Методы интегрирования неопределенного интеграла: Методы вычисления неопределенных интегралов - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Методы интегрирования

Вычислить первообразные функции мы можем не всегда, но задача на дифференцирование может быть решена для любой функции. Именно поэтому единого метода интегрирования, который можно использовать для любых типов вычислений, не существует.

В рамках данного материала мы разберем примеры решения задач, связанных с нахождением неопределенного интеграла, и посмотрим, для каких типов подынтегральных функций подойдет каждый метод.

Метод непосредственного интегрирования

Основной метод вычисления первообразной функции – это непосредственное интегрирование. Это действие основано на свойствах неопределенного интеграла, и для вычислений нам понадобится таблица первообразных. Прочие методы могут лишь помочь привести исходный интеграл к табличному виду.

Пример 1

Вычислите множество первообразных функции f(x)=2x+32·5x+43.

Решение

Для начала изменим вид функции на f(x)=2x+32·5x+43=2x+32·5x+413.

Мы знаем, что интеграл суммы функций будет равен сумме этих интегралов, значит:

∫f(x)dx=∫32·5x+43=2x+32·5x+413dx=∫32·5x+413dx

Выводим за знак интеграла числовой коэффициент:

∫f(x)dx=∫2xdx+∫32(5x+4)13dx==∫2xdx+23·∫(5x+4)13dx

Чтобы найти первый интеграл, нам нужно будет обратиться к таблице первообразных. Берем из нее значение ∫2xdx=2xln 2+C1

Чтобы найти второй интеграл, потребуется таблица первообразных для степенной функции ∫xp·dx=xp+1p+1+C, а также правило ∫fk·x+bdx=1k·F(k·x+b)+C.

Следовательно, ∫f(x)dx=∫2xdx+32·∫5x+413dx==2xln 2+C1+32·320·(5x+4)43+C2==2xln2+940·5x+443+C

У нас получилось следующее:

∫f(x)dx=∫2xdx+32·∫5x+413dx==2xln 2+C1+32·320·(5x+4)43+C2==2xln 2+940·5x+443+C

причем C=C1+32C2

Ответ: ∫f(x)dx=2xln 2+940·5x+443+C

Непосредственному интегрированию с применением таблиц первообразных мы посвятили отдельную статью. Рекомендуем вам ознакомиться с ней.

Метод подстановки

Такой метод интегрирования заключается в выражении подынтегральной функции через новую переменную, введенную специально для этой цели. В итоге мы должны получить табличный вид интеграла или просто менее сложный интеграл.

Этот метод очень полезен, когда нужно интегрировать функции с радикалами или тригонометрические функции.

Пример 2

Вычислите неопределенный интеграл ∫1x2x-9dx.

Решение

Добавим еще одну переменную z=2x-9. Теперь нам нужно выразить x через z:

z2=2x-9⇒x=z2+92⇒dx=dz2+92=z2+92’dz=12·2zdz=zdz

Далее подставляем полученные выражения в исходный интеграл и получаем:

∫dxx2x-9=∫zdzz2+92·z=2∫dzz2+9

Берем таблицу первообразных и узнаем, что 2∫dzz2+9=23arctgz3+C.

Теперь нам нужно вернуться к переменной x и получить ответ:

23arctgz3+C=23arctg2x-93+C

Ответ: ∫1x2x-9dx=23arctg2x-93+C.

Если нам приходится интегрировать функции с иррациональностью вида xm(a+bxn)p, где значения m, n, p являются рациональными числами, то важно правильно составить выражение для введения новой переменной. Подробнее об этом читайте в статье, посвященной интегрированию иррациональных функций.

Как мы говорили выше, метод подстановки удобно использовать, когда требуется интегрировать тригонометрическую функцию. Например, с помощью универсальной подстановки можно привести выражение к дробно рациональному виду.

Этот метод объясняет правило интегрирования ∫f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C.

Добавляем еще одну переменную z=k·x+b. У нас получается следующее:

x=zk-bk⇒dx=dzk-bk=zk-bk’dz=dzk

Теперь берем получившиеся выражения и добавляем их в интеграл, заданный в условии:

∫f(k·x+b)dx=∫f(z)·dzk=1k·∫f(z)dz==1k·Fz+C1=F(z)k+C1k

Если же мы примем C1k=C и вернемся к исходной переменной x, то у нас получится:

F(z)k+C1k=1k·Fkx+b+C

Метод подведения под знак дифференциала

Это метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в функцию вида f(g(x))d(g(x)). После этого мы выполняем подстановку, вводя новую переменную z=g(x), находим для нее первообразную и возвращаемся к исходной переменной.

∫f(g(x))d(g(x))=g(x)=z=∫f(z)d(z)==F(z)+C=z=g(x)=F(g(x))+C

Чтобы быстрее решать задачи с использованием этого метода, держите под рукой таблицу производных в виде дифференциалов и таблицу первообразных, чтобы найти выражение, к которому надо будет приводится подынтегральное выражение.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных функции котангенса.

Пример 3

Вычислите неопределенный интеграл ∫ctg xdx.

Решение

Преобразуем исходное выражение под интегралом с помощью основных тригонометрических формул.

ctg xdx=cos sdxsin x

Смотрим в таблицу производных и видим, что числитель можно подвести под знак дифференциала cos x·dx=d(sin x), значит:

ctg xdx=cos xdxsin x=dsin xsin x, т.е. ∫ctg xdx=∫dsin xsin x.

Допустим, что sin x=z, в таком случае ∫dsin xsin x=∫dzz. Согласно таблице первообразных, ∫dzz=lnz+C. Теперь вернемся к исходной переменной ∫dzz=lnz+C=lnsin x+C.

Все решение в кратком виде можно записать так:

∫сtg xdx=∫cos xdxsin x=∫dsin xsin x=sin x=t==∫dtt=lnt+C=t=sin x=lnsin x+C

Ответ: ∫сtg xdx=lnsin x+C

Метод подведения под знак дифференциала очень часто используется на практике, поэтому советуем вам прочесть отдельную статью, посвященную ему.

Метод интегрирования по частям

Этот метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в произведение вида f(x)dx=u(x)·v’xdx=u(x)·d(v(x)), после чего применяется формула ∫u(x)·d(v(x))=u(x)·v(x)-∫v(x)·du(x). Это очень удобный и распространенный метод решения. Иногда частичное интегрирование в одной задаче приходится применять несколько раз до получения нужного результата.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных арктангенса.

Пример 4

Вычислите неопределенный интеграл∫arctg(2x)dx.

Решение

Допустим, что u(x)=arctg(2x), d(v(x))=dx, в таком случае:

d(u(x))=u'(x)dx=arctg(2x)’dx=2dx1+4x2v(x)=∫d(v(x))=∫dx=x

Когда мы вычисляем значение функции v(x), прибавлять постоянную произвольную С не следует.

Далее используем формулу интегрирования по частям и получаем:

∫arctg(2x)dx=u(x)·v(x)-∫v(x)d(u(x))==x·arctg(2x)-∫2xdx1+4×2

Получившийся интеграл вычисляем, используя метод подведения под знак дифференциала.

Поскольку ∫arctg(2x)dx=u(x)·v(x)-∫v(x)d(u(x))=x·arctg(2x)-∫2xdx1+4×2, тогда 2xdx=14d(1+4×2).

Значит

∫arctg(2x)dx=x·arctg(2x)-∫2xdx1+4×2==x·arctg(2x)-14ln1+4×2+C1==x·arctg(2x)-14ln1+4×2+C

Ответ: ∫arctg(2x)dx=x·arctg(2x)-14ln1+4×2+C.

Главная сложность применения такого метода – это необходимость выбирать, какую часть брать за дифференциал, а какую – за функцию u(x). В статье, посвященной методу интегрирования по частям, даны некоторые советы по этому вопросу, с которыми следует ознакомиться.

Если нам требуется найти множество первообразных дробно рациональной функции, то нужно сначала представить подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, а потом интегрировать получившиеся дроби. Подробнее см. статью об интегрировании простейших дробей.

Если мы интегрируем степенное выражение вида sin7x·dx или dx(x2+a2)8, то нам будут полезны рекуррентные формулы, которые могут постепенно понижать степень. Они выводятся с помощью последовательного многократного интегрирования по частям.

Советуем прочитать статью «Интегрирование с помощью рекуррентных формул.

Подведем итоги. Для решения задач очень важно знать метод непосредственного интегрирования. Другие методы (подведение под знак дифференциала, подстановка, интегрирование по частям) также позволяют упростить интеграл и привести его к табличному виду.

Методы интегрирования в математике: Непосредственное интегрирование, Метод подстановки

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование основано на свойстве 4 неопределенного интеграла Если функции f1(x), … fn(x) имеют первообразные в некотором промежутке, то функция f(x) = f1(x)+f2(x)+f3(x)+…+-fn(x) также имеет первообразную в том же промежутке, причем

т.е. неопределенный интеграл от суммы некоторого числа функций равен такой же сумме неопределенных интегралов от слагаемых.

Примеры задач, решаемых с помощью непосредственного интегрирования, рассматриваются на следующем видео

Метод подстановки

Интегрирование производимое введением новой переменной (или метод подстановки) основано на формуле

где x = ф(t) — дифференцируемая функция переменой t.

Задачи, решаемые с помощью метода подстановки, рассматриваются на следующем видео

Метод интегрирования по частям

Если u = u (х), v = v (х) — дифференцируемые функции от х, то из формулы для дифференциала произведения двух функций d(uv) = udv+vdu получается формула интегрирования по частям

Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет собой произведение алгебраической и трансцендентной функций. В качестве и обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве dv — оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая dx, из которой можно определить v путем интегрирования.

Для сведения данного интеграла к одной из формул простейших интегралов формулу нужно применить несколько раз. Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям.

Смотрите задачи, решаемые методом интегрирования по частям, на следующем видео

Материалы сайта

Обращаем Ваше внимание на то, что все материалы опубликованы для образовательных целей.

Неопределенные интегралы – Выбор метода интегрирования

Неопределенные интегралы – Выбор метода интегрирования | Шмуп

Магазин не будет работать корректно в случае, если куки отключены.

Похоже, в вашем браузере отключен JavaScript. Для наилучшего взаимодействия с нашим сайтом обязательно включите Javascript в своем браузере.

Предыдущий Следующий

Выбор метода интеграции

Мы изучали различные методы интеграции в очень искусственной среде. Мы знаем, что если мы находимся в разделе «Интеграция путем замены», мы используем замену. Если мы находимся в разделе «Интеграция по частям», мы используем интеграцию по частям.

В реальном мире (под которым мы подразумеваем экзамены) в инструкциях, вероятно, не будет сказано, какой метод использовать — нам придется догадаться об этом самим.

Чем больше мы будем практиковаться, тем лучше поймем, какой метод использовать. Нам даже не придется об этом думать. А пока у нас есть несколько подсказок.

Интегрирование подстановкой
Используйте подстановку, когда подынтегральная функция может быть разложена на что-то с «внутренней функцией» u и что-то более или менее производное от u (если постоянные коэффициенты не совсем совпадают, ничего страшного).
Выборочная задача
Мы будем использовать интеграцию путем замены на
, потому что x является постоянным множественным производным x ², которая является внутренней функцией:
Выборка
9
9
9
9
9
9 Мы не можем использовать замену
. Если мы попытаемся сделать так, чтобы u = x ² это просто не сработало, потому что у нас есть дополнительный коэффициент x болтается без дела:
Интегрирование по частям
Используйте интегрирование по частям, когда подынтегральная функция делится на две вещи, обе из которых включают переменную, но интегрирование путем подстановки не работает!
Выборочная задача
Мы можем использовать интеграцию по частям по телефону
, потому что мы можем учитывать x ², чтобы получить
и выберите U = x и v u = x и V ‘0022 = xe ^{x ²} .
Пример задачи
Мы не будем использовать интегрирование по частям для
, потому что этот интеграл требует замены.
Интегрирование неполными дробями
Используйте метод неполных дробей, когда вас просят вычислить рациональную функцию, которая
- имеет более низкую степень в числителе, чем в знаменателе, а
- имеет знаменатель могут быть разложены на отдельные линейные множители.
Пример задачи
Мы можем использовать метод неполных дробей для
, потому что числитель имеет степень 0, знаменатель имеет степень 2, а знаменатель делит на
x ² – 3 = ( х – 3)( х + 1).
Пример задачи
Мы не будем использовать метод неполных дробей для
, потому что знаменатель делит на
х ² + 2 х + 1 = ( х + 1)( х + 1).
Это не отдельные линейные коэффициенты.
На самом деле, на этом примере можно использовать метод неполных дробей, но настройка немного сложнее. Мы будем придерживаться более простых примеров интегрирования неполными дробями.
Мышление в обратном направлении
Не забывайте первый метод, который мы изучили для нахождения интегралов: «мыслить в обратном направлении». Иногда не нужны подстановки, части или дроби — можно упростить интеграл и сразу посмотреть, что с ним делать.
Образец задача
нам не нужно ничего причудливого, чтобы найти
Упростить интеграл, квадрав интеграцию, а затем отделяя его:
, затем интегрируйте каждый термин:
Проблема
в зависимости от того, насколько удобно вам думать в обратном направлении, вы могли бы сделать это в своей голове:
Однако вы все еще делаете замену за кулисами, позволяя u = 2 x + 3.
Пример задачи
Нет разумного способа мыслить в обратном направлении от
Вот для чего мы изучили интегрирование по частям.

Предыдущий Следующий
Подробнее о неопределенных интегралах Навигация
Это продукт премиум-класса
Разблокировать эти функции
Устали от рекламы?
Присоединяйтесь сегодня и никогда больше их не увидите.
Начало работы
Пожалуйста, подождите…
Введение в интеграционное исчисление: определения, формулы и примеры
В этой статье
Что такое интегральное исчисление?
Стандартные правила интегрирования и теоремы
Неопределенные и определенные интегралы
3 способа вычисления интегралов
Что такое интегральное исчисление?
Вы, вероятно, уже знакомы с дифференцированием, которое представляет собой процесс, используемый для вычисления мгновенной скорости изменения функции. В чем разница между интеграцией и дифференциацией? Ну, вы можете думать об интеграции как об операции, обратной дифференцированию. Вместе дифференцирование и интегрирование составляют основные операции исчисления и связаны между собой основными теоремами исчисления.
Доктор Ханна Фрай обсуждает фундаментальную теорему исчисления:

Когда вы интегрируете некоторую функцию f(x)f(x)f(x), вы находите ее первообразную функцию, которую часто обозначают F(x)F(x)F(x). Эта функция может вычислять площадь под кривой f(x)f(x)f(x).
Обозначение для интегрирования f(x)f(x)f(x) выглядит следующим образом:
∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C∫f(x)dx=F(x)+C
Вот руководство для интерпретируя это интегральное обозначение:
Что такое ∫\int∫?
Символ ∫\int∫ называется знаком интеграла. Этот символ указывает на то, что мы вычисляем первообразную функцию f(x)f(x)f(x).
Функция f(x)f(x)f(x) называется подынтегральной функцией, и это функция, от которой мы берем интеграл.
Эти буквы обозначают дифференциал dxdxdx. Дифференциал dxdxdx указывает, что мы интегрируем f(x)f(x)f(x) по переменной xxx.
F(x)F(x)F(x) — первообразная функция, которая возвращает f(x)f(x)f(x) при дифференцировании.
Что такое CCC?
Заглавная буква CCC представляет постоянную величину, называемую константой интегрирования. Подробнее о том, что означает константа интегрирования, мы поговорим позже.
Когда вы берете производную от F(x)F(x)F(x), вы снова получаете f(x)f(x)f(x). Чтобы лучше понять связь между функцией fff и ее первообразной, вы можете задать вопрос: «Какая функция F(x)F(x)F(x) имеет производную f(x)f(x)f(x) ?» Их отношения можно представить так: 9x f(t)\,dt = f(x)F′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x)
дифференциация.
Доктор Тим Шартье обсуждает, зачем нам нужны первообразные:

Стандартные правила интегрирования и теоремы
Предполагая, что fff и ggg являются непрерывными функциями, вот список наиболее важных правил и свойств интеграции, которые вам следует знать:
Правило сумм
∫[f(x)+g(x)] dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int [f(x) + g(x)]\,dx = \ int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
Правило разности
∫[f(x)−g(x)] dx=∫f(x) dx−∫g(x) dx\int [f(x) – g(x)]\,dx = \int f(x) \,dx – \int g(x)\,dx∫[f(x)−g(x)]dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx
Правило постоянного множителя
∫kf( x) dx=k∫f(x) dx\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx∫kf(x)dx=k∫f(x)dx для некоторой константы kkk
Степенное правило
∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C∫xndx=n+1xn+ 1+C для некоторого действительного числа nnn 9{-1}x + C∫1+x2dx=tan−1x+C
∫sin⁡(ax) dx=−cos⁡(ax)a+C\int \sin{(ax)}\,dx = \frac{-\cos{(ax)}}{a}+C∫sin(ax)dx=a−cos(ax)+C для некоторого действительного числа aaa
∫cos⁡(ax) dx=sin⁡(ax)a+C\int \cos{(ax)}\,dx = \frac{\sin{(ax)}}{a}+C∫cos(ax) dx=asin(ax)+C для некоторого действительного числа aaa
Правило абсолютного значения
∫∣x∣ dx=x∣x∣2+C\int |x|\,dx = \frac{x |x|}{2} + C∫∣x∣dx=2x∣ х∣+С
Вот несколько коротких примеров для отработки этих правил интеграции. 9x}{\ln{(3)}} + C∫(x+sin(x)−3x)dx=∫xdx+∫sin(x)dx−∫3xdx=2×2−cosx−ln(3)3x+ С
Неопределенные и определенные интегралы
Интегралы бывают двух видов: неопределенные и определенные.
Доктор Ханна Фрай больше говорит о неопределенных и определенных интегралах:

Неопределенный интеграл находит общую первообразную функцию f(x)f(x)f(x), а определенный интеграл находит площадь под кривой f(x)f(x)f(x) на определенный интервал.
Эти типы интегралов имеют разные выходные значения. Определенный интеграл выводит уникальное число, представляющее площадь, ограниченную кривой функции и осью x на некотором интервале [a,b][a, b][a,b]. Неопределенный интеграл выводит первообразную функции, сопровождаемую константой интегрирования CCC. 5 + C = F(x)∫(5×4)dx=x5+ С=F(х). 94f(x)=5×4.
Это потому, что производная любой константы равна нулю. Помните, что для подынтегральной функции f(x)f(x)f(x) ее первообразная функция отвечает на вопрос: «Какая функция F(x)F(x)F(x) имеет производную f(x)f(x )f(x)?» Любая из приведенных выше функций F(x)F(x)F(x) удовлетворит этот вопрос.
Поскольку существует бесконечное количество постоянных значений, которые мы можем подставить в CCC, константа интегрирования CCC и функция первообразной F(x)F(x)F(x) вместе представляют собой бесконечное семейство функций. Вот почему это называется «неопределенной» интеграцией, поскольку не существует одной уникальной первообразной функции. 9{b} f(x)\,dx = A∫abf(x)dx=A
Буквы aaa и bbb называются интегральными границами или пределами. Буква aaa обозначает нижнюю границу, а bbb — верхнюю границу. Мы можем представить это обозначение как область, ограниченную f(x)f(x)f(x), осью x и линиями x=ax=ax=a и x=bx=bx=b.
Чтобы найти определенный интеграл функции на [a,b][a, b][a,b], мы берем разность между неопределенным интегралом функции, вычисленной в точке aaa, и неопределенным интегралом функции, вычисленной в точке ббб. Это называется Второй фундаментальной теоремой исчисления. 9b = F(b) – F(a)∫abf(x)dx=F(x)∣
∣ab= F(b)−F(a)
Вот четыре шага для оценки определенный интеграл:
Шаг 1. Найдите неопределенный интеграл F(x)F(x)F(x), используя интегральные правила.
Шаг 2. Найдите F(b)F(b)F(b), подставив bbb в F(x)F(x)F(x).
Шаг 3. Найдите F(a)F(a)F(a), подставив aaa в F(x)F(x)F(x).
Шаг 4. Возьмите разность F(b)−F(a)F(b) – F(a)F(b)−F(a). Поскольку мы вычитаем эти значения, константа интегрирования CCC аннулируется, поэтому мы можем ее игнорировать. 92}{2} + 2 = 4F(2)=222+2=4
Шаг 4 — F(4)−F(2)=12−4=8F(4) — F(2) = 12 – 4 = 8F(4)−F(2)=12−4=8
Это значение представляет площадь под кривой f(x)f(x)f(x) на [2,4][2,4][2,4].
3 способа вычисления интегралов
Ниже мы обсудим три основных метода вычисления более сложных интегралов.
1. U-замена
U-подстановка изменяет цепное правило для производных и используется для интегрирования составных функций. Нам нужно переписать наш интеграл через ууу и дудуду, чтобы он выглядел так:
∫f(g(x))g'(x) dx=∫f(u) du\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du ∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du
Вот четыре шага интегрирования с u-подстановкой:
Выберите uuu, «внутреннюю» часть цепного правила.
Дифференцируйте uuu, чтобы найти dududu. При необходимости перестройте задачу алгебраически, чтобы дудуду полностью соответствовал тому, что осталось внутри интеграла.
Подставляем в подынтегральное выражение ууу и дудуду и интегрируем. 92+1} + C=5×2+1−1+C
2. Интегрирование по частям
Интегрирование по частям использует эту формулу для интегрирования произведения функций:
∫udv=uv−∫v du\int udv = uv – \int v\,du∫udv=uv−∫vdu
Мы должны выбрать одну функцию под интегралом для представления uuu, а другую — для представления dvdvdv.
Вот четыре шага для интеграции с интеграцией по частям:
Разделить подынтегральную функцию на произведение функций, выбрав uuu и dvdvdv.
Разделите uuu, чтобы найти dududu, и интегрируйте dvdvdv, чтобы найти vvv.
Подставьте uuu, vvv и dududu в формулу интегрирования по частям.
Решить и упростить.
Пример
Вычислим ∫xsin⁡(x) dx\int x \sin(x)\,dx∫xsin(x)dx. Положим dv=sin⁡(x) dxdv = \sin{(x)}\,dxdv=sin(x)dx, поскольку интеграл от этой функции найти несложно. Тогда u=xu = xu=x, так как это то, что осталось. Теперь нам нужно дифференцировать uuu, чтобы найти dududu, и интегрировать dvdvdv, чтобы найти vvv.
Используя правило степени для u=xu = xu=x и найдя dududu, мы находим, что du=1dxdu = 1dxdu=1dx. Интегрируя dvdvdv по правилам тригонометрии, мы находим, что v=∫sin⁡(x)=−cos⁡(x)v = \int \sin{(x)} = -\cos{(x)}v=∫sin( х)=-cos(х). Теперь мы можем подставить эти значения в нашу формулу.
∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv – \int v\,du∫udv=uv−∫vdu
∫xsin⁡(x) dx=x(−cos⁡(x )−∫−cos⁡(x) dx\int x \sin(x)\,dx = x(-\cos{(x)} – \int -\cos{(x)}\,dx∫xsin(x )dx=x(−cos(x)−∫−cos(x)dx
=-xcos⁡(x)+∫cos⁡(x) dx= -x\cos{(x)} + \int \cos{(x)}\,dx=-xcos(x)+∫cos(x )dx
=-xcos⁡(x)+sin⁡(x)= -x\cos{(x)} + \sin{(x)}=-xcos(x)+sin(x)
3. Интегрирование неполными дробями
Интегрирование неполными дробями используется для интегрирования рациональных функций. Этот метод трудно понять без примера, поэтому обязательно попробуйте упражнение с примером.
Вот девять шагов для интеграции с этим методом:
Фактор знаменателя функции.
Разложите функцию на сумму ее частей, приписав каждому члену знаменателя неизвестную переменную.
Объедините все термины в один, найдя общий знаменатель и правильно умножив каждый числитель.
Умножьте числитель.
Составьте уравнение, которое приравнивает ххх членов числителя исходной функции к ххх членов числителя вашего нового уравнения. 92+x-12}\,dx = \int \frac{x+4}{(x+4)(x-3)}\,dx∫x2+x−12x+4dx=∫(x+4 )(x−3)x+4dx
Теперь мы можем выполнить шаги 2–4.
x+4(x+4)(x−3)=Ax+4+Bx−3\frac{x+ 4}{(x+4)(x-3)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-3}(x+4)(x−3)x+4 =x+4A+x−3B
=A(x−3)+B(x+4)(x+4)(x−3)=\frac{A(x-3) + B(x +4)}{(x+4)(x-3)}=(x+4)(x−3)A(x−3)+B(x+4)
=Ax−3A+Bx+ 4B(x+4)(x−3)=\frac{Ax-3A+Bx+4B}{(x+4)(x-3)}=(x+4)(x−3)Ax−3A+ Bx+4B
Теперь мы можем решить для A и B с шагами 5 – 7.
Следуя этим шагам, наше первое уравнение будет Ax+Bx=xAx + Bx = xAx+Bx=x, которое упрощается до A+ В=1А+В=1А+В=1. Наше второе уравнение: -3A+4B=4-3A+4B=4-3A+4B=4. Решая эту систему уравнений, находим, что A=0A = 0A=0 и B=1B = 1B=1.
Теперь мы можем закончить с шагами 8-9:
∫x+4(x+4)(x−3) dx=∫0x+4dx+1x−3 dx\int \frac{x+4}{(x+4)(x-3)}\, dx = \int \frac{0}{x+4}dx + \frac{1}{x-3}\,dx∫(x+4)(x−3)x+4dx=∫x+40 dx+x−31dx
=ln⁡(x−3)= \ln{(x-3)}=ln(x−3)
Ознакомьтесь с отмеченными наградами курсами For-Credit от Outlier
Outlier (от соучредителя MasterClass) собрал лучших в мире преподавателей, дизайнеров игр и кинематографистов, чтобы создать онлайн-колледж будущего.