Методы решения пределов: Методы вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Высшая математика пределы. Вычисления пределов

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Высшая математика Пределы. Вычисления пределов

Муниципальная общеобразовательная средняя школа №2
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ПРЕДЕЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЯ
ПРЕДЕЛОВ
900igr.n
et

2. Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Титульная страница
Оглавление
Вступление
Предел переменной величины
Основные свойства пределов
Предел функции в точке
Понятие о непрерывности функции
Предел функции на бесконечности
Замечательные пределы
Заключение

3.

Предел переменной величиныПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Предел – одно из основных понятий
математического анализа. Понятие предела
использовалось еще Ньютоном во второй
половине XVII века и математиками XVIII века,
такими как Эйлер и Лагранж, однако они
понимали предел интуитивно. Первые строгие
определения предела дали Больцано в 1816 году
и Коши в 1821 году.

4. 1. Предел переменной величины

1. ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Пусть переменная величина x в процессе своего
изменения неограниченно приближается к числу 5,
принимая при этом следующие значения: 4,9;
4,99;4,999;…или 5,1; 5,01; 5,001;… В этих случаях
модуль разности стремится к нулю: = 0,1; 0,01; 0,001;…
Число 5 в приведенном примере называют
пределом переменной величины x и пишут lim x = 5.
Определение 1. Постоянная величина a называется
пределом переменной x, если модуль разности при
изменении x становится и остается меньше любого как
угодно малого положительного числа e.

5. 2. Основные свойства пределов

2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ПРЕДЕЛОВ
1. Предел алгебраической суммы конченного числа переменных величин равен
алгебраической сумме пределов слагаемых:
lim(x + y + … + t) = lim x + lim y + … + lim t.
2. Предел произведения конечного числа переменных величин равен
произведению их пределов:
lim(x·y…t) = lim x · lim y…lim t.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim(cx) = lim c · lim x = c lim x.
Например, lim(5x + 3) = lim 5x + lim 3 = 5 lim x + 3.
4. Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов, если
предел знаменателя не равен нулю:
lim =
lim y
5. Предел целой положительной степени переменной величины равен той же
степени предела этой же переменной:
lim = (lim x)n
Например: =
= x3 + 3
x2 = (-2)2 + 3·(-2)2 = -8 + 12 = 4
6. Если переменные x, y, z удовлетворяют неравенствам x
иx
z
y

6. 3.Предел функции в точке

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Определение 2. Число b называется пределом* функции
в точке a, если для
всех значений x, достаточно близких к a и отличных от a, значения функции
сколь угодно мало отличаются от числа b.
1.Найти:
(3×2 – 2x).
Решение. Используя последовательно свойства 1,3 и 5 предела, получим
(3×2 – 2x) =
(3×2) – (2x) = 3 x2 – 2 x = 3
– 2 x = 3 22 – 2·2 = 8

7. 4. Понятие о непрерывности функции

4. ПОНЯТИЕ О НЕПРЕРЫВНОСТИ
ФУНКЦИИ
2. Вычислить
Решение. При x = 1 дробь
определена, так как ее знаменатель отличен от нуля. Поэтому для
вычисления предела достаточно заменить аргумент его предельным значением. Тогда получим
Указанное правило вычисления пределов нельзя применять в следующих случаях:
1)Если функция при x = a не определена;
2)Если знаменатель дроби при подстановке x = a оказывается равным нулю;
3)Если числитель и знаменатель дроби при подстановке x = a одновременно оказывается
равным нулю или бесконечности.

В таких случаях пределы функций находят с помощью различных искусственных приемов.

8. 5. Предел функции на бесконечности

5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НА
БЕСКОНЕЧНОСТИ
3.Найти
Решение. При x
знаменатель х + 5 также стремится к
бесконечности, а обратная ему величина
0.
Следовательно, произведение
·3=
стремится к нулю,
если x . Итак,
=0

9. 6. Замечательные пределы

6. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Некоторые пределы невозможно найти теми способами, которые были изложены выше. Пусть например,
требуется найти
. Непосредственная подстановка вместо аргумента его предела дает
неопределенность вида 0/0. Невозможно также преобразовать числитель и знаменатель таким образом,
чтобы выделить общий множитель, предел которого равен нулю.
Поступим следующим образом. Возьмем круг с радиусом, равным 1, и построим центральный угол
АОВ, равный 2х радианам. Проведем хорду АВ и касательные АD и ВD к окружности в точках А и В.
Очевидно, что |AC| = |CB| = sin x, |AD| = |DB| = tg х
= 1 – Первый замечательный предел.

x
= e 2,7182…,.
– Второй замечательный предел.
Решение. Разделив числитель и знаменатель на x,получим
x=
(
)x =
=
=
x

10. 7. Вычисления пределов

7. ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ
1.
(x2 – 7x + 4) = 32 – 7·3 + 4 = – 8.
Решение. Для нахождения предела непосредственного нахождения заменим пределы функции в точке.
2.
.
Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при x
равным нулю. Умножим числитель и
знаменатель на выражение ,сопряженное числителю, получим
=
=
=
=
Следовательно,
=
=
=
=

11. Заключение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данном проекте рассматривался наряду с теоретическим материалом и
практический.
В практическом применении рассмотрели всевозможные способы вычисления
пределов.
Изучение второго раздела высшей математики уже вызывает большой интерес,
так как в прошлом году рассматривали тему «Матрицы. Применение свойств матрицы к
решению систем уравнений», которая была простой, хотя бы по той причине, что
получаемый результат был контролируемым.

Здесь такого контроля нет. Изучение Разделов
высшей математики дает свой положительный результат.
Занятия по данному курсу принесли свои результаты:
– изучен большой объем теоретического и практического материала;
– выработано умение выбирать способ вычисления предела;
– отработано грамотное использование каждого способа вычисления;
– закреплено умение проектировать алгоритм задания.
Мы будем продолжать изучение разделов высшей математики. Цель ее изучения
состоит в том, что мы будем хорошо готовы к повторному изучению курса высшей

математики.

English Русский Правила

Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.

Высшая математика » Пределы » Пределы с иррациональностями » Первая часть

Первая часть

Вторая часть

Третья часть

Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов и контрольных работ по высшей математике. Обычно рассматриваются три группы неопределённостей:

В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:

Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое “сопряжённое” выражение;
При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.

Термин “сопряжённое выражение”, использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см.

2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end{equation} $$

Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.

Пример №1

Найти $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$.

Решение

Найдём отдельно пределы числителя и знаменателя:

$$ \begin{aligned} & \lim_{x\to 3}(\sqrt{7-x}-2)=\sqrt{7-3}-2=\sqrt{4}-2=0;\\ & \lim_{x\to 3} (x-3)=3-3=0. \end{aligned} $$

В заданном пределе мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $\sqrt{7-x}-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое “сопряжённое выражение”. Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $\sqrt{7-x}-2$ на $\sqrt{7-x}+2$:

$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)$$

Чтобы раскрыть скобки применим формулу №1, подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{7-x}$, $b=2$:

$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=(\sqrt{7-x})^2-2^2=7-x-4=3-x. $$

Как видите, если умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $\sqrt{7-x}+2$ и будет сопряжённым к выражению $\sqrt{7-x}-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, ибо это изменит дробь $\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:

$$ \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}= \left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}$$

Теперь вспомним, что $(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:

$$ \lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\\ =\lim_{x\to 3}\frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2} $$

Неопределенность $\frac{0}{0}$ исчезла. 2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=-6$.

В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.

Первая часть

Вторая часть

Третья часть

Вернуться к списку тем

Задать вопрос на форуме

Записаться на занятия

Онлайн-занятия по высшей математике

Степень (выражения)

“Степень” может означать несколько вещей в математике:

В геометрии градус (°) — это способ измерения углов,
Но здесь мы посмотрим, что означает степень в Алгебре .

В алгебре “Степень” иногда называют “Порядком”

Степень многочлена (с одной переменной)

Многочлен выглядит так:

пример многочлена
этот имеет 3 члена

Степень (для многочлена с одной переменной, например x ) равна:

наибольший показатель степени этой переменной.

Другие примеры:

4x		Степень равна 1 (переменная без показателя степени фактически имеет показатель степени 1)

4x ³ − x + 3		Степень 3 (наибольшая степень x)

x ² + 2x ⁵ − x		Степень 5 (наибольшая степень x)

z ² − z + 3		Степень 2 (наибольшая степень z)

Названия степеней

Когда мы знаем степень, мы также можем дать ей имя!

Степень	Имя	Пример
0	Константа	7
1	Линейный	х+3
2	Квадратичный	х ² −x+2
3	Кубический	x ³ −x ² +5
4	Квартик	6x ⁴ −x ³ +x−2
5	Квинтик	х ⁵ −3x ³ +x ² +8

Пример: y = 2x + 7 имеет степень 1, поэтому это линейное уравнение

Пример: 5w ² − 3 имеет степень 2, поэтому квадратично

Уравнения более высокого порядка обычно сложнее решить:

Линейные уравнения легко решать
Квадратных уравнений немного сложнее решить
Кубические уравнения снова сложнее, но есть формулы в помощь
Уравнения четвертой степени тоже можно решить, но формулы очень сложные
Квинтовые уравнения не имеют формул, и иногда может быть неразрешимым !

Степень многочлена с более чем одной переменной

Если многочлен имеет более одной переменной, нам нужно посмотреть на каждый термин . Термины разделяются знаком + или -:

пример многочлена
с более чем одной переменной

Для каждого термина :

Найдите степень по , добавив в нее показатели степени каждой переменной ,

наибольшая такая степень является степенью многочлена.

Пример: какова степень этого многочлена:

Проверка каждого члена:

5xy ² имеет степень 3 (x имеет показатель степени 1, y имеет 2 и 1+2=3)
3x имеет степень 1 (x имеет показатель степени 1)
5 лет ³ имеет степень 3 (y имеет степень 3)
3 имеет степень 0 (без переменной)

Наибольшая степень из них равна 3 (на самом деле два члена имеют степень 3), поэтому полином имеет степень 3

Example: what is the degree of this polynomial:

4z ³ + 5y ² z ² + 2yz

Checking each term:

4z ³ has a degree of 3 (z имеет показатель степени 3)
5y ² z ² имеет степень 4 (y имеет показатель степени 2, z имеет 2 и 2+2=4)
2yz имеет степень 2 (y имеет показатель степени 1, z имеет 1 и 1+1=2)

Наибольшая степень из них равна 4, поэтому полином имеет степень 4

Записываем

Вместо того, чтобы говорить « степень (чего бы то ни было) равна 3 », мы пишем это так:

Когда выражение является дробью

Мы можем вычислить степень рационального выражения (того, которое имеет форму дроби), взяв степень наверху (числитель) и вычтя степень на дне (знаменатель).

Вот три примера:

../алгебра/изображения/степень-example.js?mode=x0

../алгебра/изображения/степень-example.js?mode=x1

../алгебра/изображения/степень-example.js?mode=xm1

Вычисление других типов выражений

Предупреждение: передовые идеи впереди!

Иногда мы можем определить степень выражения, разделив …

логарифм функции на
логарифм переменной

… затем сделайте это для все больших и больших значений, чтобы увидеть, куда “направляется” ответ.

(Более правильно мы должны вычислить Предел бесконечности ln(f(x)) ln(x) , но я просто хочу, чтобы это было просто).

Примечание: “ ln ” – функция натурального логарифма.

Вот пример:

Пример: Степень 3 + √x

Попробуем увеличить значения x:

x	пер(3 + √х)	Л(х)	пер(3 + √x) пер(х)
2	1. 48483	0,69315	2.1422
4	1.60944	1.38629	1.1610
10	1,81845	2.30259	0,7897
100	2,56495	4.60517	0,5570
1000	3,54451	6.90776	0,5131
10 000	4.63473	9.21034	0,5032
100 000	5.76590	11.51293	0,5008
1 000 000	6.91075	13.81551	0,5002

Глядя на таблицу:

, поскольку x становится больше, чем ln(3 + √x) ln(x) все ближе и ближе к 0,60090 0,50098

Таким образом, степень равна 0,5 (другими словами, 1/2)

(Примечание: это хорошо согласуется с x ^½ = квадратный корень из x, см. Дробные показатели степени)

Некоторые значения степени

Выражение	Степень
журнал(х)	0
е ^х	∞
1 шт.	−1
√х	1/2

462, 4003, 2092, 4004,463, 1108, 2093, 4005, 1109, 4006

Методы оценки пределов

Когда многие известные вам математические символы начали использоваться, Томас Хэрриот заявил, что математика теперь покрыта паршой символов. Как и в случае с другими проблемами математики, иногда трудность в вычислении предела заключается в форме, в которой мы его записали. Изменение этой формы с помощью алгебры, тригонометрии или других идей позволяет нам распознать значение предела.

Подраздел 1.7.1 Методы оценки лимитов

Мы знаем, что предела не существует, если есть плохих колебаний, что означает, что функция колеблется бесконечно много раз в рассматриваемом интервале, и эти колебания не затухают (спадают до неколеблющихся). Если колебания конечны или затухают, то предел может существовать.

Один из способов показать, что такой предел существует, состоит в том, чтобы показать, что он

сжат (демпфирован) до определенного значения.

92+3x} \конец{выравнивание*}

Посмотрите на первый шаг.

Зачем нам нужен $cos(x)\text{?}$
Обратите внимание, что мы знаем границы, зная $cos(x)\text{:}$, это не имеет ничего общего с этой проблемой.
Шаги умножались, складывались, делились в указанном порядке. Какой это порядок (какие другие задачи используют этот порядок)?
В предпоследнем (предпоследнем) шаге какое выражение в середине? Зачем нам это для этой проблемы? 92+3x} = \amp \text{ подстановка сверху}\\ \lim_{u \to \infty} \frac{-9}{u} = \amp \text{скаляр}\\ -9\lim_{u \to \infty} \frac{1}{u} = \amp \text{основная форма}\\ -9 \cdot 0 = \ампер 0. \конец{выравнивание*}

Для ограничения справа обратите внимание, что шаги будут такими же, за исключением записи -5 вместо -9. Результат по-прежнему равен 0. Поскольку наш предел должен оставаться ниже правого предела и выше левого предела, и они оба стремятся к 0, теорема сжатия говорит нам
.