Мгновенная скорость производная: Физический смысл производной — урок. Алгебра, 11 класс.

Межпредметные связи курса физики, алгебры и информатики на примере интегрированного урока по теме «Производная функции. Мгновенная скорость». 10-й класс

Межпредметные связи курса физики, алгебры и информатики на примере интегрированного урока по теме «Производная функции. Мгновенная скорость». 10-й класс

• Костикова Ольга Владимировна, учитель физики

Разделы: Математика, Физика, Информатика

Класс: 10

Ключевые слова: интегрированный урок, производная функции

---

Цель современного естественно-научного обучения – формирование целостной картины мировоззрения, понимание существующих взаимосвязей явлений и процессов.

Отсюда возникла идея проведения интегрированных уроков. Цель такого урока – объединить в восприятии учащегося основные знания по некоторым предметам, уточнить понятия и законы, обобщить и систематизировать материал. На интегрированном уроке имеется возможность переноса знаний из одной отрасли знаний в другую. Необычная форма урока стимулирует аналитическую деятельность учащихся, формирует умение анализировать и сравнивать процессы и явления.

Тема «Производная и ее геометрический смысл» изучается учащимися в 11 классе. Производная функции характеризует скорость изменения функции и определяется как предел отношения приращения функции f(x) к приращению ее аргумента ∆x, при ∆x → 0.

В курсе физики, не используя понятие производной, но используя понятие «скорость изменения переменной величины» даются определения «мгновенная скорость», «ускорение», сила тока», «удельная теплоемкость», угловая скорость», «ЭДС индукции» и пр.

В данной статье предложен вариант интегрированного урока «Производная функции.

Мгновенная скорость» для 10 класса. Определение «производной функции» дано упрощенно, без определения предела функции.

В уроке ведущей дисциплиной является Физика.

Вспомогательные дисциплины:

Алгебра и НМА + Информатика и ИКТ.

Продолжительность урока: 2 урока по 40 минут

Цель урока:

• Ввести понятие мгновенной скорости; научиться определять мгновенную скорость движущегося тела как первую производную его координаты по времени, научиться определять мгновенную скорость тела с помощью графика s(t) или x(t).
• Ввести понятие производной функции, выяснить ее геометрический смысл.
• Научится строить график касательной к графику функции в точке.

Оборудование: доска + ноутбуки или ПК для учащихся (оптимальным является проведение урока в кабинете Информатики и ИКТ)

Ход урока

13. 07.2020

Мгновенная скорость против ускорения: сравнительный анализ –

Мы уже знакомы с терминами скорость и ускорение. В этом посте мы узнаем факты о мгновенной скорости и ускорении.

Скорость и ускорение взаимосвязаны друг с другом. Мгновенная скорость – это расчет скорости в любой конкретный период, а ускорение определяется как скорость изменения скорости (V) с учетом периода. Если взять производную от V_инст при t мы получаем ускорение.

В этой статье мы более подробно сконцентрируемся на мгновенной скорости и ускорении.

Мгновенная скорость: определение и факты

Термин скорость используется для обозначения или измерения скорости частицы за период.

• Мы знаем, что значение скорости и что она обозначает. Теперь, переходя к слову мгновенная скорость, оно обозначает увеличение или уменьшение скорости частицы в определенный период, то есть показывает скорость в требуемый момент времени.
• Он измеряется вдоль пути, по которому движется рассматриваемая частица.
• График, используемый для построения мгновенной скорости (V_инст) показывает изменение скорости, т. е. увеличение или уменьшение тела.

Теперь дайте нам знать о другой необходимой величине, которую мы сосредоточим на мгновенной скорости и ускорении.

Ускорение: определение и факты

Ускорение – еще один важный термин, используемый в повседневной физике.

• Ускорение в физических науках – одна из важнейших величин, без которой невозможно выполнение основных расчетов в механике.
• Как правило, это вычисление или производная от изменения скорости движущегося объекта / тела по прошествии времени.
• Если рассматривать ускорение от начала до конца движения, то оно называется средним ускорением.
• Если мы рассмотрим расчет ускорения (а) в конкретный момент времени или период или в качестве предельного значения_{средний}, то оно называется мгновенным ускорением (a_инст).

Теперь давайте сконцентрируемся на главном фокусе статьи, мгновенной скорости в зависимости от ускорения.

Мгновенная скорость против ускорения

Здесь мы подробнее изучим идеи и факты о мгновенной скорости против ускорения.

Параметры сравнения	Мгновенная скорость	Ускорение
Определение	Он помогает измерить скорость тела по заданному маршруту в любой конкретный период t.	Термин «ускорение» определяет изменение скорости или скорости частицы в направлении траектории в интервале времени.
Термины, использованные при расчете	Смещение / Положение / Расстояние и время.	Скорость / Скорость и время.
Природа количества	Это физическая векторная величина.	Это физическая векторная величина.
Производная от условий	Это производная от смещения / положения с учетом времени.	Это производная обоих изменений скорости / скорости частицы / объекта с учетом времени.
Формула	Смещение / время (д / т) = дс / дт	Скорость / Время (v / t) = dv / dt
Ед. изм	Измеряется в м / с	Измеряется в м / с2
Особенности	Он указывает скорость тела с указанием времени и направления маршрута.	Он указывает на изменение скорости для определенных интервалов.
Пример	Собака гоняется за костью.	Мужчина участвует в беге с препятствиями.

Итак, вот некоторые заметные отличия мгновенной скорости от ускорения.

Мгновенная скорость – это вектор или скалярная физическая величина?

Мы уже знаем, что мгновенная скорость или V является первичным вектором физических величин.

В общем, это термин, используемый для измерения изменения положения или смещения движущегося тела во времени. Из его определения мы можем отметить, что он состоит из обоих направлений, а также дает значение величины, которые являются существенными характеристиками вектора.

Теперь давайте сосредоточимся на следующих аспектах расчета этой мгновенной скорости в зависимости от ускорения в деталях.

Как найти мгновенную скорость на графике?

Мы можем найти мгновенную скорость различными методами; мы узнаем об одном здесь.

Мы можем измерить V_инст частицы или тела при движении в заданный период с помощью PT-графика. Мы должны выполнить только основные этапы построения значений, обозначения осей, определения наклона и рисования касательной; после этого получаем искомую V_инст тела.

Пора узнать о природе ускорения.

• Чтобы узнать больше о проверке мгновенной скорости ниже,
• Как рассчитать мгновенную скорость

Ускорение – это скалярная или векторная физическая величина?

Ускорение – это физический вектор, но иногда он может быть скаляром.

Поскольку ускорение означает как величину, так и направление, оно называется физической векторной величиной. Ускорение зависит от характера измерения, в котором оно происходит. Например, на числовой прямой ускорение является скалярным, тогда как координаты на плоскости или пространство считаются физической векторной величиной.

Теперь дайте нам знать, как найти это ускорение на графике.

Ускорение: шаги по поиску График скорости-времени

Один из способов найти значение ускорения движущегося тела – по графику скорость-время.

После указания осей и нанесения требуемых значений на график скорость-время, мы должны взять наклон для конкретных измерений. Здесь наклон равен необходимому ускорению объекта. Иногда вы даже можете использовать формулу для вычисления этого уклона.

Теперь сконцентрируйтесь на основных характеристиках мгновенной скорости.

• Чтобы узнать больше о том, как разгоняться на графике, вы можете увидеть ниже
• Как построить график постоянного ускорения

Примеры мгновенной скорости и ускорения в повседневной жизни

Для каждого движения объекта мы можем вычислить мгновенную скорость и ускорение. Таким образом, мы получаем множество повседневных примеров зависимости мгновенной скорости от ускорения.

Ребенку, бегающему марафон, требуется определенное время отдыха для каждого пункта назначения. Здесь, чтобы узнать изменение положения для каждой ступени, мы можем использовать мгновенную скорость, и если мы рассмотрим ее скорость / скорость, это будет ускорение.

Изображение Фото: Бесплатные изображения Pixabay

В теннисе положение мяча меняется при каждом ударе. Мы можем рассчитать изменение положения для каждого интервала, используя мгновенную скорость, и если это изменение скорости, то это ускорение шаров.

Изображение Фото: Бесплатные изображения Pixabay

При перемещении материалов из-за тяжелого багажа мы можем иногда менять позу или положение перемещаемых предметов. Здесь мы можем записать изменение положения с помощью мгновенной скорости, и если это изменение скорости, то это ускорение материалов.

Изображение Фото: Бесплатные изображения Pixabay

Таким образом, это некоторые примеры повседневной жизни В.

Часто задаваемые вопросы | FAQs

Можем ли мы рассматривать мгновенную скорость как ускорение?

И мгновенная скорость, и ускорение – разные величины по сравнению друг с другом.

Скорость изменения количества, если она рассчитывается со временем, принимается как производная от соответствующих величин. Здесь V принимается как мера положения во времени, а ускорение – это производная от изменения скорости после времени. Исходя из этого чутья, мы можем сказать, что и то, и другое являются производными и интегральными.

Каково определение мгновенной скорости?

Определение скорости почти аналогично мгновенная скорость с некоторой критической изменений.

Он принимается за предел V, так как период интервала почти стремится к нулю. Он даже известен как производная от расстояния / смещения с моментом t, который обозначает время. Единица измерения – длина и время. Это могут быть метры, километры, минуты или секунды и т. Д.

Что такое ускорение?

Ускорение измеряется как двойная производная перемещения и времени.

• Смысл ускорения состоит в том, чтобы определить изменение скорости, которое увеличивается, уменьшается или постоянное изменение скорости с учетом соответствующего временного интервала и пути.
• Это физическая векторная величина, которая играет важную роль при измерении изменений скорости.
• Его также можно измерить на графике VT, потому что на этом графике наклон равен необходимому ускорению тела в движении.

Как найти мгновенную скорость с помощью ускорения?

И мгновенная скорость, и ускорение так или иначе связаны друг с другом.

Мы уже знали в наших предыдущих статьях о мгновенной скорости. Это первая производная смещения или положения по времени. Если рассматривать только производную скорости по времени, то это будет вторая производная положения и время. Следовательно, если мы рассматриваем Vinst в конкретный момент времени, то, взяв его производную, мы можем измерить a=d→vdt.

Видео: мгновенная скорость и скорость

Стенограмма видео

В этом видео мы узнаем о мгновенной скорости и скорости. Что означают эти два термина, почему они мгновенны, и как их использовать при решении проблем. Чтобы представить эту тему, давайте представьте на мгновение, что вы проектируете американские горки для парков развлечений. И вы работаете над новым дизайном для американских горок, которые будут установлены в следующем году. Проектирование американских горок — это узкотехническая задача. И с этим проектом вы работает в условиях определенного ограничения. Что максимальная скорость людям на горках разрешено испытывать в любой точке 100 километров в час. При этом в качестве верхней скорости предел, вы хотите узнать, есть ли какая-либо точка на пути американских горок где скорость превышает это значение. А раз так, то дизайн придется быть изменены. Как понять, если под В соответствии с текущим дизайном скорость каботажного судна всегда превышает этот максимальный верхний предел. предел?

Чтобы узнать, давайте рассмотрим эти представления о мгновенной скорости и мгновенной скорости. В качестве предыстории давайте посмотрим на графике зависимости положения от времени. На этом графике у нас есть позиция в метров по нашей вертикальной оси и времени в секундах по нашей горизонтальной оси. И у нас есть позиция с течением времени какого-либо объекта, нанесенного на этот график. Допустим, мы выбираем время где-то на полпути пути объекта. И мы говорим, что хотели бы знать скорость объекта в этот момент. Есть несколько способов, которыми мы могли бы подход решения для этой конкретной скорости. Один из способов – рассмотреть этот момент примерно как середину между началом и концом путешествия нашего объекта. Мы могли бы написать, что наша скорость в середина нашего путешествия примерно равна положению нашего объекта в конечное время минус положение объекта в начальное время пути, деленное на конечное время минус начальное время.

Вы можете узнать это уравнение как выражение средней скорости. Но если мы посчитаем это среднее, мы можем видеть, что она может сильно отличаться от фактической мгновенной скорости, 𝑣, в интересующий нас момент. Увидев эту разницу, мы могли бы подумайте: «Ну, давайте переместим наши временные точки конечной и начальной ближе к нашему фактическое время, которое нас интересует». Скажем, мы переместим их ближе, чтобы что теперь наклон между ними, то есть средняя скорость между этими двумя точках, более точно соответствует мгновенной скорости в точке, которую мы хотим найти это. Но, глядя на эту установку, мы видите, мы все еще могли бы сделать лучше. Мы могли бы переместить наши временные точки в Еще ближе.

Теперь мы переместим наши инициалы 𝑡 и 𝑡 final до тех пор, пока они не окажутся вплотную к интересующей нас точке. Мы все еще вычисляем среднее скорость. Но это среднее значение приближается все больше и больше наша мгновенная скорость. Это приближение лучше всего до сих пор. Тем не менее, это все еще не точно. Вот что мы узнали так далеко. Средняя скорость нашего объекта равно его изменению положения за время. Но если мы хотим вычислить мгновенная скорость, то есть скорость в определенное время. Это изменение во времени должно приблизиться нуль. Это только как наш начальный и окончательный времена сближаются друг с другом и действительно становятся бесконечно близкими. Что мы действительно рассчитываем мгновенная скорость. Мы можем использовать специальную математическую обозначение, выражающее эту мысль. Можно сказать, что объект мгновенная скорость, то есть его скорость в конкретный момент времени, равна к изменению его положения, деленному на изменение его времени.

Когда это изменение во времени, Δ𝑡, становится все меньше и меньше приближается к нулю.

Есть и другой способ выразить это идея с использованием так называемой дифференциальной нотации. Можно сказать, что мгновенно скорость равна 𝑑𝑥, где 𝑥 – положение, деленное на 𝑑𝑡. В эту нотацию встроены идея о том, что 𝑑𝑡 бесконечно мало в этом выражении. Рассмотрим на мгновение сходства между средней скоростью и мгновенной. Если мы возьмем форму нашего среднего уравнение скорости, и мы берем наши значения времени и сокращаем этот разрыв меньше и все меньше и меньше, пока зазор не приблизится к нулю. Тогда мы приходим к нашему уравнению для мгновенная скорость. Практически, когда мы вычисляем мгновенная скорость в примерах вопросов, мы будем брать производные от положения как функция времени относительно этого переменного времени.

До сих пор мы говорили только о мгновенная скорость. Но как насчет мгновенного скорость? Чем они похожи и чем они разные? Оказывается, мгновенно скорость равна величине мгновенной скорости. Напомним, что скорость является скаляром, а скорость – это вектор. Итак, пока наша мгновенная скорость может быть отрицательным, наша мгновенная скорость всегда будет положительной или равной нулю. Теперь, когда у нас есть идея для мгновенная скорость и мгновенная скорость, давайте попрактикуемся в использовании этих новые концепции.

Положение объекта изменяется как функция времени согласно 𝑥 от 𝑡 равна отрицательным трем 𝑡 в квадрате метров. Какова скорость тела, когда 𝑡 равно одной секунде? Какова скорость объекта, когда 𝑡 равняется одной секунде?

Дана функция, описывающая положение объекта как функцию времени, мы хотим знать его скорость, когда 𝑡 равной одной секунде и его скорости в это же время. Другими словами, мы хотим решить для его мгновенной скорости и мгновенной скорости. Мы можем вспомнить, что объект мгновенная скорость равна производной его положения относительно время. В нашем случае нам дано 𝑥 или положение как функцию времени и может использоваться для этого выражения. Когда мы берем его производную с по времени, мы находим отрицательный результат шесть раз 𝑡, теперь с единицами измерения метры в секунду. это мгновенная скорость нашего объекта в общее время 𝑡. Но мы хотим решить для этого скорость, когда время равно одной секунде. Когда 𝑡 равно одной секунде, наш мгновенная скорость равна шести отрицательным значениям один метр в секунду, или отрицательным шести метров в секунду. Это наша мгновенная скорость когда 𝑡 равно одной секунде. А как насчет его скорости в этом время?

Мы можем вспомнить тот мгновенный скорость является скалярной величиной. И она равна величине мгновенная скорость. Это означает, что мгновенное скорость нашего объекта, когда 𝑡 равно одной секунде, равна абсолютному значению минус шесть метров в секунду. Это упрощает до шести метров на второй. Это мгновенный объект скорость, когда время равно одной секунде.

Немного о разнице между мгновенной скоростью и скоростью. Теперь рассмотрим упражнение, которое выделяет разницу между средней скоростью и мгновенной скоростью.

Положение частицы меняется согласно 𝑥 как функция 𝑡 равно 3,0𝑡 в квадрате плюс 0,50𝑡 в кубе метров. Что такое частица мгновенная скорость, когда 𝑡 равно 2,0 секунды? Какова средняя частица скорость между 𝑡 равна 1,0 секунды и 𝑡 равна 3,0 секунды?

В первой части этого упражнения мы хотите найти мгновенную скорость, когда 𝑡 равно 2,0 секунды. Затем во второй части мы решим для средняя скорость частицы за интервал времени с центром в это же время ценить. Этот начинается с 1,0 секунды и заканчивается через 3,0 секунды. При расчете мгновенного скорости, можно вспомнить, что она равна производной по времени от положения как функция времени интересующей нас частицы. Итак, в нашем случае мгновенный скорость частицы как функция времени равна 𝑑 𝑑𝑡, производной по времени положения как функции времени, которое нам дано. Когда мы подставляем наше уравнение для положение как функцию времени и взять производную по времени. Эта производная приводит к выражение 6,0𝑡 плюс 1,50𝑡 в квадрате в метрах в секунду.

Мы прибыли к общему выражение для мгновенной скорости. Но мы хотим решить для скорость в определенное время, когда 𝑡 равно 2,0 секунды. Чтобы вычислить это значение, мы подключаем значение 2,0 секунды для 𝑡 в нашем выражении. Когда мы вычисляем это значение, чтобы две значащие цифры, наш результат 18 метров в секунду. это мгновенная скорость нашей частицы, когда 𝑡 равно 2,0 секунды. Далее переходим к решению средняя скорость нашей частицы за интервал времени от 1,0 до 3,0 секунд. Эта средняя скорость будет равна к положению нашей частицы в 3,0 секунды минус ее положение в 1,0 секунду разделить на интервал времени 3,0 минус 1,0 секунды. Или в знаменателе 2,0 секунды.

Решить позицию нашего частицы в разное время, мы можем использовать выражение, данное нам в задаче заявление. Когда мы подставляем значение 3.0 секунд для 𝑡 и вычисляем положение, получаем результат 40,5 метров. Который мы вставляем для нашей позиции когда 𝑡 равно 3,0 секунды. Затем мы делаем то же самое для 𝑡 равно 1,0 секундам, подставив это значение в наше выражение и найдя результат 3,50 метра. Который мы затем вставляем для нашего позиция, когда 𝑡 равно 1,0 секунды. Теперь мы готовы вычислить средняя скорость нашей частицы за интересующий временной интервал. Когда мы делаем и округляем результат до две значащие цифры, находим, что оно равно 19метров в секунду. Итак, наша средняя скорость и наша мгновенная скорость, даже если они сосредоточены на одних и тех же значениях времени, не то же самое.

Подведем итог тому, что мы узнали о мгновенной скорости и мгновенной скорости. Мгновенная скорость и Мгновенная скорость – это скорость в определенный момент времени. Мгновенная скорость равна скорость изменения положения объекта во времени, а мгновенная скорость равна величине мгновенной скорости. И мы можем думать о мгновенном скорость графически, рассматривая кривую зависимости положения от времени. И считайте это нашим изменением в время сжимается все меньше и меньше и меньше, мы можем получить более точную разрешенная скорость. Пока, наконец, по мере приближения Δ𝑡 ноль в этом пределе, мы имеем мгновенную скорость в конкретный момент времени ценить. Мгновенная скорость и Мгновенная скорость — еще один инструмент, который мы можем использовать при анализе движения объекта.

исчисление – Как концепция производной решает проблему мгновенной скорости?

спросил 4 года, 7 месяцев назад

Изменено 4 года, 7 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

$$ \color{darkcyan}{\frac{dy}{dx}} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$ $$ \color{darkcyan}{m} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x-a} $$ ^{Источник текста: https://i.stack.imgur.com/Kn3Bm.png}

Я думаю, что хорошо понимаю производную, но не понимаю, как она помогает нам найти мгновенную скорость в точке . Это только дает нам скорость, к которой мы можем приблизиться бесконечно близко, но это не скорость в точке. Скорость в точке не определена, так как x-x в знаменателе = 0.

Я получаю следующее о пределах и производных:

1. Что предел является фактическим значением, а не приближением. Предел — это действительное значение, к которому мы бесконечно приближаемся.

2. Что производная является пределом наклона х и а, когда а бесконечно приближается к а. Это наклон, к которому приближаются, когда а становится бесконечно близким к х.

Но хотя это позволяет нам узнать, какова скорость между двумя точками, когда они приближаются друг к другу бесконечно близко друг к другу, это все же не дает фактической мгновенной скорости в этой точке, потому что, чтобы найти фактическую скорость в этот единственный момент, вы должны сделать f(x)-f(x)/x-x= 0/0 = undefined. Так как же концепция производной дает нам мгновенную скорость?

Как это можно объяснить без доказательств эпсилон-дельта на уровне человека, изучающего исчисление Академии Хана?

• исчисление
• пределы
• производные

$\endgroup$

25

$\begingroup$

Мгновенная скорость изменения дифференцируемой функции в точке по определению есть изменение значения функции при бесконечно малом возмущении точки. 2-4}{ х-2}$). Более того, подстановка $t_0$ не представляет изменения во времени, в то время как скорость определяется для бесконечно малого изменения во времени, для которого изменение положения задается пределом и часто хорошо определено.

Суть в том, что ограничение позволяет точно вычислить изменение положения при бесконечно малом изменении во времени. Подстановка $t_0$ не представляет изменения во времени, а подстановка любого не бесконечно малого изменения $t_0$, скажем, $t_0+t_1$ дает среднюю скорость за период времени $t_1$.

$\endgroup$

14

$\begingroup$

В математике довольно часто встречается такое обстоятельство, что есть что-то, что трудно определить «непосредственно», но тем не менее мы можем легко записать приближения этой вещи.

В этом случае понятие “мгновенная скорость” трудно определить напрямую, но, казалось бы, мы можем легко приблизить то, каким должно быть значение, соотношением

$$ m \ приблизительно \frac{f(x) -f(a)}{x-a} \qquad \qquad \text{when }x \ приблизительно a $$

Общая схема действий в этой ситуации состоит в том, чтобы использовать аппроксимации для определения того, что на самом деле нас интересует; в случаях, подобных этому, понятие предела является именно тем инструментом, который нам нужен, чтобы определить, к какому значению приближаются эти приближения:

$$ m = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

Получив определение, мы делаем некоторые теоретические разработки, чтобы решить, является ли это определение полезен для любой цели, которую мы в конечном итоге пытались достичь.

---

Между прочим, существует альтернативная визуализация того, что делает предел, которая может показаться привлекательной.

Предположим, что мы определяем величину $u(x)$ как “среднюю скорость на интервале от $a$ до $x$. Для $x \neq a$ это явно определяется выражением

$$ u(x) = \frac{f(x) – f(a)}{x – a}$$

Конечно, эта формула не дает нам $u(a)$, что должно быть мгновенной скоростью, что бы это ни значило.

Однако, если мы рассмотрим график $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$, то при наличии разрыва в точке $x=a$ это устранимый разрыв: существует значение, через которое граф явно хочет пройти, чтобы перейти из домена $x a$.

Таким образом, $u(a)$ должно быть значением, которое заполняет устранимый разрыв, чтобы сделать гладкий график. Пределом является именно та операция, которая дает значение, заполняющее устранимый разрыв:

$$ u(a) = \lim_{x \to a} u(x) $$

$\endgroup$

$\begingroup$

Но хотя это позволяет нам узнать, какова скорость между двумя точками, поскольку они приближаются друг к другу бесконечно близко друг к другу, это все же не дает фактической мгновенной скорости в этой точке, потому что, чтобы найти фактическую скорость в этот единственный момент, вы должны сделать f(x)-f(x)/x-x= 0/0 = не определено.

Ясно, что вы не должны делать это, если только вы не собираетесь доказывать, что мгновенная скорость всегда не определена, что делает “мгновенную скорость” бесполезной концепцией. Поскольку мы обычно предпочитаем работать с концепциями, которые говорят нам что-то полезное, мы не определяем таким образом мгновенную скорость. Поскольку определение мгновенной скорости как 0/0 не говорит нам ничего, что мы хотели бы знать, мы считаем полезным вместо этого определить мгновенную скорость как предел скорости, когда изменение во времени стремится к нулю.

Вы говорите, что понимаете понятие предела, и что это “не приближение”, это значение, к которому фактически приближаются по мере приближения к некоторой точке, и что вы можете приближаться к пределу сколь угодно близко. Это хорошо, но стоит больше подумать о том, что это значит. Во-первых, это означает, что предел не всегда существует . Некоторые функции недостаточно «чисты» в некоторых точках, чтобы иметь предельное значение, к которому вы можете приблизиться сколь угодно близко. Но в тех случаях, когда предел разностного отношения существует ли , то оно соответствует тому, что, по мнению большинства людей, должно означать «мгновенная скорость», а в тех случаях, когда это не так, тогда неясно, какой должна быть «мгновенная скорость». Это ключ к тому, что, возможно, предел разностного отношения в конце концов является полезной концепцией.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я думаю, вы слишком сильно беспокоитесь о довольно философском вопросе о том, является ли реальность дискретной или непрерывной; в частности, о том, действительно ли время непрерывно (так что его изображение в виде линии было бы оправданным). Об этом можно спорить бесконечно, но так и не продвинуться дальше в понимании того, что происходит.

Итак, забудем об этом и абстрагируемся от математической сущности производной функции $f$ в некоторой точке $p$ интервала, на котором определена $f$; это тот факт, что число $f'(p)$ является корректно определенным, т. е. однозначно заданным по определению. Почему это? Потому что производная — это всего лишь предел некоторой (правильно определенной) функции, связанной с $f$ в точке $p,$, а именно частное разностей. И то, как мы определили, что мы подразумеваем под таким пределом, состоит в том, чтобы убедиться, что пределы, когда бы они ни существовали, были уникально указанный . Таким образом, мы можем говорить о пределе некоторой функции в точке, вложенной в ее область определения.

Тогда ясно, что мы можем говорить о производной функции в точке (когда бы она ни существовала) без какой-либо двусмысленности. Из этого следует, что скорость (если мы решим моделировать ее после производной) также хорошо определена.

Как выполняется это определение? Ну, обычно, когда мы определяем какой-либо объект, мы используем 9011 конечный список условий. Вот почему обычно кажется странным определять какой-либо объект бесконечным числом условий (что мы постоянно делаем при изучении реальной линии и связанных с ней континуумов), когда приступаешь к изучению анализа.