупы поверх желтка.
Аналогичным образом для каждого числа нарисуйте соответствующее количество птиц и числа на яйцах и желтках.
Обратите внимание, что нижняя часть скорлупы не должна торчать со всех сторон, она должна быть открыта в средней части, тогда ее можно будет только двигать вверх-вниз .
Поезд и вагоны. Номера и последовательность
Дайте ребенку рабочий лист -2 и перепутанные числа с вырезанного листа и попросите его разместить каждое число в последовательности от 1 до 10 на каждом вагоне.
Вы также можете взять некоторые цифры и попросить его заполнить пропущенный номер последовательности.
Обезьяна и банан – Счет
Возьмите распечатку листа с обезьяной и бананом, вырежьте бананы из вырезанных листов и отложите в сторону. Возьмите небольшую картонную коробку и наклейте на нее изображение обезьяны. Сделайте прорезь во рту обезьяны таким образом, чтобы все, что ей кладут в рот, попадало внутрь коробки, как показано на рисунке ниже.
Разрежьте бумагу формата A4 на ленту и напишите на ней цифры от 1 до 4. Сделайте два разреза на руках обезьяны и поместите ленту, как показано на рисунке. Который вы можете потянуть и отрегулировать, чтобы отобразить любое число по вашему желанию. Вы можете убедить ребенка, что обезьяна просит соответствующее количество бананов. Дайте ребенку кусочки банана и попросите его вложить их в рот обезьяне через открытую щель.
Например: если на руке обезьяны изображено число 4, попросите ребенка дать обезьяне 4 банана. Что он сосчитает 4 банана и положит их в рот обезьяне.
После занятия бананы будут лежать в коробке, которую можно легко вынуть, как показано выше .
Кусочек пиццы – посчитай и сопоставь число
Возьмите два желтых картона, вырежьте из них круглую форму. Один для кусочков пиццы, другой для основы. Фрагментируйте фигуру, как показано на изображении ниже. На каждом кусочке отметьте от 1 до 5 оливок. Попросите ребенка сосчитать оливки на кусочке пиццы и сопоставить каждый кусочек с соответствующим номером на основе пиццы.
Распознавание чисел и сопоставление
Раздайте ребенку лист с заданиями по распознаванию чисел вместе с некоторыми трехмерными числами.
Попросите его распознать число на листе с заданиями и сопоставить его с соответствующим трехмерным числом.
Или
Вы также можете дать ему ящик для осколков и попросить его отсортировать каждое число в соответствующих столбцах.
Лоток для льда – Кнопка – Счет Упражнение
Возьмите лоток для льда или несколько мисок. Поместите случайные числа на каждую тарелку и дайте ребенку пуговицы, помпоны или что-нибудь, что он может сосчитать и выбрать. Попросите его сосчитать пуговицы и поместить их в каждую чашу в соответствии с указанным на ней числом.
Тедди – Распознавание случайных чисел
Предоставьте вашему ребенку лист с упражнениями на игрушечного медведя и вырезанные цифры. Попросите его распознать каждую цифру на рабочем листе и замаскировать ее вырезами
Самодельные счеты
Возьмите цветное тесто в любую миску и положите палочки на цветное тесто. Пронумеруйте каждую чашу наклейками. Возьмите соломинку и нарежьте ее на кусочки, а можно и макароны. Попросите ребенка надеть кусочки соломинки на палочку, как указано на каждой миске.
Черепаха – посчитайте и наденьте маску
Дайте ребенку лист с заданиями по черепахе. Попросите его сосчитать количество точек на каждой части его верхней оболочки и замаскируйте его соответствующим номером
Сбор яблок – Счет
Возьмите лист с заданиями по яблоне и приклейте на него вырезки яблока с помощью двусторонних наклеек.
Сделайте кубик из какой-нибудь коробки в форме куба (например, коробки из-под духов), накройте ее плотной бумагой и напишите на ней числа.
Теперь дайте ребенку лист с заданиями, игральные кости и миску. Попросите ребенка бросить кубик и, какое бы число ни выпало, попросите его сорвать столько же яблок с дерева и оставить их в миске.
Подробное объяснение смотрите в видео

Вы также можете просмотреть
Как учить цвета с помощью веселых занятий?
Изучение алфавита с творческими занятиями
счет, как учить цифры и считать, цифры
25 идей, которые помогут детям научиться считать.
Советы и рекомендации

Красочные счеты
Купите счеты с большими разноцветными бусинами. Выровняйте все бусины с левой стороны и покажите детям, как они могут сдвигать по одной бусине вправо. Сосчитай с ними бусины. Малыши быстро поймут суть. Позже вы можете предложить детям сдвинуть одну красную бусину, две синие бусины или три желтые бусины и так далее. С помощью этого занятия дети не только научатся считать, но и потренируют мелкую моторику и попрактикуются в распознавании цветов.
Магнитные числа
Сначала используйте несколько «1», «2» и «3». Разложите их в произвольном порядке на столе или на полу. Повеселитесь, расположив их в правильном порядке (1, 2, 3) на листе для печенья или на магнитной доске, называя числа. Как только дети освоят эти три числа, вы можете добавлять по одному числу за раз, чтобы повысить уровень сложности.
Прыгающие мячи
Дайте каждому ребенку по привлекательному мячу или, если дети очень маленькие, поиграйте с одним мячом самостоятельно. Цель состоит в том, чтобы отбросить мяч на пол и считать каждый отскок. Это может быть довольно сложной задачей для маленьких детей. Это хорошая вещь; им нужно будет попрактиковаться в подсчете первых нескольких чисел несколько раз.
Башня для постройки, блоки для подсчета
Поставьте корзину с кубиками Lego или Duplo на пол и предложите каждому ребенку взять «1» блок. Затем предложите им взять второй блок и положить его поверх первого. Подсчитайте количество блоков, которые содержит башня каждого ребенка. Продолжайте это упражнение, пока башня каждого ребенка не будет состоять из десяти или более блоков, в зависимости от их возраста. Как только будет достигнуто максимальное количество блоков, пусть дети разберут свою башню, по одному блоку за раз, считая их в процессе работы. С очень маленькими детьми используйте пластиковые кубики и просто помогайте им складывать кубики, считая их вместе. Продолжайте идти, пока их башня не рухнет. Они наверняка захотят начать снова и снова!
Кусочки трубочек для питья
Купите несколько больших красочных соломинок для питья (для густых смузи). Получайте удовольствие, считая их с вашей группой. Если у вас есть сушилка для детских бутылочек с несколькими ветками, предложите детям скользить по ним соломинками, считая их во время работы. Через некоторое время разрежьте соломинку пополам и повторите это упражнение. Вы можете продолжать резать соломинки для питья на все более мелкие кусочки. У детей будет больше, чтобы считать!
Нарезка и повторная нарезка сыра
Для каждого ребенка положите по ломтику сыра на тарелку. С помощью ножа нарисуйте узор в виде сетки на кусочке сыра каждого ребенка, но дайте детям возможность самостоятельно разделить крошечные кубики сыра. Считайте каждый кусочек вместе с ними, когда они кладут их в рот.
Клейкие цифры
Купите большое количество клейких цифр. Повесьте большие куски картона на стену или положите их на пол в ряд. С помощью маркера напишите на одном куске картона большую цифру «1», на втором большом куске картона большую цифру «2», на другом большом куске картона большую цифру «3» и так далее. Предложите детям связать приклеенные цифры с соответствующей доской. Поощряйте их называть числа, когда они наклеивают их на правильные доски. В конце упражнения посчитайте вместе со своей группой, указывая на разукрашенные кусочки картона.
Одна строка, две строки, много строк!
Купите ароматизированные маркеры, яркие маркеры или любые другие маркеры или мелки, которые, как вы знаете, дети в вашей группе будут охотно ими манипулировать. Предложите детям нарисовать с их помощью вертикальные линии внизу листа бумаги. Конечно, они должны считать строки одну за другой. Затем, в зависимости от возраста детей в вашей группе, вы можете попросить их использовать ножницы, чтобы разрезать по линиям, считая их еще раз. Маленьким детям, которые только начинают пользоваться безопасными ножницами, особенно понравится это занятие, которое поможет им развить мелкую моторику и навыки счета.
Считать монеты
Купите симпатичную копилку, которая обязательно привлечет внимание детей, а также большое количество разноцветных монет. Убедитесь, что монеты легко вставляются в отверстие копилки. Пусть дети по очереди кладут одну, две или три монеты в копилку, считая их. Как только копилка наполнится, встряхните ее, пока она не опустеет, и начните все сначала! Дети обожают это очень простое занятие. Вы можете использовать несколько разных копилок или даже сделать свою собственную. Просто украсьте металлическую банку из-под кофе и прорежьте прорезь в крышке. Если вы решили сделать копилку своими руками, украсьте ее клейкими цифрами!
Один для тебя, один для меня
Во время перекуса помогите детям найти партнера. Дайте каждой команде миску, наполненную различными ягодами. Предложите им разделить ягоды между собой, считая их по мере того, как они кладут их в свои тарелки. Помогайте детям, если это необходимо. Если дети в вашей группе очень маленькие, предложите им собирать по три ягоды за раз, чтобы они могли сосчитать только до трех.
Посадка цветов
Купите красивые цветы из ткани или пластмассы в долларовом магазине, а также один или несколько блоков оазиса (или просто используйте тесто для лепки). Пусть дети накалывают стебли цветов в пену, считая каждое новое прибавление. Им понравится повторять это упражнение снова и снова, и поэтому у них будет несколько возможностей попрактиковаться в счете. Вам решать, сколько цветов вы позволите им использовать для каждого «букета». Вы также можете посчитать цветы для детей в вашей группе. Если вы услышите, как вы называете числа в правильном порядке, это поможет им запомнить их.
Свечи для праздничного торта
Вырежьте из белого картона большую форму праздничного торта и повесьте ее на стену. Вырежьте из цветной бумаги узкие прямоугольники, которые будут изображать свечи. Используйте клейкую замазку, чтобы добавлять по одной свече за раз. Считайте свечи по мере их добавления.
Двух-, трех- и четвероногие друзья
Для этого задания вам понадобится ящик для фигурок животных. Предложите детям выбрать по одной фигурке животного и сосчитать, сколько у нее лап/ног. Это отличное упражнение для обучения счету от 1 до 4. Конечно, у некоторых животных (змеи, рыбы и т. д.) нет ног. Маленькие дети могут быть незнакомы с этим числом (0)… в конце концов, мы всегда начинаем с «1», когда учим детей считать.
Классики
Развлекайтесь, рисуя необычные сетки в классики. Например, ваши сетки для игры в классики могут содержать только числа от 1 до 3 или вместо того, чтобы рисовать прямоугольники, вы можете рисовать цветы, солнца, звезды и т. д. Конечно, здесь важно, чтобы вы нашли способ использовать этот простой игра, чтобы исследовать числа с вашей группой.
Яркие палочки
Опустошите пакет разноцветных палочек от эскимо на стол или на пол. Положите кусочки цветной бумаги (тех же цветов) поблизости. Попросите детей связать палочки от эскимо с бумагой соответствующего цвета одну за другой, считая их. Вы также можете использовать разноцветные палочки для обозначения чисел, с которыми дети знакомы. Когда результат вас удовлетворит, склейте палочки от эскимо, чтобы получились разноцветные цифры, которые можно использовать для украшения детского сада и для тренировки счета в группе. Просто разместите их на стене в правильном порядке.
Танцевальные па
Придумайте простые танцевальные па и научите им свою группу. Покажите им, как считать шаги: “1, 2, 3… 1, 2, 3…”.
Световое шоу
Дети любят фонарики. Купите несколько разноцветных фонариков. Выключите свет и получайте удовольствие, многократно включая и выключая фонарики. Считайте каждый раз, когда вы включаете фонари вместе с группой. Вы также можете использовать фонарики в качестве прожекторов, чтобы освещать большие цифры, отображаемые на стене. Назовите числа, которые вы видите.
Счетные скрепки
Купите несколько больших красочных скрепок или скрепок с красивым дизайном. Вы даже можете найти скрепки, у которых на кончике приклеены забавные фигурки. Возьмите большой лист плотной бумаги и предложите детям скользить по нему скрепками по одной, считая их. Помогите им, если это необходимо. Чтобы продвинуть это занятие еще дальше, вы можете использовать горячий клей, чтобы наклеить пенопластовые цифры на скрепки и попросить детей наклеить их на бумагу в порядке номеров.
Гоночные машинки
Купите маленькие игрушечные машинки и наклейте на каждую из них номер. Вы получите машину номер 1, машину номер 2, машину номер 3 и так далее. Предложите детям катить машинки от линии старта до линии финиша в порядке номеров. Назовите цифры на каждой машине вместе с вашей группой.
Животные в загоне
Используйте деревянные палочки (палочки от эскимо), чтобы разграничить маленькие загоны на полу вашего детского сада. В каждой ручке нарисуйте число (от 1 до 5). Попросите детей поместить в каждый загон соответствующее количество животных. Сосчитайте животных вместе.
Давайте пробивать дырки!
Маленькие дети в восторге от дыроколов. Купите дыроколы, чтобы дети могли создавать самые разные крошечные фигуры. Возьмите в руки лист цветной бумаги и предложите детям сделать отверстия в бумаге дыроколом. Считайте крошечные фигурки по мере их падения или, если они собираются в небольшой резервуар под дыроколом, время от времени опорожняйте его, чтобы подсчитать миниатюрные фигурки.
Пенные цифры
Приклейте цифры из пенопласта на кончики длинных деревянных шпажек. Предложите детям уколоть их в оазисном блоке в порядке номеров. Сосчитайте их вместе.
Круглая штамповка
Пусть дети вдавят винные пробки в краску, а затем на большой лист бумаги. Поощряйте их считать круги по мере их появления на бумаге. Предложите другой цвет краски и повторяйте это задание, пока дети весело проводят время, чтобы дать им несколько возможностей посчитать.
Поиграем в магазин
Оборудуйте магазин в вашем детском саду. Соберите множество пустых контейнеров из-под еды и напишите на каждом из них вымышленную цену (1 доллар, 2 доллара или 3 доллара). Дайте каждому ребенку несколько пластиковых монет и пригласите их сделать покупки в вашем магазине. Им придется подсчитывать монеты, необходимые для оплаты каждого предмета, который они выберут. Готовьтесь к постоянным клиентам!
Номера зубочисток
В долларовом магазине я нашла толстые разноцветные зубочистки, но подойдут и обычные зубочистки.

Основные методы счета
Дополнение Принцип	Умножение Принцип	Перестановки	Комбинации
Циркуляр Перестановки		Факториал Обозначение

ВКСЛ	ВКПЛ	ВКБЛ	ВКИЛ	. ..и так далее до…	ОРИЛ
ВКСА	ВКПА	ВКБА	ВКИА		ОРИА
ВКСЦ	ВКПЦ	ВКБК	ВКИЦ		ОРИК
ВКСФ	ВКПФ	ВКБФ	ВКИФ		ОРИФ

Способы быстрого счета по методу Якова Трахтенберга

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Устный счет: Методы, советы и примеры для детей

Содержание

Ищем сумму однозначных чисел

Находим сумму многозначных чисел

Ищем разность однозначных и многозначных чисел

Умножение многозначного числа на однозначное.

Умножение многозначного числа на многозначное

Устный счет. Деление в уме

Регулярная практика – фундамент любого дела

Объясните ребенку смысл навыка

Не заставляйте сидеть часами за расчетами

Учитесь устно считать с помощью приложений

1-3 октября

10-11 классы

Онлайн-пробник ЕГЭ

1 класс

2 класс

3 класс

4 класс

Читайте также

Способы быстрого счёта

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Методика для быстрого счета в уме

Может ли человек считать быстрее калькулятора

Математические хитрости счета в уме

Самый быстрый способ научиться считать в уме

Ментальная арифметика – польза методики

Презентация – Приемы быстрого счета

Методика быстрого счета

3.5: Методы подсчета — Математика LibreTexts

Принцип умножения и древовидные диаграммы

Пример \(\PageIndex{1}\): Принцип умножения для ужина из трех блюд

Решение

Оставить комментарий Отменить ответ