Модуль скорости физика формула: Перемещение при прямолинейном равномерном движении — урок. Физика, 9 класс.

Модуль скорости v1определим из закона сохранения энергии:

m₁gh = ½ m₁v,

где h = l sin α , отсюда: v₁ = gl sin α.

Подставив выражение v₁ в формулу (2), получим:

и = .

После вычислений найдем:

и =

Пример 4.

На спокойной воде пруда перпендикулярно берегу и носом к нему стоит лодка массой М и длиной L. На корме стоит человек массой m. На какое расстояние удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Силами трения и сопротивления пренебречь.

Решение:

Систему человек- лодка относительно горизонтального направления можно рассматривать как замкнутую. Согласно следствию из закона сохранения импульса, внутренние силы замкнутой системы тел не могут изменить положение центра масс системы. Применяя это следствие к системе человек – лодка, можно считать, что при перемещении человека по лодке центр масс системы не изменит своего положения, т.

е. останется на прежнем расстоянии от берега. Пусть центр масс системы человек- лодка находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку С₁ лодки (3), а после перемещения лодки- через другую ее точку С₂.

Так как эта вертикаль неподвижна относительна берега, то искомое перемещение s лодки относительно берега равна перемещению лодки относительно вертикали. А это последнее легко определить по перемещению центра масс О лодки. Как видно на рис.3, в начальный момент точка О находится на расстоянии а₁ слева от вертикали, а после перехода человека – на расстоянии а₂ справа от вертикали. Следовательно, искомое перемещение лодки: s = а

1 + а₂

Для определения а₁ и а₂ воспользуемся тем, что результирующий момент сил, действующих на систему относительно горизонтальной оси, перпендикулярной продольной оси лодки, равен нулю. Поэтому для начального положения системы Мga₁ = mg (l – а₁), отсюда: а₁ = ml/ (М + m).

После перемещения лодки Мgd₂ = mg(L – d₂ – l), откуда: а₂ = m(L – l)/(M + m).

Подставив полученные выражения а₁ и а₂ в (1), найдем:

s= (L- l), или s = .

Пример 5.

При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m =20г поднялась на высоту h =5м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на х = 10см. Массой пружины и силами трения пренебречь.

Решение.

Рассмотрим систему пружина – пуля. Так как на теле системы действуют только консервативные силы, то для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия Е₁ системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е₂ в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т.е.:

Е₁ = Е₂, или Т₁ + П₁ = Т₂+ П₂,

где Т₁, П₁ ,Т₂, П₂ – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид:

П₁ = П₂ (2)

Примем потенциальную энергию.

Пули в поле сил тяготения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине равной нулю, а высоту подъема пули будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.е. П₁ = ½ kx², а в конечном состоянии- потенциальной энергии пули на высоте h, т.е. П₂ = mgh.

Подставив выражения П₁ и П₂ в формулу (2), найдем ½ kx² = mgh., отсюда :

k= 2 mgh/х² .

проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k. Для этого в первую часть формулы (3) вместо величин подставим их единицы:

= = = 1 Н/м.

Убедившись, что полученная единица является единицей жесткости (1Н/м), подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления:

k= Н/м = 196 Н/м.

Пример 6.

Шар массой m₁, движущейся горизонтально с некоторой скоростью v₁, столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю ε своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение.

Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

Ε = ==()², (1)

где Т₁ – кинетическая энергия первого шара до удара; и₂ и Т₂ – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения ε надо найти и₂. Согласно условию задачи, импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:

m

1v₁ = m₁ u₁ + m₂ u₂; (2)

= +(3)

Решим совместно уравнения (2) и (3):

u₂ =

Подставив это выражение u₂ в формулу (1) и сократив на v₁ и m₁, получим:

ε = = .

Из найденного состояния видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Пример 7.

Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m = 80г (рис.4), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m

1 = 100г и m₂ = 200г. определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

Решение.

Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы6 сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнения движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза :

m₁ g – Т₁ = -m₁а (1)

для второго груза: m₂ g – Т₂ = m₂а (2)

Под действием моментов сил Т’₁ и Т’₂ относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

Т’_2r – Т’_1r = J_Zε (3)

где ε=a/r ; J_Z= ½ mr² – момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити Т’₁ и Т_1, Т’₂ и Т₂. Воспользовавшись эти , подставим в уравнение (3) вместо Т’₁ и Т’₂ выражения Т₁ и Т₂, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

(m₂g – m₂a)r – (m₁g + m₁a)r = mr²a/(2r)

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем :

а = g . (4)

Формула (4) позволяет массы m₁, m₂ и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение – в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим:

А = *9,81м/с² = 2,88м/с².

Пример 8.

Маховик в виде сплошного диска радиусом R = 0,2м и массой m = 50кг раскручен до чистоты вращения n₁ = 480 мин^-1 и предоставлен сам себе.

Под действием сил трения маховик остановился через t = 50с. Найти момент М сил трения.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде: dL_z = M_z dt (1)

где dL_z – изменение проекции на ось z момента импульса маховика, вращающегося относительно оси z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени dt ; M_z – момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно оси z.

Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (М_z = const), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению

ΔL_z = M_zΔt (2)

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение проекции момента импульса:

ΔL_z = J_zΔω, (3)

где J_z – момент инерции маховика относительно оси z;

Δω – изменение угловой скорости маховика.

Приравняв правые части равенств (2) и (3), получим M_zΔt = J_zΔω, откуда:

М_z = J_z. (4)

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле:

J_z = ½ mR²

Изменение угловой скорости Δω = ω₂ – ω₁ выразим через конечную п₂ и начальную п₁ частоты вращения, пользуясь соотношением ω = 2πп:

Δω = ω₂ – ω₁ = 2πп₂ – 2πп₁ = 2π(п₂ – п₁).

Подставив в формулу (4) выражения J_z и Δω , получим:

М_z = πmR² (п₂-п₁)Δt. (5)

Проверим, дает ли расчетная формула единицу момента силы (Н*м). Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

= = 1кг * м * с^-2 * 1м = 1 Н * м.

Подставим в (5) числовые значения величин и произведем вычисления, учитывая, что п₁ = 480мин^-1 = 480/60с^-1 = 8с^-1:

М_z = Н * м = -1 Н * м.

Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает на маховика тормозящее действие.

Пример 9.

Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5м и массой m₁ = 180кг вращается около вертикальной оси с частотой п = 10мин^-1. В центре платформы стоит человек массой m₂ = 60кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение.

Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция L_z момента импульса системы платформа – человек остается постоянной:

L_z = J_z ω = соnst, (1)

где J_z – момент инерции платформы с человеком относительно оси z; ω – угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии J_z = J₁ + J₂, а в конечном состоянии

J’_z = J’₁ + J’₂.

С учетом этого равенство (1) примет вид: (J₁ + J₂)ω = (J’₁ + J’₂.)ω’, (2)

где значения моментов инерции J₁ и J₂ платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; J’₁ и J’₂ – к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: J’₁ = J’₁ = ½ m₁R² . Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J₂ в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека J’₂ = m₂R².

Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (ω = 2πn) и конечной угловой скорости (ω’ = v/R, где v – скорость человека относительна пола):

(1/2 m₁R² + 0) 2πn = (1/2 m₁R² + m₂R²)v/R.

После сокращения на R² и простых преобразований находим скорость:

V = 2πn R m₁/( m₁ + 2 m₂).

Произведем вычисления:

v = .

Пример 10.

Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости v₁, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R = 6,37 * 10⁶ м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Решение.

Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно:

Т₁ + П₁ = Т₂ + П₂ (1)

где Т₁ , П₁ ,Т₂ , П₂ – кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях. Согласно определению кинетической энергии:

Т₁ = ½ mv.

Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии:

П₁ = – GmM/R.

По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая – убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т₂ станет равна нулю, а потенциальная – достигнет максимального значения:

П₂ = – GmM/(2R).

Подставляя выражения Т₁ , П₁ ,Т₂ , П₂ в (1), получаем: mv/2 – GmM/R = – GmM/(2R), откуда v₁ = .

Заметив, что GM/R² = g (ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде: v₁ = , что совпадает с выражением для первой космической скорости. Произведем вычисления:

v₁ = = 7,9км/с.

Механика (Зубов В.Г.)

Механика (Зубов В.Г.)

Зубов В. Г. Механика. М.: Наука, 1978. – 352 с. (серия “Начала физики”) Основные понятия кинематики. Основные понятия и законы динамики. Механические свойства тел. Использование их в решении практических задач. Импульс силы. количество движения тела. закон сохранения количества движения. Работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Вращение тел. Вопросы. Упражнения. Задачи. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ § 1. Основные опыты и наблюдения. Что такое механическое движение? § 2. Относительность движений. Система отсчета § 3. Как определить положение тел друг относительно друга? Радиус-вектор § 4. Главное свойство радиус-вектора. Что такое вектор? § 5°. Другой способ определения положения тел. Координаты § 6°. Как связан радиус-вектор с декартовыми координатами? § 7. Как определить конечный результат движения? Вектор перемещения § 8. Как связан вектор перемещения с приращением радиус-вектора? § 9°. Определение вектора перемещения по координатам § 10. Через какие точки проходило тело во время движения? Траектория § 11. Как связана траектория движения с векторами перемещения? § 12. Как определить положение тела на траектории? Длина пути § 13. Закон движения тела по заданной траектории § 14. Первые итоги. Примеры § 15. Как определить состояние движения в данной точке? Скорость § 16. Определение направления и модуля скорости § 17°. Определение скорости по изменению координат тела § 18. Две основные задачи кинематики § 19. Формула закона равномерного движения § 20. Порядок действий при решении задач кинематики § 21. Некоторые особенности практических транспортных задач § 22. Как количественно определить изменения скорости? Ускорение § 23. Изменение модуля скорости. Тангенциальное ускорение § 24. Изменение направления скорости. Нормальное ускорение § 25. Формула скорости равнопеременного движения § 26. Формула закона равнопеременного движения § 27. Различные случаи равнопеременных движений § 28. Свободное падение тел. Закон Галилея § 29. Два примера свободного падения тел § 30. Принцип независимого сложения движений § 31°. Расчет криволинейного движения по координатам § 32. Правила перехода от одной системы отсчета к другой. Преобразования Галилея § 33. Поступательное и вращательное движения твердого тела § 34. Некоторые вопросы измерений. Системы единиц § 35°. Кинематика движения тел с большими скоростями § 36. Краткие сведения из истории II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ § 37. Выбор системы отсчета. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета § 38. Особенности действия окружающих тел § 39. Влияние собственных свойств тела на его ускорение § 40°. Влияние скорости движения тела на его ускорение § 41. Двусторонний характер действия тел § 42°. Взаимодействия тел и невозможность создания вечного двигателя § 43. Итоги основных опытов и наблюдений § 44. Как количественно определить действия тел друг на друга? Сила § 45. Измерение сил § 46. Сила — вектор. Принцип независимого действия сил § 47. Разложение сил на составляющие § 48. Связь между силой и ускорением § 49. Инертные свойства тел. Масса § 50. Зависимость ускорения от массы тела § 51. Второй закон Ньютона § 52. Третий закон Ньютона § 53. Полная система законов динамики § 54. Две основные задачи динамики § 55. Порядок действий при решении задач на применение законов Ньютона § 56. Пример решения сложной задачи § 57. Краткие сведения из истории III. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТЕЛ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИХ В РЕШЕНИИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ § 58. Как ведут себя тела в свободном состоянии? Способность тел сохранять свою форму и объем § 59. Определение результата движения частей тела. Деформации § 60. Силы, возникающие при деформациях. Упругие и пластические деформации § 61. Упругие напряжения § 62. Упругие свойства твердых тел. Закон Гука § 63. Упругие пружины. Динамометры § 64. Упругие свойства жидкостей § 65. Упругие свойства газов. Закон Бойля — Мариотта § 66. Трение в жидкостях и газах § 67. Прыжок с парашютом § 68. Сухое трение § 69. Всемирное тяготение § 70. Пример применения закона всемирного тяготения. Первая космическая скорость § 71. Вес и невесомость § 72. Общий обзор механических свойств тел § 73. Принцип относительности механических явлений § 74°. Основные положения теории относительности IV. ИМПУЛЬС СИЛЫ. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ § 75. Почему нужно искать новые формы законов Ньютона? § 76. Преобразование второго закона Ньютона § 77. Упругий удар шара о стенку § 78. Расчет силы давления струи воды на препятствие § 79. Гидромонитор § 80. Турбина § 81. Системы тел § 82. Новая форма третьего закона Ньютона. Закон сохранения количества движения § 83. Порядок действий при решении задач на применение закона сохранения количества движения § 84. Реактивная сила тяги § 85. Ракетные и реактивные двигатели § 86°. Применение второго закона Ньютону к движению тел переменной массы § 87°. Уравнение движения тел с большими скоростями V. РАБОТА. ЭНЕРГИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ § 88. Еще один путь преобразования законов Ньютона § 89. Работа постоянной силы § 90. Работа переменной силы § 91. Кинетическая энергия тела § 92. Еще одна форма второго закона Ньютона § 93. Примеры применения разных форм второго закона Ньютона § 94. Работа силы тяжести § 95. Графический способ расчета работы. Работа упругой силы § 96°. Работа сил всемирного тяготения § 97. Работа силы трения § 98. Потенциальная энергия системы тел § 99°. Потенциальная энергия сил всемирного тяготения. Космические скорости § 100. Связь между работой внутренних сил и потенциальной энергией § 101. Полная энергия системы тел. Закон сохранения энергии § 102. Значение закона сохранения энергии § 103. Примеры применения закона сохранения энергии § 104. Мощность двигателей § 105. Краткие сведения из истории VI. ВРАЩЕНИЕ ТЕЛ § 106. Угловое перемещение тела § 107. Угловая скорость тела § 108. Угловое ускорение тела § 109. Динамика вращения тел. Основные опыты и наблюдения § 110. Момент силы § 111°. Момент инерции тела § 112°. Уравнение моментов § 113°. Независимое сложение моментов сил § 114°. Примеры применения уравнения моментов § 115°. Кинетическая энергия вращающегося тела § 116. Сводка основных понятий и законов динамики вращения § 117. Общие условия равновесия тел § 118. Пример расчета простых механизмов ЗАКЛЮЧЕНИЕ

17.2 Скорость звука | University Physics Volume 1

Звук, как и все волны, распространяется с определенной скоростью и обладает свойствами частоты и длины волны. Вы можете наблюдать прямое свидетельство скорости звука, наблюдая за фейерверком ((Рисунок)). Вы видите вспышку взрыва задолго до того, как услышите его звук и, возможно, почувствуете волну давления, подразумевая, что звук распространяется с конечной скоростью и что он намного медленнее света.

Разницу между скоростью света и скоростью звука можно ощутить и во время грозы. Вспышку молнии часто можно увидеть перед ударом грома. Возможно, вы слышали, что если посчитать количество секунд между вспышкой и звуком, то можно оценить расстояние до источника. Каждые пять секунд преобразуются примерно в одну милю. Скорость любой волны связана с ее частотой и длиной волны как

, где v — скорость волны, f — ее частота, а [латекс] \лямбда [/латекс] — ее длина волны. Вспомним из книги «Волны», что длина волны — это длина волны, измеренная между последовательными идентичными точками. Например, для поверхностной водной волны или синусоидальной волны на струне длина волны может быть измерена между любыми двумя удобными последовательными точками с одинаковой высотой и наклоном, например, между двумя последовательными гребнями или двумя последовательными впадинами. Точно так же длина волны звуковой волны — это расстояние между последовательными идентичными частями волны, например, между последовательными сжатиями ((Рисунок)). Частота такая же, как и у источника, и представляет собой количество волн, проходящих через точку в единицу времени.

Скорость звука в различных средах

(Рисунок) показывает, что скорость звука сильно различается в разных средах. Скорость звука в среде зависит от того, насколько быстро вибрационная энергия может передаваться через среду. По этой причине вывод скорости звука в среде зависит от среды и от состояния среды. В общем, уравнение для скорости механической волны в среде зависит от квадратного корня из восстанавливающей силы или свойства упругости, деленного на свойство инерции, 9{2}}. [/latex]

Напомним из Waves, что скорость волны на струне равна [latex] v=\sqrt{\frac{{F}_{T}}{\mu }}, [/latex] где восстанавливающая сила — это натяжение струны [латекс] {F}_{T} [/латекс], а линейная плотность [латекс] \mu [/латекс] — свойство инерции. В жидкости скорость звука зависит от объемного модуля и плотности:

[латекс] v=\sqrt{\frac{\beta}{\rho}}. [/latex]

Скорость звука в твердом теле зависит от модуля Юнга среды и плотности,

[латекс] v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}}. [/латекс]

В идеальном газе (см. Кинетическая теория газов во втором томе этого текста) уравнение для скорости звука имеет вид

[латекс] v=\sqrt{\frac{\gamma R {T}_{\text{K}}}{M}}, [/latex]

, где [латекс] \gamma [/латекс] – показатель адиабаты, [латекс] R=8,31\,\текст{J /mol}·\text{K} [/latex] — газовая постоянная, [latex] {T}_{\text{K}} [/latex] — абсолютная температура в кельвинах, M — молекулярная масса. В общем, чем жестче (или менее сжимаема) среда, тем выше скорость звука. Это наблюдение аналогично тому факту, что частота простого гармонического движения прямо пропорциональна жесткости колеблющегося объекта, измеряемой k , жесткость пружины. Чем больше плотность среды, тем медленнее скорость звука. Это наблюдение аналогично тому факту, что частота простого гармонического движения обратно пропорциональна м , массе колеблющегося тела. Скорость звука в воздухе мала, потому что воздух легко сжимается. Поскольку жидкости и твердые тела относительно жесткие и их очень трудно сжать, скорость звука в таких средах обычно выше, чем в газах.

Скорость звука в различных средах

Средний	v (м/с)
Газы при [латекс] 0\text{°}C [/латекс]
Воздух	331
Углекислый газ	259
Кислород	316
Гелий	965
Водород	1290
Жидкости при [латекс] 20\text{°}C [/латекс]
Этанол	1160
Меркурий	1450
Вода пресная	1480
Морская вода	1540
Ткань человека	1540
Твердые вещества (продольные или объемные)
Вулканизированная резина	54
Полиэтилен	920
Мрамор	3810
Стекло, пирекс	5640
Свинец	1960
Алюминий	5120
Сталь	5960

Поскольку скорость звука зависит от плотности материала, а плотность зависит от температуры, существует зависимость между температурой в данной среде и скоростью звука в среде. { -23}\,\text{J/K}) [/latex] и m — масса каждой (идентичной) частицы в газе. Обратите внимание, что v относится к скорости когерентного распространения возмущения (волны), тогда как [latex] {v}_{\text{rms}} [/latex] описывает скорости частиц в случайных направлениях. Таким образом, разумно, что скорость звука в воздухе и других газах должна зависеть от квадратного корня из температуры. Хотя это и не пренебрежимо мало, это не сильная зависимость. При [латексе] 0\text{°C} [/latex] скорость звука составляет 331 м/с, а при [латексе] 20,0\text{°C} [/латекс] — 343 м/с, менее чем на [латекс] 4\text{%} [/латекс]. (Рисунок) показывает, как летучая мышь использует скорость звука для определения расстояния.

Рисунок 17.6 Летучая мышь использует звуковое эхо, чтобы ориентироваться и ловить добычу. Время возвращения эха прямо пропорционально расстоянию.

Расчет скорости звука в воздухе

Как уже говорилось ранее, скорость звука в среде зависит от среды и состояния среды. Вывод уравнения для скорости звука в воздухе начинается с массового расхода и уравнения неразрывности, обсуждаемых в механике жидкости.

Рассмотрим поток жидкости по трубе с площадью поперечного сечения А ((Рисунок)). Масса в небольшом объеме трубы длиной x равна произведению плотности на объем, или [латекс] m=\rho V=\rho Ax. [/latex] Массовый расход

[латекс] \frac{dm}{dt}=\frac{d}{dt}(\rho V)=\frac{d}{dt}(\rho Ax) =\rho A\frac{dx}{dt}=\rho Av. [/latex]

Уравнение неразрывности из механики жидкости утверждает, что массовый расход в объеме должен равняться массовому расходу из объема, [латекс] {\ rho } _ {\ text {in}} {A } _ {\ text {in}} {v} _ {\ text {in}} = {\ rho} _ {\ text {out}} {A} _ {\ text {out}} {v} _ {\ текст{выход}}. [/латекс]

Рисунок 17.7 Масса жидкости в объеме равна произведению плотности на объем, [латекс] m=\rho V=\rho Ax. [/latex] Массовый расход представляет собой производную массы по времени.

Теперь рассмотрим звуковую волну, проходящую через воздушный поток. Воздушная посылка представляет собой небольшой объем воздуха с воображаемыми границами ((Рисунок)). Плотность, температура и скорость на одной стороне объема жидкости задаются как [латекс] \rho ,T,v, [/латекс], а на другой стороне как [латекс] \rho +d\rho ,T +дТ,в+дв. [/латекс]

Рисунок 17.8 Звуковая волна проходит через объем жидкости. Плотность, температура и скорость жидкости изменяются с одной стороны на другую.

Уравнение неразрывности утверждает, что массовый расход, входящий в объем, равен массовому расходу, выходящему из объема, поэтому

[латекс] \rho Av=(\rho +d\rho )A(v+dv). [/latex]

Это уравнение можно упростить, заметив, что площадь сокращается, и учитывая, что умножение двух бесконечно малых приблизительно равно нулю: [latex] d\rho (dv)\приблизительно 0, [/latex]

[латекс] \begin{array}{ccc}\hfill \rho v& =\hfill & (\rho +d\rho )(v+dv)\hfill \\ \hfill \rho v& =\hfill & \rho v+\rho (dv)+(d\rho )v+(d\rho )(dv)\hfill \\ \hfill 0& =\hfill & \rho (dv)+(d\rho )v\hfill \\ \hfill \rho \,dv& =\hfill & \text{−}vd\rho . \hfill \end{array} [/latex]

Суммарная сила, действующая на объем жидкости ((Рисунок)) равна сумме сил на левой грани и правой грани:

[латекс] \begin{array}{ccc}\hfill {F}_{\text{net}}& =\hfill & p\,dy\,dz-(p +dp)dy\,dz\hfill \\ & =\hfill & p\,dy\,dz-pdy\,dz-dp\,dy\,dz\hfill \\ & =\hfill & \text{−} dp\,dy\,dz\hfill \\ \hfill ma& =\hfill & \text{−}dp\,dy\,dz.\hfill \end{array} [/latex]

Рисунок 17.9 Звуковая волна проходит через объем жидкости. Сила, действующая на каждую грань, может быть найдена путем умножения давления на площадь.

Ускорение равно силе, деленной на массу, а масса равна произведению плотности на объем, [латекс] m=\rho V=\rho \,dx\,dy\,dz. [/latex] У нас есть

[латекс] \begin{array}{ccc}\hfill ma& =\hfill & \text{−}dp\,dy\,dz\hfill \\ \hfill a& =\hfill & – \frac{dp\,dy\,dz}{m}=-\frac{dp\,dy\,dz}{\rho \,dx\,dy\,dz}=-\frac{dp}{(\ rho \,dx)}\hfill \\ \hfill \frac{dv}{dt}& =\hfill & -\frac{dp}{(\rho \,dx)}\hfill \\ \hfill dv& =\hfill & -\frac{dp}{(\rho \,dx)}dt=-\frac{dp}{\rho }\,\frac{1}{v}\hfill \\ \hfill \rho v\,dv& =\hfill & \text{−}dp. {\gamma}=\text{константа,} [/латекс] где 9{\gamma}=\text{constant}\text{.} [/latex] Беря натуральный логарифм обеих сторон, получаем [latex] \text{ln}\,p-\gamma \,\text{ln}\, \rho =\text{constant}\text{.} [/latex] Дифференцируя по плотности, уравнение принимает вид

[latex] \begin{array}{ccc}\hfill \text{ln}\,p -\gamma \,\text{ln}\,\rho & =\hfill & \text{константа}\hfill \\ \hfill \frac{d}{d\rho }(\text{ln}\,p- \gamma \,\text{ln}\,\rho )& =\hfill & \frac{d}{d\rho }(\text{константа})\hfill \\ \hfill \frac{1}{p} \,\frac{dp}{d\rho}-\frac{\gamma}{\rho}& =\hfill & 0\hfill \\ \hfill \frac{dp}{d\rho}& =\hfill & \frac{\gamma p}{\rho}.\hfill \end{массив} [/latex]

Если воздух можно считать идеальным газом, мы можем использовать закон идеального газа:

[латекс] \begin{array}{ccc}\hfill pV& =\hfill & nRT=\frac{m}{M} RT\hfill \\ \hfill p& =\hfill & \frac{m}{V}\,\frac{RT}{M}=\rho \frac{RT}{M}.\hfill \end{array} [ /латекс]

Здесь M — молярная масса воздуха:

[латекс] \frac{dp}{d\rho }=\frac{\gamma p}{\rho }=\frac{\gamma ( \rho \frac{RT}{M})}{\rho}=\frac{\gamma RT}{M}. [/latex]

Так как скорость звука равна [latex] v=\sqrt{\frac{dp}{d\rho }} [/latex], скорость равна

[латекс] v=\sqrt{\frac{\gamma \,RT}{M}}. [/latex]

Обратите внимание, что скорость выше при более высоких температурах и ниже при более тяжелых газах. Для воздуха [латекс] \gamma =1,4, [/латекс] [латекс] M=0,02897\frac{\text{кг}}{\text{моль}}, [/латекс] и [латекс] R=8,31\ frac{\text{J}}{\text{mol}·\text{K}}. [/latex] Если температура [латекс] {T}_{\text{C}}=20\text{°}\text{C}(T=293\,\text{K}), [/latex ] скорость звука [латекс] v=343\,\text{м/с}\текст{.} [/латекс]

Уравнение скорости звука в воздухе [латекс] v=\sqrt{\ frac{\gamma RT}{M}} [/latex] можно упростить, чтобы получить уравнение для скорости звука в воздухе как функции абсолютной температуры:

[латекс] \begin{array}{cc}\hfill v& =\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}\hfill \\ & =\sqrt{\frac{\gamma RT}{M} (\ frac {273 \, \ text {K}} {273 \, \ text {K}})} = \ sqrt {\ frac {(273 \, \ text {K}) \ gamma R} {M}} \ sqrt {\ frac {T} {273 \, \ text {K}}} \ hfill \\ & \ приблизительно 331 \ frac {\ text {m}} {\ text {s}} \ sqrt {\ frac {T }{273\,\text{K}}. }\hfill \end{array} [/latex]

Одним из наиболее важных свойств звука является то, что его скорость почти не зависит от частоты. Эта независимость, безусловно, верна для звуков в слышимом диапазоне на открытом воздухе. Если бы эта независимость не была истинной, вы бы наверняка заметили ее в музыке, которую играет марширующий оркестр, например, на футбольном стадионе. Предположим, что высокочастотные звуки распространяются быстрее — тогда чем дальше вы находитесь от группы, тем больше звук низкочастотных инструментов будет отставать от высокочастотных. Но музыка всех инструментов доносится с ритмом, не зависящим от расстояния, поэтому все частоты должны распространяться почти с одинаковой скоростью. Напомним, что

[латекс] v=f\лямбда . [/latex]

В данной среде при фиксированных условиях v постоянно, поэтому существует связь между f и [latex] \lambda ; [/latex] чем выше частота, тем меньше длина волны ((Рисунок)).

Рисунок 17. 10 Поскольку в данной среде они распространяются с одинаковой скоростью, низкочастотные звуки должны иметь большую длину волны, чем высокочастотные звуки. Здесь низкочастотные звуки излучаются большим динамиком, называемым низкочастотным динамиком, а высокочастотные звуки излучаются маленьким динамиком, называемым твитером.

Пример

 

Вычисление длин волн

Вычислите длины волн звуков на крайних значениях слышимого диапазона, 20 и 20 000 Гц, в [латексе] 30,0\text{°C} [/латекс] воздухе. (Предположим, что значения частоты точны до двух значащих цифр.)

Стратегия

Чтобы найти длину волны по частоте, мы можем использовать [латекс] v=f\lambda . [/latex]

Решение

1. Определить известные. Значение для v определяется выражением

   [латекс] v=(331\,\text{м/с})\sqrt{\frac{T}{273\,\text{K}}}. [/латекс]

2. Преобразуйте температуру в кельвины, а затем введите температуру в уравнение

   [латекс] v = (331 \, \ text {м / с}) \ sqrt {\ frac {303 \, \ text {K}} {273 \, \ text {K}}} = 348,7 \, \ text {м/с}\текст{. } [/латекс]

3. Решите зависимость между скоростью и длиной волны для λ :

   [латекс] \lambda =\frac{v}{f}. [/латекс]

4. Введите скорость и минимальную частоту, чтобы получить максимальную длину волны:

   [латекс] {\ lambda} _ {\ text {max}} = \ text {​} \ frac {348,7 \, \ text {м/с}} {20 \, \ text {Гц}} = 17 \, \текст{м}\текст{.} [/латекс]

5. Введите скорость и максимальную частоту, чтобы получить минимальную длину волны:

   [латекс] {\ lambda} _ {\ text {мин}} = \ frac {348,7 \, \ text {м / с}} {20 000 \, \ text {Гц}} = 0,017 \, \ text {м} =1,7\,\текст{см}\текст{.} [/латекс]

Значение

Поскольку произведение f , умноженное на [латекс] \лямбда [/латекс], равно константе, меньшее f is, тем больше должен быть [латекс] \лямбда [/латекс], и наоборот.

Скорость звука может изменяться при переходе звука из одной среды в другую, но частота обычно остается неизменной. Это подобно частоте волны на струне, равной частоте силы, колеблющей струну. Если v изменится, а f останется прежним, то длина волны [латекс]\лямбда[/латекс] должна измениться. То есть, поскольку [латекс] v=f\лямбда [/латекс], чем выше скорость звука, тем больше его длина волны для данной частоты.

Проверьте свое понимание

Представьте, что вы наблюдаете, как взрываются два фейерверка. Вы слышите взрыв одного из них, как только видите его. Однако вы видите другой снаряд за несколько миллисекунд, прежде чем услышите взрыв. Объясните, почему это так.

Показать решение

Хотя звуковые волны в жидкости являются продольными, звуковые волны в твердом теле распространяются как в виде продольных, так и поперечных волн. Сейсмические волны, которые по сути являются звуковыми волнами в земной коре, создаваемыми землетрясениями, представляют собой интересный пример того, как скорость звука зависит от жесткости среды. Землетрясения производят как продольные, так и поперечные волны, и они распространяются с разной скоростью. Объемный модуль гранита больше, чем его модуль сдвига. По этой причине скорость продольных волн или волн давления (Р-волн) при землетрясениях в граните значительно выше скорости поперечных или сдвиговых волн (S-волн). Оба типа волн землетрясения распространяются медленнее в менее жестком материале, таком как отложения. P-волны имеют скорость от 4 до 7 км/с, а S-волны имеют скорость от 2 до 5 км/с, причем обе они быстрее в более жестком материале. P-волна постепенно опережает S-волну по мере того, как они проходят через земную кору. Время между P- и S-волнами обычно используется для определения расстояния до их источника, эпицентра землетрясения. Поскольку S-волны не проходят через жидкое ядро, образуются две теневые области ((Рисунок)).

Рисунок 17.11 Землетрясения производят как продольные волны (P-волны), так и поперечные волны (S-волны), и они распространяются с разными скоростями. Обе волны распространяются с разной скоростью в разных регионах Земли, но в целом Р-волны распространяются быстрее, чем S-волны. S-волны не могут поддерживаться жидким ядром, создавая теневые области.

По мере удаления звуковых волн от динамика или от эпицентра землетрясения их мощность на единицу площади уменьшается. Вот почему звук очень громкий рядом с динамиком и становится менее громким по мере удаления от него. Это также объясняет, почему в эпицентре землетрясения могут быть огромные повреждения, но в районах, удаленных от эпицентра, ощущаются только толчки. Мощность на единицу площади известна как интенсивность, и в следующем разделе мы обсудим, как интенсивность зависит от расстояния от источника.

nglos324 – эластичные волны

nglos324 – эластичные волны.

		Эластичные волны
	Когда материал механически возбуждается, волны сжатия/растяжения или сдвига волны могут распространяться из точки возбуждения. Эти упругие волны двигаться через материал со скоростью, определяемой его модулем упругости и его плотность, р. Для продольных волн эта скорость есть скорость звука, c, и C L = (Е/г) 0,5 , где Е — модуль Юнга. Для поперечных волн управляющий модуль упругости — модуль сдвига, Г. Для поперечных волн: C S = (Г/г) 0,5 .
				От кого: Киттель, «Введение в физику твердого тела», Wiley (1971)
	схема иллюстрирует метод запуска упругих волн с помощью пьезоэлектрического кварцевые преобразователи для возбуждения, а затем в качестве детекторов для отраженная упругая волна. Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: